《电路分析》支路电流法和支路电压法
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(完整版)第二章电路分析方法
第二章电路的分析方法电路分析是指在已知电路构和元件参数的情况下，求出某些支路的电压、电流。
分析和计算电路可以应用欧姆定律和基尔霍夫定律，但往往由于电路复杂，计算手续十分繁琐。
为此，要根据电路的构特点去寻找分析和计算的简便方法。
2．1 支路电流法支路电流法是分析复杂电路的的基本方法。
它以各支路电流为待求的未知量，应用基尔霍夫定律（KCL 和KVL ）和欧姆定律对结点、回路分别列出电流、电压方程，然后解出各支路电流。
下面通过具体实例说明支路电流法的求解规律。
例2-1】试用支路电流法求如图2-1 所示电路中各支路电流。
已知U S1 130V ，U S2 117V ，R1 1 ，R2 0.6 ，R 24 。
【解】该电路有3 条支路（b=3），2个结点（n=2）,3 个回路（L=3 ）。
先假定各支路电流的参考方向和回路的绕行方向如图所示。
因为有3 条支路则有3 个未知电流，需列出3 个独立方程，才能解得3个未知量。
根据KCL 分别对点A、B 列出的方程实际上是相同的，即结点A、B 中只有一个结点电流方程是独立的，因此对具有两个结点的电路，只能列出一个独立的KCL 方程。
再应用KVL 列回路电压方程，每一个方程中至少要包含一条未曾使用过的支路（即没有列过方程的支路）的电流或电压，因此只能列出两个独立的回路电压方程。
根据以上分析，可列出3 个独立方程如下：结点A I1 I2 I 0回路ⅠI1R1 I2R2 U S1 U S2回路ⅡI2 R2 IR U S2I1 10A， I2 5A， I=5A 联立以上3 个方程求解，代入数据解得支路电流通过以上实例可以总出支路电流法的解题步骤是：1．假定各支路电流的参考方向，若有n个点，根据KCL 列出（n－１）个结点电流方程。
２．若有b 条支路，根据KVL 列（b－n＋１）个回路电压方程。
为了计算方便，通常选网孔作为回路。
5 3．解方程组，求出支路电流。
【例 2-2】如图 2-2 所示电路，用支路电流法求各支路电流。
电路原理与电机控制第3章电路的一般分析方法
1
2 - 22V+ 3
3Ω
I
8A 1Ω 1Ω
25A
4
U1 = –9.43V U4 = 2.5V
U3 = 22V
I = –2.36 A
17
• 例2. 列写下图含VCCS电路的节点电压方程。
• 解： (1) 先把受控源当作独立
源列方程；
IS1
1 R2
+ UR2 _
1
R1
1 R2
1 R1
25
I
4
U3–U2 = 22
解得
U1 = –11.93V U2 = –2.5V
U3 = 19.5V I = –2.36 A
16
• 解二：以节点②为参考节点，即U2=0
节点电压方程如下
(1 3
1 4
)U1
1 4
U3
11
4Ω 3A
U3 (1 1)U4 17
U3 = 22
解得：
1
I1 2A
2 1
I2 +U –
2
+
2
3
I
3
用节点电压表示受控源的控制量为：
2I2 –
U U1 U2 1 U1 U2
3
3
I2
U1 2
3
3 24
1
5
U1 U 2
2 0
解之：
U1
20 7
V,
U2
16 7
V
3 3
所求电流为：I
15
• 例1. 电路如图所示，求节点电压U1、U2、U3。
2-2 电路分析的一般方法
X
§2-2-2 网孔电流法
( R1 R4 )im1 R4 im 2 ( R 2 R 4 R5 ) im 2 R 4 im 1 0 R5 im 2
us1
0 R5 im 3 ( R3 R5 ) im 3
u s1 u s 4 us2 u s 3 u s 4
15V
+ -
i1 i2 i3 0 i3 i4 i5 0
5
i1 2A; i2 1A; i3 1A; i4 2A; i5 1A 。
X
§2-2-1 支路电流（电压）法
支路电压法：对于包含b条支路n个节点的电路，根 据KCL列出(n-1)个独立电流方程，根据KVL列出(bn+1)个独立电压方程，然后根据VCR约束，对KCL方 程中的电流变量用电压变量代替。这样可得到以b 个支路电压为未知量的b个独立的KCL和KVL方程， 即可由此求解支路电压。 注意：支路电流（电压）法，需要求解b个独立的 KCL和KVL方程组，因此在b较小时使用。 •基本但求解繁琐。 返回
:网孔i的自电阻(self resistance)，等于网孔i内的所有电阻之和。 R ii
网孔电流法的列写规则
网孔电流法的列写规则：本网孔电 流乘以自电阻，加上相邻网孔的网 孔电流乘以本网孔与相邻网孔之间 的互电阻，等于本网孔包含的所有 电压源的代数和。
R1
im2 R3
R4
u s1
im1 R2
u 6 R6 ( i i )
， 2 ， 3 ， i1， i3 is 2
解方程组可得到各网孔电流。
X
总结
网孔电流法分析电路的一般步骤：
§2-2-2 网孔电流法
( R1 R4 )im1 R4 im 2 ( R 2 R 4 R5 ) im 2 R 4 im 1 0 R5 im 2
us1
0 R5 im 3 ( R3 R5 ) im 3
u s1 u s 4 us2 u s 3 u s 4
15V
+ -
i1 i2 i3 0 i3 i4 i5 0
5
i1 2A; i2 1A; i3 1A; i4 2A; i5 1A 。
X
§2-2-1 支路电流（电压）法
支路电压法：对于包含b条支路n个节点的电路，根 据KCL列出(n-1)个独立电流方程，根据KVL列出(bn+1)个独立电压方程，然后根据VCR约束，对KCL方 程中的电流变量用电压变量代替。这样可得到以b 个支路电压为未知量的b个独立的KCL和KVL方程， 即可由此求解支路电压。 注意：支路电流（电压）法，需要求解b个独立的 KCL和KVL方程组，因此在b较小时使用。 •基本但求解繁琐。 返回
:网孔i的自电阻(self resistance)，等于网孔i内的所有电阻之和。 R ii
网孔电流法的列写规则
网孔电流法的列写规则：本网孔电 流乘以自电阻，加上相邻网孔的网 孔电流乘以本网孔与相邻网孔之间 的互电阻，等于本网孔包含的所有 电压源的代数和。
R1
im2 R3
R4
u s1
im1 R2
u 6 R6 ( i i )
， 2 ， 3 ， i1， i3 is 2
解方程组可得到各网孔电流。
X
总结
网孔电流法分析电路的一般步骤：
第二章 电路的分析方法
电路分析基础
回路电流法求解电路的步骤
选取自然网孔作为独立回路,在网孔中标出各回路电流
的参考方向,同时作为回路的绕行方向; 支路上的互阻压降由相邻回路电流而定;
建立各网孔的KVL方程,注意自电阻压降恒为正,公共 联立求解方程式组,求出各假想回路电流. .
它们与回路电流之间的关系,求出各支路电流.
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电路分析基础
思考 练习
用结点电压法求解下图所示电路,与回路电流法相比较, 能得出什么结论? US3 R I A+ - 3 3 B
IS1 I1
R1
I4
R4
I5
R5
I2
R2
IS2
此电路结点n=3,用 结点电压法求解此电 路时,只需列出3-1=2 个独立的结点电压方 程式:
U S3 1 1 1 1 ( + + )V A V B = I S1 + R1 R 3 R 4 R3 R3 ( U 1 1 1 1 + + )V B V A = I S2 S3 R 2 R3 R5 R3 R3
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电路分析基础
结点电压法应用举例
用结点电压法求解结点n=2的复杂电路时,显然只需 列写出2-1=1个结点电压方程式,即: US
例
① I2 R2 + US2 _ I3 R3 I4 R4
-
V1 =
∑R ∑
S
I1 R1 + US1 _
1 R
+
US4
此式称弥尔曼 定理.是结点 电压法的特例
直接应用弥尔曼定理求V1
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电路分析基础
第1节 支路电流法
定义
以支路电流为未知量,根据基尔霍夫两定律列出必 要的电路方程,进而求解客观存在的各支路电流的方 法,称支路电流法 支路电流法.
[电路分析]支路电流法
![[电路分析]支路电流法](https://img.taocdn.com/s3/m/7a15c588b14e852459fb5721.png)
支路电流法
一、独立的KCL和KVL方程
n个节点，b条支路的网络
（n—1）个独立节点→（n—1）个独立KCL方程
（b－n＋1）个网孔→（b－n＋1）个独立KVL方程
二、2b法
存在问题
2b个方程，方程数太多
三、支路电流法
出发点
利用支路VAR关系，将b个支路电压表示为b个支路电流，减少了b个方程。
只需列写b个方程。
用支路电流法分析电路的一般步骤
确定电路的节点数和网孔数，以便确定独立的KCL和KVL方程数。
设定各支路电流的符号和参考方向。
选取参考点，列写（n－1）个KCL方程。
选取（b－n＋1）个网孔并设定网孔方向，列写各网孔的KVL方程，这些方程中支路电压都用支路电流表示。
联立求解方程，求出b个支路电流。
根据每条支路的伏安关系，求出b个支路电压。
如有必要，再根据已求得的支路电流或支路电压，求电路中的其他电路变量，如功率等。
例 3.1-1 图3.1-1所示电路，求各支路电流，并求支路电压Uab及ab支路发出的功率。
解：1. 电路共有2个节点，3条支路，即n=2，b=3
2．选取节点b为参考点，列出节点a的KCL方程：
（1）
3．电路的网孔数为
b－n＋1=3－2＋1=2
列出2个网孔的KVL方程
网孔①：（2）
网孔②：（3）
4．联立求解由（1）、（2）、（3）式构成的方程组，求得各支路电流为
5．支路电压为
ab支路发出的功率为
注意：如果电路中含有受控源，将受控源当独立源处理，按上述方法列写电路方程，但是要补充一个受控源的受控关系方程，再联立求解。
电位支路电流法支路电压法
2b法的方程
KCL方程
i1 i3 i4 0 i2 i4 i5 0
KVL方程
u1 u3 uS1 uS3 0 u2 u5 uS 2 0 u3 u4 u5 uS3 0
VCR方程
u1 R1i1 u2 R2i2 u3 R3i3
u4 R4i4 u5 R5i5
20
练习题1-20的支路电流法
17
2、1b法分类 支路电流法：以支路电流为变量，建立联立 方程组求解电路。
支路电压法：以支路电压为变量，建立联立 方程组求解电路。
18
1.10.2 支路分析
支路分析方法： 2b分析法：计算机分析比较适用，人工分 析嫌麻烦。 1b分析法：一般采用支路电流法。
19
课堂练习 P51 练习题1-20
解得：
I2 2(A) I3 4(A) I1 6(A)
22
课外作业
PP.58~61 1-29， 1-33， 1-36
END 23
i1 i2 i3 0
u1 u3 uS1 u2 u3 uS 2
VCR方程 u1 R1i1
u2 R2i2
u3 R3i3
16
§ 1.10 支路分析
1.10.1 1b分析法
1、 1b法的步骤 （1）先求得各支路电流（或支路电压）； （2）再利用电阻支路的VCR关系求得电阻支路 电压（或支路电流）。
i1
G1 G1 G2
i
i2
G2 G1 G2
i
（分流公式）
或
Req
R1R2 R1 R2
i1
R2 R1 R2
i
i2
R1 R1 R2
i
7
若有n个电导并联，则第k个电导电流为：
电工技术第2章
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第2章 电路分析方法
假设有电压源 U S 2 单独 作用，则 U S 1 0 即把电压源 U S1 短路，则电路 变成了图2-17c,由此电路图可得
I '' US 2 R1 R1 * U R1R R1 R R1 R2 R1 R R2 R S 2 R1 R1 R
A和C节点间的互导 ：G13 G31 0 将上述分析结果代入3个独立节点的节点电压方程的一般 形式，则有如下方程组
U S1 1 1 1 ( R R )U a R U b R I S 2 2 1 1 U b U S 2 1 1 1 U b ( )U c I S R3 R4 R3
电压源与电流源对外电路等效的条件为：
U s I s Ro
或
Us Is Ro
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且两种电源模型的内阻相等。
第2章 电路分析方法
在进行电源的等效变换时要注意： （1）电源的等效变换只是对外电路而言的，至于对 电源内部，则是不等效的。例如当外电路开路时，电压 源I=0，内电阻R0 不损耗功率，而电流源内部仍有电流 ， 内 阻 R0 有 功 率 损 耗 。 当 外 电 路 短 路 时 ， 电 压 源 I=ISC=US/R0，内电阻R0损耗功率，而电流源内部，内阻 R0上无电流通过，不损耗功率。 （2）在进行等效变换时，两种电路模型的极性必须 一致，即电流源流出电流的一端与电压源的正极性端相 对应。 （3）理想电压源和理想电流源之间不能进行等效 变换。因为对理想电压源（R0=0），其短路电流IS为无 穷大，对理想电流源（R0=∞），其空载电压UOC为无 穷大，这都是不可能的。
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第2章 电路分析方法
常见的电路分析讲解
常见的电路分析讲解电路中常用电路分析方法主要有支路电流法、回路电流法、节点电压法、电源等效变换法、叠加定理、戴维南定理和诺顿定理等，每种电路分析方法的原理及其适用范围是不同的，本文主要对几种常用电路分析方法的原理、解题步骤和适用范围进行总结与分析。
一支路电流法1、什么是支路电流法以支路电流为未知量、应用基尔霍夫定律（KCL、KVL）列方程组进行求解。
2、支路电流法的解题步骤（1）确定电路中支路、节点、网孔的数目。
其中，支路个数用b表示、节点个数用n表示、网孔个数用m表示；（2）在图中标出各支路电流的参考方向，对选定的回路标出回路循行方向；（3）应用KCL对结点列出(n－1)个独立的节点电流方程；（4）应用KVL对回路列出b－(n－1)个独立的回路电压方程（通常可取网孔列出）；（5）联立求解b个方程，求出各支路电流。
3、支路电流法的适用范围如果用手工进行计算时，一般适用于支路个数不大于3的情况下，用手工计算方程组比较方便，如果支路个数大于3的情况下用手工计算就比较麻烦了。
支路个数较多的情况下可以用矩阵结合matlab进行计算。
二节点电压法采用回路电流法。
对于b个支路，n个节点的电路，只需列出[b-(n-1)]个方程，即网孔m个数方程，就可以解出各个支路电流，比支路电流法要方便的多。
但是有时存在这样的电路，即支路较多而节点较少的电路。
如下图电路中，有5条支路，2个节点，若用回路电流法求解，也需列出4个独立方程式，如果采用节点电压法则更加方便求解。
1、什么是节点电压法以基尔霍夫电流定律为基础，先求出各节点与参考点之间的电压，然后运用欧姆定律求出各支路电流的方法。
2、节点电压法计算步骤本文主要讨论两节点电路，节点电压法计算步骤如下。
（1）选定电路中一个节点为参考节点用接地符号表示，另一个节点的节点电位作为电路变量。
（2）列写关于节点电位的节点电压方程，如下式所示。
式中，分子表示电源的电流的代数和，电源电流有两部分构成，一部分是电压源的输出的电流等于电压源的数值除以其串联的电阻；另一部分电流源输出的电流。
电位支路电流法支路电压法
02
在实际应用中，电位支路电流法在解决复杂电路问题时表现出更高的 精度和稳定性，尤其适用于含有多个电源和元件的电路。
03
支路电压法在简单电路中表现良好，但在复杂电路中可能会因为误差 累积导致精度下降。
04
综合比较两种方法，电位支路电流法具有更广泛的应用前景，尤其在 处理实际工程问题时表现出更高的实用价值。
原理
利用基尔霍夫定律，通过电位和电流 的关系，建立方组并求解，从而得 到电路中各支路的电流和电位。
计算步骤
1. 列出电路中各元件的电压和 电流关系式。
2. 根据基尔霍夫定律列出电路 的方程组。
3. 解方程组，得到各支路的电 流和电位。
4. 对解进行验证，确保符合电 路实际情况。
实例分析
01
实例电路
首先，列出各支路的电流和电压 ：I1、I2、U1、U2。
01
03
02 04
然后，根据基尔霍夫定律列出两 个电压方程：U1 = I1 * R1 和 U2 = I2 * R2。
最后，解这个方程组，求出各支 路电压和电流的值。
04 比较与讨论
优缺点比较
电位支路电流法
01
缺点：对于复杂电路，可能需要多个测量 点，且计算过程可能较为复杂。
未来发展方向
01
结合两种方法的特点，发展更为精确和简便的测量方法。
02
针对非线性电路和复杂电路，研究更为有效的数据处理和分 析方法。
03
结合现代技术，如人工智能和机器学习，开发智能化的电位 支路电流法和支路电压法测量系统。
05 结论
研究成果总结
01
电位支路电流法与支路电压法在电路分析中具有重要应用，通过这两 种方法可以更准确地求解电路中的电流和电压。
在实际应用中，电位支路电流法在解决复杂电路问题时表现出更高的 精度和稳定性，尤其适用于含有多个电源和元件的电路。
03
支路电压法在简单电路中表现良好，但在复杂电路中可能会因为误差 累积导致精度下降。
04
综合比较两种方法，电位支路电流法具有更广泛的应用前景，尤其在 处理实际工程问题时表现出更高的实用价值。
原理
利用基尔霍夫定律，通过电位和电流 的关系，建立方组并求解，从而得 到电路中各支路的电流和电位。
计算步骤
1. 列出电路中各元件的电压和 电流关系式。
2. 根据基尔霍夫定律列出电路 的方程组。
3. 解方程组，得到各支路的电 流和电位。
4. 对解进行验证，确保符合电 路实际情况。
实例分析
01
实例电路
首先，列出各支路的电流和电压 ：I1、I2、U1、U2。
01
03
02 04
然后，根据基尔霍夫定律列出两 个电压方程：U1 = I1 * R1 和 U2 = I2 * R2。
最后，解这个方程组，求出各支 路电压和电流的值。
04 比较与讨论
优缺点比较
电位支路电流法
01
缺点：对于复杂电路，可能需要多个测量 点，且计算过程可能较为复杂。
未来发展方向
01
结合两种方法的特点，发展更为精确和简便的测量方法。
02
针对非线性电路和复杂电路，研究更为有效的数据处理和分 析方法。
03
结合现代技术，如人工智能和机器学习，开发智能化的电位 支路电流法和支路电压法测量系统。
05 结论
研究成果总结
01
电位支路电流法与支路电压法在电路分析中具有重要应用，通过这两 种方法可以更准确地求解电路中的电流和电压。
《电路分析基础(第三版)》-第2章电阻性网络分析的一般方法
图 2-2
解：（1）求各支路电流。 该电路有三条支路、两个节 点。首先指定各支路电流的参考方向，见图2-2中所示。
6
列出节点电流方程
节点①
– і1 + і2 + і3 = 0 7 і 1 + 11 і 2 = 6 – 70 = – 64
-11i2+7i3= -6 і1= – 6A і2 = – 2A
（3）根据KVL列出回路方程。选取 l=m-(n-1) 个独立
的回路，选定绕性方向，由KVL列出l个独立的回路方 程。
4
回路1-3
i1 R1 i2 R2 i4 R4 u S 1 i3 R3 i4 R4 i5 R5 u S 2 i2 R2 i3 R3 i6 R6 0
节点①
节点②
iS1 iS2 i1 i2 0
iS 2 iS 3 i2 i3 0
u1 i1 G 1u1 R1 u1 u 2 i2 G 2 (u1 u 2 ) R2
11
用节点电压表示支路电流
u2 i3 G 3u2 R3
代入节点①、节点②电流方程，得到
iS1 iS2 u1 u1 u 2 0 R1 R2
iS 2 i S 3
整理后可得：
u1 u2 R2
u2 0 R3
1 1 1 ( ) u1 u 2 iS1 iS2 R1 R 2 R2
1 1 1 u1 ( ) u2 iS3 iS 2 R2 R2 R3
24
图2-5 例2-2图
解：方法一：在选取网孔时，使含有理想电流源 i s 支路仅属于一个网孔，该网孔电流 im is ，列写网 孔电流方程 网孔1 网孔2 附加方程
第三章 支路电流法 节点电压法
如果从外面绕一大圈， 如果从外面绕一大圈， 有 i1 + 3i3 + 5i5 = 10 而 （1）+（2）-（3）有 I1 + 3i3 + 5i5 = 10 如： 3i3 + 5i5 - 4i4 - 2i2 = 0 而 （2）-（3）等于此式 ） （ ）
对于独立回路应如何选择， 对于独立回路应如何选择，原则上也是任 意的。一般，在每选一个回路时， 意的。一般，在每选一个回路时，只要使 这回路中至少具有一条新支路在其它已选 定的回路中未曾出现过， 定的回路中未曾出现过，那末这个回路就 一定是独立的。通常， 一定是独立的。通常，平面电路中的一个 网孔就是一个独立回路， 网孔就是一个独立回路，网孔数就是独立 回路数， 回路数，所以可选取所有的网孔列出一组 独立的KVL方程。 KVL方程 独立的KVL方程。
可以证明，具有 个节点 个节点、 条支路的电路具有 条支路的电路具有b-(n-1)个 可以证明，具有n个节点、b条支路的电路具有 个 独立的回路电压方程， 独立的回路电压方程，与这些方程相对应的回路称为独立回 路。
•
所以我们可以得出：具有n个节点、 所以我们可以得出：具有n个节点、b条支路的 电路,独立的KCL方程：（n-1）个，独立的KVL方程： 电路,独立的KCL方程：（n 独立的KVL方程： KCL方程：（ KVL方程 (n-1)个 b-(n-1)个。 综上所述，对于具有n个节点、 条支路的电路， 综上所述，对于具有n个节点、b条支路的电路， 根据KCL能列出（ KCL能列出 个独立方程，根据KVL KVL能列出 根据KCL能列出（n-1）个独立方程，根据KVL能列出 (n-1)个独立方程 个独立方程， b-(n-1)个独立方程，两种独立方程的数目之和正好 与所选待求变量的数目相同，联立求解即可得到b 与所选待求变量的数目相同，联立求解即可得到b条 支路的电流。 支路的电流。
对于独立回路应如何选择， 对于独立回路应如何选择，原则上也是任 意的。一般，在每选一个回路时， 意的。一般，在每选一个回路时，只要使 这回路中至少具有一条新支路在其它已选 定的回路中未曾出现过， 定的回路中未曾出现过，那末这个回路就 一定是独立的。通常， 一定是独立的。通常，平面电路中的一个 网孔就是一个独立回路， 网孔就是一个独立回路，网孔数就是独立 回路数， 回路数，所以可选取所有的网孔列出一组 独立的KVL方程。 KVL方程 独立的KVL方程。
可以证明，具有 个节点 个节点、 条支路的电路具有 条支路的电路具有b-(n-1)个 可以证明，具有n个节点、b条支路的电路具有 个 独立的回路电压方程， 独立的回路电压方程，与这些方程相对应的回路称为独立回 路。
•
所以我们可以得出：具有n个节点、 所以我们可以得出：具有n个节点、b条支路的 电路,独立的KCL方程：（n-1）个，独立的KVL方程： 电路,独立的KCL方程：（n 独立的KVL方程： KCL方程：（ KVL方程 (n-1)个 b-(n-1)个。 综上所述，对于具有n个节点、 条支路的电路， 综上所述，对于具有n个节点、b条支路的电路， 根据KCL能列出（ KCL能列出 个独立方程，根据KVL KVL能列出 根据KCL能列出（n-1）个独立方程，根据KVL能列出 (n-1)个独立方程 个独立方程， b-(n-1)个独立方程，两种独立方程的数目之和正好 与所选待求变量的数目相同，联立求解即可得到b 与所选待求变量的数目相同，联立求解即可得到b条 支路的电流。 支路的电流。
第3章 电路分析的一般方法
(3 − 12)
−
uS1
−
uS2
4
R11、R22、R33 为相应回路中所有电阻之和，称为自
阻，自阻总为正值；
R12、R13、R21、R23、R31、R32 为互阻，互阻是相邻回
路间的公共电阻，其值可正可负可为零。当两个回路 电流同向流过互阻时，取正号，否则取负号；
uS11、uS22、uS33 分别表示各回路独立源电压升之和。
iL1
R2 R3 i3
iL2
i2
+
求出 i3 = iL1 = 10A i2 = −iL2 = 6A
i1 = iL1 + iL2 = 4A
uS1
+
−
−
uS2
【例3-5】求所示电路的各支路电流。已知
uS1 = 140V R1 = 20Ω R2 = 5Ω R3 = 6Ω iS2 = 6A
解 方法一
已知 iL2 = iS2 = 6A
L = b − (n − 1)
R3
i3
1
R1
+
i5 R5 i1
Ⅰ
Ⅲ
2 i6 R6
Ⅱ
Ⅰ − R1i1 + R4i4 + R5i5 = uS1
R2
i4 R4
3 i2
Ⅱ − R2i2 − R4i4 + R6i6 = −uS2 Ⅲ
R3i3 − R5i5 − R6i6 = 0
(3 − 5)
−Leabharlann uS1+−
uS2
u6 = u4 − u5 = u N1 − uN 2 + u N2 − uN3 = uN1 − uN3
iS1
R6 i4 R4 i1 R1
−
uS1
−
uS2
4
R11、R22、R33 为相应回路中所有电阻之和，称为自
阻，自阻总为正值；
R12、R13、R21、R23、R31、R32 为互阻，互阻是相邻回
路间的公共电阻，其值可正可负可为零。当两个回路 电流同向流过互阻时，取正号，否则取负号；
uS11、uS22、uS33 分别表示各回路独立源电压升之和。
iL1
R2 R3 i3
iL2
i2
+
求出 i3 = iL1 = 10A i2 = −iL2 = 6A
i1 = iL1 + iL2 = 4A
uS1
+
−
−
uS2
【例3-5】求所示电路的各支路电流。已知
uS1 = 140V R1 = 20Ω R2 = 5Ω R3 = 6Ω iS2 = 6A
解 方法一
已知 iL2 = iS2 = 6A
L = b − (n − 1)
R3
i3
1
R1
+
i5 R5 i1
Ⅰ
Ⅲ
2 i6 R6
Ⅱ
Ⅰ − R1i1 + R4i4 + R5i5 = uS1
R2
i4 R4
3 i2
Ⅱ − R2i2 − R4i4 + R6i6 = −uS2 Ⅲ
R3i3 − R5i5 − R6i6 = 0
(3 − 5)
−Leabharlann uS1+−
uS2
u6 = u4 − u5 = u N1 − uN 2 + u N2 − uN3 = uN1 − uN3
iS1
R6 i4 R4 i1 R1
第三章 支路电流法 节点电压法资料讲解
那么，我们可以考虑，如果对于一个电路，假设如图 3.1所示，电路中所有的元件的取值都是已知的，只有电 路中各条支路的电流是未知的被求量，那么以支路电流为 未知数列出的KCL方程和KVL方程数正好等于支路数，而 这些方程又都是关于支路电流的方程，所以联立求解就可 求出各支路电流。
对我们研究的例题，有6条支路，4个节点，所以可列出4-1=3个独立的 节点电流方程；列出6-（4-1）=3个独立的回路电压方程，而这两组方程的 数目正好等于电路的支路数。
下面我们再来研究电路中的回路，对图3.1的电 路，它的回路是很多的，因为只要若干支路组成的 闭合路径,其中每个节点只经过一次, 这条闭合路径 称为回路。那是不是我们必须把所有的回路中电压 方程都列出来，才能求出电路中所要求的参量呢？ 下面我们就来研究这个问题。对应于图中标出的三 个回路，应用KVL，可以列出回路电压方程如下：
-I5-I4+I1=0
-I2+I4+I6-I3-I6+I5 -I5-I4+I1=0 <=>
-I1+I2+I3 =0
观察以上四个表达式，可看出其中的任 一个方程都可由其它三个方程得出。说 明这四个方程中只有三个方程是独立的。 对于更多节点的电路，情况也一样。一 般来讲，具有n个节点的电路，只能列出 （n-1）个独立的KCL方程。
回路L1： i1 +2i2 +4i4 =10
- i1 + L1
i2 i3
L2
i6
i4 L3 i5
回路L2：-2i2+3i3 - 6i6 =8
回路L3：-4i4 + 5i5 +6i6 =-8
以上三个回路方程中，没有哪个方程能从 另外两个方程中推出，所以都是独立的回路方 程。
线性电路分析方法
第三章
线性电路分析方法
简单电路：仅有一个独立节点或一个回路. 复杂电路：含有多个节点或回路。 平面电路：可画在一个平 面上，且使各条支路除连 接点外不再有交叉支路的 电路。
对于平面电路，可以引入 网孔的概念。
1
3-1 支路法：
定义：以支路电压、支路电流为待求量列写电路方程 求解电路的方法。 KCL方程列写： （3个） - i1 + i2 + i3=0 - i2 + i4 + i6=0 - i3 + i5 - i6=0 i1 方程列写： – i4 - i5=0 KVL （3个） - u1+ u2 + u4 = 0 - u2 + u3 – u6 = 0
回路电流，列写其余方程时避开该理想电流源支路。
ia
ib
ic
ia =1.6 -10ia+18ib-4ic=0 -4ib+6ic=-70
ia + u -
ib
ic
12ia- 2ib = -u -2ia+10ib-4ic= u -4ib+6ic= -70 ib-ia=1.6
方法3： 设理想电流源端电压，将此电压暂当作电压源电压列 写方程，并利用理想电流源与相应回路电流关系补充方程。
I3 20 10 8 20 10 8
I1 I2
10 24 4 10 24 4
I3
8 4 20 40 20 20
9
=-0.956A
i = I3= -0.956A
2、求图示电路中各支路电流。
I1
I2
I3
ia ib
(1) 选择网孔电流,参考 方向取顺时针方向； (2) 列写网孔电流方程： 15ia - 5 ib = 40 - 5ia +20 ib = 5 (3) 解网孔电流 ib = 1A ia = 3A (4) 求各支路电流 I1 =ia = 3A I2 = ib = 1A I3 = ia - ib = 2A (10ia+ 5 ib = 35+10)
线性电路分析方法
简单电路：仅有一个独立节点或一个回路. 复杂电路：含有多个节点或回路。 平面电路：可画在一个平 面上，且使各条支路除连 接点外不再有交叉支路的 电路。
对于平面电路，可以引入 网孔的概念。
1
3-1 支路法：
定义：以支路电压、支路电流为待求量列写电路方程 求解电路的方法。 KCL方程列写： （3个） - i1 + i2 + i3=0 - i2 + i4 + i6=0 - i3 + i5 - i6=0 i1 方程列写： – i4 - i5=0 KVL （3个） - u1+ u2 + u4 = 0 - u2 + u3 – u6 = 0
回路电流，列写其余方程时避开该理想电流源支路。
ia
ib
ic
ia =1.6 -10ia+18ib-4ic=0 -4ib+6ic=-70
ia + u -
ib
ic
12ia- 2ib = -u -2ia+10ib-4ic= u -4ib+6ic= -70 ib-ia=1.6
方法3： 设理想电流源端电压，将此电压暂当作电压源电压列 写方程，并利用理想电流源与相应回路电流关系补充方程。
I3 20 10 8 20 10 8
I1 I2
10 24 4 10 24 4
I3
8 4 20 40 20 20
9
=-0.956A
i = I3= -0.956A
2、求图示电路中各支路电流。
I1
I2
I3
ia ib
(1) 选择网孔电流,参考 方向取顺时针方向； (2) 列写网孔电流方程： 15ia - 5 ib = 40 - 5ia +20 ib = 5 (3) 解网孔电流 ib = 1A ia = 3A (4) 求各支路电流 I1 =ia = 3A I2 = ib = 1A I3 = ia - ib = 2A (10ia+ 5 ib = 35+10)
电路的基本分新析方法2-1支路电流法
• -I1-I2+I3=0 • 0.5I1-0.1I2+5-10=0 • 0.1I2+10I3-5=0 • 解得： I1=8.176A，I2 =－7.6A， I3=0.576A。负号表示与电流参考
方向相反
例题 2.1.2 电路如图2-1-2所示， 已知R1=3Ω ，R2=2Ω，R3=3Ω ， US1=12V，US2=6V ，US3=24V ，用支路电流法求： I1 、 I2 、 I3 。 解： 根据KCL 对节点a列方程得：
• 解：(1) 确定电路中有3条支路，各支路的电流参考方向如图中所示 。
• (2) 确定电路中有2个结点A和B，根据KCL列出1个结点电流方程
• -I1-I2+I3=0 • (3) 选取2个(即[3－(2－1)]个)独立回路，根据KVL列出2个回路电压
方程，我们这里选取网孔Ⅰ和Ⅱ，有
• R1I1-R2I2+US2-US1=0 • R2I2+R3I3-US2=0 • (4) 代入数据，解联立方程，求各支路电流。
I1+I3-I2=0 对回路Ⅰ按图示绕向列电压方程得：
（1方程得：
（2）
I2R2+I3R3=US3-US2 代入数据得：
（3）
I1+I3-I2=0 3I1+2I2=6 2I2+3I3=18 解方程组可得：I1= -A ，I2= A ，I3= A
练习1
图2-1-3中，已知R1=1Ω ，R2=3Ω，R3=8Ω ，US=14V， IS=6A ，用支路电流法求：I1、I2 。
按顺时针方向绕行, 对左面的网孔列写KVL方程
R1I1 R2I2 U s1 U s2 按顺时针方向绕行对右面的网孔列写KVL方程:
方向相反
例题 2.1.2 电路如图2-1-2所示， 已知R1=3Ω ，R2=2Ω，R3=3Ω ， US1=12V，US2=6V ，US3=24V ，用支路电流法求： I1 、 I2 、 I3 。 解： 根据KCL 对节点a列方程得：
• 解：(1) 确定电路中有3条支路，各支路的电流参考方向如图中所示 。
• (2) 确定电路中有2个结点A和B，根据KCL列出1个结点电流方程
• -I1-I2+I3=0 • (3) 选取2个(即[3－(2－1)]个)独立回路，根据KVL列出2个回路电压
方程，我们这里选取网孔Ⅰ和Ⅱ，有
• R1I1-R2I2+US2-US1=0 • R2I2+R3I3-US2=0 • (4) 代入数据，解联立方程，求各支路电流。
I1+I3-I2=0 对回路Ⅰ按图示绕向列电压方程得：
（1方程得：
（2）
I2R2+I3R3=US3-US2 代入数据得：
（3）
I1+I3-I2=0 3I1+2I2=6 2I2+3I3=18 解方程组可得：I1= -A ，I2= A ，I3= A
练习1
图2-1-3中，已知R1=1Ω ，R2=3Ω，R3=8Ω ，US=14V， IS=6A ，用支路电流法求：I1、I2 。
按顺时针方向绕行, 对左面的网孔列写KVL方程
R1I1 R2I2 U s1 U s2 按顺时针方向绕行对右面的网孔列写KVL方程:
支路电流法和支路电压法
2 i2 R2
3
以电阻支路和电源支路电
流i0、i1、i2、i3、i4为未知变量， 其联列方程可写出如下：
i0 +
+ u1 – +
us1
u3
–
–
i3 + u2 – + i4 R3 us2
–
由独立节点 KCL
由独立回路 KVL和元件
VAR
i0 - i1 = 0 i1 - i2 - i3 = 0
i2 + i4 = 0 R1i1 + R3i3 - us1 = 0
（或电压）为未知量，需要b=5个
4
联列方程，比2b法的8个要少。
支路电流法：以支路电流作为未知变量，通知变量，通过KCL、KVL联列 方程求解。
电路分析基础——第一部分：1-10
3/5
支路电流法： {以图（1-71）为例} 1 i1 R1
电路分析基础——第一部分：1-10
1/5
1-10 支路电流法和支路电压法
方法综述：（两步法）
• 首先设法求得各电阻支路的电流（或电压）以 及电压源电流和电流源电压，
• 然后再利用电阻支路的VAR求得电阻支路的电 压（或电流）。
与2b法比较：2b法则为一步法，而本节介绍的支路电 流法和支路电压法，通过分两步进行，使所需的 联列方程数大为减少。
电路分析基础——第二部分：第一章 目录
第一章 集总电路电压电流约束关系
1 电路及电路模型 集总假设
2 电路变量 电流、 电压及功率
3 基尔霍夫定律
4 电阻元件
7 分压电路和分流电路
8 受控源
9 两类约束 电路KCL、 KVL方程的独立性
10 支路电流法和支路电压法
电工技术--第二章 电路的分析方法
I1
A
R1 Us1 R2
I2
R3 Us2 B
I3
A
I1 '
A
I2' I1"
R1 Us1
R2
R1
R2
I2"
R3
I3'
+
R3 Us2
I3 "
B
B
A
I1
R1 R2
A
I2
R3
A
I2'
R3
I1' I3
R1
R2
I1" I3'
R1
R2
I2"
R3
Us1 Us2
=
Us1
+
Us2
I3"
B
B
B
解： I1
U S1 R 2R 3 R1 + R2 + R3
例1 ：
I1 R1 I3
a
I2 R2 R3 2 +
对结点 a： I1+I2–I3=0 对网孔1： I1 R1 +I3 R3=E1 E2 对网孔2： I2 R2+I3 R3=E2
+ E1
-
1
-
b
联立求解各支路电流
例：试求各支路电流。
a
c
支路中含有恒流源 I3 注意：当支路中含有恒流源 时，若在列KVL方程时，所选 回路中不包含恒流源支路
+
U -
I RL
Ro Uo
+
+ _
I RL
网络
U B
B 有源二端网络
戴维南等效电路
任意一个线性有源二端网络对外都可等 效为等效电压源。
A
R1 Us1 R2
I2
R3 Us2 B
I3
A
I1 '
A
I2' I1"
R1 Us1
R2
R1
R2
I2"
R3
I3'
+
R3 Us2
I3 "
B
B
A
I1
R1 R2
A
I2
R3
A
I2'
R3
I1' I3
R1
R2
I1" I3'
R1
R2
I2"
R3
Us1 Us2
=
Us1
+
Us2
I3"
B
B
B
解： I1
U S1 R 2R 3 R1 + R2 + R3
例1 ：
I1 R1 I3
a
I2 R2 R3 2 +
对结点 a： I1+I2–I3=0 对网孔1： I1 R1 +I3 R3=E1 E2 对网孔2： I2 R2+I3 R3=E2
+ E1
-
1
-
b
联立求解各支路电流
例：试求各支路电流。
a
c
支路中含有恒流源 I3 注意：当支路中含有恒流源 时，若在列KVL方程时，所选 回路中不包含恒流源支路
+
U -
I RL
Ro Uo
+
+ _
I RL
网络
U B
B 有源二端网络
戴维南等效电路
任意一个线性有源二端网络对外都可等 效为等效电压源。
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这样，只需求解b个方程，就能得到全部支路电流，再 利用VCR方程即可求得全部支路电压。
仍以图示电路为例说明如何建立支路电流法方程。
i1
i1
i4
i2
0
i3Байду номын сангаас
0
i2 i5 0
u1 R1i1
uu32
R2i2 R3i3
u4 uS1
u5 uS2
uu12
u3 u5
u4 u3
0 0
§1－7 支路电流法和支路电压法
一、支路电流法
上节介绍2b方程的缺点是方程数太多，给手算求解联 立方程带来困难。如何减少方程和变量的数目呢？
如果电路仅由独立电压源和线性二端电阻构成，可将 欧姆定律u=Ri代人KVL方程中，消去全部电阻支路电压， 变成以支路电流为变量的KVL方程。加上原来的KCL方程， 得到以b个支路电流为变量的b个线性无关的方程组(称为支 路电流法方程)。
i1 i2 i3 0
用观察法直接列出两个网孔的 KVL方程
(2)i1 (3)i2 14V 2V (3)i2 (8)i3 2V
求解以上三个方程得到: i1=3A,i2=-2A和i3=1A。
二、 支路电压法
与支路电流法类似，对于由线性二端电阻和独立电流 源构成的电路，也可以用支路电压作为变量来建立电路方 程。在2b方程的基础上，我们将电阻元件的VCR方程i=Gu 代入到KCL方程中，将支路电流转换为支路电压，得到n1个以支路电压作为变量的KCL方程，加上原来的b-n+1个 KVL方程，就构成b个以支路电压作为变量的电路方程， 这组方程称为支路电压法方程。对于由线性二端电阻和独 立电流源构成的电路，可以用观察电路的方法，直接列出 这b个方程，求解方程得到各支路电压后，再用欧姆定律 i=Gu可以求出各电阻的电流。
R1i1 R3i3 uS1 R2i2 R3i3 uS2
上式可以理解为回路中全部电阻电压降的代数和，等于该回
路中全部电压源电压升的代数和。据此可用观察法直接列出以支
路电流为变量的 KVL方程。
例1－11 用支路电流法求图示电路中各支路电流。
解：由于电压源与电阻串联时电流相同，本电路仅需假设 三个支路电流:i1、i2和i3。 此时只需列出一个 KCL方程
再加上一个KVL方程
u1 u2 u3 0
就构成以三个支路电压作为变量的支路电压法的电路 方程。
以图示电路说明支路电压法方程的建立过程
列出2个KCL方程
i1 i3 iS1 i2 i3 iS2
代入以下三个电阻的VCR方程
i1 G1u1 i2 G2u2 i3 G3u3
得到以u1、u2、u3为变量的KCL方程
G1u1 G3u3 iS1 G2u2 G3u3 iS2
这两个方程表示流出某个结点的各电阻支路电流Gkuk 之和等于流入该结点电流源电流iSk之和，根据这种理解， 可以用观察电路的方法直接写这些方程。
仍以图示电路为例说明如何建立支路电流法方程。
i1
i1
i4
i2
0
i3Байду номын сангаас
0
i2 i5 0
u1 R1i1
uu32
R2i2 R3i3
u4 uS1
u5 uS2
uu12
u3 u5
u4 u3
0 0
§1－7 支路电流法和支路电压法
一、支路电流法
上节介绍2b方程的缺点是方程数太多，给手算求解联 立方程带来困难。如何减少方程和变量的数目呢？
如果电路仅由独立电压源和线性二端电阻构成，可将 欧姆定律u=Ri代人KVL方程中，消去全部电阻支路电压， 变成以支路电流为变量的KVL方程。加上原来的KCL方程， 得到以b个支路电流为变量的b个线性无关的方程组(称为支 路电流法方程)。
i1 i2 i3 0
用观察法直接列出两个网孔的 KVL方程
(2)i1 (3)i2 14V 2V (3)i2 (8)i3 2V
求解以上三个方程得到: i1=3A,i2=-2A和i3=1A。
二、 支路电压法
与支路电流法类似，对于由线性二端电阻和独立电流 源构成的电路，也可以用支路电压作为变量来建立电路方 程。在2b方程的基础上，我们将电阻元件的VCR方程i=Gu 代入到KCL方程中，将支路电流转换为支路电压，得到n1个以支路电压作为变量的KCL方程，加上原来的b-n+1个 KVL方程，就构成b个以支路电压作为变量的电路方程， 这组方程称为支路电压法方程。对于由线性二端电阻和独 立电流源构成的电路，可以用观察电路的方法，直接列出 这b个方程，求解方程得到各支路电压后，再用欧姆定律 i=Gu可以求出各电阻的电流。
R1i1 R3i3 uS1 R2i2 R3i3 uS2
上式可以理解为回路中全部电阻电压降的代数和，等于该回
路中全部电压源电压升的代数和。据此可用观察法直接列出以支
路电流为变量的 KVL方程。
例1－11 用支路电流法求图示电路中各支路电流。
解：由于电压源与电阻串联时电流相同，本电路仅需假设 三个支路电流:i1、i2和i3。 此时只需列出一个 KCL方程
再加上一个KVL方程
u1 u2 u3 0
就构成以三个支路电压作为变量的支路电压法的电路 方程。
以图示电路说明支路电压法方程的建立过程
列出2个KCL方程
i1 i3 iS1 i2 i3 iS2
代入以下三个电阻的VCR方程
i1 G1u1 i2 G2u2 i3 G3u3
得到以u1、u2、u3为变量的KCL方程
G1u1 G3u3 iS1 G2u2 G3u3 iS2
这两个方程表示流出某个结点的各电阻支路电流Gkuk 之和等于流入该结点电流源电流iSk之和，根据这种理解， 可以用观察电路的方法直接写这些方程。