角度和几何计算问题
小学奥数几何周长和角度计算问题例题
1．如图19-1，在直线上两个相距l厘米的点A和B上各有一只青蛙．A点的青蛙沿直线跳往关于B点的对称点Al ，而B点的青蛙跳往关于A点的对称点Bl；然后B1点的青蛙跳往关于Bl点的对称点A2，Bl点的青蛙跳往关于Al点的对称点B2．如此跳下去，两只青蛙各跳了7次后，原来在A点的青蛙跳到的位置距离B 点有多少厘米?[分析与解]两只青蛙各跳一次，距离增加为原来的3倍，所以A7B7＝37×1＝2187(寸)，而且A7在右，B7在左(跳奇数次时，A点的青蛙在左．跳偶数次时，B点的青蛙在左)．显然有B7A＝BA7，所以BA7＝(B7A7－AB)÷2＝(2187－1)÷2＝1093，即答案为1093．2．如图19-2所示，8个同样大小的小长方形拼成了一个大长方形．已知大长方形的周长是84厘米，求小长方形的周长．[分析与解]我们称小长方形的短边为宽，长边为长，有8宽+4长＝84，又3宽＝2长，所以8宽+6宽＝84，所以宽＝6，长＝9．于是小长方形的周长为2×(9+6)＝30(厘米)．3．如图19-3，正方形的树林每边长1000米，里边有白杨树和榆树．小明从树林的西南角走入树林，碰见一株白杨树就往正北走，碰到一株榆树就往正东走，最后他走到了东北角上．问小明一共走了多少米的距离?[分析与解]小明往正北走路程可能分许多段．不管是多少段，各段距离的和正好是正方形南北方向的一条边长1000米；同样小明往正东方向走若干段距离的和也正好是东西方向的一条边长1000米．所以，小明一共走了1000+1000＝2000(米)．4．如图19-4所示，其中所标数值的单位都是厘米．问这个图形的周长是多少厘米?[分析与解]如下左图所示，我们假设一只小虫从A点开始沿箭头方向顺时针的爬行一周后回到A点，那么小虫向右爬了3+2+3+2+1+2＝13厘米，那么向左也爬行了13厘米，所以横向共爬行了13×2＝26厘米．如上右图所示，我们再假设这只小虫从A点开始沿另一个箭头方向逆时针的爬行一周后回到A，那么小虫向上爬行了6+6+EF+2＝14+EF，其中EF＝CD＝5，所以向上爬行了19厘米，于是向下也爬行了19厘米，所以竖向共爬行了19×2＝38厘米．那么这只小虫横、竖两个方向共爬行了26+38＝64厘米，即这个图形的周长为64厘米．5．把长2厘米、宽1厘米的若干个长方形摆成图19-5的形式，那么该图形的周长是多少厘米?如下图，我们以最宽部分分界，将原图形分为上、下两个部分．有上面部分的横向长度和为2×12＝24厘米，竖向长度和为1×12×2＝24厘米；下面部分的横向长度和为2×12＝24厘米，竖向长度和为1×4＝4厘米；所以，该图形的周长为24+24+24+4＝78厘米．6．图19-6中AB的长度是20厘米，任意相邻两圈的距长离都是l厘米．那么图中所有线段的长度和是多少厘米?有该图形的竖向部分长度为20+20+19+18+17+…+1＝230厘米；横向部分长度为20+19+18+17+…+1＝210厘米；图中所有线段的长度和为230+210＝440厘米．7．如图19-7，阴影部分是正方形，最大的长方形的周长是多少厘米?[分析与解]设正方形的长为x厘米，则长方形的长为9－x+6＝15－x厘米，而宽为x厘米，所以长方形的周长为2×(x+15－x)＝30厘米．显然，当x不大于6时，长方形的周长恒为30厘米，那么最大的长方形的周长也是30厘米．8．图19-8、图19-9是两个形状、大小完全相同的大长方形．在每个大长方形内放入4个如图19-10所示的小长方形，斜线区域是空下来的地方．已知大长方形的长比宽多6厘米，问：图19-8、图19-9中画斜线的区域的周长哪个大?大多少厘米?[分析与解]为了方便叙述，在原图中标上字母，如下图所示：图19-8中画阴影区域的周长恰好等于大长方形的周长，图19-9中画阴影区域的周长显然比大长方形的周长小，两者之差是2AB．从图19-9中的竖直方向看，AB＝a－CD．再从图19-9的水平方向看，大长方形的长是a+2b，宽是2b+CD．已知大长方形的长比宽多6厘米，所以(a+2b)－(2b+CD)＝a－CD＝6(厘米)，从而AB＝6(厘米)．因此图19-8中画斜线区域的周长比图19-9中的画斜线区域的周长大2AB＝12(厘米)．9．如图19-11，有一个八边形，任意相邻的两条边都互相垂直．为确定这个八边形的周长，最少需要知道其中几条边的长度?[分析与解]我们利用例4的方法，放一只小虫使它沿八边形的边缘爬行一周回到原出发点，有向左的长度等于向右的长度，向下的长度等于向上的长度，而爬行一周的路程即为图形的周长，所以只用量出向上，向左的长度，在下图中(实际小虫是在八边形的边上爬行，而不是沿示意线爬行)，即为AB，ED，AG的长度．显然只用量出3条线段的长度，即可求出八边形的周长．10．有一个长20厘米，宽15厘米的长方形，沿两条平行于长方形边界的直线将其划分成3个或4个小长方形．问这些小长方形周长之和最大是多少厘米? [分析与解]本题共有如下三种不同的方法：有方法一分出的3个小长方形的周长之和为20+20+20+20+20+20+15+15＝150厘米；方法二分出的3个小长方形的周长之和为15+15+15+15+15+15+20+20＝130厘米；方法三分出的4个小长方形的周长之和为15+15+15+15+20+20+20+20＝140厘米．所以，这些小长方形周长之和最大为150厘米．11．图19-12为某邮递员负责的邮区街道图，图中左下角处横线与竖线的交叉点为邮局，其余交叉点为邮户，每个小长方形的长为180米、宽为150米．如果邮递员每分钟行200米，在每个邮户停留半分钟，那么他从邮局出发走遍所有邮户，再回到邮局，最少要用多少分钟?[分析与解]此题关键是，求出最佳路径；显然不满足一笔画的条件，但是我们也只需将每个交点走过．观察下列走法：第1种方案，邮递员所需行走的路程为(180×5)×4+(150×3)×2＝4500米；第2种方案，邮递员所需行走的路程为(180×5)×2+(3×150)×6＝4500米；第3种方案，邮递员所需行走的路程为(180×5)×2+(150×3)×2+(150×2)×4＝3900米；第4种方案，邮递员所需行走的路程为(180×5)×2+(180×4)×2+(150×3)×2＝4140米；所以，第3种方案所行路程最短，即至少需走3900米，有6×4－1＝23个邮户，所以所需时间为：3900÷200＋(6×4－1)×0.5＝19.5＋11.5＝31分钟．12．如图19-13，一个长方形被分成6个正方形，其中最小的正方形的边长是1．那么这个长方形的周长是多少?[分析与解]如下图所示，我们设左下角的正方形边长为x，则其他四个正方形可以用x表示如下：有大长方形的两个长相等，有(x+1)+(x+2)＝(x)+(x-1)+(x-1)，即x+x+3＝x+x+x－2，所以x＝5，于是长方形的长为(5+1)+(5+2)＝13，长方形的宽为(5+1)+5＝11，所以这个长方形的周长为(13+11)×2＝48．13．一个人从某点出发步行，前进20米就向右转15度，再前进20米又向右转15度，……，这样走了一圈后回到了出发点．那么当他回到出发点时一共走了多少米?[分析与解]这个人转了一圈回到原出发点，则转了360°，于是转了360÷15＝24次，所以共走了24×20＝480(米)．14．如图19-14，纸板上已经画有一个60°的角．请你用一个正方形模板做工具，在纸板上画出一个75°的角．[分析与解]注意到75°＝60°+(60°－45°)，其中的45度角可通过连接正方形的对角线而得到．所以，可以如下操作：15．如图19-15，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5等于多少度?[分析与解]如下图所示：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5 ＝∠1+∠3+∠5+∠7 ＝∠1+∠3+∠6＝180°。
平面几何中的角度关系与计算
角度是描述两条 射线或线段之间 夹角的重要概念
角度的取值范围 是0°到360°
角度的度量单位
度：将圆周分为360等份，每一份所对的角的大小 分：度的一百分之一，即60秒 秒：分的百分之一，即60秒
角度的分类
锐角：小于90度的角
钝角：大于90度且小于180度的 角
添加标题
添加标题
直角：等于90度的角
单击此处添加标题
角度关系的证明技巧：在数学竞赛中，角度关系的证明需要一定的技巧， 例如利用三角形的性质、平行线的性质等来证明角度关系。
感谢观看
汇报人：XX
添加 标题
天文学中的星体定位：通过平面几何角度关 系，天文学家可以确定星体的位置和运动轨 迹，这对于导航和空间探索具有重要意义。
添加 标题
工程设计中的机械零件配合：在机械工程中， 平面几何角度关系对于确定机械零件的配合 精度和稳定性至关重要，直接影响机械设备 的性能和寿命。
添加 标题
地理信息系统中的地图投影：在地理信息系 统中，平面几何角度关系用于将地球上的经 纬度坐标转换为地图上的平面坐标，这对于 地图制作和地理数据分析至关重要。
建筑设计：在建筑设计过程中，利用角度关系确定建筑物的朝向、采光和通风等
机械设计：在机械设计中，角度关系对于确定零件的位置、运动轨迹和机械性能至关重 要
道路设计：在道路设计中，利用角度关系确定道路的坡度、弯度和排水等，以确保行车 安全和排水顺畅
在科学研究中的应用
添加 标题
物理学中的光学研究：平面几何角度关系在 光学研究中有着重要的应用，如反射、折射 等光线的传播方向与角度的关系。
注意事项：使用量角器时，要确 保量角器的中心与角的顶点重合， 并且要选择合适的量角器规格， 以免测量误差过大
人教版七年级数学上第四章几何图形初步知能素养小专题(六) 角度的计算习题课件
七年级 数学 上册 人教版
类型四：分类讨论思想求角度 7．(辉县期末)在平面上，已知∠AOB＝80°，∠BOC＝50°，若 OM 平分 ∠AOB，ON 平分∠BOC，求∠MON 的度数．
七年级 数学 上册 人教版
解：分两种情况计算：
如图①，当 OC 落在∠AOB 的内部时，
因为 OM 平分∠AOB，
七年级 数学 上册 人教版
(2)因为 OC 平分∠AOD，∠COE＝∠1＋∠3＝70°， 所以∠3＝∠4＝70°－∠1. 又因为∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°， 所以∠1＋∠2＋2(70°－∠1)＝180°， 所以∠2＝40°＋∠1， 因为∠2＝3∠1，即 40°＋∠1＝3∠1，所以∠1＝20°， 所以∠2＝3∠1＝3×20°＝60°. 即∠2 的度数为 60°.
七年级 数学 上册 人教版
如答图①，当∠AOD 在∠AOB 外部时，
因为∠COD＝∠AOC＋∠AOD＝60°，
OE 是∠COD 的平分线，
1
1
所以∠COE＝2∠COD＝2×60°＝30°，
所以∠AOE＝∠AOC－∠COE＝10°；
答图①
七年级 数学 上册 人教版
如答图②，当∠AOD 在∠AOB 内部时， 因为∠COD＝∠AOC－∠AOD＝20°， OE 是∠COD 的平分线， 所以∠COE＝12∠COD＝12×20°＝10°， 所以∠AOE＝∠AOC－∠COE＝30°. 所以∠AOE 的度数为 10°或 30°.
答图②
七年级 数学 上册 人教版
(3)若把“∠AOB＝70°，∠BOC＝30°”改为“∠AOB 是锐角，且∠AOB ＝n°，∠BOC＝25n°”，(2)中的其余条件不变，请直接写出∠AOE 的度数 为________(用含 n 的式子表示)．
角度知识点总结
角度知识点总结角度是几何中常见的概念，它用来描述两条线段之间的旋转关系。
在几何学中，角度是一种基本的概念，而对角、平角、余角等也是常见的角度相关概念。
本文将围绕角度的基本概念、几何角和角度的测量、角度的运算、角度的性质以及角度的应用等方面展开角度知识点总结。
一、角度的基本概念1.1 角度的定义角度是用来描述两条射线之间的旋转关系的概念。
在数学中，角度的定义是一种用尺度来表示的物理量，通常用来描述物体的旋转情况。
一个完整的圆周是360度，因而可以用角度来描述圆周运动的情况。
1.2 角度的符号表示角度通常用一个小圆圆圈的方式来表示，如图1所示。
（插入图1：角度符号表示）在数学中，角度的表示方式有时也使用字母来表示，如角A、角B等。
1.3 角度的种类根据角度的大小和旋转方向，角度可分为直角、钝角、锐角、负角、正角等不同的类型。
1.4 角度的性质角度具有以下基本性质：（1）角度是向量的旋转性质；（2）角度的大小可以用尺度来表示；（3）一个完整的圆周对应360度。
二、几何角和角度的测量2.1 几何角的定义在几何学中，角是指由两条线段或两个射线所夹的部分。
它是由两条射线共同起点上的一个平面角，如图2所示。
（插入图2：几何角的示意图）2.2 角度的测量角度的测量通常使用度（°）、分（′）、秒（″）等单位。
在直角坐标系中，角度的度数通常从x轴正半轴的正方向逆时针旋转测量，角度的度数范围是0°-360°。
三、角度的运算3.1 角度的加减运算角度的加减运算是根据旋转的方向和大小来进行的。
例如，如果一个角度是90°，另一个角度是60°，那么它们的和是150°。
另外，当角度相加得到一个等于360°的结果时，说明这两个角度补角，它们互为补角，即它们的和是一个直角。
3.2 角度的乘除运算角度的乘除运算需要根据具体的问题来进行。
一般来说，角度的乘除运算是指一个角度与一个常数的乘除运算，或者两个角度之间的乘除运算。
空间几何中的角度计算和距离计算
点到直线的距离
两平行线间的距离
两平行平面之间的距离
点到平面的距离ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
问题2
求直线与平面所成角的基本思想和方法
求直线和平面所成的角,几何法一般先定斜足,再作垂线找射影,然后通过
求解,可以简述为“作(作出线面角)→证(证所作为所求)→求(解直角三角形)”.通常,通过斜线
上某个特殊点作出平面的垂线段,垂足和斜足的连线是产生线面角的关键.
∴点 O 到平面 PEF 的距离就是 OG 的长,
由 AB=4,PC=3 易求得 HC=3 2,OH= 2,PH=3 3.
由△OGH∽△PCH 得:OG=
·
=
6
2× 3
3 3
∴点 B 到平面 PEF 的距离等于 .
3
6
= .
3
在三棱锥 P-ABC 中,侧面 PAC 与面 ABC 垂
直,PA=PB=PC=3.
AB-D 的大小为(
).
A.30°
B.60°
C.120°
D.60°或 120°
【解析】 两个半平面的垂线所成的角,与二面角相
等或互补,故选 D.
在三棱锥 A-BCD 中,AD⊥底面 BCD,BD⊥DC,AD=BD=DC=1,
3
则点 D 到平面 ABC 的距离 h=
.
3
【解析】等体积法:VA-BCD=VD-ABC,所以
(2)由(1)知 EF∥BD,BD⊄平面 PEF,
∴BD∥平面 PEF,
设 AC,BD 交于点 O,则点 B 到平面 PEF 的距离等于点 O 到
平面 PEF 的距离,作 OG⊥PH 交 PH 于点 G,
∵EF⊥平面 PCH,OG⊂平面 PCH,
初中数学角度经典练习题
初中数学角度经典练习题
以下是一些初中数学角度方面的经典练题，供学生们进行练和巩固知识。
1. 问题：已知一个角的补角是100度，求这个角的度数。
解析：两个角的和为180度，所以这个角的度数为80度。
2. 问题：已知一个角的补角是60度，求这个角的度数。
解析：同样，两个角的和为180度，所以这个角的度数为120度。
3. 问题：已知两个角的度数分别是30度和65度，求它们的补角。
解析：两个角的和为180度，所以第一个角的补角是150度，第二个角的补角是115度。
4. 问题：已知直角三角形的一个角是30度，求另外两个角的度数。
解析：直角三角形的两个角相加为90度，所以另外两个角的度数分别是60度和90度。
5. 问题：已知平行线与一条横截线相交，求对应的内错角的度数。
解析：内错角的度数等于对应的同位角的度数，所以对应的内错角的度数相等。
这些经典练习题可以帮助学生们巩固和运用角度相关的知识。
通过反复练习和解题，学生们可以更好地理解数学中的角度概念和运算方法，提高数学解题能力。
一年级数学上册不同角度思考问题
一、概述在小学一年级的数学上册教材中，有很多有趣的数学问题和题目。
这些问题既能培养孩子的数学思维，又能增加他们对数学的兴趣。
而在解决这些问题时，我们可以从不同的角度来思考，有助于培养孩子的多元思维能力。
下面将从几个不同的角度来思考一年级数学上册的问题，希望可以为教师们在教学中提供一些参考。
二、问题一：1+2=?1. 从计算角度思考这个问题实际上是一个加法计算问题，孩子应该学会用手指或其他辅助工具进行计算，培养他们的基本运算能力。
2. 从几何角度思考我们可以让孩子用小玩具或者其他物品来表示1和2，然后让他们进行合并，这样可以让孩子从几何的角度理解加法的概念。
3. 从逻辑角度思考通过这个问题，可以引导孩子思考1和2相加后的结果，让他们学会通过逻辑推理得出正确答案。
三、问题二：4-2=?1. 从计算角度思考这是一个减法计算问题，孩子们需要学会用相应的手指或者其他方法进行计算，培养他们的减法运算能力。
2. 从图形角度思考我们可以让孩子用小玩具或者其他物品进行表示，并进行相应的操作，让他们从图形上理解减法概念。
3. 从实际生活中角度思考我们可以用一些实际生活中的例子，如拿走一部分物品，让孩子们通过这些例子来理解减法的实际含义。
四、问题三：3+2=?1. 从计算角度思考同样是一个加法问题，引导孩子进行手指或其他辅助计算，加强他们的计算能力。
2. 从分数角度思考可以通过将物品分成3份和2份，然后让孩子进行合并，从而引导他们从分数的角度理解加法的概念。
3. 从实际生活中角度思考可以用一些实际生活中例子，如拿3个苹果和2个橙子，进行加法运算，让孩子从实际生活中理解加法的含义。
五、问题四：7-3=?1. 从计算角度思考这是一个相对较难的减法问题，需要引导孩子进行手指或其他方法进行计算，加强他们的减法运算能力。
2. 从图形角度思考可以通过小玩具或其他物品进行表示，让孩子对于减法有一个直观的图形认识。
3. 从游戏角度思考可以设计一些基于减法的游戏，如“拔萝卜”游戏等，让孩子在玩中学，从而加深对减法的理解。
专题17几何计算线段角度及面积
(十一)几何计算角度及面积计算考点分析：证明与计算，是几何命题的两大核心内容。
几何计算主要包括：线段长度的计算、角度计算、面积计算，通常需要借助几何中的概念、定义、定理、公理等知识，求解相关几何元素的数值。
在解题时，要求能准确灵活地选用有关知识，采用各种数学方法（既可以是几何方法，也可以是代数方法），加以求解。
为了能在有限的时间内，迅速准确地解题，就需要在平时练习中，强化基础题，多采用一题多解、优化方案等训练方法，积累经验，达到熟能生巧的效果。
一、线段长度计算线段长度计算的四种基本模型:1.将线段长度的求解转化为线段和、差或等量线段的计算.例1．如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线一点，当PA＝CQ时，连接PQ交AC于D，则DE的长为2.利用直角三角形的边角关系求线段长度.例2 (2018·黄冈中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝5，则CD＝( )A．2 B．3 C．D．233.利用相似构造线段比例关系求线段长，例3.(2019·济南市)如图，在矩形纸片ABCD中，将AB沿BM翻折，使点A落在BC上的点N处，BM为折痕，连接MN；再将CD沿CE翻折，使点D恰好落在MN上的点F处，CE为折痕，连接EF并延长交BM于点P，若AD＝8，AB＝5，则线段PE的长等于．4.利用图形面积关系求线段长例4（2017·济南市）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝3，E为OC上一点，OE＝1，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，与BD交于点G，则BF的长是（）A．B．2 C． D．建模:初中几何中关于线段长度的计算，主要有四种模型:①利用线段和、差或等量关系求线段长;②解直角三角形求线段长;③利用相似关系求线段长;④利用面积关系求线段长，大家在解决线段长度的计算时，注意利用图形信息，选择合适的模型.二、面积计算问题基本策略：1.直接计算:三角形面积公式s=12ah= 12(a +b+c)r(r 是三角形内切圆半径),S=12铅直高x 水平宽(坐标系中)2.割补转化.3.等积变形:等底等高的两三角形面积相等.4.面积比问题{直接求比{找相似三角形找等底等高的三角形关注基本单元进行拓展计算无法直接求比无法直接求比:分别计算各自面积,再求比值例1．△ABC 中，∠C ＝90°，内切圆与AB 相切于点D ，AD ＝2，BD ＝3，则△ABC 的面积为（ ）A ．3B ．6C ．12D ．无法确定例2．（2019·济南市）如图，在菱形ABCD 中，点E 是BC 的中点，以C 为圆心、CE 为半径作弧，交CD 于点F ，连接AE 、AF ．若AB ＝6，∠B ＝60°，则阴影部分的面积为（ ）A ．9﹣3πB ．9﹣2πC ．18﹣9πD ．18﹣6π例3．（2019·槐荫一模）如图，线段AB ＝4，点C 为线段AB 上任意一点(与端点不重合)，分别以AC 、BC 为边在AB 的同侧作正方形ACDE 和正方形CBGF ，分别连接BF 、EG 交于点M ，连接CM ，设AC ＝x ，S 四边形ACME＝y ，则y 与x 的函数表达式为y ＝____________．例4．(2019·常德中考)如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC 的面积为42，则四边形DBCE 的面积是( )A ．20B ．22C ．24D ．26三．角度相关计算1、求角度基本策略：利用多边形内角和、外角关系、互余、互补、等角转化以及圆中的等角关系，进行具体角度的计算,重点是关注角度的和、差关系转化；例1、(2019·德州中考)如图，点O 为线段BC 的中点，点A ，C ，D 到点O 的距离相等，若∠ABC ＝40°，则∠ADC 的度数是( )A ．130°B ．140°C ．150°D ．160°2、求三角函数值基本策略：把所求角放到直角三角形中,往往作高构造直角三角形，解决这类题目要思维灵活，如果直接构造直角三角形,求解条件不够充分或是数据非常复杂时，应当关注是否存在等角转化，有时等角转化后再解直角三角形可以大大降低解题难度.大家在练习中逐步培养等角转化的意识，提高此类问题的解决能力.例2.（2019济南市中一模）有这样一道题：如图，在正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上，连接DH，如果BC＝12，BF＝3，则tan∠HDG的值为（）A．B． C． D．例3．（2019·上海中考）如图，在正方形ABCD中，E是边AD的中点．将△ABE沿直线BE翻折，点A落在点F处，联结DF，那么∠EDF的正切值是．针对性练习A组1．(2018·福建中考)如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于( )A．15°B．30°C．45°D．60°2.(2018·青岛中考)如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠AOC＝140°，点B是的中点，则∠D的度数是( )A．70°B．55° C．35.5°D．35°3．（2016济南）如图，在▱ABCD中，AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点E，CG⊥BE，垂足为G，若EF＝2，则线段CG的长为（）A．B．4C．2D．1题图 2题图 3题图4．（2019历下二模）如图，在矩形ABCD中，BC＝2，AE⊥BD，垂足为E，∠BAE＝30°，则tan∠DEC的值是（）A．1 B．C．D．5（2019历城一模）如图，在扇形OEF中，∠EOF＝90°，半径为2，正方形ABCD的顶点C是的中点，点D在OF上，点A在OF的延长线上，则图中阴影部分的面积为．4题图 5题图 6题图6.如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，且DE∥AC，AE，CD相交于点O，若S△DOE∶S△COA ＝1∶16，则S△BDE与S△CDE的比是_________．7．（2019历城一模）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是AB上的一个动点（不与点A，B重合），连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接DE，DE与AC 相交于点F，连接AE，若，AD＝2BD，则CF等于（）A．B．C．D．8（2019年青岛中考）如图，在正方形纸片ABCD 中， E 是CD 的中点，将正方形纸片折叠，点B 落在线段AE 上的点G 处，折痕为AF ．若AD＝4 cm，则CF 的长为 cm ．7题图 8题图 9题图B组．9、(2018·枣庄中考)如图，在正方形ABCD中，AD＝2 ，把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则三角形PCE的面积为.10.(2018·绵阳中考)如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝2，ADCB，CE＝CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，若AE＝＝6，则两个三角形重叠部分的面积为( )10、（2016济南中考）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝8，AD＝10，点E是CD中点，将这张纸片依次折叠两次；第一次折叠纸片使点A与点E重合，如图2，折痕为MN，连接ME、NE；第二次折叠纸片使点N与点E重合，如图3，点B落到B′处，折痕为HG，连接HE，则tan∠EHG＝．。
三角形角度问题带参考答案
条件
OC 在∠AOB 内 OM 平分∠AOC， ON 平分∠BOC
OC 在∠AOB 外 OM 平分∠AOC， ON 平分∠BOC
∠AOB 为平角 OM 平分∠AOC， ON 平分∠BOC
图示
结论 证明 总结
∠MON=12∠AOB
∠MON=12∠AOB
∠MON=12∠AOB=90°
∵OM 平分∠AOC，ON 平分∠BOC， ∵OM 平分∠AOC，ON 平分∠BOC，
∵∠D+∠E=180°+∠A, ∠P=90°+ 12∠A,
∴∠D+∠E=2∠P
五、常见模型+双角平分线
条件
8 字形+ AP 平分∠BAC， CP 平分∠DCB
飞镖+ AP 平分∠BAD， CP 平分∠BCD
小鱼+ AP 平分∠EAD， CP 平分∠DCF
图示
结论
∠P= 12（∠B+∠D）
∠P= 12（∠B+∠D）
∠2+∠BEB'=180°, ∴∠1+∠BDB'+∠2+∠BEB'=360°
又 ∵ ∠ B+ ∠ B’+ ∠ BDB+ ∠ BEB'=360°，∠B=∠B’ ∴∠1+∠2=2∠B
如图, ∵∠1=∠B+∠3,
∠3=∠B’+∠2, ∠B=∠B’ ∴∠1=2∠B+∠2 ∴∠1-∠2=2∠B
如图, ∵∠2=∠B+∠3,
★邻补角（两个角）的 角平分线互相垂直
根据角平分线和角度和差计算，得到关系
三、三角形的双角平分线
条件
两内 △ABC，BP 平分∠ABC， CP 平分∠ACB
【初一数学】三角形有关角度的计算,与两线、内外角、折叠结合
【初一数学】三角形有关角度的计算，与两线、内外角、折叠结合初一下学期，还是以代数为主，但是几何知识也不要忽略。
在几何题中，除了常考查的证明题外，也有计算题，常见的计算题有角度的计算、线段长度的计算、几何图形面积的计算。
在初一下学期，学习的几何知识点主要有相交线与平行线、三角形，因此几何计算中以角度的计算为主，也会与角平分线、高线、内角和定理、外角和定理、几何图形变换之折叠变换等知识点相结合，有些题目的难度较大，可能会作为压轴题出现在考试中。
类型一：与两线（角平分线、高线）相结合例题1：如图，在△ABC 中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AD于点E，DF∥BE交AC于点F，若∠C=70°，∠BAC=58°．（1）求∠ABE的度数；（2）求∠ADF的度数．分析：（1）依据三角形内角和定理，即可得到∠ABC的度数，再根据角平分线的定义，即可得到∠ABE的度数；（2）依据高线的定义，即可得出∠BED的度数，由BE∥DF，根据两直线平行，内错角相等即可得到结论。
解：（1）∵∠C=70°，∠BAC=58°，∴∠ABC=52°，又∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠DBE=1/2∠ABC=26°．（2）∵AD是BC边上的高，∴∠BED=90°-26°=64°，又∵DF∥BE，∴∠ADF=∠BED=64°．在直角三角形中，两个锐角互余，解题时注意有运用两直线平行，内错角相等。
类型二：与内角和相结合例题2：如图，已知∠1=20°，∠2=25°，∠A=55°，求∠BDC的度数．分析：根据三角形的内角和等于180°列式求出∠DBC+∠DCB，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解。
解：∵∠1=20°，∠2=25°，∠A=55°，∴∠DBC+∠DCB=180°-20°-25°-55°=80°，在△BCD中，∠BDC=180°-（∠DBC+∠DCB）=180°-80°=100°．解本题时要注意整体思想的使用，不是每个角的度数都能直接求出，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键。
2023年九年级中考数学复习：几何探究压轴题(角度问题)(附答案)
2023年九年级中考数学复习：几何探究压轴题（角度问题）1．已知：正方形ABCD ，以A 为旋转中心，旋转AD 至AP ，连接BP DP 、．(1)若将AD 顺时针旋转30︒至AP ，如图1所示，求BPD ∠的度数？ (2)若将AD 顺时针旋转α度()090α︒<<︒至AP ，求BPD ∠的度数？(3)若将AD 逆时针旋转α度()0180α︒<<︒至AP ，请分别求出090α︒<<︒、90α=︒、90180α︒<<︒三种情况下的BPD ∠的度数（图2、图3、图4）．2．如图1所示，将一个长为6宽为4的长方形ABEF ，裁成一个边长为4的正方形ABCD 和一个长为4、宽为2的长方形CEFD 如图2．现将小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转至CE F D '''，旋转角为a ．(1)当点D 恰好落在EF 边上时，求旋转角a 的值；(2)如图3，G 为BC 中点，且0°＜a ＜90°，求证：GD E D ''=；(3)小军是一个爱动手研究数学问题的孩子，他发现在小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转一周的过程中，DCD '与CBD '△存在两次全等，请你帮助小军直接写出当DCD '与CBD '△全等时，旋转角a 的值．3．图1是边长分别为a 和()b a b >的两个等边三角形纸片ABC 和CDE 叠放在一起（C 与C '重合）的图形．(1)操作：固定ABC ，将CDE 绕点C 按顺时针方向旋转20°，连结AD ，BE ，如图2，则ECA ∠=___ ___度，并直接写出线段BE 与AD 的数量关系____ ．(2)操作：若将图1中的CDE ，绕点C 按顺时针方向旋转120°，使点B 、C 、D 在同一条直线上，连结AD 、BE ，如图3．①线段BE 与AD 之间是否仍存在（1）中的结论？若是，请证明；若不是，请直接写出BE 与AD 之间的数量关系；②求APB ∠的度数．(3)若将图1中的CDE ，绕点C 按逆时针方向旋转一个角()0360αα<<︒，当α等于多少度时，BCD △的面积最大？请直接写出答案．4．我们定义：如图1，在△ABC 中，把AB 绕点A 顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB '，把AC 绕点A 逆时针旋转β得到AC ′，连接B 'C '，当a +β＝180°时，我们称△AB 'C '是△ABC 的“旋补三角形”，△AB 'C 边B 'C '上的中线AD 叫做△ABC 的“旋补中线”．(1)[特例感知]在图2，图3中，△AB 'C ′是△ABC 的“旋补三角形”，AD 是△ABC 的“旋补中线”． ①如图2，当△ABC 为等边三角形，且BC ＝6时，则AD 长为 ． ②如图3，当∠BAC ＝90°，且BC ＝7时，则AD 长为 ．(2)[猜想论证]在图1中，当△ABC 为任意三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系，并给予证明．（如果你没有找到证明思路，可以考虑延长AD 或延长B 'A ，…）(3)[拓展应用]如图4，在四边形ABCD 中，∠BCD ＝150°，AB ＝12，CD ＝6，以CD 为边在四边形ABCD 内部作等边△PCD ，连接AP ，BP ．若△P AD 是△PBC 的“旋补三角形”，请直接写出△PBC 的“旋补中线”长及四边形ABCD 的边AD 长．5．如图，已知正方形ABCD ，点E 为AB 上的一点，EF AB ⊥，交BD 于点F ．(1)如图1，直按写出DFAE的值____ ___； (2)将△EBF 绕点B 顺时针旋转到如图2所示的位置，连接AE 、DF ，猜想DF 与AE 的数量关系，并证明你的结论；(3)如图3，当BE =BA 时，其他条件不变，△EBF 绕点B 顺时针旋转，设旋转角为(0360)αα︒<<︒，当α为何值时EA =ED ?请在图3或备用图中画出图形并求出α的值．6．如图，已知正方形ABCD ，将AD 绕点A 逆时针方向旋转(090)n n ︒<<到AP 的位置，分别过点C D 、作,CE BP DF BP ⊥⊥，垂足分别为点E 、F ．(1)求证：CE EF =；(2)联结CF ，如果13DP CF =，求ABP ∠的正切值；(3)联结AF ，如果AF AB =，求n 的值．7．把两个等腰直角△ABC 和△ADE 按如图1所示的位置摆放，将△ADE 绕点A 按逆时针方向旋转，如图2，连接BD ，EC ，设旋转角α（0°＜α＜360°）．（Ⅰ）当DE ⊥AC 时，旋转角α＝ 度，AD 与BC 的位置关系是 ，AE 与BC 的位置关系是 ；（Ⅱ）当点D 在线段BE 上时，求∠BEC 的度数； （Ⅲ）当旋转角α＝ 时，△ABD 的面积最大．8．已知：在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，30BAC ∠=︒，将ABC 绕点A 顺时针旋转一定的角度α得到AED △，点B 、C 的对应点分别是E 、D ．（1）如图1，若60α=︒时，连接BE ，求证：AB BE =； （2）如图2，当点E 恰好在AC 上时，求CDE ∠的度数；（3）如图3，点B 、C 的坐标分别是()0,0，()0,2，点Q 是线段AC 上的一个动点，点M 是线段AO 上的一个动点，是否存在这样的点Q 、M 使得CQM 为等腰三角形且AQM 为直角三角形？若存在，请求出满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．9．把边长分别为4和6的矩形ABCO 如图放在平面直角坐标系中，将它绕点C 顺时针旋转a 角，旋转后的矩形记为矩形EDCF ．在旋转过程中，（1）如图①，当点E 在射线CB 上时，E 点坐标为；（2）当△CBD 是等边三角形时，旋转角a 的度数是（a 为锐角时）； （3）如图②，设EF 与BC 交于点G ，当EG=CG 时，求点G 的坐标；（4）如图③，当旋转角a=90°时，请判断矩形EDCF 的对称中心H 是否在以C 为顶点，且经过点A 的抛物线上．10．如图，ABC 是等边三角形，点D 是BC 边的中点，以D 为顶点作一个120︒的角，角的两边分别交直线AB AC 、于M 、N 两点，以点D 为中心旋转MDN ∠（MDN ∠的度数不变）(1)如图①，若DM AB ⊥，求证：BM CN BD +=；(2)如图②，若DM 与AB 不垂直，且点M 在边AB 上，点N 在边AC 上时，（1）中的结论是否成立？并说明理由；(3)如图③，若DM 与AB 不垂直，且点M 在边AB 上，点N 在边AC 的延长线上时，（1）中的结论是否成立？若不成立，写出BM CN BD 、、之间的数量关系，并说明理由．11．如图1，在Rt ABC △中，90,ACB AC BC ∠==，点D 为AB 边上的一点，将BCD △绕点C 逆时针旋转90得到ACE △，易得BCD ACE ≌，连接BE ．(1)求BCE ACD ∠∠+的度数．(2)当5,BC BD ==BE CE 、的长．(3)如图2，在(2)的条件下，取AD 中点F ，连接CF 交BE 于H ，试探究线段BE CF 、的数量关系和位置关系，并说明理由．12．如图①，ABC 和ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，点P 为射线,BD CE 的交点．(1)如图②，将ADE 绕点A 旋转，当C 、D 、E 在同一条直线上时，连接BD 、BE ，求证：BD CE =且BD CE ⊥．(2)若8,4AB AD ==，把ADE 绕点A 旋转， ①当90EAC ∠=︒时，求PB 的长；②旋转过程中线段BP 长的最小值是_____ __．13．如图1，ABC 中，90,30,ACB B AD ∠=︒∠=︒是角平分线，点E 、F 分别在边AC 、BC 上，45,CEF CF CD ∠=︒<、将CEF △绕点C 按逆时针方向旋转，使得EF 所在直线交线段AD 于点M ，交线段AB 于点N ．(1)当旋转75°时，如图2，直线EF 与AD 的位置关系是____ __，ANM ∠=__ ____°； (2)在旋转一周过程中，试探究：当CE 旋转多少度时，AMN 中有两个角相等．14．菱形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ．(1)如图1，过菱形ABCD 的顶点A 作AE BC ⊥于点E ，交OB 于点H ，若6AB AC ==，求OH 的长； (2)如图2，过菱形ABCD 的顶点A 作AF AD ⊥，且AF AD =，线段AF 交OB 于点H ，交BC 于点E ．当D ，C ，F 三点在同一直线上时，求证：2OH OA +=； (3)如图3，菱形ABCD 中，=45ABC ∠︒，点P 为直线AD 上的动点，连接BP ，将线段BP 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BQ ，连接AQ ，当线段AQ 的长度最小时，直接写出BAQ ∠的度数．15．（1）阅读理解利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法．如图1，点P 是等边三角形ABC 内一点，P A ＝1，PB PC ＝2．求∠BPC 的度数．为利用已知条件，不妨把△BPC 绕点C 顺时针旋转60°得AP C '△，连接PP '．利用这种变换可以求∠BPC 的度数，请写出推理过程； （2）类比迁移如图2，点P 是等腰Rt △ABC 内一点，∠ACB ＝90°，P A ＝2，PB PC ＝1．求∠APC 的度数．16．ABC 为等边三角形，AB ＝8，AD ⊥BC 于点D ，E 为线段AD 上一点，AE =AE 为边在直线AD 右侧构造等边三角形AEF ，连接CE ，N 为CE 的中点．(1)如图1，EF 与AC 交于点G ，连接NG ，BE ，直接写出NG 与BE 的数量关系；(2)如图2，将AEF △绕点A 逆时针旋转，旋转角为α，M 为线段EF 的中点，连接DN ，MN ．当30120α︒<<︒时，猜想∠DNM 的大小是否为定值，如果是定值，请写出∠DNM 的度数并证明，如果不是，请说明理由；(3)连接BN，在AEF△绕点A逆时针旋转过程中，请直接写出线段BN的最大值．17．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6．D、E分别是AB、AC边的中点，连接DE．现将△ADE绕A点逆时针旋转，连接BD，CE并延长交于点F．(1)如图2，点E正好落在AB边上，CF与AD交于点P．①求证：AE•AB＝AD•AC；②求BF的长；(2)如图3，若AF恰好平分∠DAE，直接写出CE的长．18．如图①，在ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，D为ABC内部的一动点（不在边上），连接BD，将线段BD绕点D逆时针旋转60°，使点B到达点F的位置；将线段AB绕点B顺时针旋转60°，使点A到达点E的位置，连接AD，CD，AE，AF，BF，EF．(1)求证：BDA≌BFE；(2)当CD+DF+FE取得最小值时，求证：AD∥BF．(3)如图②，M，N，P分别是DF，AF，AE的中点，连接MP，NP，在点D运动的过程中，请判断∠MPN 的大小是否为定值．若是，求出其度数；若不是，请说明理由．参考答案：1．(1)135︒(2)135︒(3)45︒，45︒，45︒2．(1)30°(3)135°，315°3．(1)40，BE ＝AD(2)①存在，②60°(3)当α＝150°或330°时，BCD △的面积最大4．(1)①3；②3.5(2)AD ＝12BC ，(3)339=AD5．2(2)2DF AE =，(3)α的值为30°或150°，6．(2)23；(3)307．（Ⅰ）45；垂直；平行；（Ⅱ）90BEC ∠=︒；（Ⅲ）90︒或270︒8．（2）15°；（3）存在，23,03M ⎫⎪⎭或()423,0- 9．（1）E （4，13；（2）60°；（3）13(4,)3G ； （4）点H 不在此抛物线上．10．(2)成立，(3)不成立，BM CN BD -=，11．(1)180BCE ACD ∠+∠=︒(2)BE =CE =(3)2BE CF =；BE CF ⊥，12．(2)①PB =；②413．(1)垂直，60(2)当CE 旋转45°，90°，270°，315°时，△AMN 中有两个角相等14．(3)75︒15．（2）90°16．(1)2BE NG =(2)∠DNM 的大小是定值，为120°(3)17．(1)②18．(3)∠MPN 的值为定值，30°．。
【新】七年级上册 数学 人教版 几何图形的初步 角度及其计算【例题+练习题】
角度1. 知识要点回顾1、角：由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角。
2、角的表示法（四种）：（1）用三个大写英文字母表示任意一个角（角的顶点必须写在中间，其它两个字母可以调换位置）；（2）用一个大写英文字母表示一个独立．．的角（在一顶点处只有一个．．．．角）； （3）加弧线、标数字表示一个角 （在一个顶点处有两个以上角时，建议使用此法）； （4）加弧线、标小写希腊字母表示一个角。
3、角的度量单位及换算●1个周角=2个平角=4个直角=360° ●1°=60′=3600″●用一副三角尺能画的角都是15°的整数倍 4、角的分类∠β 锐角 直角 钝角平角 周角 范围0＜∠β＜90°∠β=90°90°＜∠β＜180°∠β=180°∠β=360°5、角的平分线定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做角的平分线。
·如图，射线OB 是∠AOC 的平分线，则有∠AOB=∠BOC=21∠AOC 或 2∠AOB=2∠COB=∠AOC用几何语言表示就是：∵OB 平分∴∠AOB=∠BOC=21∠AOC（或 2∠AOB=2∠COB=∠AOC ）类似的，从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的n 个角的射线，叫做这个角n 等分线。
6、互余、互补（1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角。
其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角。
（2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角。
其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角。
（3）余（补）角的性质：等角的补（余）角相等。
7、方向角 （1）正方向（2）北（南）偏东（西）方向 （3）东（西）北（南）方向用角度表示方向：一般以正北、正南为基准，用向东或向西旋转的角度表示方向，如图所示，OA 方向可表示为北偏西60º 。
几何语言2.例题剖析例11、计算：56695376)1('︒+'︒757123(2)180'''︒-︒（3）'"562512︒=_________° （4）36.52°=_____°______′______″2、2点30分时，时钟与分钟所成的角为度．3、60°=____平角；32直角=______度；65周角=______度。
小学数学 几何图形中角度的计算 PPT带答案带作业
作业9:
下图由三条直线相交而成，∠1=58°，∠2=42°，则∠3是多少度？
3
4
1
2
∠3=∠4 ∠1+∠2+∠4=180° ∠3=180°-∠1-∠2=180°-58°-42°=80°
作业10:
如图，∠1=∠3=∠5=69°，∠2=∠4=50°，求∠6的度数。
2 1
3
4 6
5
多边形外角和=360° ∠6=360°-（∠1+∠2+∠3+∠4+∠5） ∠6=360°-69°×3-50°×2=53°
（1）三角形内角和：180°
（2）四边形内角和：180°×2=360° （3）五边形内角和：180°×3=540°
总结：多边形内角和=（边数-2） ×180°
练习1
一个六边形的内角和是多少度？
六角形内角和：180°×（6-源自）=720°例题2如图，在三角形中，∠1=70°，∠2=50°, 求∠3 的度数。
1
∠1=∠5，∠2=∠4
5
∠3+∠4+∠5=∠1+∠2+∠3=180°
∠3=180°-∠1-∠2=180°-40°-75°=65°
4
3
2
总结：对顶角相等
练习3
如图，∠1=40°，∠2=70°，∠3=45°，求∠4的度数。
1
4
56
2 3
∠1+∠2+∠5=180°， ∠3+∠4+∠6=180°
∠5=∠6 ∠1+∠2=∠3+∠4
作业6:
一个等腰三角形的顶角是80°，那么它的底角是多少度？
（180°-80°）÷2=50°
用三角巧解几何角度计算问题
用三角巧解几何角度计算问题（三）河南师大附中 赵振华近来许康华竞赛优学连续登出了许多比较优美的几何计算问题，笔者习作之余，发现这类问题用三角处理起来也是可以有章可循的，不过部分题目会用到一个三角恒等式4sin α sin(60︒α) sin(60︒-α)sin α= sin3α（或余弦）的结论，做起来感觉很好，这里我从第25题开始解答，欢迎大家批评指正。
题25.设D 为△ABC 内部一点，且∠ABD=18°，∠DBC=15°，∠BCA=63°，∠CAD=55.5°.求∠ADC 。
解：设∠BCD=θ，则∠ACD=63°-θ ,∠BAD=28.5°∴ 1=DA DB ×DB DC ×DC DA =sin18sin 28.5°°×sin sin(63)θθ︒-×sin 55.5sin15°°∴θθsin )63(sin -︒=sin18sin 55.5sin 28.5sin15︒︒︒︒ ……① 又∵2cos36°cos72°=sin1442sin 36°°=12=sin30°=2sin15°cos15° ∴cos36°cos72°-cos75°sin18°=sin15°cos15°-sin15°sin18°∴sin18°(cos36°-cos75°)=sin15°(cos15°-cos72°)∴2sin18°sin55.5°sin19.5°=2sin15°sin43.5°sin28.5° ∴sin18sin 55.5sin 28.5sin15︒︒︒︒=sin 43.5sin19.5°°……② 由①②可知：θθsin )63(sin -︒=sin 43.5sin19.5°°=sin(6319.5)sin19.5︒-︒︒ ∴θ=19.5° ∴63°- θ=43.5°∴∠ADC=180°-55.5°-43.5°=81°∴∠ADC 为81°.题26.直角△ABC 中，∠ABC=90°，点D ，E 分别在直角边AB ，BC 上，∠CDE=10°，∠BED=20°，∠DEA=30°. 求∠DCA.解：设∠ACD=α，则∠CAE=40°-α，∠EAB=40°∴1=DE EC =DE EA ×EA EC =sin 40sin 70°°·sin(10)sin(40)αα︒+︒-∴)10sin()40(sin αα+-︒︒=sin[50(10)]sin(10)αα︒-︒+︒+=sin 40sin 70°°=2sin20°=sin 20sin 30°°=sin(5030)sin 30︒-︒︒ ∴10︒＋α=30°∴α=20°.∴∠DCA=20°.题27.等腰△ABC 中，AB=AC,∠CAB=120°.点D 位于边AB 上，点E 位于边AC 上，且∠EBC=24°，∠BCD=12°.证明：DB=DE 。
平面几何中的线段与角度计算
平面几何中的线段与角度计算在平面几何学中，线段和角度是两个基本的概念。
线段是一个有两个端点的直线部分，它可以通过测量长度来确定。
而角度是由两条交叉的线段形成的空间区域，用于描述物体之间的方位关系。
在本文中，我们将讨论线段的计算和测量，以及角度的计算方法。
一、线段的计算和测量方法1. 直尺法直尺法是一种常用的线段计算和测量方法。
首先，我们需要一把直尺，将其边与线段的一端对齐，然后沿着直尺的边缘延伸，直到达到线段的另一端。
通过读取直尺上的刻度，我们可以得到线段的长度。
2. 钢尺法钢尺法也是一种常用的线段计算和测量方法。
与直尺法类似，我们需要一把刻有刻度的钢尺。
将钢尺的一端对齐线段的一端，然后延伸钢尺直到达到线段的另一端。
通过读取钢尺上的刻度，我们可以得到线段的长度。
相比直尺法，钢尺法的精度更高。
3. 割线法割线法是一种通过几何原理计算线段长度的方法。
首先，我们需要一块刻有刻度的长直板。
将直板上的一条边与线段的一端对齐，并用手指按住与线段相切的另一条边。
然后，将直板沿着手指的位置移动，直到与线段的另一端相切。
通过读取直板上的刻度，我们可以得到线段的长度。
二、角度的计算方法1. 量角器法量角器是一种用于测量和计算角度的工具。
将量角器的一个端点对齐于角的顶点，然后将量角器的另一条边与角的一条边对齐。
通过读取量角器上的刻度，我们可以得到角的度数。
2. 三角函数法三角函数是一种用于计算角度的数学工具。
在平面几何中，常用的三角函数有正弦、余弦和正切等。
通过使用三角函数的定义和性质，我们可以计算某些特定角度的值。
3. 直观估计法在某些情况下，我们可以通过直观估计的方式得到角度的近似值。
例如，对于钝角或锐角，我们可以根据视觉判断来估计其大致值。
这种方法通常用于大致的角度计算，不适用于精确的测量。
结论通过直尺法、钢尺法和割线法，我们可以计算和测量线段的长度。
而借助量角器法、三角函数法和直观估计法，我们可以计算角度的大小。
角度和几何计算问题 56页PPT文档
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
重点：分析问题情景，将角度测量与几何计算问题转化为 解三角形问题．
难点：运用解三角形的知识解决有关几何计算问题和三角 形边角恒等式的证明思路．
第一章 1.2 第3课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
学习要点点拨
第一章 1.2 第3课时
成才之路·数学
人教A版 ·必修5
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
第一章
解三角形
第一章 解三角形
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
第一章
1．2 应用举例
第一章 解三角形
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
第一章
第 3 课时 角度和几何计算问题
第一章 解三角形
第一章 1.2 第3课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
[解析] O 点受三个力的作用，灯线的拉力 F，方向向下， 灯杆 OA 的拉力 F1，方向与O→A同向，灯杆 OB 的支持力 F2 方 向与B→O同向，三力平衡，∴F＋F1＋F2＝O.
第一章 1.2 第3课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
第一章 1.2 第3课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
3．力的分解与计算问题一般要化归为解三角形的问题．
第一章 1.2 第3课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
思路方法技巧
第一章 1.2 第3课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
命题方向 正、余弦定理在几何计算中的应用 [例 1] 某地出土一块类似三角形刀状的古代玉佩(如图 所示)，其一角已破损．现测得如下数据：BC＝2.57 cm，CE ＝3.57 cm，BD＝4.38 cm，B＝45°，C＝120°.为了复原，请计 算原玉佩两边的长(结果精确到 0.01 cm)．
中考数学解答题压轴题突破 重难点突破八 几何综合题 类型四：与角度有关的几何问题
(2)如图②，当点D在△ABC外部ห้องสมุดไป่ตู้，连接AE，F为AE的中点，连接FD并延 长到点G，连接EG，若EG＝EB，求证：∠EGF＝∠FDA；
(2)证明：延长GF到点H，使FH＝FD，连接EH. ∵EF＝AF，∠EFH＝∠AFD，∴△EFH≌△AFD(SAS)， ∴∠FDA＝∠H，AD＝EH. ∵AC＝BC，∠ACD＝∠BCE，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE(SAS)， ∴AD＝BE.∵BE＝EG，∴EH＝EG，∴∠EGF＝∠H，∴∠EGF＝∠FDA.
(3)如图③，当点D在△ABC中线CF上时，在线段BF上取一点Q(不与点F重 合)，连接DQ，将△FDQ沿DQ翻折得到△F′DQ，连接BF′，EF′，若CD ＝2，AC＝3 2，当BF′最小时，求△DEF′的面积．
(3)解：连接BD，∵△ABC是等腰直角三角形，CF是中线，∴CF⊥AB，
∵AC＝3 2，∴CF＝BF＝3，∵CD＝2，∴DF＝1，DE＝2 2，
②判断∠DEC和∠EDC的数量关系，并说明理由； ②解：∠DEC＋∠EDC＝90°，理由：∵DB＝DC，DA⊥BC， ∴∠BDA＝12∠BDC＝30°，∵△BAD≌△BEC，∴∠BCE＝∠BDA＝30°， 在等边三角形BCD中，∠BCD＝60°，∴∠DCE＝∠BCE＋∠BCD＝90°， ∴∠DEC＋∠EDC＝90°.
∴∠BDA＝∠CDA＝12∠BDC＝30°，在△BDA中，DB＝DA， 180°－∠BDA
∴∠BAD＝ 2 ＝75°，在△DAC中，DA＝DC， 180°－∠ADC
∴∠DAC＝ 2 ＝75°， ∴∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝75°＋75°＝150°；
②当点A在线段DF上时， ∵以点B为旋转中心，把BA顺时针方向旋转60°至BE，∴BA＝BE， ∠ABE＝60°，在等边三角形BDC中，BD＝BC，∠DBC＝60°， ∴∠DBC＝∠ABE，∠DBC－∠ABC＝∠ABE－∠ABC，即∠DBA＝∠EBC， ∴△DBA≌△CBE，∴DA＝CE，在Rt△DFC中，∠DFC＝90°，∴DF＜DC， ∵DA＜DF，DA＝CE，∴CE＜DC， 由②可知△DCE为直角三角形，∴∠DEC≠45°.
24度角与30度角几何题
24度角与30度角几何题当涉及到角度的几何问题时，我们可以使用三角函数来解决。
在这里，我们将讨论24度角和30度角的一些几何问题。
1. 正弦、余弦和正切：24度角的正弦值是sin(24°)，可以表示为sin(24°) = 对边/斜边。
24度角的余弦值是cos(24°)，可以表示为cos(24°) = 邻边/斜边。
24度角的正切值是tan(24°)，可以表示为tan(24°) = 对边/邻边。
同样地，我们可以计算30度角的正弦、余弦和正切值。
2. 三角形中的角度：如果我们有一个直角三角形，其中一个角度是24度，另一个角度是90度，我们可以使用三角函数来计算三角形的边长。
同样地，如果我们有一个三角形，其中一个角度是30度，我们也可以使用三角函数来计算三角形的边长。
3. 角度的和与差：我们可以计算24度角和30度角的和，即24° + 30° = 54°。
同样地，我们也可以计算24度角和30度角的差，即30° 24° = 6°。
4. 角度的补角和余角：24度角的补角是90° 24° = 66°。
30度角的补角是90° 30° = 60°。
24度角的余角是180° 24° = 156°。
30度角的余角是180° 30° = 150°。
5. 角度的对应角：在单位圆上，24度角的对应角度是24°。
同样地，30度角的对应角度是30°。
6. 角度的角平分线：我们可以通过角平分线来将24度角和30度角分成两个相等的角度。
这意味着我们可以找到一个角平分线，将24度角分成两个12度的角度，将30度角分成两个15度的角度。
这些是关于24度角和30度角的一些几何问题的回答。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
重点：分析问题情景，将角度测量与几何计算问题转化为 解三角形问题．
难点：运用解三角形的知识解决有关几何计算问题和三角 形边角恒等式的证明思路．
第一章 1.2 第3课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
学习要点点拨
第一章 1.2 第3课时
[解析] 如图所示，在△BCO 中，∠BOC＝70°－30°＝40°，
∠BCO＝(180°－70°)－74°＝36°. ∴∠CBO＝180°－40°－36°＝104°.
第一章 1.2 第3课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
由正弦定理得， sinC1O04°＝siBn3O6°，∴BO＝3sisnin13064°°. 在△AOC 中，∠AOC＝70°，∠CAO＝56°， ∴∠ACO＝54°. 由正弦定理得，siCn5O6°＝siAn5O4°，∴AO＝3ssiinn5564°°. 在△AOB 中，由余弦定理知： AB＝1000 AO2＋BO2－2·AO·BO·cos30° ≈1 630(m)． 答：此两建筑物的距离为 1 630 m.
第一章 1.2 第3课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
∵sBinCA＝sAinCB， ∴AC＝BCsisniAnB＝2.5s7ins1in54°5°. 利用计算器算得 AC≈7.02(cm)． 同理，AB≈8.60(cm)． 答：原玉佩两边的长分别约为 7.02 cm,8.60 cm.
第一章 1.2 第3课时
第一章 1.2 第3课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
3．力的分解与计算问题一般要化归为解三角形的问题．
第一章 1.2 第3课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
思路方法技巧
第一章 1.2 第3课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
命题方向 正、余弦定理在几何计算中的应用 [例 1] 某地出土一块类似三角形刀状的古代玉佩(如图 所示)，其一角已破损．现测得如下数据：BC＝2.57 cm，CE ＝3.57 cm，BD＝4.38 cm，B＝45°，C＝120°.为了复原，请计 算原玉佩两边的长(结果精确到 0.01 cm)．
第一章 1.2 第3课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
[分析] 如图所示，将 BD，CE 分别延长相交于一点 A.在 △ABC 中，已知 BC 的长及角 B 与 C，可以通过正弦定理求 AB， AC 的长．
第一章 1.2 第3课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
[解析]
∵BC＝2.57， B＝45°，C＝120°， A＝180°－(B＋C) ＝180°－(45°＋120°) ＝15°.
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
1．在工程施工，机械加工中，常遇到一些几何计算问题， 解决这些几何计算题的主要工具就是解三角形，解决问题时， 先将实际问题抽象概括归结为三角形的边长与内角，然后用解 三角形的知识来处理，如曲柄连杆、自动卸货顶杆、城建规划 等等．
2．实际问题中，涉及沿什么方向行走(驶)等问题中有关 “方向”的问题，常归结为三角形的内(外)角的计算问题，如 航海航空、水流与船行方向．
第一章 1.2 第3课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
∴|F1|＝|O→D|＝CE＝6 6(N)， |F2|＝|O→C|＝OC＝6( 3＋1)(N)． ∴杆 OA、OB 所受力的大小为 6 6N,6( 3＋1)N.
第一章 1.2 第3课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
重点难点展示
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
课前自主预习 思路方法技巧 名师辩误做答
方法警示探究 课堂巩固训练
课后强化作业
第一章 1.2 第3课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
课程目标解读
第一章 1.2 第3课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
探索如何运用解三角形的知识解决角度测量问题和有关 几何计算的实际应用问题．熟练地运用正余弦定理进行三角形 边、角恒等式的证明．
第一章 1.2 第3课时
第一章 1.2 第3课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
[解析] O 点受三个力的作用，灯线的拉力 F，方向向下， 灯杆 OA 的拉力 F1，方向与O→A同向，灯杆 OB 的支持力 F2 方 向与B→O同向，三力平衡，∴F＋F1＋F2＝O.
第一章 1.2 第3课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
成才之路·数学
人教A版 ·必修5
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
第一章
解三角形
第一章 解三角形
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
第一章
1．2 应用举例
第一章 解三角形
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
第一章
第 3 课时 角度和几何计算问题
第一章 解三角形
设O→E＝F，将力 F 沿A→O，O→B两个方向进行分解，作▱OCED， 则O→D＝－F1，O→C＝－F2 由题设条件知|O→E|＝12，∠COE＝60°， ∠OCE＝45°，∴∠OEC＝75°，
在△OCE 中，由正弦定理得，sin1425°＝siOn7C5°＝siCn6E0°， ∴CE＝12sisnin4650°°＝6 6，OC＝12sisnin4755°°＝6( 3＋1)，
第一章 1.2 第3课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
课前自主教A版 · 必修5
1．探究思考：如图，在墙上有一个三角形支架 OAB，吊 着一个重力为 12N 的灯，OA、OB 都是轻杆，只受沿杆方向的 力，试求杆 OA、OB 所受力的大小．
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
一人见一建筑物 A 在正北方向，另一建筑物 B 在北偏西 30°方向，此人向北偏西 70°方向行走 3 km 后，看见 A 在其北 偏东 56°方向，B 在其北偏东 74°方向，试求此两个建筑物的 距离．(精确到 10 m)
第一章 1.2 第3课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5