高中学业水平测试数学试卷1

高中学业水平测试数学试卷(一)
一、选择题（每题4分，共40分）
1．设集合A ={0，1，2，4，5，7}，集合B ={1，3，6，8，9}，集合C={3，7，9}，则集合（A ∩B ）∪C 等于
A ．{0，1，2，6，9}
B ．{3，7，9}
C ．{1，3，7，9}
D ．{3，6，7，9} 2．下列各组1=y 函数中，表示相同函数的是 A ．x
x y =
与 B ．x y =与2)(x y = C ．2+=x y 与2
4
2--=x x y D ．||x y =与2x y =
3．cos3000
的值等于 A ．
21 B ．-2
1
C ．23
D ．-23
4．已知5
3
cos =α，则α2cos 等于 A ．
257 B ．257- C ．2516 D ．25
16- 5．函数x y 2sin 4=是 A ．周期为
2π的奇函数 B ．周期为2
π
的偶函数 C ．周期为π的奇函数 D ．周期为π的偶函数 6．在空间下列命题中正确的是
A ．同平行于同一个平面的两条直线平行
B ．垂直于同一直线的两条直线平行 C. 平行于同一直线的两条直线平行 D ．与同一个平面成等角的两条直线平行 7．“两条直线a 、b 为异面直线”是“直线a 、b 不相交”的 A. 充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 8．将x y sin =的图象上所有点向左平移
3
π
个单位长度，再把所得图象上个点的横坐标扩大到原来的2倍，则得到的图象解析式为
A ．)32sin(π
+
=x y B ．)32sin(π-=x y C ．)62sin(π-=x y D ．)3
2sin(π
+=x y 9．如果直线ax+2y+1=0与直线x+y-2=0互相垂直，那么a 的值等于 A ．1 B ．31-
C ．3
2
- D ．-2 10．在△ABC 中，已知a=4，A=45°B=60°则b 等于 A ．
3
6
4 B ．22 C ．32 D ．62 二、填空题（每题4分，共16分）
11．45与80的等比中项是
12．已知一个球的半径R=3cm ，那么它的体积是 cm 3
13．函数)34(log 5.0-=
x y 的定义域是
14．已知双曲线 12222=-b
y a x 离心率 45
=e ，虚半轴长为3，则双曲线方程为
三、解答题（本大题共4个小题，共44分） 15．已知cos α=-
54，α∈),2(ππ,试求（1）sin （α-3
π
）的值；（2）cos2α的值。

16．已知等差数列{n a }中， 3a =9, 9a =3，求⑴1a 和公差d ；⑵前15项的和S 15。

17． 如图，四棱锥P-ABCD 中，底面是正方形，边长为a ，PD=a ，PA=PC=2a ⑴求证：PD ⊥平面ABCD ；⑵求异面直线PB 与AC 所成角； (3)二面角A-PB-D 的平面角的大小
18．已知直线l ：mx+ny=1与椭圆C ：122
22=+b
y a x )
0(>>b a 交于P 、Q 两点
① 求证：12
2
2
2
>+n b m a ；
②若O 为坐标原点且OP ⊥OQ ，求证：2
22
222n m b
a b a +=+
B
A C
D P
高中学业水平测试数学试卷（一）
参考答案
21．±60；22．π36；24．]1,4
3
(；25．191622=-y x ；26．-2 三、解答题（共42分，27-30每题8分，31题10分）
27．（本小题满分8分） 解：∵cos α=-54，α∈),2(ππ∴sin α=5
3
（1分） sin )3
(π
α-
=)3
sin cos 3cos
(sin π
απ
α- （3分）
=
103
43+ （5分） cos2α=1cos 22
-α （7分）
=25
7 （8分） 29．（本小题满分8分） 解：设首项为1a ，公差为d ，⎩⎨⎧=+=+3
89
211d a d a （3分）
解得1a =11，d =-1（5分） S 15=2
)
1()115(1511152)1(1-⨯-+
⨯=-+
d n n na =60（8分） 30．（本小题满分8分）
解：⑴∵AD=DC=a ，PD=a ，PA=PC=2a
∴AD 2+PD 2=PA 2，DC 2+PD 2=PC 2
（1分）
∴∠PDA=900，∠PDC=900
（2分） ∴PD ⊥平面ABCD （3分） ⑵连结AC 、BD 交于O ，
∵ABCD 是正方形∴AC ⊥BD （4分） ∵PD ⊥平面ABCD ∴AC ⊥PB （5分）
∴异面直线PB 与AC 所成角为900
（6分） ⑶作AE ⊥PB 于E ，连结EO ，
∵AC ⊥PB ，AE ⊥PB ∴PB ⊥平面AEO ∴PB ⊥EO
B
A
C
D
P
O
E
∴∠AEO 为二面角A-PB-D 的平面角（7分） 在Rt △PAB 中，a PB a AB A PA 3,,2===
∴a a
a AE 3
6322=
=
a OA 2
2
=
，∵AC ⊥平面PBD ∴AO ⊥OE ， ∴在Rt △AOE 中，23
6
322sin =
⋅==∠AE OA AEO ∴
60=∠AEO （8分） 31．（本小题满分10分）
解：①⎩⎨⎧=+=+2
222221b
a y a x
b ny mx 消去x 得02)(2222222222=-+-+m b a b ny b y n b m a
（2分）
04442222242424>-+=∆m b a n m b a m b a
即0)1(42
222222>-+n b m a m b a
∴12
2
2
2
>+n b m a （4分）
②设P （x 1,y 1）Q(x 2,y 2), 分别消去①中方程组x ，y ，由韦达定理可知y 1y 2=2
2222
222n b m a m b a b +-,
（6分）x 1x 2=2
2222
222n b m a n b a a +-，（8分）
由OP ⊥OQ 得02121=+y y x x （9分） 代入化简得222
22
2n m b
a b a +=+ （10分） 14．直线043=+y x 与圆9)4()3(2
2=-++y x 的位置关系是
A ．相切
B ．相离
C ．相交但不过圆心
D ．相交且通过圆心 16．已知向量a=（1，2），b=（-4，x ），且a ⊥b ，则x 的值是 A ．-8 B ．-2 C ．2 D ．8
17．已知正四棱锥的侧棱与底面边长相等，则侧棱与底面所成的角等于 A ．30° B ．45° C ．60° D ．70°
20．若偶函数)(x f y =在]1,(--∞上是增函数，则下列各式成立的是 A ．)2()2(->f f B ．)3()2(f f >-．)()3(πf f < D ．)3()2(f f <- 26．已知∣a ∣=4，∣b ∣=3，且a ⊥b ，则（a+b ）·（a-2b ）=。