平面向量的数量积及其应用定稿1
平面向量的数量积与平面向量应用举例_图文_图文
三、向量数量积的性质
1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a. 2．a⊥b⇔ a·b＝0 .
|a|2
4．cos θ＝
.(θ为a与b的夹角)
5．|a·b| ≤ |a||b|.
四、数量积的运算律
1．交换律：a·b＝ b·a . 2．分配律：(a＋b)·c＝ a·c＋b·c . 3．对λ∈R，λ(a·b)＝ (λa)·b＝ a·(λb．) 五、数量积的坐标运算
∴a与c的夹角为90°. (2)∵a与b是不共线的单位向量，∴|a|＝|b|＝1. 又ka－b与a＋b垂直，∴(a＋b)·(ka－b)＝0， 即ka2＋ka·b－a·b－b2＝0. ∴k－1＋ka·b－a·b＝0. 即k－1＋kcos θ－cos θ＝0(θ为a与b的夹角)． ∴(k－1)(1＋cos θ)＝0.又a与b不共线， ∴cos θ≠－1.∴k＝1. [答案] (1)B (2)1
解析：(1) a＝(x－1,1)，a－b＝(x－1,1)－(－x＋1,3)＝ (2x－2，－2)，故a⊥(a－b)⇔2(x－1)2－2＝0⇔x＝0或2 ，故x＝2是a⊥(a－b)的一个充分不必要条件．
答案: (1)B (2)D
平面向量的模 [答案] B
[答案] D
[典例总结]
利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌 握此类问题的处理方法：
[巩固练习]
2．(1)设向量a＝(x－1,1)，b＝(－x＋1,3)，则a⊥(a－b)
的一个充分不必要条件是
()
A．x＝0或2
B．x＝2
C．x＝1
D．x＝±2
(2)已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝a＋λb(λ∈R)，
向量d如图所示，则
()
A．存在λ>0，使得向量c与向量d垂直 B．存在λ>0，使得向量c与向量d夹角为60° C．存在λ<0，使得向量c与向量d夹角为30° D．存在λ>0，使得向量c与向量d共线
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平面向量的数量积及平面向量的应用一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：● 理解平面向量数量积的含义及其物理意义； ● 了解平面向量的数量积与向量投影的关系；● 掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算；● 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系； ● 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题；● 会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．重点难点：● 重点：数量积的运算，以及运用数量积求模与夹角． ● 难点：用向量的方法解决几何、物理等问题．学习策略：● 学习本专题内容，需要复习平面向量基本定理、平面向量的坐标表示、平面向量的坐标运算；学习中注意向量的数量积、向量的数乘和实数的乘法这三种运算的区别与联系；平面向量的应用是向量的核心内容，向量的平行和垂直是向量间最基本最重要的位置关系，在平面几何、解析几何、物理等方面有着重要的应用．特别对不同的解题方法进行比较，从中体会向量方法的优越性所在．二、学习与应用（一）平面向量基本定理如果12,e e 是同一平面内两个的向量，那么对于这个平面内任一向量a ， 一对 12,λλ，使a = ，称 为12,e e 的线性组合．（1）其中12,e e 叫做表示这一平面内所有向量的 ；（2）平面内任一向量都可以沿两个不共线向量12,e e 的方向分解为两个向量的 ，并且这种分解是 的．这说明如果1122a e e λλ=+且''1122a e e λλ=+，那么 ．（3）当基底12,e e 是两个互相 的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面知识回顾——复习学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？“凡事预则立，不预则废”。
科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。
向量坐标表示的基础．（二）向量坐标与点坐标的关系当向量起点在原点时，定义向量坐标为坐标，即若A(x，y)，则OA--→=( ， )．OB OA-=(=(x，y)，则λa（四）平面向量平行（共线）的坐标表示设非零向量()()1122,,,a bx y x y==，则a→∥b→⇔(x1，y1)=λ(x2，y 2)，即1..................1..................xy=⎧⎨=⎩，或 =0．知识点一：平面向量的数量积（一）平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则数量叫a与b的数量积，记作a b⋅，即有a b⋅=．并规定0与任何向量的数量积为．（二）一向量在另一向量方向上的投影：叫做向量b在a方向上的投影．要点诠释：（1）两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别①两个向量的数量积是一个，不是向量，符号由的符号所决定．②两个向量的数量积称为积，写成a b⋅；今后要学到两个向量的外积a b⨯，而a b⋅是两个向量的数量的积，书写时要严格区分．符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替．知识要点——预习和课堂学习认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。
平面向量的数量积与向量积的应用的应用
平面向量的数量积与向量积的应用的应用平面向量的数量积与向量积的应用平面向量是解决平面几何问题的重要工具，其数量积与向量积是常用的运算符号。
本文将探讨平面向量的数量积与向量积的应用，并运用相应的公式进行详细计算和论证。
一、平面向量的数量积的应用平面向量的数量积，也称为点积或内积，是两个向量之间的一种运算，表示了向量之间的夹角关系。
数量积的应用广泛，包括计算向量的模长、求解向量的夹角、判定向量是否垂直或平行等。
1. 求解向量的模长对于平面向量a，其模长可以通过数量积求解。
设a = (a₁, a₂)，则a的模长|a| = √(a₁² + a₂²)。
2. 求解向量的夹角对于平面向量a和b，它们的夹角θ可以通过数量积求解。
设a = (a₁, a₂)和b = (b₁, b₂)，则a与b的夹角θ的余弦值可以表示为cosθ = (a·b) / (|a|·|b|)。
通过求解cosθ，我们可以进一步求解夹角θ。
3. 判定向量是否垂直或平行若两个向量a和b的数量积等于0，即a·b = 0，则a与b垂直。
若数量积不等于0，即a·b ≠ 0，则a与b不垂直。
另外，如果两个向量的数量积等于a和b的模长之积，即a·b = |a|·|b|，则a与b平行。
二、平面向量的向量积的应用平面向量的向量积，也称为叉积或外积，是两个向量之间的一种运算，表示了向量之间的方向关系。
向量积的应用主要涉及到平行四边形面积、垂直判定以及向量的混合积的计算。
1. 平行四边形面积对于平面向量a和b，它们的向量积a×b的模长等于a和b所构成的平行四边形的面积。
即|a×b| = |a|·|b|·sinθ，在计算时取正值即可。
2. 垂直判定若两个向量a和b的向量积等于0，即a×b = 0，则a与b平行或共线。
若向量积不等于0，即a×b ≠ 0，则a与b垂直。
高中数学基础之平面向量的数量积及应用
高中数学基础之平面向量的数量积及应用平面向量的数量积定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，我们把数量|a ||b |cos θ叫做向量a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0.平面向量数量积的几何意义：设a ，b 是两个非零向量，AB→＝a ，CD →＝b ，它们的夹角是θ，e 是与b 方向相同的单位向量，过AB →的起点A 和终点B ，分别作CD →所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，得到A 1B 1→，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影，A 1B 1→叫做向量a 在向量b 上的投影向量．记为|a |cos θ e . 一、平面向量数量积的运算例1 已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则BC→·AF →的值为( ) A ．－58 B ．18 C ．14 D ．118答案 B解析 如图，由条件可知BC→＝AC →－AB →，AF →＝AD →＋DF →＝12AB →＋32DE →＝12AB →＋34AC →，所以BC →·AF →＝(AC →－AB →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋34AC →＝34AC →2－14AB →·AC →－12AB →2.因为△ABC 是边长为1的等边三角形，所以|AC→|＝|AB →|＝1，∠BAC ＝60°，所以BC →·AF →＝34－18－12＝18.例2 在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD ＝2，∠BAD ＝π4，若AB →·AC →＝2AB →·AD →，则AD →·AC →＝________.答案 12解析 如图，建立平面直角坐标系xAy .依题意，可设点D (m ，m )，C (m ＋2，m )，B (n,0)，其中m ＞0，n ＞0，则由AB→·AC →＝2AB →·AD →，得(n,0)·(m ＋2，m )＝2(n,0)·(m ，m )，所以n (m ＋2)＝2nm ，化简得m ＝2.故AD→·AC →＝(m ，m )·(m ＋2，m )＝2m 2＋2m ＝12.例3 在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE→＝23BC →，DF →＝16DC →，则AE →·AF →的值为________．答案 2918解析 在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，∴CD ＝1，AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋23BC →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋16DC →，∴AE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋23BC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋16DC →＝AB →·AD→＋AB →·16DC →＋23BC →·AD →＋23BC →·16DC →＝2×1×cos60°＋2×16＋23×12×cos60°＋23×16×12×cos120°＝2918.方法：解决涉及几何图形的向量的数量积运算常用两种方法：一是定义法，二是坐标法．定义法可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简后再运算，但一定要注意向量的夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补；坐标法要建立合适的坐标系．(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.二、平面向量数量积的应用.例4 已知向量a ，b 为单位向量，且a ·b ＝－12，向量c 与a ＋b 共线，则|a ＋c |的最小值为( )A ．1B ．12C ．34D ．32答案 D解析 ∵向量c 与a ＋b 共线，∴可设c ＝t (a ＋b )(t ∈R )，∴a ＋c ＝(t ＋1)a ＋t b ，∴(a ＋c )2＝(t ＋1)2a 2＋2t (t ＋1)a ·b ＋t 2b 2，∵向量a ，b 为单位向量，且a ·b ＝－12，∴(a ＋c )2＝(t ＋1)2－t (t ＋1)＋t 2＝t 2＋t ＋1≥34，∴|a ＋c |≥32，∴|a ＋c |的最小值为32.故选D.例5 已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________.答案223解析 因为a 2＝(3e 1－2e 2)2＝9－2×3×2×12×cos α＋4＝9，所以|a |＝3，因为b 2＝(3e 1－e 2)2＝9－2×3×1×12×cos α＋1＝8，所以|b |＝22，又a ·b ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－e 2)＝9e 21－9e 1·e 2＋2e 22＝9－9×1×1×13＋2＝8，所以cos β＝a ·b |a ||b |＝83×22＝223.例6 若向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3解析 ∵2a －3b 与c 的夹角为钝角，∴(2a －3b )·c ＜0，即(2k －3，－6)·(2,1)＜0，∴4k －6－6＜0，∴k ＜3.又若(2a －3b )∥c ，则2k －3＝－12，即k ＝－92.当k ＝－92时，2a －3b ＝(－12，－6)＝－6c ，即2a －3b 与c 反向．综上，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3.例7 已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________．答案 712解析 因为AP →⊥BC →，所以AP →·BC →＝0.又AP →＝λAB →＋AC →，BC →＝AC →－AB →，所以(λAB→＋AC →)·(AC →－AB→)＝0，即(λ－1)AC →·AB →－λAB →2＋AC →2＝0，所以(λ－1)|AC →||AB →|·cos120°－9λ＋4＝0，即(λ－1)×3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－9λ＋4＝0，解得λ＝712.例8 已知平面向量a ，b 的夹角为π6，且|a |＝3，|b |＝2，在△ABC 中，AB →＝2a ＋2b ，AC →＝2a －6b ，D 为BC 的中点，则|AD→|等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案 A解析 因为AD →＝12(AB →＋AC →)＝12(2a ＋2b ＋2a －6b )＝2a －2b ，所以|AD →|2＝4(a －b )2＝4(a 2－2a ·b ＋b 2)＝4×⎝⎛⎭⎪⎫3－2×3×2×cos π6＋4＝4，则|AD →|＝2.故选A. 例9 已知向量|OA →|＝3，|OB →|＝2，OC →＝mOA →＋nOB →，若OA →与OB →的夹角为60°，且OC →⊥AB→，则实数m n的值为( ) A.16 B ．14 C ．6 D ．4答案 A解析 因为向量|OA →|＝3，|OB →|＝2，OC →＝mOA →＋nOB →，OA →与OB →的夹角为60°，所以OA →·OB →＝3×2×cos60°＝3，所以AB→·OC →＝(OB →－OA →)·(mOA →＋nOB →)＝(m －n )OA →·OB →－m |OA →|2＋n |OB →|2＝3(m －n )－9m ＋4n ＝－6m ＋n ＝0，所以m n ＝16.故选A.例10 已知在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB→|的最小值为________．答案 5解析 建立平面直角坐标系如图所示，则A (2,0)，设P (0，y )，C (0，b )，则B (1，b )，则P A →＋3PB →＝(2，－y )＋3(1，b －y )＝(5,3b －4y )．所以|P A →＋3PB →|＝25＋(3b －4y )2(0≤y ≤b )．当y ＝34b 时，|P A →＋3PB →|min＝5.例11 设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5答案 A解析 a ·b ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2]＝14×(10－6)＝1.故选A.例12 已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( )A ．1B ．2C ．2D ．22 答案 C解析 设OA→⊥OB →，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为线段AB 的中点，因为|a |＝|b |＝1，所以AB ＝2，AD ＝22，(a －c )·(b －c )＝CA →·CB →＝|CD →|2－|DA →|2＝|CD →|2－12＝0，所以|CD→|＝22，上式表明，DC→是有固定起点，固定模长的动向量，点C 的轨迹是以22为半径的圆，因此|c |的最大值就是该轨迹圆的直径 2.故选C.例13 如图所示，正方形ABCD 的边长为1，A ，D 分别在x 轴、y 轴的正半轴(含原点)上滑动，则OC→·OB →的最大值是________．答案 2解析 如图，取BC 的中点M ，AD 的中点N ，连接MN ，ON ，则OC→·OB →＝OM →2－14.因为OM ≤ON ＋NM ＝12AD ＋AB ＝32，当且仅当O ，N ，M 三点共线时取等号，所以OC →·OB →的最大值为2.极化恒等式(1)极化恒等式：设a ，b 为两个平面向量，则a ·b ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2]．极化恒等式表示平面向量的数量积运算可以转化为平面向量线性运算的模，如果将平面向量换成实数，那么上述公式也叫“广义平方差”公式．(2) 极化恒等式的几何意义：平面向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14，即a ·b ＝14(|AC →|2－|BD →|2)．(3) 极化恒等式的三角形模式：在△ABC 中，若M 是BC 的中点，则AB→·AC →＝AM →2－14BC →2.可以利用极化恒等式来求数量积、求最值、求模长．平面向量有“数”与“形”双重身份，它沟通了代数与几何的关系，所以平面向量的应用非常广泛，主要体现在平面向量与平面几何、函数、不等式、三角函数、解析几何等方面，解决此类问题的关键是将其转化为向量的数量积、模、夹角等问题，进而利用向量方法求解．。
平面向量节平面向量的数量积及应用举例课件理新
2023平面向量节平面向量的数量积及应用举例课件理新pptCATALOGUE目录•平面向量的数量积基础•平面向量的数量积应用•平面向量数量积的应用举例•平面向量数量积的扩展应用•平面向量数量积的练习与巩固01平面向量的数量积基础平面向量的定义平面向量是一种带方向的量，表示为$\overset{\longrightarrow}{a}$，其中$\overset{\longrightarrow}{a}$表示从原点出发，向$x$轴前进$a$个单位，向$y$轴前进$b$个单位。
平面向量的性质平面向量具有方向性、模和夹角等性质对于两个向量$\overset{\longrightarrow}{a}$和$\overset{\longrightarrow}{b}$平面向量的数量积定义如果$\overset{\longrightarrow}{a} \cdot \overset{\longrightarrow}{b} = 0$，那么向量$\overset{\longrightarrow}{a}$与向量$\overset{\longrightarrow}{b}$垂直。
非零向量$\overset{\longrigh…非零向量$\ove…向量$\overs…如果两个向量的数量…如果$\overset{\longrightarrow}{a}\cdot\overset{\longrightarrow}{b} =0$如果两个向量的夹角…0102030402平面向量的数量积应用总结词向量共线定理详细描述平面向量的数量积可以用于判断两个向量是否共线用数量积判断向量共线向量长度公式总结词平面向量的数量积可以用于计算向量的长度详细描述总结词向量夹角公式详细描述平面向量的数量积可以用于计算两个向量之间的夹角03平面向量数量积的应用举例用数量积解决物理中的力的问题总结词物理中，平面向量的数量积可以用于描述物体的运动状态和相互作用。
详细描述在物理中，向量通常被用来表示物体的速度、加速度等运动状态，而数量积可以计算出两个向量之间的夹角余弦值，从而可以计算出两个物体之间的相互作用力，如弹簧的弹力、电场力等。
平面向量的数量积及其应用.docx
06—平面向量的数量积及其应用突破点 (一 ) 平面向量的数量积1．向量的夹角； 2．平面向量的数量积； 3．平面向量数量积的运算律平面向量数量积的运算1.利用坐标计算数量积的步骤第一步，根据共线、垂直等条件计算出这两个向量的坐标，求解过程要注意方程思想的应用；第二步，根据数量积的坐标公式进行运算即可．2．根据定义计算数量积的两种思路(1)若两个向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算．(2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要求数量积的两个向量，然后再根据平面向量数量积的定义和性质进行计算求解．[典例 ](1)设向量 a ＝ (－ 1,2)，b ＝ (m,1)，如果向量 a ＋ 2b 与 2a － b 平行，那么 a 与 b 的数量积等于 ( )7B ．－1A ．－ 22(2)在等腰梯形 ABCD 中，已知 AB ∥ DC ， AB ＝ 2， BC ＝ 1，∠ ABC ＝ 60°.点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DCuuur 2 uuur uuur 1 uuur uuur uuur上，且 BE ＝ 3 BC ， DF ＝ 6 DC ，则 AE ·AF 的值为 ________．[ 解析 ] (1)a ＋ 2b ＝ (－ 1,2)＋ 2(m,1)＝ (－ 1＋ 2m,4)， 2a － b ＝ 2(－ 1,2)－ (m,1)＝ (－ 2－ m,3)，由题意得3(－ 1＋ 2m)－ 4(－ 2－ m)＝ 0，则 m ＝－ 1，所以 b ＝ －1， 1 ，所以 a ·b ＝－ 1×－1＋ 2×1＝ 5.222 2uuur uuuruuur uuur uuur2 uuuruuuruuur uuur uuuruuur uuur(2)取 BA ， BC 为一组基底， 则 AE ＝ BE － BA ＝ 3 BC － BA ， AF ＝ AB ＋ BC ＋ CF ＝－ BAuuur 5 uuur 7 uuur uuur uuur uuur 2 uuur uuur ·－ 7 uuur uuur 7 | uuur 25＋ BC ＋ 12BA ＝－ 12 BA ＋ BC ，∴ AE ·AF ＝ 3BC － BA 12BA ＋ BC ＝12BA | 2－18uuur uuur 2 uuur BA ·BC ＋ 3| BC|2＝ 7×4－ 251＋ 2＝ 29 291218× 2× 1×. [答案 ] (1)D (2)182 318[易错提醒 ](1)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补． (2)两向量 a ， b 的数量积 a ·b 与代数中 a ， b 的乘积写法不同，不能漏掉其中的“·”．突破点 (二 )平面向量数量积的应用平面向量数量积的性质及其坐标表示：模、夹角、 a ⊥ b| 、 a ·b| 与 | a|| b| 的关系平面向量的垂直问题1.利用坐标运算证明或判断两个向量的垂直问题第一，计算出这两个向量的坐标；第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0 即可．2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．[例1](1)△ ABC 是边长为 2 的等边三角形，已知向量a， b 满足uuurAB＝ 2a，uuurAC＝ 2a＋ b，则下列结论正确的是()A． | b|＝ 1B． a⊥ b C． a·b＝ 1D． (4a ＋ b)⊥uuur BC(2)已知向量a＝ (k,3)， b＝ (1,4)， c＝ (2,1)，且 (2a－ 3b)⊥ c，则实数k＝ ()9A．－ 2B．0C． 3[解析](1)在△ ABC中，由uuurBCuuur＝ ACuuur－ AB＝ 2a＋ b－ 2a＝ b，得 | b| ＝ 2，A 错误．又uuurAB＝ 2a 且 |uuurAB|uuur＝2，所以 | a| ＝ 1，所以 a·b＝ | a|| b|cos 120 °＝－ 1，B，C 错误．所以 (4a＋ b) ·BC＝ (4a＋ b) ·b＝ 4a·b＋ | b| 2uuur＝ 4×(－1)＋ 4＝0，所以 (4a＋ b)⊥BC， D 正确，故选 D.(2)∵ (2a－ 3b)⊥ c，∴ (2a－ 3b) ·c＝ 0.∵ a＝ (k,3)， b＝ (1,4)， c＝ (2,1)，∴ 2a－ 3b＝ (2k－ 3，－ 6)．∴ (2k－ 3，－ 6) ·(2,1)＝ 0，即 (2k－ 3) ×2－6＝ 0.∴ k＝ 3.[ 答案 ] (1)D(2)C[易错提醒 ]x1 y2－ x2 y1＝ 0 与x1x2＋ y1y2＝ 0 不同，前者是两向量a＝ (x1，y1)，b＝ (x2，y2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件．平面向量模的相关问题利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：(1)a2＝ a·a＝ | a| 2； (2)| a±b| ＝a±b2＝ a2±2a·b＋ b2.π[例 2](1)(2017 衡·水模拟 )已知 | a| ＝ 1，| b| ＝ 2， a 与 b 的夹角为，那么 |4 a－ b| ＝ ()3A． 2B． 6 C． 2 3D． 12(2)已知 e ， e 是平面单位向量，且1e ·e ＝2.若平面向量 b 满足 b·e ＝ b·e ＝ 1，则 | b| ＝ ________.121212π[解析 ](1)|4 a－ b| 2＝ 16a 2＋ b2－ 8a·b＝ 16×1＋4－ 8×1×2×cos＝ 12.∴ |4 a－ b| ＝ 2 3.31 2＝1，∴ | e121，e21，∴ e1 2121＝ b ，(2)∵ e ·e2|| e|cos e＝2，e＝ 60°.又∵ b ·e ＝ b·e ＝ 1＞ 0，∴b，e21＝ 1，得 | b||1＝°1，∴ | b| ＝1 ＝23(1)C23e＝ 30°.由 b·e e |cos 3033.[ 答案 ](2)32[方法技巧 ]求向量模的常用方法(1)若向量 a 是以坐标形式出现的，求向量a 的模可直接利用公式| a| ＝ x 2＋ y 2.(2)若向量 a ， b 是以非坐标形式出现的，求向量a 的模可应用公式 | a| 2 ＝ a 2＝ a ·a ，或 | a ±b| 2＝ (a ±b)2＝ a 2±2a ·b ＋ b 2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．平面向量的夹角问题求解两个非零向量之间的夹角的步骤第一步由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积第二步分别求出这两个向量的模根据公式 cos 〈 a ， b 〉＝ a ·b ＝x 1x 2＋ y 1y 2求解出这两个向量夹角的余弦第三步| a|| b|2222x 1＋ y 1· x 2＋ y 2值第四步根据两个向量夹角的范围是[0， π]及其夹角的余弦值，求出这两个向量的夹角2 2[例 3](1)若非零向量 a ， b 满足 | a| ＝3 | b| ，且 (a － b)⊥ (3a ＋ 2b)，则 a 与 b 的夹角为 ()D ． π(2)已知单位向量 e 1 与 e 2 的夹角为 α，且 cos α＝ 1，向量 a ＝ 3e 1－ 2e 2 与 b ＝ 3e 1－ e 2 的夹角为 β，则 cos3β＝ ________.[解析 ](1)由 (a － b)⊥ (3a ＋ 2b)，得 (a － b) ·(3a ＋ 2b)＝ 0，即 3a 2－ a ·b － 2b 2＝ 0.222－ | a|| b|cos θ－ 2| b| 2＝0， 又∵ | a| ＝3| b| ，设〈 a ， b 〉＝ θ，即 3| a|8 | b| 2 － 2 22π∴ 3 | b| 2·cos θ－ 2| b| 2＝ 0.∴cos θ＝2.又∵ 0≤θ≤π，∴ θ＝ .3411 (2)∵ a 2＝ (3e 1－ 2e 2)2＝ 9＋ 4－ 2×3×2×＝ 9， b 2＝ (3e 1－ e 2)2＝ 9＋ 1－2×3×1×＝ 8，331＝ 8，∴ cos β＝ a ·b ＝ 8 ＝ 22a ·b ＝ (3e － 2e ) ·(3e － e )＝9＋ 2－ 9× 1× 1×| a|| b| 3×22 33[易错提醒 ](1)向量 a ， b 的夹角为锐角 ? a ·b>0 且向量 a ， b 不共线． (2)向量 a ， b 的夹角为钝角 ? a ·b<0 且向量 a ， b 不共线．突破点 (三 ) 平面向量与其他知识的综合问题平面向量集数与形于一体，是沟通代数、几何与三角函数的一种非常重要的工具与三角函数问题、解三角形问题、几何问题等结合起来考查..在高考中，常将它平面向量与三角函数的综合问题[例 1] 已知函数 f(x)＝ a ·b ，其中 a ＝ (2cos x ，－ 3sin 2x)， b ＝ (cos x,1)， x ∈ R.(1)求函数 y ＝ f(x)的单调递减区间；(2) 在△ ABC 中，角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ，b ， c ， f(A)＝－ 1，a ＝ 7，且向量 m ＝ (3， sin B)与 n ＝ (2， sin C)共线，求边长b 和c 的值．[解 ] (1)f(x)＝ a ·b ＝ 2cos 2x － 3sin 2x ＝ 1＋ cos 2x －π，3sin 2x ＝1＋ 2cos 2x ＋ 3π π π令 2k π≤2x ＋ ≤2k π＋ π(k ∈ Z)，解得 k π－ 6≤x ≤k π＋3(k ∈ Z)，3所以 f(x)的单调递减区间为k π－ π π(k ∈ Z)．， k π＋6 3(2)∵ f(A)＝ 1＋ 2cos 2A ＋π2A ＋ π ＝－ 1.＝－ 1，∴ cos 3 3又 0<A<π，故 ππ 7ππ π<2A ＋ ＜ ，∴ 2A ＋ ＝ π，即 A ＝ .3 3 33 3 ∵ a ＝ 7，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2 －2bccos A ＝ (b ＋ c)2－ 3bc ＝ 7.①∵向量 m ＝ (3， sin B)与 n ＝ (2， sin C)共线，所以 2sin B ＝ 3sin C ．由正弦定理得 2b ＝ 3c ，②由①②，可得 b ＝ 3， c ＝ 2.[方法技巧 ]平面向量与三角函数综合问题的类型及求解思路(1) 向量平行 (共线 )、垂直与三角函数的综合：此类题型的解答一般是利用向量平行 (共线 )、垂直关系得到三角函数式，再利用三角恒等变换对三角函数式进行化简，结合三角函数的图象与性质进行求解．(2) 向量的模与三角函数综合： 此类题型主要是利用向量模的性质| a| 2＝ a 2，如果涉及向量的坐标， 解答时可利用两种方法：一是先进行向量的运算，再代入向量的坐标进行求解；二是先将向量的坐标代入，再利用向量的坐标运算求解．此类题型主要表现为两种形式：①利用三角函数与向量的数量积直接联系；②利用三角函数与向量的夹角交汇，达到与数量积的综合．平面向量与几何的综合问题[例 2] (1)在平行四边形uuur uuurABCD 中， AD ＝1，∠ BAD ＝ 60°，E 为 CD 的中点．若 AC ·BE ＝ 1, 则 AB 的长为 ________．(2)已知菱形 ABCD 的边长为 2，∠ BAD ＝ 120 °，点 E ， F 分别在边 BC ， DC 上， BC ＝ 3BE ， DC ＝ λ DF.若uuur uuurAE ·AF ＝ 1，则 λ的值为 ________．uuur uuur uuur1 x.又 uuur uuur uuur uuur uuur 1 uuur 1[解析 ] (1)设 | AB | ＝ x ，x ＞0，则 AB ·AD ＝ AC ·BE ＝ ( AD ＋ AB ) ·(AD － 2 AB)＝ 1－ x2221 1 ，即 AB 的长为 1 .＋ x ＝ 1，解得 x ＝24 2uuur uuuruuur uuur－1(2)由题意可得 AB ·AD ＝ | AB | ·|AD |cos 120＝－ 2，＝°2× 2× 2uuur uuur uuur uuur在菱形 ABCD 中，易知 AB ＝ DC ， AD ＝ BC ，uuur uuur uuur uuur 1 uuuruuur uuuruuur1 uuur uuur所以 AE ＝ AB ＋ BE ＝ AB ＋3 AD ， AF ＝ AD＋ DF ＝AB ＋ AD ，λuuur uuur uuur 1 uuur1 uuuruuurAE ·AF ＝ AB ＋ 3 AD ·λ AB ＋ AD4＋ 4－ 2 1＝ 1，解得 λ＝ 2.[答案 ] (1) 1 (2)21＋ 3λ ＝ λ 32[方法技巧 ]平面向量与几何综合问题的求解方法(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．(2)基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解．[检验高考能力 ]一、选择题1．已知向量 a ＝ ( 3， 1)， b ＝ (0,1)， c ＝ (k ， 3)，若 a ＋ 2b 与 c 垂直，则 k ＝ ( )A ．－ 3B ．－ 2C ． 1D ．－ 1解析：选 A因为 a ＋ 2b 与 c 垂直，所以 (a ＋ 2b) ·c ＝0，即 a ·c ＋ 2b ·c ＝ 0，所以 3k ＋ 3＋ 2 3＝ 0，解得 k ＝－ 3.uuur uuur2．在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB ＝ (1，－ 2)， AD ＝ (2,1)，则uuur uuurAD ·AC ＝ ()A ． 5B ． 4C ． 3D ． 2uuur uuur uuur解析：选 A由四边形ABCD 是平行四边形，知 AC ＝ AB ＋ AD ＝ (1，－ 2)＋ (2,1) ＝ (3，－ 1)，故uuur uuur AD ·AC ＝ (2,1) (3·，－ 1)＝ 2×3＋ 1×(－1)＝ 5.3．若平面向量 a ＝ (－ 1,2)与 b 的夹角是 180 °，且 | b| ＝3 5，则 b 的坐标为 ( )A ． (3，－ 6)B ． (－ 3,6)C ． (6，－ 3)D ． (－ 6,3)解析：选 A由题意设 b ＝ λa＝ (－ λ，2λ)(λ＜ 0)，而 | b| ＝ 3 5，则－ λ 2＋ 2λ 2 ＝3 5，所以 λ＝－ 3， b ＝ (3，－ 6)，故选 A.14．(2016 山·东高考 )已知非零向量 m ，n 满足 4|m| ＝ 3| n| ，cos 〈m ，n 〉＝ ，若 n ⊥(t m ＋ n)，则实数t 的值为 ()9 9A ． 4B ．－ 4C.4D ．－ 4解析：选 B ∵ n ⊥ (t m ＋ n)， ∴n ·(t m ＋ n)＝ 0，即 t m ·n ＋ | n| 2＝ 0，∴ t|m||n| cos 〈 m ， n 〉＋ | n| 2＝3 10.又 4| m| ＝ 3| n| ，∴ t × | n| 2×＋ | n| 2＝ 0，解得 t ＝－ 4.故选 B.435．(2016 天·津高考 )已知△ ABC 是边长为1 的等边三角形，点 D ，E 分别是边 AB ，BC 的中点，连接 DEuuur uuur并延长到点F ，使得 DE ＝ 2EF ，则 AF·BC 的值为 ()5A ．－ 8uuur uuur uuur解析：选 B 如图所示， AF ＝ AD ＋ DF .又 D ，E 分别为 AB ，BC 的中点，且 DEuuur 1 uuur uuur 1 uuur ＋ 1 uuur ＝ 3 uuur uuur 1 uuur ＋ 3 uuur ＝ 2EF ，所以 AD ＝ 2 AB ， DF ＝ 2 AC 4 AC 4 AC ，所以 AF ＝ 2 AB 4 AC .又uuur uuur uuur uuur uuur 1 uuur 3 uuur uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur 3 BC ＝ AC － AB ，则 AF ·BC ＝ 2 AB ＋ 4 AC ·(AC － AB )＝ 2 AB ·AC － 2 AB 2＋ 4uuur3 uuur uuur 3 uuur1 uuur1 uuur uuuruuuruuuruuur uuur 3AC2－AC ·AB ＝ 4 AC2－AB2－AC ·AB .又 | AB | ＝ | AC | ＝ 1，∠ BAC ＝ 60°，故 AF ·BC ＝ －42441－ 1 1＝ 1 2 4× 1× 1× .故选 B.2 8uuuruuur uuur uuuruuur uuur 6．已知△ ABC 为等边三角形， AB ＝ 2，设点 P ，Q 满足 AP ＝ λ ，AQ ＝ (1－ λ) AC ，λ∈ R ，若 BQ ·ABCP ＝－ 3，则 λ＝ ( )2解析：选 A uuur uuur uuur ＝ (1－ λ) uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur∵ BQ ＝ AQ － AB AC － AB ， ＝ AP － AC ＝ λ － AC ，又 BQ ·CP ABCP ＝－ 3，| uuuruuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur AB | ＝ | AC | ＝ 2，A ＝ 60°， AB ·AC ＝| AB | ·|AC |cos 60 ＝°2，∴ [(1－ λ) AC － AB ] ·(λ2ABuuur3 uuur 2 2 uuur uuur uuur 2 3 23 － AC )＝－，即 λ| AB | ＋ (λ－ λ－ 1) AB ·AC ＋ (1－ λ)| AC | ＝ ，所以 4 λ＋ 2(λ－ λ－ 1)＋ 4(1－ λ)＝ ，2 221解得 λ＝ .2二、填空题7．已知平面向量a ＝ (2,4)，b ＝ (1，－ 2)，若c ＝ a － (a ·b) b ·，则 | c| ＝ ________.解析：由题意可得a ·b ＝2×1＋ 4×(－ 2)＝－ 6，∴c ＝ a － (a ·b) ·b ＝ a ＋ 6b ＝ (2,4)＋ 6(1，－ 2)＝ (8，－ 8)，∴ | c| ＝82＋ － 8 2＝ 8 2.答案： 8 28．已知向量 a ， b 满足 (2a － b) ·(a ＋ b)＝ 6，且 | a| ＝ 2， | b| ＝ 1，则 a 与 b 的夹角为 ________．解析：∵ (2a － b) ·(a ＋ b)＝ 6，∴ 2a 2＋ a ·b － b 2＝ 6，又 | a| ＝ 2， | b| ＝ 1，∴ a ·b ＝－ 1，∴ cos 〈 a ， b 〉＝a ·b 12π 2π | a|| b| ＝－ 2，又〈 a ， b 〉∈ [0 ， π]，∴ a 与 b 的夹角为 3 .答案： 39．已知 a ＝ (λ， 2λ)， b ＝ (3λ， 2)，如果 a 与 b 的夹角为锐角，则 λ的取值范围是 ________．24 1 1解析： a 与 b 的夹角为锐角，则 a ·b>0 且 a 与 b 不共线，则3λ＋ 4λ>0，，2解得 λ<－ 或 0<λ<或 λ>3332λ－ 6λ≠0， 所以 λ的取值范围是 － ∞，－ 4 ∪ 0， 1 ∪ 1，＋ ∞ .答案： － ∞，－ 4 ∪ 0， 1 ∪1，＋ ∞3 3 33 3 310.如图，菱形 ABCD 的边长为 2，∠ BAD ＝ 60°， M 为 DC 的中点，若 N 为菱形uuuur uuuur内任意一点 (含边界 )，则 AM ·AN 的最大值为 ________．uuuur uuur uuuruuuur uuur ＋ 1 uuur 1 uuur解析：设 AN ＝ λAB ＋ μAD ，因为 N 在菱形 ABCD 内，所以 0≤λ≤ 1,0μ≤ 1AM . ＝ AD 2 DC ＝ 2 AB＋uuuruuuur uuuur1 u uur uuuruuuruuur λuuur＋ μ uuur uuur uuur 2＝ λAD . 所以AM·＝2AB ＋ AD·λ ＋ μ AD ) ＝ 2 AB 2 λ＋2 AB · ＋ μ 2 ×4＋AN( ABADADuuuur uuuuruuuur uuuur λ＋ μ 1＋ 4μ＝ 4λ＋ 5μ.所以 0≤时， AM ·AN 有最大值 9，此时， N2× 2× 2×AM ·AN ≤9，所以当 λ＝ μ＝ 12位于 C 点．答案： 9三、解答题11．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝2，－2 ， n ＝ (sin x ， cos x)， x ∈ 0， π. 2 22π的值．(1)若 m ⊥ n ，求 tan x 的值；(2)若 m 与 n 的夹角为 3 ，求 x解： (1)若 m ⊥ n ，则 m ·n ＝ 0.由向量数量积的坐标公式得222 sin x － 2 cos x ＝ 0，∴ tan x ＝ 1.ππ1 1 221 ，(2)∵ m 与 n 的夹角为 ，∴ m ·n ＝ | m||n|cos ＝ 1×1×＝ ，即2 sin x － 2 cos x ＝ 233 2 2 ∴ sin x － π 1 .又∵ x ∈ 0， π ，∴ x － π π π π π 5π4 ＝ 2 ∈ － ， 4 ，∴ x － ＝ ，即 x ＝ .2 4 4 4 6 1212．已知在△ ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，向量 m ＝(sin A ， sin B)，n ＝ (cos B ，cos A)，m ·n ＝ sin 2C.(1)求角C 的大小；(2)若sin A ， sin C ， sin B成等差数列，且uuur uuur CA ·(ABuuur－ AC )＝ 18，求边c 的长．解： (1)m ·n ＝ sin A ·cos B ＋ sin B ·cos A ＝ sin(A ＋ B)，对于△ ABC ， A ＋ B ＝ π－ C,0＜ C ＜ π，1π∴ sin(A ＋ B)＝sin C ，∴ m ·n ＝ sin C ，又 m ·n ＝ sin 2C ，∴ sin 2C ＝sin C ， cos C ＝ 2， C ＝ 3.(2)由 sin A ， sin C ， sin B 成等差数列，可得 2sin C ＝ sin A ＋ sin B ，由正弦定理得 2c ＝ a ＋ b.uuur uuur uuur uuur u uur∵ CA ·(AB － AC )＝ 18，∴ CA ·CB ＝ 18，即 abcos C ＝ 18， ab ＝ 36.由余弦定理得c2＝ a2＋ b 2－ 2abcos C＝ (a＋ b)2－3ab，∴ c2＝ 4c2－ 3×36， c2＝ 36，∴ c＝ 6.。
平面向量的数量积与应用
向量夹角计算
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定义：两个非零向量的夹角是指它们所在的直线之间的夹角，取值范围为$[0^{\circ},180^{\circ}]$
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计算公式：$\cos\theta = \frac{\overset{\longrightarrow}{u} \cdot \overset{\longrightarrow}{v}}{|\overset{\longrightarrow}{u}| \cdot |\overset{\longrightarrow}{v}|}$，其中 $\overset{\longrightarrow}{u}$和$\overset{\longrightarrow}{v}$是两个非零向量，$\theta$是它们的夹角
平面向量的数量积 与应用
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目录
平面向量的数量积概念 平面向量的数量积的应用
平面向量的数量积运算
平面向量的数量积的扩展 应用
01
平面向量的数量积 概念
定义与性质
定义：平面向量的数量积是 两个向量之间的点积，表示 为a·b，等于它们的模长和 夹角的余弦值的乘积。
性质：数量积满足交换律和 分配律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
几何意义
平面向量的数量积表示向量在 平面上的投影长度
等于两个向量在垂直方向上的 投影的乘积
表示两个向量在平面上的夹角 大小
等于两个向量在水平方向上的 投影的乘积
运算性质
交换律：a · b = b · a 分配律：(a+b) · c = a · c + b · c 数乘性质：k(a · b) = (ka) · b = a · (kb) 向量数量积的性质：|a · b| ≤ |a| |b|
平面向量的数量积与平面向量应用举例课件
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[自主解答] ∵a与b是不共线的单位向量，∴|a|＝|b|＝1. 又ka－b与a＋b垂直，∴(a＋b)·(ka－b)＝0， 即ka2＋ka·b－a·b－b2＝0. ∴k－1＋ka·b－a·b＝0. 即k－1＋kcos θ－cos θ＝0.(θ为a与b的夹角) ∴(k－1)(1＋cos θ)＝0.又a与b不共线， ∴cos θ≠－1，∴k＝1. [答案] 1
(4)若a、b∈R，则|a·b|＝|a|·|b|，但对于向量a、b，却有 |a·b|≤|a||b|，等号当且仅当a∥b时成立．
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[精析考题]
[例1] (2010·广东高考)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝
(3，x)满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝
＋12 DC ·BA＋12 DC ·BC ＝－32.
答案：－32
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2．(2012·浙江名校二次联考)已知△ABC的三边长AC＝3，BC＝4， AB＝5，P为AB边上任意一点，则CP ·(BA－ BC )的最大值 为________．
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解析：以C为原点，建立平面直角坐标系如图， 则CP ·( BA－ BC )＝CP ·CA＝(x，y)·(0,3)＝3y， 当y＝3时，取得最大值9.
1．已知向量a，b和实数λ，下列选项中错误的是
A．|a|＝ a·a
B．|a·b|＝|a|·|b|
C．λ(a·b)＝λa·b
D．|a·b|≤|a|·|b|
()
解析：|a·b|＝|a|·|b||cos θ|，只有a与b共线时，才有|a·b|
平面向量的数量积与应用
平面向量的数量积与应用平面向量是在平面上有特定大小和方向的线段。
通过研究平面向量的数量积，我们可以探索向量的内在关系，并且在实际问题中找到应用。
一、平面向量的数量积的定义与性质平面向量的数量积又称为内积、点积或标量积，表示为A·B。
数量积的定义如下：设A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)为平面上的两个向量，其数量积A·B= x₁x₂ + y₁y₂。
平面向量的数量积具有以下性质：1. 交换律：A·B = B·A2. 结合律：(A + B)·C = A·C + B·C3. 数量积与向量模的关系：A·A = |A|²4. 正交定理：若A·B = 0，则向量A与向量B垂直（即A⊥B）。
5. 角的余弦公式：cosθ = (A·B) /(|A||B|)，其中θ为向量A与向量B 之间的夹角。
二、平面向量的数量积的应用平面向量的数量积具有广泛的应用，其中包括以下几个方面：1. 判断向量的垂直性由正交定理可知，若两个向量的数量积为零，则它们垂直。
在实际问题中，可以利用这一性质判断两个向量是否垂直，从而解决相关的几何或物理问题。
2. 计算向量的模根据数量积与向量模的关系，可以通过计算向量的数量积来求解向量的模。
这在计算向量的长度、速度等实际问题中尤为重要。
3. 计算向量之间的夹角根据角的余弦公式，可以通过计算向量的数量积和向量模的乘积，来求解向量之间的夹角。
这在导航、图形学等领域中具有广泛的应用。
4. 解决几何问题平面向量的数量积在解决几何问题中发挥着重要作用。
例如，在计算多边形的面积、判断三角形的形状以及求解射影等问题中，都可以利用数量积求解。
5. 解决物理问题物理学中也广泛运用平面向量的数量积。
例如，在力学中，根据力的大小和方向的定义，我们可以利用数量积计算物体所受的合力及相关问题。
综上所述，平面向量的数量积在数学和物理等领域中都具有重要的应用。
平面向量的数量积及平面向量的应用pptxppt正式完整版
3
(3=a =2b)=22 .9 故a2选1 B2.ab4b2 9 4 1 2 44 1 6 1 3
例2 (2018河南安阳调研,15)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC= 9
0°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|
P+A3
|的P B 最小值为
.
解题导引
根据题意,建立适当的
平面直角坐标系 设出相应点的坐标,
求得 P A +3 P 的B 坐标 表示出|
+3P A |
利P 用B 函数思想得最小值
=- ×1解×1析×cos 6建0°立+ 平×1面2= 直,故角选B坐. 标系如图所示,则A(2,0),
(2)a∥b⇔ x1y2-x2y1=0 . 若(2)两若个A(非x1零,y向1),量B(ax=2(,xy12,)y,则1),|b =|(=x 2,y2),则 ,这就是平面内 三例角4 函(数20法21:江可西以七把校所联求考两,向13量)已的知夹向角量放a到=(三1, 角)形,b中=(,3利,m用),正且、b在余a弦的定方向 理例和5 三(角20形21的天面津积,7公,5分式)等已内知容△进AB行C求是解边.长为1的等边三角形,点D,E分别 特是别边地 AB,a,B·aC=的⑨中点|a,|连2 接.DE并延长到点F,使得DE=2EF,则 · 的值为 用(4)向 量· 法=解 决· 平=面 几· 何⇔问P题为的△方AB法C的垂心. 两(5)向|a量·b|的≤|a夹|·角|b|分. 别是锐角与钝角的充要条件 (若3)两 个+ 非+零 向=0量⇔a=G(为x1△,y1A)B,bC=的(x重2,y心2).,则 · =( + )· = · (又2)|a∥|=b ⇔=2,∴ax·b1=y2|a-|x|2by|c1o=s0<a,b. >=-6, =则-B ×,1C× 1,A× co,所s 6以0°=+( 1,×0).12= ,故选B. 若例不3 把(向20量21放重到庆坐,7标,5分系)中已研知究非,零则向求量此a类,b问满题足的|b通|=法4|a是|,且利a用⊥向(2量a+的b运),则a与
平面向量的数量积及其应用
解析 解法一:∵|a+b|+|a-b|≥|(a+b)+(a-b)|=2|a|=2,且|a+b|+|a-b|≥|(a+b)(a-b)|=2|b|=4, ∴|a+b|+|a-b|≥4,当且仅当a+b与a-b反向时取等号,此时|a+b|+|a-b|取最 小值4.
| a b |2 | a b |2 | a b| | a b| ∵ ≤ = a 2 b 2 = 5 , 2 2
2 2 x12 y12 ,|b|= x2 y2 (2)|a|= .
平面向量的长度问题
( x1 x2 ) 2 ( y1 y2 ) 2 . 2.若A(x1,y1),B(x2,y2),则| AB |=
考点三
平面向量的夹角、两向量垂直及数量积的应用
x1 x2 y1 y2
已知a=(x1,y1),b=(x2,y2). (1)若a与b的夹角为θ,则cos θ= . 2 (2)a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.
∴|a+b|+|a-b|≤2 5 . 当且仅当|a+b|=|a-b|时取等号,此时a· b=0.
故当a⊥b时,|a+b|+|a-b|有最大值2 5 .
解法二:设x=|a+b|,由||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|, 得1≤x≤3.
设y=|a-b|,同理,1≤y≤3. 而x2+y2=2a2+2b2=10, 故可设x= 10 cos θ, ≤cos θ≤ , y= 10 sin θ, ≤sin θ≤ . 设α1,α2为锐角,且sin α1= ,sin α2= ,
方法 2 求向量夹角问题的方法
平面向量的数量积与应用
平面向量的数量积与应用平面向量的数量积是向量运算中的一种重要概念，可以帮助我们理解和解决许多与向量相关的问题。
本文将介绍平面向量的数量积的定义和性质，并探讨其在几何和物理中的应用。
1. 数量积的定义平面向量的数量积又称为点积或内积，用符号"·"表示。
对于平面上任意两个向量A和B，其数量积的定义如下：A·B = |A||B|cosθ其中，|A|和|B|分别表示向量A和B的模长，θ为A与B之间的夹角。
2. 数量积的性质（1）交换律：A·B = B·A（2）分配律：(A + B)·C = A·C + B·C（3）常数乘法：(kA)·B = k(A·B)，其中k为实数（4）数量积与向量的垂直关系：A·B = 0 当且仅当A与B垂直3. 应用一：向量的夹角与正交投影通过数量积的定义，我们可以得到向量A与B之间的夹角公式：cosθ = A·B / (|A||B|)这个公式在几何中的应用非常广泛，其中一个重要的应用就是求解向量的正交投影。
给定向量A和B，向量B在A上的正交投影向量的长度可以利用数量积公式求得：projA(B) = (B·A / |A|^2) * AprojA(B)表示向量B在A上的正交投影向量。
4. 应用二：向量的工作与功率在物理学中，向量的数量积有许多重要应用，其中之一是描述力的方向与物体位移方向的关系。
当力F作用于物体上时，通过点积可以得到该力对物体作用的工作W：W = F·d其中，d表示物体位移的向量。
如果力与位移方向相同，则工作为正值；如果力与位移方向相反，则工作为负值；如果力与位移方向垂直，则工作为零。
同时，功率P也可以利用数量积表示：P = F·v其中，v表示物体的速度向量。
5. 应用三：向量的投影与图形的面积利用数量积，我们还可以求解平面上某个凸多边形的面积。
平面向量的数量积与向量积的应用
平面向量的数量积与向量积的应用简介：平面向量是解决平面几何问题的重要工具之一。
其数量积和向量积是平面向量运算中常用的两种运算方式。
本文将探讨平面向量的数量积和向量积在几何问题中的应用。
一、平面向量的数量积平面向量的数量积，又称为点积或内积，表示两个向量之间的夹角关系。
其计算公式为：A ·B = |A| × |B| × cosθ其中，A和B为两个平面向量，|A|和|B|分别表示A和B的模长，θ表示A和B的夹角。
应用一：空间点的投影平面向量的数量积可以应用于求空间点在某个向量上的投影。
设空间点P(x, y, z)在向量A(a, b, c)上的投影为点Q，利用数量积的定义可以得到：PQ = OP · u其中，OP表示向量OP的数量积，u表示向量A的单位向量。
应用二：判断向量正交与共线根据平面向量的数量积，我们可以判断两个向量是否正交或共线。
若两个向量的数量积为0，则它们垂直或正交；若两个向量的数量积等于它们的模长乘积，则它们共线。
应用三：求角的余弦值在解决几何问题时，常常需要求夹角的余弦值。
利用平面向量的数量积可以得到两个向量夹角的余弦值。
根据数量积的定义，可以求出两个向量的模长并代入计算公式中，进而得到夹角的余弦值。
二、平面向量的向量积平面向量的向量积，又称为叉积或外积，表示两个向量之间的叉乘关系。
其计算公式为：A ×B = |A| × |B| × sinθ × n其中，A和B为两个平面向量，|A|和|B|分别表示A和B的模长，θ表示A和B的夹角，n为法向量，其方向满足右手法则。
应用一：求平行四边形面积利用平面向量的向量积，可以求解平行四边形的面积。
设平行四边形的两条边向量分别为A和B，根据向量积的定义可以得到平行四边形的面积为：S = |A × B|应用二：判断三角形形状平面向量的向量积可以用于判断三角形的形状。
平面向量节平面向量的数量积及应用举例课件理新
$\overset{\longrightarrow}{a} \cdot \overset{\longrightarrow}{b} = \overset{\longrightarrow}{b} \cdot \overset{\longrightarrow}{a}$
向量垂直的条件
05
平面向量数量积的应用举 例
用数量积判断向量的共线与垂直
判断共线
如果两个向量 $\overset{\longrightarrow}{a}$和 $\overset{\longrightarrow}{b}$的长度 相等且方向相同，那么它们共线。此时 ，它们的数量积等于它们的模长的乘积 ，即$\overset{\longrightarrow}{a} \cdot \overset{\longrightarrow}{b} = |\overset{\longrightarrow}{a}| \cdot |\overset{\longrightarrow}{b}|$。
向量垂直的充分条件是它们的分量之间存在倍数关系
$|\overset{\longrightarrow}{a}| = k|\overset{\longrightarrow}{b}|$，其中k为常数且 k≠0
向量平行的条件
向量平行的充要条件是它们的方向相 同或相反： $\overset{\longrightarrow}{a}=k\o verset{\longrightarrow}{b}$，其中 k为常数且k≠0
VS
判断垂直
如果两个向量 $\overset{\longrightarrow}{a}$和 $\overset{\longrightarrow}{b}$的长度 相等且方向相反，那么它们垂直。此时， 它们的数量积等于它们的模长的乘积的负 值，即$\overset{\longrightarrow}{a} \cdot \overset{\longrightarrow}{b} = |\overset{\longrightarrow}{a}| \cdot |\overset{\longrightarrow}{b}|$。
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平面向量的数量积及其应用
【考试要点】
1．考查平面向量数量积的运算．
2．考查利用数量积求平面向量的夹角、模．
3．考查利用数量积判断两向量的垂直关系．
【复习指导】
本讲复习时，应紧扣平面向量数量积的定义，理解其运算法则和性质，重点解决平面向量的数量积的有关运算，利用数量积求解平面向量的夹角、模，以及两向量的垂直关系．
【教学过程】
活动一心动入境
(5)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2. (6)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
课前活动二[归纳反思]
(1)若a·b＞0，能否说明a和b的夹角为锐角？
(2)若a·b＜0，能否说明a和b的夹角为钝角？
(3) 若向量a，b，c满足a·b＝a·c(a≠0)，是否能有b＝c？
(4)若向量a，b，c满足(a·b)c≠a(b·c)，是否有(a·b)c=a(b·c)？
(5) 正三角形ABC中，与的夹角应为多少度？
热身训练1.平面向量a与b的夹角为45°，a＝(1，1)，|b|＝2，则|3a＋b|等于()
A.13＋6 2
B.25
C.30
D.34
2.已知向量a＝(－1，2)，b＝(m，1).若向量a＋b与a垂直，则m＝________.
3.已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________.
4.已知e1，e2是互相垂直的单位向量，若3e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________.
考点一平面向量的数量积及在平面几何中的应用
探究实践1 【例1】如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，∠BAC ＝60°，D，E分别是AB，AC的中点，连接CD，BE 交于点F，连接AF，取CF的中点G，连接BG，则AF
→
·BG
→
＝________.
(2)在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，BC。