哈工大理论力学教案 第13章.

W弹err1性2d力rr 的AA1rrr2功Fr为drrdrr
A2 A1
k
(r
l0
r )er
drr
1 d(rr rr ) 1 d(r 2
2r
2r
)
Βιβλιοθήκη Baidu
dr
得
W12
r2 r1
k(r l0 )dr
即
W12
k 2
(12
22)
1 r1 l0 , 2 r2 l0
弹性力的功也与路径无关
3. 定轴转动刚物体上作用力的功
2 dt
1 2
m
J R2
ds dt
2
P重力
mg
ds dt
, P弹性力
ks
ds dt
dT dt P重力 P弹性力
m
J R2
ds dt
d2s dt 2
mg
ds dt
ks ds dt
m
J R2
d2s dt 2
mg
ks
令
为弹簧静伸长，即mg=k
0
,0以
平衡位置为原点
s 0 x
r FR
r drC
2 1
M
C d
说明:1、对任何运动的刚体,上述结论都适用; 2、C点不是质心,而是刚体上任意一点时,上述结论也成立
3、计算力系的主矢、主矩时，可以不包含不作功的力。
思考：
W1 F s W2 0
W1 W1 W2 F s
W1 F R
W2 0
W1 W1 W2 F R
v0 , a0 ,
rr
例13-5
已知: r,1 均m质1 ;杆m 均质,
内,初始静止.
求: O1转O2过φ角的 ,
O=1lO,2 M=常量,纯滚动,处于水平面
O1, O2
解:
研究整个系统
T2
1 2
( ml2 3
)
2
T1
0
1 2
m1012
1 2
(
m1r12 2
)
2
1 ( m 3m1 )l 2 2
势力场中,物体所受的力为有势力.
2.势能
在势力场中,质点从点M运动到任意位置M0,有势力所作的功 为质点在点M相对于M0的势能.
V
M0
r F
drr
M
M0 M
Fxdx Fydy Fzdz
M 0 称势能零点
（1）重力场中的势能
V
Z0 Z
mgdz
mg
z
z0
（2）弹性力场的势能
V
r0
r F
drr
k
r
2
2
2 0
0 0为零势能点, 则
V k2
2
（3）万有引力场中的势能
V A0
由于erAr
r F
drr
A0
drr
A
dr有
fm1m2 r2
r er
drr
V
r1 fm1m2
r
r2
dr
1
fm1m2
r1
1 r
取零势能点在无穷远
V fm1m2 r
r1
（4）质点系受到多个有势力作用 质点系的零势能位置:各质点都处于其零势能点的一组位置.
求:O 走过S 路程时ω， 。
解: 圆盘速度瞬心为C
T1 0 v0 R
T2
1 2
mv02
1 2
mR2 (
2
) 2
3 4
mv02
W Fs 2mgfs W T2 T1
FS
2mgfs
3 4
mv02
(a)
v0 2
s (F 2mgf ) 3m
将式(a)两端对t 求导,并利用
得
a0
2 (F 2mgf ) 3m
第十三章 动能定理
§13-1 力的功
一、常力在直线运动中的功
W
F
cos
s
F
s
二、变力在曲线运动中的功
元功
δW
δW
FFr cdorrs
ds
r
r
r
r
记 F Fxi Fy j Fz k
drr
r dxi
r dyj
r dzk
W Fxdx Fydy Fzdz
W12
M2 M1
δW
M2 M1
r F
1 2l
3 M mgl(1 cos )
m
提问：是否可以利用求导求此瞬时的角加速度？
§13-4 功率、功率方程、机械效率
1、功率：单位时间力所作的功.
P δW
由δW
Fr,得 drr
r PF
drr dt
dt
r F
vr
Ftv
即:功率等于切向力与力作用点速度的乘积.
作用在转动刚体上的力的功率为
P
δW dt
m
J R2
d2x dt 2
mg
k 0
kx
kx
m
J R2
d2x dt 2
kx
0
§13-5 势力场.势能.机械能守恒定律
1.势力场
力场 :一物体在空间任一位置都受到一个大小和方向完全由 所在位置确定的力的作用.
rr
F F x, y, z
势力场(保守力场):力的功只与力作用点的始、末位置有关, 与路径无关.
·drr
三、几种常见力的功 1、重力的功 质点
Fx Fy 0
Fz mg
W12
z2 z1
mgdz
mg(z1
z2 )
质点系
W m g(z z )
12
i
i1
i2
由 mzC mi zi
得 W12 mg(zC1 zC2 )
重力的功只与始、末位置有关，与路径无关。
2、弹性力的功
弹簧刚度系数k(N/m)
求:杆有微小摆角时系统势能.
r
MA(F) 0
k0l
mg
l 2
0
mg 2k
重力以杆的水平位置为零势能位置,弹簧以自然位置O为
零势能位置:
V
1 2
k 0
l 2
mg
l
2
1 2
k 2l 2
m2 g 2 8k
取杆平衡位置为零势能点:
V
1 2
k
2
02
mgh
1 2
k
02
2 0l
2l 2
02
mg l
s R
Fs 2Fds
Fs 2mg fs
不作功的力可不考虑,因此亦可如下计算:
W
(F
Fd )s
Fd R
s R
Fs
2Fd s
§13-2 质点和质点系的动能
1、质点的动能
T 1 mv2 2
2、质点系的动能
（1）平移刚体的动能
T
1 2
mi
vi
2
T
1 m
2i
vi2
1 2
vC2
mi
（2）定轴转动刚体的动能
即
T
1 2
mvC2
T
1 2mi
vi
2
12mi 2ri2
12
2
mi ri 2
即
T
1 2
J z 2
（3）平面运动刚体的动能
速度瞬心为P
T
1 2
J P2
1 2
(JC
md 2 )2
得
T
1 2
mvC2
1 2
JC 2
平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能与绕质心转动 的动能之和.
上面结论也适用于刚体的任意运动.
δW
r F
drr
Ftds
Ft Rd
由 M z Ft R
δW M zd
从角 转1 动到角 过2程中力
W12
2 1
M
zd
若 M z常量
r 的F功为
则 W12 M z (2 1)
4. 平面运动刚体上力系的功
r
作用在 rM点i 的r 力 r的Fi元r功为r r
δWi F idri Fi drC Fi driC
Mz
d
dt
M z
单位W（瓦特）,1W=1J/S
2、功率方程
dT
dt
n i 1
δWi dt
n i 1
Pi
功率方程:即质点系动能对时间的一阶导数,等于作用于质点 系 的所有力的功率的代数和.
车床
dT dt
P输入
P有用 P无用
或
dT P输入 P有用 P无用 dt
3、机械效率
有效功率 机械效率
§13-3 动能定理
1、质点的动能定理
将
m dvr
r 两F端点乘
,vrdt drr
得
mdvrt dvr
r F
drr
mvr
dvr
d(1
r mv2 ), F
drr
δW
2
因此 d(1 mv2 ) δW －－质点动能定理的微分形式
2
质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。
1 2
mv22
1 2
mv12
·πn 30
F
60 πdn
P有用
60 3.78 π 0.1 42
17.19kN
当 n 112r / min 时
F 60 3.78 6.45kN π 0.1112
例13-8
已知 :m ，l0 ，k ， R ， J。
求:系统的运动微分方程。
解: s R
T
1
m
ds
2
2 dt
1 J d 2
W12
－－质点动能定理的积分形式
在质点运动的某个过程中,质点动能的改变量等于作用于 质点的力作的功.
2、质点系的动能定理
由
d(
1 2
mi vi 2
)
δWi
d(
1 2mivi
2
)
δWi
得 dT δWi
－－质点系动能定理的微分形式
质点系动能的增量，等于作用于质点系全部力所作的元功的和.
T2 T1 Wi
vC 2 4
(2m1
3m2 )
(a)
s
R1
vC 2
(M m2gR1 sin )s
R1(2m1 3m2 )
式(a)是函数关系式，两端对t 求导,得
1 2
(2m1
3m2 )vCaC
M
vC R1
m2 gvC
sin
2 aC
(M m2gR1 sin )
(2m1 3m2 )R1
例13-3
已知:冲击试验机m=18kg, l=840mm, 杆重不计，在 1 70
时静止释放，冲断试件后摆至 2 29
求:冲断试件需用的能量。
解: T1 0,T2 0
0 0 mgl(1 cos1) mgl(1 cos2 ) Wk
得冲断试件需要的能量为 Wk 78.92J
k
Wk A
冲击韧度：衡量材料抵抗冲击能力的指标。
例13-4 已知:均质圆盘R ,m ,F=常量,且很大,使O 向右运动, f ,初静止。
不计摩擦.
求:当A 运动到O点时, vA ？
解:
W M 2mg(1 cos ) l
2
C
ABCC
3 2
l
AB
AB
T1 0
vB l
, OB
vB l
AB OB vA AB ·2l
T2
TAB
TOB
1 2
mvC2
1 2
J
C
2 AB
1 2
J
2
0 OB
4 3
ml
2
2 AB
W T2 T1
AB
内力作功之和不一定等于零.
思考：
当轮子在固定面只滚不滑时，接触处是否为理想约束？
例13-1 已知:m, h, k, 其它质量不计.
求: max
解: T1 0, T2 0
0
0
mg(h
max
)
k 2
2 max
max
mg k
1 k
m2g 2 2kmgh
例13-2 已知：轮O ：R1 ，m1 ,质量分布在轮缘上; 均质轮C ：R2 ，
已知:均质圆盘R ,m ,F =常量,且很大,使O 向右运动, f , 初静止。 求: O 走过S 路程时力的功。
解：
1、摩擦力Fd 的功 W Fs是ds力, 在空间的位移，不是 受力
作用点的位移.
W Fs 2Fds Fs 2mg fs
2、可将力系向点O 简化，即
W
(F
FT
Fd )s (FTR FdR)
23 2
(01
l,1
01
r1
l
r1
)
W M T2 T1 W
M 1 ( m 3m1 )l 2 2
(a)
23 2
12M
(2m 9m1)l 2
求导得
6M
(2m 9m1)l 2
注意:轮Ⅰ、Ⅱ接触点C是理想约束,其摩擦力Fs尽管在空 间是移动的,但作用于速度瞬心,故不作功.
例13-6
已知:均质杆OB=AB=l, m，在铅垂面内;M=常量,初始静止,
－－质点系动能定理的积分形式
质点系在某一段运动过程中,起点和终点的动能改变量,等于作 用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和.
3、理想约束
光滑固定面、固定铰支座、光滑铰链、不可伸长的柔索等
约束的约束力作功等于零. 为什么？
称约束力作功等于零的约束为理想约束. 对理想约束,在动能定理中只计入主动力的功即可.
r Fi
r driC
Fi
cos
MC d
r
MC (Fi )d
力系全部力的元功之和为
δW δWi
r Fi
drrC
r
MC (Fi )d
r 主F矢R
r drC
主M矩Cd
当质心由 C1 ~,C转2角由 时1 ,~力系2的功为
W12
C2 C1
r FR
drrC
2 1
M C d
W12
C2 C1
质点系的势能:质点系从某位置到其零势能位置的运动过程 中,各有势力做功的代数和为此质点系在该位置的势能.
质点系 重力场
V
Mi0 Mi
r Fi
drri
V mi gzi zi0 mgzC zC0
举例: 已知:均质杆 l ,m ,弹簧刚度系数 k , AB 水平时平衡，弹
簧变形为 . 0
P有效
P有用
dT dt
P有效
P输入
多级传动系统 12 L n
例13-7
已知: P输入 5.4kW,P无用 P输入 30%
d 100mm, n 42r / min , n ' 112r / min
求:切削力F的最大值。
解: P有用 P输入 P无用 3.78kW
P有用
Fv
F
d 2
2
即 V 1 k 2l 2
2
对于不同的零势能位置,系统的势能是不同的.
质点系在势力场中运动,有势力功为
W12 V1 V2
3. 机械能守恒定律
机械能:质点系在某瞬时动能和势能的代数和.
由 T2 T1 W12
质点系仅在有势力作用下,有
W12 V1 V2 得 T1 V1 T2 V2
质点系仅在有势力作用下运动时,机械能守恒.此类 系统称保守系统.
m2 ，纯滚动, 初始静止 ;θ ,M 为常力偶。
求:轮心C 走过路程s 时的速度和加速度
解: 轮C与轮O共同作为一个质点系
W12 M m2gs sin T1 0
T2
1 2
(m1R12 )12
1 2
m2v22
1 2
(1 2
m2R22 )22
1
vC R1
,2
vC R2
W12 T2 T1
M
m2gs sin
非保守系统的机械能是不守恒的.
例13-9
已知：重物m=250kg, 以v=0.5m/s匀速下降，钢索