2020年新课标高考数学(理科)解答题大题精练第20题-解析几何专题3大类必考题型(含解析版)

2020年新课标高考数学（理科）解答题大题精练第20题-解析几何专题

解答题核心题型1 范围与最值问题

[2019·江南十校]已知椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>，B 为其短轴的一个端点，1F ，2F 分别为其左右两个

焦点，已知三角形12BF F 的面积为2，且121

cos 3

F BF ∠=．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）若动直线22:0,3l y kx m m k ⎛

⎫=+≠≠ ⎪⎝

⎭与椭圆C 交于()11,P x y ，()22,Q x y ，M 为线段PQ 的中点，

且22

12

3x x +=，求OM PQ ⋅的最大值． 【答案】（1）22132x y +=；

（2）5

2

． 【解析】（1）由22222122

22411

cos 3233

a c c F BF a c a a -∠==⇒=⇒=，222

b

c =， 1212122cos sin 33

F BF F BF ∠=⇒∠=

， 结合1222122

2323

F BF S a a ==⇒⋅=△，22b ⇒=，

故椭圆C 的方程为22

132

x y +=．

另解：依题意：12

1222

F BF S cb bc =⨯==△，2212

12212cos 2cos

1233F BF b F BF a ∠∠=-=⇒=， 解得2

3a =，2

2b =，故椭圆C 的方程为22

132

x y +=．

（2）联立()()22222222

2

3263602432032236

y kx m

k x kmx m Δk m k m x y =+⇒+++-⎧⎨⎩=⇒=+->⇒+>+=． 且122632

km

x x k -+=+，21223632m x x k -=+；

依题意()()

()

()222

2

21

2

12122

22

626323332

32m km x x x x x x k k

--+=⇒+-=⇒

-

=++，

化简得：22322k m +=（∵232k ≠）；

设()00,M x y ，由()()22

112222

012121222

120222362233236

x y x y y x x y y k x x y x y ⎧⎪⎨+=-⇒-=--⇒==--+=⎪⎩， 又00y kx m =+，解得31,2k M m m ⎛⎫

- ⎪⎝⎭

22222

943142k m OM m m +-⇒==， 精选大题

()()

()

()

()2222

2

222

2

122

2

222243222111251132432k m m PQ k

x x k

OM PQ m m m k +-+⎛

⎫⎛⎫=+-=+=

⇒⋅=-+≤ ⎪⎪⎝

⎭⎝⎭+，

52OM PQ ⋅≤

．当且仅当221132m m -=+，即2m =±时，OM PQ ⋅的最大值为5

2

．

1．[2019·柳州模拟]已知点()1,0F -，直线:4l x =-，P 为平面内的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为点M ，且11022PF PM PF PM ⎛⎫⎛⎫

-⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

．

（1）求动点P 的轨迹C 的方程；

（2）过点F 作直线1l （与x 轴不重合）交C 轨迹于A ，B 两点，求三角形面积OAB 的取值范围．（O 为坐标原点）

【答案】（1）22143x y +=；

（2）30,2⎛⎤

⎥⎝⎦

． 【解析】（1）设动点(),P x y ，则()4,M y -，

由11022PF PM PF PM ⎛⎫⎛⎫

-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭

，2214PF PM ∴=，

即2

214PF PM ∴=，()222

1144

x y x ∴++=+，化简得22143x y +=．

（2）由（1）知轨迹C 的方程为22143x y +=，当直线1l 斜率不存在时31,2A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，31,2B ⎛

⎫- ⎪⎝

⎭，

13

22

OAB S AB OF ∴=

⋅=△， 当直线1l 斜率存在时，设直线l 方程为()10x my m =-≠，设()11,A x y ，()22,B x y ， 由22

1

14

3x my x y ⎧⎪

⎨-+=⎪⎩=，得()

2234690m y my +--=． 则21441440Δm =+>，122634m y y m +=+，122

9

34

y y m -=+， ()

2

12121211

1422OAB S OF y y y y y y =⋅-=⨯⨯+-△

()

()

2

22

2

22

2

1

3636

1

62

34

3434m m m m

m

+=+=+++，

模拟精做