梁的刚度校核
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梁的刚度计算
但是，改换材料，其原料费用也会随之发生很大的改变！
§10-6
RA
A
l 2
简 单 超 静 定 梁
RB
B
ql 2 mA 0, RBl 2 0. ql m 0 , R , RB 0.5ql. B A 2
q
C
l 2
静 定 问 题
由平衡方程可以解出全部未知数
RA
A
l 2
RC
C
ycq ycRC 0
A
C
B
多余反力 计算梁的内力、应力、强度、变形、刚度。
yB 0 RB
RA
A
l 2
RC
C
q
RB
B
l 2
例 已知梁的EI，梁的长度，求 各处的约束反力。
解：1) 受力分析，列平衡方程 判定超静定次数
q
A
RC
Y 0, RA RB RC ql 0 M A 0, RBl 0.5RCl 0.5ql2 0
I
=
A D
图1
B F1
图2
64
( D 4 d 4 ) 188 10 8 m 4
M
A L B
图3
+ +
F1 L2 F2 La 4 0 . 423 10 (弧度) B a 16EI 3EI C B F1L2 a F2 a 3 F2 a 2 L 6 y 5 . 19 10 m F 2 F2 C 2 16EI 3EI 3EI
3ql R A RB 16
RC l 3 5ql 4 0 384EI 48EI
RA
A
l 2
RC
C
§10-6
RA
A
l 2
简 单 超 静 定 梁
RB
B
ql 2 mA 0, RBl 2 0. ql m 0 , R , RB 0.5ql. B A 2
q
C
l 2
静 定 问 题
由平衡方程可以解出全部未知数
RA
A
l 2
RC
C
ycq ycRC 0
A
C
B
多余反力 计算梁的内力、应力、强度、变形、刚度。
yB 0 RB
RA
A
l 2
RC
C
q
RB
B
l 2
例 已知梁的EI，梁的长度，求 各处的约束反力。
解：1) 受力分析，列平衡方程 判定超静定次数
q
A
RC
Y 0, RA RB RC ql 0 M A 0, RBl 0.5RCl 0.5ql2 0
I
=
A D
图1
B F1
图2
64
( D 4 d 4 ) 188 10 8 m 4
M
A L B
图3
+ +
F1 L2 F2 La 4 0 . 423 10 (弧度) B a 16EI 3EI C B F1L2 a F2 a 3 F2 a 2 L 6 y 5 . 19 10 m F 2 F2 C 2 16EI 3EI 3EI
3ql R A RB 16
RC l 3 5ql 4 0 384EI 48EI
RA
A
l 2
RC
C
东财在线建筑力学》第三套作业(第六~八单元)
B、为了保证拉压杆不致因刚度不足而破坏
C、强度条件要求杆内最大工作应力必须超过材料的许用应力
D、强度条件要求拉压杆件最大变形不超过正常工作的最大变形
答案:A
【2】在利用积分法计算梁位移时，待定的积分常数主要反映了（ ）。
A、剪力对梁变形的影响
B、对近似微分方程误差的修正
C、支承情况对梁变形的影响
D、梁截面形心轴向位移对梁变形的影响
【1】在纯剪切应力状态中，说法正确是（ ）。
A、主应力均为正值
B、最大主应力等于最大剪应力，最小主应力等于负的最大正应力
C、最大剪应力为零
D、最小主应力为零值
答案:B
【2】
图示 为 结 构 在 荷 载 作 用 下 的MP 图 ， 各 杆 EI=常 数 ，支 座 B 截 面 处 的 转 角 为：
A、16/(EI)( 顺 时 针 )
【7】等截面直梁在弯曲变形时，挠曲线曲率在最大（ ）处一定最大。
A、挠度
B、转角
C、剪力
D、弯矩
答案:D
【8】
单元体的应力状态如图所示，由x轴至σ1方向的夹角为
A、13.5°
B、-76.5°
C、76.5°
D、13.5°
答案:D
【9】在单元体上，可以认为（ ）。
A、每个面上的应力是均匀分布的，一对平行面上的应力相等
答案:C
【3】
三种应力状态分别如图(a)、(b)、(c)所示，则三者间的关系为
A、完全等价
B、完全不等价
C、图(b)、图(c)等价
D、图(a)、图(c)等价
答案:D
【4】
已知应力圆如图所示，图(a)、(b)、(c)、(d)分别表示单元体的应力状态和A截面的应力，则与应力圆所对应的单元体为
C、强度条件要求杆内最大工作应力必须超过材料的许用应力
D、强度条件要求拉压杆件最大变形不超过正常工作的最大变形
答案:A
【2】在利用积分法计算梁位移时，待定的积分常数主要反映了（ ）。
A、剪力对梁变形的影响
B、对近似微分方程误差的修正
C、支承情况对梁变形的影响
D、梁截面形心轴向位移对梁变形的影响
【1】在纯剪切应力状态中，说法正确是（ ）。
A、主应力均为正值
B、最大主应力等于最大剪应力，最小主应力等于负的最大正应力
C、最大剪应力为零
D、最小主应力为零值
答案:B
【2】
图示 为 结 构 在 荷 载 作 用 下 的MP 图 ， 各 杆 EI=常 数 ，支 座 B 截 面 处 的 转 角 为：
A、16/(EI)( 顺 时 针 )
【7】等截面直梁在弯曲变形时，挠曲线曲率在最大（ ）处一定最大。
A、挠度
B、转角
C、剪力
D、弯矩
答案:D
【8】
单元体的应力状态如图所示，由x轴至σ1方向的夹角为
A、13.5°
B、-76.5°
C、76.5°
D、13.5°
答案:D
【9】在单元体上，可以认为（ ）。
A、每个面上的应力是均匀分布的，一对平行面上的应力相等
答案:C
【3】
三种应力状态分别如图(a)、(b)、(c)所示，则三者间的关系为
A、完全等价
B、完全不等价
C、图(b)、图(c)等价
D、图(a)、图(c)等价
答案:D
【4】
已知应力圆如图所示，图(a)、(b)、(c)、(d)分别表示单元体的应力状态和A截面的应力，则与应力圆所对应的单元体为
孙训方《材料力学》(第6版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-梁弯曲时的位移(圣才出品)
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ql3/6，D＝－ql4/24。
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故挠曲线方程和转角方程分别为：
w（x）＝qx2（x2＋6l2－4lx）/（24EI），θ（x）＝q（x3－3lx2＋3l2x）/（6EI）
则最大挠度 wmax＝w（x）|x＝l＝ql4/（8EI）；梁端转角 θB＝θ（x）| x＝l＝ql3/（6EI）。
表 5-1-4 叠加原理计算梁的挠度和转角
四、梁的刚度校核·提高梁的刚度的措施（见表 5-1-5）
表 5-1-5 梁的刚度校核及提高措施
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五、梁内的弯曲应变能 定义：由于梁弯曲变形而存储的能量称为梁内的弯曲应变能。梁在弹性变形过程中，其 弯曲应变能与作用在梁上的外力所作的功相等，常见梁内的弯曲应变能见表 5-1-6。
则最大挠度 wmax＝w（x）|x＝l＝Fl3/3EI；梁端转角 θB＝θ（x）| x＝l＝Fl2/2EI。
图 5-2-1（a）（b） （2）建立如图 5-2-1（b）所示坐标系。 首先列弯矩方程：M（x）＝－q（l－x）2/2，由此可得挠曲线近似方程： EIw″＝－M（x）＝q（l－x）2/2 积分得： EIw′＝－q（l－x）3/6＋C① EIw＝q（l－x）4/24＋Cx＋D② 该梁的边界条件：x＝0，w＝0，x＝0，w'＝0。代入式①、②可确定积分常数：C＝
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第 5 章 梁弯曲时的位移
5.1 复习笔记
梁在承受荷载时发生相应的变形，变形后轴线相对原位置将会发生位移、梁的截面将出 现转角，梁内会因变形存储能量。本章首先介绍梁的位移概念，并基于坐标系统建立挠曲线 方程；接着介绍求解梁的位移的方法，根据挠曲线近似微分方程积分和按叠加原理计算；再 介绍梁刚度校核以及提高梁刚度的方法；最后介绍梁弯曲应变能的概念及计算方法。
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故挠曲线方程和转角方程分别为：
w（x）＝qx2（x2＋6l2－4lx）/（24EI），θ（x）＝q（x3－3lx2＋3l2x）/（6EI）
则最大挠度 wmax＝w（x）|x＝l＝ql4/（8EI）；梁端转角 θB＝θ（x）| x＝l＝ql3/（6EI）。
表 5-1-4 叠加原理计算梁的挠度和转角
四、梁的刚度校核·提高梁的刚度的措施（见表 5-1-5）
表 5-1-5 梁的刚度校核及提高措施
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五、梁内的弯曲应变能 定义：由于梁弯曲变形而存储的能量称为梁内的弯曲应变能。梁在弹性变形过程中，其 弯曲应变能与作用在梁上的外力所作的功相等，常见梁内的弯曲应变能见表 5-1-6。
则最大挠度 wmax＝w（x）|x＝l＝Fl3/3EI；梁端转角 θB＝θ（x）| x＝l＝Fl2/2EI。
图 5-2-1（a）（b） （2）建立如图 5-2-1（b）所示坐标系。 首先列弯矩方程：M（x）＝－q（l－x）2/2，由此可得挠曲线近似方程： EIw″＝－M（x）＝q（l－x）2/2 积分得： EIw′＝－q（l－x）3/6＋C① EIw＝q（l－x）4/24＋Cx＋D② 该梁的边界条件：x＝0，w＝0，x＝0，w'＝0。代入式①、②可确定积分常数：C＝
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第 5 章 梁弯曲时的位移
5.1 复习笔记
梁在承受荷载时发生相应的变形，变形后轴线相对原位置将会发生位移、梁的截面将出 现转角，梁内会因变形存储能量。本章首先介绍梁的位移概念，并基于坐标系统建立挠曲线 方程；接着介绍求解梁的位移的方法，根据挠曲线近似微分方程积分和按叠加原理计算；再 介绍梁刚度校核以及提高梁刚度的方法；最后介绍梁弯曲应变能的概念及计算方法。
结构位移和刚度—梁的刚度计算(建筑力学)
二、用积分法求梁的变形
1.挠曲线近似微分方程
y( x)
M (x) EI
2.用积分法求变形 EI (x) M (x)dx C1
三、用叠加法求梁的变形
EIy(x) [ M (x)dx C1]dx C2
叠加法—梁截面的总变形，就等于各个荷载单独作用时产生变形的代数和。
四、梁的刚度计算 ymax [ f ]
梁的刚度计算
主要内容
梁的刚度条件和设计准则 梁的刚度计算 梁的刚度计算工程实例
梁的刚度计算
➢ 如果梁的弯曲变形过大，即使强度满足要求，也不能正常工作。例如：房 屋的楼面板或者梁长时间受较大荷载作用，导致变形过大，会造成抹灰面 出现裂缝，工业厂房的吊车梁变形过大，会影响吊车梁的正常使用等。设 计梁时，除了进行强度计算外，还应考虑进行刚度计算，需要把梁的最大 挠度和最大转角限制在一定的允许范围内。
l
l
课后作业：《建筑力学练习册》 练习二十五
3.6 4 4
3.6kN m
2、按正应力强度设计。查强度准则
3.6kNm
max
M max Wz
M max 0.1d 3
[ ]
得：
d3
M max
3
3.6 106 mm 153.3mm
0.1[ ] 0.110
取d=160mm
梁的刚度计算
3、按梁的刚度准则校核。
查变形表得
ymax
Fl 3 48EI
为:
ymax [ f ]
l
l
式中 ymax 为最大相对挠度，[ f ] 为许用相对挠度，其值可
l
l
根据梁的工作情况及要求查阅有关设计手册。土建工程中的许
用相对挠度值 [ f ] 常限制在
梁的变形与刚度计算
B
查表，得
y
C
y
4
Cq
y
Cm
l
q
A
2 5ql ml 384EI 16 EI
()
Bq
θA θAq θAm
3 ml ql 24 EI 3EI
Aq
m
A
C y cq
(
)
Bm
Am
C ycm
θB θBq θBm
3 ml ql 24 EI 6 EI
(
2
3
ml 16 EI
ml 3EI ml 3EI 一、梁的刚度条件
w
max
L
w L
max
1 1 w (对土建工程: ( ~ )) 250 1000 L
其中[]称为许用转角；[w/L]称为许用挠跨比。通常依此 条件进行如下三种刚度计算： 、校核刚度：
梁的变形及刚度计算 一、基本概念（挠度、转角、挠曲线） 取梁的左端点为坐标原点，梁变形前的轴线为 x 轴 ，横截面的铅垂对称轴为 y 轴 ， x y 平面为纵 向对称平面
x
A
y
B
一、基本概念（挠度、转角、挠曲线）
度量梁变形后横截面位移的两个基本量 1、挠度（ y）: 横截面形心 C (即轴线上的点)在垂直于 x
例题求图示梁截面B的挠度
q A EIz
a C
B
L
解法1：为了利用附录IV表中的结果，可将原荷载视 为图(1)和图(2)两种情况的叠加
q A EIz
a C
B
L L c q (2) B
q A c L (1) B A
a
q
查表，得
y
C
y
4
Cq
y
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q
A
2 5ql ml 384EI 16 EI
()
Bq
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3 ml ql 24 EI 3EI
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m
A
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C ycm
θB θBq θBm
3 ml ql 24 EI 6 EI
(
2
3
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ml 3EI ml 3EI 一、梁的刚度条件
w
max
L
w L
max
1 1 w (对土建工程: ( ~ )) 250 1000 L
其中[]称为许用转角；[w/L]称为许用挠跨比。通常依此 条件进行如下三种刚度计算： 、校核刚度：
梁的变形及刚度计算 一、基本概念（挠度、转角、挠曲线） 取梁的左端点为坐标原点，梁变形前的轴线为 x 轴 ，横截面的铅垂对称轴为 y 轴 ， x y 平面为纵 向对称平面
x
A
y
B
一、基本概念（挠度、转角、挠曲线）
度量梁变形后横截面位移的两个基本量 1、挠度（ y）: 横截面形心 C (即轴线上的点)在垂直于 x
例题求图示梁截面B的挠度
q A EIz
a C
B
L
解法1：为了利用附录IV表中的结果，可将原荷载视 为图(1)和图(2)两种情况的叠加
q A EIz
a C
B
L L c q (2) B
q A c L (1) B A
a
q
8.3.5 梁的刚度计算
8.3.5 梁的刚度计算梁的刚度计算，通常是校核其变形是否超过许用挠度[ f ]和许用转角[θ]，可以表述为：≤y f []max≤θθ[]max式中y max 和θmax 为梁的最大挠度和最大转角。
在机械工程中，一般对梁的挠度和转角都进行校核；而在土木工程中，常常只校核挠度，并且以许用挠度与跨长的比值lf []作为校核的标准，即： ≤l lf y []max （8.17） 土木工程中的梁，强度一般起控制作用，通常是由强度条件选择梁的截面，再校核刚度。
例8.9 简支梁受力如图8.11所示，采用22a 号工字钢，其弹性模量=E 200GPa ，=l f 400[]1，试校核梁的刚度。
解：由附录查表可得=I 3400cm z 4，=EIy ql 3845max 4。
于是 =<=⨯⨯⨯⨯==⨯⨯l f l EI ql y 600400[]1138438420010MPa 340010mm 554N/mm 6000mm 344max 333所以梁的刚度满足要求。
下面介绍提高梁弯曲刚度的一些措施。
在不改变荷载的条件下，梁的变形与抗弯刚度EI 成反比，与跨长的n 次幂（n 可取1、2、3或4）成正比。
所以，提高弯曲刚度的一些措施有：（1）增大EI 。
这方面可以考虑采用惯性矩较大的工字形、槽形、箱形等截面形状。
须指出的是，高强钢与普通钢的弹性模量相差无几，所以采用高强钢对提高刚度的作用并不明显。
（2）调整跨长或改变结构。
减小跨长对变形的影响较为明显，如龙门吊车大梁就采用了两端外伸的结构形式。
此外，增加约束形成超静定梁，也能显著减小梁的变形，同时还可以提高弯曲强度。
有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）。
东财在线建筑力学》第三套作业(第六
正确
错误
答案:错误
【18】当梁发生平面弯曲变形时，梁的轴线仍然在纵向对称平面内。（）
正确
错误
答案:正确
【19】梁的高度越大，则梁的抗弯能力也越大。（）
正确
错误
答案:正确
【20】抗弯截面模量越大，则梁的抗弯曲能为越小。（）
正确
错误
答案:错误
【1】关于拉压杆的强度条件，下列说法正确的是（）。
A、为了保证拉压杆不致因强度不足而破坏
A、正方形
B、工字形
C、T形
D、矩形
E、圆形
答案:BCD
【12】为了提高梁的抗弯刚度，工程上常采用的截面形式有（）。
A、正方形
B、工字形
C、T形
D、矩形
E、圆形
答案:BCD
【13】梁的正应力在横截面上是沿梁高呈线性分布且（）。
A、中性轴上正应力为最大值
B、均匀分布
C、离中性轴最远的上下边缘正应力最大
A、13.5°
B、-76.5°
C、76.5°
D、13.5°
答案:D
【9】在单元体上，可以认为（）。
A、每个面上的应力是均匀分布的，一对平行面上的应力相等
B、每个面上的应力是均匀分布的，一对平行面上的应力不等
C、每个面上的应力是非均匀分布的，一对平行面上的应力相等
D、每个面上的应力是非均匀分布的，一对平行面上的应力不等
B、提高杆件材料的强度能提高杆件的承载力
C、提高杆件材料的强度能提高杆件的刚度
D、提高杆件材料的刚度能提高压杆的稳定性
E、提高杆件材料的刚度能提高杆件的承载力
答案:BD
【13】两截面不同，材料相同的拉杆，受到相同的轴力作用时则其（）。
错误
答案:错误
【18】当梁发生平面弯曲变形时，梁的轴线仍然在纵向对称平面内。（）
正确
错误
答案:正确
【19】梁的高度越大，则梁的抗弯能力也越大。（）
正确
错误
答案:正确
【20】抗弯截面模量越大，则梁的抗弯曲能为越小。（）
正确
错误
答案:错误
【1】关于拉压杆的强度条件，下列说法正确的是（）。
A、为了保证拉压杆不致因强度不足而破坏
A、正方形
B、工字形
C、T形
D、矩形
E、圆形
答案:BCD
【12】为了提高梁的抗弯刚度，工程上常采用的截面形式有（）。
A、正方形
B、工字形
C、T形
D、矩形
E、圆形
答案:BCD
【13】梁的正应力在横截面上是沿梁高呈线性分布且（）。
A、中性轴上正应力为最大值
B、均匀分布
C、离中性轴最远的上下边缘正应力最大
A、13.5°
B、-76.5°
C、76.5°
D、13.5°
答案:D
【9】在单元体上，可以认为（）。
A、每个面上的应力是均匀分布的，一对平行面上的应力相等
B、每个面上的应力是均匀分布的，一对平行面上的应力不等
C、每个面上的应力是非均匀分布的，一对平行面上的应力相等
D、每个面上的应力是非均匀分布的，一对平行面上的应力不等
B、提高杆件材料的强度能提高杆件的承载力
C、提高杆件材料的强度能提高杆件的刚度
D、提高杆件材料的刚度能提高压杆的稳定性
E、提高杆件材料的刚度能提高杆件的承载力
答案:BD
【13】两截面不同，材料相同的拉杆，受到相同的轴力作用时则其（）。
大梁的简单校核计算
大梁的简单校核计算大梁是建筑结构中常见的承重构件，用于支撑和传递楼板和屋面的荷载至柱子或墙体上。
在设计和施工大梁时，需要进行校核计算，以确保其安全可靠。
下面是一个对大梁进行简单校核计算的步骤和方法。
首先，需要确定大梁的截面形状和尺寸。
常见的大梁形状包括矩形、T形、I形等，尺寸一般由设计要求决定。
根据大梁的截面形状和尺寸，可以计算得到其截面面积和截面惯性矩。
接下来，需要确定大梁所承受的荷载。
荷载包括常规荷载和临时荷载，常规荷载来自楼板、屋面和人员活动等，临时荷载来自施工期间的施工载荷。
根据设计规范和实际情况，可以确定大梁所承受的设计荷载。
然后，需要进行弯曲和剪切校验。
对于弯曲校验，需要根据大梁的截面形状和荷载，计算得到大梁所受的弯曲应力，然后与材料的弯曲极限强度进行比较，确保大梁在弯曲方面的安全性。
对于剪切校验，需要根据大梁的截面形状和荷载，计算得到大梁所受的剪切应力，然后与材料的剪切强度进行比较，确保大梁在剪切方面的安全性。
最后，需要进行挠度校验。
大梁的挠度是指其在荷载作用下产生的弯曲变形。
需要根据大梁的杆件刚度和荷载计算得到大梁的挠度，然后与设计要求进行比较，确保大梁的挠度在允许范围内。
此外，还需要对连接部位进行校核计算。
大梁与柱子或墙体之间的连接处需要确保连接刚度和承载能力。
计算连接部位的强度和稳定性，以确保连接处的安全性。
在进行大梁的简单校核计算时，需要参考相关的设计规范和标准。
常用的设计规范包括《建筑结构荷载规范》、《建筑抗震设计规范》等。
根据不同的设计要求和实际情况，还可以考虑使用计算软件进行校核和分析。
总之，大梁的简单校核计算是设计和施工中必不可少的一步，通过对大梁的截面形状、荷载以及弯曲、剪切和挠度等进行计算和分析，可以确保大梁的安全可靠性，同时保证建筑结构的整体稳定性和承载能力。
梁的刚度分析
挠曲线： y f x 任一点的斜率与转角之间的关系为： 由于： 极其微小
dy tg dx
tg
dy f ' x dx
——转角方程
物理意义： 反应了挠度与转角之间的关系，即挠曲线上任意一点处切 线的斜率等于该点处横截面的转角。 结论：由转角方程我们可看出：梁上某点处横截面的转角等于 f ' x 在该点处的大小。研究梁的变形的关键在于提出 挠曲线方程 y f x 。
C ， A EIZ
（5） （6）
即：一次常数C表示原点的转角与抗弯刚度的乘积 二次常数D表示原点的挠度与抗弯刚度的乘积
从上面可看出：把原点取在简支梁的铰支座上时，二次积分常数 D=0, 这正是因为原点是铰支座，而铰支座处的 挠度为零。 注：这一点可作为一个标准来检验上面积分常数的正确与否，并 且对其它类型的梁也成立。 例2.图示一悬臂梁，自由端受一集中力P作用，求自由端B处的 挠度和转角。 解：建立坐标系如图： （1）求支反力
（4）求结果：
x=0时， x=L/2时，
1 PL2 PL2 A y EI Z 16 16EI Z
' A
PL3 yC 48EI Z
思考题：
图示一简支梁，在梁中点处作用一个集中力偶Me，求梁跨中 点C处的挠度与铰支座A点处的转角及连杆支座B点处的转角。并 求梁上最大挠度值。
Me
A
1 M x K x x EI Z
又：
1 x
(b)
1 y
y
3 2 2
1 M x y x EIZ
1 y M x x 1 EIZ
——挠曲线近似微分方程 (9-3)
梁的刚度校核计算
σ max
(
)
超过许用弯曲正应力的百分数为(175-170)/170≈3%，未超过 5%，故允许。事实上即使把梁的自重 (2×22.63 kg/m=0.4435 kg/m)考虑进去，超过许用弯曲正应力的百分数仍不到5%。
2012-5-17
6
2. 按切应力强度条件校核 最大剪力FS,max=138 kN，在左支座以右0.4 m范围内各 横截面上。每根槽钢承受的最大剪力为
2012-5-17
11
(2) 调整跨长和改变结构的体系 跨长为l 的简支梁受集度为q的满布均布荷载时，最大 弯矩和最大挠度均出现在跨中，它们分别为 ql 2 = = 0.125ql 2 8 5ql 4 ql 4 = = 0.0130 384 EI EI
2 = 104 000 mm 3
7
2012-5-17
* S z ,max 的值也可按下式得出： 当然，
* z , max
S
(100 − 11) mm 11 = 73 mm × 11 mm × 100 − mm + (100 − 11) mm × 7 mm × 2 2 = 104000 mm 3
(
)
(
)
( ) ( (40 ×10 N )(0.9 m)× (3 × 2.4 m (12 ×10 N )(0.6 m)× (3 × 2.4 m
3 2 3 2
2
2
) − 4 × 0.9 m ) + − 4 × 0.6 m )]
2 2 2 2
1671× 103 N ⋅ m 2 = = 4.66 ×10 −3 m 48 210 ×109 Pa 2 ×1 780 × 10 −8 m 4
其值小于许用切应力[τ]=100 MPa，故选用20a号槽钢满足切
钢结构单梁刚度的校核
项目 P1 P2 q E
Ix L a b c x
单位 N N N/m Mpa cm4 m m m m m
参数 138000 180000 60000 200000
15760 3.4 1.05 2.25 0.1 1.335004184
符合使用条件 符合使用条件
53218.61766
均布荷载和2个集中应力（中心线同侧）
c
m
0.74
不符合使用条件
d
m
0.384
x
m
1.959986658
-9251.170974
fmax
mm -1.695994511
- 1/1000
项目 P1 P2 P3 q E
Ix L a b c d x
fmax
单位 N N N N/m Mpa cm4 m m m m m m
mm
参数 20000 20000 20000 2000 210000
fmax
项目 P1 P2 q E Ix L a b c x fmax
mm 6.377434073
单位 N N N/m Mpa cm4 m m m m m
mm
参数 10000 10000 20000 210000
564 2.5 0.25 0.6 1.65 1.848484394
8.435419886
项目 P1 P2 P3 q E
均布荷载和4个集中应力（中心线同侧）
E
Mpa
210000
Ix
cm4
2370
L
m
4
a
m
0.5
b
m
0.5
c
m
0.5
d
m
梁的刚度校核
解 根据要求，圆轴必须具有足够的刚度，以保证 根据要求，圆轴必须具有足够的刚度， 处转角不超过许用数值。 轴承B 处转角不超过许用数值。 1）由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁 B 处的 转角为： 转角为： Fla
θB =
3EI
2
2）由刚度条件确定轴的直径： 由刚度条件确定轴的直径：
θB ≤ [θ ]
3
§8-6 梁的刚度校核
1.刚度条件 1.刚度条件
w max ≤ [w],
θ max ≤ [θ ]
l l ~ 建筑钢梁的许可挠度： 建筑钢梁的许可挠度： 250 1000 1 机械传动轴的许可转角： 机械传动轴的许可转角： 3000
精密机床的许可转角： 精密机床的许可转角：
1 5000
1
B
例7 已知钢制圆轴左端受力为 F＝20 kN，a＝l m，l＝2 m， kN， m， m， E=206 GPa。轴承B处的许可转 GPa。 =0.5° 角[θ] =0.5°。根据刚度要求 确定轴的直径d。
Fla 180 ⋅ ≤ [θ ] 3EI π
Fla ×180 I≥ 3Eπ [θ ]
πd 4
Fla ×180 ≥ 64 3Eπ[θ ]
64Fla ×180 4 64× 20×103 ×2×1×180 d ≤4 = 3Eπ [θ ]π 3×206×109 ×π 2 ×0.5 =111×10−3 m =111m m
梁的刚度校核
wmax l
Fl2 3EI
12 103 N 3.52 m2 3 210 109 Pa 11075.510-8m4
2.1103 1 2.5 103 400
可见梁也满足刚度条件。
建筑力学
谢谢观看！
其值为
wmax
wB
Fl3 3EI
(↓)
2) 校核梁的强度。
查型钢规格表，32a号工字钢的Wz=692.2 cm3。梁 的最大正应力为
max
M max Wz
42103 N m 692.210－6 m3
60.68106 Pa
60.68MPa 170MPa
可见梁满足强度条件。
3) 校核梁的刚度。 查型钢规格表，32a号工字钢的Iz=11075.5cm4。 梁的最大挠跨比为
建筑力学
梁的刚度校核
[w]
梁的刚度校核
在工程中，根据强度条件对梁进行设计后，往往
还要对梁进行刚度校核。梁的刚度条件为
wmax
max
w
式中: wmax、max——梁的最大挠度和最大转角； [w] 、[]——许用挠度和许用转角。根据梁的
用途，[w]、[] 值可在有关设计规范中查得。
在建筑工程中，通常采用最大挠度wmax与跨度l 之比，即最大挠跨比限制在许用的挠跨比范围内，即
长l=3.5m，荷载F=12kN，已知材料的许用应力
跨比=17[0Biblioteka lM]P=a4，010 弹。性试模校量核E梁=2的10强M度P和a，刚梁度的。许用挠
【解】 1) 求梁的最大弯矩和最大挠度。 最大弯矩发生在固定端A截面上，其值为
Mmax= MA=Fl=42 kN·m
查表4.3，该梁最大挠度发生在自由端B截面处，
材料力学第六章弯曲变形
以图示悬臂梁为例： x
A
w
q qy
2.梁的变形可以用以下两个位移度量：
F Bx
B1
① 挠度：梁横截面形心的竖向位移y，向下的挠度为正 ② 转角：梁横截面绕中性轴转动的角度q，顺时针转动为正
简支梁
挠度方程：挠度是轴线坐标x的函数
转角方程(小变形下)：转角与挠度的关系
=tan =dy =f ´(xd)x
梁在简单荷载作用下的转 角和挠度可从表中查得。
例3 图示悬臂梁，其弯曲刚度EI为常数，求B点转角和挠度。
q
A
C
F
1.在F作用下：
查表： BF
Fl 2 2EI
,
yBF
Fl 3 3EI
B
2.在q作用下：
查表： Cq
q(l / 2)3 6EI
ql3 48 EI
A A
qBF
F
B
q(l / 2)4 ql4
M图 Fl / 4
Wz
M max
35 103 160 106
2.19 10 4 m3
3、梁的刚度条件为：
Fl3 l 48EIz 500
解得
Iz
500 Fl 2 48 E
500 35 103 42 48 200 109
2.92 10 5 m4
由型钢表中查得，22a工字钢的弯曲截面系数Wz＝3.09×l0-4m3 ，惯性矩 Iz=3.40×10-5m4，可见．选择.22a工字钢作梁将同时满足强度和刚度要求。
提高梁刚度的措施：
y ln EI
1.增大梁的弯曲刚度 EI；主要增大截面惯性矩I值，在截面 面积不变的情况下，采用适当形状，尽量使面积分布在距中性轴 较远的地方。例如：工字形、箱形等。
材料力学第四章弯曲变形
习题： 182页，5-11、13、15
第4章
弯曲变形
叠加法
§4-4 梁的刚度校核提高梁的刚度 的措施
1、梁的刚度校核
保证梁的正常工作除要满足强度条件外，产生 的变形也不能太大，应满足刚度条件，即有：
wmax w l l
w 其中， 与 l
qmax q
第4章
弯曲变形
叠加法
2、提高刚度措施
除外加载荷外，梁的位移w、q还与梁的弯曲刚 度EI成反比，与跨长l的n次方成正比，因此，提高 刚度的措施有：
1）升高EI。 各种钢材E相差不大，主要提高I，在截面面积 A不变时，尽可能使面积分布远离中性轴。 如工字形、箱形等截面。
2）减少梁的跨度或增加支承。 如下图所示结构：
从以上两例题知: 转角及挠度方程中的积分常数C,D的几何意义为: C EIw ' x 0 EIq 0
D EIw0
θ0和w0分别代表坐标原点处截面的转角和挠度。 梁的刚度条件
wmax w
q max q
其中[q]称为许用转角；[w]称为许用挠度。
习题： 180页，5-2、3、5
Fl q B1 q C1 2 EI
2
（顺时针）
第4章
弯曲变形
叠加法
对图b，可得D截面的挠度和转角为：
F
·
(b)
wD2
直线
wD 2
wD2
F 2l 3EI
F 2l 2 EI
3
qD2
qD2 BD qB 2
wB2
2
qD2
同理可得此时B截面的挠度和转角为：
wB 2
8Fl3 4 Fl 2 14Fl3 wD 2 q D 2 BD l （向下） 3EI 2 EI 3EI
材料力学梁的弯曲变形第5节 梁的刚度校核 提高梁弯曲刚度的措施
根据对强度和刚度的校核结果，选用 63a 工字钢满足设计要求。
二、提高梁弯曲刚度的措施
梁的弯曲变形与梁的抗弯刚度
EI
、梁的跨度
z
l
以及梁的载荷等因素有关，要降低梁的弯曲变形，
以提高梁的刚度，可以从以下几方面考虑：
1、合理选择截面形状
影响梁弯曲刚度的截面几何性质是惯性矩
I
。
z
因此，从提高梁的刚度考虑，增大截面的惯性矩是
提高梁抗弯刚度的主要途径。例如使用工字形、圆
环形截面，可提高单位面积的惯性矩。
2、合理选择材料 要提高梁的刚度，应选用弹性模量较大的材料。
但要注意的是，各类钢材的弹性模量的数值非 常接近，故采用高强度优质钢来提高弯曲刚度是不 经济的。
3、改变梁上的载荷作用位置、方向和作用形式 合理调整载荷的位置及分布形式，可以降低弯
y
y
y
5、减小梁的跨度 增加梁的支座也可以减小梁的挠度。
一、梁的刚度条件
设梁的最大挠度和最大转角分别为ymax和max， [ f ]和[ ]分别为挠度和转角的许用值，则
梁的刚度条件
| y |max [ f ]
| |max [ ]
挠度的许用值[ f ]一般为梁的跨度l的1/200～1/1000。
在安装齿轮或滑动轴承处，轴的[ ]=0.001rad。
矩，从而减小梁的变形。如图所示作用在跨中的集 中力，如果分成一半对称作用在梁的两侧（见右 图 ），甚至化为均布载荷，则梁的变形将会减小。
4、减小梁的跨度
因梁的挠度与梁的跨度的数次方成正比，所以 减小梁的跨度，将使梁的挠度大为减小。
如果把简支梁的支座向内移动 a ，简支梁变成 外伸梁，梁的跨度减小了。因为外伸梁段上的载荷 使梁产生向上的挠度，中间梁段的载荷使梁产生向 下的挠度，它们之间有一部分相互抵消，因此挠度 减小了。
梁的刚度校核
第五节 梁的刚度校核 提高梁弯曲刚度的措施一、梁的刚度条件在按强度条件选择了梁的截面后，往往还需要进一步按梁的刚度条件检查梁的变形是否在设计条件所允许的范围内。
因为当梁的变形超过一定限度时，梁的正常工作条件就会得不到保证，为此还应重新选择截面以满足刚度条件的要求。
根据工程实际的需要，梁的最大挠度和最大转角不超过某一规定值。
由此梁的刚度条件为m ax y≤][y （9-5）m ax θ≤][θ （9-6） 式中][y 为许可挠度，][θ为许可转角。
其数值可以从有关工程设计手册中查到。
例9-11 图9-18所示为一吊车梁，跨长m 10=l ，最大起重量30kN =W F ，梁为工字钢截面，许用应力=][σ140MP a ，许可挠度400][ly =，弹性模量a GP 200=E 。
试选择工字钢型号。
图9-18解 （1）按正应力强度条件设计截面，选择工字钢型号由于截面尺寸未定，暂不考虑梁的自重影响。
当起吊重物在跨中点C 时，C 截面将产生最大弯矩和最大挠度。
最大弯矩为4103041)(max ⨯==l F M W W kN ·m =75kN ·m根据强度条件得z W ≥63max 101401075][)(⨯⨯=σW M m 63107.535-⨯=m 33cm 7.535=查附录C 型钢表，初选32a 号工字钢，3cm 602=z W ，11100=z I cm 4。
（2）刚度校核389333max 102.281011100102004810103048--⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==z W EI l F y m 2.28=mm40010000400][==l y mm 25=mm由于m axy ＞][y ，则32a 号工字钢不能满足刚度要求，需根据刚度条件重新选择型号，由[]z W EI l F y 483=得3933310251020048101030][48-⨯⨯⨯⨯⨯⨯==y E l F I W z m 441025.1-⨯=m 412500=cm 4查型钢表得36a 号工字钢15800=z I cm 4，875=z W cm 3，单位长度自重588≈q N/m（3）按选得的工字钢考虑自重影响，对梁的强度和刚度进行校核如图9-18(c )所示，自重引起梁跨中最大弯矩22max 105888181)(⨯⨯==ql M q N ·m 35.7=kN ·m载荷和自重共同引起梁的最大弯矩为。
梁的强度校核资料
2019/8/7
15
30103 N 0.8 m 3 2.42 m2 4 0.82 m2
40103 N 0.9 m 3 2.42 m2 4 0.92 m2
12103 N 0.6 m 3 2.42 m2 4 0.62 m2 ]
其值小于许用切应力[]=100 MPa，故选用20a号槽钢满足切
2019/8/7 应力强度条件。
8
3. 按刚度条件校核
此简支梁上各集中荷载的指向相同，故可将跨中截
面C的挠度wC作为梁的最大挠度wmax。本教材附录Ⅳ序号 11中给出了简支梁受单个集中荷载F 时，若荷载离左支座
的距离a大于或等于离右支座的距离b，跨中挠度wC的计
11
(2) 调整跨长和改变结构的体系 跨长为l 的简支梁受集度为q的满布均布荷载时，最大 弯矩和最大挠度均出现在跨中，它们分别为
M max
ql 2 8
0.125 ql2
5ql 4
ql 4
wmax 384 EI 0.0130 EI
2019/8/7
12
如果将两个铰支座各内移一个距离a而成为如图a所 示的外伸梁，且a=0.207l，则不仅最大弯矩减小为
§5-5梁的刚度校核 .提高弯曲刚度的措施
Ⅰ. 梁的刚度校核
对于产生弯曲变形的杆件，在满足强度条件的同时，
为保证其正常工作还需对弯曲位移加以限制，即还应该满
足刚度条件(stiffness condition)：
wm a x l
w l
qmax [q ]
式中，l为跨长，
w l
算公式为
Fb 3l 2 4b2
wC 48EI
梁的刚度条件.
的挠度容许值通常用许可挠度与梁跨长的比值 f作为标准。则梁的刚
度条件为
l
应用梁的刚度条件可进行梁的刚度校核、设计截面、计算许用荷载。但对 பைடு நூலகம்土建工程中的梁，强度条件能满足要求时，一般情况下，刚度条件也能满 足要求。所以，先由强度条件进行强度计算，再由刚度条件校核。
工程力学
/
则梁的刚度条件为应用梁的刚度条件可进行梁的刚度校核设计截面计算许用荷载
工程力学
梁的刚度条件
主 讲 人： 杨 磊
杨凌职业技术学院
2014.09
工程力学
/
§8-4梁的刚度条件
1.梁的刚度条件：
y max y
max
在土建工程中，对梁进行刚度计算时，通常只对挠度进行计算。梁
| y | max f l l
主持单位: 杨凌职业技术学院
黄河水利职业技术学院
参建单位: 杨凌职业技术学院
黄河水利职业技术学院
重庆水利水电职业技术学院
度条件为
l
应用梁的刚度条件可进行梁的刚度校核、设计截面、计算许用荷载。但对 பைடு நூலகம்土建工程中的梁，强度条件能满足要求时，一般情况下，刚度条件也能满 足要求。所以，先由强度条件进行强度计算，再由刚度条件校核。
工程力学
/
则梁的刚度条件为应用梁的刚度条件可进行梁的刚度校核设计截面计算许用荷载
工程力学
梁的刚度条件
主 讲 人： 杨 磊
杨凌职业技术学院
2014.09
工程力学
/
§8-4梁的刚度条件
1.梁的刚度条件：
y max y
max
在土建工程中，对梁进行刚度计算时，通常只对挠度进行计算。梁
| y | max f l l
主持单位: 杨凌职业技术学院
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II、 II、 提高梁的刚度的措施
梁的位移（挠度和转角） 梁的位移（挠度和转角）除了与梁的支承和荷载情况有 关外，还取决于以下三个因素： 关外，还取决于以下三个因素： 成正比； 材料 —— 梁的位移与材料的弹性模量 E成正比； 成正比 截面 ——梁的位移与截面的惯性矩 I 成正比； 梁的位移与截面的惯性矩 成正比； 跨长 ——梁的位移与跨长 梁的位移与跨长 次幂成正比 成正比。 的 n 次幂成正比。
为了减小梁的位移， 为了减小梁的位移，可采取下列措施 增大梁的抗弯刚度EI 增大梁的抗弯刚度 工程中常采用工字形, 工程中常采用工字形 箱形截面
梁的刚度条件及提高梁刚度的措施
提高梁刚度的措施 1）选择合理的截面形状
调整跨长和改变结构 设法缩短梁的跨长，将能显著地减小其挠度和转角。 设法缩短梁的跨长，将能显著地减小其挠度和转角。这 是提高梁的刚度的一个很又效的措施。 是提高梁的刚度的一个很又效的措施。
(a) q
桥式起重机的钢梁通常采 用两端外伸的结构（图 用两端外伸的结构（ 6 -6 a），就是为了缩短 ），就是为了缩短 ）， 跨长而减小梁的最大挠度 值。 图 6 -6
(b) q A B A B
q
同时，由于梁的外伸部分的自重作用， 同时，由于梁的外伸部分的自重作用，将使两的 AB 跨产 生向上的挠度（图6 -6 b），从而使AB跨向下的挠度能够 生向上的挠度（ ），从而使 跨向下的挠度能够 ），从而使 被抵消一部分，而有所减小。 被抵消一部分，而有所减小。
(a) q
增加梁的支座也可以减小梁 的挠度。 的挠度。
(b) q A B A B
q
图 6 -6
梁的刚度条件及提高梁刚度的措施
改善结构形式， 改善结构形式，减少弯矩数值
改 变 支 座 形 式
梁的刚度条件及提高梁刚度的措施
2）改善结构形式，减少弯矩数值 改善结构形式，改 变 载 Nhomakorabea荷 类 型
wC2 = 62.5% wC1
f 1 [ ]= l 400
120KN 30KN C 40KN 12KN B
A
fC
0.4 0.4 0.7 2.4 m 0.3 0.6
例题 6 -7 图
解:可将梁跨中点C处的挠度 fC作为梁的最大挠度 fmax 。 可将梁跨中点 处的挠度
f max ≈ f C =
4 i =1
∑
Pi bi [ 3l 2 4bi2 ] = 4.67 mm 48 EI
40KN 12KN C B
120KN 30KN
A
fC
0.4 0.4 0.7 2.4 m 0.3 0.6
梁的许可挠度为
3 f 1 [ f ] = [ ]×l = m × 2.4 = 6×10 m = 6m l 400
f max = 4.67mm < [ f ]
因此， 所选用的槽钢能够满足刚度条件的要求。 因此， 所选用的槽钢能够满足刚度条件的要求。
梁的刚度条件及提高梁刚度的措施
采用超静定结构
§7-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施
采用超静定结构
§6-4
梁的刚度校核 提高梁的刚度的措施 I、 梁的刚度校核 、
对于梁的挠度, 其许可值通常用许可的挠度与梁跨长的比值 对于梁的挠度
f [ ] 作为标准。 梁的刚度条件可表示为 作为标准。 l
fm f ax ≤[ ] l l
（6 -5） ）
θ θm ≤ [ ] ax
的简支梁, 例题 6-7 试按刚度条件校核第五章例题 5-10 的简支梁 已知 号槽钢, 按强度条件所选择的梁为两根 20a 号槽钢 每根槽钢的惯性矩 I=1780cm , 钢的弹性模量为 E=210GPa 。 此梁的许可挠度与梁 跨长的比值为