圆的切线之经典练习题
圆的切线练习题
圆的切线练习题连接BD，过点B作BE⊥AC交BD于点E，交⊙O于点F．1）求证：EF是⊙O的切线；2）若BC=4，AD=6，求⊙O的半径及BE的长．例1：已知直线CD与AB的延长线交于点E，且CD⊥AD，垂足为D，XXX于点C。
证明直线CD为⊙O的切线。
对应练：在△DAB中，AB经过圆心O，∠DAB的平分线AC交⊙O于点C，且∠DAB＝60°，AB=10.求BD与CD的长。
例2：已知△ABC是边长为4的等边三角形，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB，BC相交于点D，E，EF⊥AC，垂足为F。
证明直线EF是⊙O的切线，当直线DF与⊙O相切时，求⊙O的半径。
对应练：在Rt△ABC中，∠C=90°，O、D分别为AB、BC上的点，经过A、D两点的⊙O分别交AB、AC于点E、F，且D为弧EF的中点。
求证：BC与⊙O相切，当AD=23；∠CAD=30°时，求弧AD的长。
3.已知AB是半圆O的直径，点C是⊙O上一点（不与A，B重合），连接AC，BC，过点O作OD∥AC交BC于点D，在OD的延长线上取一点E，连接EB，使∠XXX∠ABC。
⑴证明：BE是⊙O的切线；⑵若OA=10，BC=16，求BE的长。
4.已知⊙O经过点B、D、E，BD是⊙O的直径，∠C＝90°，BE平分∠ABC。
试说明直线AC是⊙O的切线；当AE＝4，AD＝2时，求⊙O的半径及BC的长。
5.在⊙O中，AB为直径，AC为弦，过点C作CD⊥XXX与点D，E将△ACD沿AC翻折，点D落在点E处，AE交⊙O于点F，连接OC、FC。
⑴证明：CE是⊙O的切线；⑵若FC∥AB，证明四边形AOCF是菱形。
6.已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为C，延长AB交CD于点E。
连接AC，作∠DAC＝∠ACD，作AF⊥ED于点F，交⊙O于点G。
⑴证明：AD是⊙O的切线；(2)如果⊙O的半径是6cm，EC=8cm，求GF的长。
圆的切线综合练习题与答案(2018)
切线的判定与性质练习题一、选择题（答案唯一，每小题3分）1．下列说法中，正确的是()A．与圆有公共点的直线是圆的切线B．经过半径外端的直线是圆的切线C．经过切点的直线是圆的切线D．圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线2.如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于A，BC交⊙O于点D，若∠C＝70°，则∠AOD的度数为()A．70°B．35°C．20°D．40°第2题第3题第4题第5题3.如图，线段AB是⊙O的直径，点C，D为⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线A．204.AB5.A67.8.CD9.10.OC，BE.若AE1112.第12题第13题第14题13.（7分）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E.求证：∠BDC＝∠A.14.（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，求证：AC与⊙D相切．15.（10分）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D＝2∠CAD.(1)求∠D的度数；(2)若CD＝2，求BD的长．第15题第16题16．（12分）已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF.(1)如图①，若AB为⊙O的直径，要使EF成为⊙O的切线，还需要添加的一个条件是(至少说出两种)：__________________________或者_______________________；(2)如图②，如果AB是不过圆心O的弦，且∠CAE＝∠B，那么EF是⊙O的切线吗？试证明你的判断．17.（12分）如图，已知直线PA交⊙O于A，B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D.(1)求证：CD为⊙O的切线；(2)若DC＋DA＝6，⊙O的直径为10，求AB的长．答案：DDADC6.相切7.∠ABC＝90°不排除等效答案8.69.4510.411.6012.解：连接OD，∵BD为∠ABC平分线，∴∠OBD＝∠CBD，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠CBD＝∠ODB，∴OD ∥BC，∵∠C＝90°，∴∠ODA＝90°，则AC为⊙O的切线13.解：连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴∠ODC＝90°，∴∠ODB＋∠BDC＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝9014.15.OCD＝90°，∴∠D＝2－2 16.(1)B＋∠CAM ＝9017.(2)过O AF＝5－x，在Rt△，故x＝2，从而AD。
关于圆的切线的练习题
关于圆切线的证明题
切线的判定定理
例1、已知如图所示，AB 为⊙O 的直径，C 、D 是直径AB 同侧圆周上两点，且，过
D 作D
E ⊥AC 于点E ，求证：DE 是⊙O 的切线.
切线的性质及其推论
例3如图，已知AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，CD 切⊙O 于点C ，交AB •的延长线于点D ， ∠ACD=120°，BD=10．（1）求证：CA=CD ； （2）求⊙O 的半径．
例7如图，AB 是半圆O 的直径，AD 为弦，∠DBC=∠A ． （1）求证：BC 是半圆O 的切线；
（2）若OC ∥AD ，OC 交BD 于E ，BD=6，CE=4，求AD 的长．
例9如图，AB 为⊙O 的直径，BC 切⊙O 于B ，AC 交⊙O 于P ，CE=BE ，E 在BC 上. 求证：PE 是⊙O 的切线．
B
例10、已知:如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,以AC 为直径的⊙O 交AB 于点D,过点D 作⊙O 的切线DE 交BC 于点E.求证:BE=CE.
例11如图，P 为⊙O 外一点，PO 交⊙O 于C ，过⊙O 上一点A 作弦AB ⊥PO 于E ， 若∠EAC=∠CAP ，求证：PA 是⊙O 的切线．
例14已知：AD 是∠BAC 的平分线，BDC 是切线，求证：EF ∥BC
例15、如图1，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，B 为切点，OC 平行于弦AD ，连接CD 。
求证：DC 是⊙O 的切线。
3.7 切线长定理(练习)(解析版)
第三章 圆第七节 切线长定理精选练习一、单选题1．（2021·北京九年级专题练习）如图，PA ，PB 为⊙O 的两条切线，点A ，B 是切点，OP 交⊙O 于点C ，交弦AB 于点D ．下列结论中错误的是（ ）A ．PA ＝PBB ．AD ＝BDC ．OP ⊥ABD ．∠PAB ＝∠APB【答案】D【分析】利用切线长定理、等腰三角形的性质即可得出答案．【详解】解：由切线长定理可得：∠APO =∠BPO ，PA =PB ，从而AB ⊥OP ，AD =BD ．因此A ．B ．C 都正确．无法得出∠PAB =∠APB ，可知：D 是错误的．综上可知：只有D 是错误的．故选：D ．【点睛】本题考查了切线长定理、等腰三角形的性质，关键是利用切线长定理、等腰三角形的性质解答．2．（2021·全国九年级课时练习）如图，AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PA ＝AO ，PD 与⊙O 相切于点D ，BC ⊥AB 交PD 的延长线于点C ，若⊙O 的半径为1，则BC的长是（ ）A ．1.5B ．2CD 【答案】D【分析】连接OD ，根据切线的性质求出∠ODP ＝90°，根据勾股定理求出PD ，证明BC 是⊙O 的切线，根据切线长定理得出C D ＝BC ，再根据勾股定理求出BC 即可．【详解】连接OD ，如图所示∵PC 切⊙O 于D ∴∠ODP ＝90°∵⊙O 的半径为1，PA ＝AO ，AB 是⊙O 的直径 ∴PO ＝1+1＝2，PB ＝1+1+1＝3，OD ＝1∴由勾股定理得：PD ==∵BC ⊥AB ，AB 过O ∴BC 切⊙O 于B ∵PC 切⊙O 于D ∴CD ＝BC设CD ＝CB ＝x 在Rt △PBC 中，由勾股定理得：PC 2＝PB 2+BC 2即222)3x x +=+ 解得：x 即BC故选：D【点睛】本题考查了切线的性质和判定，及切线长定理，切线的性质定理为：圆的切线垂直于过切点的半径，切线长定理为：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．同时考查了利用勾股定理解直角三角形．3．（2021·湖北武汉市·九年级一模）如图，经过A 、C 两点的⊙O 与△ABC 的边BC 相切，与边AB 交于点D ，若∠AD C ＝105°，BC ＝CD ＝3，则AD 的值为（ ）A ．B ．CD 【答案】A【分析】连接OC 、OD ，作OE AB ^于点E ．易求出75CBD CDB Ð=Ð=°，30BCD Ð=°．再由切线的性质，即可求出60OCD Ð=°，即三角形OCD 为等边三角形．得出结论60ODC Ð=°，3OC OD CD ===．从而即可求出45ADO Ð=°，即三角形OED 为等腰直角三角形，由此即可求出DE 的长，最后根据垂径定理即可求出AD 的长．【详解】如图，连接OC 、OD ，作OE AB ^于点E ．∵BC CD =，∴CBD CDB Ð=Ð，∵105ADC Ð=°，∴75CBD CDB Ð=Ð=°，∴18027530BCD Ð=°-´°=°．由题意可知OC BC ^，即90OCB Ð=°，∴903060OCD OCB BCD Ð=Ð-Ð=°-°=°，∵OD =OC ，∴三角形OCD 为等边三角形．∴60ODC Ð=°，3OC OD CD ===．∴1056045ADO ADC ODC Ð=Ð-Ð=°-°=°，∴三角形OED 为等腰直角三角形，∴3DE ===∴22AD DE ===故选：A ．本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，等腰直角三角形与等边三角形的判定和性质以及垂径定理，综合性强．正确的连接辅助线是解答本题的关键．4．如图，直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，且AB//CD，若OB=3cm，OC=4cm，则四边形EBCG的周长等于（ ）A．5cm B．10cm C．745cm D．625cm【答案】C【分析】连接OF，利用切线性质和切线长定理可证明BE=BF，CG=CF，∠OBE=∠OBF，∠OCG=∠OCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质证得∠BOC=90°，进而由勾股定理求得BC长，根据三角形的面积公式求得OF，进而可求得四边形的周长．【详解】解：连接OF，∵直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，∴BE=BF，CG=CF，∠OBE=∠OBF，∠OCG=∠OCF，OF⊥BC，∵AB∥CD，∴∠ABC+∠DCB=180°，∴∠OBF+∠OCF=90°，即∠BOC=90°，∴在Rt△BOC中，OB=3cm，OC=4cm，由勾股定理得：BC==，由1122OB OC BC OF××=××得：OF=341255´=cm，∴OE=OG=OF= 125cm，∴四边形EBCG的周长为BE+BC+CG+EG=2OE+2BC=2×125+2×5=745cm，【点睛】本题考查切线的性质、切线长定理、平行线的性质、勾股定理、三角形的面积公式，熟练掌握切线长定理的运用，证得∠BOC =90°和利用等面积法求出OF 是解答的关键．5．（2021·山西吕梁市·九年级月考）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB ＝BC ．AT 是⊙O 的切线，∠BAT ＝55°，则∠D 等于（ ）A ．110°B ．115°C ．120°D ．125°【答案】A【分析】连接AC ，OA ，OB ，先结合切线的性质以及圆的性质求得ACB BAT Ð=Ð，再结合等腰三角形的性质以及圆的内接四边形的性质求得2D ACB Ð=Ð即可．【详解】如图所示，连接AC ，OA ，OB ，则()11802AOB OBA OAB =°-ÐÐÐ=，∵2AOB ACB Ð=Ð，∴90ACB OAB =°-ÐÐ，∴90ACB OAB Ð=°-Ð，∵AT 是⊙O 的切线，∴90BAT OAB Ð=°-Ð，∴55ACB BAT Ð=Ð=°，∵AB BC =，∴1802ABC ACB Ð=°-Ð，根据圆的内接四边形可得：180D ABC Ð=°-Ð，∴2110D ACB Ð=Ð=°，故选：A ．【点睛】本题考查圆的综合问题，理解圆的切线的性质以及内接四边形的性质是解题关键．6．（2021·浙江九年级专题练习）如图，⊙O 的弦AB ＝8，M 是弦AB 上的动点，若OM 的最小值是3，则⊙O 的半径是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【分析】过O 点作OH ⊥AB 于H ，连接OA ，如图，根据垂径定理得到AH ＝BH ＝4，利用垂线段最短得到OH ＝3，然后利用勾股定理计算出OA 即可．【详解】解：过O 点作OH ⊥AB 于H ，连接OA ，如图，∵OH ⊥AB ，∴AH ＝BH ＝12AB ＝12×8＝4，∵OM 的最小值是3，∴OH ＝3，在Rt △OAH 中，OA ＝5，即⊙O 的半径是5．故选：B ．【点睛】本题考查了垂径定理：直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．7．（2020·聊城市茌平区实验中学九年级月考）如图，P 为O 外一点，PA 、PB 分别切O 于点A 、B ，CD 切O 于点E 且分别交PA 、PB 于点C ，D ，若PA =4，则△PCD 的周长为( )A ．5B ．7C ．8D ．10【答案】C【分析】根据切线长定理求解即可【详解】解：∵PA 、PB 分别切O 于点A 、B ，CD 切O 于点E ，PA=4，∴PA=PB=4，AC=CE ，BD=DE ，∴△PCD 的周长为PC+CE+DE+PD=PC+AC+BD+PD=PA+PB=4+4=8，故选：C ．【点睛】本题考查切线长定理，熟练掌握切线长定理及其应用是解答的关键．8．（2021·北京九年级专题练习）如图，ABC D 的内切圆O e 与A B ，BC ，CA 分别相切于点D ，E ，F ，且2AD =，ABC D 的周长为14，则BC 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C 【分析】根据切线长定理得到AF =AD =2，BD =BE ，CE =CF ，由△ABC 的周长为14，可求BC 的长．【详解】解：O Qe 与A B ，BC ，CA 分别相切于点D ，E ，F2AF AD \==，BD BE =，CE CF =，ABC D Q 的周长为14，14AD AF BE BD CE CF \+++++=2()10BE CE \+=5BC \=故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．二、填空题9．如图，PA 、PB 、CD 是⊙O 的切线，A 、B 、E 是切点，CD 分别交PA 、PB 于C 、D 两点，若∠COD =70°，则∠AP B =_______.【答案】40°【分析】先利用切线长定理，得出∠BDO =∠CDO ，∠ACO =∠DCO ，再利用三角形内角和求出∠CDO +∠DCO 后得到∠BDC+∠A CD 的值，最后利用三角形外角的性质得到关于∠P 的方程，解方程即可得出答案．【详解】解：∵PA 、PB 、CD 是⊙O 的切线，∴∠BDO =∠CDO ，∠ACO =∠DCO ，∵∠COD =70°，∴∠CDO +∠DCO =180°－70°=110°，∴∠BDC +∠ACD =2（∠CDO +∠DCO ）=2 ×110°=220°，∵∠BDC =∠DCP +∠P ，∠ACD =∠CDP +∠P ，∴∠DCP +∠P +∠CDP +∠P =220°，即180°+∠P =220°，∴∠P =40°，即∠APB =40°，故答案为：40°．【点睛】本题综合考查了圆的切线长定理、三角形的内角和定理、三角形外角的性质等，解决本题的关键是要牢记各定理与性质的内容，能灵活运用它们进行不同的角之间的转化，考查了学生推理分析的能力．10．（2021·浙江九年级其他模拟）如图，已知AD 是BAC Ð的平分线，以线段AB 为直径作圆，交BAC Ð和角平分线于C ，D 两点．过D 向AC 作垂线DE 垂足为点E ．若24DE CE ==，则直径AB =_______．【答案】10【分析】连接CD 、OD 、OC 、BD ，运用勾股定理求得CD 的长,再证明DE 是圆O 的切线，运用全等三角形的判定与性质以及余角的性质得出∠CDE =∠BAD ,易得BD =CD ，然后再根据正切函数求得AD ，最后根据勾股定理解答即可．【详解】解：如图：连接CD 、OD 、OC 、BD∵AE ⊥DE , 24DE CE ==∴CD =∵OA =OD∴∠OAD =∠ODA∴∠BOD =∠OAD +∠ODA = 2∠OAD∵∠ODA =∠OAD∴∠EAD =∠ODA∴OD //AE∴OD ⊥DE ，即DE 是圆O 的切线∴∠CDE +∠ODC =90°∵AB是直径∴∠BAD+∠B=90°在△BOD和△DOC中OC=OB,DO=DO,BD=CD ∴△BOD≌△DOC∴∠ODC=∠OBD∴∠CDE=∠BAD∵∠BAD=∠DAC∴∠COD=∠BOD∴BD=CD=∵tan∠BAD=BDAD= tan∠CDE=12CEDE=,∴AD=∴AB10=．故填10．【点睛】本题主要考查了三角形的性质、圆的切线的判定与性质、勾股定理、三角函数等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．11．（2020·湖北孝感市·九年级月考）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝108°，则∠B+∠D＝_____．【答案】216°【分析】连接AB，根据切线得出PA＝PB，求出∠PBA＝∠PAB＝36°，根据圆内接四边形的对角互补得出∠D+∠CBA＝180°，再求出答案即可．【详解】解：连接AB，∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∴PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA，∵∠APB＝108°，∴∠PBA＝∠PAB＝12×（180°﹣∠APB）＝36°，∵A、D、C、B四点共圆，∴∠D+∠CBA＝180°，∴∠PBC+∠D＝∠PBA+∠CBA+∠D＝36°+180°＝216°，故答案为：216°．【点睛】本题考查了切线长定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆内接四边形等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．12．（2021·河北石家庄市·石家庄外国语学校九年级月考）已知△ABC中，⊙I为△ABC的内切圆，切点为H，若B C＝6，AC＝8，AB＝10，则点A到圆上的最近距离等于_____．-【答案】2【分析】连接IA，IA与⊙I半径的差即为点A到圆上的最近距离，只需求出IA和⊙I半径即可得答案．【详解】解：连接IA，设AC、BC分别切⊙I于E、D，连接IE、ID，如图：∵BC＝6，AC＝8，AB＝10，∴BC2+AC2＝AB2∴∠C＝90°∵⊙I为△ABC的内切圆，∴∠IEC＝∠IDC＝90°，IE＝ID，∴四边形IDCE是正方形，设它的边长是x，则IE＝EC＝CD＝ID＝IH＝x，∴AE＝8﹣x，BD＝6﹣x，由切线长定理可得：AH＝8﹣x，BH＝6﹣x，而AH+BH＝10，∴8﹣x+6﹣x＝10，解得x＝2，∴AH＝6，IH＝2，∴IA，∴点A到圆上的最近距离为﹣2，故答案为：﹣2．【点睛】本题考查勾股定理、切线长定理、三角形的内切圆等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．三、解答题13．（2021·浙江温州市·九年级一模）如图，点C ，D 在以AB 为直径的半圆O 上， AD BC=，切线DE 交AC 的延长线于点E ，连接OC ．（1）求证：∠ACO ＝∠ECD ．（2）若∠CDE ＝45°，DE ＝4，求直径AB 的长．【答案】（1）证明见详解；（2）【分析】（1）由 AD BC=，可得∠A ＝∠B ，内接四边形可得出∠ECD=∠B ，进而得出∠ACO ＝∠ECD ；（2））连接OD ，由切线的性质可得出∠ODE ＝90°，进而得出∠CDO ＝∠DCO=45°，再根据已知条件计算出∠E=∠ECD ，得到CD=DE ＝4，再利用勾股定理求出半径，进而得出答案；【详解】（1）证明：∵ AD BC=，∴∠A ＝∠B ；∵ABDC 是内接四边形∴∠ECD=∠B∴∠ECD=∠A∵AO ＝CO ；∴∠ACO ＝∠A∴∠ACO ＝∠ECD（2）连接OD∵DE 是圆的切线∴∠ODE ＝90°，∵∠CDE ＝45°，OC=OD∴∠CDO ＝∠DCO =45°，∴∠COD ＝90°，∵ AD BC=，∴ AC DC=，∴∠AOC ＝∠DOB=45°，∴AO ＝OC ，∴∠ACO ＝∠A=1804567.52°-°=° ；∵∠DCO =45°，∴∠ECD =180°-45°-67.5°=67.5°，∵∠E=180°-∠CDE -∠ECD =180°-45°-67.5°=67.5°，∴∠E=∠ECD∴CD=DE ＝4，∵∠COD ＝90°，∴222CD OC OD =+∴2216OC OD +=，即28OC =∴OC= 故⊙O 的半径为∴直径AB 的长，【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，内接四边形，切线性质定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握性质及定理是解决本题的关键．14．（2021·江苏无锡市·九年级期中）如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，与BA 的延长线交于点D ，DE ⊥P O 交PO 延长线于点E ，连接PB ，∠EDB ＝∠EPB ．（1）求证：PB 是⊙O 的切线．（2）若PB ＝3，tan ∠PDB ＝34，求⊙O 的半径．【答案】（1）见解析；（2）32【分析】（1）根据三角形的内角和定理可证E PBO Ð=Ð，然后根据垂直定义可得90E Ð=°，从而得出半径CB PB ^，根据切线的判定定理即可证出结论；（2）连接OC ，根据题意求出45BD PD ==，，再结合切线长定理得到3PC =，2CD =，从而设O e 的半径是r ，利用勾股定理求解即可．【详解】（1）,EDB EPB DOE POB Ð=ÐÐ=ÐQ ，E PBO \Ð=Ð，DE PO ^Q ，90E \Ð=°，90PBO \Ð=°，\半径CB PB ^，PB \是O e 的切线．（2）如图，连接OC ，33tan 904PB PDB PBD =Ð=Ð=°Q ，，tan 45BD PB PDB PD \=Ð===g ，．PB Q 和PC 是O e 的切线，3PC PB \==，2CD PD PC \=-=，设O e 的半径是r ，则4OD DB OB r =-=-，PD Q 切O e 于点C ，OC PD \^，222CD OC OD \+=，()22224r r \+=-，32r \=．【点睛】本题考查圆的综合问题，理解切线的判定与性质定理以及正切函数的定义是解题关键．15．（2021·天津九年级学业考试）已知AB 为O e 的直径，点C ，D 为O e 上的两点，AD 的延长线于BC 的延长线交于点P ，连接CD ，30CAB Ð=°．（Ⅰ）如图①，若 2=CBCD ，4AB =，求AD 的长；（Ⅱ）如图②，过点C 作O e 的切线交AP 于点M ，若6CD AD ==，求CM 的长．【答案】（1）AD =；（2）CM = ．【分析】（1）根据弧、圆周角之间的关系可求得∠BAD =45°，连接BD ，可得△ABD 为等腰直角三角形，求解即可；（2）根据弦、圆心角之间关系、等边对等角以及三角形外角的性质可求得∠PDM =60°，OC //AP ，再根据切线的性质定理易得△CDM 为直角三角形，解直角三角形即可．【详解】解：（1）∵ 2=CBCD ，30CAB Ð=°，∴1152CAD CAB Ð=Ð=°,∴∠BAD =45°，连接BD ，∵AB 为直径，∴∠BDA =90°，∴cos45AD AB =×°=（2）连接OD 、OC ，∵30CAB Ð=°，∴∠COB =60°，∠AOC =120°，∵6CD AD ==，∴∠AOD =∠COD =60°，∴∠ACD =∠CAD =30°，∠BAP =∠CAD +∠CAB =60°=∠COB ，∴OC //AP ，∠CDP =∠ACD +∠CAD =60°，∵CM 为O e 的切线，∴∠OCM =90°，∴∠AMC =180°-∠OCM =90°，在Rt △CDM 中，sin 60CM CD =×°=．【点睛】本题考查切线的性质定理，等腰三角形等边对等角，弧、圆心角、圆周角、弦之间的关系，解直角三角形．正确作出辅助线是解题关键．。
圆的切线综合练习题与答案完整版
圆的切线综合练习题与答案HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】切线的判定与性质练习题一、选择题（答案唯一，每小题3分）1．下列说法中，正确的是( )A．与圆有公共点的直线是圆的切线 B．经过半径外端的直线是圆的切线C．经过切点的直线是圆的切线 D．圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线2. 如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于A，BC交⊙O于点D，若∠C＝70°，则∠AOD的度数为( )A．70° B．35° C．20° D．40°第2题第3题第4题第5题3. 如图，线段AB是⊙O的直径，点C，D为⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠E＝50°，则∠CDB等于( )A．20° B．25° C．30° D．40°4.如图，等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝8，O为BC的中点，以O为圆心作半圆，使它与AB，AC都相切，切点分别为D，E，则⊙O的半径为( )A．8 B．6 C．5 D．45.如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G，直线EF与⊙O相切于点D，则下列结论中不一定正确的是( )A．AG＝BG B．AB∥EF C．AD∥BC D．∠ABC＝∠ADC二．填空题（每小题3分）6．如图，在⊙O中，弦AB＝OA，P是半径OB的延长线上一点，且PB＝OB，则PA与⊙O的位置关系是_________．第6题第7题第8题7.如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为________________．8.如图，AB是⊙O的直径，O是圆心，BC与⊙O切于点B，CO交⊙O于点D，且BC＝8，CD＝4，那么⊙O的半径是______．9. 如图，若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D，则∠C＝_______度．第9题第10题第11题10. 如图，AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l，垂足为D，AD交⊙O于点E，连接OC，BE.若AE＝6，OA＝5，则线段DC的长为______．11．如图，已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，MN与⊙O相切，切点为A，若∠MAB＝30°，则∠B＝________度．三、解答题（写出详细解答或论证过程）12.（7分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E.求证：AC是⊙O的切线．第12题第13题第14题13.（7分）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E.求证：∠BDC＝∠A.14.（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，求证：AC与⊙D相切．15.（10分）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D＝2∠CAD.(1)求∠D的度数；(2)若CD＝2，求BD的长．第15题第16题16．（12分）已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF.(1)如图①，若AB为⊙O的直径，要使EF成为⊙O的切线，还需要添加的一个条件是(至少说出两种)：__________________________或者_______________________；(2)如图②，如果AB是不过圆心O的弦，且∠CAE＝∠B，那么EF是⊙O的切线吗？试证明你的判断．17.（12分）如图，已知直线PA交⊙O于A，B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D.(1)求证：CD为⊙O的切线；(2)若DC＋DA＝6，⊙O的直径为10，求AB的长．答案：DDADC 6. 相切 7. ∠ABC＝90°不排除等效答案 8. 6 9. 45 10. 4 11. 6012. 解：连接OD，∵BD为∠ABC平分线，∴∠OBD＝∠CBD，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠CBD＝∠ODB，∴OD∥BC，∵∠C＝90°，∴∠ODA＝90°，则AC为⊙O的切线13. 解：连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴∠ODC＝90°，∴∠ODB＋∠BDC＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠ODB＋∠ADO＝90°，∴∠BDC＝∠ADO，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠A，∴∠BDC＝∠A14. 解：过D作DH⊥AC于H，由角平分线的性质可证DB＝DH，∴AC与⊙D相切15. 解：(1)∵∠COD＝2∠CAD，∠D＝2∠CAD，∴∠D＝∠COD.∵PD与⊙O相切于点C，∴OC⊥PD，即∠OCD＝90°，∴∠D＝45°(2)由(1)可知△OCD是等腰直角三角形，∴OC＝CD＝2，由勾股定理，得OD＝22＋22＝22，∴BD＝OD－OB＝22－216. (1) ∠BAE＝90°∠EAC＝∠ABC(2) (2)EF是⊙O的切线．证明：作直径AM，连接CM，则∠ACM＝90°，∠M＝∠B，∴∠M＋∠CAM＝∠B＋∠CAM＝90°，∵∠CAE＝∠B，∴∠CAM＋∠CAE＝90°，∴AE⊥AM，∵AM为直径，∴EF是⊙O的切线17. 解：(1)连接OC，证∠DAC＝∠CAO＝∠ACO，∴PA∥CO，又∵CD⊥PA，∴CO⊥CD，∴CD为⊙O 的切线(2)过O作OF⊥AB，垂足为F，∴四边形OCDF为矩形．∵DC＋DA＝6，设AD＝x，则OF＝CD＝6－x，AF＝5－x，在Rt△AOF中，有AF2＋OF2＝OA2，即(5－x)2＋(6－x)2＝25，解得x1＝2，x2＝9，由AD＜DF知0＜x＜5，故x＝2，从而AD＝2，AF＝5－2＝3，由垂径定理得AB＝2AF＝6。
专题18圆的切线的性质与判定(原卷版)
专题18 圆的切线的性质与判定（原卷版）类型一利用圆的切线的性质求角度1．（2023•鼓楼区三模）如图，P A、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠A+∠C＝220°，则∠P的度数°．2．（2023秋•沙坪坝区校级月考）如图，已知AB与⊙O相切于点A，AC是⊙O的直径，连接BC交⊙O于点D，E为⊙O上一点，当∠CED＝58°时，∠B的度数是（）A．32°B．64°C．29°D．58°3．（2022秋•金华期末）AB为⊙O的直径，延长AB到点P，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC，∠P＝40°，D为圆上一点，则∠D的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．40°类型二利用圆的切线的性质求长度4．（2023•九龙坡区模拟）如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC＝1，∠ABC＝30°，切线P A交OC 延长线于点P，则P A的长为．5．（2022秋•梁溪区校级期中）如图，在四边形材料ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝90°，AD ＝9cm ，AB ＝20cm ，BC ＝24cm ．现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是 ．类型三 圆的切线的判定6．（2022•孝南区一模）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 为AB 的中点，以CD 为直径的⊙O 分别交AC ，BC 于点E ，F 两点，过点F 作FG ⊥AB 于点G ．试判断FG 与⊙O 的位置关系，并说明理由．7．（2021•福州模拟）如图，已知△AOB 中，OA ＝OB ，∠AOB ＝120°，以O 为圆心，12OA 长为半径作圆分别交OA ，OB 于点C ，D ，弦MN ∥AB ．（1）判断直线AB 与⊙O 的位置关系并说明理由；（2）求证：MĈ=ND ̂．类型四圆的切线的判定与性质的综合运用8．（2022•郴州）如图，在△ABC中，AB＝AC．以AB为直径的⊙O与线段BC交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点P．（1）求证：直线PE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为6，∠P＝30°，求CE的长．9．（2023春•邗江区月考）已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA的延长线上一点，连接CD．（1）如图1，E为OA上一点，若CE⊥AB，且∠ACD＝∠ACE，求证：DC与⊙O相切；（2）如图2，CD与⊙O相交于点F，若CO⊥AB，∠D＝30°，OA＝1，求AD、DF、弧AF围成的图形的面积．10．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点P为AB延长线上一点，连接CP，∠BCP＝∠BAC，∠ACB的平分线与直径AB交于点E，交⊙O于点D．（1）求证：CP是⊙O的切线；（2）求证：PE＝PC；（3）探究AC+BC与CD之间的数量关系，并说明理由．11．（2023•湖州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O在边AC上，以点O为圆心，OC为半径的半圆与斜边AB相切于点D，交OA于点E，连结OB．（1）求证：BD＝BC．（2）已知OC＝1，∠A＝30°，求AB的长．12．（2023秋•建邺区校级月考）如图，等腰△ABC内接于⊙O，AC的垂直平分线交边BC于点E，交⊙O 于F，垂足为D，连接AF并延长交BC的延长线于点P．（1）求证：∠CAP=12∠B；（2）若EB＝CP，求∠BAC的度数．13．（2023•盐城）如图，在△ABC中，O是AC上（异于点A，C）的一点，⊙O恰好经过点A，B，AD⊥CB于点D，且AB平分∠CAD．（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若AC＝10，DC＝8，求⊙O的半径长．14．（2023秋•台江区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，P A为⊙O的切线，弦AC⊥PO，垂足为M，连接PC．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若P A＝AB，连接BM，求证：BM=√2CM．15．（2023•婺城区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，⊙O的切线DE交AC于点E．（1）求证：E是AC中点；（2）若AB＝10，BC＝6，连接CD，OE，交点为F，求OF的长．16．（2022秋•丰润区期末）如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作OE∥AD交CD于点E，连接BE．（1）直线BE与⊙O相切吗？并说明理由；（2）若CA＝2，CD＝4，求DE的长．。
初中圆切线试题及答案
初中圆切线试题及答案一、选择题1. 圆的切线与过切点的半径垂直，这是圆的切线性质中的哪一条？A. 切线与半径垂直B. 切线与直径垂直C. 切线与切点垂直D. 切线与圆心垂直答案：A2. 已知圆的半径为5，圆心到直线的距离为3，则直线与圆的位置关系是：A. 相离B. 相切C. 相交D. 无法确定答案：C3. 圆的切线与圆的交点个数是：A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个答案：B二、填空题4. 圆的切线与过切点的半径垂直，因此圆的切线与_________垂直。
答案：过切点的半径5. 如果圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，那么直线与圆相切的条件是_________。
答案：d = r三、解答题6. 已知圆O的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，求证：直线l是圆O的切线。
证明：由题意知，圆心O到直线l的距离d=3，圆的半径r=4。
因为d=r，所以直线l与圆O相切。
7. 已知圆的半径为6，圆心到直线的距离为5，求圆与直线的交点个数。
解：由于圆心到直线的距离d=5小于圆的半径r=6，所以直线与圆相交，交点个数为2个。
四、计算题8. 已知圆的方程为(x-2)^2 + (y-3)^2 = 25，直线方程为3x + 4y - 15 = 0，求直线与圆的切线方程。
解：首先求圆心坐标，圆心为(2, 3)。
计算圆心到直线的距离d，利用点到直线距离公式：\[ d = \frac{|3*2 + 4*3 - 15|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|6 + 12 - 15|}{5} = 1 \]由于d=1，直线与圆相切。
设切线方程为3x + 4y + c = 0，将圆心坐标代入得：\[ 3*2 + 4*3 + c = 0 \]\[ 6 + 12 + c = 0 \]\[ c = -18 \]所以切线方程为3x + 4y - 18 = 0。
圆的切线练习题
圆的切线练习题例1、如图，已知AB是⊙O的直径，锐角∠DAB的平分线AC交⊙O于点C，作CD⊥AD，垂足为D，直线CD与AB的延长线交于点E．求证：直线CD为⊙O的切线；对应练: 如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O，交⊙O于点C，∠DAB＝∠B＝30°.(1)直线BD是否与⊙O相切？为什么？(2)连接CD，若CD＝5，求AB的长.例2、已知：△ABC是边长为4的等边三角形，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB，BC相交于点D，E，EF⊥AC，垂足为F.（1）求证：直线EF是⊙O的切线；（2）当直线DF与⊙O相切时，求⊙O的半径.对应练：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，O、D分别为AB、BC上的点．经过A、D两点的⊙O分别交AB、AC于点E、F，且D为弧EF的中点．（1）求证：BC与⊙O相切；（2）当AD=23；∠CAD=30°时．求弧AD的长.3.如图，AB 是半圆O 的直径，点C 是⊙O 上一点（不与A ，B 重合），连接AC ，BC ，过点O 作OD ∥AC 交BC 于点D ，在OD 的延长线上取一点E ，连接EB ，使∠OEB=∠ABC ． ⑴求证：BE 是⊙O 的切线；⑵若OA=10，BC=16，求BE 的长．4.如图，⊙ O 经过点B 、D 、E ，BD 是⊙ O 的直径，∠C ＝90°，BE平分∠ABC. (1)试说明直线AC 是⊙ O 的切线；(2)当AE ＝4，AD ＝2时，求⊙ O 的半径及BC 的长．5、如图，在⊙O 中，AB 为直径，AC 为弦，过点C 作CD⊥AB 与点D ，将△ACD 沿AC 翻折，点D 落在点E 处，AE 交⊙O 于点F ,连接OC 、FC. (1）求证：CE 是⊙O 的切线。
（2）若FC∥AB，求证：四边形 AOCF 是菱形。
CF O E A BD E O C D B A6、如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为C．延长AB交CD于点E．连接AC，作∠DAC＝∠ACD，作AF⊥ED于点F，交⊙O于点G．（1）求证：AD是⊙O的切线；(2)如果⊙O的半径是6cm，EC=8cm，求GF的长．7、如图，△ABC内接于⊙O，CA=CB，CD∥AB且与OA的延长线交于点D．（1）判断CD与⊙O的位置关系并说明理由；（2）若∠ACB=120°，OA=2．求CD的长．8、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC的中点，且∠A+∠CDB=90°，过点A，D作⊙O，使圆心O在AB上，⊙O与AB交于点E．（1）求证：直线BD与⊙O相切；（2）若AD：AE=4：5，BC=6，求⊙O的直径．9、如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）如果BC=8，AB=5，求CE的长10、在△ABC中，AB=AC，点O是△ABC的外心，连接AO并延长交BC于D，交△ABC的外接圆于E，过点B作⊙O的切线交AO的延长线于Q，设OQ=92，BQ=32．（1）求⊙O的半径；（2）若DE=35，求四边形ACEB的周长11、如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径．点C为⊙O上一点，且AC 平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D。
圆的切线的判定练习题2024~2025学年人教版数学九年级上册++
切线的判定练习题1.如图，⊙O是△ACD的外接圆，CD是⊙O的直径，点B为圆外一点，且∠BAD＝∠C．求证：AB是⊙O的切线．2.如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB．求证：直线AB是⊙O的切线．3.如图，在△ABC，AC＝BC，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．求证：DE为⊙O的切线．4.如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径作⊙O，交AC于点D，连接DB，过点D作DE⊥BC，垂足为E．（1）求证：AD＝CD；（2）求证：DE为⊙O的切线．5.如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，AĈ=CD̂=DB̂，DE⊥AC．求证：DE是⊙O的切线．6.如图，AB为⊙O的直径，AC平分∠BAD交⊙O于点C，CD⊥AD，垂足为点D．求证：CD是⊙O的切线．7.如图△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，以点D为圆心，BD为半径作⊙D交AB于点E．（1）求证：⊙D与AC相切；（2）若AC＝5，BC＝3，试求AE的长．8.如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D作DF⊥BC，交AB的延长线于E，垂足为F．求证：直线DE是⊙O的切线．9.如图，在△ABC中，CA＝CB，O为AB上一点．以O为圆心，OB长为半径的⊙O过点C，交AB于另一点D．若D是OA的中点，求证：AC是⊙O的切线．10.如图所示，AB为半圆O的直径，C是半圆上一点，AD平分∠CAB交半圆于点D，过点D作DE⊥AC，DE交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，DE=√3，求线段AC的长．11.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AC上一点，以CD为直径的⊙O交BC于点F，FG⊥AB，垂足为G，求证：FG是⊙O的切线．12.如图，已知AB＝AC，以AB为直径的圆O交边BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E．（1）求证：DE是圆O的切线；（2）如果∠BAC＝120°，求证：DE=14BC．13.如图，已知AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，且∠A＝∠CDB＝∠COB．求证：CB是⊙O的切线．14.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10，BC＝6，∠ACB的平分线CO交AB于点O，以OB为半径作⊙O．（1）请判断AC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求⊙O的半径．。
练习(圆的切线)
7、如图，点在⊙O 的直径 AB 交 TP 于 P，若 PA=18，PT=12，PB=8. (1) 求证：△PTB∽△PAT；(2) 求证：PT 为⊙O 的切线； 2 (3) 在⌒ AT 上是否存在一点 C，使得 BT =8TC？若存在，请证明；若不存在，请说明理由. P B
O T A 8、如图，点 O 是已知线段 AB 上一点，以 OA 为半径 的⊙ O 交线段 AB 于点 C ，以线 ．． 段 OB 为直径 的圆与⊙O 的一个交点为 D ，过点 A 作 AB 的垂线交 BD 的延长线于点 M ． ．． (1) 求证： BD 是⊙O 的切线； (2) 若 BC，BD 的长度是关于 x 的方程 x 6 x 8 0 的两个根，求⊙O 的半径；
图2ALeabharlann R变化二：运动探求. 1．如图 2，若 OA 向上平移，变化一中的结论还成立吗？(只需交待判断)
2．如图 3，如果 P 在 OA 的延长线上时，BP 交⊙O 于 Q， 过点 Q 作⊙O 的切线交 OA 的延长线于 R，原题中的结论 还成立吗？为什么？
B Q O A R P
图3
3．若 OA 所在的直线向上平移且与⊙O 无公共点，请你根 据原题中的条件完成图 4，并判断结论是否还成立？ (只需交待判断) • O
24、如图，M 在△ABC 的 AC 边上，且 MB = MA = MC ，AB 是⊙O 的直径， 求证：BC 是⊙O 的切线
25、已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，半圆 O 切 BC 于点 B，切 AC 于点 D， 交 AB 于点 E，BC= BE =2，求 AE 和 AD 的长
·
G A N E C
21、已知，如图，⊙O 是△ABC 外接圆，且 AB=AC=13，BC=24，PA 是⊙O 的切线，A 为 切点，射线 PB 过圆心，交⊙O 于另一点 D，连接 CD． A P （1）试说明：PA∥BC； C B （2）求⊙O 的半径及 CD 的长．
圆的切线证明方法专题(基础篇)(专项练习)
专题2.10 圆的切线证明方法专题（基础篇）（专项练习） 1．如图，AD 是⊙O 的弦，AB 经过圆心O 交⊙O 于点C ，∠A ＝∠B ＝30°，连接BD ．求证：BD 是⊙O 的切线．2．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的直线与AB 延长线相交于点P ．若∠COB ＝2∠PCB ，求证：PC 是⊙O 的切线．3．如图，AD ，BD 是O 的弦，AD BD ⊥，且28BD AD ==，点C 是BD 的延长线上的一点，2CD =，求证：AC 是O 的切线．4．如图，点P 是O 的直径AB 延长线上的一点（PB OB <），点E 是线段OP 的中点．在直径AB 上方的圆上作一点C ，使得EC EP =．求证：PC 是O 的切线．5．如图，在△ABC 中，∠A=45°，以AB 为直径的⊙O 交于AC 的中点D ，连接CO ，CO 的延长线交⊙O 于点E ，过点E 作EF ⊥AB ，垂足为点G ．（1）求证：BC 时⊙O 的切线；（2）若AB=2，求线段EF 的长．6．如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的切线，切点为C ，BE CD ⊥，垂足为E ，连接,AC BC .（1）求证：BC 平分ABE ∠；（2）若60A ∠=︒，2OA =，求CE 的长.7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AM是△ACD外角∠DAF的平分线.(1)求证：AM是⊙O的切线.(2)若C是优弧ABD的中点，AD＝4，射线CO与AM交于N点，求ON的长.8．如图，在△ABC中，AB＝AC，O是边AC上的点，以OC为半径的圆分别交边BC、AC 于点D、E，过点D作DF⊥AB于点F．（1）求证：直线DF是⊙O的切线；（2）若OC＝1，∠A＝45°，求劣弧DE的长．9．如图，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，CD＝CB，∠D＝∠A（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若BC＝2，求BD的长．10．已知：如图，AB是O的直径，点C在O上，BD平分 ABC，AD＝AE，AC与BD 相交于点E．(1) 求证：AD是O的切线．(2) 若AD＝DE＝2，求BC的长．11．如图，已知AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使DC=BD，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：AB=AC；（2）求证：DE是⊙O的切线；（3）若⊙O的半径为6，∠BAC=60°，则DE=________．12．已知AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，P是⊙O上半部分的一个动点，连接OP，CP．(1) 如图①，△OPC的最大面积是________；(2) 如图②，延长PO交⊙O于点D，连接DB，当CP＝DB时，求证：CP是⊙O的切线．13．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，延长CA 到点D ，以AD 为直径作O ，交BA 的延长线于点E ，延长BC 到点F ，使BF EF =．(1) 求证：EF 是O 的切线；(2) 若9OC =，4AC =，8AE =，求BE 的长．14．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，且DC ＝AD ．过点A 作⊙O 的切线，过点C 作DA 的平行线，两直线交于点F ，FC 的延长线交AB 的延长线于点G ．(1) 求证：FG 与⊙O 相切；(2) 连接EF ，若AF ＝2，求EF 的长．15．如图，Rt △ABC ，∠ABC =90°，点O 在AB 上，AD ⊥CO 交CO 延长线于点D ，∠DAO =∠ACO ，以点O 为圆心，OB 为半径作圆．(1) 求证：AC 是⊙O 的切线；(2) 已知68CB AB ==，，求OC 的长？16．如图所示，AB 为⊙O 的直径，在△ABC 中，AB =BC ，AC 交⊙O 于点D ，过点D 作DE ⊥BC ，垂足为点E ．(1) 证明DE 是⊙O 的切线；(2) AD =8，P 为⊙O 上一点，P 到弦AD 的最大距离为8．① 尺规作图作出此时的P 点，保留作图痕迹；② 求DE 的长．17．如图，线段AB 经过O 的圆心O ，交圆O 于点A ，C ，1BC =，AD 为O 的弦，连接BD ，30BAD ABD ∠=∠=︒，连接DO 并延长交O 于点E ，连接BE 交O 于点M ．(1) 求证：直线BD 是O 的切线；(2) 求线段BM 的长．18．如图，Rt ABC △中，90C ∠=︒，点O 在AC 上，以OA 为半径的半圆O 分别交AB ，AC 于点D ，E ，过点D 作半圆O 的切线DF ，交BC 于点F ．(1) 求证：BF DF =；(2) 若4AO CE ==，1CF =，求BF 的长．19．如图，在Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，⊙O 与AB 相交于点C ，与AO 相交于点E ，连接CE ，已知∠AOC ＝2∠ACE ．(1) 求证：AB 为⊙O 的切线；(2) 若AO ＝20，BO ＝15，求AE 的长．20．如图，ABC 内接于O ，AC 是O 的直径，点D 是O 上一点，连接CD 、AD ，过点B 作BE AD ⊥，交DA 的延长线于点E ，AB 平分CAE ∠．(1) 求证：BE 是O 的切线；(2) 若30ACB ∠=︒，O 的半径为6，求BE 的长．21．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点O ，D 为AB 上的一点，OD ＝OC ，以O 为圆心，OB 的长为半径作⊙O ．(1) 求证：AC 是⊙O 的切线；(2) 若AB ＝6，BD ＝2，求线段AC 的长．22．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作DE⊥AC交AC于点E．(1) 试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；(2) 若⊙O的半径为5，BC=16，求DE的长．∠=︒，以AC为直径作O，交AB于点D，E为BC的23．如图，在Rt ABC中，ACB中点，连接DE并延长交AC的延长线于点E．(1)求证：DF是O的切线；(2)若2CF=，4DF=，求O的半径．24．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，点P在BA的延长线上，连接BC，OC，PC．若AB＝6，AC的长为π．(1) 求∠AOC的度数；(2) 若BC＝PC，求证：直线PC与⊙O相切．参考答案1．证明见分析【分析】连接OD，求出∠ODB＝90°，根据切线的判定推出即可．解：如图，连接OD，∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠DAB＝30°，∴∠DOB＝∠ODA+∠DAB＝60°，∴∠ODB＝180°﹣∠DOB﹣∠B＝180°﹣60°﹣30°＝90°，即OD⊥BD，∴直线BD与⊙O相切．【点拨】此题主要考查了切线的判定，三角形的内角和以及三角形的外角性质，关键是证明OD⊥BD．2．证明见分析．【分析】利用半径OA＝OC可得∠COB＝2∠A，然后利用∠COB＝2∠PCB即可证得结论，再根据圆周角定理，易得∠PCB＋∠OCB＝90°，即OC⊥CP；故PC是⊙O的切线．解：连接AC，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO．∴∠COB＝2∠ACO．又∵∠COB＝2∠PCB，∴∠ACO＝∠PCB．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACO+∠OCB＝90°．∴∠PCB+∠OCB＝90°，即OC⊥CP．∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线．【点拨】此题主要考查了圆的切线的判定及圆周角定理的运用，关键是利用半径OA ＝OC 可得∠COB ＝2∠A ．3．证明见分析．【分析】先由勾股定理的逆定理证明垂直，再由切线的判断进行解答即可．证明：连接AB ，∵AD BD ⊥，且28BD AD ==∴AB 为直径，AB 2=82+42=80，∵CD =2，AD =4∴AC 2=22+42=20∵CD =2，BD =8,∴BC 2=102=100∴222AC AB CB +=，∴90BAC ∠=︒∴AC 是O 的切线．【点拨】本题考查切线的判定，圆周角定理的推论，勾股定理的逆定理，解题关键是作出辅助线构造直角三角形．4．证明见分析【分析】连接OC ，根据线段中点的定义得到OE ＝EP ，求得OE ＝EC ＝EP ，得到∠COE ＝∠ECO ，∠ECP ＝∠P ，利用三角形内角和定理求出90ECO ECP ∠+∠=︒，根据切线的判定定理即可得到结论．证明：连接OC ，∵点E 是线段OP 的中点，∴OE EP =，∵EC EP =，∴OE EC EP ==，∴COE ECO ∠=∠，ECP P ∠=∠，∵180COE ECO ECP P ∠+∠+∠+∠=︒，∴90ECO ECP ∠+∠=︒，∴OC PC ⊥，∵OC 是O 的半径，∴PC 是O 的切线．【点拨】本题考查了切线的判定，等边对等角，三角形内角和定理，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．5．（1）证明参见分析；（2 试题分析：（1）连接BD ，由圆周角性质定理和等腰三角形的性质以及已知条件证明∠ABC=90°即可；（2）根据AB=2，则圆的直径为2，所以半径为1，即OB=OE=1，利用勾股定理求出CO 的长，再通过证明△EGO ∽△CBO 得到关于EG 的比例式可求出EG 的长，进而求出EF 的长．解：（1）如图：连接BD ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB=90°，∴BD ⊥AC ，∵AD=CD ，∴AB=BC ，∴∠A=∠ACB=45°，∴∠ABC=90°，∴BC 是⊙O 的切线；（2）∵AB=2，∴BO=1，∵AB=BC=2，∴EF ⊥AB ，BC ⊥AB ，∴EF ∥BC ，∴△EGO ∽△CBO ，∴EG EOBC CO =，∴2EG =，∴考点：1.切线的判定；2.相似三角形的判定与性质；3.勾股定理的运用.6．（1）详见分析；（2）CE 【分析】（1）利用切线的性质得OC ⊥DE ，再证明OC ∥BE 得到∠OCB ＝∠CBE ，加上∠OCB ＝∠CBO ，所以∠OBC ＝∠CBE ；（2）利用圆周角定理得到∠ACB ＝90°，再证明△OAC 等边三角形得到AC ＝OA ＝2，再利用勾股定理可计算出BC ＝Rt △CBE 中利用含30度的直角三角形三边的关系求CE 的长．（1）证明：∵CD 是O 的切线，∴OC DE ⊥，又∵BE DE ⊥，∴OC BE ，∴OCB CBE ∠=∠，∴OBC CBE ∠=∠，即BC 平分ABE ∠；（2）解：∵AB 为O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∵60A ∠=︒，∴OAC 是等边三角形，2AC OA ==.∴24AB OA ==，∴BC =∵1302OBC AOC ∠=∠=︒，且OBC CBE ∠=∠， ∴30CBE ∠=︒.∴12CE BC ==【点拨】本题考查了切线的性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；常常“遇到切点连圆心得半径”．7．(1)证明见分析；(2)ON . 【分析】(1)根据垂径定理得到AB 垂直平分CD ，根据线段垂直平分线的性质得到AC ＝AD ，得到∠BAD ＝12∠CAD ，由AM 是△ACD 的外角∠DAF 的平分线，得到∠DAM ＝12∠FAD ，于是得到结论；(2)证明△ACD 是等边三角形，得到CD ＝AD ＝4，根据直角三角形的性质即可得到结论.(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∴AB 垂直平分CD ，∴AC ＝AD ，∴∠BAD ＝12∠CAD ，∵AM 是△ACD 的外角∠DAF 的平分线，∴∠DAM ＝12∠FAD ，∴∠BAM ＝12(∠CAD+∠FAD)＝90°，∴AB ⊥AM ，∴AM 是⊙O 的切线；(2)解：∵AC ＝AD ，C 是优弧ABD 的中点，∴AC ＝AD ＝CD ，∴△ACD 是等边三角形，∴CD ＝AD ＝4，60CAD ACD ︒∠=∠=由（1）知AB 垂直平分CD ，则AB 平分CAD ∠∴CE ＝DE ＝2，1302CAE CAD ︒∠=∠= OC OA =30ACO CAE ︒∴∠=∠=30OCE ACD ACO ︒∴∠=∠-∠=在Rt OCE 中，设OC x =，则12OE x = 根据勾股定理得222OE CE OC +=，即2221()22x x +=解得x =∴OC ＝OA ∵∠ANO ＝∠OCE ＝30°，∴ON ＝2OA . 【点拨】本题是圆与三角形的综合题，涉及的知识点主要有切线的判定、垂径定理、等边三角形的判定与性质、直角三角形30度角的性质，灵活利用圆与三角形的相关性质是解题的关键.8．（1）详见分析；（2）34π． 【分析】（1）连结OD ，根据等腰三角形的性质得到OD ∥AB ，根据平行线的性质得到∠ODF ＝90°，根据切线的判定定理证明；（2）根据平行线的性质得到∠AOD ＝180°﹣45°＝135°，根据弧长公式计算即可． 证明：如图，连结OD ，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠ACB，∴∠B＝∠ODC，∴OD∥AB，∵DF⊥AB，∴∠ODF＝∠BFD＝90°，∵OD为半径，∴直线DF是⊙O的切线；（2）解：∵∠A＝45°，OD∥AB，∴∠AOD＝180°﹣45°＝135°，∴劣弧DE的长为1353 1804ππ⨯=．【点拨】本题主要考查了切线的判定及弧长的计算，熟练掌握切线的判定定理及弧长的计算公式是解题的关键.9．（1）见分析；（2）BD＝【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠CBD+∠OBC＝90°，则∠OBD＝90°，可得出结论；（2）证明△OBC为等边三角形，得出∠BOC＝60°，根据直角三角形的性质可得出答案．（1）证明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠BOC+2∠OBC＝180°，∵∠BOC＝2∠A，∴∠A+∠OBC＝90°，又∵BC＝CD，∴∠D＝∠CBD，∵∠A＝∠D，∴∠CBD+∠OBC＝90°，∴∠OBD＝90°，∴OB⊥BD，∴BD是⊙O的切线；（2）解：∵∠OBD＝90°，∠D＝∠CBD，∴∠OBC＝∠BOC，∴OC＝BC，又∵OB＝OC，∴△OBC为等边三角形，∴∠BOC＝60°，∵BC＝2，∴OB＝2，∴BD＝【点拨】本题考查切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定是解题的关键．10．(1)见分析【分析】（1）根据AB是O的直径，可得∠C＝90°，由BD平分∠ABC，可得∠CBD＝∠ABD，根据AD＝AE，可得∠CEB＝∠DEA，进而可得∠BAD＝90°，即可得证；（2）连接AF，根据等腰三角形的性质可得DF＝12DE＝1，勾股定理求得AF，证明△AEF≌△BEC，即可求解．（1）∵AB是O的直径，∴∠C＝90°，∴∠CBE＋∠CEB＝90°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD，∵AD＝AE，∴∠D＝∠AED，∵∠CEB＝∠DEA，∴∠ABD＋∠D＝∠CBE ＋∠CEB＝90°，即∠BAD＝90°，∴AD是⊙O的切线，（2）连接AF，如图，∵AB是O的直径，∴∠AFB＝90°，即AF BD⊥，∵AD＝DE＝2，∴DF＝12DE＝1，在Rt ADF∆中，AD＝2，DF＝1，∴AF＝41-＝3，∵∠DBA＋∠D＝∠EAB＋∠DAE＝90°，∠D＝∠DAE＝60°，∴∠DBA＝∠EAB，∴AE＝BE，又∠AFE＝∠C＝90°，∠AEF＝∠CEB，∴△AEF≌△BEC（AAS），∴BC＝AF【点拨】本题考查了直径所对的圆周角是直角，切线的判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．11．（1）见分析；（2）见分析；（3）【分析】（1）连接AD，由直径所对的圆周角度数及中点可证AD是BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得结论；（2）连接OD，由中位线的性质可得OD∥AC，由平行的性质与切线的判定可证；（3）易知ABC是等边三角形，由等边三角形的性质可得CB长及C∠度数，利用直角三角形30度角的性质及勾股定理可得结果.解：（1）连接AD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∴⊥AD BC又∵DC=BD，∴AD是BC的垂直平分线∴AB=AC．（2）连接OD．∵DE⊥AC，∴∠CED=90°．∵O为AB中点，D为BC中点，∴OD∥AC．∴∠ODE=∠CED=90°．∴DE是⊙O的切线．=（3）由（1）得AC AB60BAC ∠=︒ABC ∴是等边三角形60,2612C BC AB ︒∴∠===⨯=162DC BD BC ∴=== 在Rt CED 中，906030CDE ︒︒︒∠=-=132CE CD ∴== 根据勾股定理得222CE DE CD +=DE ∴【点拨】本题考查了圆与三角形的综合，涉及的知识点主要有圆的切线的判定、圆周角定理的推论、垂直平分线的性质、等边三角形与直角三角形的性质，灵活的将图形与已知条件相结合是解题的关键.12．(1)4(2)见分析【分析】（1）因为OC 长度确定，所以当点P 到OC 的距离最大时△OPC 的面积最大，当OP ⊥OC 时，当点P 到OC 的距离最大，等于圆O 的半径，求出此时的△OPC 的面积即可；（2）连接AP ，BP ，利用同圆中，相等的圆心角所对的弦相等，可得AP =DB ，因为CP ＝DB ，所以AP =CP ，可证△APB ≌△CPO （SAS ），得到∠OPC ＝90°，即可证明CP 是切线．(1)解：∵AB ＝4，∴OB ＝2，OC ＝OB +BC ＝4．在△OPC 中，设OC 边上的高为h ，∵S △OPC 12=OC •h ＝2h ， ∴当h 最大时，S △OPC 取得最大值．作PH ⊥OC ，如图①，则PO PH >，当OP ⊥OC 时，PO PH =，此时h 最大，如答图1所示：此时h ＝半径＝2，14242OPC S ⨯⨯＝＝．∴△OPC 的最大面积为4，故答案为：4．(2)证明：如答图②，连接AP ，BP ．∵∠AOP ＝∠BOD ，∴AP ＝BD ，∵CP ＝DB ，∴AP ＝CP ，∴∠A ＝∠C ，在△APB 与△CPO 中，AP CP A C AB CO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△APB ≌△CPO （SAS ），∴∠APB ＝∠OPC ，∵AB 是直径，∴∠APB ＝90°，∴∠OPC ＝90°，∴DP ⊥PC ，∵DP 经过圆心，∴PC 是⊙O 的切线．【点拨】本题考查了圆，熟练掌握圆的半径、切线、弦与圆心角的关系等知识是解题的关键．13．(1)见分析(2)13【分析】（1）连接OE ，根据等边对等角可得OEA OAE ∠=∠，FEB B ∠=∠，根据对顶角相等，等量代换后可得90OEA FEB ∠+∠=︒即可得证；（2）过点O 作OG BE ⊥，根据垂径定理可得4AG AC ==，由945AO OC AC =-=-=，证明AOG ≌ABC ，可得5AB =，根据BE EA AB =+即可求解．（1）如图，连接OE ，Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，90CAB B ∴∠+∠=︒，OE OA =，OEA OAE ∴∠=∠，OAE CAB ∠=∠，90OEA B ∴∠+∠=︒，BF EF =，FEB B ∴∠=∠，90OEA FEB ∴∠+∠=︒，即90FEO ∠=︒，OE 是半径，∴EF 是O 的切线； （2）如图，过点O 作OG BE ⊥，8AE =，124EG AG AE ∴===，9OC =，4AC =，945AO OC AC ∴=-=-=，在AOG 与ABC 中，904OGA BCA AG AC GAO CAB ∠=∠=︒⎧⎪==⎨⎪∠=∠⎩∴AOG ≌ABC ，5AB AO ∴==，5813BE BA AE ∴=+=+=，【点拨】本题考查了切线的判定定理，垂径定理，掌握以上知识是解题的关键． 14．(1)见分析(2)EF =【分析】（1）连接OC ，AC ．先证明△ACD 为等边三角形．可得∠ACO =∠OAC =30°．再由FG ∥DA ，可得∠ACF =∠DAC =60°．从而得到∠OCF =90°．即可求证；（2）根据AD ∥FG ，可得∠AGF =∠DAE =30°．再根据直角三角形的性质可得FG =2AF =4，AG ADE ≌△GCE ．可得AE=GE即可求解．(1)证明：连接OC，AC．∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE=DE，AD=AC．∵DC=AD，∴DC=AD=AC．∴△ACD为等边三角形．∴∠D=∠DCA=∠DAC=60°．∴∠AOC=30°，∵OA=OC，∴∠ACO=∠OAC=30°．∵FG∥DA，∴∠ACF=∠DAC=60°．∴∠OCF=90°．∴OC⊥FG．∵OC为半径，∴FG与⊙O相切．(2)解：∵AD∥FG，∴∠AGF=∠DAE=30°．∵AF为⊙O的切线，∴∠F AG=90°，∴FG=2AF=4，∴AG=在△ADE和△GCE中，∵∠AGF=∠DAE=30°．∠CEG=∠AED，DE=CE，∴△ADE≌△GCE．∴AE=GE∴EF【点拨】本题主要考查了垂径定理，切线的性质和判定，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握垂径定理，切线的性质和判定，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．15．(1)见分析(2)OC=【分析】（1）证明∠BCO=∠ACO，推出OE=OB，即可证明AC是⊙O的切线；（2）证明△OBC≌△OEC，利用勾股定理求得AC=10，在Rt△AOE中，利用勾股定理列式计算可求得圆的半径，进一步求解即可．(1)证明：作OE⊥AC，垂足为E，∵AD⊥CO，∴∠ADO=90°，∴∠ADO=∠ABC=90°，∵∠AOD=∠BOC，∴∠DAO=∠BCO，∵∠DAO=∠ACO，∴∠BCO=∠ACO，∵OB⊥BC，OE⊥AC，∵OE=OB，∵OB是半径，∴AC是⊙O的切线；(2)解：∵OBC=∠OEC，∠BCO=∠ACO，OC=CO，∴△OBC≌△OEC，∴BC=EC=6，在Rt△ABC中，10AC=，∴AE=AC−EC=10−6=4，在Rt△AOE中，设半径为R，∵AE2+OE2=OA2，∴42+R2=(8−R)2，∴R=OC=3，∴在Rt△OBC中，OC==【点拨】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键．16．(1)见分析(2)①见分析；②DE=4.8【分析】（1）连接OD、BD，求出BD⊥AC，可得AD=DC，根据三角形的中位线得出OD∥BC，推出OD⊥DE，根据切线的判定推出即可；（2）①利用垂径定理作出AD的垂直平分线即可；②根据垂径定理以及勾股定理求得⊙O的半径和FO，再根据中位线中位线定理求得BD，然后根据三角形面积公式即可求解．(1)证明：连接OD，BD，∵AB为⊙O的直径，∴BD⊥AD，又∵AB=BC，△ABC是等腰三角形，∴BD又是AC边上的中线，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥BC，又DE⊥BC，∴DE⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；(2)解：①如图，作AD的垂直平分线与☉O相交于点P，点P即为所求．②如图，AD 的垂直平分线与AD 相交于点F ，连接BD ，∵PF ⊥AD ，∴AF =12AD =4， 设☉O 的半径为r ，在Rt △AFO 中，AF 2+FO 2=AO 2，即42+(8−r ) 2=r 2，解得r =5．∴FO =PF −PO =3，∵FO 是△ABD 的中位线，∴BD =2FO =6，∵AB 为⊙O 的直径，∴BD ⊥AC ，又∵AB =BC ，△ABC 是等腰三角形，∴AD =DC =8，∴BC =AB =10，在Rt △BDC 中，S △BDC =12BD ⋅CD =12BC ⋅DE ， ∴DE =4.8．【点拨】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，垂径定理，勾股定理，三角形中位线等知识点的综合运用．17．(1)见分析【分析】（1）根据圆周角定理可得260BOD BAD ∠=∠=︒，从而得到90ODB ∠=︒ ，即可求证； （2）连接DM ，Rt △BOD 中，根据直角三角形的性质可得 BO =2OD ，从而得到1OD OC ==，BD =DE O 为的直径，可得2DE =，90DME ∠=︒，从而得到BE =1122BDE S BD DE BE DM =⋅=⋅△，可得DM =，再由勾股定理，即可求解．(1)证明：∵∠BOD =2∠BAD ，∴260BOD BAD ∠=∠=︒，又∵30ABD ∠=︒，∴90ODB ∠=︒ ，即OD BD ⊥，又∵OD 为O 的半径，∴直线BD 是O 的切线；(2)解：如图，连接DM ，Rt △BOD 中，30DBO ∠=︒，∴2BO OD OC BC ==+，又1BC =，OD OC =，∴1OD OC ==，∴BD =∵DE O 为的直径，∴2DE =，90DME ∠=︒，在Rt △BDE 中，BE == ∵1122BDE S BD DE BE DM =⋅=⋅△，∴BD DE DM BE ⋅==在Rt △BDM 中，BM = 【点拨】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键． 18．(1)见分析(2)7(1) 连接OD ，得到OAD ADO ∠=∠，利用余角的性质得到B BDF ∠=∠，得出结果；(2) 连接OF ，构造直角三角形，利用勾股定理求解．(1)证明：连接OD ，如图，∵半圆O 的切线DF ，∴90ODF ∠=︒．∴90ADO BDF ∠+∠=︒．∵90C ∠=︒，∴90OAD B ∠+∠=︒．∵OA OD =，∴OAD ADO ∠=∠．∴B BDF ∠=∠．∴BF DF =．(2)解：连接OF ．∵4AO CE ==，AO OE =，∴8OC =．∵9090C ODF ∠=︒=∠=︒，1CF =，∴2222265OF OC CF OD DF =+=+=．又∵4OD =，∴7DF BF ==．【点拨】本题考查切线的性质、等腰三角形的判定以及勾股定理，遇切线连接圆心和切点时解决问题的关键．19．(1)见分析(2)8（1）根据OC ＝OE ，得到∠OCE ＝∠OEC ，再根据∠AOC ＝2∠ACE ，得到∠OCA ＝∠OCE +∠ACE ＝12（∠OCE +∠OEC +∠AOC ）＝11802⨯＝90°，即有OC ⊥AB ，结论得证； （2）利用勾股定理求出AB ，在根据三角形的面积的不同算法可求出OC ，即AE 可求．(1)证明：∵OC ＝OE ，∴∠OCE ＝∠OEC ，∵∠AOC ＝2∠ACE ，∴∠OCA ＝∠OCE +∠ACE ＝12（∠OCE +∠OEC +∠AOC ） ＝11802⨯＝90°， ∴OC ⊥AB ，∴AB 为⊙O 的切线；(2)∵AO ＝20，BO ＝15，∴25AB ， ∵1122OA OB AB OC ⨯⨯=⨯⨯， 即1120152522OC ⨯⨯=⨯⨯， ∴OC ＝12，∴AE ＝OA ﹣OE ＝20﹣12＝8.【点拨】本题考查了切线的判定与性质、勾股定理以及三角形面积的知识，利用勾股定理解直角三角形是解答本题的关键．20．(1)见分析；(2)【分析】（1）根据切线的判定定理证明即可；（2）证明ABO 是等边三角形，利用30所对的直角边等于斜边的一半证明132AE AB ==，再由勾股定理，得BE (1)证明：连接BO ．∵OA OB =，∴OAB OBA ∠=∠．∵AB 平分CAE ∠，∴OAB BAE ∠=∠，∴OBA BAE ∠=∠．∴OB AE ∥，∴18090EBO E ∠=︒-∠=︒，即BE OB ⊥，又∵OB 是O 的半径，∴BE 是O 的切线．(2)解：30ACB ∠=︒，∴60AOB ∠=︒．又∵OA OB =，∴ABO 是等边三角形，∴60OBA ∠=︒，6OA OB AB ===，∴30ABE ∠=︒， ∴132AE AB ==．由勾股定理，得BE =【点拨】本题考查切线的判定定理，等边三角形的判定及性质，30所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点．21．(1)见分析(2)8【分析】（1）过O 作OE ⊥AC 于E ，先证Rt △ABO ≌Rt △AEO ，OB ＝OE ，即OE 为圆的半径，即可求证；（2）利用切线的性质可得AB =AE ，再证Rt △BOD ≌Rt △COE ，即有BD ＝CE ＝2，则AC 可求．(1)证明：过O 作OE ⊥AC 于E ．∵AO 平分∠BAC ，且∠ABC ＝90°，OE ⊥AC ，∴OB ＝OE ，即OE 为圆的半径，∴AC 是⊙O 的切线；(2)∵∠ABC ＝90°，OB 为⊙O 半径，∴AB 是⊙O 的切线，又由（1）AC 是⊙O 的切线，∴AB ＝AE ＝6，在Rt △BOD 和Rt △COE 中，OB OE OD OC =⎧⎨=⎩， ∴Rt △BOD ≌Rt △COE ，∴BD ＝CE ＝2，∴AC ＝AE +CE ＝8【点拨】本题考查了切线的判定与性质，角平分线的性质定理，在OE ⊥AC 的条件下证得OE 为圆的半径是解答本题的关键．22．(1)DE 是⊙O 的切线，理由见分析；(2)DE 的长为245． 【分析】（1）连接OD ，根据等边对等角性质和平行线的判定和性质证得OD ⊥DE ，从而证得DE 是⊙O 的切线；（2）由等腰三角形的性质求出BD =CD =8，由勾股定理求出AD 的长，根据三角形的面积得出答案．(1)解：DE 是⊙O 的切线，理由如下：连接OD ，∵OB =OD ，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；(2)解：连接AD，∵∠ADB=90°，AB=AC，∴BD=CD，∵⊙O的半径为5，BC=16，∴AC=AB=10，CD=8，∴AD= 6，∵S△ADC=12AC•DE=12AD•CD，∴DE=6824105 AD CDAC⋅⨯==．【点拨】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，勾股定理，三角形的面积等知识，掌握切线的判定与性质是解题的关键．23．(1)见分析(2)3【分析】（1）连接OD、CD，由AC为⊙O的直径知△BCD是直角三角形，结合E为BC的中点知∠CDE=∠DCE，由∠ODC=∠OCD且∠OCD+∠DCE=90°可得答案；（2）设⊙O的半径为r，由OD2+DF2=OF2，即r2+42=（r+2）2可得r=3，即可得出答案．(1)解：如图，连接OD、CD．∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∴∠CDB=90°，即△BCD是直角三角形，∵E为BC的中点，∴∠CDE =∠DCE ，∵OD =OC ，∴∠ODC =∠OCD ，∵∠ACB =90°，∴∠OCD +∠DCE =90°，∴∠ODC +∠CDE =90°，即OD ⊥DE ，∴DE 是⊙O 的切线；(2)解：设⊙O 的半径为r ，∵∠ODF =90°，∴OD 2+DF 2=OF 2，即r 2+42=（r +2）2，解得：r =3，∴⊙O 的半径为3．【点拨】本题主要考查了圆切线的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线，勾股定理等等，熟知圆切线的性质与判定是解题的关键．24．(1)60︒(2)见分析【分析】（1）由直径为6，求得⊙O 的周长，再由AC 的长为π，求得AOC ∠的度数．（2）由（1）知60AOC ∠=︒，由于OB OC =，可得1302OBC AOC ∠=∠=︒，再由BC PC =推出30P ∠=︒，从而证得OC CP ⊥，直线PC 与⊙O 相切．(1)解：∵6AB =，∴⊙O 的周长为6π．∵AC 的长为π， ∴1360606AOC ∠=⨯︒=︒． (2)证明：∵AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∴OB OC =， ∴12OBC OCB AOC ∠=∠=∠．∵60AOC ∠=︒， ∴1302OBC OCB AOC ∠=∠=∠=︒． ∵BC PC =，∴30CBO P ∠=∠=︒．在COP 中，∵60COA ∠=︒，30P ∠=︒，∴180180603090OCP COA P ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴OC CP ⊥，又∵点C 在⊙O 上，∴直线PC 与⊙O 相切．【点拨】本题考查了圆的相关性质，切线的判定，综合运用圆的性质确定相关角度是解题关键．。
圆的切线证明 中考数学专项训练(含答案解析)
圆的切线证明(1)求证：CD 为O 切线；(2)若1CD =，5AC =，求PB (1)求证：CD 是O 的切线；(2)若16ABCD S =正方形，求CE3．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，O 为AB 上一点，经过点A ，D 的O 分别交AB ，AC 于点E ，F 连接OF 交AD 于点G ．(1)求证：BC 是O 的切线；(2)若60OFA ∠=︒，半径为4，在圆O 上取点P ，使15PDE ∠=︒，求点P 到直线DE 的距离．4．如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，AB CD ⊥，垂足是点H ，过点C 作直线分别与AB ，AD 的延长线交于点E ，F ，且2ECD BAD ∠=∠．(1)求证：CF 是O 的切线；(2)如果20AB =，12CD =，求AE 的长．5．如图，O 是ABC 的外接圆，O 点在BC 边上，BAC ∠的平分线交O 于点D ，连接BD 、CD ，过点D 作BC 的平行线，与AB 的延长线相交于点P ．(1)求证：PD 是O 的切线；(2)若3AB =，4AC =，求线段BD 的长．6．如图，已知以Rt ABC △的直角边AB 为直径作O ，与斜边AC 交于点D ，E 为BC 边上的中点，连接DE ．(1)求证：DE 是O 的切线；(2)若AD ，AB 的长是方程210240x x -+=的两个根，求直角边BC 的长．(1)求证：DE 是O 的切线；(2)若30C ∠=︒，23CD =，求图中阴影部分的面积．(1)求证：DE 是O 的切线；(2)若2AB =，30C ∠=︒，求9．如图，AB 为O 的直径，C ，D 为O 上的两点，BAC DAC ∠=∠，过点C 作直线EF AD ⊥，交AD 的延长线于点E ，连接BC ．(1)求证：EF 是O 的切线；(2)若30CAO ∠=︒，2BC =，求CE 的长．10．如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上一点（与点A ，B 不重合），过点C 作直线PQ ，使得ACQ ABC ∠=∠．(1)求证：直线PQ 是O 的切线．(2)过点A 作AD PQ ⊥于点D ，交O 于点E ，若O 的半径为2，30DAC ∠=︒，求图中阴影部分的面积．11．如图，等腰ABC 的顶点A ，C 在O 上， BC 边经过圆心0且与O 交于D 点，30B ∠=︒.(1)求证：AB 是O 的切线；(2)若6AB =，求阴影部分的面积12．如图，AB 是ABC 外接圆O 的直径，PA 是O 的切线，BD OP ∥，点D 在O 上．(1)求证：PD 是O 的切线．(2)若ABC 的边6cm AC =，8cm BC =，I 是ABC 的内心，求IO 的长度．13．如图，AB 是O 的直径，AC 是弦，点D 是O 上一点，OD AB ⊥，连接CD 交AB 于点E ，F 是AB 延长线上的一点，且CF EF =．(1)求证：CF 是O 的切线；(2)若8CF =，4BF =，求弧BD 的长度．14．如图所示，在Rt ABC △中，点O 在斜边AB 上，以O 为圆心，OB 为半径作圆O ，分别与BC 、AB 相交于点D 、E ，连接AD ，已知CAD B ∠=∠．(1)求证：AD 是O 的切线；(2)若23AD CD ==时，求阴影部分的面积．(1)求证：PA是O(2)若tan CAD∠=(3)延长CD，AB交于点(1)求证：DE BG=；(2)求证：BF是O的切线；(3)若23DEEG=时，AE(1)当60A ∠=︒，2AD =时，求(2)求证：DF 是O 的切线．(1)求证：DF 是O (2)若 BE DE =，tan(1)求证：直线AB 为O 的切线；(2)若4tan 3A =，O 的半径为2，求AB (1)求证：BF 是O 的切线；(2)若6EF =，cos ABC ∠①求BF 的长；②求O 的半径．参考答案：∵CD AE ⊥，∴90ADC ∠=︒，∵OC OA =，∴OCA OAC ∠=∠，∵的平分线AC 交O 于∵AB 为O 直径，∴90ACB ∠=︒，∴90ADC ACB ∠=∠=︒，∵DAC OAC ∠=∠，∴，【点睛】此题重点考查正方形的性质、等腰三角形的性质、切线的判定、平行线分线段成比例定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．3．(1)见解析(2)232-或423-【分析】（1）连接OD ，可得（2）①过点P 作PN DE ⊥交交于H ，可求60EOD ∠=︒，即可求解；②连接OD ，OP 60EOD ∠=︒，30POE ∠=︒，可证求解．【详解】（1）解：如图，连接∴OA OD =，∴ODA OAD ∠=∠，AD 是BAC ∠的平分线，， ∠=︒PDE15=，PE PE ∴∠=︒POE30，OA OF∠=︒60OFA=，∴∠=︒，OAF60∠的平分线， AD是BAC同理可求60EOD ∠=︒，30POE ∠=︒，1302DOL EOD ∴∠=∠=︒，30DOP EOD POE ∠=∠-∠=︒，DOP DOL ∴∠=∠，AB 是O 的直径，90ACB ∴∠=︒，AO OB =，AB CD ⊥ ，AB ∴平分弦CD ，AB 平分 CD，CH HD ∴=， CBDB =，90CHA CHE ∠=︒=∠，BAD BAC DCB ∴∠=∠=∠，∵AB 是O 的直径，∴90ADB ∠=︒，∴BDC 为直角三角形，∵E 为BC 边上的中点，∴ED EB =，∴12∠=∠，∵OB OD =，3=4∠∠∵AB AC =，∴A ABC CB =∠∠，设OB OD r ==，∴ABC ODB ∠=∠，∵AB AC =，23CD =，C ∠=∴23BD CD ==，30B C ∠=∠=∴1803030120BOD ∠=︒-︒-︒=︒OF BD ⊥==OB OD AB AC,∴∠=∠，B CB ODB∠=∠∴∠=∠．ODB C∴∥．OD AC，=OA OC∴∠=∠，OAC OCAQ，∠=∠DAC BAC∴∠=∠，DAC OCA∥，∴AD OC，EF AD⊥∴⊥，而OC为半径，EF OC的切线；∴是OEF的直径，（2）解：AB为O（1）根据题意连接OC ，可知90ACB ∠=︒，可知AOC 是等腰三角形，OAC OCA ∠=∠，继而可证90OCD ∠=︒；（2）连接OE ，过点E 作EF AB ⊥，根据题意可知60EAO ∠=︒即可得知AEO △为等边三角形，再求出扇形AOE 面积减去AEO △的面积即为阴影面积．【详解】（1）解：连接OC ，，∵OA OC =，AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∴90CAB CBA ∠+∠=︒，∴AOC 是等腰三角形，∴OAC OCA ∠=∠，∵ACQ ABC ∠=∠，∴90ACQ OCA ∠+∠=︒，∴OC PQ ⊥，∴直线PQ 是O 的切线；（2）解：连接OE ，过点E 作EF AB ⊥，，∵AD PQ ⊥，ACQ ABC ∠=∠，∴30DAC CAB ∠=∠=︒，∴60EAO ∠=︒，∵AB 为O 的直径，∴90ADB ∠=︒，∵BD OP ∥，∴OP AD ⊥，OP 是AD 的垂直平分线，∴PD PA =，则IU IV IQ ==，∵AB 为O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∵6cm AC =，8cm BC =，∴226810AB =+=，5OB OA ==(2)3π．【分析】本题考查了切线的判定，求弧长；（1）如图，连接OC ，OD ．证明90OCF ∠=︒即可；（2）设O 的半径为r ，在Rt COF △中，勾股定理可得6r =，再根据弧长公式可解决问题．【详解】（1）证明：连接OCCF EF= CEF ECF∴∠=∠OD AB⊥ 90DOE ∴∠=︒，90ODE OED ∴∠+∠=︒，OD OC = ，ODE OCD ∴∠=∠，CEF OED ∠=∠ ，OED ECF ∴∠=∠，90OCD ECF ∴∠+∠=︒，即90OCF ∠=︒，OC CF ∴⊥，CF ∴是O 的切线．（2）设O 的半径为r ，∵4BF =，∴4OF r =+，在Rt OCF 中，90,∠=︒ACB∴∠+∠CAD ADC=,OB OD∴∠=∠,B ODB则sin 30OH OD =⋅ODB S S S ∴=-阴影扇形∴CAD BAD ∠=∠，∴5CD BD ==，∵AB 为直径，点∴90ADB ∠=︒，∵2DOB DAB ∠=∠=∠又∵DFO CFA ∠=∠，∴DOF CAF ∽，又∵OB BF OA ==，∴23DF FO FC FA ==，∴90EHB BGF ∠=∠=︒，∵点C 为劣弧BD 中点，∴ CDBC =，∴DAC BAC DBC ∠=∠=∠∵AD 是O 的直径，∴90AED ∠=︒，∵60A ∠=︒，2AD =∴30ADE ∠=︒，则12AE =∴2222DE AD AE =-=∵AD 是直径，∴90AED ∠=︒，∴1809090DEB ∠=︒-︒=︒∵四边形ABCD 为菱形，∴DBE DBF ∠=∠，AD ∥∵BE BF =，DB DB =，∴()SAS DBE DBF ≌，∴90DFB DEB ∠=∠=︒，∵AD BC ∥，∴90ADF DFB ∠=∠=︒，∴AD DF ⊥，∵AD 为直径，∴DF 是O 的切线．【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角为直角，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，切线的判定，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握切线的判定方法．18．(1)见解析(2)52AB 是O 的直径，90ADB ∴∠=︒，90BDC ∴∠=︒，90BDF CDF ∠∠∴+=︒，OB OD = ，OBD ODB ∴∠=∠，CDF ABD ∠∠= ，ODB CDF ∠∠∴=，90ODB BDF ∴∠+∠=︒，90ODF ∴∠=︒，DF OD ∴⊥，OD 是O 的半径，DF ∴是O 的切线；（2）如图，连接AE ，∵ BEDE =，BAE CAE ∴∠=∠，AB 是O 的直径，90AEB ∴∠=︒，90AEC ∴∠=︒，AEB AEC ∴∠=∠，∵OC OD =，∴OCD ODC ∠=∠．设OCD ODC α∠=∠=，∴22A BCD α∠=∠=．∵90ACB ∠=︒，。
圆的切线之经典练习题
圆的切线之----- A 班经典练习题班级 姓名一、选择题：1、“圆的切线垂直于经过切点的半径”的逆命题是（ ）A 、经过半径外端点的直线是圆的切线；B 、垂直于经过切点的半径的直线是圆的切线；C 、垂直于半径的直线是圆的切线；D 、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
2、如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝900，点O 在BC 上，以O 为圆心的⊙O 分别与AB 、AC 相切于E 、F ， 若AB ＝a ，AC ＝b ，则⊙O 的半径为（ ） A 、ab B 、ab b a + C 、b a ab + D 、2ba + 3、如图，正方形ABCD 中，AE 切以BC 为直径的半圆于E ，交CD 于F ，则CF ∶FD ＝（ ） A 、1∶2 B 、1∶3 C 、1∶4 D 、2∶54、如图，过⊙O 外一点P 作⊙O 的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，连结AB ，在AB 、PB 、PA 上分别取一点D 、E 、F ，使AD ＝BE ，BD ＝AF ，连结DE 、DF 、EF ，则∠EDF ＝（ ） A 、900－∠P B 、900－21∠P C 、1800－∠P D 、450－21∠P∙第3题图OFEDC BA∙第4题图PO FE DBA∙第6题图C OEDB A二、填空题：5、已知PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 是切点，∠APB ＝780，点C 是⊙O 上异于A 、B 的任一点，则∠ACB ＝ 。
6、如图，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，BC 与以AD 为直径的⊙O 相切于点E ，AB ＝9，CD ＝4，则四边形ABCD 的面积为 。
7、如图，⊙O 为Rt △ABC 的内切圆，点D 、E 、F 为切点，若AD ＝6，BD ＝4，则△ABC 的面积为 。
8、如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC 是和⊙O 相切于点B 的切线，过⊙O 上A 点的直线AD ∥OC ， 若OA ＝2，且AD ＋OC ＝6，则CD ＝。
圆的切线试题(经典版)
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，AB=4，求AD的长.
11．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC的中点．以BD为直径作圆O，交边AB于点P，联结PC，交AD于点E．
（1）求证：AD是圆O的切线；
（1）求证:AC是⊙O的切线;
（2）联结EF，求 的值.
15
如图，四边形ABCD内接于 ，BD是 的直径， 于E，
DA平分 .
（1）求证：AE是 的切线；
（2）若
16.如图， 是⊙O的直径，⊙O交 的中点
于 ， ，E是垂足.
（1）求证： 是⊙O的切线；
（2）如果AB=5,tan∠B= ,求CE的长.
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若点E是劣弧BC上一点，弦AE与BC相交
于点F，且CF＝9，cos∠BFA＝ ，求EF的长．
9已知：如图，⊙O的直径 =8cm， 是 延长线上的一点，过点 作⊙O的切线，切点为 ，连接 ．
(1)若 ，求阴影部分的面积；
(2)若点 在 的延长线上运动， 的平分线交 于点 ，∠ 的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠ 的度数．
（2）若PC是圆O的切线，BC= 8，求DE的长．
12已知：如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，以AB为直径作⊙O交AC于点D，交BC于点E，EF⊥AC于F交AB的延长线于G.
（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）求AD的长.
（1）证明：
13
已知：在⊙O中，AB是直径，AC是弦，OE⊥AC
于点E，过点C作直线FC，使∠FCA＝∠AOE，交
圆切线练习题(含答案)
圆切线问题典型问题例1. 已知半径为3的⊙O上一点P和圆外一点Q，如果OQ＝5，PQ＝4，则PQ 和圆的位置关系是（）A. 相交B. 相切C. 相离D. 位置不定例2. 在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，O为AB上一点，AO＝m，⊙O的半径，问m在什么范围内取值时，AC与圆：（1）相离；（2）相切；（3）相交。
例3. 已知：在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B＝∠CAE，FE：FD＝4：3。
求证：AF＝DF；例4. 已知⊙O中，AB是直径，过B点作⊙O的切线，连结CO，若AD∥OC 交⊙O于D，求证：CD是⊙O的切线。
例5. 如图所示，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB 相切于点D。
求证：AC与⊙O相切。
点悟：显然AC与⊙O的公共点没有确定，故用“d＝r”证之。
而AB与⊙O 切于D点，可连结OD，则OD⊥AB。
例6. 已知⊙O的半径OA⊥OB，点P在OB的延长线上，连结AP交⊙O于D，过D作⊙O的切线CE交OP于C，求证：PC＝CD。
例7. 在△ABC中，∠A＝70°，点O是内心，求∠BOC的度数。
圆切线问题典型问题答案例1 解：∵OP＝3，PQ＝4，OQ＝5，∴，∴△OPQ是直角三角形，且∠OPQ＝90°，∴PQ⊥OP。
即圆心O到PQ的距离等于圆的半径。
∴PQ和圆的位置关系相切，故选B。
点拨：在没有明确知道圆心到直线的距离和半径的关系时，通过已有的知识进行推证。
本题也可以通过切线的判定定理求解，即通过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
例2.点悟：要判定直线与圆的位置关系，只要比较圆心到直线的距离与半径的大小。
解：如图所示，过O作OD⊥AC垂足为D，，∴（1）当，即，也即时，则AC与⊙O相离；（2）当，即，也即时，AC与⊙O相切；（3）当，即，也即时，AC与⊙O相交。
(完整版)圆的切线综合练习题与答案(2018)
切线的判定与性质练习题一、选择题（答案唯一，每小题3分）1．下列说法中，正确的是( )A．与圆有公共点的直线是圆的切线 B．经过半径外端的直线是圆的切线C．经过切点的直线是圆的切线 D．圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线2. 如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于A，BC交⊙O于点D，若∠C＝70°，则∠AOD的度数为( )A．70° B．35° C．20° D．40°第2题第3题第4题第5题3. 如图，线段AB是⊙O的直径，点C，D为⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠E＝50°，则∠CDB等于( )A．20° B．25° C．30° D．40°4.如图，等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝8，O为BC的中点，以O为圆心作半圆，使它与AB，AC都相切，切点分别为D，E，则⊙O的半径为( )A．8 B．6 C．5 D．45.如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G，直线EF与⊙O相切于点D，则下列结论中不一定正确的是( )A．AG＝BG B．AB∥EF C．AD∥BC D．∠ABC＝∠ADC二．填空题（每小题3分）6．如图，在⊙O中，弦AB＝OA，P是半径OB的延长线上一点，且PB＝OB，则PA与⊙O的位置关系是_________．第6题第7题第8题7.如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为________________．8.如图，AB 是⊙O 的直径，O 是圆心，BC 与⊙O 切于点B ，CO 交⊙O 于点D ，且BC ＝8，CD ＝4，那么⊙O 的半径是______．9. 如图，若以平行四边形一边AB 为直径的圆恰好与对边CD 相切于点D ，则∠C＝_______度．第9题 第10题 第11题10. 如图，AB 为⊙O 的直径，直线l 与⊙O 相切于点C ，AD⊥l ，垂足为D ，AD 交⊙O 于点E ，连接OC ，BE.若AE ＝6，OA ＝5，则线段DC 的长为______．11．如图，已知△ABC 内接于⊙O，BC 是⊙O 的直径，MN 与⊙O 相切，切点为A ，若∠MAB＝30°，则∠B＝________度．三、解答题（写出详细解答或论证过程）12.（7分）如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，BD 是角平分线，点O 在AB 上，以点O 为圆心，OB 为半径的圆经过点D ，交BC 于点E.求证：AC 是⊙O的切线．第12题 第13题 第14题13.（7分）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，CD 与⊙O 相切于点D ，CE⊥AD，交AD 的延长线于点E.求证：∠BDC＝∠A.14.（7分）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于D ，以D 为圆心，DB 长为半径作⊙D，求证：AC 与⊙D 相切．15.（10分）如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，交AB 的延长线于点D ，且∠D＝2∠CAD.(1)求∠D 的度数；(2)若CD ＝2，求BD的长．第15题 第16题g se16．（12分）已知△ABC 内接于⊙O，过点A 作直线EF.(1)如图①，若AB 为⊙O 的直径，要使EF 成为⊙O 的切线，还需要添加的一个条件是(至少说出两种)：__________________________或者_______________________；(2)如图②，如果AB 是不过圆心O 的弦，且∠CAE＝∠B，那么EF 是⊙O 的切线吗？试证明你的判断．17.（12分）如图，已知直线PA 交⊙O 于A ，B 两点，AE 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，且AC 平分∠PAE，过C 作CD⊥PA，垂足为D.(1)求证：CD 为⊙O 的切线；(2)若DC ＋DA ＝6，⊙O 的直径为10，求AB 的长．答案：DDADC 6. 相切 7. ∠ABC＝90°不排除等效答案 8. 6 9. 45 10. 4 11. 6012. 解：连接OD ，∵BD 为∠ABC 平分线，∴∠OBD＝∠CBD，∵OB＝OD ，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠CBD＝∠ODB，∴OD∥BC，∵∠C＝90°，∴∠ODA＝90°，则AC 为⊙O 的切线13. 解：连接OD ，∵CD 是⊙O 的切线，∴∠ODC＝90°，∴∠ODB＋∠BDC＝90°，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°，即∠ODB＋∠ADO＝90°，∴∠BDC＝∠ADO，∵OA＝OD ，∴∠ADO＝∠A，∴∠BDC＝∠A 14. 解：过D 作DH⊥AC 于H ，由角平分线的性质可证DB ＝DH ，∴AC 与⊙D 相切15. 解：(1)∵∠COD＝2∠CAD，∠D＝2∠CAD，∴∠D＝∠COD.∵PD 与⊙O 相切于点C ，∴OC⊥PD，即∠OCD＝90°，∴∠D＝45°(2)由(1)可知△OCD 是等腰直角三角形，∴OC＝CD ＝2，由勾股定理，得OD ＝＝2，∴BD＝OD －OB ＝2－222＋222216. (1) ∠BAE＝90° ∠EAC＝∠ABC (2) (2)EF 是⊙O 的切线．证明：作直径AM ，连接CM ，则∠ACM＝90°，∠M＝∠B，∴∠M＋∠CAM＝∠B＋∠CAM＝90°，∵∠CAE＝∠B，∴∠CAM＋∠CAE＝90°，∴AE⊥AM，∵AM 为直径，∴EF 是⊙O 的切线17. 解：(1)连接OC ，证∠DAC＝∠CAO＝∠ACO，∴PA∥CO，又∵CD⊥PA，∴CO⊥CD，∴CD 为⊙O 的切线(2)过O 作OF⊥AB，垂足为F ，∴四边形OCDF 为矩形．∵DC＋DA ＝6，设AD ＝x ，则OF ＝CD ＝6－x ，AF ＝5－x ，在Rt △AOF 中，有AF 2＋OF 2＝OA 2，即(5－x)2＋(6－x)2＝25，解得x 1＝2，x 2＝9，由AD ＜DF 知0＜x ＜5，故x ＝2，从而AD ＝2，AF ＝5－2＝3，由垂径定理得AB ＝2AF ＝6。
圆的切线试题专项训练
圆的切线试题专项训练一．选择题（共6小题）1．已知OA平分∠BOC，P是OA上一点，以P为圆心的⊙P与OC相切，则⊙P与OB的位置关系为（）A．相离B．相切C．相交D．不能确定2．如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是⊙上一点，连接PD．已知PC=PD=BC．下列结论：（1）PD与⊙O相切；（2）四边形PCBD是菱形；（3）PO=AB；（4）∠PDB=120°．其中正确的个数为（） A.4 B.3 C.2 D.1 3．如图，线段AB是⊙O的直径，⊙O交线段BC于D，且D是BC中点，DE⊥AC于E，连接AD，则下列结论正确的个数是（）①CE•CA=CD•CB；②∠EDA=∠B；③OA=1/2AC；④DE是⊙O的切线；⑤AD2=AE•AB．A．2个B．3个C．4个D．5个4．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD=30°，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么（）秒钟后⊙P与直线CD相切． A.4 B.8 C.4 或6 D.4 或85．如图，直线AC∥BD，⊙O与AC和BD分别相切于点A和点B．点M和点N分别是AC 和BD上的动点，MN沿AC和BD平移．⊙O的半径为1，∠1=60°．下列结论错误的是（）A．直线AC和BD的距离为2 B．若∠MON=90°，则MN与⊙O相切C．若MN与⊙O相切，则AM= D．MN=6．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC．①若∠A=90°，AB+CD=BC，则以AD为直径的圆与BC 相切；②若∠A=90°，当以AD为直径的圆与BC相切，则以BC为直径的圆也与AD相切；③若以AD为直径的圆与BC相切，则AB+CD=BC；④若以AD为直径的圆与BC相切，则以BC 为直径的圆与AD相切．以上判断正确的个数有（） A.1 B.2 C.3 D.47.如图，在Rt△AOB中，OA=OB=3，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O 的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ的最小值为（）8．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，∠CDB=30°，过点C作⊙O的切线交AB 的延长线于E，则sin∠E的值为（）A.1/2 B.3/2 C. 2 D.39.在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点O为BC的中点，以O为圆心作⊙O交BC于点M、N，⊙O与AB、AC相切，切点分别为D、E，则⊙O的半径和∠MND的度数分别为（）A．2，22.5°B．3，30°C．3，22.5°D．2，30°二．填空题1.如图，等腰△ABC中，∠ACB=90°，I为△ABC的内心，AI的延长线交BC于E．若IE=1，则AI= .2．三角形的内切圆（1）定义：与三角形各边都的圆叫做三角形的内切圆．内切圆的圆心叫三角形的．（2）三角形的内心是三角形的交点，它到三角形的距离相等，都等于该三角形．（3）如图，若△ABC的三边分别为AB=c，BC=a，AC=b，其内切圆⊙O分别切BC、CA、AB于D、E、F．则AF=AE= ，BD=BF= ，CD=CE= ．∠BOC与∠A 的关系是，∠EDF与∠A的关系是△ABC的面积S与内切圆半径r的关系是（4）直角三角形的外接圆半径等于，内切圆半径等于．3.如图，边长为4的正方形ABCD内接于⊙O，点E是弧AB上的一动点（不与点A、B重合），点F是弧BC上的一点，连接OE，OF，分别与交AB，BC于点G，H，且∠EOF＝90°，连接GH，有下列结论：①弧AE＝弧BF；②△OGH是等腰直角三角形；③四边形OGBH 的面积随着点E位置的变化而变化；④△GBH周长的最小值为4+2√2.其中正确的是 .（把你认为正确结论的序号都填上）4．如图，已知AB是⊙O的直径，AD、BD是半圆的弦，∠PDA=∠PBD，∠BDE=60°，若PD=√3 ，则PA的长为5．如图，AB是⊙O的直径，经过圆上点D的直线CD恰使∠ADC=∠B．过点A作直线AB 的垂线交BD的延长线于点E，且AB=√5 ，BD=2，则线段AE的长为.6．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，D为BC上的中点，O是线段AD上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O交AC于点E，EF⊥BC于点F，则EF ⊙O的切线．（填“是”或“不是”）7．如图，△ACD内接于⊙O，CB垂直于过点D的切线，垂足为B，如果BC=3，sin∠A=3/4，那么⊙O的半径为8．如图，矩形ABCD中，AB=2√3 ，AD=2，以AB为弦在矩形内部画一条120°的弧，过点C 作直线CE，与弧ＡＢ切于点F，与AD边交于点E，那么DE的长是9．如图，在⊙O中，直径AB=2，CA切⊙O于A，BC交⊙O于D，若∠C=45°，则阴影部分的面积为三．解答题1．如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M．（1）求证：CD与⊙O相切；（2）若⊙O的半径为1，求正方形ABCD的边长．2．如图：已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC与⊙O相交于点D，连接AD并延长，与BC相交于点E．（1）若BC=，CD=1，求⊙O的半径；（2）取BE的中点F，连接DF，求证：DF是⊙O的切线．3．如图，已知AB是OD的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，点E是⊙O上一点，点D 是AM上一点，连接DE并延长交BN于点C，连接OD、BE，且OD∥BE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AD=l，BC=4，求直径AB的长．4．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，点P是圆外一点，PA切⊙O于点A，且PA=PB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）已知PA= 3，∠ACB=60°，求⊙O的半径．5．如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，半径为2的圆与y轴交于点A，点P（4，2）是⊙O外一点，连接AP，直线PB与⊙O相切于点B，交x轴于点C．（1）证明PA是⊙O 的切线；（2）求点B的坐标．6．如图，PB切⊙O于B点，直线PO交⊙O于点E，F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO交⊙O于点C，连接BC，AF．（1）求证：直线PA为⊙O的切线；（2）若BC=6，AD：FD=1：2，求⊙O的半径的长．7．如图，AB是⊙O的直径，CA是⊙O的切线，在⊙O上取点D，连接CD，使得AC=DC，延长CD交直线AB于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）作AF⊥CD于点F，交⊙O于点G，若⊙O的半径是6cm，ED=8cm，求GF的长．8．如图，PB为⊙0的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO9．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），点B（0，6），动点C在以半径为3的⊙O 上，连接OC，过O点作OD⊥OC，OD与⊙O相交于点D（其中点C、O、D按逆时针方向排列），连接AB．（1）当OC∥AB时，∠BOC的度数为45°或135°；（2）连接AC，BC，当点C 在⊙O上运动到什么位置时，△ABC的面积最大？并求出△ABC的面积的最大值．（3）连接AD，当OC∥AD时，①求出点C的坐标；②直线BC是否为⊙O的切线？请作出判断，并说明理由．10．在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求⊙O的半径r；（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，请直接写出∠DCA的度数．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．P为BC的中点，动点Q从点P 出发，沿射线PC方向以2cm/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为t s．（1）当t=1.2时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由；（2）已知⊙O 为△ABC的外接圆．若⊙P与⊙O相切，求t的值．12．如图，点A，B在直线MN上，AB=11厘米，⊙A，⊙B的半径均为1厘米．⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r（厘米）与时间t （秒）之间的关系式为r=1+t（t≥0）．（1）试写出点A、B之间的距离d（厘米）与时间t（秒）之间的函数表达式；（2）问点A出发后多少秒两圆相切？13．已知矩形纸片ABCD，AB=2，AD=1，将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合．（1）如果折痕FG分别与AD、AB交于点F、G（如图1），AF= 2/3，求DE的长；（2）如果折痕FG分别与CD、AB交于点F、G（如图2），△AED的外接圆与直线BC相切，求折痕FG的长．14．如图，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点P从A开始沿折线A-B-C-D以4cm/s的速度移动，点Q从C开始沿CD边以1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s）．（1）t为何值时，四边形APQD为矩形；（2）如图，如果⊙P和⊙Q的半径都是2cm，那么t为何值时，⊙P和⊙Q外切．15．如图，AB是半圆O的直径，AC⊥AB，CD切半圆于点D，BF⊥AB，交AD的延长线于F，交CD的延长线于E．（1）若∠C=80°，求∠F的度数；（2）求证：BE=EF；（3）若AC=6，BE=4，求AB的长．16．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线EF，交AB和AC的延长线于E、F．（1）求证：FE⊥AB；（2）当AE=6，sin∠CFD=3/5 时，求EB 的长．17．已知，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，若直线CD与⊙O相切于点C，AD⊥CD，垂足为D．（1）如图①，AB=10，AD=2，求AC的长；（2）如果把直线CD向下平行移动，如图（2），直线CD交⊙O于C，G两点，若题目中的其他条件不变，且AG=4，BG=3，求AD/AC 的值．18．如图，AB为⊙O的直径，D、T是圆上的两点，且AT平分∠BAD，过点T作AD的延长线的垂线PQ，垂足为C．（1）求证：PQ是⊙O的切线；（2）已知⊙O的半径为2，若过点O 作OE⊥AD，垂足为E，OE=√3 ，求弦AD的长．19．如图，△ABC为等边三角形，以边BC为直径的半圆与边AB，AC分别交于D，F两点，过点D作DE⊥AC，垂足为点E．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）过点F作FH⊥BC，垂足为点H，若AB=4，求FH的长（结果保留根号）．20．已知：如图，△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，BE平分∠ABC交AD于点E．经过B、E两点的⊙O交AB于点F，交BC于点G，BF恰为⊙O的直径．（1）求证：AD与⊙O相切；（2）若BC=4，cos C＝1/3 ，求⊙O的半径长．21．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB边上且DE⊥BE．（1）判断直线AC与△DBE外接圆的位置关系，并说明理由；（2）若AD=4，AE=4√2 ，求BC的长．22．如图，⊙D交y轴于A、B，交x轴于C，过点C的直线：y=-2 √2x-8与y轴交于P．（1）求证：PC是⊙D的切线；（2）判断在直线PC上是否存在点E，使得S△EOP=4S△CDO，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当直线PC绕点P转动时，与劣弧AC 交于点F（不与A、C重合），连接OF，设PF=m，OF=n，求m、n之间满足的函数关系式，并写出自变量n的取值范围．。
中考数学考点《圆的切线的证明》专项练习题-附答案
中考数学考点《圆的切线的证明》专项练习题-附答案学校:班级:姓名:考号:1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D．求证：AC与⊙D相切.2．已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB与CD交于E，CE=DE，过B作BF∥CD，交AC的延长线于点F，求证：BF是⊙O的切线．3．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，弧AC＝1弧BC，经过点C与⊙O相切的直线CE交BA的延长线2于点D，连接BC，过点D作DF∥BC．求证：DF是⊙O的切线．4．如图，Rt△ABC中∠C=90°，点O是AB边上一点，以OA为半径作⊙O，与边AC交于点D，连接BD，若∠DBC=∠A，求证：BD是⊙O的切线．5．如图，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，DE⊥BC，垂足为E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DG⊥AB，垂足为点F，交⊙O于点G，∠A=35°，⊙O半径为5，求劣弧DG的长．（结果保留π）6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点G在弧BD上，连接AG，交CD于点K，过点G的直线交CD延长线于点E，交AB延长线于点F，且EG=EK．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为13，CH=12，AC∥EF，求OH和FG的长．7．如图，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，∠B＝∠CAD＝30°.（1）AD是⊙O的切线吗？为什么？（2）若OD⊥AB，BC=5，求⊙O的半径.8．如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AC的中点，且∠A＋∠CDB＝90°，过点A、D作⊙O，使圆心O 在AB上，⊙O与AB交于点E.(1)求证：直线BD与⊙O相切；(2)若AD：AE＝4：5，BC＝6，求⊙O的直径．9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若∠DBC=30°，DE=1cm，求BD的长．10．如图，AB为⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E，FB是⊙O的切线交AD的延长线于点F.（1）求证：DE是⊙O的切线（2）若DE=3，⊙O的半径为5，求BF的长11．如图，△ABC内接于⊙O，点D在半径OB的延长线上，∠BCD=∠A=30°．（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径长为1，求由弧BC、线段CD和BD所围成的阴影部分面积．（结果保留π和根号）12．如图，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于点P，过点B的直线交OP的延长线于点C，且CP=CB．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为√5，OP=1，求BC的长．13．如图，点B、C、D都在半径为4的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，已知∠CDB=∠OBD=30°．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）求弦BD的长．14．如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上（异于A，B），AD⊥CD．（1）若BC=3，AB=5，求AC的值；（2）若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．15．如图，△ABC的边AB为⊙O的直径，BC与⊙O交于点D，D为BC的中点，过点D作DE⊥AC于E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB=13，BC=10，求CE的长．16．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于点E，与AB的延长线相交于点F．（1）求证：EF与⊙O相切；（2）若AB=6，AD=4 √2，求EF的长．17．如图，AB是⊙O直径，D为⊙O上一点，AT平分∠BAD交⊙O于点T，过T作AD的垂线交AD的延长线于点C．（1）求证：CT为⊙O的切线；（2）连接BT，若⊙O半径为1，AT= √3，求BT的长．18．如图，点A是⊙O直径BD延长线上的一点，C在⊙O上，AC=BC，AD=CD（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，求△ABC的面积．19．如图，已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，OD∥BC，交⊙O于点D，交AC于点E，连接BD，BD 交AC于点F，延长AC到点P，连接PB．（1）若PF=PB，求证：PB是⊙O的切线；（2）如果AB=10，BC=6，求CE的长度．答案解析1．证明：过点D作DF⊥AC于F，如图所示：∵AB为⊙D的切线∴∠B=90°∴AB⊥BC∵AD平分∠BAC，DF⊥AC∴BD=DF∴AC与⊙D相切．2．【解答】证明：∵AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB与CD交于E，CE=DE ∴AB⊥CD∵BF∥CD∴BF⊥AB∴BF是⊙O的切线．3．解：连接OC，过点O作OG⊥DF，垂足为G弧BC∵弧AC =12∴∠AOC=13∠AOB=60°∴∠ABC=12∠AOC=30°∵CE切⊙O于点C∴OC⊥CE，即∠DCO=90°∴在ΔDOC中∵DF//CB∴∠ABC=∠GDO=30°∴∠CDO=∠GDO，即DO平分∠CDG∵OC⊥CE,OG⊥DF ∴OC=OG（角平分线性质）∴OG是⊙O的半径∴DF是⊙O的切线（垂径定理）.4．证明：如图，连接OD．∵OA=OD∴∠A=∠ADO．∵∠C=90°∴∠CBD+∠CDB=90°又∵∠CBD=∠A∴∠ADO+∠CDB=90°∴∠ODB=180°﹣（∠ADO+∠CDB）=90°．∴直线BD与⊙O相切．5．（1）证明：如图1，连接BD、OD∵AB是⊙O直径∴BD ⊥AC∵AB=BC∴AD=DC∵AO=OB∴OD 是△ABC 的中位线∴DO ∥BC∵DE ⊥BC∴DE ⊥OD∵OD 为半径∴DE 是⊙O 切线；（2）解：如图2所示，连接OG ，OD∵DG ⊥AB ，OB 过圆心O∴弧BG=弧BD∵∠A=35°∴∠BOD=2∠A=70°∴∠BOG=∠BOD=70°∴∠GOD=140°∴劣弧DG 的长是140π×5180=359π．6．解：（1）证明：连接OG∵弦CD ⊥AB 于点H∴∠HKA+∠KAH=90°∵EG=EK∴∠EGK=∠EKG∵∠HKA=∠GKE∴∠HAK+∠KGE=90°∵AO=GO∴∠OAG=∠OGA∴∠OGA+∠KGE=90°∴GO⊥EF∴EF是⊙O的切线；（2）解：连接CO，在Rt△OHC中∵CO=13，CH=12∴HO=5∴AH=8∵AC∥EF∴∠CAH=∠F∴tan∠CAH=tan∠F=128=32在Rt△OGF中，∵GO=13∴FG=13tan∠E =263．7．解：（1）AD是⊙O的切线，理由如下：连接OA∵∠B=30°∴∠O=60°∵OA=OC∴∠OAC=60°∵∠CAD=30°∴∠OAD=90°又∴点A在⊙O 上∴AD是⊙O的切线；（2）∵∠OAC=∠O=60°∴∠OCA=60°∴△AOC是等边三角形∵OD⊥AB∴OD垂直平分AB∴AC=BC=5∴OA=5即⊙O的半径为5．8．(1)证明：连接OD，在△AOD中，OA＝OD∴∠A＝∠ODA又∵∠A＋∠CDB＝90°∴∠ODA＋∠CDB＝90°∴∠BDO＝180°－90°＝90°，即OD⊥BD ∴BD与⊙O相切．(2)解：连接DE，∵AE是⊙O的直径∴∠ADE＝90°∴DE∥BC.又∵D是AC的中点，∴AE＝BE.∴△AED∽△ABC.∴AC∶AB＝AD∶AE.∵AC∶AB＝4∶5令AC＝4x，AB＝5x，则BC＝3x.∵BC＝6，∴AB＝10∴AE＝5，∴⊙O的直径为5.9．（1）连接OA∵DA平分∠BDE∴∠BDA=∠EDA．∵OA=OD∴∠ODA=∠OAD∴∠OAD=∠EDA∴OA∥CE．∵AE⊥DE∴∠AED=90°．∴∠OAE=∠DEA=90°．∴AE⊥OA．∴AE是⊙O的切线；（2）∵BD是直径∴∠BCD=∠BAD=90°．∵∠DBC=30°，∠BDC=60°∴∠BDE=120°．∵DA平分∠BDE∴∠BDA=∠EDA=60°．∴∠ABD=∠EAD=30°．∵在Rt△AED中，∠AED=90°，∠EAD=30°∴AD=2DE．∵在Rt△ABD中，∠BAD=90°，∠ABD=30°∴BD=2AD=4DE．∵DE的长是1cm∴BD的长是4cm．10．（1）证明：如图(1)连接OD.∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2.又∵OA="OD" ，∴∠1=∠3.∴∠2="∠3."∴OD∥AE.∵DE⊥AE∴DE⊥OD.而D在⊙O上∴DE是⊙O的切线.(2)过D作DG⊥AB 于G.∵DE⊥AE ，∠1=∠2.∴DG="DE=3" ，半径OD=5.在Rt△ODG中，根据勾股定理： OG＝＝＝4 ∴AG=AO+OG=5+4=9.∵FB是⊙O的切线， AB是直径∴FB⊥AB.而DG⊥AB∴DG∥FB. △ADG∽△AFB∴∴.∴BF=.11．（1）解：直线CD与⊙O相切∵在⊙O中，∠COB=2∠CAB=2×30°=60°又∵OB=OC∴△OBC是正三角形∴∠OCB=60°又∵∠BCD=30°∴∠OCD=60°+30°=90°∴OC ⊥CD又∵OC 是半径∴直线CD 与⊙O 相切．（2）解：由（1）得△OCD 是Rt △，∠COB=60° ∵OC=1∴CD= √3∴S △COD = 12 OC •CD= √32又∵S 扇形OCB = π6∴S 阴影=S △COD ﹣S 扇形OCB = √32−π6=3√3−π6 ．12．（1）证明：连接OB ，如图∵OP ⊥OA∴∠AOP=90°∴∠A+∠APO=90°∵CP=CB∴∠CBP=∠CPB而∠CPB=∠APO∴∠APO=∠CBP∵OA=OB∴∠A=∠OBA∴∠OBC=∠CBP+∠OBA=∠APO+∠A=90° ∴OB ⊥BC∴BC 是⊙O 的切线；（2）解：设BC=x ，则PC=x在Rt △OBC 中，OB= √5 ，OC=CP+OP=x+1 ∵OB 2+BC 2=OC 2∴（ √5 ）2+x 2=（x+1）2解得x=2即BC 的长为2．13．（1）证明：连接OC，OC交BD于E∵∠CDB=30°∴∠COB=2∠CDB=60°∵∠CDB=∠OBD∴CD∥AB又∵AC∥BD∴四边形ABDC为平行四边形∴∠A=∠D=30°∴∠OCA=180°﹣∠A﹣∠COB=90°，即OC⊥AC 又∵OC是⊙O的半径∴AC是⊙O的切线（2）解：由（1）知，OC⊥AC．∵AC∥BD∴OC⊥BD∴BE=DE∵在直角△BEO中，∠OBD=30°，OB=4∴BE=OBcos30°=2 √3∴BD=2BE=4 √314．（1）解：∵AB是⊙O直径，C在⊙O上∴∠ACB=90°又∵BC=3，AB=5∴由勾股定理得AC=4（2）解：证明：连接OC∵AC是∠DAB的角平分线∴∠DAC=∠BAC又∵AD⊥DC∴∠ADC=∠ACB=90°∴△ADC∽△ACB∴∠DCA=∠CBA又∵OA=OC∴∠OAC=∠OCA∵∠OAC+∠OBC=90°∴∠OCA+∠ACD=∠OCD=90°∴DC是⊙O的切线．15．（1）证明：连接OD∵D为BC的中点，O为AB的中点∴OD∥AC；∵DE⊥AC∴DE⊥OD∴DE是圆O的切线（2）解：连接 AD∵AB是直径∴AD⊥BC；∵D为BC的中点∴AD 是BC 的垂直平分线∴AC=AB=13；∵∠C=∠C ，∠DEC=∠ADC=90°∴△CDE ∽△CAD∴EC CD = DC AD ，而AC=AB=13，CD= 12 BC=5 ∴CE= 2513 ．16．（1）证明：连接OD∵AD 平分∠CAB∴∠OAD=∠EAD ．∵OD=OA∴∠ODA=∠OAD ．∴∠ODA=∠EAD ．∴OD ∥AE ．∵∠ODF=∠AEF=90°且D 在⊙O 上 ∴EF 与⊙O 相切．（2）证明：连接BD ，作DG ⊥AB 于G∵AB 是⊙O 的直径∴∠ADB=90°∵AB=6，AD=4 √2∴BD= √AB 2−AD 2 =2∵OD=OB=3设OG=x ，则BG=3﹣x∵OD 2﹣OG 2=BD 2﹣BG 2，即32﹣x 2=22﹣（3﹣x ）2 解得x= 73∴OG= 73∴DG= √OD2−OG2 = 43√2∵AD平分∠CAB，AE⊥DE，DG⊥AB∴DE=DG= 43√2∴AE= √AD2−DE2 = 163∵OD∥AE∴△ODF∽△AEF∴DFEF =ODAE，即EF−EDEF=ODAE∴EF−43√2EF=3163∴EF= 6421√2．17．（1）证明：连接OT，如图1所示：∵OA=OT∴∠OAT=∠OTA又∵AT平分∠BAD∴∠DAT=∠OAT∴∠DAT=∠OTA∴OT∥AC又∵CT⊥AC∴CT⊥OT∴CT为⊙O的切线（2）解：连接BT，如图2所示：∵AB是⊙O直径∴AB=2，∠ATB=90°∴BT= √AB2−AT2 = √22+(√3)2 =1．18．（1）解：连接OC ．∵AC=BC ，AD=CD ，OB=OC∴∠A=∠B=∠1=∠2．∵∠ACO=∠DCO+∠2∴∠ACO=∠DCO+∠1=∠BCD又∵BD 是直径∴∠BCD=90°∴∠ACO=90°又C 在⊙O 上∴AC 是⊙O 的切线（2）解：由题意可得△DCO 是等腰三角形 ∵∠CDO=∠A+∠2，∠DOC=∠B+∠1∴∠CDO=∠DOC ，即△DCO 是等边三角形． ∴∠A=∠B=∠1=∠2=30°，CD=AD=2 在直角△BCD 中BC= √BD 2−CD 2 = √42−22 =2 √3 ． 又AC=BC∴AC=2 √3 ．作CE ⊥AB 于点E ．在直角△BEC 中，∠B=30°∴CE= 12 BC= √3∴S △ABC = 12 AB •CE= 12 ×6× √3 =3 √3 ．19．（1）证明：∵PF=PB∴∠PFB=∠PBF又∵∠DFE=∠PFB∴∠DFE=∠PBF∵AB 是圆的直径∴∠ACB=90°，即AC ⊥BC ． 又∵OD ∥BC∴OD ⊥AC ．∴在直角△DEF 中，∠D+∠DFE=90° 又∵OD=OB∴∠D=∠DBO∴∠DBO+∠PBE=90°，即PB ⊥AB ∴PB 是⊙O 的切线；（2）解：∵OD ∥BC ，OA=OB ∴OE= 12 BC= 12 ×6=3．∵OD ⊥AB∴EC=AE ．∵在直角△OAE 中，OA= 12 AB= 12 ×10=5∴AE= √OA 2−OE 2 = √52−32 =4． ∴EC=4。
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圆的切线之----- A 班经典练习题
班级 姓名
一、选择题：
1、“圆的切线垂直于经过切点的半径”的逆命题是（ ）
A 、经过半径外端点的直线是圆的切线；
B 、垂直于经过切点的半径的直线是圆的切线；
C 、垂直于半径的直线是圆的切线；
D 、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
2、如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝900，点O 在BC 上，以O 为圆心的⊙O 分别与AB 、AC 相切于E 、F ， 若AB ＝a ，AC ＝b ，则⊙O 的半径为（ ） A 、ab B 、
ab b a + C 、b a ab + D 、2
b
a + 3、如图，正方形ABCD 中，AE 切以BC 为直径的半圆于E ，交CD 于F ，则CF ∶FD ＝（ ） A 、1∶2 B 、1∶3 C 、1∶4 D 、2∶5
4、如图，过⊙O 外一点P 作⊙O 的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，连结AB ，在AB 、PB 、PA 上分别取一点D 、E 、F ，使AD ＝BE ，BD ＝AF ，连结DE 、DF 、EF ，则∠EDF ＝（ ） A 、900－∠P B 、900－
21∠P C 、1800－∠P D 、450－2
1
∠P
∙
第3题图
O
F
E
D
C B
A
∙
第4题图
P
O F
E D
B
A
∙第6题图
C O
E
D
B A
二、填空题：
5、已知PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 是切点，∠APB ＝780，点C 是⊙O 上异于A 、B 的任一点，则∠ACB ＝ 。
6、如图，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，BC 与以AD 为直径的⊙O 相切于点E ，AB ＝9，CD ＝4，则四边形ABCD 的面积为 。
7、如图，⊙O 为Rt △ABC 的内切圆，点D 、E 、F 为切点，若AD ＝6，BD ＝4，则△ABC 的面积为 。
8、如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC 是和⊙O 相切于点B 的切线，过⊙O 上A 点的直线AD ∥OC ， 若OA ＝2，且AD ＋OC ＝6，则CD ＝。
∙第7题图
F C
O
E D
B
A
∙
第8题图
C
O
D
B
A
∙
第9题图
C
O
D
B A
9、如图，已知⊙O 的直径为AB ，BD ＝OB ，∠CAB ＝300，请根据已知条件和所给图形写出4个正确的 结论（除OA ＝OB ＝BD 外）：① ；② ；③ ；④ 。
10、若圆外切等腰梯形ABCD 的面积为20，AD 与BC 之和为10，则圆的半径为 。
三、计算或证明题：
11、如图，AB 是半⊙O 的直径，点M 是半径OA 的中点，点P 在线段AM 上运动（不与点M 重合），点Q 在半⊙O 上运动，且总保持PQ ＝PO ，过点Q 作⊙O 的切线交BA 的延长线于点C 。
（1）当∠QPA ＝600时，请你对△QCP 的形状做出猜想，并给予证明；
（2）当QP ⊥AB 时，△QCP 的形状是 三角形； （3）则（1）（2）得出的结论，请进一步猜想，当点P 在线段AM 上运动到任何位置时，△QCP 一定是 三角形。
12、如图，AB 是半圆（圆心为O ）直径，OD 是半径，BM 切半圆于B ，OC 与弦AD 平行且交BM 于C 。
（1）求证：CD 是半圆的切线；
（2）若AB 长为4，点D 在半圆上运动，设AD 长为x ，点A 到直线CD 的 距离为y ，试求出y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围。
第11题图
C O
B
第14题图
M O D
C
B
A
13、如图，割线ABC 与⊙O 相交于B 、C 两点，D 为⊙O 上一点，E 为⋂
BC 的中点，OE 交BC 于F ， DE 交AC 于G ，∠ADG ＝∠AGD 。
（1）求证：AD 是⊙O 的切线；
（2）如果AB ＝2，AD ＝4，EG ＝2，求⊙O 的半径。
14、如图，在△ABC 中，∠ABC ＝900，O 是AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆与AB 交于点E ，与AC 切于点D ，AD ＝2，AE ＝1，求BCD S ∆。
∙
第12题图
D
E
F G C
B A
13题图
C
B
15、如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 的半径AO 上运动， PC ⊥AB 交⊙O 于E ，PT 切⊙O 于T ， PC ＝2.5。
（1）当CE 正好是⊙O 的半径时，PT ＝2，求⊙O 的半径；
（2）设y PT =2，x AC =，求出y 与x 之间的函数关系式；
（3）△PTC 能不能变为以PC 为斜边的等腰直角三角形？若能，请求出△PTC 的面积；若不能，请说明理由。
∙
第15题图
T
E
P
O
C
B
A。