近世代数课件2.8 子群
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a,b H ab H
证明 这个条件是必要的，无须证明．我们证明它 是充分的．因为 H是有限集合，我们使用有限的定 义证明.
8.3 生成子群
现在我们要认识一种找一个子群的一般方法．
我们在一个群 G里任意取出一个非空子集S 来，S 包含元 a ，b ，c ，d ，….那么 S当然不见得是一个 子群, 但是我们可以把S 扩大一点，而得到一个包 S
§８．子群
• 8.1定义与例 • 8.2 等价条件 • 8.3 生成子群 • 8.4 子群的运算
8.1定义与例
讨论子对象是一个常用的代数方法.我们看一个 群G ．假如由 G 里取出一个非空子集H来，那么利 用G 的乘法可以把 H的两个元相乘．对于这个乘法 来说，H 很可能也作成一个群．
定义 一个群 G的一个非空子集H叫做G的一个子 群，假如 H 对于G 的乘法来说作成一个群, 用符号
这一点容易看出：H既是一个子群，它又包含所
有 S 的元 a ，b ，c ，…，Ⅰ，Ⅱ，两个条件，因而根
据定理1，它必须包含所有的上面所作的那些乘积； 这就是说，H ' H ．
由 (1)和(2)，H是包含 S 的最小的子群．
定义 如上得到的 H 叫做由S 生成的子群，我们
用符号(S) 来表示它．
元 a1 ，所以由（ⅰ），
a1a e H
Ⅴ．由（ⅱ），对于 H的任意元 a 来说， H有
元 a1 ，使得
a1a e 反过来看 ，假如 H 是一个子群 ，（ⅰ）显然成 立．我们证明，这时（ⅱ）也一定成立． 证完■
（ⅰ），（ⅱ）两个条件也可以用一个条件来代 替．
定理２ 一个群 G 的一个不空子集 H作成 G的一
个子群的充分而且必要条件是：
（ⅲ） a,b G ab1 H
证明
I. 我们先证明，（ⅰ）和（ⅱ）成立，（ⅲ）就
也成立．
假定 a，b属于 H，由（ⅱ），b1 H ，由（ⅰ），
ab1 H
II.现在我们反过来证明，由（ⅲ）可以得到（ⅰ）
和（ⅱ）．
假定 a H ．由（ⅲ），aa1 e H，于是
一个子群的充分而且必要条件是： （ⅲ）HH 1 H
定理3’ 一个群G 的一个不空有限子集 H作成 G的
一个子群的充分而且必要条件是：
HH H
证明: 仅证明定理1 设H是G的子群, 那么
HH H , H 1 H (??)
另一方面, HH eH H , 所以 HH H ,
假如我们取一个只包含一个元 a的子集 S ，那么
(S) (a) 是一个循环子群．
例3 生成子群很复杂,给出一些简单的例子
8.4 子群的运算
两个子群的交仍然是子群 两个子群的并不一定是子群 群的子集的运算
设A，B是群G的两个非空子集,规定 AB {ab a A,b B}, A1 {a1 a A}
H G表示．
例１ 给了一个任意群 G ，G 至少有两个子群： １． G； ２．只包含单位元 e 的子集．
例２
G
S3
，H
{(1)
，(12)}．那么
H是
S
的一个子群．
3
因为：
Ⅰ．H 对于 G的乘法来说是闭的，
(1)(1) (1) ，(1)(12) (12)，
(12)(1) (12) ，(12)(12) (1) ；
• 作业: • P64-65: 2,3,4
（ⅱ）成立
ea1 a1 H
假定 a H ，b H．由刚证明的，b1 H ；由（ⅲ）， a(a1)1 ab H ,即 (i) 成立 证完■
假如所给子集 H是一个有限集合，那么 H作成子群的 条件更要简单．
定理３ 一个群 G 的一个不空有限子集 H作成G的一
个子群的充分而且必要条件是：
Ⅱ．结合律对于所有G 的元都对，对于 H的元也对；
Ⅳ．(1) H；
Ⅴ．(1)(1) (1) ，(12)(12) (1)．
更多的例子……
注1: H的乘法必须是 G的乘法
注2: 验证 H是子群时有些条件可以省略.
8.2 等价条件
引理:设 H G , 那么
(1)eH eG
(2) aH1 aG1, 对于 H中运算 a
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容易证明: (AB)C A(BC) , A(B C) (AB)
( AB)1 B1 A1, ( A1)1 A
( AC )
等价条件的另外表达
定理1’ 一个群G的一个不空子集 H作成 G的一个
子群的充分而且必要条件是：
（ⅰ）HH H （ⅱ）H 1 H
定理２’ 一个群G 的一个不空子集H 作成G 的
HK是子群 HK=KH
证明: 如果HK是子群, 那么
(HK)-1=HK, 同时, (HK)-1=K-1H-1=KH, 所以
HK=KH 反过来, 如果HK=KH
(HK)(HK)=(HK)(KH)=…….=HK
(HK)-1=K-1H-1=KH=HK
注: HK=KH hk=kh (k,h分别属于K和H) ??
定理１ 一个群 G的一个不空子集 H作成G的一个
子群的充分而且必要条件是： （ⅰ）a,b H ab H （ⅱ）a H a1 H
证明 若是（ⅰ），（ⅱ）成立，H 作成一个群． Ⅰ．由于（ⅰ）， H是闭的； Ⅱ．结合律在 G中成立，H在中自然成立；
Ⅳ．因为H至少有一个元 a ，由（ⅱ），H 也有
含的子群．
利用 S的元以及这些元的逆元我们可以作各种乘
积，比方说，
ab ，a2c ，a3cb1，d ，c1
等等．设集合 H 刚好包含所有这样的乘积, 可以证 明:
(1). H作成一个子群．
因为两个这样的乘积乘起来还是一个这样的乘积，
一个这样的乘积的逆元也是一个这样的乘积, 由定理１，
(2) 对任何一个包含 S 的子群 H ' , H '一定包含 H．'
注意: a H b a1 H a b1 H 1,所以 H 1 H . 反过来,
a,b H ab HH H
a H a1 H 1 H
H构成 G 的一个子群.
子群的乘积 例4 两个子群的乘积一般不是子群.S3 中，H={(1),(12)} N ={(1),(13)}, HN ={(1),(13),(12),(132)}不是子群 定理4 设H,K是G的两个子群,那么
证明 这个条件是必要的，无须证明．我们证明它 是充分的．因为 H是有限集合，我们使用有限的定 义证明.
8.3 生成子群
现在我们要认识一种找一个子群的一般方法．
我们在一个群 G里任意取出一个非空子集S 来，S 包含元 a ，b ，c ，d ，….那么 S当然不见得是一个 子群, 但是我们可以把S 扩大一点，而得到一个包 S
§８．子群
• 8.1定义与例 • 8.2 等价条件 • 8.3 生成子群 • 8.4 子群的运算
8.1定义与例
讨论子对象是一个常用的代数方法.我们看一个 群G ．假如由 G 里取出一个非空子集H来，那么利 用G 的乘法可以把 H的两个元相乘．对于这个乘法 来说，H 很可能也作成一个群．
定义 一个群 G的一个非空子集H叫做G的一个子 群，假如 H 对于G 的乘法来说作成一个群, 用符号
这一点容易看出：H既是一个子群，它又包含所
有 S 的元 a ，b ，c ，…，Ⅰ，Ⅱ，两个条件，因而根
据定理1，它必须包含所有的上面所作的那些乘积； 这就是说，H ' H ．
由 (1)和(2)，H是包含 S 的最小的子群．
定义 如上得到的 H 叫做由S 生成的子群，我们
用符号(S) 来表示它．
元 a1 ，所以由（ⅰ），
a1a e H
Ⅴ．由（ⅱ），对于 H的任意元 a 来说， H有
元 a1 ，使得
a1a e 反过来看 ，假如 H 是一个子群 ，（ⅰ）显然成 立．我们证明，这时（ⅱ）也一定成立． 证完■
（ⅰ），（ⅱ）两个条件也可以用一个条件来代 替．
定理２ 一个群 G 的一个不空子集 H作成 G的一
个子群的充分而且必要条件是：
（ⅲ） a,b G ab1 H
证明
I. 我们先证明，（ⅰ）和（ⅱ）成立，（ⅲ）就
也成立．
假定 a，b属于 H，由（ⅱ），b1 H ，由（ⅰ），
ab1 H
II.现在我们反过来证明，由（ⅲ）可以得到（ⅰ）
和（ⅱ）．
假定 a H ．由（ⅲ），aa1 e H，于是
一个子群的充分而且必要条件是： （ⅲ）HH 1 H
定理3’ 一个群G 的一个不空有限子集 H作成 G的
一个子群的充分而且必要条件是：
HH H
证明: 仅证明定理1 设H是G的子群, 那么
HH H , H 1 H (??)
另一方面, HH eH H , 所以 HH H ,
假如我们取一个只包含一个元 a的子集 S ，那么
(S) (a) 是一个循环子群．
例3 生成子群很复杂,给出一些简单的例子
8.4 子群的运算
两个子群的交仍然是子群 两个子群的并不一定是子群 群的子集的运算
设A，B是群G的两个非空子集,规定 AB {ab a A,b B}, A1 {a1 a A}
H G表示．
例１ 给了一个任意群 G ，G 至少有两个子群： １． G； ２．只包含单位元 e 的子集．
例２
G
S3
，H
{(1)
，(12)}．那么
H是
S
的一个子群．
3
因为：
Ⅰ．H 对于 G的乘法来说是闭的，
(1)(1) (1) ，(1)(12) (12)，
(12)(1) (12) ，(12)(12) (1) ；
• 作业: • P64-65: 2,3,4
（ⅱ）成立
ea1 a1 H
假定 a H ，b H．由刚证明的，b1 H ；由（ⅲ）， a(a1)1 ab H ,即 (i) 成立 证完■
假如所给子集 H是一个有限集合，那么 H作成子群的 条件更要简单．
定理３ 一个群 G 的一个不空有限子集 H作成G的一
个子群的充分而且必要条件是：
Ⅱ．结合律对于所有G 的元都对，对于 H的元也对；
Ⅳ．(1) H；
Ⅴ．(1)(1) (1) ，(12)(12) (1)．
更多的例子……
注1: H的乘法必须是 G的乘法
注2: 验证 H是子群时有些条件可以省略.
8.2 等价条件
引理:设 H G , 那么
(1)eH eG
(2) aH1 aG1, 对于 H中运算 a
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容易证明: (AB)C A(BC) , A(B C) (AB)
( AB)1 B1 A1, ( A1)1 A
( AC )
等价条件的另外表达
定理1’ 一个群G的一个不空子集 H作成 G的一个
子群的充分而且必要条件是：
（ⅰ）HH H （ⅱ）H 1 H
定理２’ 一个群G 的一个不空子集H 作成G 的
HK是子群 HK=KH
证明: 如果HK是子群, 那么
(HK)-1=HK, 同时, (HK)-1=K-1H-1=KH, 所以
HK=KH 反过来, 如果HK=KH
(HK)(HK)=(HK)(KH)=…….=HK
(HK)-1=K-1H-1=KH=HK
注: HK=KH hk=kh (k,h分别属于K和H) ??
定理１ 一个群 G的一个不空子集 H作成G的一个
子群的充分而且必要条件是： （ⅰ）a,b H ab H （ⅱ）a H a1 H
证明 若是（ⅰ），（ⅱ）成立，H 作成一个群． Ⅰ．由于（ⅰ）， H是闭的； Ⅱ．结合律在 G中成立，H在中自然成立；
Ⅳ．因为H至少有一个元 a ，由（ⅱ），H 也有
含的子群．
利用 S的元以及这些元的逆元我们可以作各种乘
积，比方说，
ab ，a2c ，a3cb1，d ，c1
等等．设集合 H 刚好包含所有这样的乘积, 可以证 明:
(1). H作成一个子群．
因为两个这样的乘积乘起来还是一个这样的乘积，
一个这样的乘积的逆元也是一个这样的乘积, 由定理１，
(2) 对任何一个包含 S 的子群 H ' , H '一定包含 H．'
注意: a H b a1 H a b1 H 1,所以 H 1 H . 反过来,
a,b H ab HH H
a H a1 H 1 H
H构成 G 的一个子群.
子群的乘积 例4 两个子群的乘积一般不是子群.S3 中，H={(1),(12)} N ={(1),(13)}, HN ={(1),(13),(12),(132)}不是子群 定理4 设H,K是G的两个子群,那么