高等数学第六章定积分的应用

2
1 2
2π 0
三、已知平行截面面积函数的立体体积
设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x),
上连续, 则对应于小区间
的体积元素为
dV A(x) d x
因此所求立体体积为
b
V a A(x) d x
A(x)
ax
bx
特别 , 当考虑连续曲线段
轴旋转一周围成的立体体积时, 有
V
一拱
的弧长 .
y
解:
ds
(
d d
xt )2

(
d d
y t
)
2
d
t
O
a2 (1 cos t)2 a2 sin2 t d t
a 2(1 cos t) d t
2a sin t dt 2

s
2π 0
2a sin
t 2
d
t

2a

2
cos
t 2

2π 0

8a
2πa x
b
a
1 f 2(x) dx
y
y f (x)
ds
O a xxdxb x
(2) 曲线弧由参数方程给出:
弧长元素(弧微分) :
ds (dx)2 (dy)2
2 (t) 2 (t) dt
因此所求弧长

s
2 (t) 2 (t) d t
(3) 曲线弧由极坐标方程给出:
y y f1(x) y f2 (x)
右下图所示图形面积为
b
A a f1(x) f2 (x) dx
O axxdx b x
例1. 计算两条抛物线 图形的面积 .
解: 由
得交点 (0, 0) , (1, 1)
d A ( x x2)dx
1 3
在第一象限所围
y
y2 x (1,1) y x2
π
4
cos 4

d
0
2
令
t


2
π
8a2 2 cos4t dt 0
3π a2 2
所围图形的
(利用对称性)
d

O
2a x
二、平面曲线的弧长
定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 , 当折线段的最大
边长 →0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 , 则称
此极限为曲线弧 AB 的弧长 , 即
第二节
第六章
定积分在几何学上的应用
一、 平面图形的面积
二、 平面曲线的弧长
三、已知平行截面面积函数的 立体体积
一、平面图形的面积
1. 直角坐标情形
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设曲线
与直线
y y f (x)
及 x 轴所围曲 边梯形面积为 A , 则
Oa x bx x dx
dA f (x) dx
b
A a f (x) dx
第六章 定积分的应用
利用元素法解决: 定积分在几何上的应用 定积分在物理上的应用
第一节
第六章
定积分的元素法
一、什么问题可以用定积分解决 ? 二 、如何应用定积分解决问题 ?
一、什么问题可以用定积分解决 ?
1) 所求量 U 是与区间[a , b]上的某分布 f (x) 有关的 一个整体量 ;
2) U 对区间 [a , b] 具有可加性 , 即可通过 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限”
令 x r( )cos , y r( )sin , 则得
弧长元素(弧微分) :
ds [x( )]2 [ y( )]2 d r 2 ( ) r2 ( ) d (自己验证)
因此所求弧长
s r 2 ( ) r2 ( ) d
例11. 计算摆线
n
s lim 0
M i1M i
i1
并称此曲线弧为可求长的.
y Mi1
A M0 O
定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.
(证明略)
Mi
B Mn x
(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:
弧长元素(弧微分) :
ds (dx)2 (dy)2
1 y2 dx
因此所求弧长
s b 1 y2 dx a

O
x
例5. 计算阿基米德螺线 到 2 所围图形面积 .
解: A 2π 1 (a )2 d 02
a2 2

1
3
3

2π 0
4 π3 a2 3
对应 从 0 变
2πa
O
x
d
例6. 计算心形线
面积 . 解:
1 a2 (1 cos )2 d
2
a2
表示为
定积分定义
二 、如何应用定积分解决问题 ?
第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量
近的似值
微分表达式
dU f (x) dx
第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的
精确值
积分表达式
b
U a f (x) dx
这种分析方法称为元素法 (或微元分析法 )
元素的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等
(2, 2)
18
例3. 求椭圆
所围图形的面积 .
解: 利用对称性 , 有 d A y dx
a
A 40 y d x
利用椭圆的参数方程
x a cos t y bsin t
(0 t 2 π)
y
b
O xxdxa x
应用定积分换元法得

4
ab

1 2

π 2
π ab
π
O xx d x1 x
例2. 计算抛物线 y2 2x 与直线 y x 4 所围图形
的面积 .
解: 由
得交点
(2, 2) , (8, 4)
y
ydy y
y2 2x (8, 4)
为简便计算, 选取 y 作积分变量,
则有

A
d
A 4
2
(
y

4

1 2
y
2
)
dy
O
yx4 x
例12. 求阿基米德螺线 r a (a 0)相应于 0≤≤2
一段的弧长 .
解: ds r2( ) r2( ) d a2 2 a2 d
a 1 2 d
2πa
O
r
r a

2π
sa
1 2 d
0
a2
1 2 1 ln
4ab 2 sin2 t dt 0
当 a = b 时得圆面积公式
2. 极坐标情形
求由曲线
及
围成的曲边扇形的面积 .
在区间
上任取小区间
则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为
dA 1 ( )2 d
2
所求曲边扇形的面积为
r ( ) d
A 1 2 ( ) d 2
b
π[
f
(
x)]2
dx
a
y
y f (x)
当考虑连续曲线段
O ax b x
绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,
有
V d π[( y)]2dy c
y
d
y x (y)
c
O
x
例13. 计算由椭圆