安徽省高三数学二模考试试题理

合集下载

安徽省淮南市2022届高三下学期二模理科数学试题(含答案解析)

安徽省淮南市2022届高三下学期二模理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知集合{}26A x x =>，{}232xB x =<，则A B =A ．()3,4B ．()4,5C ．()3,+∞D ．()3,52．己知复数z 满足(1i)2i z +=-（i 为虚数单位），则z =（） A ．13i 22+B ．13i 22-C ．13i 22-+D ．13i 22--3．1947年，生物学家Max Kleiber 发表了一篇题为《body size and metabolicrate 》的论文，在论文中提出了一个克莱伯定律：对于哺乳动物，其基础代谢率与体重的34次幂成正比，即340F c M =，其中F 为基础代谢率，M 为体重．若某哺乳动物经过一段时间生长，其体重为原来的10 1.7783）（）A ．5.4倍B ．5.5倍C ．5.6倍D ．5.7倍4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22,6n n S S ==，则4n S =（） A ．8B ．12C ．14D ．205．盒中装有形状大小相同的球6个，其中红球3个，编号为1、2、3，蓝球3个，编号为4、5、6，从中取2球，则两球颜色不同，且编号之和不小于7的概率为（）A ．15B ．25C ．310 D ．456．已知ππ340,π,sin ,cos()2255αβααβ<<<<=+=-，则sin β=（） A ．2425B ．2425-C ．2425-或2425D ．0或24257．抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过点F 作倾斜角为3π的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，若AFK △的面积是p 的值为（） A ．1B ．2CD ．38．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中π0,0,||2A ωϕ>><）的图象如图所示，下列4个命题中错误．．的是（）A ．向左平移7π12个单位长度后图象关于y 轴对称 B ．向右平移6π个单位长度后的图象关于坐标原点对称 C ．π,03⎛⎫⎪⎝⎭是它的一个对称中心D ．单调递减区间是π7π2π,2π(Z)1212k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭9．对任意的R x ∈，函数()f x 满足()()4f x f x +-=．若函数2sin ()()sin 1xg x f x x =++在区间[2022,2022]-上既有最大值又有最小值，则函数()g x 的最大值与最小值之和为（） A ．0B ．2C ．4D ．810．从双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点(,0)(0)F c c ->引圆222x y a +=的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于P 点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，若||||2MO MT a c -=-，则双曲线的离心率为（）A．43B ．53C ．2 D11．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E ，F ，G 分别为BC ，1CC 、1BB 中点，现有下列4个命题：①直线1DD 与直线AF 垂直；①直线1A G 与平面AEF 平行；①点C 与点G 到平面AEF 的距离相等；①平面AEF 截正方体所得的截面面积为98．其中正确的是（）12．已知()()12()ln ,()e ,x af x x x ag x x f x g x +=+-=+=，若121x x ≥，则a 的取值范围为（） A ．[1,)-+∞ B ．(,e]-∞ C ．(,1]-∞ D ．[e,)+∞二、填空题13．已知实数x ，y 满足条件22000x y y x y a --≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，若目标函数2z x y =+的最大值为6，则实数=a ________．14．3D 打印又称增材制造，是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术为了培养青少年的创新意识和应用技能，某学校成立了3D 打印社团，学生们设计了一种几何体，其三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1cm ），如果这种打印原料的密度为31.50g/cm ，不考虑打印消耗，则制作该模型所需原料的质量约为_______g ．（π取3.14）15．已知平面向量,a b 的夹角为60︒，且||3a b +=，则||||a b +的最大值为________．16．ABC 中，120,BAC AO ∠︒=为BC 边上的中线，AO =2AB AC -的取值范围是________．三、解答题17．已知数列{}n a 满足：112a =，对n N +∀∈，都有1122n n a n a +=++． (1)设,n n b a n n N +=-∈，求证：数列{}n b 是等比数列； (2)设数列{}n a 的前n 项和为n S，求n S ．18．在某种产品的生产过程中，需对该产品的关键指标进行检测为保障产品质量，检验员在一天的生产中定期对生产线上生产的产品进行检测每次检测要从该产品的生产线上随机抽取20件进行检测，测量其关键指标数据．根据生产经验，可以认为这条产品生产线正常状态下生产的产品的关键指标数据服从正态分布()2,N μσ，在检测中，如果有一次出现了关键指标数据在(3,3)μσμσ-+之外的产品，就认为这条生产线在这一天的生产过程出现了异常情况，需对本次的生产过程进行检查． (1)下面是检验员在一次抽取的20件产品的关键指标数据：经计算得20119.96,0.1920i i x x s =====≈∑．其中i x 为抽取的第i 件产品的关键指标数据，1,2,,20i =．用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查？(2)如果一天内共进行四次检测，若有连续两次出现生产过程检查，则需停止生产并对生产设备进行检修．试求一天中需对生产设备进行检修的概率（精确到0.001）．附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则3309().974P X μσμσ-<<+=，190.99740.9517≈，200.99740.9493≈，20.05070.0026≈，20.94930.9012≈．19．如图①，四边形ABCD 是等腰梯形，1//,22AB CD AB BC CD ===，E 是CD 的中点，将DAE △沿AE 折起，构成如图①所示的四棱锥D ABCE '-．(1)设M 是AB 的中点，在线段D E '是否存在一点N ，使得//MN 平面D BC '？如果存在，求出点N 的位置；如果不存在，请说明理由．(2)如果平面D AE '⊥平面ABC ，求平面D AE '与平面D BC '所成锐二面角的大小． 20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点P ，左焦点为F ，||=PF(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点(4,0)D -作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，过点F 且垂直于x 轴的直线交直线l 于点E ，记,DA DB EA EB λμ==，求证：0λμ+=． 21．已知函数2()1e (1),1,1x f x k x x k R x ⎛⎫=--->-∈ ⎪+⎝⎭．(1)若0k =，证明：(1,0)x ∈-时，()1f x <-；(2)若函数()f x 恰有三个零点123,,x x x ，证明：1231x x x ++>．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（其中α为参数，02πα≤<），以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，直线1l 的极坐标方程为(R)3πθρ=∈．(1)求曲线C 的极坐标方程与直线1l 的直角坐标方程；(2)设直线1l 与曲线C 交于点O ，A ，直线2l 与曲线C 交于点O ，B ，求AOB 面积的最大值．23．已知函数2()2|2|f x x x =--． (1)求不等式()7f x ≥的解集；(2)设函数()f x 在[2,)+∞上的最小值为m ，正数a ，b 满足a b m +=，求证：228a b a+≥．参考答案：1．D 【解析】解出集合A 、B 中的不等式即可【详解】易得{}|3A x x =>，{}|5B x x =<，所以()3,5A B =，故选：D. 【点睛】本题考查的是集合的运算及指数不等式的解法，较简单. 2．A 【解析】【分析】利用复数的除法法则求解出复数z ，从而求出复数z 【详解】由题意得：()()()()2i 1i 2i 13i1i 1i 1i 2z ----===++-，所以z =13i 22+ 故选：A 3．C 【解析】【分析】利用幂的运算性质去求解即可解决【详解】设该哺乳动物原体重为1M 、基础代谢率为1F ，则34101F c M =，经过一段时间生长，其体重为110M ，基础代谢率为2F ，则()3420110F c M ⋅= 则()33334444201011101010F c M c M F =⋅=⋅⋅=，则3234110 1.7783 5.6F F ≈=≈故选：C 4．D【解析】【分析】依据等差数列的性质去求4n S 的值【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，2n S =，2624n n S S -=-=则n S ，2n n S S -，32n n S S -，43n n S S -构成首项为2，公差为2的等差数列则4n S =n S +(2n n S S -)+ (32n n S S -)+ (43n n S S -)=2+4+6+8=20 故选：D 5．B 【解析】【分析】依据古典概型去求两球颜色不同，且编号之和不小于7的概率【详解】记“从盒中取2球，两球颜色不同，且编号之和不小于7”为事件A则1123261+C C 2()C 5P A +== 故选：B 6．A 【解析】【分析】根据同角三角函数关系求出4cos 5α=，3sin()5αβ+=±，凑角法求出24sin 25β=或sin 0β=，舍去不合题意的解，得到答案.【详解】因为π30,sin 25αα<<=，所以4cos 5α==，因为ππ0,π22αβ<<<<，所以π3π22αβ<+<，因为4cos()5αβ+=-，所以3sin()5αβ+=±当3sin()5αβ+=时，()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα=+-=+-+⎡⎤⎣⎦344324555525=⨯+⨯=，因为ππ2β<<，所以sin 0β>，故24sin 25β=满足题意，当3sin()5αβ+=-时，()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα=+-=+-+⎡⎤⎣⎦344305555=-⨯+⨯=因为ππ2β<<，故sin 0β=不合题意，舍去；故选：A 7．B 【解析】【分析】根据抛物线的定义，结合条件，可得AKF 的形状，进而可得三角形的边长，进而可得. 【详解】根据抛物线的定义可知，AF AK =，又3AFx π∠=，AK l ⊥，故AKF 是等边三角形，又AFK △的面积是故可得4AF AK ==，故22OF p ==. 故选：B. 8．D 【解析】【分析】根据图象求得()f x 解析式，然后结合三角函数图象变换、三角函数的对称性、单调性对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】根据图象可知1A =，()ππ0sin ,23f ϕϕϕ==<=， ()π7π7ππsin ,sin 1312123f x x f ωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=⋅+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，7ππ3π242π,2,Z,012327k k k ωωω⋅+=+=+∈>，根据()f x 的图象可知37π7π2π7π18,,,412997T T ωω>>><，所以2ω=，()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.A 选项，根据()f x 图象可知，()f x 关于直线7π12x =对称，所以()f x 向左平移7π12个单位长度后图象关于y 轴对称，A 选项命题正确. B 选项，()f x 向右平移6π个单位长度后得ππsin 2sin 263y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，图象关于原点对称，B 选项命题正确.C 选项，π2ππsin 0333f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π,03⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心，C 选项命题正确.D 选项，ππ3ππ7π2π22π,ππ2321212k x k k x k +≤+≤++≤≤+，所以()f x 的减区间为π7ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，D 选项命题错误.故选：D 9．C 【解析】【分析】结合函数的奇偶性求得正确答案. 【详解】依题意对任意的R x ∈，函数()f x 满足()()4f x f x +-=，()()220f x f x -+--=，所以函数()()2F x f x =-为奇函数， 2sin ()()sin 1xg x f x x =++，令()G x =()22sin sin ()2()2sin 1sin 1x xg x f x F x x x -=-+=+++（R x ∈），()()()()22sin sin sin 1sin 1x x G x F x F x G x x x ---=-+=-+=-++，所以()G x 为奇函数，所以()G x 区间[2022,2022]-上的最大值与最小值之和为0，所以()()2g x G x =+，所以函数()g x 的最大值与最小值之和4. 故选：C 10．B 【解析】【分析】先求得a c 、的关系，再去求双曲线的离心率【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点2(,0)(0)F c c >，连接2PF ,OM则①2PF F 中，FM MP =,2FO OF =，则212MO PF =由直线FT 与圆222x y a +=相切，可得FT b ===又双曲线22221x y a b-=中，22PF PF a -=则22111||||||(||||)(||||)||222MO MT PF PF FT PF PF FT b a -=--=-+=-又||||2MO MT a c -=-，则2a c b a -=-，整理得3a c b -= 两边平方整理得2530a ac -=，则双曲线的离心率53c e a == 故选：B 11．C 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法判断①①的正确性；画出平面AEF 截正方体所得的截面,由此判断①①的正确性. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系，()10,0,1DD =，()111,0,0,0,1,,1,1,22A F AF ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1102DD AF ⋅=≠，所以①错误.11,1,0,,1,022E AE ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设平面AEF 的法向量为(),,n x y z =，则102102n AF x y z n AE x y ⎧⋅=-++=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩，故可设()2,1,2n =.()1,0,0FG CB ==，所以G 到平面AEF 的距离为23n FG n⋅=， 10,0,2CF ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以C 到平面AEF 的距离为13n CF n⋅=，所以①错误.根据正方体的性质可知11////EF BC AD ，1,,,A E F D 四点共面， 11EF AD D F AE ====所以平面AEF 截正方体所得的截面为等腰梯形1AEFD ，根据正方体的性质可知11//AG D F ，由于1AG ⊂/平面AEF ，1D F ⊂平面AEF ，所以1//A G平面AEF ，所以①正确.等腰梯形1AEFD，所以等腰梯形1AEFD 的面积为9228=，①正确. 所以正确的为①①. 故选：C12．A 【解析】【分析】利用同构构造()e xh x x =+，得到()()12ln h x h x a =+，结合()e xh x x =+的单调性，得到1222ln ln a x x x x =-≥-，构造()ln x x x ϕ=-，求出其最大值，得到a 的取值范围.【详解】由题意得：1>0x ，又因为121x x ≥，所以20x >， 2112ln e x a x x a x ++-=+，即2112ln e x a x x x a ++=++，所以12ln 12ln ee x x a x x a ++=++，设()e xh x x =+，则()()12ln h x h x a =+，()1e 0x h x '=+>，所以()e x h x x =+单调递增，所以12ln x x a =+，因为121x x ≥，所以1222ln ln a x x x x =-≥-，令()ln x x x ϕ=-，0x >，则()111x x x xϕ-'=-=，当()0,1x ∈时，()0x ϕ'>，当()1,x ∈+∞时，()0x ϕ'<，故()ln x x x ϕ=-在1x =处取得极大值，也是最大值，()()1ln111x ϕϕ≤=-=-，故[1,)a ∈-+∞. 故选：A 【点睛】同构构造函数，求解参数取值范围问题，通常适用于方程或不等式同时出现了指数函数与对数函数，此时利用同构构造函数，往往会是解题的突破口. 13．4 【解析】【分析】依据线性规划去求实数a 的值【详解】画出不等式组22000x y y x y a --≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩表示的平面区域如下由26220x y x y +=⎧⎨--=⎩，可得(2,2)N ，由点(2,2)N 在直线0x y a +-=上，可得220a +-=，则4a = 故答案为：414．6.28 【解析】【分析】先依据三视图去求该几何体的体积，再去求其质量【详解】该几何体下半部为底面半径为1高为1的圆柱，上半部为半径为1的球体的四分之一，则该几何体的体积为23144π11+π1π433⨯⨯⨯⨯=故制作该模型所需原料的质量4π 1.502π 6.28(g)3⨯=≈故答案为：6.28 15．2 【解析】【分析】对||3a b +=两边平方后得到()23a b a b ⋅=+-，利用基本不等式求出(]0,2a b +∈.【详解】||3a b +=，两边平方得：222cos603a a b b +⋅︒+=，即223a a b b +⋅+=，变形为()23a b a b⋅=+-，其中()24a b a b +⋅≤，当且仅当a b =时等号成立，所以()()2234a b a b++-≤，解得：(]0,2a b +∈ 故答案为：216．(- 【解析】【分析】结合向量数量积的运算求得,,AB AC BC 的关系式，设22,2b z AB AC c b c z -==+=-代入上述关系式，结合一元二次方程根的分布求得z ，也即2AB AC -的取值范围. 【详解】设,,AB c AC b BC a ===，,,a b c 为正数，依题意：ABC 中，120,BAC AO ∠︒=为BC 边上的中线，AO =2AO AB AC =+，两边平方得22242AO AB AB AC AC =+⋅+， 2212b c bc =+-，2212b c bc +=+①，设22,2b z AB AC c b c z -==+=-，代入①得()()221222b z b b z b =++-+，整理得2233120b zb z ++-=①，此方程至少有1个正根，首先()22912120z z ∆=--≥，解得z -≤，在三角形ABC 中，由余弦定理得222222cos1201220a b c bc b c bc bc =+-︒=++=+>恒成立，即()12220b z b ++>恒成立，整理得62z b b>--恒成立，由于6622b b b b ⎛⎫--=-+≤-=- ⎪⎝⎭62,b b b ==所以z >-①可得z -<≤. 对于方程①：若对称轴30,03zz z -=-==，方程①变为23120,2b b -==，符合题意. 若对称轴30,03zz z -=-><，则方程①至少有一个正根，符合题意，若对称轴30,03zz z -=-<>，要使方程①至少有一个正根，则需2120z -<，解得0z <<综上所述，z 也即2AB AC -的取值范围是(-.故答案为：(- 【点睛】有关三角形中线长度问题的求解，可考虑利用向量运算来建立关系式.有关三角形边长的和、差的取值范围，可考虑余弦定理（或正弦定理），结合基本不等式（或三角函数的取值范围）等知识来求解.17．(1)证明见解析 (2)1(1)122nn n n S +⎛⎫=-++⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用1122n n a na +=++变形得到112n n b b +=，从而证明出结论；（2）求出12nn n a b n n ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，分组进行求和.(1)因为n n b a n =-，所以n n a b n =+．又1122n n a n a +=++，所以11122n n b n n b n ++++=++，化简得：112n n b b +=．因为112a =，所以111122b =-=-，所以数列{}n b 是首项为12-，公比为12的等比数列．(2)由（1）可得：1111222n nn b -⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以12nn n a b n n ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，所以2111(123)222n n S n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦11122(1)1(1)1122212nn n n n n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭++⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-+=-++ ⎪⎝⎭-．18．(1)需对本次的生产过程进行检查 (2)0.007 【解析】【分析】（1）根据用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，可观察数列有无在区间ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+外的，可得答案; （2）求出在一次检测中，发现需要对本次的生产过程进行检查的概率，即可求得在一天的四次检测中，有连续两次需对生产过程进行检查的概率. (1)由9.96,0.19x s ==，得μ的估计值为9.6,ˆ9μσ=的估计值为ˆ0.19σ=，则ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+为(9.39,10.53) ，由样本数据可以看出有一件产品的关键指标数据9.22在ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外，因此需对本次的生产过程进行检查． (2)设“在一次检测中，发现需要对本次的生产过程进行检查”为事件A ，则2020()1[(0)]1(0.9974)10.94930.0507P A P X =-==-=-=；如果在一天中，需停止生产并对生产设备进行检修，则在一天的四次检测中，有连续两次需对生产过程进行检查，故概率为2222[()][1()][()][1()][()]P P A P A P A P A P A =-⋅-++ 22220.05070.94930.05070.94930.0507≈+⨯+⨯0.00260.94930.00260.90120.00260.007≈+⨯+⨯≈故一天中需对生产设备进行检修的概率为0.007． 19．(1)存在，点N 为线段D E '的中点 (2)45︒ 【解析】【分析】（1）作出辅助线，证明面面平行，进而证明线面平行；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角. (1)存在，点N 为线段D E '的中点如图，连接AC 、BE ，交于点P ，连接MP ,MN ,NP .由题设可知四边形ABCE 是菱形，所以点P 是线段BE 的中点．因为M 是AB 的中点，N 是线段D E '的中点，所以////MP AE BC ，//NP D B '，因为,MP NP ⊄平面D BC '，,D B BC '⊂平面D BC '，所以//MP 平面,//D BC NP '平面D BC '．因为MPNP P =，所以平面PMN //平面D BC '．又MN ⊂平面PMN ，所以//MN 平面D BC '．(2)取AE 的中点O ，连接D O '、BO ．由题设可知D AE '是等边三角形，所以D O AE '⊥．因为平面D AE '⊥平面,ABC D O '⊂平面D AE '，所以D O '⊥平面ABC ．因为60,EAB AED AB AE ∠=∠=︒='，所以ABE △是等边三角形，所以BO AE ⊥．分别以射线OA 、OB 、OD '为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，由122AB BC CD ===，易得(1,0,0),A B D '．所以2(2,0,0)BC AO ==-，(0,BD ='．设平面D BC '的一个法向量为()000,,n x y z =，则()()()(000000·,,2,0,00,·,,0,0n BC x y z n BD x y z ⎧=⋅-=⎪⎨=⋅=⎪⎩'，得0000,0x =⎧⎪⎨=⎪⎩，取001y z ==，所以(0,1,1)n =．设平面D AE '与平面D BC '所成锐二面角为θ，因为平面D AE '的一个法向量为(0,OB =，所以cos ||||2n OB n OB θ⋅===45θ=︒．故平面D AE '与平面D BC '所成锐二面角的大小为45︒． 20．(1)22184x y +=(2)证明见解析【解析】【分析】（1）待定系数法去求椭圆C 的标准方程；（2）设出直线l 的方程，与椭圆C 的标准方程联立，利用设而不求的方法去证明0λμ+= (1)设点(,0)F c -，由题意得22222421,18,a b a b c ⎧+=⎪=-=⎪⎪⎩解之得228,4,2a b c ===．所以椭圆C 的标准方程为22184x y +=；(2)设直线l 的方程为(4)y k x =+）（斜率k 显然存在），代入22184x y +=，整理得()()222212168410k x k x k +++-=．由()()()2222163212410k k k ∆=-+->，得22k -<< 则21221612k x x k +=-+，()212284112k x x k-=+，因为(2,0)F -，所以(2,2)E k -．设()()()()1122,4,,4A x k x B x k x ++，则1122(4,(4)),(4,(4))DA x k x DB x k x =+++=+，由DA DB λ=，可得1244x x λ+=+ 1122(2,(2)),(2,(2))EA x k x EB x k x =+++=+，由EA EB μ=，得1222x x μ+=+，所以()()()()()()12121122224224424242x x x x x x x x x x λμ++++++++=+=++++ ()()()()()()2222121222228411626162616121204242k k x x x x k k x x x x -⨯-⨯++++++===++++ 21．(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）当0k =时，1()e ,(1,0)1x x f x x x -=∈-+，求导，得到导函数大于0恒成立，故得到()(0)1f x f <=-；（2）首先确定1x =为函数的一个零点，接下来研究e ()1x F x k x =-+，构造差函数，求导后单调性，得到证明.(1)0k =时，函数1()e ,(1,0)1x x f x x x -=∈-+，则221()e 0(1)x x f x x +='>+， ()f x 在(1,0)-上单调递增，所以1()e (0)11x x f x f x -=<=-+． (2)e ()(1)1xf x x k x ⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭，显然1x =为函数的一个零点，设为3x ；设函数e ()1xF x k x =-+，2e ()(1)x x F x x '=+ 当(1,0)x ∈-时，()0F x '<，当,()0x ∈+∞时，()0F x '>，故()F x 在(1,0)-上单调递减，在(0,)+∞上单调递增．由已知，()F x 必有两个零点12,x x ，且1210x x -<<<，下证：120x x +>．设函数()()(),(1,0)h x F x F x x =--∈-，则e e ()11x xh x x x -=++-， 2e 11()e e (1)11x x x x x x h x x x x -++⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪+--⎝⎭⎝⎭'，由于(1,0)x ∈-，则2e 1e 0(1)1x x x x x x -+⎛⎫-< ⎪+-⎝⎭，由（1）有1e 01x x x ++>-，故()0h x '<，即函数()h x 在(1,0)-上单调递减，所以()(0)0h x h >=，即有()()()211F x F x F x =>-，由于12,(0,)x x -∈+∞，且在(0,)+∞上单调递增，所以21x x >-，所以120x x +>．【点睛】对于极值点偏移问题，通常要构造差函数，结合差函数的单调性和最值，进行证明.22．(1)4sin ρθ=，y =(2)【解析】【分析】（1）依据参数方程与普通方程的互化和极坐标方程与直角坐标方程的互化即可解决；（2）先求得AOB 面积的表达式，再对其求最大值即可.(1)曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y +-=，展开得2240x y y +-=，则曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=．直线1l 的直角坐标方程为y =(2)由（1）可知π||4sin 3OA == 设直线2l 的极坐标方程为(R)θβρ=∈，根据条件知要使AOB 面积取最大值，则ππ3β<<，则||4sin OB β=，于是1ππsin sin 233OAB S OA OB βββ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2π6sin cos cos 2)3sin 226ββββββ⎛⎫=---=+ ⎪⎝⎭，所以当π3π262β+=即2π3β=时，AOB 的面积取最大值，最大值为23．(1)(,1[3,)-∞--+∞(2)证明见解析【解析】【分析】（1）讨论2x ≥和2x <分别求解；（2）当[2,)x ∈+∞时，易知函数()f x 的最小值为4m =，可得4b a =-，代入整理得 221628a b a a a+=+-，再利用基本不等式． (1)原不等式可化为①()22227x x x ≥⎧⎨--≥⎩；①()22227x x x <⎧⎨+-≥⎩．解①得3x ≥；解①得1x ≤--，所以原不等式的解集为(,1[3,)-∞--+∞．(2)当[2,)x ∈+∞时，22()2(2)(1)3f x x x x =--=-+在[2,)+∞上单调递增所以函数()f x 的最小值为4m =，于是4a b +=即4b a =-2222(4)162888a b a a a a a a ++-==+-≥=，当且仅当4a b ==-即228a b a +≥。

安徽省安庆市2024届高三模拟考试(二模)数学试题含答案

2024年安庆市高三模拟考试（二模）数学试题（答案在最后）命题：安庆市高考命题研究课题组考试时间120分钟，满分150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1.设集合{}213A x x =-≤，集合101x B x x ⎧⎫+=>⎨⎬-⎩⎭，则A B = （）A.(1,2]B.[1,2]C.(1,1)- D.(1,2)-【答案】A 【解析】【分析】计算出集合A 、B 后借助交集定义即可得.【详解】由213x -≤，可得12x -≤≤，故{}12A x x =-≤≤，由101x x +>-，可得()()110x x +->，即1x >或1x <-，故{1B x x =>或}1x <-，则{}12A B x x ⋂=<≤.故选：A.2.已知复数2z =，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=（）A.14B.1C.2D.4【答案】B 【解析】【分析】首先分析题意，对给定复数化简，再利用共轭复数知识求解即可.【详解】221=+i 422z -+-，而1i 22z =--，可得1113(+i)(1222244z z ⋅=---=+=.故选：B.3.设F 是椭圆22:1259x y C +=的一个焦点，过椭圆C 中心的直线交椭圆于P ，Q 两点，则PQF △的周长的最小值为（）A.12B.14C.16D.18【答案】C 【解析】【分析】根据椭圆的定义求出10PF QF +=，再由min 26PQ b ==，即可求解.【详解】由椭圆的对称性可知P ，Q 两点关于原点对称，设椭圆的另一个焦点为1F ，则四边形1PFQF 为平行四边形，由椭圆定义可知：11420PF PF QF QF a +++==，又1PF QF =，1PF QF =，所以10PF QF +=，又PQ 过原点，所以min 26PQ b ==，所以PQF △的周长的最小值为：10616+=.故选：C4.在一次学科核心素养能力测试活动中，随机抽取了100名同学的成绩（评分满分为100分），将所有数据按[40,50]，(50,60]，(60,70]，(70,80]，(80,90]，(90,100]进行分组，整理得到频率分布直方图如图所示，则估计这次调查数据的第64百分位数为（）A.80B.78C.76D.74【答案】B 【解析】【分析】借助百分位数的定义计算即可得.【详解】由0.005100.015100.020100.4⨯+⨯+⨯=，0.005100.015100.020100.030100.7⨯+⨯+⨯+⨯=，故这次调查数据的第64百分位数位于(70,80]之间，设这次调查数据的第64百分位数为x ，则有700.640.4100.70.4x --=-，解得78x =.故选：B .5.设{}n a 是公比不为1的无穷正项等比数列，则“{}n a 为递减数列”是“存在正整数0n ，对任意的正整数0n n >，1n a <”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】由等比数列基本量的计算以及正项等比数列的单调性、充要条件的定义即可得解.【详解】{}n a 是公比不为1的无穷正项等比数列，所以()*0,N n a n >∈，一方面：“{}n a 为递减数列”，等价于101n na q a +<=<，要使得()111,0nn a a q a =<>，只需11nq a <，即1lg lg n q a <-，从而1lg lg a n q>-，所以取10lg max 1,1lg n q a ⎧⎫⎡⎤=-+⎨⎬⎢⎣⎦⎩⎭，其中[]x 是指不超过x 的最大整数，则当0n n >时，有1n a <，另一方面：我们假设1q >，且“存在正整数0n ，对任意的正整数0n n >，1n a <”，则当n 越来越大时，同理可得()111,0nn a a q a =>>，但这与“存在正整数0n ，对任意的正整数0n n >，1n a <”矛盾，综上所述，“{}n a 为递减数列”是“存在正整数0n ，对任意的正整数0n n >，1n a <”的充要条件.故选：C.6.已知点(1,0)P，(C ，O 是坐标原点，点B 满足1BC = ，则OP 与PB夹角的最大值为（）A.56π B.23π C.2π D.3π【答案】A 【解析】【分析】根据题意，求得点B的轨迹是以C 为圆心，半径1r =的圆，结合直线与圆相切，求得切线的倾斜角，即可求解.【详解】设点(,)B x y，可得()BC x y =--，因为1BC =，可得22(1x y +-=，即点B的轨迹是以C 为圆心，半径1r =的圆，如图所示，设过点P 与圆C 相切的直线PB 的方程为(1)y k x =-，即kx y k 0--=，1=，解得3k =-，设切线的倾斜角为(0π)αα≤<，则tan 3α=-，可得5π6α=，即OP 与PB 夹角的最大值为5π6.故选：A.7.已知函数2()2cos sin 21(0)f x x x ωωω=+->的图象关于点π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，且()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上没有最小值，则ω的值为（）A.12B.32C.52D.72【答案】B 【解析】【分析】先化简解析式，根据对称性可得12,2k k ω=-∈Z ，再结合最小值点即可求解.【详解】2π()2cos sin 21cos 2sin 224f x x x x x x ωωωωω⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，因为()f x 的图象关于点π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以πππ0424f ω⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故πππ,24k k ω+=∈Z ，即12,2k k ω=-∈Z ，当ππ22π42x k ω+=-+，即3ππ,8k x k ωω=-+∈Z 时，函数()f x 取得最小值，因为()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上没有最小值，所以5ππ83ω≥，即158ω≤，由115228k ω=-≤解得1918k ≤，故1k =，得32ω=.故选：B8.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，122AB AD AA ==，点E 是棱AB 上任意一点（端点除外），则（）A.不存在点E ，使得1EC D E⊥B.空间中与三条直线11A D ，EC ，1BB 都相交的直线有且只有1条C.过点E 与平面1D AE 和平面DAEC 所成角都等于π8的直线有且只有1条D.过点E 与三条棱AB ，AD ，1AA 所成的角都相等的直线有且只有4条【答案】D 【解析】【分析】当E 为AB 的中点时判断A ；作图判断B ；利用角平分面的特征判断C ；建立空间直角坐标系，分析判断D.【详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，122AB AD AA ==，对于A ，当E 为AB 的中点时，连接DE ，则45AED BEC ∠=∠= ，即有EC DE ⊥，而1DD ⊥平面ABCD ，EC ⊂平面ABCD ，则1EC DD ⊥，又11,,DE DD D DE DD ⋂=⊂平面1DD E ，因此EC ⊥平面1DD E ，而1D E ⊂平面1DD E ，则1EC D E ⊥，A 错误；对于B ，连接11,BD B D ，设BD EC K ⋂=，111////BB CC DD ，则平面11BDD B 与直线EC 交于K ，点K 在线段BD 上，不含端点，则直线1D K 与直线1BB 相交，同理直线1A E 与直线1BB 相交,因此直线1D K 、1A E 分别与三条直线11A D ，EC ，1BB 都相交，B 错误；对于C ，AB ⊥平面11ADD A ，而1AD ⊂平面11ADD A ，则1AB AD ⊥，又AB AD ⊥，于是1DAD ∠是二面角1D AE D --的平面角，且1π4DAD ∠=，显然1DAD ∠的平分线与平面1D AE 和平面DAEC 所成角都等于π8，过点E 与此直线平行的直线符合要求，这样的直线只有1条；半平面1D AE 与半平面DAEC 的反向延长面所成二面角的角平分面与平面1D AE 和平面DAEC 所成角都等于3π8，在此角平分面内过点E 与平面1D AE 和平面DAEC 所成角都等于π8的直线有2条，因此过点E 与平面1D AE 和平面DAEC 所成角都等于π8的直线有3条，C 错误；对于D ，建立如图所示的空间直角坐标系，直线1,,AB AD AA 的方向向量分别为(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)，设过点E 的直线l 方向向量为(,,)a x y z =，由直线l 分别与直线1,,AB AD AA 所成角都相等，==||||||x y z ==，不妨令||1x =，有(1,1,1)a =r 或(1,1,1)a =- 或(1,1,1)a =- 或(1,1,1)a =- ，显然使得||||||1x y z ===成立的向量a有8个，其余4个分别与上述4个向量共线，所以过点E 与三条棱AB ，AD ，1AA 所成的角都相等的直线有且只有4条，D 正确.故选：D【点睛】关键点睛：建立空间直角坐标系，利用线线夹角的求法是求解选项D 的关键.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知定义在R 上的函数()f x ，满足对任意的实数x ，y ，均有()()()1f x y f x f y +=+-，且当0x >时，()1f x <，则（）A.(0)1f = B.(1)(1)1f f +-=C.函数()f x 为减函数 D.函数()y f x =的图象关于点()0,1对称【答案】ACD 【解析】【分析】对A ：借助赋值法令0x y ==计算即可得；对B ：借助赋值法令1x =，1y =-计算即可得；对C ：结合函数单调性的定义及赋值法令0y >计算即可得；对D ：结合函数对称性及赋值法令y x =-计算即可得.【详解】对A ：令0x y ==，则有()()()0001f f f =+-，故(0)1f =，故A 正确；对B ：令1x =，1y =-，则有()()()0111f f f =+--，故()()112f f +-=，故B 错误；对C ：令0y >，则有()()()1f x y f x f y +-=-，其中x y x +>，()10f y -<，令1x x y =+，2x x =，即有对1x ∀、2x ∈R ，当12x x >时，12())0(f x f x -<恒成立，即函数()f x 为减函数，故C 正确；对D ：令y x =-，则有()()()1f x x f x f x -=+--，又(0)1f =，故()()2f x f x +-=，故函数()y f x =的图象关于点()0,1对称，故D 正确.故选：ACD.10.抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为(0,1)F ，经过点F 且倾斜角为α的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，分别过点A 、点B 作抛物线C 的切线，两切线相交于点E ，则（）A.当16AB =时，π3α=B.AOB 面积的最大值为2C.点E 在一条定直线上D.设直线EF 倾斜角为β，αβ-为定值【答案】CD 【解析】【分析】由焦点为(0,1)F 可得抛物线方程，联立直线与曲线方程，可得关于x 的一元二次方程，即可得与x 有关韦达定理，对A ：利用韦达定理与弦长公式计算即可得；对B ：利用韦达定理与弦长公式及面积公式计算即可得；对C ：借助导数的几何意义可得AE l 与BE l 的方程，即可得点E 坐标，即可得解；对D ：由tan tan 1αβ⋅=-，故可得2παβ-=.【详解】由抛物线的焦点为(0,1)F ，故2p =，即2:4C x y =，由题意可知，直线l 斜率存在，设():1tan AB l y kx k α=+=，()11,A x y ，()22,B x y ，联立241x y y kx ⎧=⎨=+⎩，有2440x kx --=，216160k ∆=+>，124x x k +=，124x x =-，对A：()241AB k ===+，当16AB =时，即有()24116k +=，故k =，即tan α=，即π3α=或2π3α=，故A 错误；对B：()2114122AOB S d AB k =⨯=+= ，故2AOB S ≥ ，故B 错误；对C ：由()11,A x y ，2:4C x y =，即24x y =，有2x y '=，故()111:2AE x l y x x y =-+，又2114x y =，故211:24AE x x l y x =-，同理可得222:24BE x x l y x =-，设点(),E m n ，则有2112222424x x n m x xn m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，有22121212242x x x x m x x -+=⨯=-，21121122244x x x x x x n +=⨯-=，由124x x k +=，124x x =-，故2m k =，1n =-，故点E 在一条定直线上且该直线为1y =-，故C 正确；对D ：由()2,1E k -，(0,1)F ，则111tan 2k kβ+==--，故有1tan tan 1k k αβ⎛⎫⋅=⋅-=- ⎪⎝⎭，即π2αβ-=，故αβ-为定值且该定值为π2，故D 正确.故选：CD.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.11.满足12a =，21a =，()*21n n n a a a n ++=+∈N 的数列{}na 称为卢卡斯数列，则（）A.存在非零实数t ，使得{}()*1n n a ta n ++∈N 为等差数列B.存在非零实数t ，使得{}()*1n n a ta n ++∈N 为等比数列C.()*243n n n a a a n ++=+∈ND.()20242023113ii i a a =-=-∑【答案】BCD 【解析】【分析】对A 、B ：借助等差数列与等比数列定义计算即可得；对C ：借助21n n n a a a ++=+代入即可得；对D ：由()*21n n n a a a n ++=+∈N ，得到()()()2121111n n nn n n a a a ++++-=--+-，从而将()202411ii i a =-∑展开后借助该式裂项相消即可得.【详解】对A ：若数列{}()*1n n a ta n ++∈N为等差数列，则有211n n n n ad ta a ta +++-+=-，即()211n n n a t a ta d ++=-++，由()*21n n n a a a n ++=+∈N，故有()111n n n n a a t a ta d +++=-++恒成立，即有1110t t d -=⎧⎪=⎨⎪=⎩，无解，故不存在这样的实数t ，故A 错误；对B ：若数列{}()*1n n a ta n ++∈N为等比数列，则有211n n n na q ta a ta ++++=+，即()21n n n a q t a qta ++=-+，由()*21n n n a a a n ++=+∈N，故有()11n n n n a a q t a qta +++=-+恒成立，即有11q t qt -=⎧⎨=⎩，即210t t +-=，解得12t -±=，此时21110a ta +=-=≠，故存在非零实数t ，使得{}()*1n n a ta n ++∈N 为等比数列，故B 正确；对C ：由()*21n n n a a a n ++=+∈N，则32214223n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ++++++++=++=+++=，即有()*243n n n a a a n ++=+∈N，故C 正确；对D ：由()*21n n n a a a n ++=+∈N ，故()()()()()222121111111n n n n nn n n n n a a a a a +++++++-=-+-=--+-，故()()()()()20242320241232024111111ii i a a a a a =-=-+-+-+-=∑ ()()()()()()()()()()2232432023202221324320232022121111111111a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⨯+-⨯+--+-+--+-+--+-++--+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()202312023202321113a a a ⎡⎤=-++---=-⎣⎦，故D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：D 选项中关键点在于由()*21n n n a a a n ++=+∈N，得到()()()2121111n n nn n n a a a ++++-=--+-，从而将()202411ii i a =-∑展开后可借助该式裂项相消.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.在二项式10的展开式中，常数项为__________．【答案】210【解析】【分析】借助二项式展开式的通项公式计算即可得.【详解】对10，有10151536211010C C kkk k k k T x x x ---+⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令5506k -=，则6k =，则有655671010C C 210T x -===.故答案为：210.13.已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为M ，底面直径2AB =．圆锥的内切球和外接球的球心重合于一点O ，则该圆锥的全面积为__________．【答案】3π【解析】【分析】画出圆锥的截面PAB ，由圆锥的内切球和外接球的球心重合于一点O ，可得PAB 为等边三角形，借助圆锥的表面积公式计算即可得.【详解】画出圆锥的轴截面如图所示，由O 为圆锥的内切球球心，则有BO 为PBA ∠的角平分线，由O 为圆锥的外接球球心，则OB OP =，故PBO OPB ∠=∠，故APB PBA ∠=∠，又PA PB =，故PAB 为等边三角形，故PM =，2PB =，则22πππ1π123πS r rl =+=⨯+⨯⨯=全.故答案为：3π.14.剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的中国民间艺术．其传承赓续的视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认知、道德观念、实践经验、生活理想和审美情趣，具有认知、教化、表意、抒情、娱乐、交往等多重社会价值．现有如图所示剪纸图案，其花纹中就隐含方程为222333(0)x y a a +=>的曲线C （称为星形线），则曲线C 的内切圆半径为__________；以曲线C 上点(,)(0)m n mn ≠为切点的直线被坐标轴截得的线段长等于__________．【答案】①.2a②.a【解析】【分析】由曲线C 的方程可得，该曲线关于x 轴、原点对称，故只需研究第一象限即可，求出第一象限上的点到曲线C 的最短距离即可得其内切圆半径；当0x >，0y >时，曲线可为函数322233y a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，结合导数的几何意义可得曲线上的点()00,x y 的切线方程，即可得该直线被坐标轴截得的线段长.【详解】设点(),P x y 在曲线222333(0)x y a a +=>上，则(),x y -、(),x y -、(),x y --亦在曲线222333(0)x y a a +=>上，故曲线222333(0)x y a a +=>关于x 轴、y 轴、原点对称，故只需研究第一象限内部分，当0x >，0y >时，由(),P x y 曲线222333(0)x y a a +=>上，故有222333x y a +=，即有2211331x y a a ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥+= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，则可设13cos x a α⎛⎫= ⎪⎝⎭，13sin y a α⎛⎫= ⎪⎝⎭，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即3cos x a α=，3sin y a α=，则OP ======，由π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则(]2sin 20,1α∈，则min2a OP ==，即曲线C 的内切圆半径为2a ；当0x >，0y >时，222333(0)x y a a +=>可化为322233y a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11221122223333333223y a x x x a x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-='-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则曲线上的点()00,x y 的切线方程为：()3122122223333300y a x xa x x x -⎛⎫⎛⎫--=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令0x =，则有()13122222233333000y xa x x a x -⎛⎫⎛⎫=---+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11222222222122333333333300a x x a x a a x a y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令0y =，则有1222133333000x x a x x a x ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，则AB a ====.即曲线C 上点(,)(0)m n mn ≠为切点的直线被坐标轴截得的线段长等于a .故答案为：2a；a .【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助曲线的对称性，得出只需研究第一象限部分，若点(),P x y 曲线222333(0)x y a a +=>上，可设13cos x a α⎛⎫= ⎪⎝⎭，13sin y a α⎛⎫= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而计算出点P 到曲线的最短距离即可得曲线C 的内切圆半径，当0x >，0y >时，曲线可为函数322233y a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，结合导数的几何意义可得曲线上的点()00,x y 的切线方程，即可计算得该直线被坐标轴截得的线段长.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在平面凸四边形ABCD 中，2sin tan tan cos BADABD ADB ABD∠∠+∠=∠.（1）求ADB ∠；（2）若4AD BD ==，6ACB BDC π∠=∠=，求CD .【答案】（1）3π（2）4【解析】【分析】（1）借助三角恒等变换将所给式子化简计算即可得；（2）结合题意，借助正弦定理与余弦定理计算即可得.【小问1详解】由已知得：sin sin 2sin cos cos cos ABD ADB BADABD ADB ABD∠∠∠+=∠∠∠，故sin cos cos sin 2sin cos cos cos ABD ADB ABD ADB BADABD ADB ABD∠∠+∠∠∠=∠∠∠，所以sin()2sin cos cos cos ABD ADB BADABD ADB ABD∠+∠∠=∠∠∠．因为()()sin sin πsin 0ABD ADB BAD BAD ∠+∠=-∠=∠≠，故1cos 2ADB ∠=，由三角形内角范围知π3ADB ∠=；【小问2详解】由4AD BD ==，π3ADB ∠=，故ABD △为边长为4的等边三角形，在ABC 中，π6ACB ∠=，由正弦定理得sin sin BC AB BAC ACB=∠∠，故sin 8sin sin AB BACBC BAC ACB∠==∠∠，由于πBAC BCA ABD CBD ∠+∠+∠+∠=，所以π2BAC CBD ∠+∠=，故8cos BC CBD =∠，在BCD △中，由余弦定理得2222cos CD BD BC BD BC CBD =+-⨯⨯∠，即22248cos 16CD BC BC CBD =+-⨯⨯∠=，得4CD =.16.已知函数()2ln ()mf x x x m x=-+∈R ．（1）当3m =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）若不等式()0f x ≤对任意的[1,)x ∈+∞恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）递增区间为(0,3)，递减区间为(3,)+∞（2）(,1]-∞【解析】【分析】（1）求出导函数后借助导函数的正负即可得原函数的单调性；（2）可借助(1)0f ≤，得到1m £，在1m £的情况下，借助1()2ln 2ln m f x x x x x x x=-+≤-+，从而构造函数1()2ln g x x x x=-+，结合该函数的单调性及最值即可得解；亦可通过参变分离，得到22ln m x x x ≤-对任意的[1,)x ∈+∞恒成立，通过研究2()2ln h x x x x =-得解.【小问1详解】当3m =-时，3()2ln f x x x x=--，其定义域为(0,)+∞，()()2222312323()1x x x x f x x x x x--+-++='=-+=，令()0f x '=，得3x =（=1x -舍去），当03x <<时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当3x >时，()0f x '<，函数()f x 单调递减．所以函数()f x 的单调递增区间为(0,3)，单调递减区间为(3,)+∞；【小问2详解】方法1：由条件可知(1)0f ≤，于是10m -≤，解得1m £．当1m £时，1()2ln 2ln m f x x x x x x x=-+≤-+，构造函数1()2ln g x x x x=-+，1x ≥，()222121()10x g x x x x-=---'=≤，所以函数()g x 在[1,)+∞上单调递减，于是()(1)0g x g ≤=，因此实数m 的取值范围是(,1]-∞．方法2：由条件可知22ln m x x x ≤-对任意的[1,)x ∈+∞恒成立，令2()2ln h x x x x =-，1x ≥，只需min [()]m h x ≤即可．()()()22ln 12ln 1h x x x x x =-+=--'，令()ln 1x x x μ=--，则()10x x xμ-'=≥，所以函数()h x '在[1,)+∞上单调递增，于是()()10h x h ''≥=，所以函数()h x 在[1,)+∞上单调递增，所以()()min 11h x h ⎡⎤==⎣⎦，于是1m £，因此实数m 的取值范围是(,1]-∞．17.如图，将边长为2的菱形ABDC 沿其对角线BC 对折，使得点A 、D 分别位于边长为2的等边PBC 所在平面的两侧，且PA PD =．设E 是PA 的中点．（1）证明：平面PBC ⊥平面ABC ；（2）求平面EBD 与平面ABC 夹角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）217【解析】【分析】（1）取BC 的中点O ，根据题意，分别证得OP BC ⊥和OP OA ⊥，利用线面垂直的判定定理，证得OP ⊥平面ABC ，进而证得平面PBC⊥平面ABC ．（2）以O 为原点，建立空间直角坐标系，根据题意，分别求得平面ABC 和EBD 得到法向量(0,0,1)m =和()3,2n =，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】证明：取BC 的中点O ，连接OA 、OP ，如图所示．因为四边形ABDC 是边长为2的菱形，PBC 是边长为2的等边三角形，所以ABC 也是边长为2的等边三角形，在等边PBC 中，O 是BC 的中点，可得OP BC ⊥且3OA OP ==又因为6PA =222PA OA OP =+，所以OP OA ⊥，因为⋂=OA BC O ，且,OA BC ⊂平面ABC ，所以OP ⊥平面ABC ；又因为OP ⊂平面PBC ，故平面PBC ⊥平面ABC ．【小问2详解】解：由（1）知，OP BC ⊥，OP OA ⊥．因为O 是等边ABC 的BC 边中点，可得OA BC ⊥．所以，以O 为原点，分别以,,OA OB OP 所在直线为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则3,0,0),,(0,1,0)(0,1,0)3),A B C -，可得33,0,22E ⎛⎫⎪⎪⎝⎭，因为DBC △是边长为2的等边三角形，故OD OP PD ===，所以60POD ∠=︒，且OD BC ⊥，又因为OP BC ⊥，OD OP O ⋂=，故BC ⊥平面DOP ，则D 在平面xOz 内，可得3,0,22D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以,1,22BE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，3,1,22BD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面ABC 的法向量为(,,)m a b c = ，显然可令(0,0,1)m =；设平面EBD 的法向量为(,,)n x y z =，则0223022n BE x y z n BE x y z ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=--+=⎪⎩，令2z =，则0x =，y =()2n =，所以cos ,7m mm n m n ⋅===，设平面EBD 与平面ABC 的夹角为θ，则sin 7θ==，故平面EBD 与平面ABC 的夹角的正弦值为217．18.树人高中拟组织学生到某航天基地开展天宫模拟飞行器体验活动，该项活动对学生身体体能指标和航天知识素养有明确要求．学校所有3000名学生参加了遴选活动，遴选活动分以下两个环节，当两个环节均测试合格可以参加体验活动．第一环节：对学生身体体能指标进行测试，当测试值12.2ξ≥时体能指标合格；第二环节：对身体体能指标符合要求的学生进行航天知识素养测试，测试方案为对A ，B 两类试题依次作答，均测试合格才能符合遴选要求．每类试题均在题库中随机产生，有两次测试机会，在任一类试题测试中，若第一次测试合格，不再进行第二次测试．若第一次测试不合格，则进行第二次测试，若第二次测试合格，则该类试题测试合格，若第二次测试不合格，则该类试题测试不合格，测试结束．经过统计，该校学生身体体能指标ξ服从正态分布(9,2.56)N ．参考数值：()0.6827P X μσμσ-<<+=，(22)0.9545P X μσμσ-<<+=，(33)0.9973P X μσμσ-<<+=．（1）请估计树人高中遴选学生符合身体体能指标的人数（结果取整数）；（2）学生小华通过身体体能指标遴选，进入航天知识素养测试，作答A 类试题，每次测试合格的概率为13，作答B 类试题，每次测试合格的概率为14，且每次测试相互独立．①在解答A 类试题第一次测试合格的条件下，求测试共进行3次的概率．②若解答A 、B 两类试题测试合格的类数为X ，求X 的分布列和数学期望．【答案】（1）68（2）①34；②分布列见解析，115()144E X =.【解析】【分析】（1）首先分析题意，利用正态分布的性质求解即可.（2）进行分类讨论，求解出分布列，再求出期望即可.【小问1详解】10.9545(12.2)(2)0.022752P P ξξμσ-≥=≥+==．所以符合该项指标的学生人数为：30000.0227568.2568⨯=≈人．【小问2详解】①记1A 表示解答A 类试题第一次测试合格，1B ，2B 分别表示解答B 类试题第一次和第二次测试合格，测试共进行3次记为事件M ，则()113P A =，()()()1121213113313443444P A M P AB B P AB B =+=⨯⨯+⨯⨯=．()()()()()112112111134().143P A B B P A B B P A M P M A P A P A +====∣②设X 的取值为0，1，2，224(0)339P x ==⨯=，13321335(1)344334416P x ==⨯⨯+⨯⨯⨯=，35(2)1(0)(1)144P x P x P x ==-=-==，所以X 的分布列为X12P4951635144数学期望4535115()012916144144E X =⨯+⨯+⨯=．19.取整函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其定义如下：设x ∈R ，不超过x 的最大整数称为x 的整数部分，记作[]x ，函数[]y x =称为取整函数．另外也称[]x 是x 的整数部分，称{}[]x x x =-为x 的小数部分．（1）直接写出[]ln π和34⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的值；（2）设a ，*b ∈N ，证明：a a a b b b b ⎡⎤⎧⎫=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，且01a b b b ⎧⎫≤≤-⎨⎬⎩⎭，并求在b 的倍数中不大于a 的正整数的个数；（3）对于任意一个大于1的整数a ，a 能唯一写为1212k aaak a p p p =⨯⨯⨯ ，其中i p 为质数，i a 为整数，且对任意的i j <，i j p p <，i ，{1,2,3,,}j k ∈⋯，称该式为a 的标准分解式，例如100的标准分解式为2210025=⨯．证明：在!n 的标准分解式中，质因数i p （i p n ≤，1n >，*n ∈N ）的指数231i r r i i i i n n n n a p p p p ∞=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++=⎢⎥⎢⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑ ．【答案】（1）1，0.25（2）证明见解析，a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦个（3）证明见解析【解析】【分析】（1）结合定义计算即可得；（2）由题意可得a a ab b b ⎡⎤⎧⎫=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，等式两边同时乘b ，即可得证a a a b b b b ⎡⎤⎧⎫=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，由a ，b 都为整数，结合定义可证得0a b b b ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭，即可得证01a b b b ⎧⎫≤≤-⎨⎬⎩⎭，假设b ，2b ，…，nb 都小于等于a ，可得a a nb a b b b b ⎡⎤⎧⎫≤=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，即有a a n b b ⎡⎤⎧⎫≤+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，又01a b ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭，即可得a n b ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦，即可得解；（3）利用（2）中结论可得i p 的倍数中不大于n 的正整数的个数为i n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2i p 的倍数中不大于n 的正整数的个数为2i n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，3i p 的倍数中不大于n 的正整数的个数为3i n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，依次进行下去，可得123r i r i i i i n n n n a p p p p ∞=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++=∑⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即得证.【小问1详解】由e π2e <<，故12ln π<<，故[]1ln π=，()3333110.2544444⎧⎫⎡⎤-=---=---==⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦；【小问2详解】因为a a a b b b ⎡⎤⎧⎫=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，等式两边同时乘b ，得a a a b b b b ⎡⎤⎧⎫=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，因为a ，b 都为整数，所以a a b a b b b⎧⎫⎡⎤=-⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦也为整数，又01a b ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭，所以0a b b b ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭，所以01a b b b ⎧⎫≤≤-⎨⎬⎩⎭，即得证，假设b ，2b ，…，nb 都小于等于a ，*n ∈N ，因为a a a b b b b ⎡⎤⎧⎫=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，所以a a nb a b b b b ⎡⎤⎧⎫≤=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，所以a a n b b⎡⎤⎧⎫≤+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，因为01a b ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭，所以a n b ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦，所以b 的倍数中不大于a 的正整数的个数为a b⎡⎤⎢⎥⎣⎦个；【小问3详解】!123n n =⨯⨯⨯⨯ ，将2，3，…，n 每一个数都分解为质因数的乘积．对于质因数i p ，利用（2）中结论，i p 的倍数中不大于n 的正整数的个数为i n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，记为1n ，将这些数都提取i p 出来，此时p 的倍数中还有可以提取出i p 的数，注意到2i p 的倍数中不大于n 的正整数的个数为2i n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，记为2n ，将这些数提取i p 出来；同理，3i p 的倍数中不大于n 的正整数的个数为3i n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，记为3n ，依此这样进行下去，则质因数i p的指数112323ri ri i i in n n na n n np p p p∞=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++=+++=∑⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即得证．。

安徽省合肥市2023届高三第二次教学质量检测数学试卷答案

合肥市2023年高三第二次教学质量检测数学试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.1.B2.C3.B4.C5.A6.B7.C8.D 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.9.ABD 10.ACD 11.BC 12.ACD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13.0 14.2 15.1316.4四、解答题：本大题共6小题，满分70分. 17.(本小题满分10分)解析：由题意知，15PAD ∠=，45PBD ∠=，30PCE ∠=，30APB ∠=. 在PAB ∆中，由正弦定理得sin sin AB PB APB PAB =∠∠， 1.4sin 30sin15PB=，所以 2.8sin15PB =. 在PBC ∆中，由正弦定理得sin sin PB BCC BPC =∠，sin 30sin105PB BC =， ……………………………5分所以sin1052sin105 5.6sin15sin105 5.6sin15cos15 2.8sin30 1.4sin30PBBC PB =⨯=⨯====，所以()1.40.20.50.7km DE BC BD EC =--=--=，即隧道DE 的长为0.7 km . ………………………………10分 18.(本小题满分12分)解析：(1)由题意得，11n n a S +=+；当2n ≥时，11n n a S -=+，两式相减得1n n n a a a +-=，即12n n a a +=.又因为21111122a S a a =+=+==，所以当1n ≥时，12n n a a +=，所以{}n a 成等比数列，12n n a -=. …………………………………6分 (2)由(1)得，12n n n b na n -==⋅，所以， 021*******n n T n -=⋅+⋅+⋅++⋅①，①×2 得，()12312122232122n n n T n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅②①－②得，()1231122222212121n n n n n n T n n n --=+++++-⋅=--⋅=--⋅-，所以()121n n T n =-⋅+. ……………………………………12分 19.(本小题满分12分)解析：(1)连接AE ，交BD 于点O ，连接GO .在菱形ABED 中，AE ⊥BD .因为CB ⊥平面ABED ，所以CB ⊥AE . 又因为CB BD B =，所以AE ⊥平面CBD .因为12GO CB =，GO ∥CB ，且FE ∥CB ，12FE CB =，所以FE ∥GO ，且FE GO =，所以四边形EFGO 为平行四边形，所以FG ∥EO ，所以FG ⊥平面CBD . …………………………………6分(2)如图，以B 为坐标原点，分别以BC ，BA 所在直线为x y ，轴建立空间直角坐标系，如图. 设2BC a =，则()0 2 0A a ，，，()2 0 0C a ，，，()0 D a ，， 2a G a ⎛ ⎝⎭，，()F a a -，. 设平面ACD 的一个法向量为()m x y z =，，，由00m AC m AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得2200ax ay ay -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，取()3 3 1m =，，，因为330 22a a FG ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，记直线FG 与平面ACD 所成角为θ，则 37sin cos =737FG m a FG m a FG mθ⋅=<>==⋅，，所以，直线FG 与平面ACD .…………………………………12分 20.(本小题满分12分)解析：(1)由题意得，X 的可能取值有0，1，2，3，所以()393163020C P X C ===，()21973169120C C P X C ===，()129731627280C C P X C ===，()373161316C P X C ===，所以X 的分布列为6分(2)由题意得，根据所给数据，得到22⨯列联表：利用列联表中的数据得，()220.116235616=2.286 2.70688797x χ⨯⨯-⨯=≈<=⨯⨯⨯，根据小概率值0.1α=的独立性检验，没有充分证据推断0H 不成立，因此可认为0H 成立，即认为实验鼠体征状况与GRPE 蛋白干预无关. …………………………………12分 21.(本小题满分12分)解析：(1)由题意得2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =.由4AE BE =得4AE BE =.过B 作1BB ⊥l 于点1B ，过A 作1AA ⊥l 于点1A ，1BB ∥1AA ，且114AA BB =，由抛物线定义知，1BF BB =，1AF AA =，所以114FA AA FB BB ==，即4FA FB=. …………………………………5分 (2)设点()00B x y ，()00y >，()1 0E -，，所以()0043 4A x y +，，所以()200200416443y x y x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，，解得00141x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以()4 4A ，. 设切线AP ，AQ 的斜率为12k k ，，因为AM x ⊥轴，由对称性知120k k +=.设直线PQ 的方程为x my n =+，()11P x y ，，()22Q x y ，，将直线PQ 的方程代入抛物线方程得2440y my n --=(﹡)，所以121244y y m y y n +=⎧⎨=-⎩，，所以11121114444444y y k x y y --===-+-，同理得2244k y =+，所以()()()()()()12121212121244844440444444y y y y k k y y y y y y ++++++=+=⋅=⋅=++++++，所以1280y y ++=，即480m +=，2m =-，代入方程(﹡)，由64160n ∆=+>得4n >-，因为直线AP 的方程为1144(4)4y y x x --=--，即1211444(4)(4)444y y x x y y --=-=-+-，所以114(4)40x y y y -++=.因为直线AP 与圆Mr =，即221216(4)16r y r +=-，不妨设144y -<<，所以14y =，所以2211111121111622(8)4432444416y n x y y y y r⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+=-=-⎪ ⎪-⎝⎭⎭，因为0r <≤n 随r 的增大而增大，所以2221161163232841641612n r ⎛⎫⎛⎫=-≤-= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭所以48n -<≤直线PQ 的方程为2x y n =-+，即20x y n +-=，121284y y y y n +=-⎧⎨=-⎩，，所以12PQ y -=点A 到直线PQ 的距离为d =，所以1122APQ S d PQ ∆=⋅⋅==令()()()()241248f n n n n =+--<≤，则()()()()()()()212421211243f n n n n n n '=-++⋅--=--，当443n -<<时，()0f n '>；当483n <≤时，()0f n '<，所以当43n =时，()f n 取得最大值，所以APQ ∆面积的最大值为………………………12分 22.(本小题满分12分)解析:函数()()212ln 212f x x mx m x =+-+的定义域为()0+∞，， ()()()()()221212221mx m x mx x f x mx m x x x-++--'=+-+==. (1)因为函数()y f x =仅有一条垂直于y 轴的切线，所以()()()120mx x f x x--'==有唯一正实数解，所以0m ≤或12m =，所以m 的取值范围是102m m m ⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭，或.………………………………5分(2)因为()()()12mx x f x x--'=.①当0m ≤时，因为0x >，所以10mx -<，所以，当()0 2x ∈，时，()0f x '>；当()2 x ∈+∞，时，()0f x '<，所以()f x 的单调递增区间是()0 2，，单调递减区间是()2 +∞，，此时()()22ln 222212ln 222f m m m =+-+=--，当ln 21m =-时，()20f =，函数()f x 只有一个零点，2x =；当ln 210m -<≤时，()20f <，函数()f x 没有零点；当ln 21m <-时，因为当0x +→或x →+∞时，()f x →-∞，且()20f >，所以函数()f x 分别在()0 2，和()2+∞，上，各有唯一零点，此时函数()f x 有两个零点. ②当102m <<时，12m >，在()0 2x ∈，和1 x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，上，()0f x '>；在12 x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上，()0f x '<，所以()f x 在()0 2，和1m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递增，在12 m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减. 当0x +→时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞，且()22ln 2220f m =--<，此时函数()f x 在1m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上有唯一零点，即函数()f x 有1个零点. ③当12m =时，()()()2202x x f x x--'=≥，所以()f x 的单调递增区间是()0+∞，. 当0x +→时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞，此时函数()f x 在()0+∞，上有唯一零点. ④当12m >时，102m <<，在10 x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，和()2x ∈+∞，上，()0f x '>；在1 2x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上，()0f x '<；所以()f x 在10 m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，和()2+∞，上单调递增，在1 2m⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减.()21111112ln 212ln 222f m m m m m m m m ⎛⎫⎛⎫=+⋅-+⋅=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.设()12ln 22g m m m =---12m ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()222114022m g m m m m -'=-+=<，所以()g m 在12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递减，所以()12ln 2302g m g ⎛⎫<=-< ⎪⎝⎭.又因为当x →+∞时，()f x →+∞，所以函数()f x 在区间()2+∞，唯一零点. 综上所述，得：当ln 21m <-时，函数()f x 有且仅有2个有零点. 当ln 210m -<≤时，函数()f x 没有零点；当ln 21m =-或0m >时，函数()f x 有且仅有1个零点.…………………………………12分。

23年安徽合肥高三二模数学试卷【含答案】

2023年安徽合肥高三二模数学试卷一、单选题1、设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2、若集合，则（）．A. B. C. D.3、己知等差数列的前项和为，，，则的值为（）.A. B. C. D.4、Malthus模型是一种重要的数学模型．某研究人员在研究一种细菌繁殖数量与时间t关系时，得到的Malthus模型是，其中是时刻的细菌数量，e为自然对数的底数．若t时刻细菌数量是时刻细菌数量的6.3倍，则t约为（）．（）A.2B.3C.4D.55、已知球与圆台的上下底面和侧面都相切．若圆台的侧面积为；上、下底面的面积之比为，则球的表面积为（）．A. B. C. D.6、某高中学校在新学期增设了“传统文化”、“数学文化”、“综合实践”、“科学技术”和“劳动技术”门校本课程．小明和小华两位同学商量每人选报门校本课程，若两人所选的课程至多有一门相同，且小明必须选报“数学文化”课程，则两位同学不同的选课方案有（）．A.种B.种C.种D.种7、在平面直角坐标系中，对于点，若，则称点A和点B 互为等差点．已知点Q是圆上一点，若直线上存在点Q的等差点P，则的取值范围为（）A. B. C. D.8、设A，B，C，D是曲线上的四个动点，若以这四个动点为顶点的正方形有且只有一个，则实数m的值为（）．A.4B.C.3D.二、多选题9、已知双曲线的左、右顶点分别为，渐近线为直线，离心率为e．过右焦点F且垂直于x轴的直线交双曲线C于点P，Q，则（）A. B. C. D.10、下图是某汽车公司100家销售商2022年新能源汽车销售数据频率分布直方图（单位：辆），则（）．A.a的值为0.004B.估计这100家销售商新能源汽车销量的平均数为135C.估计这100家销售商新能源汽车销量的分位数为212.5D.若按分层抽样原则从这100家销售商抽取20家，则销量在内的销售商应抽取5家11、与函数图象关于点对称，，则（）A.的值域为B.的图象关于直线对称C.在所有实根之和为D.在上解集为12、已知正方体的棱长为1，点E，F分别是棱AD，AB上的动点，G是棱的中点，以为底面作三棱柱，顶点也在正方体的表面上．设，则（）A.，直线与直线所成的角均为B.，使得四面体的体积为C.当时，直线与平面所成角的正切值为D.当时，若三棱柱为正三棱柱，则其高为三、填空题13、已知．若，则实数的值为．14、若定义域为的奇函数满足，且，则．15、第十九届亚洲运动会将于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行．为了让更多的同学了解亚运会，学校团委举行了“迎亚运，猜谜语”活动．甲、乙两位同学组队代表班级参加此次迷语竞猜活动．比赛共两轮，每人每轮各猜一个谜语．已知甲每轮猜对谜语的概率为，乙每轮猜对谜语的概率为，若甲、乙两人每轮猜对谜语与否互不影响，前后两轮猜对谜语结果也互不影响，则甲、乙两人在此次比赛中共猜对3个谜语的概率为．16、我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称为“果圆”，其中，如图．设，是“果圆”与坐标轴的交点，C为半椭圆上一点，F为半椭圆的焦点．若，则“果圆”的内接矩形面积的最大值为．四、解答题17、如图，某地需要经过一座山两侧的D，E两点修建一条穿山隧道．工程人员先选取直线DE上的三点A，B，C，设在隧道DE正上方的山顶P处测得A处的俯角为，B处的俯角为，C处的俯角为，且测得，试求拟修建的隧道DE的长．18、已知数列的前n项和为，，．(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前n项和．19、如图，在多面体ABCFDE中，四边形ABED是菱形，，，平面ABED，点G是线段CD的中点．(1)证明：平面BCD；(2)若，求直线FG与平面ACD所成角的正弦值．20、地球上生命体内都存在生物钟，研究表明，生物钟紊乱会导致肥胖、糖尿病、高血压、高血脂等严重体征状况．控制睡眠或苏醒倾向的生物钟基因，简称PER，PER分为PERl（导致早起倾向）和PERo（导致晚睡倾向）．某研究小组为研究光照对动物的影响，对实验鼠进行了光照诱导与GRPE蛋白干预实验．以下是16只实验鼠在光照诱导与GRPE蛋白干预实验中，出现PERl突变的Sd指标：长期试验发现，若实验鼠Sd指标超过10.00，则认定其体征状况严重，(1)从实验鼠中随机选取3只，记X为体征状况严重的只数，求X的分布列和数学期望；(2)若编号1~8的实验鼠为GRPE蛋白干预实验组，编号9~16的为非GRPE蛋白干预对照组，试依据小概率值的独立性检验，分析GRPE蛋白干预是否与实验鼠体征状况有关？附：（其中）．20、已知抛物线的焦点为F，为其准线l与x轴的交点，过点E作直线与抛物线C在第一象限交于点A，B，且．(1)求的值；(2)设圆，过点A作圆M的两条切线分别交抛物线C于点P，Q，求面积的最大值．21、已知函数，其中．(1)若函数图像仅有一条垂直于y轴的切线，求m的取值范围；(2)讨论函数零点个数．1、【答案】B;【解析】试题分析：通过题意得，所以在复平面内表示复数的点为在第二象限．因此正确答案为B．考点：复数的运算；复数的代数表示以及几何意义.2、【答案】C;【解析】，.因此正确答案为：C.3、【答案】B;【解析】解：因为是等差数列，设公差为，因为，，所以，则，因为的前项和为，所以，因此正确答案为：.4、【答案】C;【解析】当时，，即，则，得.因此正确答案为：C5、【答案】A;【解析】【分析】根据题的描述，球内切于圆台，画出圆台的轴截面图，根据圆台的侧面积，和上下底面的面积关系求出球的半径，进而即得.【详解】依据题意，球内切与圆台，画出两者的轴截面，球的截面为圆，圆台的轴截面为等腰梯形，如图所示，过点作的垂线，垂足为，设球的半径为，则，设圆台的母线为，即，上、下底面的面积之比为，即，，由圆的切线长定理可知，，圆台的侧面积为，解得，则，即，则球的表面积.故选：A.6、【答案】B;【解析】当小明和小华两位同学所选的课程恰有一门相同时：相同的课程为“数学文化”时，有种，相同的课程不是“数学文化”时，有种，所以小明和小华两位同学所选的课程恰有一门相同时，共有种，当小明和小华两位同学所选的课程均不相同时，有种，所以，两位同学不同的选课方案有种．故选．7、【答案】C;【解析】通过题意设，通过题意知，则，由于点Q是圆上一点，故令，则，由于，故，则，故，因此正确答案为：C8、【答案】D;【解析】【分析】先证明的图象有且只有一个对称中心，设在函数右侧的图象上，由正方形的对称性，设直线的斜率为，则直线的斜率为，则可得，换元后利用判别式可求的值.【详解】设，则，故为上的奇函数.下证：的图象有且只有一个对称中心.证明：设的图象的对称中心为，则恒成立，故，整理，得恒成立，故.故以A，B，C，D为顶点的正方形的对称中心为原点.不妨设在函数右侧的图象上，由正方形的对称性，不妨设直线的斜率为，则直线的斜率为，故直线，直线.由，可得，故，同理，其中.因为，故，整理,得，即，所以，设，则，故在上仅有一个解，因为对称轴且，故，故.故选：D.【点睛】思路点睛：三次函数图象上的对称图形问题，往往要考虑三次函数图象的对称性，另外可把图象上的对称图形的对称问题转化为某些变量的方程的问题来处理.9、【答案】A;B;D;【解析】【分析】根据已知条件做出图形，利用双曲线的方程求出，结合双曲线的离心率公式及双曲线的渐近线方程，再利用两直线垂直的条件、两点间的距离公式及向量垂直的条件即可求解；【详解】由，得，所以，即.所以，解得，由题意可知，作出如图所示对于A，，故A正确；对于B，不妨设双曲线的两条渐近线分别为，所以直线的斜率为，直线的斜率为，所以，所以，故B正确；对于C，由题意可知，,过右焦点F且垂直于x轴的直线方程为，由，解得或，所以,所以，故C错误；对于D，由题意可知，，，所以，所以，，即，故D正确.故选：ABD.10、【答案】A;C;D;【解析】A.由频率分布直方图可知，，得：，故A无误；B.，故B有误；C.设百分位数，易得，则，解得：，故C无误；D.则销量在的频率为所以抽取的20家，则销量在内的销售商为家，故D无误.因此正确答案为：ACD11、【答案】B;C;【解析】【分析】利用函数的对称性求出函数的解析式，利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用正弦型函数的值域可判断A选项；利用正弦型函数的对称性可判断BC选项；求出不等式在上解集，可判断D选项.【详解】在函数的图象上任取一点，则点关于点的对称点在函数的图象，所以，，所以，，对于A选项，，所以，函数的值域为，A错；对于B选项，因为，所以，函数的图象关于直线对称，B对；对于C选项，当时，，作出函数在上的图象如下图所示：令，可得，由图可知，直线与函数在上的图象有四个交点，设这四个交点的横坐标由小到大分别为、、、，由图象可知，点、关于直线对称，点、关于直线对称，所以，在所有实根之和为，C对；对于D选项，由可得，当时，，可得，解得，所以，不等式在上解集为，D错.故选：BC.12、【答案】A;C;D;【解析】设，则，又，所以，解得，即.A：建立如图空间直角坐标系，则，有，所以，得，故A无误；B：因为，，，，有，所以，得，所以.设平面的一个法向量为，则，令，则，所以，则点到平面的距离为，所以四面体的体积为，则该四面体的体积为定值，故B有误；C：由选项B的分析可知，当时，，易知平面的一个法向量为，则，设直线与平面所成角为，为锐角，则，所以，故C无误；D：当时，E、F分别为AD、AB的中点，由正三棱柱的特征可知，点分别为正方形、、的中心，如下图所示，则，有，则，所以为正三棱柱的高，且，故D无误.因此正确答案为：ACD.13、【答案】0;【解析】【分析】利用条件求向量的坐标，再利用向量共线的坐标表示即可求出果.【详解】因为，所以，又因为，所以，解，故答案为：0.14、【答案】2;【解析】由，得，所以，即，于是有，所以，即.所以函数的周期为.因为是定义域为的奇函数，所以，即.令，则，解得，所以.因此正确答案为：. 15、【答案】;【解析】甲乙共猜对3个谜语有如下两种情况：甲猜对一个，乙猜对两个，其概率为：；或甲猜对两个，乙猜对一个，其概率为：，故甲、乙两人在此次比赛中共猜对3个谜语的概率为.因此正确答案为：16、【答案】;【解析】【分析】利用椭圆的定义以及正切二倍角公式求出，从而得出半椭圆与半椭圆的方程，再利用半椭圆与半椭圆的方程以及基本不等式求出“果圆”的内接矩形面积的最大值.【详解】由已知得，，所以分别是椭圆的右、左焦点.由及椭圆的定义可得，即.又设,则，由正切二倍角公式得，解得和，因为是锐角则所以，又因为，所以，因为，，所以.半椭圆与半椭圆.设“果圆”的内接矩形为MNPQ（如图），设，，则满足①②，①-②得，即.则“果圆”的内接矩形面积为==，当且仅当，即时等号成立.所以“果圆”的内接矩形面积的最大值为.故答案为：17、【答案】;【解析】【分析】利用条件得出，再在和中，利用正弦定理，求出，从而求出结果.【详解】由题意知，．在中，由正弦定理得，，即，所以．在中，因为，由正弦定理得，即，所以，所以，即隧道DE的长为．18、【答案】(1)(2);【解析】【分析】（1）由和与项的关系可求得，进而利用等比数列即可求解；（2）求得，进而用错位相减法即可求和.【详解】（1）由题意得，；当时，，两式相减得，即．又因为，所以当时，，所以成等比数列，且首项，公比，所以．（2）由（1）得，，所以，①，①×2得，②①-②得，，所以．19、【答案】(1)证明见解析(2);【解析】（1）连接AE，交BD于点O，连接GO．在菱形ABED中，．因为平面ABED，平面ABED，所以．又因为，平面CBD，所以平面CBD．因为，且，，所以，且，所以四边形EFGO为平行四边形，所以，所以平面CBD．（2）如下图所示，以B为坐标原点，分别以BC，BA所在直线为x，y轴建立空间直角坐标系，如图．设，则，，，，，设平面ACD的一个法向量为，由得，取，因为，记直线FG与平面ACD所成角为，则，所以，直线FG与平面ACD所成角的正弦值是．20、【答案】(1)分布列见解析；期望为(2)认为实验鼠体征状况与GRPE蛋白干预无关;【解析】【分析】（1）先求出X的可能取值，逐个求解概率可得分布列，利用期望公式可求期望；（2）根据提供的数据列出2×2列联表，计算卡方，根据临界值进行判断.【详解】（1）由题意得，16只实验鼠中，有7只体征状况严重.X的可能取值有0，1，2，3，.所以X的分布列为所以X的数学期望．（2）由题意得，根据所给数据，得到列联表：零假设：实验鼠体征状况与GRPE蛋白干预没有关系．利用列联表中的数据得，，根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可认为成立，即认为实验鼠体征状况与GRPE蛋白干预无关．21、【答案】(1)(2);【解析】【分析】（1）根据准线l与x轴的交点坐标确定，再利用抛物线的定义将点点距转化为点线距，最后利用相似性得出比值；（2）先求出点的坐标，然后设直线PQ的方程及点的坐标，联立直线与抛物线方程，根据根与系数的关系确定直线PQ的斜率，再根据直线AP 与圆M相切确定点的坐标与圆半径的关系，最后将三角形面积转化为三次函数，利用导数确定最值．【详解】（1）由题意得，所以抛物线C的方程为．由得．过B作于点，过A作于点，，且，由抛物线定义知，，所以，即．（2）设点，所以，所以，解得，所以．设切线AP，AQ的斜率为，因为轴，由对称性知．设直线PQ的方程为，将直线PQ的方程代入抛物线方程得①，所以所以，同理得，所以，所以，即，代入方程①，由得，因为直线AP的方程为，即，所以．因为直线AP与圆M相切，所以，即，不妨设，所以，所以，因为，n随r的增大而增大，所以，所以，直线PQ的方程为，即，所以，点A到直线PQ的距离为，所以，令，则，当时，，为增函数；当时，，为减函数，所以当时，取得最大值，所以面积的最大值为．【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个：一是根据直线与圆相切求出的范围；二是借助导数工具求解三次函数的最值.22、【答案】(1)(2)答案见解析;【解析】【分析】（1）先求得，由有唯一正实数解求得的取值范围.（2）对进行分类讨论，根据的单调性、零点存在性定理等知识确定正确答案.【详解】（1）函数的定义域为，．因为函数仅有一条垂直于y轴的切线，所以有唯一正实数解，所以或，所以m的取值范围是．（2）因为．①当时，因为，所以，所以，当时，；当时，，所以的单调递增区间是，单调递减区间是，此时，当时，，函数只有一个零点，；当时，，函数没有零点：当时，因为当或时，，且，所以函数分别在和上，各有唯一零点，此时函数有两个零点．②当时，，在和上，；在上，，所以在和单调递增，在上单调递减．当时，；当时，，且，此时函数在上有唯一零点，即函数有1个零点．③当时，，所以的单调递增区间是．当时，；当时，，此时函数在上有唯一零点．④当时，，在和上，；在上，；所以在和上单调递增，在上单调递减．．设，所以，所以在上单调递减，所以．又因为当时，，所以函数在区间唯一零点．综上所述，得：当时，函数有且仅有2个有零点；当时，函数没有零点；当或时，函数有且仅有1个零点．【点睛】利用导数研究函数的零点，主要思路是：先求函数的定义域，然后对函数求导，如果导函数含有参数，则需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏，研究出函数的单调性后，结合零点存在性定理可判断出零点的个数.。

2024届安徽省合肥市高三第二次教学质量检测数学试卷(含答案与解析)_8379

2024年合肥市高三第二次教学质量检测数学（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1．答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设全集U =R ，集合{}{}220,1A x x x B x x =-->=≥，则()UB A ⋂=ð（）A. {}12x x ≤≤B. {}12x x <≤C. {}2x x >D. {}12x x ≤<2. 已知i2i z z-=+，则z =（）A. 12B.C. 1D. 23. 设,αβ是两个平面，,a b 是两条直线，则αβ∥的一个充分条件是（） A. ,,a b a b αβ∥∥∥ B. ,,a b a b αβ⊥⊥⊥ C. ,,a b a b αβ⊥⊥∥D. ,,a b a αβ∥∥与b 相交4. 甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束）．已知每局比赛甲获胜的概率均为12，则甲以4比2获胜的概率为（） A.164B.332C.532D.15645. 常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为T （单位：天）．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为12,T T ．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的14，则12,T T 满足的关系式为（）A. 125125122T T -+= B. 125125122T T += C. 22125125122log log T T -+= D. 22125125122log log T T += 6. 已知函数()22,113,1x x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩，若关于x 方程()()10f x f a --=至少有两个不同的实数根，则a 的取值范围是（） A. (]),4-∞-+∞ B. []1,1-C. (-D. ⎡-⎣7. 记ABC 内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知1112,1tan tan tan tan c A B A B=++=．则ABC 面积的最大值为（）A. 1B. 1C.D.8. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线左支上，线段2PF 交y轴于点E ，且23PF PE = ．设O 为坐标原点，点G 满足：213,0PO GO GF PF =⋅=，则双曲线C 的离心率为（）A.B. 1C. 1+D. 2+二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知圆22:1O x y +=，圆22:()(1)4,R C x a y a -+-=∈，则（） A. 两圆的圆心距OC 的最小值为1 B. 若圆O 与圆C相切，则a =±C. 若圆O 与圆C恰有两条公切线，则a -<< D. 若圆O 与圆C 相交，则公共弦长的最大值为210. 已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则（） A.11n n S S qS +=+的的的B. 对任意*232,,,n n n n n n S S S S S ∈--N 成等比数列C. 对任意*n ∈N ，都存在q ，使得23,2,3n n n S S S 成等差数列D. 若10a <，则数列{}21n S -递增的充要条件是10q -<< 11. 已知函数()ππsin sin sin 66f x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，则（） A. 函数()f x π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减B. 函数5π1122y f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为奇函数 C. 当ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()41y f x =+恰有两个零点 D. 设数列{}n a 是首项为π6，公差为π6的等差数列，则()2024120272i i f a ===-∑三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在6x ⎛- ⎝的展开式中，3x 的系数为_________．13. 抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为,l A 为C 上一点，以点F 为圆心，以AF 为半径的圆与l 交于点,B D ，与x 轴交于点,M N ，若AB FM =，则AM = _________．14. 已知实数,,x y z ，满足20y z +-=，则+++_________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60,BAD M ∠=︒是侧棱PC 的中点，侧面PAD 为正三角形，侧面PAD ⊥底面ABCD ．在（1）求三棱锥M ABC -的体积；（2）求AM 与平面PBC 所成角的正弦值．16. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，左顶点为A，短轴长为，且经过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 的直线l （不与x 轴重合）与C 交于,P Q 两点，直线,AP AQ 与直线4x =的交点分别为,M N ，记直线,MF NF 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k ⋅为定值．17. 树人中学高三（1）班某次数学质量检测（满分150分）的统计数据如下表：性别参加考试人数平均成绩标准差男 30 100 16 女209019在按比例分配分层随机抽样中，已知总体划分为2层，把第一层样本记为123,,,,n x x x x ，其平均数记为x ，方差记为21s ；把第二层样本记为123,,,,m y y y y ，其平均数记为y ，方差记为22s ；把总样本数据平均数记为z ，方差记为2s ．（1）证明：()(){}22222121x s n s z m y m n z s ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+；（2）求该班参加考试学生成绩的平均数和标准差（精确到1）；（3）假设全年级学生的考试成绩服从正态分布()2,N μσ，以该班参加考试学生成绩的平均数和标准差分别作为μ和σ的估计值．如果按照16%,34%,34%,16%的比例将考试成绩从高分到低分依次划分为,,,A B C D 四个等级，试确定各等级的分数线（精确到1）．附：()19P X μσμσ-≤≤+≈≈≈≈．的18. 已知曲线():e e xxC f x x =-在点()()1,1A f 处的切线为l ．（1）求直线l 的方程；（2）证明：除点A 外，曲线C 在直线l 的下方；（3）设()()1212,f x f x t x x ==≠，求证：1221etx x t +<--． 19. 在数学中，广义距离是泛函分析中最基本的概念之一．对平面直角坐标系中两个点()111,P x y 和()222,P x y ，记1212121212max ,11tx x y y PP x x y y ⎧⎫--⎪⎪=⎨⎬+-+-⎪⎪⎩⎭，称12t PP 为点1P 与点2P 之间的“t -距离”，其中{}max ,p q 表示,p q 中较大者．（1）计算点()1,2P 和点()2,4Q 之间的“t -距离”；（2）设()000,P x y 是平面中一定点，0r >．我们把平面上到点0P 的“t -距离”为r 的所有点构成的集合叫做以点0P 为圆心，以r 为半径的“t -圆”．求以原点O 为圆心，以12为半径的“t -圆”的面积；（3）证明：对任意点()()()111222333131223,,,,,,t t t P x y P x y P x y PP PP P P ≤+．参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设全集U =R ，集合{}{}220,1A x x x B x x =-->=≥，则()UB A ⋂=ð（）A. {}12x x ≤≤B. {}12x x <≤C. {}2x x >D. {}12x x ≤<【答案】A 【解析】【分析】解不等式得到A ，进而根据补集和交集求出答案. 【详解】{}{2202A x x x x x =-->=>或}1x <-，{}12U A x x =-≤≤ð，故(){}{}{}12112U A B x x x x x x ⋂=-≤≤⋂≥=≤≤ð. 故选：A 2. 已知i2i z z-=+，则z =（）A.12B.C. 1D. 2【答案】B 【解析】【分析】由复数的运算和模长计算求出即可. 【详解】i i i12i =1iz z z z -=-=+⇒--，所以()()()i 1i i 111i 1i 1i 222z ----===--+-，所以z == 故选：B.3. 设,αβ是两个平面，,a b 是两条直线，则αβ∥的一个充分条件是（） A. ,,a b a b αβ∥∥∥ B. ,,a b a b αβ⊥⊥⊥ C. ,,a b a b αβ⊥⊥∥D. ,,a b a αβ∥∥与b 相交【答案】C 【解析】【分析】通过举反例可判定ABD ，利用线面垂直的判定定理及面面平行的判定定理可判定C. 【详解】选项A ：当满足,,a b a b αβ∥∥∥时，,αβ可能相交，如图：用四边形ABCD 代表平面α，用四边形AEFD 代表平面β，故A 错误；选项B ：当满足,,a b a b αβ⊥⊥⊥时，,αβ可能相交，如图：用四边形ABCD 代表平面α，用四边形AEFD 代表平面β，故B 错误；选项C ：因为,a a b b αα⊥⇒⊥∥，又b β⊥，所以αβ∥，故,,a b a b αβ⊥⊥∥是αβ∥的一个充分条件，故C 正确；当满足,,a b a αβ∥∥与b 相交时，,αβ可能相交，如图：用四边形ABCD 代表平面α，用四边形AEFD 代表平面β，故D 错误；故选：C.4. 甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束）．已知每局比赛甲获胜的概率均为12，则甲以4比2获胜的概率为（） A.164B.332C.532D.1564【答案】C 【解析】【分析】根据题意只需前5场甲赢3场，再利用独立事件的乘法公式求解．【详解】根据题意，甲运动员前5场内需要赢3场，第6场甲胜，则甲以4比2获胜的概率为33251115C ()()22232⋅⋅⨯=．故选：C ．5. 常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为T （单位：天）．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为12,T T ．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的14，则12,T T 满足的关系式为（）A. 125125122T T -+= B. 125125122T T += C. 22125125122log log T T -+= D. 22125125122log log T T += 【答案】B 【解析】【分析】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，可得512天后甲，乙的质量，根据题意列出等式即可得答案．【详解】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，则512天后，甲的质量为：15121()2T ，乙的质量为：25121()2T ，由题意可得21151251251221111()()()2422T T T +=⋅=，所以125125122T T +=．故选：B ．6. 已知函数()22,113,1x x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩，若关于x 的方程()()10f x f a --=至少有两个不同的实数根，则a 的取值范围是（） A. (]),4-∞-+∞ B. []1,1-C. (-D. ⎡-⎣【答案】D 【解析】【分析】作出函数的图象，由题意可得()y f x =的图象与(1)y f a =-至少有两个不同的交点，从而得1(1)1f a -≤-≤，结合图象可得115a -≤-≤，求解即可．【详解】因为222,12,1()2,131|3,14,3x x x x x x f x x x x x x x ⎧-≤⎧-≤⎪⎪==-<<⎨⎨--⎪⎩⎪-+≥⎩，作出函数的图象，如图所示：由此可知函数()y f x =在(,1)-∞和(3,)+∞上单调递减，在(1,3)上单调递增，且()1f 1=-，()3f 1=，又因为关于x 的方程()(1)0f x f a --=至少有两个不同的实数根，所以()(1)f x f a =-至少有两个不同的实数根，即()y f x =的图象与(1)y f a =-至少有两个不同的交点，所以1(1)1f a -≤-≤，又因为当1x ≤时，2()2f x x x =-，令221x x -=，可得1x = 当3x ≥时，()4f x x =-，令41x -=-，解得5x =，又因为1(1)1f a -≤-≤，所以115a -≤-≤，解得4a -≤≤故选:D ．7. 记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知1112,1tan tan tan tan c A B A B=++=．则ABC 面积的最大值为（）A. 1B. 1C.D.【答案】A 【解析】分析】由题意及正切与正弦与余弦的关系，两角和的正弦公式及余弦公式可得角C 的大小，再由余弦定理及基本不等式可得ab 的最大值，进而求出该三角形的面积的最大值．【详解】因为1111tan tan tan tan A B A B++=，可得tan tan 1tan tan A B A B ++=，即sin sin sin sin 1cos cos cos cos A B A BA B A B++=，整理可得sin cos cos sin cos cos sin sin A B A B A B A B ++=，即sin()cos()A B A B +=-+，在三角形中sin()sin A B C +=，cos()cos A B C +=-，【即sin cos C C =，()0,πC ∈,可得π4C =；由余弦定理可得222π2cos 24c b a ab ab =+-≥，当且仅当a b =时取等号，而2c =，所以2(2ab ≤=，所以11sin 2(2122ABC S ab C =≤⨯+= ．即该三角形的面积的最大值为1+．故选：A ．8. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线左支上，线段2PF 交y轴于点E ，且23PF PE = ．设O 为坐标原点，点G 满足：213,0PO GO GF PF =⋅=，则双曲线C 的离心率为（）A.B. 1C. 1+D. 2+【答案】D 【解析】【分析】设000(,)(0)P x y x <，根据题设条件得到02c x =-，22074c y =，再利用00(,)P x y 在椭圆上，得到42241240c a c a -+=，即可求出结果.【详解】如图，设000(,)(0)P x y x <，12(,0),(,0)F c F c -，则直线2PF 的方程为00()y y x c x c=--，令0x =，得到00cy y x c -=-，所以0(0,)cy E x c--， 0200000(,),(,)cy PF c x y PE x y x c-=--=--- ，因为23PF PE = ，所以003c x x -=-，得到02cx =-，故0(,)2c P y -，又3PO GO = ，所以0(,)63y c G -，得到02107(,)),(,263cG y c F PF y ==--- ，又210GF PF ⋅= ，所以22070123y c -+=，得到22074c y =①，又因为0(,)2c P y -在双曲线上，所以2202241c y a b -=②，又222b c a =-③，由①②③得到42241240c a c a -+=，所以421240e e -+=，解得26e =+或26e =-，又1e >，所以226(2e =+=+，得到2e =+，故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知圆22:1O x y +=，圆22:()(1)4,R C x a y a -+-=∈，则（）A. 两圆的圆心距OC 的最小值为1B. 若圆O 与圆C 相切，则a =±C. 若圆O 与圆C 恰有两条公切线，则a -<<D. 若圆O 与圆C 相交，则公共弦长的最大值为2【答案】AD【解析】【分析】根据两点的距离公式，算出两圆的圆心距1d ≥，从而判断出A 项的正误；根据两圆相切、相交的性质，列式算出a 的取值范围，判断出B,C 两项的正误；当圆O 的圆心在两圆的公共弦上时，公共弦长有最大值，从而判断出D 项的正误．【详解】根据题意，可得圆22:1O x y +=的圆心为(0,0)O ，半径1r =，圆22:()(1)4C x a y -+-=的圆心为(,1)C a ，半径2R =．对于A ，因为两圆的圆心距1d OC ==≥，所以A 项正确；对于B ，两圆内切时，圆心距||1d OC R r ==-=1=，解得0a =．两圆外切时，圆心距||3d OC R r ==+=3=，解得a =±．综上所述，若两圆相切，则0a =或a =±，故B 项不正确；对于C ，若圆O 与圆C 恰有两条公切线，则两圆相交，||(,)d OC R r R r =∈-+，(1,3)，可得13<<，解得a -<<且0a ≠，故C 项不正确；对于D ，若圆O 与圆C 相交，则当圆22:1O x y +=的圆心O 在公共弦上时，公共弦长等于22r =，达到最大值，因此，两圆相交时，公共弦长的最大值为2，故D 项正确．故选：AD ．10. 已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则（）A. 11n n S S qS +=+B. 对任意*232,,,n n n n n n S S S S S ∈--N 成等比数列C. 对任意*n ∈N ，都存在q ，使得23,2,3n n n S S S 成等差数列D. 若10a <，则数列{}21n S -递增的充要条件是10q -<<【答案】ACD【解析】【分析】对于A ：分1q =，1q ≠两种情况计算可判断A ；对于B ： 1q =-可说明不成立判断B ；，分1q =，1q ≠两种情况计算可判断C ；根据2121211(1)n n n S S a q q -+--=+，若21{}n S -是递增数列，可求q 判断D.【详解】对于A ：当1q =时，11(1)n S n a +=+，1111(1)n S qS a na n a +=+=+，故成立，当1q ≠时，1111)1n n a q S q ++-=-（，11111(1)(1)11n n n a q a q S qS a q q q+--+=+⨯=--，所以11+=+n n S a qS 成立，故A 正确；对于B ：当1q =-时，20S =，所以232,,n n n n n S S S S S --不成等比数列，故B 错误；对于C ：当1q =时，12131,24,39n n n S na S na S na ===，故23,2,3n n n S S S 不成等差数列，当1q ≠时，若存在q ，使23,2,3n n n S S S 成等差数列，则23223n n n S S S ⨯=+，则23111(1)(1)(1)43111n n n a q a q a q q q q---⨯=+⨯---，整理得24(1)13(1)n n n q q q +=+++，所以230n n q q -=，所以13n q =，所以对任意*N n ∈，都存在q ，使得23,2,3n n n S S S 成等差数列，故C 正确；对于D ：2121212211(1)n n n n n S S a a a q q-+-+-=+=+，若21{}n S -是递增数列，则可得211(1)0n a q q -+>，因10a <，所以21(1)0n q q -+<，可解得10q -<<，所以若10a <，则数列21{}n S -递增的充要条件是10q -<<，故D 正确.故选：ACD.11. 已知函数()ππsin sin sin 66f x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，则（） A. 函数()f x 在π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 B. 函数5π1122y f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为奇函数 C. 当ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()41y f x =+恰有两个零点 D. 设数列{}n a 是首项为π6，公差为π6的等差数列，则()2024120272i i f a ===-∑ 【答案】BCD【解析】【分析】利用三角恒等变换化简()f x ，再利用正弦函数单调性奇偶性判断ABC ，利用裂项相消及累加求和判断D.【详解】易知7πππ1sin sin 12342⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，为同理π7πsin cos 1212==， ()ππsin sin sin 66f x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭11cos 22x x =--7π1122x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 对A, π7π13π19π,π,,,2121212x x ⎡⎤⎡⎤∈+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()f x 先减后增，故A 错误；对B, 5π1122y f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭x =为奇函数，故B 正确；对C, ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,7ππ13π,,121212t x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦则sin t ππ,122⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在π13π,212⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，即()f x 在ππ,212⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递增，在ππ,122⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，又π12f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭14>-，ππ111212224f ⎛⎫-=-=-=<- ⎪⎝⎭，故函数()41y f x =+恰有两个零点，故C 正确；对D ,易知π6n n a =，令()πsin sin 6g x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则()()12f x g x =-， ()1ππsinsin 36g a =-， ()2ππsin sin 23g a =-, …………………….. ()20242024ππ2023ππsin sin 6666g a ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 则()202412024ππππ13sin sin sin 337π666222i i g a =⎛⎫⎛⎫=+-=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑，在故()()202420241112027202422i i i i f a g a ====-⨯=-∑∑，故D 正确. 故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的性质及数列求和应用，关键是利用利用裂项相消及累加求和判断D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在6x ⎛- ⎝的展开式中，3x 的系数为_________．【答案】15【解析】【分析】利用6x ⎛- ⎝的通项公式36216(1)C (06,N)r r r r T x r r -+=-≤≤∈，即可求出结果.【详解】因为6x ⎛- ⎝的展开式的通项公为3662166C ((1)C (06,N)r r r r r r r T x x r r --+==-≤≤∈，由3632r -=，得到2r =，所以3x 的系数为226(1)C 15-=，故答案为：15.13. 抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为,l A 为C 上一点，以点F 为圆心，以AF 为半径的圆与l 交于点,B D ，与x 轴交于点,M N ，若AB FM = ，则AM = _________．【答案】【解析】【分析】首先得到抛物线的焦点坐标与准线方程，设准线与x 轴交于点E ，根据圆的性质及抛物线的定义可得ABF △为等边三角形，即可求出BF ，再在AFM △中利用余弦定理计算可得.【详解】抛物线2:4C y x =的焦点为()1,0F ，准线l ：=1x -，设准线与x 轴交于点E ，则()1,0E -，依题意B 、D 均在y 轴的左侧，又AB FM = ，所以M 也在y 轴的左侧且B 点在x 轴上方，又AD 为圆F 的直径，所以π2ABD ∠=，即AB BD ⊥，由抛物线的定义可知AB AF =，又BF AF =，所以ABF △为等边三角形，所以π3BAF AFB ∠=∠=，则π3BFM AFN ∠=∠=，所以4cos EFBF BFM ==∠，所以4BF AF MF ===，2π3AFM ∠=，在AFM △中AM ===故答案为：14. 已知实数,,x y z ，满足20y z +-=，则+++_________．【答案】+【解析】【分析】建立空间直角坐标系，将所求转化为距离和的最小值，利用几何关系求得最值.【详解】如图，设正方体的边长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，设(),,P x y z 为空间任意一点，因为20y z +-=，则P 在平面11ABC D 所在的平面内运动，表示P 与点()10,0,0A 和点()12,0,0B 的距离之和，因为1A 关于平面11ABC D 的对称点为D ，故111PA PB DB +≥=，当且仅当P 为1DB 中点即P 为正方体中心时等号成立；+表示P 与点()1,0,2M 和点()1,2,0N 的距离之和，则PM PN MN +≥=，当且仅当P 在MN 所在直线上时等号成立，+++的最小值为+，当且仅当P 为正方体中心时等号成立故答案为：+【点睛】关键点点睛：本题考查空间中距离最值问题，关键是利用空间坐标系将所求转化为距离和，并注意等号成立条件.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60,BAD M ∠=︒是侧棱PC 的中点，侧面PAD 为正三角形，侧面PAD ⊥底面ABCD ．（1）求三棱锥M ABC -的体积；（2）求AM 与平面PBC 所成角的正弦值．【答案】（1）12（2．【解析】【分析】（1）作出辅助线，得到线线垂直，进而得到线面垂直，由中位线得到M 到平面ABCD 的距离为（2）证明出BO AD ⊥，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而由法向量的夹角余弦值的绝对值求出线面角的正弦值.【小问1详解】如图所示，取AD 的中点O ，连接PO ．因为PAD 是正三角形，所以PO AD ⊥．又因为平面PAD ⊥底面,ABCD PO ⊂平面PAD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，所以PO ⊥平面ABCD ，且PO =．又因为M 是PC 的中点，M 到平面ABCD 12π22sin 23ABC S =⨯⨯⨯=△，所以三棱锥M ABC -的体积为1132=．【小问2详解】连接,BO BD ，因为π3BAD ∠=，所以ABD △为等边三角形，所以BO AD ⊥，以O 为原点，,,OA OB OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(()()(),1,0,0,,P A B C -，所以((),,,2,0,0M AM PB BC ⎛⎛-=-==- ⎝⎝ ．设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =，则00PB n BC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x =-=⎪⎩，解得0x =，取1z =，则1y =，所以()0,1,1n = ．设AM 与平面PBC 所成角为θ，则sin cos AM θ=．即AM 与平面PBC ． 16. 已知椭圆2222:1(0)x y Ca b a b+=>>的右焦点为F ，左顶点为A ，短轴长为，且经过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 的直线l （不与x 轴重合）与C 交于,P Q 两点，直线,AP AQ 与直线4x =的交点分别为,M N ，记直线,MF NF 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k ⋅为定值．【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题意得b =，将点3(1,)2代入椭圆的方程可求得2a 的值，进而可得椭圆的方程；（2）设:1l x ty =+，1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，联立直线l 和椭圆的方程，可得122634t y y t +=-+，122934y y t =-+，直线PA 的方程为11(2)2y y x x =++，令4x =，得116(4,)2y M x +，同理226(4,)2y N x +，由斜率公式计算即可．【小问1详解】因为2b =，所以b =，再将点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入22213x y a +=得21314a +=，解得24a =，故椭圆C 的方程为22143x y +=；【小问2详解】由题意可设()()1122:1,,,,l x ty P x y Q x y =+，由221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()2234690t y ty ++-=，易知0∆>恒成立，所以12122269,3434t y y y y t t +=-=-++，又因为()2,0A -，所以直线PA 的方程为()1122y y x x =++，令4x =，则1162=+y y x ，故1164,2y M x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，同理2264,2y N x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，从而()()111212126266,413333y x y y k k ty ty +===-++，故()()()212121222212121222363643419189333993434y y y y t k k t t ty ty t y y t y y t t -+====-+++++--+++为定值．17. 树人中学高三（1）班某次数学质量检测（满分150分）的统计数据如下表：性别参加考试人数平均成绩标准差男 30 100 16 女209019在按比例分配分层随机抽样中，已知总体划分为2层，把第一层样本记为123,,,,n x x x x ，其平均数记为x ，方差记为21s ；把第二层样本记为123,,,,m y y y y ，其平均数记为y ，方差记为22s ；把总样本数据的平均数记为z ，方差记为2s ．（1）证明：()(){}22222121x s n s z m y m n z s ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+；（2）求该班参加考试学生成绩的平均数和标准差（精确到1）；（3）假设全年级学生的考试成绩服从正态分布()2,N μσ，以该班参加考试学生成绩的平均数和标准差分别作为μ和σ的估计值．如果按照16%,34%,34%,16%的比例将考试成绩从高分到低分依次划分为,,,A B C D 四个等级，试确定各等级的分数线（精确到1）．附：()19P X μσμσ-≤≤+≈≈≈≈．【答案】（1）证明见解析；（2）平均数为96分，标准差为18分；（3）将114X ≥定为A 等级，96114X ≤<定为B 等级，7896X ≤<定为C 等级，78X <定为D 等级．【解析】【分析】（1）利用平均数及方差公式即可求解；（2）利用平均数及方差公式，结合标准差公式即可求解；（3）根据（2）的结论及正态分布的特点即可求解. 【小问1详解】()()222111n mi i i i s x z y z m n ==⎡⎤=-+-⎢⎥+⎣⎦∑∑()()22111n mi i i i x x x z y y y z m n ==⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥+⎣⎦∑∑ ()()()()2222111()2()()2()n mi i i ii i x x x z x x x z y y y z y y y z m n ==⎧⎫⎡⎤⎡⎤=-+-+--+-+-+--⎨⎬⎣⎦⎣⎦+⎩⎭∑∑ ()()()123112(2(2()0n ni i n i i x x x z x z x x x z x x x x nx ==--=--=-++++-=⎡⎤⎣⎦∑∑ ，同理()12(0nii yy y z =--=⎡⎤⎣⎦∑．所以{}222221()(x y s n s x z m s y z m n ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎣⎦⎣⎦+. 小问2详解】将该班参加考试学生成绩的平均数记为z ，方差记为2s ，则()13010020909650z =⨯+⨯=，所以{}222130256(10096)20361(9096)32250s ⎡⎤⎡⎤=+-++-=⎣⎦⎣⎦18≈，所以18s ≈．即该班参加考试学生成绩的平均数为96分，标准差约为18分．【小问3详解】由（2）知96,18μσ==，所以全年级学生的考试成绩X 服从正态分布()296,18N ，所以()()961896180.68,960.5P X P X -≤≤+≈≥=．()(7896)(96114)0.34,114(78)0.16P X P X P X P X ≤<=≤<≈≥=<≈．故可将114X ≥定为A 等级，96114X ≤<定为B 等级，7896X ≤<定为C 等级，78X <定为D 等级．18. 已知曲线():e e xxC f x x =-在点()()1,1A f 处的切线为l ．（1）求直线l 的方程；（2）证明：除点A 外，曲线C 在直线l 下方；（3）设()()1212,f x f x t x x ==≠，求证：1221etx x t +<--．【答案】（1）e e y x =-+；【的（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）求导，得到()()10,1e f f '==-，利用导数的几何意义写出切线方程；（2）令()e e e e xxg x x x =-+-+，二次求导得到函数单调性，结合特殊点函数值，得到所以()()10g x g ≥=，当且仅当1x =等号成立，得到证明；（3）求导得到()f x 的单调性，结合函数图象得到01t <<，不妨令120,01x x <<<，结合曲线C 在()1,0点的切线方程为()e e x x ϕ=-+，得到231etx x <=-+，转化为证明122x t <-，又111e e x x t x =-，只要证11112e 2e 2x xx x <--，令()2e 2e 2,0xxF x x x x =---<，求导得到函数单调性，结合特殊点函数值得到答案. 【小问1详解】因为()e e xxf x x =-，所以()()()10,e ,1e xf f x x f =-''==-，所以直线l 的方程为：()e 1y x =--，即e e y x =-+ 【小问2详解】令()e e e e xxg x x x =-+-+，则()e e e e e e xxxxg x x x =--++=-+'，令()()h x g x ='，则()()1e xh x x +'=，由()0h x '>，解得1x >-，由()0h x '<，解得1x <-，所以()h x 在(),1∞--上单调递减，在()1,∞-+上单调递增，当x →-∞时，()()e,10h x h →-=，所以()g x 在(),1∞-上单调递减，在()1,∞+上单调递增，所以()()10g x g ≥=，当且仅当1x =等号成立，所以除切点()1,0之外，曲线C 在直线l 的下方．【小问3详解】由()e 0xf x x '=->，解得()0,e 0xx f x x <=-<'，解得0x >，所以()f x 在(),0∞-上单调递增，在()0,∞+上单调递减，()()max ()01,10f x f f ===，当x →-∞时，()0f x →．因为()()1212,f x f x t x x ==≠，则01t <<，不妨令120,01x x <<<．因为曲线C 在()1,0点的切线方程为()e e x x ϕ=-+，设点()3,x t 在切线上，有()3e 1t x =--，故31etx =-+，由（1）知()0,1x ∈时，()()x f x ϕ>，则()()()223x f x t x ϕϕ>==，即231etx x <=-+，要证：1221etx x t +<--，只要证：121121e et tx x x t +<+-<--，只要证：122x t <-，又111e e xxt x =-，只要证：11112e 2e 2x xx x <--，令()2e 2e 2,0xxF x x x x =---<，则()2e 1xF x x '=--，易证()F x '在(),1∞--上单调递增，在()1,0-上单调递减，所以()()2110eF x F ≤-=-'<'，所以()F x 在(),0∞-上单调递减，所以()()00F x F >=成立，所以原命题成立．【点睛】关键点点睛：本题关键是利用函数在零点处的切线方程，得到31e t x =-+，且231etx x <=-+，从而只需证明122x t <-，再勾股函数进行求解.19. 在数学中，广义距离是泛函分析中最基本的概念之一．对平面直角坐标系中两个点()111,P x y 和()222,P x y ，记1212121212max ,11tx x y y PP x x y y ⎧⎫--⎪⎪=⎨⎬+-+-⎪⎪⎩⎭，称12t PP 为点1P 与点2P 之间的“t -距离”，其中{}max ,p q 表示,p q 中较大者．（1）计算点()1,2P 和点()2,4Q 之间的“t -距离”；（2）设()000,P x y 是平面中一定点，0r >．我们把平面上到点0P 的“t -距离”为r 的所有点构成的集合叫做以点0P 为圆心，以r 为半径的“t -圆”．求以原点O 为圆心，以12为半径的“t -圆”的面积；（3）证明：对任意点()()()111222333131223,,,,,,t t t P x y P x y P x y PP PP P P ≤+．【答案】（1）23；（2）4；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据所给定义直接计算即可；（2）依题意可得1max ,112x y x y ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬++⎪⎪⎩⎭，再分类讨论，从而确定“t -圆”的图形，即可求出其面积；（3）首先利用导数说明函数()()01tf t t t=≥+的单调性，结合绝对值三角不等式证明即可. 【小问1详解】由定义知，1224122||max ,max ,112124233tPQ ⎧⎫--⎪⎪⎧⎫===⎨⎬⎨⎬+-+-⎩⎭⎪⎪⎩⎭；【小问2详解】设(),P x y 是以原点O 为圆心，以12为半径的t -圆上任一点，则1max ,112xy x y ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬++⎪⎪⎩⎭．若1112y x yx≤=++，则11x y ⎧=⎪⎨≤⎪⎩；若1112x y xy≤=++，则有11y x ⎧=⎪⎨≤⎪⎩．由此可知，以原点O 为圆心，以12为半径的“t -圆”的图形如下所示：则“t -圆”的面积为224⨯=.【小问3详解】考虑函数()()01tf t t t=≥+．因为()210(1)f t t ='>+，所以()f t 在[)0,∞+上单调递增．又131223x x x x x x -≤-+-，于是1312231223131223122312231111x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x --+---≤=++-+-+-+-+-+-+-1223122311x x x x x x x x --≤++-+-，同理，131223131223111y y y y y y y y y y y y ---≤++-+-+-．不妨设1313131311y y x x y y x x --≤+-+-，则13122313131223111t x x x x x x PP x x x x x x ---=≤++-+-+-1212232312122323max ,max ,1111x x y y x x y y x x y y x x y y ⎧⎫⎧⎫----⎪⎪⎪⎪≤+⎨⎬⎨⎬+-+-+-+-⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭1223t t PP P P =+.【点睛】关键点点睛：本题关键是理解“t -距离”的定义，再结合不等式及导数的知识解答.。

安徽省芜湖市2024届高三第二次模拟考试数学试题含答案

安徽2024届第二次模拟考试高三年级数学学科试题（答案在最后）考生须知：1．本卷共5页满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．4．考试结束后，只需上交答题纸．选择题部分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知A ，B 是全集U 的非空子集，且U A B⊆ð，则（）A.B A ⊆B.U B A ⊆ðC.U UA B ⊆痧 D.A B⊆【答案】B 【解析】【分析】根据Venn 图，结合子集和集合间的运算理解判断.【详解】由题意知U A B ⊆ð，从而可得Venn 图如下图，对A 、D ：由Venn 图，可得B A ⋂=∅，故A 、D 错误；对B ：因为B A ⋂=∅，U B A ⊆ð正确，故B 正确；对C ：因为B A ⋂=∅，则U UA B ⊆痧错误，故C 错误；故选：B.2.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图象特征．则函数22()1xf x x =-+的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用排除法，根据函数奇偶性和函数值的符号性分析判断.【详解】由题意可知：()f x的定义域为R，关于原点对称，且()2222()()11x xf x f xxx--=-==-+-+，可知()f x为奇函数，排除AB，且()110f=-<，排除D.故选：C.3.已知复数()i,z a b a b=+∈R且()242i4i0x x a-+++=有实数根b，则2z=（）A. B.12 C. D.20【答案】D【解析】【分析】根据题意可求得()2442i0b b b a-+++=，从而得()24402i0b bb a⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，求解得42iz=-+，从而可求解.【详解】由题意知b为()242i4i0x x a-+++=的实数根，则()242i4i0b b a-+++=，即()2442i0b b a b-++-=，则()24402i0b ba b⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，解得24ba=⎧⎨=⎩，所以42iz=+，所以2224220z=+=，故D正确.故选：D.4.已知等边ABC的边长为2，点D、E分别为,AB BC的中点，若2DE EF=，则EF AF⋅=（）A.1B.45C.65D.54【答案】A 【解析】【分析】取AC AB 、为基底，利用平面向量基本定理表示出,EF AF ，进行数量积运算即可.【详解】在ABC 中，取,AC AB为基底，则2,,60AC AB AC AB ===︒ .因为点D 、E 分别为,AB BC 的中点，1124DE AC EF == ，()11132424AF AE EF AB AC AC AB AC =+=++=+ ，211313424816EF AF AC AB AC AC AB AC⎛⎫⋅=⋅+=⋅+ ⎪⎝⎭ 1322cos 6041816=⨯⨯⨯+⨯= 故选：A5.已知1F ，2F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线上存在点P 满足2212PF PF a ⋅=- ，则双曲线离心率的最小值为（）A.B.C.2D.【答案】D 【解析】【分析】设P 的坐标，代入双曲线的方程，利用数量积的坐标表示，结合双曲线离心率的计算公式求解即得.【详解】设00(,)P x y ，双曲线的半焦距为c ，则有0||x a ≥，2200221x y a b-=，12(,0),(,0)F c F c -，于是200100(,),(,)PF c x y PF c x y =--=---，因此22222222222222220210000222(1)x c c PF PF x c y x b c x b c a b c b a a a ⋅=-+=+--=⋅--≥⋅--=- ，当且仅当0||x a =时取等号，则222a b -≥-，即222b a ≥，离心率c e a ==≥，故选：D6.在数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，首项11a =，且函数()()31sin 211n n f x x a x a x +=-+++的导函数有唯一零点，则5S =（）A.26 B.63C.57D.25【答案】C 【解析】【分析】计算()f x '，分析()f x '的奇偶性，可判断零点取值，代入计算可得{}n a 的递推关系，求出前5项，计算求和即可.【详解】因为()()31sin 211n n f x x a x a x +=-+++，所以()()213cos 21n n f x x a x a +'=-++，由题意可知：()0f x '=有唯一零点.令()()()213cos 21n n g x f x x a x a +'==-++，可知()g x 为偶函数且有唯一零点，则此零点只能为0，即()00g =，代入化简可得：121n n a a +=+，又11a =，所以23a =，37a =，415a =，531a =，所以557S =.故选：C7.已知函数()f x 的定义域为R ，且()22f x +-为奇函数，()31f x +为偶函数，()10f =，则()20241k f k =∑=（）A.4036B.4040C.4044D.4048【答案】D 【解析】【分析】根据题中()22f x +-为奇函数，()31f x +为偶函数，从而可得出()f x 为周期为4的函数，从而可求解.【详解】由题意得()22f x +-为奇函数，所以()()22220f x f x +-+-+-=，即()()224f x f x ++-+=，所以函数()f x 关于点()2,2中心对称，由()31f x +为偶函数，所以可得()1f x +为偶函数，则()()11f x f x +=-+，所以函数()f x 关于直线1x =对称，所以()()()22f x f x f x +=-=--+，从而得()()4f x f x =+，所以函数()f x 为周期为4的函数，因为()10f =，所以()()134f f +=，则()34f =，因为()f x 关于直线1x =对称，所以()()314f f =-=，又因为()f x 关于点()2,2对称，所以()22f =，又因为()()()420f f f =-=-，又因为()()()22422f f f -=-+==，所以()()()()12348f f f f +++=，所以()()()()()202412024123440484k f k f f f f =⎡⎤=⨯+++=⎣⎦∑，故D 正确.故选：D.8.已知直线l ：()2200Ax By C A B ++=+≠与曲线W ：3y x x =-有三个交点D 、E 、F ，且2DE EF ==，则以下能作为直线l 的方向向量的坐标是（）．A.()0,1 B.()1,1- C.()1,1 D.()1,0【答案】C 【解析】【分析】由函数3y x x =-的性质可得曲线W 的对称中心(0,0)，即得(0,0)E ，再根据给定长度求出点D 的坐标即得.【详解】显然函数3()f x x x =-的定义域为R ，3()()()()f x x x f x -=---=-，即函数()f x 是奇函数，因此曲线W 的对称中心为(0,0)，由直线l 与曲线W 的三个交点,,D E F 满足2DE EF ==，得(0,0)E ，设3(,)D x x x -，则232()4x x x +-=，令2x t =，则有322240t t t -+-=，即2(2)(2)0t t +-=，解得2t =，即x =，因此点D或(D，ED =或(ED =，选项中只有坐标为(1,1)的向量与ED共线，能作为直线l 的方向向量的坐标是(1,1).故选：C【点睛】关键点点睛：本题的关键首先是得到曲线对称中心为(0,0)，从而得到(0,0)E ，然后再去设点D 坐标，根据2DE =，得到高次方程，利用换元法结合因式分解解出D 的坐标即可.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知由样本数据(),i i x y （i =1，2，3，…，10）组成的一个样本，得到回归直线方程为ˆ3y x =-+，且4x =．剔除一个偏离直线较大的异常点()5,1--后，得到新的回归直线经过点()6,4-．则下列说法正确的是A.相关变量x ，y 具有正相关关系B.剔除该异常点后，样本相关系数的绝对值变大C.剔除该异常点后的回归直线方程经过点()5,1-D.剔除该异常点后，随x 值增加相关变量y 值减小速度变小【答案】BC 【解析】【分析】根据给定条件，求出新样本的中心点，进而求出新回归直线的斜率，再逐项判断即得.【详解】依题意，原样本中，431y =-+=-，剔除一个偏离直线较大的异常点(5,1)--后，新样本中，410(5)110(1)5,199x y ⨯---⨯--''====-，因此剔除该异常点后的回归直线方程经过点(5,1)-，C 正确；由新的回归直线经过点(6,4)-，得新的回归直线斜率为4(1)365---=--，因此相关变量x ，y 具有负相关关系，A 错误；又|3|1->，则剔除该异常点后，随x 值增加相关变量y 值减小速度变大，D 错误；由剔除的是偏离直线较大的异常点，得剔除该点后，新样本数据的线性相关程度变强，即样本相关系数的绝对值变大，B 正确.故选：BC10.在平面直角坐标系xOy 中，角θ以坐标原点O 为顶点，以x 轴的非负半轴为始边，其终边经过点(),M a b ，()0OM m m =≠，定义()b a f m θ+=，()b ag mθ-=，则（）A.ππ166f g ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B.()()20ff θθ+≥C.若()()2f g θθ=，则3sin 25θ=D.()()fg θθ是周期函数【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意分别求出cos a m θ=，sin b m θ=，则()π4f θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()π4g θθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，从而可对A 判断求解，利用换元法令πsin cos 4t θθθ⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭可对B 判断求解，由()()tan 12tan 1f g θθθθ+==-求出tan 3θ=，并结合22tan sin 2tan 1θθθ==+从而可对C 判断求解，由()()cos 2f g θθθ=-可对D 判断求解.【详解】由题意得(),M a b 在角θ的终边上，且OM m =，所以cos a m θ=，sin bmθ=，则()πsin cos 4b a f m θθθθ+⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭，()πsin cos 4b a g m θθθθ-⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭，对A ：ππππππsin cos sin cos 1666666f g ⎛⎫⎛⎫+=++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确；对B ：()()()22sin cos sin cos f f θθθθθθ+=+++，令πsin cos 4t θθθ⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭，所以()()222111244f f t t t θθ⎛⎫+=+=+-≥- ⎪⎝⎭，故B 错误；对C ：()()sin cos tan 12sin cos tan 1f g θθθθθθθθ++===--，解得tan 3θ=，又由22222sin cos 2tan 233sin 22sin cos sin cos tan 1315θθθθθθθθθ⨯=====+++，故C 正确；对D ：()()()()22sin cos sin cos sin cos cos 2fg θθθθθθθθθ=+-=-=-，因为cos 2y θ=为周期函数，故D 正确.故选：ACD.11.如图，多面体PS ABCD -由正四棱锥P ABCD -和正四面体S PBC -组合而成，其中1PS =，则下列关于该几何体叙述正确的是（）A.该几何体的体积为24B.该几何体为七面体C.二面角A PB C --的余弦值为13- D.该几何体为三棱柱【答案】ACD 【解析】【分析】选项A 可以分别求正四棱锥P ABCD -和正四面体S PBC -的体积即可；选项C 先确定二面角A PB C --的平面角为AFC ∠，在三角形中利用余弦定理可得；选项D 先根据二面角A PB C --与二面角--S PB C 的关系确定,,,P A B S 四点共面，再证得平面//SCB 平面PAD ，三个侧面都是平行四边形即可；选项B 根据选项D 三棱柱有5个面，可判断错误.【详解】如图：在正四面体中S PBC -中，G 为PB 的中点，连接CG ，连接SG 作SO CG ⊥于O ，则O 为PBC 的中心，SO 为正四面体中S PBC -的高，因1PS =，32CG =，23=33CO CG =，2263SO SC CO =-=，1111362=132322312S PBC V PB CG SO -⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=，在正四面体中S PBC -中，G 为PB 的中点，所以SG PB ⊥，CG PB ⊥，故CGS ∠为二面角--S PB C 的一个平面角，1131332cos 33322GC GO CGS SG SB ⨯∠====如图：在正四棱锥P ABCD -中，由题意1PC CB ==，连接AC ，BD 交于点E ，连接PE ，则PE 为正四棱锥P ABCD -的高，22==22CE CB ，222222=122PE PC CE ⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭，1122=113326P ABCD V CD BC PE -⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=，该几何体的体积为222===1264B PS A S BCD P ABCD PC V V V ---++，故A 正确，取PB 的中点F ，连接AF ，CF ，由题意正四棱锥P ABCD -的棱长都为1，所以⊥AF PB ，CF PB ⊥，故AFC ∠即为二面角A PB C --的一个平面角，其中33=22AF CF BC ==，22AC BC ==，在AFC △中，222222332221cos =2333222AF CF AC AFC AF CF ⎛⎫⎛+- ⎪ +-⎝⎭⎝⎭∠=-⋅⨯⨯，故C 正确，因1cos cos 3CGS AFC ∠==-∠，可知二面角--S PB C 与二面角A PB C --所成角互补，故平面PBS 与PBA 为同一平面，同理，平面PDC 和平面PDS 也为同一平面，故该几何体有5个面，B 错误，因,,,P A B S 四点共面，且PDC △和PCS 都为等边三角形，易知//SC PD ，且SC PD =，故侧面PDCS 为平行四边形，又PD ⊂平面PAD ,SC ⊄平面PAD ，所以//SC 平面PAD ，同理//SB 平面PAD ，且侧面PABS 为平行四边形，又SC SB S = ，SC ⊂平面SCB ，SB ⊂平面SCB ，所以平面//SCB 平面PAD ，又侧面ABCD 为正方形，故多面体PS ABCD -即为三棱柱ADP BCS -，故D 正确，故选：ACD非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.从某工厂生产的零件中随机抽取11个，其尺寸值为43，45，45，45，49，50，50，51，51，53，57（单位：mm ），现从这11个零件中任取3个，则3个零件的尺寸刚好为这11个零件尺寸的平均数、第六十百分位数、众数的概率为______．【答案】255【解析】【分析】分别求出11个零件的平均数49、第六十百分位数50，众数45，然后分别求出取出3个零件有165种，3个零件符合平均数、第六十百分位数、众数有6种情况，再利用古典概率从而可求解.【详解】由题意知11个零件的平均数为43454545495050515153574911++++++++++=，第六十百分位数的位置为1160% 6.6⨯=，即取第7位数50，故第六十百分位数为50，由题可知众数为45，所以当从11中取出3个零件共有311C 165=种情况，则3个数分别为平均数49、第六十百分位数50，众数45共有111123C C C 6=种情况，所以其概率为6216555=，故答案为：255.13.已知偶函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>的图像关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，且在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调，则ω=______．【答案】32##1.5【解析】【分析】根据题意ππ2k ϕ=+，再由对称中心求出33,Z 2k k ω=+∈，最后根据函数单调性确定ω.【详解】因为偶函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>，所以ππ2k ϕ=+，Z k ∈，即()cos f x x ω=或()cos f x x ω=-，又()()()sin 0f x x ωϕω=+>的图像关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，所以πcos03ω=，即πππ,Z 32k k ω=+∈，所以33,Z 2k k ω=+∈，因为π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦函数单调，所以ππ042x ωω≤≤≤，即02ω<≤，所以当0k =时，32ω=符合条件.故答案为：3214.若实数x ，y 满足2225x y +=+______【答案】【解析】【分析】利用向量不等式并结合x 的范围求最值.【详解】设()(),,1,1,a x yb ==则a b x y a b ⋅=+≤= 0x y =≥等号成立，又2225x y +=，所以5x ≤，≤=当且仅当5,0x y ==等号成立.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查利用向量不等式求最值，关键是两次运用不等式且保证等号成立.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数()ln ax ax f x x=+-，R a ∈（1）若()f x 在定义域内是减函数，求a 的取值范围；（2）当12a <时，求()f x 的极值点．【答案】（1）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）先由()f x 在定义域内是减函数得出对于()0,x ∀∈+∞，()0f x '≤恒成立，进而分离参数将问题转化为函数的最值；再利用基本不等式得出12x x+≥，11012x x<≤+即可解答.（2）分0a ≤和102a <<两种情况讨论，在每一种情况中借助导数判断函数()f x 的单调性即可求解.【小问1详解】由()ln a x ax f x x =+-可得：函数定义域为()0,∞+，()2221a ax x aa x f x x x --'+=-=-.因为()f x 在定义域内是减函数，所以对于()0,x ∀∈+∞，()0f x '≤恒成立，即对于()0,x ∀∈+∞，20ax x a -+≥恒成立.则对()0,x ∀∈+∞，11a x x≥+恒成立.因为0x >，所以12x x +≥，当且仅当1x =时等号成立，则11012x x <≤+，所以12a ≥故a 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【小问2详解】因为()2221a ax x aa x f x x x--'+=-=-，()0,x ∈+∞，所以当0a ≤时，()0f x ¢>，则函数()ln ax ax f x x=+-在()0,∞+上单调递增，此时()f x 无极值点；当102a <<时，方程20ax x a -+=的判别式()()21412120a a a ∆=-=-+>，方程两根为1102a x a =>，2102a x a=>.令()0f x ¢>，解得11411422x aa-+<<；令()0f x '<，解得12x a <或12x a>，则函数()f x 在10,2a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在11,22a a ⎛⎫-+⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，所以函数()f x 的极小值点为12a ，极大值点为12a+.综上可得：当0a ≤时，()f x 无极值点；当102a <<时，函数()f x 的极小值点为12a ，极大值点为12a+.16.据新华社北京2月26日报道，中国航天全年预计实施100次左右发射任务，有望创造新的纪录，我国首个商业航天发射场将迎来首次发射任务，多个卫星星座将加速组网建设；中国航天科技集团有限公司计划安排近70次宇航发射任务，发射290余个航天器，实施一系列重大工程任务.由于航天行业拥有广阔的发展前景，有越来越多的公司开始从事航天研究，某航天公司研发了一种火箭推进器，为测试其性能，对推进器飞行距离与损坏零件数进行了统计，数据如下：飞行距离x （kkm ）5663717990102110117损坏零件数y （个）617390105119136149163参考数据：86x =，112y =，8182743iii x y==∑，82162680i i x ==∑（1）建立y 关于x 的回归模型ˆˆˆy bx a =+，根据所给数据及回归模型，求y 关于x 的回归方程（ˆb精确到0.1，ˆa精确到1）；（2）该公司进行了第二项测试，从所有同型号推进器中随机抽取100台进行等距离飞行测试，对其中60台进行飞行前保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的推进器占比30%，请根据统计数据完成2×2列联表，并根据小概率值0.01α=的独立性检验，能否认为推进器是否报废与保养有关？保养未保养合计报废20未报废合计60100附：回归方程ˆˆˆy bx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121ˆniii ni i x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆa y bx=-，()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++；()20P K k ≥0.250.10.050.0250.010.0010k 1.3232.7063.8415.0246.63510.828【答案】（1） 1.626ˆyx =-（2）22⨯列联表见解析；是否报废与保养有关，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据题意可求出ˆ 1.6b=，ˆ26a =-，从而可求解.（2）根据题意可将22⨯列联表补充完整，并求得29.375 6.635K =>，从而求解判断是否报废与是否保养有关.【小问1详解】由题意得()()()81182222118827438861121.662680886ˆ8niii ii i ni i ii x x y y x y xy bx x x x ====----⨯⨯===≈-⨯--∑∑∑∑，则112 1.686ˆ26a=-⨯≈-，所以 1.626ˆyx =-.【小问2详解】设零假设为0H ：是否报废与是否保养无关，由题意，报废推进器中保养过的共2030%6⨯=台，未保养的推进器共20614-=台，补充22⨯列联表如下：保养未保养合计报废61420未报废542680合计6040100则()()()()()()22210062614549.375 6.63520406080n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===>++++⨯⨯⨯，根据小概率值0.01α=的独立性检验，我们推断0H 不成立，即认为是否报废与保养有关，此推断的错误概率不大于0.01.17.在三棱锥-P ABC 中，PB⊥平面ABC ，2AB BC BP ===，点E 在平面ABC 内，且满足平面PAE ⊥平面,PBE BA 垂直于BC ．（1）当ππ,83ABE ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦时，求点E 的轨迹长度；（2）当二面角E PA B --的余弦值为3时，求三棱锥E PCB -的体积．【答案】（1）5π12（2）23【解析】【分析】（1）先通过垂直关系得到AE BE ⊥，然后建立空间直角坐标系得到点E 的轨迹，根据角度求轨迹的长；（2）利用向量法求面面角，解方程求出点E 的坐标，进而利用体积公式求解即可.【小问1详解】作BH PE ⊥交PE 于H ，因为平面PAE ⊥平面PBE ，且平面PAE 平面PBE PE =，BH ⊂面PBE ，所以BH ⊥平面PAE ，又因为AE ⊂平面PAE ，所以BHAE ⊥，因为PB ⊥平面ABC ，且AE ⊂平面ABC ，所以PB AE ⊥，因为BHAE ⊥，PB AE ⊥，PB 、BH ⊂平面PBE ，PB BH B = ，所以⊥AE 平面PBE ，又因为BE ⊂平面PBE ，所以AE BE ⊥．分别以直线,,BA BC BP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图，则(0,0,0)B ，(0,0,2)P ，(0,2,0)C ，(2,0,0)A ，设(,,0)E x y ，因为AE BE ⊥，所以0AE BE ⋅=，又(2,,0)AE x y =- ，(,,0)BE x y =，所以(2)0x x y y -⋅+⋅=，即22(1)1x y -+=，设AB 中点为N ，则(1,0)N ，如图：又ππ,83ABE ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦，所以π2π,43ANE ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦，因此，E 的轨迹为圆弧QE ，其长度为2ππ5π13412⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭；【小问2详解】由（1）知，可设(,,0)E x y ，(2,0,2)PA =-，(2,,0)AE x y =- ，设平面PAE 的一个法向量为(,,)n a b c =，则00n PA n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即()22020a c a x by -=⎧⎨-+=⎩，令a y =得(,2,)n y x y =- ．(0,2,0)BC =为平面PAB 的一个法向量，令二面角E PA B --为角θ，22||2|2|3cos 3||||2(2)2n BC n BC x y θ⋅==-+ ，又22(1)1x y -+=，解得2x =，0y =（舍去）或1x =，1y =±，则(1,1,0)E 或(1,1,0)E -，从而可得三棱锥E PCB -的体积11122213323E PCB PCB V S h -==⨯⨯⨯⨯=⋅△．18.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆W ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为e ，已知椭圆长轴长是短轴长的2倍，且椭圆W 过点()1,e ．（1）求椭圆W 的方程；（2）已知平行四边形ABCD 的四个顶点均在W 上，求平行四边形ABCD 的面积S 的最大值．【答案】（1）2214x y +=（2）4【解析】【分析】（1）根据题意可得2222111e a b b+==，从而求出2a =，即可求解.（2）分情况讨论直线AB 斜率存在与不存在的情况，然后与椭圆方程式联立，再结合韦达定理求出相应关系式，并利用基本不等式求出最值，从而可求解.【小问1详解】由题意知2222222222221111e c b c a b a a b a b b++=+===，解得1b =，由长轴长是短轴长的2倍，则2a =，所以椭圆W 的方程为2214x y +=.【小问2详解】当直线AB 斜率存在，这AB 的方程为1y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y 因为AB CD ，故可设CD 方程为2y kx m =+，由12214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22211148440k x km x m +++-=，则()2218210k m ∆=-+>，1122814km x x k +=-+，211224414m x x k-=+，所以AB =，同理CD =，因为AB CD =，所以2212m m =，因为12m m ≠，所以120m m +=，所以222112412·8414k m m S AB d k -++===≤=+，当且仅当221412k m +=时，平行四边形ABCD 取得最大值为4.当直线AB 的斜率不存在时，此时平行四边形ABCD 为矩形，设()11,A x y ，易得114S x y =，又因为22111114x y x y =+≥，所以4S ≤，当且仅当11x y =时取等.综上所述：平行四边形ABCD 的面积S 的最大值为4.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意Δ的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.19.对称变换在对称数学中具有重要的研究意义．若一个平面图形K 在m （旋转变换或反射变换）的作用下仍然与原图形重合，就称K 具有对称性，并记m 为K 的一个对称变换．例如，正三角形R 在1m （绕中心O 作120°的旋转）的作用下仍然与R 重合（如图1图2所示），所以1m 是R 的一个对称变换，考虑到变换前后R 的三个顶点间的对应关系，记1123312m ⎛⎫=⎪⎝⎭；又如，R 在1l （关于对称轴1r 所在直线的反射）的作用下仍然与R 重合（如图1图3所示），所以1l 也是R 的一个对称变换，类似地，记1123132l ⎛⎫= ⎪⎝⎭．记正三角形R 的所有对称变换构成集合S ．一个非空集合G 对于给定的代数运算.来说作成一个群，假如同时满足：I ．,a b G ∀∈，a b G ∈ ；II ．,,a b c G ∀∈，()()a b c a b c = ；Ⅲ．e G ∃∈，a G ∀∈，a e e a a == ；Ⅳ．a G ∀∈，1a G -∃∈，11a a a a e --== ．对于一个群G ，称Ⅲ中的e 为群G 的单位元，称Ⅳ中的1a -为a 在群G 中的逆元．一个群G 的一个非空子集H 叫做G 的一个子群，假如H 对于G 的代数运算来说作成一个群．（1）直接写出集合S （用符号语言表示S 中的元素）；（2）同一个对称变换的符号语言表达形式不唯一，如1123132213231312321312321132123231213m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．对于集合S 中的元素，定义一种新运算*，规则如下：123123123123123123a a a b b b a a a b b b c c c c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，{}{}{}{}123123123,,,,,,1,2,3a a a b b b c c c ===．①证明集合S 对于给定的代数运算*来说作成一个群；②已知H 是群G 的一个子群，e ，e '分别是G ，H 的单位元，a H ∈，1a -，a '分别是a 在群G ，群H 中的逆元．猜想e ，e '之间的关系以及1a -，a '之间的关系，并给出证明；③写出群S 的所有子群．【答案】（1）答案见解析；（2）①证明见解析；②答案见解析，证明见解析；③证明见解析.【解析】【分析】（1）根据给定信息，按旋转变换、对称变换分别求出对应变换，再写出集合S .（2）①根据群的定义条件，逐一验证即得；②按照群定义Ⅲ、Ⅳ分别推理计算即得；③写出S 的所有子群即可.【小问1详解】依题意，正三角形R 的对称变换如下：绕中心O 作120︒的旋转变换1123312m ⎛⎫=⎪⎝⎭；绕中心O 作240︒的旋转变换2123231m ⎛⎫= ⎪⎝⎭；绕中心O 作360︒的旋转变换3123123m ⎛⎫= ⎪⎝⎭；关于对称轴1r 所在直线的反射变换1123132l ⎛⎫= ⎪⎝⎭；关于对称轴2r 所在直线的反射变换2123321l ⎛⎫=⎪⎝⎭；关于对称轴3r 所在直线的反射变换3123213l ⎛⎫=⎪⎝⎭，综上，123123123123123123,,,,,312231123132321213S ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎨⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭.（形式不唯一）【小问2详解】①Ⅰ.123123a a a b b b ⎛⎫∀⎪⎝⎭，123123b b b S c c c ⎛⎫∈⎪⎝⎭，123123123123123123*a a a b b b a a a S b b b c c c c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；Ⅱ.123123a a a b b b ⎛⎫∀⎪⎝⎭，123123b b b c c c ⎛⎫⎪⎝⎭，123123c c c S d d d ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，123123123123123123a a a b b b c c c b b b c c c d d d ⎛⎫⎛⎫**⎪ ⎪⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎪⎝⎭⎦⎝⎭⎝⎭⎣123123123123a a a c c c c c c d d d ⎪=*⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎝⎭⎝⎭123123123123123123123123,**a a a a a a b b b c c c d d d b b b c c c d d d ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎢⎥ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦123123123123123123*a a a b b b a a a b b b d d d d d d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以123123123123123123**a a a b b b c c c b b b c c c d d d ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎢⎥⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦123123123123123123**a a a b b b c c c b b b c c c d d d ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦；Ⅲ.123123123,123a a a S S b bb ⎛⎫⎛⎫∃∈∀∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭123123123123123123*a a a a a a a a a a a a b b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭123123123123*a a a b b b b b b b b b ⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，而123123123123123123a a a b b b a a a b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以123123e ⎛⎫= ⎪⎝⎭；Ⅳ.123123123123,a a a b b b S S b b b a a a ⎛⎫⎛⎫∀∈∃∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，123123123123123123123123**a a a b b b b b b a a a e b b b a a a a a a b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；综上可知，集合S 对于给定的新运算*来说能作成一个群.②e e '=，1a a -'=，证明如下：先证明e e '=：由于H 是G 的子群，取a H ∈，则a G ∈，1a G -∈，根据群的定义，有a e a = ，a e a '= ，所以a e a e '= ，所以()()11aa e a a e --=' ，即()()11a a e a a e --'= ，即e e e e '= ，所以e e '=.再证明1a a -'=：由于e e '=，1e a a -= ，e a a ''= ，所以1a a a a -'= ，所以()()111a a a a a a ---'= ，所以1a e a e -'= ，所以1a a -'=.③S 的所有子群如下：12123123123,,123123132H H ⎧⎫⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎨⎬⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭⎩⎭，3123123,123321H ⎧⎫⎛⎫⎛⎫=⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭，4123123,123213H ⎧⎫⎛⎫⎛⎫=⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭，5123123123,,312231123H ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭，6123123123123123123,,,,,312231123132321213H ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎨⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭【点睛】思路点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.。

安徽省黄山市、宣城市2024届高三二模数学含答案

黄山市2024届高中毕业班第二次质量检测数学试题（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上．2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在试卷上无效．3.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数(12)(43)z i i =--，则复数z 在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知数列}{n a 是等差数列，且32=a ，147=S ，则数列}{n a 的公差d 是A.1- B.21-C.21 D.13aD．123m π5.若3a x <<是不等式12log 成立的一个必要不充分条件，则实数a 的取值范围是A.)0,(-∞ B.]0,(-∞ C.)2,0[ D.23(,)6.黄山是中国著名的旅游胜地，有许多值得打卡的旅游景点，其中包括黄山风景区，齐云山，宏村，徽州古城等.甲，乙，丙3人准备前往黄山风景区，齐云山，宏村，徽州古城这4个景点游玩，其中甲和乙已经去过黄山风景区，本次不再前往黄山风景区游玩.若第4题图甲，乙，丙每人选择一个或两个景点游玩，则不同的选择有A.360种B.420种C.540种D.600种7.已知双曲线2222:1x y E a b-=()0,0a b >>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过2F 作一条渐近线的垂线，垂足为A ，延长2F A 与另一条渐近线交于点B ，若13BOF AOB S S ∆∆=（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为A.B.2C.D.8.已知实数b a ,分别满足01.0)1ln(=+a ，01.1=b e ，且1011=c ，则A．cb a <<B．ac b <<C．ab c <<D．ca b <<二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数()cos (0)f x x x ωωω=->图象上相邻两条对称轴之间的距离为2π，则A.函数()f x 图象关于点5012π-（，）对称 B.函数()f x 图象关于直线32π=x 对称C.函数()f x 在[0,]2π上单调递增 D.函数()f x 在77[,]123ππ上有4个零点10.下列论述正确的有11.已知数列n +n n n 1A.当45,21==λa 时，1+≥n a n B.当),41[+∞∈λ时，数列}{n a 是递增数列C.当2-=λ时，若数列{}n a 是递增数列，则),1()3,(1+∞--∞∈ a D.当0,31==λa 时，1211112223n a a a +++<+++三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合{}2|+==x y x A ，{}043|2≤-+=x x x B ，则()R A B ð=__________.13.若函数()()14f x k x =---有两个零点，则实数k 的取值范围是__________.14.如图，球O 内切于圆柱12O O ，圆柱的高为2，EF 为底面圆1O 的一条直径，D 为圆2O 上任意一点，则平面DEF 截球O 所得截面面积最小值为；若M 为球面和圆柱侧面交线上的一点，则MEF ∆周长的取值范围为.四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）记ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 向量(,sin sin ),b A C μ=+(sin sin ,)A B a c ν=+-且μν⊥.（1）求角C 的大小；（2）若ABC ∆的面积为34，3cos cos ,4A B =求c .16.（本小题满分15分）如图，已知AB 为圆台下底面圆1O 的直径，C 是圆1O 上异于,A B 的点，D 是圆台上底面圆2O 上的点，且平面DAC ⊥平面ABC ，2DA DC AC ===,4BC =，E 是CD的中点,2BF FD =．（1）证明：2//DO BC ；（2）求直线DB 与平面AEF所成角的正弦值.第14题图18.（本小题满分17分）已知P 为抛物线2:2E y x =上的动点，Q 为圆()22:1(1)C x a y a -+=>上的动点，若PQ 1.（1）求a 的值；（2）若动点P 在x 轴上方，过P 作圆C 的两条切线分别交抛物线E 于另外两点,A B ，且19.（本小题满分17分）黄山市2024届高中毕业班第二次质量检测数学参考答案及评分标准一．单项选择题1.C2.B3.A4.C5.B6.A7.D8.C二．多项选择题9.AD 10.BCD11.ACD三．填空题12.{21}x x x <->或13.⎥⎦⎤⎝⎛2815，14.45π，3,2]++四．解答题15.（1）由μν⊥得(sin sin )(sin sin )()0b A B A C ac +++-=…………………………2分即()()()0b a b a c a c +++-=，化简得222a b c ab +-=-……………………………3分由余弦定理得：2222cos a b c ab ab C +-=-=，1cos 2C =-…………………………5分所以23C π=…………………………………………………………………………………6分（2）法1：由题意得123sin 234ab π=，则1ab =…………………………………………………8分由1cos()cos cos sin sin 2A B A B A B +=-=得1sin sin 4A B =…………………………10分因为24sin sin sin c ab C A B ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以2sin c C =………………………………………12分所以3c =…………………………………………………………………………………13分法2：由题意得123sin 234ab π=，则1ab =…………………………………………………8分由3cos cos 4A B =得3cos cos()34A A π-=，即sin(2)16A π+=………………………10分所以262A ππ+=，6A B π==，即1a b ==………………………………………12分所以3c =……………………………………………………………………………………13分法3：由题意得123sin 234ab π=，则1ab =………………………………………………8分由cos()cos()3cos cos 24A B A B A B ++-==得3cos()cos()2A B A B ++-=……………………………………………………………10分而1cos()2A B +=，所以cos()1A B -=即6A B π==………………………………12分即1a b ==，所以3c =……………………………………………………………………13分16.（1）证明：取AC 的中点为O ，连接DO ,1OO ,21O O DA DC = ,O 为AC 中点，D O AC ∴⊥……………1分又平面DAC ⊥平面ABC ,且平面DAC 平面ABC AC=DO ∴⊥平面ABC ……………………………………3分12//DO O O ∴,12DO O O =,故四边形12DOO O 为矩形21//DO OO ∴,又1,O O 分别是AC ,AB 的中点,1//OO BC∴…………………………5分2//DO BC∴…………………………………………………………………………………6分（2）C 是圆1O 上异于,A B 的点，且AB 为圆1O 的直径，故BC AC ⊥,所以1OO AC⊥如图以O为原点建立空间直角坐标系，由条件知DO =…………………………………8分)0,0,1(A ,)0,4,1(-B ,)0,0,1(-C ,)3,0,0(D ,则)23,0,21(-E 设),,(z y x F ，),4,1(z y x BF -+=，)3,,(z y x FD ---=由FD BF 2=得332,34,31(-F ，所以)332,34,34(-=AF (1,4,DB =-,3(,0,22AE =- ,……………………………………………………10分设AEF 平面法向量为),,(111z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00AF n AE n所以1111133022440333x z x y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩令11x =，则1,2y z =-=，即1(1,2n =- (13)分O设直线BD 与平面AEF 所成角为θ，685sin cos ,85n DB θ=<>=所以直线BD 与平面AEF所成角的正弦值为85………………………………………15分17.（1）设=i A “第i 天选择米饭套餐”(1,2)i =，则i A =“第i 天选择面食套餐”，………根据题意()123P A =，()113P A =，()211|3P A A =，()2123|P A A =，…………………………3分由全概率公式，得()()()()()2121121||P A P A P A A P A P A A =+2112433339=⨯+⨯=；…………5分（2）（i）设n A =“第n 天选择米饭套餐”(1,2,)n = ，则()n n P P A =，()1n n P A P =-，()11|3n n P A A +=，()12|3n n P A A +=，………………………7分由全概率公式，得()()()()()11112||33n n n n n n n n P A P A P A A P A P A A P +++=+=-+，…………8分即11233n n P P +=-+，1111232n n P P +⎛⎫∴-=-- ⎪⎝⎭，…………………………………………………9分11126P -=，12n P ⎧⎫∴-⎨⎬⎩⎭是以16为首项，13-为公比的等比数列；…………………………10分可得()1*111N 263n n P n -⎛⎫=+⨯-∈ ⎪⎝⎭，…………………………………………………………11分当n 为大于1的奇数时，121111111426326327n n P -⎛⎫⎛⎫=+⨯-≤+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；……………………13分当n 为正偶数时，1111114263227n n P -⎛⎫=-⨯<< ⎪⎝⎭……………………………………………14分综上所述：当2n ≥时，1427n P ≤…………………………………………………………15分18.解：（1）设()00,P x y ，PQ1即PC (1)分PC ===0(0)x ≥……………………3分当01x a =-时，min PC ==，……………………………………………………………5分2a ∴=……………………………………………………………………………………………………6分(2)设()()()112200,,,,,A x y B x y P x y ，直线PA的斜率101022011010222PA y y y y k y y x x y y --===-+-，直线PA的方程为：00102()y y x x y y -=-+，………………………………………………………8分即1001002()()20x y y y y y y x -+++-=，化简得10012()0x y y y y y -++=则1=，即22201010(1)6120y y y y y -++-=，…………………………………10分同理22202020(1)6120y y y y y -++-=……………………………………………………………11分则12,y y 是方程222000(1)6120y y y y y -++-=的两根，所以0122061y y y y +=-，则直线AB 的斜率20120123AB y k y y y -==+……………………………13分PA PB = ，PC 平分APB ∠，则PC AB ⊥，.200001132y y y x -∴⋅=--，解得05x =，则0y =.………………………………………………14分2012012310310ABy k y y y -===-+且122103y y +=-20122012219y y y y -==-22212121212404()2992222y y y y y y x x -++-+====故AB中点为(1,3-，……………………………………………………………………………16分直线AB 的方程为10310(1)310y x +=--即910x ++=.………………………………………………………………………………17分19.解析：（1）由题可知函数)1ln()(+=x x f 在0=x 处的]1,1[阶帕德近似xb x a a x R 1101)(++=……1分11)(+='x x f ，2)1(1)(+-=''x x f ，由)0()0(R f =得00=a ，所以x b xa x R 111)(+=……………………………………………………2分则211)1()(x b a x R +='，又由)0()0(R f '='得11=a ，所以311)1(2)(x b b x R +-=''……………………3分由)0()0(R f ''=''得211=b ，所以22211)(+=+=x x x x x R …………………………………………4分095.021221.01.02)1.0()1.0(1.1ln ≈=+⨯=≈=R f ……………………………………………………6分（2）（i）令)1ln(22)(+-+=x x x x F ，),0()0,1(+∞-∈ x 因为0)2)(1(11)2(4)(222<++-=+-+='x x x x x x F 所以)(x F 在),0()0,1(+∞-∈及x 上均单调递减.…………………………………………7分①当)0,1(-∈x ，0)0()(=>F x F ，即)1ln(22+>+x x x ，而0)1ln(<+x 所以1)1ln(22<++x x x ，即1)1ln()(<+x x R ……………………………………………………………9分②当),0(+∞∈x ，0)0()(=<F x F ，即)1ln(22+<+x x x ，而0)1ln(>+x 所以1)1ln(22<++x x x ，即1)1ln()(<+x x R 由①②所以不等式1)1ln()(<+x x R 恒成立；……………………………………………………10分（ii）由x x R x m x f cos 1)()12()(-≤+-得01cos )1ln(≤-+-+x mx x 在),1+∞-（上恒成立令0)0(,1cos )1ln()(=-+-+=h x mx x x h 且，所以0=x 是)(x h 的极大值点。

安徽省滁州市2023届高三第二次教学质量监测数学试题(含解析)

安徽省滁州市2023届高三第二次教学质量监测数学试题一、单选题1．（2023·安徽滁州·统考二模）设集合{}lg 0A x x =≥，{}2,1,0,1,2B =--，则R B A ⋂=ð（）A ．∅B ．{}2,1--C ．{}1,2D ．{}2,1,0--2．（2023·安徽滁州·统考二模）若()()21i 1i z +=-，则z 在复平面内对应的点所在象限为（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（2023·安徽滁州·统考二模）在下列区间中，函数()π2sin 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在其中单调递减的区间是（）A ．π0,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3ππ,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭4．（2023·安徽滁州·统考二模）由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年.龙被视为中华古老文明的象征，大型龙类风筝放飞场面壮观，气势磅磗，因而广受喜爱.某团队耗时4个多月做出一长达200米、重约25公斤，“龙身”共有180节“鱗片”的巨龙风筝.制作过程中，风箏骨架可采用竹子制作，但竹子易断，还有一种耐用的碳杆材质也可做骨架，但它比竹质的成本高.最终团队决定骨架材质按图中规律排列（即相邻两碳质骨架之间的竹质骨架个数成等差数列），则该“龙身”中竹质骨架个数为（）A ．161B ．162C ．163D ．1645．（2023·安徽滁州·统考二模）如图是下列某个函数在区间[]22-,的大致图象，则该函数是（）A ．()32233cos12x x x xf x x +-=+B ．()322331x x xf x x +-=+C ．()322sin 1x x xf x xx -+=+D ．()225cos 1x xf x xx -=+6．（2023·安徽滁州·统考二模）如图，在正四棱台1111ABCD A B C D -中，11122AB AA A B === ）A ．16πB ．97π4C ．105π4D ．30π7．（2023·安徽滁州·统考二模）已知0.4e 1a =-，0.42ln1.2b =-，0.2c =，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c>>B ．a c b>>C ．b a c>>D ．c b a>>8．（2023·安徽滁州·统考二模）若a ，b ，c 均为正数，且满足233918a ab ac bc +++=，则233a b c ++的最小值是（）A ．6B ．C ．D ．二、多选题9．（2023·安徽滁州·统考二模）已知A ，B 为两个随机事件，且()0.4P A =，()0.6P B =，则（）A ．()1P A B +<B ．若A ，B 为互斥事件，则()0P AB =C ．若()0.24P AB =，则A ，B 为相互独立事件D ．若A ，B 为相互独立事件，则()()P AB P AB =10．（2023·安徽滁州·统考二模）已知抛物线24y x =的焦点为F ，点P 在准线上，过点F 作PF 的垂线且与抛物线交于A ，B 两点，则（）A ．PF 最小值为2B ．若PA PB =，则2AB PF =C ．若8AB =，则PF =D ．若点P 不在x 轴上，则2FA FB PF⋅>11．（2023·安徽滁州·统考二模）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若12f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()1g x +均为奇函数，则（）A ．()00f =B ．()00g =C ．()()14f f -=D ．()()14g g -=12．（2023·安徽滁州·统考二模）在平面直角坐标系xOy 中，△OAB 为等腰三角形，顶角OAB θ∠=，点()3,0D 为AB 的中点，记△OAB 的面积()S f θ=，则（）A ．()18sin 54cos f θθθ=-B ．S 的最大值为6C ．AB 的最大值为6D ．点B 的轨迹方程是()22400x y x y +-=≠三、填空题13．（2023·安徽滁州·统考二模）912x ⎫⎪⎭展开式中的常数项为________.14．（2023·安徽滁州·统考二模）已知椭圆()2221024x y b b +=<<与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B ，点F 是椭圆的一个焦点，若△ABF 是等腰三角形，则2b 的值为________.15．（2023·安徽滁州·统考二模）已知平面向量a r ，b r满足1a =r ，22a b -=r r ，则()a b b +⋅r rr 的最大值为________.16．（2023·安徽滁州·统考二模）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E ，F 在棱AB 上，点H ，G 在棱CD 上，点1E ，1H 在棱11A D 上，点1F ，1G 在棱11B C 上，1111111112AE BF DH CG A E B F D H C G ========，则六面体1111F EFG E G H H -的体积为________.四、解答题17．（2023·安徽滁州·统考二模）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，且1a ，2a ，3S 成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设141n n b S =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．（2023·安徽滁州·统考二模）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且23AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .(1)求bc ；(2)已知π4B =，2a =，求△ABC 的面积.19．（2023·安徽滁州·统考二模）大气污染物 2.5PM （大气中直径小于或等于2.5μm 的颗粒物）的浓度超过一定的限度会影响人的身体健康.为了研究 2.5PM 的浓度是否受到汽车流量等因素的影响，研究人员选择了24个社会经济发展水平相近的城市，在每个城市选择一个交通点建立监测点，统计每个监测点24h 内过往的汽车流量（单位：千辆），同时在低空相同的高度测定每个监测点空气中 2.5PM 的平均浓度（单位：3μg /m ），得到的数据如下表：城市编号汽车流量2.5PM 浓度城市编号汽车流量2.5PM 浓度1 1.306611 1.8213521.4476121.439930.7821130.92354 1.6517014 1.44585 1.7515615 1.10296 1.7512016 1.841407 1.207217 1.11438 1.5112018 1.65699 1.2010019 1.5387101.47129200.9145(1)根据上表，若24h 内过往的汽车流量大于等于1500辆属于车流量大， 2.5PM 大于等于375μg /m 属于空气污染.请结合表中的数据，依据小概率值0.05α=的独立性检验，能否认为车流量大小与空气污染有关联？(2)设 2.5PM 浓度为y ，汽车流量为x .根据这些数据建立 2.5PM 浓度关于汽车流量的线性回归模型，并求出对应的经验回归方程（系数精确到0.01）.附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，α0.1000.0500.010x α2.7063.8416.63520127.8ii x==∑ 2011770i i y ==∑，202140.537ii x ==∑，2021193694ii y ==∑，2012680.48i i i x y ==∑，在经验回归方程ˆˆˆy bx a =+中，()()()112ˆˆˆi i i ni i n x x y y b x x a y bx==⎧∑--⎪=⎪⎨∑-⎪⎪=-⎩.20．（2023·安徽滁州·统考二模）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，//AD BC ，90DAB ∠=︒，4AB BC ==，5PA PC ==.(1)求证：PB AC ⊥；(2)若平面PBD ⊥平面PBC ，且PAD V 中，AD 边上的高为3，求AD 的长.21．（2023·安徽滁州·统考二模）已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的焦距为e =.(1)求双曲线C 的方程；(2)设P ，Q 为双曲线C 上异于点),Mb 的两动点，记直线MP ，MQ 的斜率分别为1k ，2k ，若12122k k k k +=，求证：直线PQ 过定点.22．（2023·安徽滁州·统考二模）已知函数()12ln f x x x=+.(1)求函数()()g x f x x =-的零点；(2)证明：对于任意的正实数k ，存在00x >，当()0,x x ∈+∞时，恒有()f x >.参考答案：1．D【分析】利用对数的单调性解不等式求集合A ，再由集合的交、补运算求集合即可.【详解】由{|lg 0lg1}{|1}A x x x x =≥==≥，故R {|1}A x x =<ð，所以{}R 2,1,0B A ⋂=--ð.故选：D 2．C【分析】利用复数的乘除、乘方运算化简求复数，进而求共轭复数z ，根据其对应点坐标判断所在象限.【详解】3(1i)2i(1i)1i (1i)(1i)2z ++===-+-+，则1i z =--，所以z 对应点为(1,1)--，在第三象限.故选：C 3．B【分析】由正弦函数的单调减区间判断.【详解】由ππ3π2π2π232k x k +<+<+得π7π2π2π66k x k +<<+，Z k ∈，()f x 的减区间是π7π(2π,2π66k k ++，Z k ∈，只有选项B 的区间ππ7π,π(,)266⎛⎫⊆ ⎪⎝⎭，故选：B ．4．B【分析】设有n 个碳质骨架，由条件列关系式求碳质骨架的个数，此可得结论.【详解】设有n 个碳质骨架，N n *∈，由已知可得()1231180n n n ++++⋅⋅⋅+-+≥，如果只有n 1-个碳质骨架，则骨架总数少于180，所以()()11231180n n -++++⋅⋅⋅+-<，所以23360n n +≥，且2362n n +<，又N n *∈解得18n =，所以共有碳质骨架18个，故竹质骨架有162个，故选：B.5．A【分析】用特殊值结合排除法求解．由(1)f 正负、(2)f 的大小及函数的零点排除三个选项得正确结论．【详解】对B ，由()322331x x xf x x +-=+，知14(2)25f =>，但由图象知(2)2f <，故可排除B ，对C ，因为()32222(1)sin sin 11x x x x x x f x x x x x -+-+==++在0,1x ∈（）上()0f x >，而由函数图象知函数一个零点在(0,1)上，而排除C ；对D ，由()225cos 1x xf x x x -=+知(1)0f <，而由函数图象可知(1)0f >，故可排除D.故选：A ．6．D【分析】根据题意画出图形，由图构造直角三角形，即可求得2R ，由求得表面积公式求得球体的表面积.【详解】如图所示的正四棱台1111ABCD A B C D -取上下两个底面的中心,M N ，连接MN ，1A M ，AN ，过点1A 作底面的垂线与AN 相交于点E ，因为四棱台1111ABCD A B C D -为正四棱台，所以外接球的球心一定在直线MN 上，在MN 上取一点O 为球心，连接1,OA OA ，则1OA OA R ==，设ON h =，因为11122AB AA A B ===1AN A M ==，1MN A E =====所以1ENMA 为正方形，故O 必在MN 延长线上，在Rt OAN V中，222OA AN ON =+，即22R h =+，在1Rt △OA M 中，22211OA OM A M =+，即222R h ⎫=+⎪⎪⎭，解得2152R =，所以24π30πS R ==，故选：D.7．B【分析】分别构造()2e 1xf x x =--和()()2ln 1g x x x =-+，求导判断出在()0,1上的单调性，比较出函数值与端点值的大小关系，进而得出,,a b c 的大小关系．【详解】令()()2e 1,0,1xf x x x =--∈，则()22e 10xf x '=->恒成立，即()f x 在()0,1上单调递增，且()00f =，故()()00f x f >=，取0.2x =，则()0.20f >，即0.4e 10.20-->，可得0.4e 10.2->，即a c >；令()()()2ln 1,0,1g x x x x =-+∈，则()211011x g x x x-'=-=<++恒成立，即()g x 在()0,1上单调递减，且()00g =，故()()00g x g <=，取0.2x =，则()0.20g <，即0.22ln1.20-<，可得0.42ln1.20.2-<，即b c <；综上可得：,,a b c 的大小关系为a c b >>故选：B 8．C【分析】利用因式分解法，结合基本不等式进行求解即可.【详解】()()()()233918333183318a ab ac bc a a b c a b a b a c +++=⇒+++=⇒++=，因为a ，b ，c 均为正数，所以有()()23318332332a b a c a b a c a b c +++⎛⎫=++≤⇒++≥ ⎪⎝⎭当且仅当33a b a c +=+时取等号，即3a b b c +==时取等号，故选：C 9．BCD【分析】由互斥事件且()()1P A P B +=可得A B ⋂=∅且ΩA B +=，即可判断A 、B ；利用独立事件的性质及已知概率值判断C 、D.【详解】若,A B 为互斥事件，又()()1P A P B +=，则A B ⋂=∅且ΩA B +=，故()1P A B +=，()0P AB =，故A 错误，B 正确；若()0.24P AB =，即()()()P AB P A P B =，故A ，B 为相互独立事件，C 正确；若A ，B 为相互独立事件，则,A B 也相互独立，即()()(P AB P A P B =，又()0.6,()0.4P A P B ==，而()()()[1()][1(1[()()](()P AB P A P B P A P B P A P B P A P B ==--=-++()()P A P B =，故()()P AB P AB =，D 正确.故选：BCD 10．ABC【分析】根据抛物线的定义，结合两点间距离公式、抛物线的性质逐一判断即可.【详解】点()1,0F ，抛物线的准线方程为=1x -，设()1,P m -2=≥=，所以点P 在横轴上时PF 有最小值2，所以选项A 正确；若PA PB =，根据抛物线的对称性可知点P 在横轴上，把1x =代入24y x =中，得2y =±，()224AB =--=，此时2PF =，于是有2AB PF =，所以选项B 正确；因为8AB =，显然点P 不在横轴上，则有22PF AB m k k m=⇒=-，所以直线AB 的方程为()21y x m=-代入抛物线方程中，得()2244240x x m -++=，设()()1122,,,A x y B x y ，2122x x m +=+22121182284AB x x m m =+++=⇒++=⇒=，==，所以选项C 正确，点P 不在x 轴上，由上可知：2122x x m +=+，121=x x ，()()22121212111224x x x x x x FA FB m m =++=+++=++=+⋅，而224PF m =+，显然2FA FB PF ⋅=，所以选项D 不正确，故选：ABC11．BD 【分析】根据12f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数可得()(1)f x f x -=-+，再由导数相等可得()(1)g x g x -=+，又()1g x +为奇函数可得(1)(1)g x g x +=--，两式结合可得(1)0g = ，(0)0g =，且可推出函数周期为2，据此判断BD ，由上述条件可知()f x 关于1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，()g x 关于()1,0中心对称且周期为2，取满足条件的函数，即可判断AC.【详解】因为12f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭定义域均为R 的奇函数，所以11()()22f x f x -=-+，即()(1)f x f x -=-+，所以[()](1)f x f x ''--=+，即()(1)f x f x ''-=+，所以()(1)g x g x -=+，又()1g x +为奇函数，所以(1)(1)g x g x +=--，当0x =时，(1)(1)(0)g g g =-=，即(1)0g = ，(0)0g =，故B 正确；又()(1)g x g x -=--，所以()(1)g x g x =-+，故(2)(1)()g x g x g x +=-+=，即函数()g x 的周期为2，所以(1)(1)0g g -==，(4)(0)0g g ==，即()()14g g -=，故D 正确；由12f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数可知1122f x f x ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()f x 的图象关于102，⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称，不妨取1()cos π(1)πf x x =-，则()sin π(1)g x x =--满足周期为2，关于(1,0)中心对称条件，因为1(0)πf =-，1(1)πf -=，1(4)πf =-，可知AC 错误.故选：BD12．ABD【分析】令(,)A x y 且0y ≠，根据题设及两点距离公式求A 轨迹为22(4)4x y -+=且0y ≠，应用余弦定理、三角形面积公式求()S f θ=表达式，利用OAB OAD OBD S S S =+V V V ，结合圆的性质求面积、AB 最大值，令(,)B m n ，则60x m y n =-⎧⎨=-≠⎩代入A 轨迹求B 的轨迹方程，即可判断各项的正误.【详解】由OAB θ∠=，OA AB =，()3,0D 为AB 的中点，若(,)A x y 且0y ≠，则(6,)B x y --，故222222(62)(2)4(3)4x y x y x y +=-+-=-+，整理得：22(4)4x y -+=，则A 轨迹是圆心为(4,0)，半径为2的圆（去掉与x 轴交点），如下图，由圆的对称性，不妨令A 在轨迹圆的上半部分，即02A y <≤，令22OA AB AD a ===，则222||||2cos OD OA AD OA AD θ=+-，所以2254cos 9a a θ-=，则2954cos a θ=-，所以2118sin sin 2sin 254cos OAB OAD OBD S S S OA AB a θθθθ=+===-V V V ，A 正确；由113(0,6]22OAB OAD OBD A B A S S S y OD y OD y =+=⋅+⋅=∈V V V ，则S 的最大值为6，B 正确；由下图知：(2,6)OA AB =∈，所以AB 无最大值，C 错误；令(,)B m n ，则60A A x m y n =-⎧⎨=-≠⎩代入A 轨迹得22(2)4m n -+=，即2240m m n -+=，所以B 轨迹为2240x x y -+=且0y ≠，D 正确；故选：ABD13．212##10.5【分析】写出912x ⎫+⎪⎭展开式的通项公式，令x 的指数为0，求得参数r ，即可求得答案.【详解】由题意912x ⎫⎪⎭的通项公式为939219911C (()C ,0,1,2,,922r r r r r r r T x r x --+===L，令930,32r r -=∴=，故912x ⎫⎪⎭展开式中的常数项为339121(C 22=，故答案为：21214．【分析】根据椭圆的对称性，结合等腰三角形的性质进行求解即可.【详解】由题意可知：()(),0,0,2A b B ，因为02b <<，所以2,a c ==因为△ABF 是等腰三角形，所以由椭圆的性质可知F 是椭圆的下焦点，所以22AB BF b =⇒==，故答案为：15．20【分析】不妨设(1,0)a =r ，(,)b x y =r ，可求得22(2)4x y -+=，计算2211()(1,)(,)()24a b b x y x y x y +⋅=+⋅=++-r r r ，(,)P x y 表示圆22(2)4x y -+=上的点，221()2x y ++表示2PC （其中1(,0)2C -），由圆的性质可得最大值．【详解】不妨设(1,0)a =r ，(,)b x y =r ，则2(2,)a b x y -=--r r则22a =r ，即22(2)4x y -+=，2222211()(1,)(,)(1)()24a b b x y x y x x y x x y x y +⋅=+⋅=++=++=++-r r r ，取(2,0)B ，1(,0)2C -，52BC =，设点(,)P x y 在圆22(2)4x y -+=上，221(2x y ++表示2PC ，因此221()2x y ++的最大值为2581(2)24+=，从而2211()24x y ++-最大值为8112044-=．故答案为：20.16．133【分析】根据所给图形观察，六面体的体积可以看作正方体去掉四个相同的三棱柱和四个相同的五面体，五面体可分割为四棱锥和一个三棱锥，分别求出体积即可得解.【详解】取112AN DM D P ===，连接1111,,,,,,MH MH PH ME NE NE HP ，如图，所求几何体可以看作正方体去掉4个体积相同的三棱柱（如图中三棱柱11DMH D H P -），再去掉四个五面体（如图中11H E MNEH -）,五面体可分割为一个四棱锥1E MNEH -与一个三棱锥11H H ME -，因为11111111222224DMH D H P V DH DM DD -=⋅⋅=⨯⨯⨯=三棱柱，1111111=(12)233222E MNEH MNEH V S NE -⋅=⨯+⨯⨯⨯=四棱锥梯形,111111111=2133226MH E H MH E V S HD -⋅=⨯⨯⨯⨯=△三棱锥,所以31111324()4263V =-++=，故答案为：13317．(1)21n a n =-(2)21nn +【分析】（1）由等比中项的性质及等差数列通项公式、前n 项和公式列方程求公差，即可写出通项公式；（2）由（1）得111(22121n b n n =--+，应用裂项相消法求n T .【详解】（1）若等差数列{}n a 的公差为d ，由2213a a S =，则23(22)(1)13(1)2d d d ⨯++=⨯=+，所以1d =-或2d =，当1d =-时，20a =，与1a ，2a ，3S 成等比数列矛盾，排除；所以2d =，则12(1)21n a n n =+-=-.（2）由（1）知：2(121)2n n n S n +-==，则211111()41(21)(21)22121n b n n n n n ===---+-+，所以11111111(1...)(1)2335212122121n n T n n n n =-+-++-=-=-+++.18．【分析】（1）利用平面向量的数量积的定义结合余弦定理即可求出结果；（2）由正弦边角关系得sin C =，cos C =sin sin()A B C =+求值，应用正弦定理求c ，进而求出三角形的面积.【详解】（1）由已知2cos 3cos cos AB AC A BA BC B CA CB C +=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以2cos 3cos cos bc A ac B ab C +=，结合余弦定理，()()22222222223b c a a c b a b c +-++-=+-，化简得：223c b =，所以b c =．（2）由正弦定理知sin sin b B c C =，即sin C =，又π4B =，所以sin C =，显然b c =>，即B C >，故cos C =由sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+==又sin sin a c A C =，则sin sin a C c A ===所以ABC V 的面积11sin 222ABC S ac B ==⨯=V .19．(1)依据小概率值0.05α=的独立性检验，能认为车流量大小与空气污染有关联(2)116.1970ˆ 3.0yx =-【分析】（1）根据已知完善列联表，应用卡方公式求卡方值，结合独立检验基本思想即可得结论；（2）应用最小二乘法求回归直线方程即可.【详解】（1）由表格，可得如下列联表，车流量小车流量大合计空气无污染819空气污染4711合计12820所以()22208741 5.690 3.841128911χ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，故依据小概率值0.05α=的独立性检验，能认为车流量大小与空气污染有关联.（2）由201127.8 1.392020i i x x ====∑，2011177088.52020i i y y ====∑，()()202011202680.4820 1.3988.5220.18i i i ii i x x y y x y xy ==--=-=-⨯⨯=∑∑，()20202222112040.53720 1.39 1.895ii i i x x x x ==-=-=-⨯=∑∑，所以220.18116.191.ˆ895b =≈，则88.5116.19 1.3973.00ˆa =-⨯≈-，故回归直线为116.1970ˆ 3.0yx =-.20．(1)证明见解析(2)6425【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，结合等腰三角形的性质进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，根据空间向量数量积的运算性质进行求解即可.【详解】（1）设线段AC 的中点为E ，连接,EB PE ，因为AB BC =，所以BE AC ⊥，又因为PA PC =，所以PE AC ⊥，因为,,EB PE E EB PE =⊂I 平面PBE ，所以AC ⊥平面PBE ，PB ⊂平面PBE ，所以PB AC ⊥；（2）过点P 作PO 垂直直线AD 于O ，则有3OP =，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⊥平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，所以PO ⊥平面ABCD ，连接OC ，因为5PA PC ==，3OP =，所以可得4OC OA ==，而4AB BC ==，所以四边形OABC 是菱形，而90DAB ∠=︒，所以四边形OABC 是正方形，因此建立如图所示的空间直角坐标系，设OD a =，则()()()()0,0,3,0,,0,4,4,0,4,0,0P D a B C ，()()()()0,,3,4,4,3,0,4,0,4,0,3PD a PB BC PC =-=-=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，设平面PBD 的法向量为()111,,m x y z =u r ，111113004,1,4430430ay z m PD a a m x y z m PB ⎧-=⋅=⎧-⎪⎛⎫⇒⇒=⎨⎨ ⎪+-=⎝⎭⋅=⎩⎪⎩u u u r r r u u u r r ，同理可得平面PBC 的法向量为()222,,x n y z =r ，22222430044300x z n PC x y z n PB ⎧-=⋅=⎧⎪⇒⇒⎨⎨+-=⋅=⎩⎪⎩u u u r r u u u r r 41,0,3n ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，因为平面PBD ⊥平面PBC ，所以443636640104433252525a a m n a AD -⋅=⇒⋅+⨯=⇒=⇒=-=u r r .21．(1)2212x y -=(2)证明过程见解析【分析】（1）根据双曲线离心率公式，结合双曲线焦距定义进行求解即可；（2）设出直线方程与双曲线方程联立，根据一元二次方程根的判别式、根与系数关系，结合直线斜率公式进行求解即可.【详解】（1）因为双曲线C：22221x ya b-=（0a>，0b>）的焦距为e=，所以有222221122cc xb c a yaac⎧⎧==⎪⎪⇒⇒=-=⇒-=⎨⎨=⎪⎪⎩=⎩；（2）由题意可知直线PQ存在斜率，所以直线PQ的方程设为y kx m=+，()2222212422012y kx mk x kmx mxy=+⎧⎪⇒----=⎨-=⎪⎩，则有()()222222221201201641222012k kk m k m m k⎧-≠⎧-≠⎪⇒⎨⎨+-+>+>⎩⎪⎩，设()()1122,,,P x y q x y，则有2121222422,1212km mx x x xk k--+==--，显然M的坐标为()2,1，所以由1211212212211111222222y y y yx x x xk k k k----⇒+=⋅⋅-=-+--()()()()()()122112121212121122222y x y x y yx x x x--+----⇒=⋅⋅----()()()()()()1221121212211kx m x kx m x kx m kx m⇒+--++--=+-⋅+-()()()()()()()221212121212 2124122121 kx x m x x k x x m k x x k m x x m⇒+-+-+--=+-++-()()()()()121221212110k k x x km m x x m m⇒-+-+++-+=，把2121222422,1212km mx x x xk k--+==--代入上式，得()()()()222224212121101212m kmk k km m m mk k---⋅+-+⋅+-+=--()()()()()2111012101k m m m m k m m⇒+++-=⇒++-=⇒=-，或12,m k=-当1m=-时，直线方程为1y kx=-，过定点()0,1-，当12m k=-时，直线方程为121(2)y kx k y k x=+-⇒-=-，过定点()2,1，不符合题意，因此直线PQ 过定点()0,1-.【点睛】关键点睛：根据直线斜率公式，结合一元二次方程根与系数的关系是解题的关键.22．(1)1(2)证明过程见解析【分析】（1）根据导数的性质，结合函数零点的定义进行求解即可；（2）根据（1）的结论，可以得到)ln 1x x <>1x >，>.【详解】（1）()()12ln x x x g x f x x =-=+-，定义域为(0,)+∞，()22121110g x x x x ⎛⎫'=-+-=--≤ ⎪⎝⎭，所以函数()g x 是(0,)+∞上的减函数，而()10g =，所以函数()g x 的零点是1；（2）由（1）可知：当1x >时，()0g x <，即()112ln 02ln 1x x x x x x x+-<⇒<->，因此有)ln 1x x =<<>，进而有)))11ln 1x x x x >⇒<>⇒<>，当0k >1x >等价于232x k ⎛⎫> ⎪⎝⎭，>48x k ⎛⎫> ⎪⎝⎭，设24328,,1k k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭三个数中最大的数为0x ，所以当()0,x x ∈+∞时，有()112ln x f x x x>+>+=.【点睛】关键点睛：根据（1）的结论，得到不等式)ln 1x x <>，再根据存在性的性质是解题的关键.。

安徽省2023届高三A10联盟二模数学试卷(含答案解析)

安徽省2023届高三A10联盟二模数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A ．13BE CF-- B ．13BE -6．在平面直角坐标系xOy 中，定义1212(,)d A B x x y y =-+-，该距离也称曼哈顿距离．已知点(,)2d M N =，则224a b a +-的最小值与最大值之和为（A ．0B ．2-7．已知函数2()sin sin f x x ωω=+实数ω的取值范围是（）A ．5,32⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．72,2⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多选题A ．可以估计，该地区年夜饭消费金额在24000]320（，家庭数量超过总数的三分之一B ．若该地区有2000个家庭，可以估计年夜饭消费金额超过2400元的有C ．可以估计，该地区家庭年夜饭消费金额的平均数不足2100元D ．可以估计，该地区家庭年夜饭消费金额的中位数超过2200元10．若圆221:4C x y +=与圆222:()()4C x m y n -+-=的公共弦AB 的长为结论正确的有（）A ．224m n +=B ．直线AB 的方程为+mx C ．AB 中点的轨迹方程为223x y +=D ．四边形12AC BC 的面积为11．已知圆锥的顶点为S ，高为1，底面圆的直径23AC =，B 为圆周上不与动点，F 为线段AB 上的动点，则（）A ．圆锥的侧面积为23πB ．SAB △面积的最大值为3C ．直线SB 与平面SAC 所成角的最大值为π3D ．若B 是 AC 的中点，则2()SF CF +的最小值为1015+C ．PQ AF⊥D ．以PQ 为直径的圆过点A三、填空题四、双空题五、填空题16．若不等式2ln 23x ax a -≤-对(0,)∀∈+∞x 恒成立，则实数a 的取值范围为_________．六、解答题(1)求证：OQ ⊥平面ABCD ；(2)求平面ADQ 与平面BCF 所成角的余弦值．21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右顶点分别为点C 上的点P 满足直线1PM 、2PM 的斜率之积为(1)求C 的方程；(2)若过点()1,0且不与y 轴垂直的直线l 点Q ．探究：点Q 是否在定直线上，若是，22．已知函数2()ln,e x af x a x=+∈R ．(1)讨论()f x 在[3,5]上的单调性；(2)若1a =，且,()()0m n f m f n <==，求证：参考答案：则22224(2)a b a a b +-=-+-方，结合图形可知22p b +的最小值为(24)(44)2-+-=-，故选：B ．7．D【分析】先根据二倍角公式及辅助角公式化简解析式，π0,2⎛⎫⎪⎝⎭内有4个不同的零点，借助于正弦函数的性质即可求解．12．ACD【分析】由抛物线的几何性质求出p 的值，可得出抛物线C 的方程，分析可知R 为PQ 的中点，利用点差法可求得直线PQ 的方程，将直线方程联立，列出韦达定理，写出两切线的方程，联立两切线的方程，求出点判断可得出合适的选项.【详解】抛物线C 的焦点F 到准线的距离为4p =，所以，抛物线C 设()11,P x y 、()22,Q x y ，由2PQ PR =可知R 为PQ 的中点，所以，12x x ≠且128x x +=，1212y y +=，由21122288x y x y ⎧=⎨=⎩可得()()()()22121212121288x x x x x x x x y y -=-+=-=-，所以，直线l 的斜率为12121PQ y y k x x -==-，则直线l 的方程为6y x -=-联立228y x x y=+⎧⎨=⎩可得28160x x --=，所以，1216x x =-，对函数28x y =求导可得14y x '=，所以，切线AP 的方程为()1114x y y x x -=-，即22111111448y x x x x =-+同理可知，切线BP 的方程为2221148y x x x =-，11x x【详解】的中点M ，则1112F A F B F M += 是等腰三角形，B ，设2BF x =，由双曲线的定义得1212AF a x +=+，||AB ∴=123,43F B =，4x ∴=，则双曲线C 的焦距为212436x +=+，12AF F ∴ 故答案为：①215，②1263+.)+∞【分析】用构造法解决含参不等式的恒成立问题，求解实数【详解】设2()ln 23f x x ax a =--+()x 在(0,)+∞上单调递增，)()33ln e 23e a a a --=-+-≥时，由11()axf x a x x '-=-=1a时，()0f x '>，当1x a >故3,AO OC OE OF AE FC ======所以AOE COF △≌△，所以EAO ∠=∠因为,,BF DF QF QF BFQ DFQ ==∠=∠所以BQ DQ =，所以OQ BD ⊥，又,,⋂=⊂AC BD O AC BD 平面ABCD ，所以（2）四边形ABCD 是菱形，则AC BD ⊥以O 为原点，,,OB OC OQ 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图：AOE △中，()()222323cos 232EAO +-∠=⨯⨯故2313tan 233EAO ⎛⎫- ⎪⎝⎭∠==，故OQ AO=则(0,3,0),(1,0,0),(0,3,0),(1,0,0),A B C D --故(1,3,0),(1,0,6),(1,AD DQ BC =-==- 设平面AQD 的法向量为()111,,m x y z = ，则令16x =，则112,1y z ==-，故(6,m =设平面BCF 的法向量为()222,,x n y z = ，则令26x =，则222,1y z ==，故(6,n =所以621cos ,|||6216m nm n m n ⋅+-<>==++⨯+所以平面ADQ 与平面BCF 所成角的余弦值为令()3ln ,(e,),()2ln t x x x x x t x x '=-∈+∞=-，易得()t x 在()2e,e上单调递增，在()2e ,+∞上单调递减，故()22max ()e e m n t x t +<==．综上，22e e m n <+<．【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.。

安徽省黄山市2021届高三下学期毕业班第二次质量检测(二模)数学(理)试卷(有答案)

安徽省黄山市2021届高三下学期毕业班第二次质量检测（二模）数学（理）试卷一、选择题1.已知集合{1,2,3},{(2)0}A B x x x ==-≤∣，则A B ⋂（） A ．{2,3} B ．{1,3}C ．{1,2}D ．{1,2,3}2.复数3i 523i-+的实部为（） A ．113B ．913C ．113-D ．21133.若π1cos 64x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭则πsin 26x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）AB ．78C．D ． 78-4.古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式”．在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美．如清代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》（如图）以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，不论顺着读还是逆着读，皆成佳作．数学与生活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日(20200202)被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）．数学上把20200202这样的对称数叫回文数，两位数的回文数共有9个(11，22，…，99)，则在三位数的回文数中，出现奇数的概率为( )A ．13B ．49C ．59D ．235.设函数224,4,()log ,4,x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩若函数()f x 在区间(],1m m +上单调递减，则实数m 的取值范围是（） A. []2,3B. ()2,3C. (]2,3D. [)2,36.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点,若3PF==（） A. 3B. 4或或837.下列命题: ①在线性回归模型中,相关指数2R 表示解释变量x 对于预报变量y 的贡献率,2R 越接近于0,表示回归效果越好; ②两个变量相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于1; ③两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好; ④对分类变量X 与Y ,它们的随机变量2K 的观测值k 来说,k 越大,“X 与Y 有关系”的把握程度越大. 其中正确命题的个数是( ) A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8.已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前三项和为14，且53134a a a =+，则2021a =( ) A. 20202B. 20212C. 20222D. 202329.设1ln 3a =，1b e -=-，31log 2c =，则 ( )A. b c a <<B. a c b <<C. c a b <<D. c b a <<10.在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若sin sin sin B C A =,ABC △的面积为 12，3a b +=则角C = ( )A. 30︒B. 120︒C. 30︒或150︒D. 60︒或120︒11.棱长为4的正方体密闭容器内有一个半径为1的小球，小球可在正方体容器内任意运动，则其能到达的空间的体积为( ) A ．22π323+B ．4π363+C ．13π443+D ．1212π+12.已知0,0a b >>，且a b ≠，如果,a b 是1()ln 2021f x x x =-的两个零点，则ab 的范围( )A. (,)e +∞B. 2(,)e +∞C. 21(,)e +∞D. 1(,)e+∞二、填空题13.已知函数πcos02()2|21|20x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨⎪+-<≤⎩，若()f x =,则x =____________. 14.若()202120210120211-3()x a a x a x x R =+++∈,则20211222021333a a a +++的值为___________. 15.已知ABC △是边长为4的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()()PB AB PB PC -⋅+ 的最小值是_____________.16.已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点, 过点2F 作圆222x y a += 的切线交双曲线左支于点M ,且1260F MF ∠=︒，则该双曲线的渐近线方程为___________.三、解答题17.已知,,A B C 为ABC △的三个内角，且其对边分别为,,a b c ，若(2)cos cos()0c b A a A B +-+=. （1）求A ；（2）若a =ABC △的面积的最大值．18.四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，侧面SAD 为正三角形，且平面SAD ⊥平面ABCD . 已知//,2,4AD BC AB AD BC ===.（1）试画出平面SAB 与平面SCD 的交线m ,并证明：BC m ⊥；（2）记棱AD 中点为O ，BC 中点为E , 若点F 为线段OE 上动点，当满足FA FB +最小时，求SF 与平面SBC 所成角的正弦值.19.设n 是给定的正整数（2n >), 现有n 个外表相同的袋子，里面均装有n 个除颜色外其他无区别的小球，第k （1,2,3,,k n =)个袋中有k 个红球，n k -个白球. 现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球（每个取后不放回）.（1）若4n =, 假设已知选中的恰为第2个袋子，求第三次取出为白球的概率；（2）若4n =，求第三次取出为白球的概率；（3）对于任意的正整数n （2n >)，求第三次取出为白球的概率.20.已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>,其短轴长为离心率为1e ,双曲线222:1(0,0)x y C p q p q-=>>的渐近线为y =,离心率为2e ,且121e e ⋅=.（1）求椭圆1C 的方程；（2）设椭圆1C 的右焦点为F ,动直线l （l 不垂直于坐标轴）交椭圆1C 于,M N 不同两点,设直线FM和FN 的斜率为12,k k , 若12k k =-,试判断该动直线l 是否过定点,若是，求出该定点;若不是,请说明理由.21.已知函数()ln ,f x a x x =+函数2()x g x e bx =+,（1）记2()()h x f x x =+, 试讨论函数()h x 的单调性，并求出函数()h x 的极值点；（2）若已知曲线()y f x =和曲线()y g x =在1x =处的切线都过点(0,1).求证：当0x > 时，()()(1)1xf x g x e x +--≥.22.选修4―4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为os x y sin ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（其中ϕ为参数），曲线222:20C x y y +-=，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线:l θα=（0ρ≥）与曲线1C ，2C 分别交于点,A B （均异于原点O ）. （1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）当π02α<<时，求22OA OB +的最小值. 23.选修4—5：不等式选讲已知函数()|2||1|f x x a x =--+.（1）当2a =时，求不等式()2f x <的解集；（2）若0a >，不等式()30f x +>恒成立，求实数a 的取值范围.参考答案1.答案：A 解析：2.答案：C 解析：3.答案：D 解析：4.答案：C 解析：505909P ==，选C 5.答案：A解析： 6.答案：D 解析： 7.答案：C 解析： 8.答案：B 解析： 9.答案：B 解析： 10.答案：C 解析： 11.答案：A 解析： 12.答案：B 解析： 13.答案：32解析： 14.答案：1- 解析： 15.答案：6- 解析：16.答案：(1y x =± 解析：17.答案：（1）cos()cos(π)cos A B C C +=-=-, cos (2)cos 0a C c b A ∴++=，由正弦定理得：sin cos (sin 2sin )cos 0A C C B A ++=，即sin cos sin cos 2sin cos 0A C C A B A ++=，即sin()2sin cos 0A C B A ++=，即sin 2sin cos 0B B A +=，sin 0B ≠，1cos 2A ∴=-，又(0,π)A ∈，2π3A ∴=．（2）由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即2212b c bc =++，22122b c bc bc +=-≥，4bc ∴≤，当且仅当2b c ==取等号，故ABC △的面积为112πsin 4sin223S bc A =≤⨯⨯= ∴ABC △解析：18.答案：解：（1）延长,BA CD 交于点P ,连PS . 则PS 即为平面SAB 与平面SCD 的交线m . 证明：//,2AD BC BC AD =,PBC ∴△中，A D 、为中点PA AB SA ∴== PS SB ∴⊥.同理PS SC ∴⊥, 又SB SC S ⋂=,PS ∴⊥平面SBC ,BC ⊆平面SBC ,PS BC ∴⊥,即BC m ⊥.（2）等腰梯形中，,B C 关于直线OE 对称，所以FA FB FA FC AC +=+≥，(,,A F C 三点共线时取等号），连AC 交OE 于F,则点F 为所求使FA FB +最小的点..此时11,23OF OA OF OE FE CE ==∴=. 如图建立平面直角坐标系O xyz -,SB (C-F ,(0,SF=,S B =,(4,0,0)BC =-, 设平面SBC 法向量为(,,1)mx y =00201400m SB x x y x m BC ⎧⎧⋅==⎧+-=⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=-=⎪⎩⋅=⎩⎪⎩∴(0,1,1)m =记SF 与面SBC 所成的角为θ，则5sin |cos |||||m SF m SF m SF θ⋅=<⋅>==解析：19.答案：解：（1）4n =时，选中的恰为第2个袋子，袋中2红球，2白球.记“第三次取出为白球”为事件A ，则13241()2C P A C ==；(2) 4n =时,记“从第k 个袋中第三次取出为白球”为事件(1,2,3,4)k A k =231343()4C P A C ==;132241()2C P A C ==;033141()4C P A C ==;4()0P A =而每一个袋子被选中概率均为14所以第三次取出为白球的概率4113()48k k P P A ===∑；(3)n 个袋子时,记“从第k 个袋中第三次取出为白球”为事件(1,2,3,,)k A k n =.11(1)!(1)!!()!()!!n k n k n k nn C n kn k k P A n C n n k k --------===-,(1,2,3,,)k n =;而每一个袋子被选中概率均为1n,所以第三次取出为白球的概率11111()2n n k k k n k n P P A n n n n==--===∑∑解析：20.答案：(1)由题意知22143x y +=,(2)根据椭圆对称性，该直线过定点且在x 轴上，设直线l 的方程()y k x t =-，联立22()143y k x t x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 整理得22222(34)84120k x k tx k t +-+-= ，设112,2(,),(),M x y N x y 则 2221212228412,3434k t k t x x x x k k -+==++1212121212()()1111y y k x t k x t k k x x x x --+=+=+---- 122112()(1)()(1)(1)(1)x t x x t x kx x --+--=--121212122(1)()20()1x x t x x tk x x x x -+++=⋅=-++即222222222222412882488682(1)20343434k t k t k t k t k t t k t t t k k k ----++⋅-++==+++，所以2460t -+=，4t =，即直线过定点(4,0)解析：21.答案：解：(1) 222()ln ,'()(0)x x a h x a x x x h x x x++=++=>，记2()2(0)x x x a x ϕ=++>，当时，'()0,()h x h x >在()0+∞，单调的增，无极值点.当时，180,()a x ϕ∆=->有异号两根)120,0)x x =<=> ()h x在单调递减；))0,'()0x x h x ϕ∈+∞>>，（,()h x在)+∞单调递减. ()h x ∴有极小值点x(2)'()(0),x af x x x+=> '()2x g x e bx =+'(1)1,f a ∴=+()f x 在1x =处切线方程为1(1)(1)y a x -=+-,过点(0,1)得1a =-， '(1)2,g e b =+()g x 在1x =处切线方程为(2)(1)y e b e b x --=+-,过点(0,1)得1b =-，2()ln ,()x f x x x g x e x ∴=-+=- 要证：()(x)(1)1xf x g e x +--≥，即证：ln (1)x 10x e x x e ----≥,即证：1ln (1)0x e x e x x----≥. 构造函数1()ln (1)x e K x x e x x =----,则2(1)(1)'(),x x e K x x --=0x >时，10,x e ->(0,1)x ∴∈时'()0,()K x K x <在()0,1单调递减(1,)x ∴∈+∞时'()0,()K x K x >在(1,)+∞单调递增. ()(1)0K x K ∴≥=.所以原不等式成立.解析：22.答案：解：（1）1C 的普通方程为2231x y +=，代入cos ,sin x y ρθρθ==得1C 的极坐标方程为22123sin ρθ=+，2C 的极坐标方程为2sin ρθ= （2）联立()0θαρ=≥与1C 的极坐标方程得22s n 312i OA α=+ 联立()0θαρ=≥与2C 的极坐标方程得224OB sin α=则()222222334sin 212sin 2212sin 12sin OA OB αααα+=+=++-≥++ ∴22OA OB +最小值为2.解析：23.答案：（1）当2a =时，函数()3,122113,113,1x x f x x x x x x x -≥⎧⎪=--+=--<<⎨⎪-+≤-⎩，当1x ≥时，由()2f x <，可得32x -<，解得15x ≤<；当11x -<<时，由()2f x <，可得132x -<，解得113x -<<；当1x <-时，由()2f x <，可得32x -<，此时解集为空集，综上所述：不等式()2f x <的解集为1,53⎛⎫- ⎪⎝⎭.（2）若0a >，函数()1,213,121,1a x a x a f x a x x a x x ⎧--≥⎪⎪⎪=---<<⎨⎪+-≤-⎪⎪⎩由一次函数性质可知()f x 在,2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭为减函数，在+2a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，为增函数，所以()min 122a af x f ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，因为不等式()30f x +>恒成立，即()min 3f x >-，即132a-->-，解得4a <又因为0a >，所以实数a 的取值范围()0,4.。

2024届安徽省安庆市高三下学期二模数学试题及答案

2024年安庆市高三模拟考试（二模）数学试题命题：安庆市高考命题研究课题组考试时间120分钟，满分150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1．设集合{}213A x x =-≤，集合101x B xx ⎧⎫+=>⎨⎬-⎩⎭，则A B = （）A ．(1,2]B ．[1]2,C ．(1,1)-D ．(1,2)-2．已知复数2z =，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=（）A ．14B ．1C ．2D ．43．设F 是椭圆22:1259x y C +=的一个焦点，过椭圆C 中心的直线交椭圆于P ，Q 两点，则PQF △的周长的最小值为（）A ．12B ．14C ．16D ．184．在一次学科核心素养能力测试活动中，随机抽取了100名同学的成绩（评分满分为100分），将所有数据按[40,50]，(50,60]，(60,70]，(70,80]，(80,90]，(90,100]进行分组，整理得到频率分布直方图如图所示，则估计这次调查数据的第64百分位数为（）A ．80B ．78C ．76D ．745．设{}n a 是公比不为1的无穷正项等比数列，则“{}n a 为递减数列”是“存在正整数0n ，对任意的正整数0n n >，1n a <”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知点(1,0)P ，(C ，O 是坐标原点，点B 满足1BC =，则OP 与PB 夹角最大值为（）A ．56πB ．23πC ．2πD ．3π7．已知函数2()2cos sin 21(0)f x x x ωωω=+->的图象关于点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，且()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上没有最小值，则ω的值为（）A ．12B ．32C ．52D ．728．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，122AB AD AA ==，点E 是棱AB 上任意一点（端点除外），则（）A ．不存在点E ，使得1EC D E⊥B ．空间中与三条直线11A D ，EC ，1BB 都相交的直线有且只有1条C ．过点E 与平面1D AE 和平面DAEC 所成角都等于8π的直线有且只有1条D ．过点E 与三条棱AB ，AD ，1AA 所成的角都相等的直线有且只有4条二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知定义在R 上的函数()f x ，满足对任意的实数x ，y ，均有()()()1f x y f x f y +=+-，且当0x >时，()1f x <，则（）A ．(0)1f =B ．(1)(1)1f f +-=C ．函数()f x 为减函数D ．函数()y f x =的图象关于点(0,1)对称10．抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为(0,1)F ，经过点F 且倾斜角为α的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，分别过点A 、点B 作抛物线C 的切线，两切线相交于点E ，则（）A ．当||16AB =时，3πα=B ．AOB △面积的最大值为2C ．点E 在一条定直线上D ．设直线EF 倾斜角为β，||αβ-为定值11．满足12a =，21a =，()*21n n n a a a n ++=+∈N 的数列{}n a 称为卢卡斯数列，则（）A ．存在非零实数t ，使得{}()*1n n a ta n ++∈N 为等差数列B ．存在非零实数t ，使得{}()*1n n a ta n ++∈N 为等比数列C ．()*243n n n a a a n ++=+∈N D ．202420231(1)3ii aa =-=-∑三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12．在二项式10+的展开式中，常数项为__________．13．已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为M ，底面直径2AB =．圆锥的内切球和外接球的球心重合于一点O ，则该圆锥的全面积为__________．14．剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的中国民间艺术．其传承赓续的视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认知、道德观念、实践经验、生活理想和审美情趣，具有认知、教化、表意、抒情、娱乐、交往等多重社会价值．现有如图所示剪纸图案，其花纹中就隐含方程为222333(0)x y a a +=>的曲线C （称为星形线），则曲线C 的内切圆半径为__________；以曲线C 上点(,)(0)m n mn ≠为切点的直线被坐标轴截得的线段长等于__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）如图，在平面凸四边形ABCD 中，2sin tan tan cos BADABD ADB ABD∠∠+∠=∠．（1）求ADB ∠；（2）若4AD BD ==，6ACB BDC π∠=∠=，求CD ．16．（15分）已知函数()2ln ()mf x x x m x=-+∈R ．（1）当3m =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）若不等式()0f x ≤对任意的[1,)x ∈+∞恒成立，求实数m 的取值范围．17．（15分）如图，将边长为2的菱形ABDC 沿其对角线BC 对折，使得点A 、D 分别位于边长为2的等边PBC △所在平面的两侧，且PA =PD =．设E 是PA 的中点．（1）证明：平面PBC ⊥平面ABC ；（2）求平面EBD 与平面ABC 夹角的正弦值．18．（17分）树人高中拟组织学生到某航天基地开展天宫模拟飞行器体验活动，该项活动对学生身体体能指标和航天知识素养有明确要求．学校所有3000名学生参加了遴选活动，遴选活动分以下两个环节，当两个环节均测试合格可以参加体验活动．第一环节：对学生身体体能指标进行测试，当测试值12.2ξ≥时体能指标合格；第二环节：对身体体能指标符合要求的学生进行航天知识素养测试，测试方案为对A ，B 两类试题依次作答，均测试合格才能符合遴选要求．每类试题均在题库中随机产生，有两次测试机会，在任一类试题测试中，若第一次测试合格，不再进行第二次测试．若第一次测试不合格，则进行第二次测试，若第二次测试合格，则该类试题测试合格，若第二次测试不合格，则该类试题测试不合格，测试结束．经过统计，该校学生身体体能指标ξ服从正态分布(9,2.56)N ．参考数值：()0.6827P X μσμσ-<<+=，(22)0.9545P X μσμσ-<<+=，(33)0.9973P X μσμσ-<<+=．（1）请估计树人高中遴选学生符合身体体能指标的人数（结果取整数）；（2）学生小华通过身体体能指标遴选，进入航天知识素养测试，作答A 类试题，每次测试合格的概率为13，作答B 类试题，每次测试合格的概率为14，且每次测试相互独立．①在解答A 类试题第一次测试合格的条件下，求测试共进行3次的概率．②若解答A 、B 两类试题测试合格的类数为X ，求X 的分布列和数学期望．19．（17分）取整函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其定义如下：设x ∈R ，不超过x 的最大整数称为x 的整数部分，记作[]x ，函数[]y x =称为取整函数．另外也称[]x 是x 的整数部分，称{}[]x x x =-为x 的小数部分．（1）直接写出[ln ]π和34⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的值；（2）设a ，*b ∈N ，证明：a a a b b b b ⎡⎤⎧⎫=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，且01a b b b ⎧⎫≤≤-⎨⎬⎩⎭，并求在b 的倍数中不大于a 的正整数的个数；（3）对于任意一个大于1的整数a ，a 能唯一写为1212k aaak a p p p =⨯⨯⨯ ，其中i p 为质数，i a 为整数，且对任意的i j <，i j p p <，i ，{1,2,3,,}j k ∈⋯，称该式为a 的标准分解式，例如100的标准分解式为2210025=⨯．证明：在!n 的标准分解式中，质因数i p （i p n ≤，1n >，*n ∈N）的指数2024年安庆二模数学参考答案一、单项选择题题号12345678答案ABCBCABD二、多项选择题题号91011答案ACDCDBCD三、填空题12．21013．3π14．12a ，a 四、解答题15．【解析】（1）由已知得：sin sin 2sin cos cos cos ABD ADB BADABD ADB ABD∠∠∠+=∠∠∠，故sin cos cos sin 2sin cos cos cos ABD ADB ABD ADB BAD ABD ADB ABD∠∠+∠∠∠=∠∠∠，所以sin()2sin cos cos cos ABD ADB BAD ABD ADB ABD∠+∠∠=∠∠∠．因为sin()sin()sin 0ABD ADB BAD BAD π∠+∠=-∠=∠≠，故1cos 2ADB ∠=，所以3ADB π∠=．（2）由已知，ABD △为边长为4的等边三角形，在ABC △中，6ACB π∠=，由正弦定理得sin sin BC ABBAC ACB=∠∠，故sin 8sin sin AB BACBC BAC ACB∠==∠∠．由于BAC BCA ABD CBD π∠+∠+∠+∠=，所以2BAC CBD π∠+∠=，故8cos BC CBD =∠．在BCD △中，由余弦定理得2222cos CD BD BC BD BC CBD =+-⨯⨯∠，即22248cos 16CD BC BC CBD =+-⨯⨯∠=，得4CD =．16．【解析】（1）当3m =-时，3()2ln f x x x x=--，其定义域为(0,)+∞，求导，得22222323(3)(1)()1x x x x f x x x x x -++--+'=-+==．令()0f x '=，得3x =（1x =-舍去），当03x <<时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当3x >时，()0f x '<，函数()f x 单调递减．所以函数()f x 的单调递增区间为(0,3)，单调递减区间为(3,)+∞．（2）方法1：由条件可知(1)0f ≤，于是10m -≤，解得1m ≤．当1m ≤时，1()2ln 2ln m f x x x x x x x=-+≤-+，构造函数1()2ln g x x x x =-+，1x ≥，对其求导，得22221(1)()10x g x x x x -'=--=-≤，所以函数()g x 在[1,)+∞上单调递减，于是()(1)0g x g ≤=，因此实数m 的取值范围是(,1]-∞．方法2：由条件可知22ln m x x x ≤-对任意的[1,)x ∈+∞恒成立，令2()2ln h x x x x =-，1x ≥，只需min [()]m h x ≤即可．对函数()h x 求导，得()22(ln 1)2(ln 1)h x x x x x '=-+=--，12(1)()210x h x x x-⎛⎫''=-=≥ ⎪⎝⎭，所以函数()h x '在[1,)+∞上单调递增，于是()(1)0h x h '≥'=，所以函数()h x 在[1,)+∞上单调递增，所以m [()](1)1m h x h ==，于是1m ≤，因此实数m 的取值范围是(,1]-∞．17．【解析】（1）证明：取BC 的中点O ，连接OA 、OP ，如图所示．因为四边形ABDC 是边长为2的菱形，PBC △是边长为2的等边三角形，所以ABC △也是边长为2的等边三角形．在等边PBC △中，O 是BC 的中点，故OP BC ⊥；且OA OP ==又PA =OP OA ⊥；又OA BC O = ，故OP ⊥平面ABC ；又OP ⊂平面PBC ，故平面PBC ⊥平面ABC ．（2）由（1）知，OP BC ⊥，OP OA ⊥．又O 是等边ABC △的BC 边中点，故OA BC ⊥．所以，以O 为原点，分别以OA 、OB 、OP 所在直线为x 、y 、z 轴，建立如图示空间直角坐标系．则)A，(0,1,0)B ，(0,1,0)C -，(P，故E ⎝⎭．因为DBC △是边长为2的等边三角形，故OD OP PD ===，所以60POD ∠=︒，且OD BC ⊥，又OP BC ⊥，OD OP O = ，故BC ⊥平面DOP ，则D 在平面xOz内．故求得32D ⎛-⎝⎭，所以BE =-⎝⎭，3,2BD ⎛=-- ⎝⎭，设平面ABC 的法向量为(,,)m a b c = ，显然可令(0,0,1)m =；设平面EBD 的法向量为(,,)n x y z =令2z =，则0x =，y =()2n =．所以cos ,m n m n m n ⋅=== ，设平面EBD 与平面ABC 的夹角为θ，则s in θ==，故平面EBD 与平面ABC．18．【解析】（1）10.9545(12.2)(2)0.022752P P ξξμσ-≥=≥+==．所以符合该项指标的学生人数为：30000.0227568.2568⨯=≈人．（2）①记1A 表示解答A类试题第一次测试合格，1B ，2B 分别表示解答B 类试题第一次和第二次测试合格，测试共进行3次记为事件M ，则()113P A =，()()()1121213113313443444P A M P AB B P AB B =+=⨯⨯+⨯⨯=．()()()()()112112111134().143P A B B P A B B P A M P M A P A P A +====∣②设X 的取值为0，1，2，224(0)339P x ==⨯=，13321335(1)344334416P x ==⨯⨯+⨯⨯⨯=，35(2)1(0)(1)144P x P x P x ==-=-==，所以X 的分布列为X 012P4951635144数学期望4535115()012916144144E X =⨯+⨯+⨯=．19．【解析】（1）1，0.25；（2）证明：因为a a ab b b ⎡⎤⎧⎫=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，等式两边同时乘b ，得a a a b b b b ⎡⎤⎧⎫=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭．因为a ，b 都为整数，所以a a b a b b b⎧⎫⎡⎤=-⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦也为整数，又01a b ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭，所以0a b b b ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭．所以01a b b b ⎧⎫≤≤-⎨⎬⎩⎭，得证．假设b ，2b ，…，nb 都小于等于a ，因为a a a b b b b ⎡⎤⎧⎫=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，所以a a nb a b b b b⎡⎤⎧⎫≤=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，所以a a n b b ⎡⎤⎧⎫≤+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭．因为0a b ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭，所以a n b ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦，所以b 的倍数中不大于a 的正整数的个数为a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（3）!123n n =⨯⨯⨯⨯ ，将2，3，…，n 每一个数都分解为质因数的乘积．将这些数都提取i p 出来，此时p 的倍数中还有可以提取出i p 的数，。

2020届安徽省合肥市高三二模(理科)数学试卷(解析版)

x ．2020 届安徽省合肥市高三二模（理科）数学试卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分． 1．若集合 A ＝{x|x 2﹣2x ﹣3≤0}，B ＝{x|2x ≥ A ．B ．}，则 A ∩B ═（）C ．D ．[2，3]2．欧拉公式 e i θ＝cos θ+isin θ 把自然对数的底数 e ，虚数单位 i ，三角函数 cos θ 和 sin θ 联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”若复数 z 满足（e i π+i ）•z ＝i ，则|z|＝（）A ．1B ．C ．D ．3．若实数 x ，y 满足约束条件，则 z ＝2x ﹣y 的最小值是（）A ．﹣5B ．﹣4C ．7D ．164．已知 f （x ）为奇函数，当 x ＜0 时，f （x ）＝e ﹣﹣ex 2（e 是自然对数的底数），则曲线 y ＝f （x ）在x ＝1 处的切线方程是（）A ．y ＝﹣ex +eB ．y ＝ex +eC ．y ＝ex ﹣eD ．5．若 m cos80°+A ．46．已知函数＝1，则 m ＝（）B ．2C ．﹣2D ．﹣4的图象关于点成中心对称，且与直线 y ＝a 的两个相邻交点间的距离为，则下列叙述正确的是（）A ．函数 f （x ）的最小正周期为 πB ．函数 f （x ）图象的对称中心为C ．函数 f （x ）的图象可由 y ＝tan2x 的图象向左平移得到D ．函数 f （x ）的递增区间为7．《九章算术》中“勾股容方”问题：今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图 1，用对角线将长和宽分别为 b 和 a 的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）将三种颜色的图形进行重组，得到如图2 所示的矩形，该矩形长为 a +b ，宽为内接正方形的边长 d ．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图 3．设 D 为斜边 BC 的中点，作直角三角形 ABC 的内接正方形对角线 AE ，过点 A 作 AF ⊥BC 于点 F ，则下列推理正确的是且 y D 0 B①由图 1 和图 2 面积相等可得；②由 AE ≥AF 可得；③由 AD ≥AE 可得；④由 AD ≥AF 可得 a 2+b 2≥2ab ．A ．①②③④B ．①②④C ．②③④D ．①③8．为了实施“科技下乡，精准脱贫”战略，某县科技特派员带着 A ，B ，C 三个农业扶贫项目进驻某村，对该村仅有的甲、乙、丙、丁四个贫困户进行产业帮扶经过前期实际调研得知，这四个贫困户选择 A ，B ，C 三个扶贫项目的意向如表：扶贫项目贫困户A甲、乙、丙、丁 B甲、乙、丙 C丙、丁若每个贫困户只能从自己已登记的选择意向项目中随机选取一项，每个项目至多有两个贫困户选择，则不同的选法种数有（）A ．24 种B ．16 种C ．10 种D ．8 种9．某几何体是由一个半球挖去一个圆柱形成的，其三视图如图所示．已知半球的半径为几何体的体积最小时，它的表面积为（）A ．24πB ．C ．21πD ．10．已知抛物线 C ：2＝4x 的焦点为 F ，过点（3，）的直线交抛物线 C 于点 A ，，若，则当此，则＝（）A ．﹣9B ．﹣11C ．﹣12D ．11．若关于 x 的不等式 ax ﹣2a ＞2x ﹣lnx ﹣4 有且只有两个整数解，则实数 a 的取值范围是（）A ．（2﹣ln3，2﹣ln2]B ．（﹣∞，2﹣ln2）C ．（﹣∞，2﹣ln3]D ．（﹣∞，2﹣ln3）12．在三棱锥 P ﹣ABC 中，二面角 P ﹣AB ﹣C 、P ﹣AC ﹣B 和 P ﹣BC ﹣A 的大小均等于，AB ：AC ：BC＝3：4：5，设三棱锥P﹣ABC外接球的球心为O，直线PO与平面ABC交于点Q，则＝A．B．2C．3D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.第16题第一空2分，第二空3分13．已知向量和满足||＝|﹣2|＝，|﹣|＝1，则•＝．14．三人制足球（也称为笼式足球）以其独特的魅力，吸引着中国众多的业余足球爱好者，在某次三人制足球传球训练中，A队有甲、乙、丙三名队员参加．甲、乙丙三人都等可能地将球传给另外两位队友中的一个人．若由甲开始发球（记为第一次传球），则第4次传球后，球仍回到甲的概率等于．15．已知双曲线C：的右焦点为点F，点B是虚轴的一个端点，点P为双曲线C左支上一个动点，若△BPF周长的最小值等于实轴长的4倍，则双曲线C的渐近线方程为．△16．已知ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA，sinB，sinC成等比数列，sin （B﹣A），sinA，sinC成等差数列，则：（1）C＝；（2）＝．三、解答题：本大题共5小题，满分60分17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a2＝1，S7＝14，数列{b n}满足．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若数列{c n}满足c n＝b n cos（a nπ），求数列{c n}的前2n项和T2n．18．如图（1），在矩形ABCD中，E，F在边CD上，BC＝CE＝EF＝FD沿BE，AF将△CBE和△DAF 折起，使平面CBE和平面DAF都与平面ABEF垂直，如图（2）．（1）试判断图（2）中直线CD与AB的位置关系，并说明理由；（2）求平面ADF和平面DEF所成锐角二面角的余弦值．（B19．12分）已知椭圆C的方程为，斜率为的直线与椭圆C交于A，两点，点P在直线l的左上方．（1）若以AB为直径的圆恰好经过椭圆C的右焦点F2，求此时直线l的方程；（2）求证：△P AB的内切圆的圆心在定直线x＝1上．20．（12分）某企业拟对某条生产线进行技术升级，现有两种方案可供选择：方案A是报废原有生产线，重建一条新的生产线；方案B是对原有生产线进行技术改造，由于受诸多不可控因素的影响，市场销售状态可能会发生变化．该企业管理者对历年产品销售市场行情及回报率进行了调研，编制出如表：市场销售状态市场销售状态概率（0＜p＜1）畅销2p平销1﹣3p滞销p预期平均年利润（单位：万元）方案A方案B700600400300﹣400﹣100（（1）以预期平均年利润的期望值为决策依据，问：该企业应选择哪种方案？（2）记该生产线升级后的产品（以下简称“新产品）的年产量为x （万件），通过核算，实行方案 A 时新产品的年度总成本 y 1（万元）为 y 1 ＝+10x+160，实行方案 B 时新产品的年度总成本y 2 （万元）为 y 2 ＝+20x+100．已知 p ＝0.2，x ≤20．若按（1）的标准选择方案，则市场行情为畅销、平销和滞销时，新产品的单价 t （元）分别为 60，60﹣ x ，60﹣x ，且生产的新产品当年都能卖出去试问：当 x 取何值时，新产品年利润的期望取得最大值？并判断这一年利润能否达到预期目标．21．（12 分）已知函数 f （x ）＝e x sinx （e 是自然对数的底数）．（1）求 f （x ）的单调递减区间；（2）记 g （x ）＝f （x ）﹣ax ，若 0＜a ＜3，试讨论 g （x ）在（0，π）上的零点个数．（参考数据）请考生在第 22、23 题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.[选修 4-4：坐标系与参数方程]22．（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（φ 为参数）．以坐标原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为．（1）曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； 2）若直线 l 与曲线 C 交于P ，Q 两点，M （2，0），求|MP|+|MQ |的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知不等式|x﹣1|+|3x﹣5|＜m的解集为足a+b+c＝m，证明：．（1）求n的值；（2）若三个正实数a，b，c满．2020年安徽省合肥市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵，∴．故选：A．【点评】本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，指数函数的单调性，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．【分析】由已知可得e iπ＝﹣1，再把（e iπ+i）•z＝i变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，结合复数模的计算公式求解．【解答】解：由e iθ＝cosθ+isinθ，得e iπ＝cosπ+isinπ＝﹣1，则由（e iπ+i）•z＝i，得z＝，∴|z|＝．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．3．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最小值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），由z＝2x﹣y，得y＝2x﹣z，平移直线y＝2x﹣z，由图象可知当直线y＝2x﹣z经过点A（0，4）时，直线y＝2x﹣z的截距最大，此时z最小．此时z的最小值为z＝0×2﹣4＝﹣4，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法．4．【分析】根据条件求出f（x）在x＜0时的解析式，然后求出其导数，再求出f（x）在x＝1处的切线斜率f'（1），进一步得到其切线方程．x ．【解答】解：∵f （x ）为奇函数，当 x ＜0 时，f （x ）＝e ﹣﹣ex 2， ∴当 x ＞0 时，f （x ）＝﹣e x +ex 2，∴此时 f'（x ）＝）＝﹣e x +2ex ， ∴f （x ）在 x ＝1 处的切线斜率 k ＝f'（1）＝e ，又 f （1）＝0， ∴f （x ）在 x ＝1 处的切线方程为 y ＝ex ﹣e ．故选：C ．【点评】本题考查了函数与导数的综合应用和利用导数研究曲线上某点切线方程，考查化归与转化的数学思想，属基础题．5 【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得 sin20°m ＝2sin20°，进而可求 m 的值．【解答】解：∵m cos80°+＝1，∴m sin10°+＝1，可得 sin10°cos10°m+sin10°﹣cos10°＝0，∴ sin20°m ＝2sin20°，∴ m ＝2，解得 m ＝4．故选：A ．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．6．【分析】根据题意求出周期，参数，然后根据函数的性质判断选项．【解答】解：∵直线 y ＝a 的两个相邻交点间的距离为，∴函数 f （x ）的最小正周期为∴，，A 错，∵图象关于点成中心对称，∴2×∴φ＝+φ＝．，k ∈Z ，∴函数 f （x ）图象的对称中心为（∴f （x ）＝tan （2x +），+ ，0），k ∈Z ，B 错；∴函数 f （x ）的图象可由 y ＝tan2x 的图象向左平移∵﹣+k π＜2x + ＜ +k π，∴函数 f （x ）的递增区间为故选：D ．得到，C 错；，D 对．．【点评】本题考查三角函数的性质，属于中档题．7．【分析】根据题意求出 AD ，AE ，AF ，然后可判断②③④对，根据面积相等，可判断①对．【解答】解：由图 1 和图 2 面积相等 ab ＝（a +b ）d ，可得由题意知图 3 面积为，AF ＝，AD ＝，，①对；图 3 设正方形边长为 x ，由三角形相似，，解之得 x ＝，则 AE ＝；可以化简判断②③④对，故选：A ．【点评】本题考查根据图形，证明一些不等式，属于中等题． 8．【分析】根据题意，以选 C 项目的户数 2，1，0 为标准分为 3 类，每一类中再去考虑 A ，B 两项目的选项情况，用列举的方法找出每一类的人数，再相加即可．【解答】解：以选 C 项目的户数 2，1，0 为标准分为 3 类，（1）C 项 2 户，有 4 种选法；（2）C 项 1 户，若是丁有 6 种选法，若是丙有 3 种选法，共有 9 种选法；（3）C 项 0 户，有 3 种选法．则由加法原理共有 4+9+3＝16 种，故选：B ．【点评】本题考查分类计数原理的运用，关键是以选 C 项的户数有 3 种情况，进而确定分类的方法． 9 【分析】设半球的内接圆柱底面半径为 r ，高为 h ；写出几何体的体积，利用导数求出体积的最小值以及对应的 h 和 r 的值，再求该几何体的表面积．【解答】解：设半球的内接圆柱底面半径为 r ，高为 h ；则球的半径为 R ＝，且 r 2+h 2＝6；此时几何体的体积为 V ＝V半球﹣V圆柱＝ • π• ﹣πr 2h ＝4 π﹣π（6﹣h 2）h ＝（h 3﹣6h +4 ）π；设 f （h ）＝h 3﹣6h +4 ，h ∈（0，），则 f ′（h ）＝3h 2﹣6，令 f ′（h ）＝0，解得 h ＝；所以 h ∈（0，）时，f ′（h ）＜0，f （h ）单调递减； h ∈（，）时，f ′（h ）＞0，f （h ）单调递增；所以 h ＝时，f （h ）取得最小值为 f （）＝2 ﹣6 此时圆柱的底面半径为 2，高为；+4 ＝4 ﹣4 ．所以该几何体的表面积为 S ＝ •4π故选：D ．+π +2π•2• ＝（18+4 ）π．．【点评】本题考查了利用三视图求几何体体积与表面积的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．10 ．【分析】设直线 AB 方程为 x ＝ my +3 ，点 A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 2 ， y 2 ）．由⇒．联立，可得 y 2﹣4my ﹣12＝0．利用韦达定理可得 x 1x 2＝9，x 1+x 2＝7．即可得【解答】解：设直线 AB 方程为 x ＝my +3 点 A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）∵ ，∴ ．⇒联立，可得 y 2﹣4my ﹣12＝0．∴y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝﹣12．的值．∵，∴x 1x 2＝9，∴x 1+x 2＝7．则＝（x 1﹣1）（x 2﹣1）+y 1y 2（x 2﹣1）+y 1y 2＝x 1x 2﹣（x 1+x 2）+1+y 1y 2＝﹣9．故选：A ．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查了计算能力，属于中档题． 11 【分析】设 g （x ）＝2x ﹣lnx ﹣4，h （x ）＝ax ﹣2a ，画出图象，讨论当 a ≤0 时，当 a ＞0 时，数形结合即可得答案．【解答】解：由题意可知，ax ﹣2a ＞2x ﹣lnx ﹣4，设 g （x ）＝2x ﹣lnx ﹣4，h （x ）＝ax ﹣2a由 g ′（x ）＝2﹣ ＝．可知 g （x ）＝2x ﹣lnx ﹣4 在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数，h （x ）＝ax ﹣2a 的图象恒过点（2，0），在同一坐标系中作出 g （x ），h （x ）的图象如图，当 a ≤0 时，原不等式有且只有两个整数解；当 a ＞0 时，若原不等式有且只有两个整数 x 1，x 2，使得 f （x 1）＞0，且 f （x 2）＞0，则，即，解得 0＜a ≤2﹣ln3，综上可得 a ≤2﹣ln3，故选：C ．【点评】本题考查函数图象与方程的解的关系，考查分类讨论思想和数形结合，属于中档题．12．【分析】如图所示，可得，OM∥PN，Q，M，N三点共线，则，故只需求出OM的长即可进一步得出答案，而在△ABC中，解三角形易求得，再利用OP＝OB，建立关于OM长的方程，解方程得到OM的长，进而得解．【解答】解：依题意，点P在平面ABC内的射影为三角形ABC内切圆的圆心N，设内切圆的半径为r，则，解得r＝1，又二面角P﹣AB﹣C、P﹣AC﹣B和P﹣BC﹣A的大小均等于，故，设△ABC的外接圆圆心为M，易知OM⊥平面ABC，又PN⊥平面ABC，故OM∥PN，则点O，M，P，N四点共面，且平面ABC∩平面OMPN＝MN，又Q在平面APC内，且Q在平面OMPN内，∴Q在MN上，即Q，M，N三点共线；现在研究NM的长度，如图，易知，，故，显然，设OM＝x，由OP＝OB，即解得，∴，∴．可知，，【．故选：D ．【点评】本题是对外接球，二面角以及直线与平面位置关系的综合考查，考查空间想象能力，逻辑推理能力，运算求解能力，属于难题．二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.第 16 题第一空 2 分，第二空 3 分.把答案填在答题卡上的相应位置. 13．【分析】把所给向量的模长平方，整理即可求得结论．【解答】解：∵向量和满足| |＝| ﹣2 |＝，| ﹣ |＝1，∴﹣4﹣2++4 ＝2；①＝1，②＝2，③联立①②③可得： • ＝1．故答案为：1．【点评】本题考查两个向量的数量积的定义，向量的模的定义和求法． 14．分析】利用列举法求出所有的传球方法共有多少种，找出第 4 球恰好传回给甲的情况，由此能求出经过 4 传球后，球仍在甲手中的概率．【解答】解：所有传球方法共有：甲→乙→甲→乙→甲；甲→乙→甲→乙→丙；甲→乙→甲→丙→甲；甲→乙→甲→丙→乙；甲→乙→丙→甲→乙；甲→乙→丙→甲→丙；甲→乙→丙→乙→甲；甲→乙→丙→乙→丙；甲→丙→甲→乙→甲；甲→丙→甲→乙→丙；甲→丙→甲→丙→甲；甲→丙→甲→丙→乙；甲→丙→乙→甲→乙；甲→丙→乙→甲→丙；甲→丙→乙→丙→乙；甲→丙→乙→丙→乙甲．则共有 16 种方法．第 4 球恰好传回给甲的有 6 情况，∴经过 4 次传球后，球仍在甲手中的概率是 p ＝．故答案为：【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用． 15 【分析】由题意求得 B ，F 的坐标，设出 F'，运用双曲线的定义可得|PF|＝|PF'|+2△a ，则 BPF 的周长为|PB|+|PF|+|BF|＝|PB|+|PF'|+2a +，运用三点共线取得最小值，可得 a ，b ，c 的关系式，由 a ，b ，c 的关系，推出 a 、b 的关系，然后求解渐近线方程．【（【解答】解：由题意可得 B （0，b ），F （c ，0），设 F'（﹣c ，0），由双曲线的定义可得|PF|﹣|PF'|＝2a ， |PF|＝|PF'|+2a ，|BF|＝|BF'|＝，则△BPF 的周长为|PB|+|PF|+|BF||＝|PB|+|PF'|+2a +|BF'| ≥2|BF'|+2a ，当且仅当 B ，P ，F'共线，取得最小值，且为 2a +2由题意可得 8a ＝2a +2，即 9a 2＝b 2+c 2＝2b 2+a 2，即 4a 2＝b 2，可得，所以双曲线的渐近线方程为：y ＝±2x ．故答案为：y ＝±2x ．，【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用双曲线的定义和转化为三点共线取得最小值，考查运算能力，属于中档题．16．分析】 1）由已知结合等比数列的性质及等差数列的性质，和差角公式和余弦定理进行化简可求C ；（2）结合（1）及同角基本关系进行化简可求．【解答】解：（1）由 sinA ，sinB ，sinC 成等比数列，可得 sin 2B ＝sinAsinC ，即 b 2＝ac ， ∵sin （B ﹣A ），sinA ，sinC 成等差数列，2sinA ＝sin （B ﹣A ）+sinC ＝sin （B ﹣A ）+sin （B +A ）＝2sinBcosA ，所以 sinA ＝sinBcosA ，所以 a ＝b∴a 2+b 2＝c 2，∴C ＝，即 b 2+c 2﹣a 2＝2ac ＝2b 2，（2）由（1）可得 A +B ＝，且 sinA ＝sinBcosA ＝cos 2A ＝1﹣sin 2A ，解可得，sinA ＝＝cosB ，cosA ＝sinB ＝，．（（∴＝＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角基本关系在求解三角形中的应用，属于中档试题．三、解答题：本大题共 5 小题，满分 60 分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17 【分析】 1）设等差数列{a n }的公差设为 d ，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求 a n ；再将中的 n 换为 n ﹣1，两式相除可得 b n ；（2）求得 c n ＝b n cos （a n π）＝2n cos （ n π），结合等比数列的求和公式，可得所求和．【解答】解：（1）设等差数列{a n }的公差设为 d ，由 a 2＝1，S 7＝14，可得 a 1+d ＝1，7a 1+21d ＝14，解得 a 1＝d ＝，则 a n ＝ + （n ﹣1）＝ n ；由，可得 b 1•b 2•b 3…b n ﹣1＝2（n ≥2），两式相除可得 b n ＝2n （n ≥2），对 n ＝1 也成立，故 b n ＝2n （n ∈N*）；（2）c n ＝b n cos （a n π）＝2n cos （ n π），则 T 2n ＝2cos+22cos π+23cos+24cos （2π）+…+22n ﹣1cos （（2n ﹣1）π）+22n cos （n π）＝22cos π+24cos （2π）+…+22n cos （n π）＝﹣ 22+24﹣26+…+（﹣ 1）n •22n ＝＝﹣．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．18．【分析】 1）连结 CD ，分别取 AF ，BE 的中点 M ，N ，连结 DM ，CN ，MN ，推导出 DM ⊥AF ，CN ⊥BE ，DM ＝CN ，从而 DM ⊥平面 ABEF ，同理得 CN ⊥平面 ABEF ，进而 DM ∥CN ，由 DM ＝ CN ，得四边形 CDMN 为平行四边形，从而 CD ∥MN ，推导出 MN ∥AB ，由此能证明 CD ∥AB ．（2）在 AB 边上取一点 P ，使得 AP ＝DF ，推导出 MA ，MP ，MD 两两垂直，以 M 为坐标原点，直线 MA ，MP ，MD 分别为坐标轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面 ADF 和平面 DEF 所成锐角二面角的余弦值．【解答】解：（1）CD ∥AB ，理由如下：连结 CD ，分别取 AF ，BE 的中点 M ，N ，连结 DM ，CN ，MN ，由图（△1）可得， ADF 与△BCE 都是等腰直角三角形且全等，则 DM ⊥AF ，CN ⊥BE ，DM ＝CN ，如图，∵平面 ADF ⊥平面 ABEF ，交线为 AF ，DM ⊂平面 ADF ，DM ⊥AF ，（∴DM ⊥平面 ABEF ，同理得 CN ⊥平面 ABEF ，∴DM ∥CN ，∵DM ＝CN ，∴四边形 CDMN 为平行四边形，∴CD ∥MN ， ∵M ，N 分别为 AF ，BE 的中点，∴MN ∥AB ， ∴CD ∥AB ．（2）在 AB 边上取一点 P ，使得 AP ＝DF ，由图（1）得 ADFP 为正方形，即 AP ＝FP ， ∵M 为 AF 中点，∴MP ⊥MA ，由（1）知 MD ⊥平面 ABEF ，∴MA ，MP ，MD 两两垂直，以 M 为坐标原点，直线 MA ，MP ，MD 分别为坐标轴，建立空间直角坐标系，设 AF ＝2，则 D （0，0，1），A （1，0，0），P （0，1，0），F （﹣1，0，0），∴＝（1，0，1），＝＝（﹣1，1，0），设平面 DFE 的一个法向量为＝（x ，y ，z ），由，得，取 x ＝1，得＝（1，1，﹣1），平面 ADF 的法向量＝（0，1，0），设平面 ADF 和平面 DEF 所成锐角二面角为 θ，则平面 ADF 和平面 DEF 所成锐角二面角的余弦值为：cos θ＝＝．【点评】本题考查二直线位置关系的判断与求法，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19．【分析】 1）由题意设直线 AB 的方程，与椭圆联立求出两根之和，两根之积，判别式大于 0，求出参数的范围，再有 AB 为直径的圆恰好经过椭圆 C 的右焦点 F 2，可得＝0，可得参数的值，进而求出直线 AB 的方程；（2）由题意可计算出 k PA •k PB ＝0，可证得直线 x ＝1 平分∠APB ，即证明了△P AB 的内切圆的圆心在定直线 x ＝1 上【解答】解（1）设 l 的方程为 y ＝ x +m ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立直线与椭圆的方程，整理可得 x 2+mx +m 2﹣3＝0，则 x 1+x 2＝﹣m ，x 1x 2＝m 2△m 2 • （﹣3，＝ ﹣4（m 2﹣3）＞0，解得﹣2＜m ＜2，又因为点 P （1，）在直线的左上方，所以﹣2＜m ＜1，若以 AB 为直径的圆恰好经过椭圆 C 的右焦点 F 2，则﹣y 2）＝0，＝0，即（1﹣x 1，﹣y 1）（1﹣x 2，化简可得 7m 2+4m ﹣11＝0，解得 m ＝﹣所以直线 l 的方程为：y ＝ ﹣ ；（ 2 ）证明：因为 k P A • k PB ＝，或 m ＝1（舍），+ ＝ + ＝ 1+ （ 1 ﹣ m ）（+ ）＝1+（1﹣m ）＝1+（1﹣m ）＝0，所以直线 x ＝1 平分∠APB ，即证明了△P AB 的内切圆的圆心在定直线 x ＝1 上．【点评】本题考查以线段的端点为直径的圆过定点的性质，及直线与椭圆的综合，属于中档题． 20．【分析】 1）根据概率的性质，求出 p 的范围，再求出 E （A ），E （B ），比较判断即可；（2）因为 p ＝0.2，根据（1），选择方案 A ，年产量为 x （万件）与新产品的年度总成本的关系为：y 1＝+10x+160，求出新产品年利润的随机变量 X 的分布列和数学期望，构造函数 f （x ），利用导数法求出函数的最大值，得出结论．【解答】解：（1）根据概率的性质，，得 0＜p，若 E （A ）＞E （B ），400﹣200p ＞300+200p ，得 0＜p ＜；若 E （A ）＝E （B ），p ＝；若 E （A ）＜E （B ），＜p；故当 0＜p ＜时，选择方案 A ；若 p ＝，则选择方案 A 或 B ；若＜p，则选择方案 B ；（2）因为 p ＝0.2，根据（1），选择方案 A ，年产量为 x （万件）与新产品的年度总成本的关系为： y 1＝+10x+160，设市场行情为畅销、平销和滞销时，新产品的年利润分别为60x ﹣ y 1 ，（，，新产品年利润的随机变量 X 的分布列为：XPE （X ）＝＝60x ﹣y 10.4 0.4，（60﹣x ）x ﹣y 10.2+0.2[（60﹣x ）x ﹣y 1]设 f （x ）＝，x ∈（0，20]，由 f'（x ）＝﹣2x 2+15x +50＝﹣（2x +5）（x ﹣10），当 x ∈（0，10）时，f'（x ）＞0，函数递增；当 x ∈（10，20）时，f'（x ）＜0，函数递减，故当 x ＝10（万件）时，函数 f （x ）有最大值 f （10）≈423.3（万元），由（1）知，E （A ）＝400﹣200p ＝360（万元）＜423.3（万元），故当年产量为 10 万件时，可达到或超过预期的平均年利润．【点评】本题考查了概率的性质，离散型随机变量求分布列和数学期望，用函数求导求最大值，考查运算能力和实际应用能力，中档题．21．【分析】 1）由 f ′（x ）＝e x （sinx+cosx ）＝sin e x （x +）＜0，可得 sin （x + ）＜0，利用正弦函数的单调性质即可解得 f （x ）的单调递减区间；（2）由于 g ′（x ）＝e x （sinx+cosx ）﹣a ，令 h （x ）＝g ′（x ），可求得 h （x ）在（0，）上单调递增，在（上的零点个数．，π）上单调递减，再对 a 分 0＜a ≤1，1＜a ＜3 两类讨论，求得 g （x ）在（0，π）【解答】解：（1）f （x ）＝e x sinx 的定义域为 R ，f ′（x ）＝e x （sinx+cosx ）＝ sin e x （x + ），由 f ′（x ）＜0，得 sin （x +）＜0，解得 2k π+＜x ＜ +2k π（k ∈Z ），∴f （x ）的单调递减区间（2k π++2k π）（k ∈Z ），（2）由已知得 g （x ）＝e x sinx ﹣ax ，∴g ′（x ）＝e x （sinx+cosx ）﹣a ，令 h （x ）＝g ′（x ），则 h ′（x ）＝2e x cosx ，∵x ∈（0，π），∴x ∈（0，）时，h ′（x ）＞0，x ∈（，π）时，h ′（x ）＜0，∴h （x ）在（0，）上单调递增，在（，π）上单调递减．∵g ′（0）＝1﹣a ，g ′（π）＝﹣e π﹣a ＜0，①当 1﹣a ≥0，即 0＜a ≤1 时，g ′（0）≥0，∴g ′（）＞0，（∴∃x 0∈（，π），使得 g ′（x 0）＝0，∴当 x ∈（0，x 0），g ′（x 0）＞0，当 x ∈（x 0，π）时，g ′（x ）＜0，∴g （x ）在（0，x 0）上单调递增，在（x 0，π）单调递减； ∵g （0）＝0，∴g （x 0）＞0，又∵g （π）＝﹣a π＜0，∴由零点存在定理得，此时 g （x ）在（0，π）上仅有一个零点， ②若 1＜a ＜3 时，g ′（0）＝1﹣a ＜0，又∵g ′（x ）（0，）上单调递增，在（，π）上单调递减，又 g ′（）＝ ﹣a ＞0，∴∃x 1∈（0，），x 2∈（，π），使得 g ′（x 1）＝0，g ′（x 2）＝0，且当 x ∈（0，x 1）、x ∈（x 2，π）时，g ′（x ）＜0，当 x ∈（x 1，x 2）时，g ′（x ）＞0，∴g （x ）在∈（0，x 1）和（x 2，π）上单调递减，在（x 1，x 2）单调递增．∵g （0）＝0，∴g （x 1）＜0，∵g （）＝ ﹣a ＞﹣ ＞0，∴g （x 2）＞0，又∵g（π）＝﹣a π＜0，由零点存在定理可得，g （x ）在（x 1，x 2）和（x 2，π）内各有一个零点，即此时 g （x ）在（0，π）上有两个零点，综上所述，当 0＜a ≤1 时，g （x ）在（0，π）上仅有一个零点，当 1＜a ＜3 时，g （x ）在（0，π）上有两个零点．【点评】本题考查利用导数判断函数的单调性、求极值、恒成立问题等知识点，考查等价转化思想、分类讨论思想的综合运用，涉及构造函数、多次求导等方法，有一定综合性，考查学生的分析能力和逻辑推理能力，属于难题．请考生在第 22、23 题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.[选修 4-4：坐标系与参数方程]22．【分析】 1）曲线 C 的参数方程，利用平方关系消去参数 φ 得，可得曲线 C 的普通方程．由，可得，利用互化公式可得：直线 l 的直角坐标方程．（2）设直线 l 的参数方程为（t 为参数），将其代入曲线 C 的直角坐标方程并化简得 7t 2﹣6t ﹣63＝0，利用根与系数的关系、弦长公式即可得出．【解答】解：（1）曲线 C 的参数方程消去参数 φ 得，曲线 C 的普通方程（为．∵，∴，∴直线 l 的直角坐标方程为．………………………………（5 分）（2）设直线 l 的参数方程为（t 为参数），将其代入曲线 C 的直角坐标方程并化简得 7t 2﹣6t ﹣63＝0，∴∵点 M （2，0）在直线 l 上， ∴．．………………………………（10 分）【点评】本题考查了极坐标参数方程与普通方程的互化、根与系数的关系、弦长公式、平方关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． [选修 4-5：不等式选讲]23．【分析】 1）依题意，为方程|x ﹣1|+|3x ﹣5|＝m 的根，代入可解得 m ＝1，进而求得不等式的解集为（2 ，由此求得）由；（ 1 ）得 a +b +c ＝ 1 ，而，由此得证．【解答】解：（1）由题意知，为方程|x ﹣1|+|3x ﹣5|＝m 的根，∴，解得 m ＝1，由|x ﹣1|+|3x ﹣5|＜1 解得，∴；（2）证明：由（1）知，a +b +c ＝1，∴＝＝，∴成立．【点评】本题考查绝对值不等式的解法以及不等式的证明，考查推理能力及计算能力，属于基础题．。

安徽省合肥市2022年高三第二次教学质量检测试卷数学(理)数学(理)试题

描写连江九龙山的句子唯美(篇一)1. 连江九龙山，犹如一幅仙境画卷，美不胜收。

2. 山峰重叠，云雾弥漫，宛如仙人遗落人间的仙境。

3. 雾浓云淡，山青水秀，连江九龙山恍如置身于童话世界。

4. 清晨的阳光洒在九龙山上，如同金色的绸带，绽放着生机和美丽。

5. 在九龙山的怀抱中，每一个角度都精致入微，仿佛是上天的杰作。

6. 晨曦中，山峦互相依偎，宛如一座巨大的屏障，守护着这片神奇的土地。

7. 山间瀑布飞流直下，激起千堆白花，如繁花烂漫的仙境。

8. 千年的石桥横跨山溪，水波荡漾，犹如闪耀着晨曦的明珠。

9. 九龙山的山顶被云雾环绕，仿佛隐藏着无尽的秘密，等待勇者的探索。

10. 鸟鸣声飘散在山谷间，恍若一曲动人的天籁之音。

11. 天空湛蓝，山峦如黛，连江九龙山的壮丽景色宛如一幅震撼人心的画卷。

12. 大自然的脉络在这里呼应，一草一木都显得异常生动与生机勃勃。

13. 晨雾缭绕，空气中弥漫着淡淡的清香，仿佛是九龙山为人们准备的天然香水。

14. 山花烂漫，五彩缤纷，如梦似幻的九龙山宛如一幅天上人间的画卷。

15. 清风徐来，树叶沙沙作响，让人置身于大自然的怀抱中，感受到岁月的流转。

16. 春天，山间百花争艳，仿佛是大地为九龙山准备的花园派对。

17. 夏日阳光炙热，山间的草木借助山谷中的清泉欢快地摇曳，仿佛在为夏日歌唱。

18. 秋风乍起，山间的红叶如火般绚烂，美不胜收，令人陶醉其中。

19. 冬天，九龙山被白雪覆盖，仿佛是一个纯洁的仙境，宛如童话故事中的冰雪王国。

20. 山谷间的湖泊宛如一面明镜，倒映着山峦和云腾雾绕，令人心旷神怡。

21. 九龙山的雄伟景色在不同的季节中都有不同的韵味，每一次的造访都是一次新的发现。

22. 连江九龙山的风景如诗如画，每一笔勾勒都能让人感叹大自然的鬼斧神工。

23. 遥望九龙山，峰峰翠绿，仿佛是一抹青翠的守护在连江的壮丽图纸上。

24. 山峰高耸入云，仿佛是大地与天空的接触点，让人产生一种俯瞰世界的错觉。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2018年安庆市高三模拟考试（二模）数学试题（理）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，集合，则（）A． B． C． D．2．已知复数满足：，其中是虚数单位，则的共轭复数为（）A． B． C． D．3．三内角的对边分别为,则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．即不充分也不必要条件4．如图，四边形是边长为2的正方形，曲线段所在的曲线方程为，现向该正方形内抛掷1枚豆子，则该枚豆子落在阴影部分的概率为（）A． B． C． D．5．阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，则输出的值为（）A．0 B．1 C．16 D．326．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．12 B．16 C． D．247．函数（）的图象的大致形状是（）8．已知函数（）图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，那么函数的图象（）A. 关于点对称B. 关于点对称C. 关于直线对称D. 关于直线对称9．在中，点是边上任意一点，是线段的中点，若存在实数和，使得，则（）A． B． 2 C．2 D．10．在锐角中，，则的取值范围是（）A． B． C． D．11．已知实数满足，则的最大值为（）A． B． C． D．12．已知函数，是图象上任意一点，过点作直线和轴的垂线，垂足分别为，又过点作曲线的切线，交直线和轴于点.给出下列四个结论：①是定值；②是定值；③（是坐标原点）是定值；④是定值.其中正确的是（）A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是 .14．设抛物线的焦点为，点在抛物线上，且满足，若，则的值为 .15．已知由样本数据点集合求得的回归直线方程为，且.现发现两个数据点和误差较大，去除后重新求得的回归直线的斜率为 1.2，那么，当时，的估计值为 .16．祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同幂，则积不容异”.这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等.一般大型热电厂的冷却塔大都采用双曲线型.设某双曲线型冷却塔是曲线与直线，和所围成的平面图形绕轴旋转一周所得，如图所示.试应用祖暅原理类比求球体体积公式的方法，求出此冷却塔的体积为 .三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知公差不为0的等差数列的首项，且成等比数列. （1）求数列的通项公式；（2）设，，是数列的前项和，求使成立的最大的正整数.18．如图，四边形是矩形，沿对角线将折起，使得点在平面上的射影恰好落在边上.（1）求证：平面平面；（2）当时，求二面角的余弦值.19．某市有两家共享单车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的单车，已知黄、蓝两种颜色的单车的投放比例为2：1.监管部门为了了解两种颜色的单车的质量，决定从市场中随机抽取5辆单车进行体验，若每辆单车被抽取的可能性相同.（1）求抽取的5辆单车中有2辆是蓝色颜色单车的概率；（2）在骑行体验过程中，发现蓝色单车存在一定质量问题，监管部门决定从市场中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定若抽到的是蓝色单车，则抽样结束，若抽取的是黄色单车，则将其放回市场中，并继续从市场中随机地抽取下一辆单车，并规定抽样的次数最多不超过（）次.在抽样结束时，已取到的黄色单车以表示，求的分布列和数学期望.20．已知直线：，：，动点分别在直线，上移动，，是线段的中点.（1）求点的轨迹的方程；（2）设不经过坐标原点且斜率为的直线交轨迹于点，点满足，若点在轨迹上，求四边形的面积.21．已知函数，曲线在点处的切线方程为.（1）求和实数的值；（2）设，分别是函数的两个零点，求证.请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.22．选修4-4：坐标系与参数方程已知在极坐标系中，点，，是线段的中点，以极点为原点，极轴为轴的正半轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，建立平面直角坐标系，曲线的参数方程是（为参数）.（1）求点的直角坐标，并求曲线的普通方程；（2）设直线过点交曲线于两点，求的值.23．选修4-5：不等式选讲已知，不等式的解集是.（1）求集合；（2）设，证明：.2018年安庆市高三模拟考试（二模）数学试题（理）参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 D B C A B B C A B D C C1．【解析】因为，所.故选 D. 2．【解析】. ，所以的共轭复数为.故选 B.3.【解析】根据二倍角公式、正弦定理可得.故选 C.4.【解析】根据条件可知，，阴影部分的面积为，所以，豆子落在阴影部分的概率为.故选A.5.【解析】；；；.故选B.6.【解析】该几何体的直观图如图所示，其体积为（）.故选B.第6题图7.【解析】故选 C.8.【解析】由函数图象相邻两条对称轴之间的距离为可知其周期为，所以，所以.将函数的图象向左平移个单位后，得到函数数学试题（理）参考答案（共11页）第1页图象.因为得到的图象关于轴对称，所以，，即，.又，所以，所以，其图象关于点对称.故选A.9. 【解析】因为点在边上，所以存在，使得.因为是线段的中点，所以又，所以，，所以. 故选B.10.【解析】.第9题图因为是锐角三角形，所以得.所以.故选D.11. 【解析】作可行域，如图阴影部分所示.表示可行域内的点与点连线的斜率. 易知，，.当直线与曲线相切时，，切点为第11题图，所以切点位于点、之间.因此根据图形可知，的最大值为.故选C.拓展：思考：如何求的取值范围呢？答案：更一般地，当直线，的交点不在可行域内时，的取值范围均能求出。

12．【解析】①设，则，为定值，所以①正确；②因为四边形四点共圆，所以，又由①知，所以，为定值，故②正确；③因为，所以过点的曲线的切线方程为，所以，，所以，为定值，故③正确；.④，不是定值，故④不正确, 故选C.拓展：①从以上证明不难看出：为定值。

而且，的面积也均为定值。

②如果是图象上任意一点，过点作直线和轴的平行线，交轴和直线分别为、，则是定值；是定值；、、平行四边形OAPB的面积也为定值。

③以上结论在标准双曲线中也成立。

二、填空题13．-189； 14．； 15．； 16．.13. 【解析】令，得展开式中各项系数之和为.由，得，所以展开式的通项为.由，得，展开式中的系数是.14. 【解析】设，.因为抛物线x2=4y的焦点为，准线为，所以由，得，所以，x12=4y1=2.由得即因为x22=4y2，所以. 解得或（舍）.注：若知抛物线的焦点弦的如下性质：，可更快地求出结果。

15. 【解析】：将代入得. 所以样本中心点为，由数据点(1.1,2.1)和(4.9,7. 9)知：，，故去除这两个数据点后，样本中心点不变.设新的回归直线方程为，将样本中心点坐标代入得：，所以，当时，的估计值为.16. 【解析】设点，则，所以圆环的面积为.因为，所以，所以圆环的面积为.根据祖暅原理可知，该双曲线型冷却塔挖出一个以渐近线为母线的圆锥后的几何的体积等于底面半径为、高为的圆柱的体积，所以冷却塔的体积为：.三、解答题17．【解析】（Ⅰ）设数列的公差为，则，.由，，成等比数列，得，………………2分即，得（舍去）或. ……………… 4分所以数列的通项公式为，. ………………6分（Ⅱ）因为，………………8分所以.由，即，得. ………………10分所以使成立的最大的正整数. ………………12分18．【解析】（I）设点在平面上的射影为点，连接则平面，所以.因为四边形是矩形，所以，所以平面，所以.又，所以平面，而平面，所以平面平面.……………… 5分M（II）方法1：在矩形中，过点作的垂线，垂足为，连结.因为平面，又DM∩DE=D所以平面，所以为二面角的平面角. ………………8分设，则.在中，易求出，.在中，，所以. (12)分方法2：以点为原点，线段所在的直线为轴，线段所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示. ……………… 6分设，则，所以，.由（I）知，又，所以°，°，那么，，，所以，所以，. ………8分设平面的一个法向量为，则即取，则，，所以. (10)分因为平面的一个法向量为，所以.所以求二面角的余弦值为. ……………… 12分19．【解析】：(I) 因为随机地抽取一辆单车是蓝色单车的概率为，用表示“抽取的5辆单车中蓝颜色单车的个数”，则服从二项分布，即～，所以抽取的5辆单车中有2辆是蓝颜色单车的概率. …………4分(II) ξ的可能取值为：0，1，2，…，. ………………5分，，，……，，. ………………7分所以ξ的分布列为：ξ0 12……………………8分的数学期望为：，(1). (2)(1)－(2)得：…………10分，.所以.………………12分20.【解析】（I）根据条件可设，，由，得: (2)分设，则得将①和②代入中并化简得：.所以点的轨迹的方程为. (5)分（II）设直线的方程为，，，.将代入，整理得.则，. (6)分.因为，则有：，. …… 7分因为在椭圆上，，化简得：. ………………8分所以，，因为. ………………9分又点到的距离为. (10)分由，可知四边形为平行四边形，. ………………12分拓展: 此题结论可推广到更一般情形:第(Ⅰ))题中, 直线、只要不垂直,轨迹均为椭圆,、垂直时,轨迹为圆;第(Ⅱ)题中结论可推广到更一般情形:设不经过坐标原点且斜率为的直线交椭圆:于点、，点满足. 若点在椭圆上，则四边形OPRQ(或)的面积为定值。

21．【解析】（I）由，得，，，所以曲线在点处的切线方程（*）.数学试题（理）参考答案（共11页）第9页将方程（*）与比较，得解得，. ………………5分（II）.因为，分别是函数的两个零点，所以两式相减，得，所以. (7)分因为，所以..要证，即证.因，故又只要证.令，则即证明.令，，则.这说明函数在区间上单调递减，所以，即成立.由上述分析可知成立. ……………… 12分22.【解析】（Ⅰ）将点，的极坐标化为直角坐标，得和.所以点的直角坐标为. ………………3分将消去参数，得，即为曲线的普通方程. ………5分（Ⅱ）解法一：直线的参数方程为（为参数，为直线的倾斜角）代入，整理得：.设点、对应的参数值分别为、.则，. ……………… 10分解法二：过点作圆：的切线，切点为，连接，因为点由平面几何知识得：，所以. ———— 10分23.【解析】（Ⅰ）当时，.由，得，所以.当时，.由，得，所以.综上，. ………………5分（Ⅱ）因为，，所以，，即，.所以，所以. (10)分。