第六章-力法(二) ,同济大学结构力学课件,朱慈勉版教材,吕凤悟老师课件

2 2

1 p 2p
0 0
只包含两个对称基本未知量

33X3 3p 0
只包含一个反对称基本未知量
利用对称性，可将原高阶方程组解耦降阶，化为两个低阶方程(组)
Strucural Analysis
School of Civil Engineering, Tongji Univ.
§6-5 对称性的利用—力法简化计算
对称结构在对称和反对称荷载作用下的特征
X1 1
X3 1
M
图
1
X2 1
M
图
2
M
图
3
2111XX11
12X 22X
2 2

1 p 2p
0 0

33X3 3p 0
进一步考虑荷载的对称、反对称性
对称结构在对称荷载作用
弯曲 变形
对称 荷载
×
反对称 荷载
√
对称轴上的杆件
轴线 变形
剪切 变形
弯矩
轴力
√
×
×
√
×
√
√
×
剪力
对称轴上的截面
沿对称 垂直对
角位移 轴线位 称轴线
移
位移
约束 力矩
沿对称 垂直对
轴约束 称轴约
力
束力
×
×
√
×
√
×
√
√
√
×
√
×
√
×
变形(位移)与约束力是一一对应的；有变形(或位移)，则无约束力，也就
没有约束；反之，无变形(或位移)，则有约束力，也就存在约束。
Strucural Analysis
School of Civil Engineering, Tongji Univ.
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§6-5 对称性的利用—力法简化计算
对称结构在对称和反对称荷载作用下的特征
综上所述，将利用对称性简化力法计算的要点归纳如下： ⑴选择对称的基本结构，取对称约束力或反对称约束力作为基本未知量。 ⑵对称荷载作用下，只考虑对称未知力。（反对称未知力为零） ⑶反对称荷载作用下，只考虑反对称未知力。（对称未知力为零） ⑷一般荷载分解为对称荷载和反对称荷载。
⑴对称荷载作用下
⑵反对称荷载作用下 下，只产生对称的内力、 变形和位移，反对称的内
力、变形和位移为零。
P/2
P/2 P/2
P/2
Mp对称
3p 0, X3 0
Strucural Analysis
Mp反对称
1p 0 2 p 0

X X
1 2

0 0
对称结构在反对称荷载作 用下，只产生反称的内力 、变形和位移，对称的内 力、变形和位移为零。
反对称的荷载。
Strucural Analysis
School of Civil Engineering, Tongji Univ.
§6-5 对称性的利用—力法简化计算
对称性的概念
对称结构：几何形状、支承情况、刚度分布均对称的结构。
对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧,大小相等,方向和作用点对称的荷载。
§6-5 对称性的利用—力法简化计算
对称性的概念
对称结构：几何形状、支承情况、刚度分布均对称的结构。
支承不对称
对称结构
几何对称 支承对称 刚度对称
非对称结构
刚度不对称
对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧,大小相等,方向和作用点对称的荷载。 反对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧,大小相等，作用点对称,方向
11X1 1p 0
11

144 EI
,
1 p

1800 EI
X1 12.5kN
M M1X1 M p
Strucural Analysis
School of Civil Engineering, Tongji Univ.
§6-5 对称性的利用—力法简化计算
取半结构计算

13X 3 23X 3

1 p 2p
0 0
31X1 32 X 2 33 X 3 3 p 0
X1
基本未知量

X
2
X 3
对称 反对称
M
图
3
13 31 0 23 32 0
力法方程简化为2111XX11
12X 22X
反对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧,大小相等，作用点对称,方向
反对称的荷载。
下面这些荷载是对称？反对称
P
P
荷载？还是一般性荷载?
P
M
对称荷载
l
l
l
l
P
P
反对称荷载
Strucural Analysis
P EI=C
M
EI=C
l
l
l
l
School of Civil Engineering, Tongji Univ.
【例】试用力法求作图示刚架的弯矩图。 各杆 EI C 。
Strucural Analysis
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§6-5 对称性的利用—力法简化计算
【例】试用力法求作图示刚架的弯矩图。各杆 EI C 。
【解】利用对称性简化为一次超静定。
§6-5 对称性的利用—力法简化计算
对称性的概念
对称结构：几何形状、支承情况、刚度分布均对称的结构。 对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧,大小相等,方向和作用点对称的荷载。
反对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧,大小相等，作用点对称,方向
反对称的荷载。
任意荷载均可分解为对称荷载和反对称荷载的叠加，且对称荷载和反对
§6-5 对称性的利用—力法简化计算
对称结构在对称和反对称荷载作用下的特征
以图示结构为例推导说明。 X1 X3 X2
X1 1
X2 1
P
P
EI=C 原结构
基本结构
M
图
1
M
图
2
X3 1
选取对称基本结构、对称和反对称基本未知量。
2111XX11
12 22
X X
2 2
称荷载均为原荷载值的一半。
P
X1
X1
A
A
A’
X2
ຫໍສະໝຸດ BaiduX2
A
A’
叠加原理：

X1 X1

X2 X2

P 0
EI=C 原结构
对称荷载
反对称荷载

X
1


X
2

P
2 P
2
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根据对称结构的受力特征，在对称或反对称荷载作用下，可以取半结构 计算，另外半结构的内力可通过对称或反对称镜像得到。
半结构选取的关键在于正确判别另外半结构对选取半结构的约束作用。 判别方法有两种：
根据对称轴上的杆件和截面的变形（或位移）特征判别。(适用于所有结构)
根据对称轴上的杆件和截面的内力特征判别。 (一般只适用于奇数跨结构)