人教A版高中数学必修四单元教学课件：第二章 核心素养视角下单元教学的实践--以《平面向量》为例

(A) a ⊥ e
(B) a ⊥( a － e ) (C) e ⊥( a － e ) (D) ( a ＋ e )⊥( a － e )
例 9.已知向量 a，b，c 满足|a|＝|b|＝a·b＝2，(a－c)·(b－2c)＝0，
则|b－c|的最大值为
7 3 2
例 10.已知单位向量 a, b 的夹角为 60 ,设向量 c xa yb, x, y R ,若| c a b | 1 ,
若 k （ k 为常量且 k 0 值），试探究点 P 的轨迹与直线 AB 的关系.
（3）若 OP xOA yOB(x, y R) ，则 x, y 的不同
取值范围决定了动点 P 的不同轨迹区域. 写出右图
Ⅱ[1]
中各轨迹区域对应的 x,y 的取值范围.
Ⅲ
Ⅳ[1]
Ⅱ[3]
3、直观想象： 直观想象主要是数形结合，即借助图形来解决代数（运算） 的问题。 落实途径： 数形结合解决与向量模长和夹角等有关问题，利用投影法、 构图法、极化恒等式法等求解数量积有关问题。
二、核心素养视角下《平面向量》的单元教学设计 P15
3、直观想象：
例 8. 已知向量 a ≠ e ，| e |＝1，对任意 t∈R，恒有| a －t e |≥| a － e |，则 ( C )
拓展应用： (2017 年浙江)如图，已知抛物线 x2=y，点 A（-12，14），B（32，94）， 抛物线上的点 p(x,y)(-12＜x＜32)．过点 B 作直线 AP 的垂线垂足为 Q． （1）求直线 AP 斜率的取值范围； （2）求|PA|·|PQ|的最大值．
二、核心素养视角下《平面向量》的单元教学设计 P14
| 1 AB 2 BC 3CD 4 DA 5 AC 6 BD | 的最小值是___0____，最大值是__2__5___.
二、核心素养视角下《平面向量》的单元教学设计 P19
4、数学运算：（巩固练习）
1.
|
a
|
1,
a

(a

b)

2
b
,则
|
b
|
的取值范围是：
2.△ABC 的外接圆的圆心为 O，两条边上的高的交点为 H，
Ⅱ[2]
Ⅰ[1] O
Ⅳ[2]
B Ⅰ[2] A Ⅳ[3]
二、核心素养视角下《平面向量》的单元教学设计
1、逻辑推理： （二）分层设计问题 例 4.（1）设 O 为 ABC 内一点， S1 SOBC , S2 SOAC , S3 SOAB ，
P9
若 OA 2OB 3OC 0 ，求证： S1 : S2 : S3 1: 2 : 3 ； （2）设 O 为 ABC 内一点， S1 SOBC , S2 SOAC , S3 SOAB ，
则 x 2y 的最大值为__5____.
二、核心素养视角下《平面向量》的单元教学设计 P16
3、直观想象：（巩固练习）
1.已知△ABC，若对任意 t R ， BA tBC AC ，则 ACB
．
2. 已知向量 a, b 为互相垂直的单位向量,若向量 c 满足 a c,b c 600 ，则| c | 的最大值为：
落实途径： 回归用数量积的定义求值、数量积不等式求范围等， 提高代数运算的正确率.
二、核心素养视角下《平面向量》的单元教学设计 P18
4、数学运算：
例 11.已知圆 的半径为 1，
为该圆的两条切线， 为两切点，
那么
的最小值为
（D ）
A．
B．
C．
D．
例 12.已知正方形 ABCD 的边长为 1，当每个 i (i 1, 2,3, 4,5, 6) 取遍 1 时，
都不正确
例 2.设 为两个非零向量 a, b 的夹角，已知对任意实数 t ，| b t a | 的最小值为 1
A. 若 确定，则 | a | 唯一确定
B. 若 确定，则 | b | 唯一确定
C. 若| a | 确定，则 唯一确定
D. 若| b | 确定，则 唯一确定
B
二、核心素养视角下《平面向量》的单元教学设计 P7
1、逻辑推理：
（一）概念的辨析（巩固练习） 1.设 a, b 是两个非零向量
A．若| a b || a | | b | ，则 a b
B．若 a b ，则| a b || a | | b |
C．若| a b || a | | b | ，则存在实数 ，使得 b a
D．若存在实数 ，使得 b a ，则| a b || a | | b |
2.记
max{x,
y}


x, y,
x x

y y
，
min{x,
y}


y, x,
x x

y y
，设
a,
b
为平面向量，则
A. min{| a b |,| a b |} min{| a |,| b |}
2、数学抽象：
例 6.若 O 是锐角 ABC内一点,满满足足| |OOAA|2|2+| |BBCC|2|2 =| O| OBB|2 |2+| C| AC|2 |2| O=|CO|C2 |2|+A|BA|2B, |2 ，则
点 O 是△ ABC 的
（D ）
A．外心
B．内心 C．重心
D．垂心
例 7.边长为 1 的正方形 OPMN 中， A 为线段 MP 上的动点， OA 交 NP 于 B，求证： | OA || OB |1.
P3
3、《平面向量》单元方法线索： 构图法（数形结合）、坐标法、基底法、数量积投影法、 极化恒等式法等。
二、核心素养视角下《平面向量》的单元教学设计 P4
本单元的教学，主要体现以下核心素养：逻辑推理、 数学抽象、直观想象、数学运算等. 本单元的教学设计也 将以这四个方面的核心素养为线索来进行，抓住重点，突 破难点。
核心素养视角下单元教学的实践
——以《平面向量》为例
一、《平面向量》单元综述
P1
1、《平面向量》单元在教材及高考中的地位 平面向量这一章知识在教材中起着 “承上启下”的
作用，它与高中阶段的许多知识都有结合，如三角函数、 立体几何、解析几何等。近几年高考主要考查平面向量 的基本概念、定理、运算以及内隐和外显的性质，如： 模的几何意义、数量积的几何意义、三点共线的判定和 应用等。
4）若 O 是 ABC 内心，则 aOA bOB cOC 0或sinAOA sinBOB sinCOC 0
二、核心素养视角下《平面向量》的单元教学设计 P10
2、数学抽象： 数学抽象主要包括从数量与数量关系、图形与图形关系中 抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中 抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予 以表征。 落实途径： 通过把一些表面上看是非向量的问题，通过数学抽象转化 为向量的问题来求解，从而培养学生转化和化归的能力。
二、核心素养视角下《平面向量》的单元教学设计 P5
1、逻辑推理： 逻辑推理分为从特殊到一般的归纳、类比推理，以及从一般到特 殊的演绎推理。在对概念的辨析和结论的生成过程中，培养逻辑 推理能力。 落实途径： （一）通过对概念的辨析，培养学生善于全面思考问题的品质。 （二）通过由浅入深地分层设计问题，培养学生的归纳、类比和 推理的能力。
一、《平面向量》单元综述
P2
2、《平面向量》单元知识线索： （1）、几个概念：零向量、单位向量、向量的模、向量的 夹角、向量的平行（共线）、向量的垂直等； （2）、几个运算：向量的加减运算、向量的数乘运算、向量 的数量积运算； （3）、几个定理：共线向量基本定理、平面向量基本定理等。
一、《平面向量》单元综述
二、核心素养视角下《平面向量》的单元教学设计
P6
1、逻辑推理：
（一）概念的辨析
例 1. 判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由
①向量 AB 与 CD 是共线向量，则 A、B、C、D 四点必在一直线上；
②任一向量与它的相反向量不相等； ③单位向量都相等；④若 a / /b, b / /c, 则 a / /c .
二、核心素养视角下《平面向量》的单元教学设计 P11
2、数学抽象：
例 5.如图，在平面四边形 ABCD中，已知 E, F,G, H 分别是 AB, BC,CD, DA
的中线，若
EG2

HF 2
1，设
AD

x,
BC

y,
AB

z, CD
1，则
2x z2

y 8
的
最大值为
P12
二、核心素养视角下《平面向量》的单元教学设计 P13
B. min{| a b |,| a b |} min{| a |,| b |}
C. max{| a b |2 ,| a b |2} | a |2 | b |2
D. max{| a b |2 ,| a b |2} | a |2 | b |2
二、核心素养视角下《平面向量》的单元教学设计 P8
若 OH m(OA OB OC) ，则 m 的取值是
A、-1
B、1
C、-2
D、2
（）
3.已知 ABC 中， AB 4 ， AC 2 ，若| AB (2 2) AC | 的最小值为 2， 则对于 ABC 内一点 P ， PA (PB PC) 的最小值是
感谢大家的聆听，不当之处敬请批评指正！
求证： S1OA S2OB S3OC 0 ； （3）证明如下结论：
1）若 O 是 ABC 的重心，则 OA OB OC 0
2）若 O 是 ABC 的垂心，则 tan AOA tan BOB tan COC 0 。 3）若 O 是 ABC 的外心，则 sin2AOA sin2BOB sin2COC 0 ；
3.已知平面向量 a, b 满足| a |
2 6
,b

e1

ຫໍສະໝຸດ Baidu
e2
(

R)
,其中
e1,
e2
为不共线的
单位向量,若对符合上述条件的任意向量 a, b 恒有| a b |
2 3
,则 e1, e2
夹角的
最小值是_________.
二、核心素养视角下《平面向量》的单元教学设计 P17
4、数学运算： 数量积的运算、模的运算、向量夹角有关的代数运算等等。
1、逻辑推理： （二）分层设计问题
例 3. （1）平面内一组基底 OA,OB 及任一向量 OP ， OP OA OB(, R) ，
若点 P 在直线 AB 上，证明： 1.
（2）平面内一组基底 OA,OB 及任一向量 OP ， OP OA OB(, R) ，