1.1平行四边形及其性质(1)
平行四边形的性质
18.1.1 平行四边形及其性质(一)学习目标：理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质．会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证．学习重点：平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用．学习难点：运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．学习过程：一、自主预习（10分钟）1.由条线段首尾顺次连接组成的多边形叫四边形；四边形有条边，个角,四边形的内角和等于度；2.如图AB与BC叫边， AB与CD叫边；∠A与∠B叫角，∠D 与∠B叫角;3多边形中不相邻顶点的连线叫对角线，如图四边形ABCD中对角线有条，它们是自学课本1.有两组对边的四边形叫平形四边形，平行四边形用“”表示，平行四边形ABCD记作。
2.如图□ABCD中，对边有组，分别是，对角有_____组，分别是_________________，对角线有______条，它们是___________________。
的边、角各有什么关系吗？并证明你的结论。
二、合作解疑（15分钟）如图，小明用一根36m长的绳子围成了一个平行四边形的场地，其中一条边AB 长为8m，其他三条边各长多少？个平行四边形的一个外角是38°，这个平行四边形的各个内角的度数分别是：（3有一个内角等于40°，则另外三个内角分别为：（4）平行四边形的周长为50cm，两邻边之比为2：3，则两邻边分别为： 1.中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（）A.1：2：3：4B.3：4：4：3C.3：3：4：4D.3：4：3：4的周长为40cm，△ABC的周长为27cm,AC的长为（）A.13cmB.3 cmC.7 cmD.11.5cm三、综合应用拓展（5分钟）1. 如图，AD∥BC，AE∥CD，BD平分∠ABC，求证AB=CE.课后记：。
平行四边形及其性质
19.1.1 平行四边形及其性质(一)教学目标：1．理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质．2．会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证．3．培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力．二、重点、难点1．重点：平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用．2．难点：运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．3．难点的突破方法：本节的主要内容是平行四边形的定义和平行四边形对边相等、对角相等的性质．这一节是全章的重点之一，学好本节可为学好全章打下基础．学习这一节的基础知识是平行线性质、全等三角形和四边形，课堂上可引导学生回忆有关知识．平行四边形的定义在小学里学过，学生是不生疏的，但对于概念的本质属性的理解并不深刻，所以这里并不是复习巩固的问题，而是要加深理解，要防止学生把平行四边形概念当作已知，而不重视对它的本质属性的掌握．为了有助于学生对平行四边形本质属性的理解，在讲平行四边形定义前，要把平行四边形的对边、对角让学生认清楚．讲定义时要强调“四边形”和“两组对边分别平行”这两个条件，一个“四边形”必须具备有“两组对边分别平行”才是平行四边形；反之，平行四边形，就一定是有“两组对边分别平行”的一个“四边形”．要指出，定义既是平行四边形的一个判定方法，又是平行四边形的一个性质．新教材是先让学生用观察、度量和猜想的方法得到平行四边形的对边相等、对角相等这两条性质的，然后用两个三角形全等，证明了这两条性质．这有利于培养学生观察、分析、猜想、归纳知识的自学能力．教学中可以通过大量的生活中的实例：如推拉门、汽车防护链、书本等引入新课，使学生在已有的知识和认知的基础上去探索数学发展的规律，达到用问题创设数学情境，提高学生学习兴趣．然后让学生通过具体问题的观察、猜想出一些不同于一般四边形的性质，进一步由学生归纳总结得到平行四边形的性质．同时教师整理出一种推导平行四边形性质的范式，让学生在教师的范式的诱导下，初步达到演绎数学论证过程的能力．最后通过不同层次的典型例、习题，让学生自己理解并掌握本节课的知识．三、例题的意图分析例1是教材P93的例1，它是平行四边形性质的实际应用，题目比较简单，其目的就是让学生能运用平行四边形的性质进行有关的计算，讲课时，可以让学生来解答．例2是补充的一道几何证明题，即让学生学会运用平行四边形的性质进行有关的论证，又让学生从较简单的几何论证开始，提高学生的推理论证能力和逻辑思维能力，学会演绎几何论证的方法．此题应让学生自己进行推理论证．四、课堂引入1．我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护链，想一想它们是什么几何图形的形象？平行四边形是我们常见的图形，你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗？你能总结出平行四边形的定义吗？(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．(2)表示：平行四边形用符号“”来表示．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD记作“ ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．①∵AB//DC ,AD//BC，∴四边形ABCD是平行四边形（判定）；②∵四边形ABCD是平行四边形∴AB//DC，AD//BC（性质）．注意：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角．而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角．（教学时要结合图形，让学生认识清楚）2．【探究】平行四边形是一种特殊的四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外，还有什么特殊的性质呢？我们一起来探究一下．让学生根据平行四边形的定义画一个一个平行四边形，观察这个四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外以，它的边和角之间有什么关系？度量一下，是不是和你猜想的一致？（1）由定义知道，平行四边形的对边平行．根据平行线的性质可知，在平行四边形中，相邻的角互为补角．（相邻的角指四边形中有一条公共边的两个角．注意和第一章的邻角相区别．教学时结合图形使学生分辨清楚．）（2）猜想平行四边形的对边相等、对角相等．下面证明这个结论的正确性．已知：如图ABCD，求证：AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD．分析：作ABCD的对角线AC，它将平行四边形分成△ABC和△CDA，证明这两个三角形全等即可得到结论．（作对角线是解决四边形问题常用的辅助线，通过作对角线，可以把未知问题转化为已知的关于三角形的问题．）证明：连接AC，∵AB∥CD，AD∥BC，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4．又AC＝CA，∴△ABC≌△CDA （ASA）．∴AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D．又∠1＋∠4＝∠2＋∠3，∴∠BAD＝∠BCD．由此得到：平行四边形性质1 平行四边形的对边相等．平行四边形性质2 平行四边形的对角相等．五、例习题分析例1（教材P93例1）例2（补充）如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，求证：AF=CE．分析：要证AF=CE，需证△ADF≌△CBE，由于四边形ABCD是平行四边形，因此有∠D=∠B ，AD=BC，AB=CD，又AE=CF，根据等式性质，可得BE=DF．由“边角边”可得出所需要的结论．证明略．六、随堂练习1．填空：（1）在ABCD中，∠A=，则∠B= 度，∠C= 度，∠D= 度．（2）如果ABCD中，∠A—∠B=240，则∠A= 度，∠B= 度，∠C= 度，∠D= 度．（3）如果ABCD的周长为28cm，且AB：BC=2∶5，那么AB= cm，BC= cm，CD= cm，CD= cm．2．如图4.3－9，在ABCD中，AC为对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，E、F为垂足，求证：BE＝DF．七、课后练习1．（选择）在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的是（）．（A）对角相等（B）对角互补（C）邻角互补（D）内角和是2．在ABCD中，如果EF∥AD，GH∥CD，EF与GH相交与点O，那么图中的平行四边形一共有（）．（A）4个（B）5个（C）8个（D）9个3．如图，AD∥BC，AE∥CD，BD平分∠ABC，求证AB=CE．19.1.1 平行四边形的性质(二)教学目标：1．理解平行四边形中心对称的特征，掌握平行四边形对角线互相平分的性质．2．能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证明题．3．培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力．二、重点、难点1．重点：平行四边形对角线互相平分的性质，以及性质的应用．2．难点：综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．3．难点的突破方法：（1）本节课的主要内容是平行四边形的性质3，它是通过旋转平行四边形，得到平行四边形是中心对称图形和对角线互相平分的性质．这一节综合性较强，教学中要注意引导学生．要注意让学生巩固基础知识和基本技能，加强对解题思路的分析，解题思想方法的概括、指导和结论的升华．（2）教学时要讲明线段互相平分的意义和表示方法．如图，设四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，若AC与BD互相平分，则有OA＝OC，OB＝OD．（3）在平行四边形中，从一条边上的任意一点，向对边画垂线，这点与垂足间的距离(或从这点到对边垂线段的长，或者说这条边和对边的距离)，叫做以这条边为底的平行四边形的高．这里所说的“底”是相对高而言的．在平行四边形中，有时高是指垂线段本身，如作平行四边形的高，就是指作垂线段．所以平行四边形的高，在作图时一般是指垂线段本身．在进行计算时，它的意义是距离，即长度．（4）平行四边形的面积等于它的底和高的积，即＝a·h．其中a可以是平行四边形的任何一边，h必须是a边与其对边的距离，即对应的高，如图（1）．要避免学生发生如图（2）的错误．为了区别，有时也可以把高记成、，表明它们所对应的底是a或AB．（5）学完本节后，归纳总结一下平行四边形比一般四边形多哪些性质，平行四边形有哪些性质．可以按边、角、对角线进行总结．通过复习总结，使学生掌握这些知识，也培养学生随时复习总结的习惯，并提高他们归纳总结的能力．三、例题的意图分析本节课安排了两个例题，例1是一道补充题，它是性质3的直接运用，然后对例1进行了引申，可以根据学生的实际情况选讲，并归纳结论：过平行四边形对角线的交点作直线交对边或对边的延长线，所得的对应线段相等．例1与后面的三个图形是一组重要的基本图形，熟悉它的性质对解答复杂问题是很有帮助的．例2是教材P94的例2，这是复习巩固小学学过的平行四边形面积计算．这个例题比小学计算平行四边形面积的题加深了一步，需要应用勾股定理，先求得平行四边形一边上的高，然后才能应用公式计算．在以后的解题中，还会遇到需要应用勾股定理来求高或底的问题，在教学中要注意使学生掌握其方法．四、课堂引入1．复习提问：（1）什么样的四边形是平行四边形？四边形与平行四边形的关系是：（2）平行四边形的性质：①具有一般四边形的性质（内角和是）．②角：平行四边形的对角相等，邻角互补．边：平行四边形的对边相等．2．【探究】：请学生在纸上画两个全等的ABCD和EFGH，并连接对角线AC、BD和EG、HF，设它们分别交于点O．把这两个平行四边形落在一起，在点O处钉一个图钉，将ABCD绕点O旋转，观察它还和EFGH重合吗？你能从子中看出前面所得到的平行四边形的边、角关系吗？进一步，你还能发现平行四边形的什么性质吗？结论：（1）平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心；（2）平行四边形的对角线互相平分．五、例习题分析例1（补充）已知：如图4－21，ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F．求证：OE＝OF，AE=CF，BE=DF．证明：在ABCD中，AB∥CD，∴∠1＝∠2．∠3＝∠4．又OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分)，∴△AOE≌△COF（ASA）．∴OE＝OF，AE=CF（全等三角形对应边相等）．∵ABCD，∴AB=CD（平行四边形对边相等）．∴AB—AE=CD—CF．即BE=FD．※【引申】若例1中的条件都不变，将EF转动到图b的位置，那么例1的结论是否成立？若将EF向两方延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交（图c和图d），例1的结论是否成立，说明你的理由．解略例2（教材P94的例2）已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝10cm，AD＝8cm，AC ⊥BC，求BC、CD、AC、OA的长以及ABCD的面积．分析：由平行四边形的对边相等，可得BC、CD的长，在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC的长．再由平行四边形的对角线互相平分可求得OA的长，根据平行四边形的面积计算公式：平行四边形的面积=底×高（高为此底上的高），可求得ABCD的面积．（平行四边形的面积小学学过，再次强调“底”是对应着高说的，平行四边形中，任一边都可以作为“底”，“底”确定后，高也就随之确定了．）3.平行四边形的面积计算解略（参看教材P94）．六、随堂练习1．在平行四边形中，周长等于48，①已知一边长12，求各边的长②已知AB=2BC，求各边的长③已知对角线AC、BD交于点O，△AOD与△AOB的周长的差是10，求各边的长2．如图，ABCD中，AE⊥BD，∠EAD=60°，AE=2cm，AC+BD=14cm，则△OBC的周长是____ ___cm．3．ABCD一内角的平分线与边相交并把这条边分成，的两条线段，则ABCD的周长是__ ___．七、课后练习1．判断对错（1）在ABCD中，AC交BD于O，则AO=OB=OC=OD．（）（2）平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等．（）（3）平行四边形的两组对边分别平行且相等．（）（4）平行四边形是轴对称图形．（）2．在ABCD中，AC＝6、BD＝4，则AB的范围是__ ______．3．在平行四边形ABCD中，已知AB、BC、CD三条边的长度分别为（x+3），（x-4）和16，则这个四边形的周长是．4．公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，绿地上要修几条笔直的小路，如图，AB＝15cm，AD＝12cm，AC⊥BC，求小路BC，CD，OC的长，并算出绿地的面积．19.1.2（一）平行四边形的判定一、教学目标：1．在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法．2．会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．3．培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题．二、重点、难点4．重点：平行四边形的判定方法及应用．5．难点：平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用．3．难点的突破方法：平行四边形的判别方法是本节课的核心内容．同时它又是后面进一步研究矩形、菱形、正方形判别的基础，更是发展学生合情推理及说理的良好素材．本节课的教学重点为平行四边形的判别方法．在本课中，可以探索活动为载体，并将论证作为探索活动的自然延续与必要发展，从而将直观操作与简单推理有机融合，达到突出重点、分散难点的目的．（1）平行四边形的判定方法1、2都是平行四边形性质的逆命题，它们的证明都可利用定义或前一个方法来证明．（2）平行四边形有四种判定方法，与性质类似，可从边、对角线两方面进行记忆．要注意：①本教材没有把用角来作为判定的方法，教学中可以根据学生的情况作为补充；②本节课只介绍前两个判定方法．（3）教学中，我们可创设贴近学生生活、生动有趣的问题情境，开展有效的数学活动，如通过欣赏图片及识别图片中的平行四边形，使学生建立对平行四边形的直觉认识．并复习平行四边形的定义，建立新旧知识间的相互联系．接着提出问题：小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗？从而组织学生主动参与、勤于动手、积极思考，使他们在自主探究与合作交流的过程中，从整体上把握“平行四边形的判别”的方法．然后利用学生手中的学具——硬纸板条通过观察、测量、猜想、验证、探索构成平行四边形的条件．在学生拼图的活动中，教师可以以问题串的形式展开对平行四边形判别方法的探讨，让学生在问题解决中，实现对平行四边形各种判别方法的掌握，并发展了学生说理及简单推理的能力．（4）从本节开始，就应让学生直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题，凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明．应该对学生提出这个要求．（5）平行四边形知识的运用包括三个方面：一是直接运用平行四边形的性质去解决某些问题．例如求角的度数，线段的长度，证明角相等或线段相等等；二是判定一个四边形是平行四边形，从而判定直线平行等；三是先判定一个四边形是平行四边形，然后再眼再用平行四边形的性质去解决某些问题．（6）平行四边形的概念、性质、判定都是非常重要的基础知识，这些知识是本章的重点内容，要使学生熟练地掌握这些知识．三、例题的意图分析本节课安排了3个例题，例1是教材P96的例3，它是平行四边形的性质与判定的综合运用，此题最好先让学生说出证明的思路，然后老师总结并指出其最佳方法．例2与例3都是补充的题目，其目的就是让学生能灵活和综合地运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．例3是一道拼图题，教学时，可以让学生动起来，边拼图边说明道理，即可以提高学生的动手能力和学生的思维能力，又可以提高学生的学习兴趣．如让学生再用四个不等边三角形拼一个如图的大三角形，让学生指出图中所有的平行四边形，并说明理由．四、课堂引入1．欣赏图片、提出问题．展示图片，提出问题，在刚才演示的图片中，有哪些是平行四边形？你是怎样判断的？2．【探究】：小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗？让学生利用手中的学具——硬纸板条通过观察、测量、猜想、验证、探索构成平行四边形的条件，思考并探讨：（1）你能适当选择手中的硬纸板条搭建一个平行四边形吗？（2）你怎样验证你搭建的四边形一定是平行四边形？（3）你能说出你的做法及其道理吗？（4）能否将你的探索结论作为平行四边形的一种判别方法？你能用文字语言表述出来吗？（5）你还能找出其他方法吗？从探究中得到：平行四边形判定方法1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
平行四边形及性质(1)
A平行四边形及性质（1）一．学习目标：理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质． 二．学习重点：会用平行四边形的性质解决简单问题，并能进行有关的论证．三．学习过程（一）、复习导入平行四边形的定义： 的四边形叫做平行四边形。
平行四边形ABCD 记作：ABCD ，读作：平行四边形ABCD 连AC 和BD ，则AC ，BD 叫四边形的对角线 （二）学习新课通过观察或者度量填写下列空格 1.平行四边形的性质1:边的性质:AB ∥ ; BC ∥AB= ; BC= 即:平行四边形对边平行且 。
2.平行四边形的性质2: 角的性质:∠A = ,∠B = 即:平行四边形对角 。
3．小结：平行四边形的性质：用几何语言描述平行四边形的性质， ①∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴ AB ∥ ，AD ∥ AB = ， AD = ②∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴ ∠A=∠ ， ∠B=∠ 4．例题：例1：如图，在ABCD 中，已知∠B ＝40，求其他各个内角的度数。
解：∵在ABCD 中，∠B ＝40∴∠ =∠B ＝40（平行四边形对角 ） ∵AD ∥ (平行四边形 ) ∴∠A+∠ = ∴∠A=∴∠ =∠A= (平行四边形 )答：其他各个内角分别为 、 、 和 。
例2：如图，在ABCD 中，已知AB=8，周长等于24，求其余三条边的长。
∵在ABCD 中，∴CD=AB= ，AD= （平行四边形 ） ∵ABCD 的周长是24，AB ＋＋ ＋ =24 ∴ 答：其余三条边的长分别为 、和 。
DBADA（三）课堂练习：1、如图，在中，AB=3㎝，AD=5㎝，∠A=43°,∠B=137°,则DC= ，AD= ∠C= ,∠D= .2、在▱ABCD 中∠A=50°则∠B= ，∠C= ，∠D= .3、如图，已知在ABCD 中，AB=5，BC=3，则它的周长是 。
4．在ABCD 中，AB=4cm ，BC=5cm ，∠B=30o,则ABCD 的面积为_______5.已知ABCD 的周长是50cm ，并且AB=23AD 。
人教版初中数学八年级下册教学课件 第十八章 平行四边形 平行四边形的性质 (第1课时)
数学
8年级/下
八年级数学·下 新课标[人]
第十八章 平行四边形
18.1.1 平行四边形的性质
（第1课时）
学习新知
检测反馈
观察思考
观察下图中的小区的伸缩门,庭院的竹篱笆和 载重汽车的防护栏,它们是什么几何图形的形象?
学习新知
你知道什么样的图形叫做平行四边形吗? 两组对边分别平行的四边形叫做平行四
边形.说明定义的两方面作用:既可以作为性 质,又可以作为判定平行四边形的依据.
平行四边形如何好记好读呢?
平行四边形用“□”表示,平行四边形ABCD,
记作“□ABCD”.
如右图所示 对边:AD与BC,AB与DC; 对角:∠A与∠C,∠B与∠D.
总结:四边形中不相邻的边,也就是没有公共 顶点的边叫做对边;没有公共边的角,叫做对角.
的对角线.(1)请你说出图中的相等的角、相等的线段;
AB=CD，AD=BC， ∠DAB=∠BCD，∠B=∠D.
(2)对角线AC需添加一个什么条件,能使平行四边形 ABCD的四条边相等?
添加AC平分∠DAB.
请同学们拿出方格纸,在方格纸上画两条互相平行 的直线,在其中一条直线上任取若干点,过这些点作另一 条直线的垂线.请同学们用刻度尺量一下方格纸上两平 行线间的所有垂线段的长度,你发现了什么现象?
3.如图所示,在□ ABCD中,AD=2AB,CE平分∠BCD交
AD边于点E,且AE=3,则AB的长为 A.4 B.3 C.5 D.2
2
(B)
解析:∵四边形ABCD是平行四边 形,∴AB=DC,AD∥BC,∴∠DEC=∠BCE, ∵CE平分∠DCB,∴∠DCE=∠BCE, ∴∠DEC=∠DCE,∴DE=DC=AB, ∵AD=2AB=2CD,CD=DE,∴AD=2DE, ∴AE=DE=3,∴DC=AB=DE=3.故选B.
初中数学知识归纳平行四边形的性质
初中数学知识归纳平行四边形的性质初中数学知识归纳：平行四边形的性质在初中数学学习中，平行四边形是一个重要的几何图形。
它的定义是具有两对对边平行的四边形。
本文将对平行四边形的性质进行归纳和讨论，帮助读者更好地理解和应用相关知识。
1. 平行四边形的定义及基本性质平行四边形是指具有两对对边平行的四边形。
根据这个定义，我们可以得出以下基本性质：（1）对边性质：平行四边形的对边相等。
即可以得到AB = CD，AD = BC等。
（2）同位角性质：平行四边形的同位角相等。
同位角指的是在两组平行边之间的相对角。
例如∠A = ∠C，∠B = ∠D等。
（3）对角线性质：平行四边形的对角线互相平分。
即可以得出AC 平分BD，BD平分AC等。
2. 平行四边形的特殊性质除了基本性质外，平行四边形还有一些特殊的性质，包括：（1）等腰性质：如果一个平行四边形的相邻边相等，则它就是一个等腰平行四边形。
对于等腰平行四边形来说，两组对边都相等，且同位角也相等。
（2）矩形性质：如果一个平行四边形的所有内角都是直角，则它就是一个矩形。
对于矩形来说，相邻边相等，且对角线相等。
（3）正方形性质：如果一个矩形的四个边都相等，则它就是一个正方形。
正方形是一种具有对边平行且相等的特殊平行四边形。
3. 平行四边形的运用平行四边形的性质可以用于解决各种与图形相关的问题。
以下是几个常见的应用情景：（1）计算周长：根据平行四边形的对边相等性质，可以通过知道一个边长来计算平行四边形的周长。
例如，如果AB = 5cm，BC = 3cm，则平行四边形ABCD的周长为2(AB + BC) = 16cm。
（2）计算面积：平行四边形的面积可以通过底边长乘以高得到。
例如，如果底边长为8cm，高为4cm，则平行四边形的面积为8cm ×4cm = 32cm²。
（3）证明定理：平行四边形的性质也可以用于证明一些几何定理。
例如，可以利用平行四边形的同位角性质和对角线性质来证明平行线与等腰三角形、相似三角形等的性质。
平行四边形的性质与定理
平行四边形的性质与定理平行四边形是一种特殊的四边形，它具有一些独特的性质和定理。
在本文中，我们将探讨这些性质和定理，从而更好地理解平行四边形。
一、性质：1. 对角线互相平分：平行四边形的对角线互相平分。
换句话说，对角线的交点将对角线分成两个相等的部分。
2. 对角线互相等长：在平行四边形中，对角线相等长。
这是因为平行四边形的两对边都是平行的，从而使得对角线相等。
3. 两对边相互平行：平行四边形的两对边是平行的。
这意味着对立边是平行的，以及相邻边是平行的。
4. 两个相邻角和为180度：在平行四边形中，两个相邻角的和始终为180度。
也就是说，如果我们将平行四边形的一个内角称为x度，那么相邻的内角将为(180 - x)度。
二、定理：1. 相反角相等：在平行四边形中，对立的内角是相等的。
也就是说，如果一个内角为x度，那么它的对立内角也是x度。
2. 同位角相等：在平行四边形中，同位角是相等的。
同位角是指两个内角分别位于平行四边形的对角线之间的角。
3. 内角和为360度：平行四边形的内角和始终为360度。
也就是说，四个内角加起来总是等于360度。
4. 对角线的交点连线平分相邻角：在平行四边形中，对角线的交点将相邻内角平分。
换句话说，对角线所形成的线段将相邻内角分成两个相等的角。
5. 对角线长度关系：在平行四边形中，对角线所形成的线段之间存在一定的比例关系。
具体来说，如果对角线的长度分别为d1和d2，那么d1与d2的比值等于平行四边形两对边长度的比值。
综上所述，平行四边形具有以上的性质和定理。
这些性质和定理帮助我们理解了平行四边形的特点和关系，为解决与平行四边形相关的问题提供了重要的指导。
对于数学学习者来说，掌握这些性质和定理将有助于提高解题能力和准确性。
总而言之，平行四边形是一个重要的几何概念，具有丰富的性质和定理。
通过深入理解它们，我们可以更好地应用于实际问题的推理和证明中，同时也能够更好地理解几何学的其他概念和定理。
1.1平行四边形及其边角性质PPT课件(华师大版)
总结
知3－讲
平行四边形中求有关角度的基本方法是利用平 行四边形对角相等，邻角互补的性质，并且已知一 个角或已知两邻角的关系可求出所有内角的度数．
知3－练
1 如图，在 ABCD中，M是BC延长线上的一点，若 ∠A＝135°，则∠MCD的度数是( ) A．45° B．55° C．65° D．75°
知3－练
知2－讲
例2 如图, 在 ABCD中，AB= 8, 周长等于24. 求其 余三条边的长.
解：在 ABCD中， AB = DC，AD = BC(平行四边形的对边相等). ∵AB=8， ∴ DC=8 ， 又∵AB+BC+DC+AD=24， ∴AD=BC = 1 (24-2AB)=4. 2
知2－讲
例3 已知平行四边形的周长是24, 相邻两边的长度相 差4，求该平行四边形相邻两边的长.
知2－导
知识点 2 平行四边形的性质——对边相等
你还发现平行四边形有哪些性质？
我们还发现：平行四边形的对边相等、对角相等. 请你尝试证明这些结论.
知2－讲
边的性质： 平行四边形对边平行；平行四边形对边相等．
数学表达式： 如图，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC.
知2－练
2 如图，在 ABCD中，E，F是对角线BD上的两点， 如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的 条件不能为( ) A．BE＝DF B．BF＝DE C．AE＝CF D．∠1＝∠2
知2－练
3 在平面直角坐标系中，已知▱ABCD
的三个顶点坐标分别是A(m，n)，B(2，－1)，
C(－m，－n)，则点D的坐标是( )
知1－练
1 如图，在 ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，EF与 HN相交于点O，则图中共有平行四边形( ) A．12个 B．9个 C．7个 D．5个
平行四边形及其性质1
18.1.1平行四边形及其性质1一、教学内容和学情1、内容：华师版八年级数学下册第十八章第一节平行四边形第1课时，其主要内容是平行四边形的概念，平行四边形边、角的性质（根据学生的实际情况，同时考虑学生对平行四边形的性质的探究、理解与应用，把平行线之间的距离作为第2课时的学习内容）。
2、学情：平行四边形是常见的基本的几何图形之一，它不仅具有丰富的几何性质，而且在生产和生活中具有广泛的应用。
平行四边形的性质是在学生小学阶段认识了平行四边形以及学习了平行线、三角形（全等三角形）、四边形的基础上学习的，它是平行线和全等三角形等知识的延续和深入，也是后续学习平行四边形的判定、矩形、菱形、正方形的基础，在教材中起到承上启下的作用，还为证明两直线平行、两条线段相等、两个角相等提供了新的方法和依据，拓展了学生的解题思路.本节课的教学重点是：平行四边形的边、角性质的探索与应用。
二、教学目标1、目标：知识与技能：理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的边、角性质，能运用性质简单的计算和推理；过程与方法：经历“观察——猜想——验证（实验与证明）”探究平行四边形性质的过程，发展学生的探究意识和推理能力，渗透探究几何图形性质的方法和转化的数学思想；情感态度与价值观：体验数学与生活的联系，激发学生学习数学的兴趣和求知欲，验证性质的过程中，培养学生的合作交流意识和探索精神。
三、教法、学法分析：1、教法分析：根据本节课的内容特点及学生的实际情况，主要采用观察发现、合作学习的教学方法，通过观察图形、抽象模型、发现性质、动手操作验证等一系列的数学活动，引导学生积极主动的学习，同时利用多媒体课件辅助教学，增加教学的直观性，激发学生的学习兴趣和求知欲。
2、学法分析：本节课采用观察发现、动手操作、自主探索、合作交流的学习方式。
课堂教学突出学生的主体地位，学生在教师的引导下，经历观察、猜想、验证的学习过程，既丰富了学生的数学活动，也使学生体验探索成功的乐趣。
平行四边形的性质
平行四边形的性质平行四边形是一个具有特殊性质的四边形。
本文将介绍平行四边形的定义、性质以及相关定理，帮助读者更好地理解和应用平行四边形的知识。
一、平行四边形的定义平行四边形是一个具有两对对边分别平行的四边形。
换句话说，如果四边形的两对对边分别平行，则该四边形被称为平行四边形。
二、平行四边形的性质1. 对边性质：在平行四边形中，对边长度相等。
即相对的两条边长相等，分别记作AB = CD, BC = DA。
2. 对角线性质：平行四边形的对角线互相平分。
即对角线分别平分彼此。
3. 顶角性质：在平行四边形中，相邻的两个内角补角为180度。
4. 副对角线性质：平行四边形的副对角线互相等长。
即副对角线的长度相等，分别记作AC=BD。
5. 对边角性质：在平行四边形中，对边上的内角互补。
即同一边上的两个内角之和等于180度。
三、平行四边形的定理1. 平行对角线定理：如果一四边形的对角线互相平分并且互相垂直，则该四边形是平行四边形。
2. 平行四边形的三角形性质：平行四边形的两边及夹角相等的三角形是全等三角形。
3. 平行四边形的中点连线定理：平行四边形的两个顶点和对边的中点连线相交于同一点，并且这三条连线等分一条副对角线。
四、应用举例1. 判断是否为平行四边形：给定一个四边形的四个顶点坐标A(x1,y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)和D(x4, y4)，通过计算边的斜率是否相等来判断是否为平行四边形。
2. 计算平行四边形的面积：将平行四边形分割为两个三角形，计算每个三角形的面积，然后将两个三角形的面积相加，即可得到平行四边形的面积。
3. 证明平行四边形的定理：通过利用平行四边形的性质和相关定理，可以进行一些定理的证明，如平行对角线定理等。
总结：平行四边形是一个具有两对对边分别平行的四边形。
它具有对边相等、对角线互相平分、顶角互补等性质。
理解和掌握平行四边形的性质和相关定理对于解题和证明问题非常重要。
在实际应用中，我们可以利用平行四边形的性质来判断是否为平行四边形，计算面积以及进行定理的证明等。
平行四边形的性质了解平行四边形的特点和性质
平行四边形的性质了解平行四边形的特点和性质一、平行四边形的定义平行四边形是指拥有两对相对平行边的四边形。
具体来说，平行四边形的两对边分别平行，并且对边长度相等。
平行四边形是四边形中的一种特殊情况，它具有一些独特的性质和特点。
二、平行四边形的性质1. 相对边是平行的：平行四边形的两对边互相平行，即对边AB和CD是平行的，对边AD和BC也是平行的。
2. 相对边长相等：平行四边形的两对对边长度相等，即AB = CD，AD = BC。
3. 相对角是相等的：平行四边形的两对对边相交处的两个内角以及两个外角相等。
即∠A = ∠C，∠B = ∠D。
4. 任两对相邻内角是补角：平行四边形的任意两对相邻内角的度数之和为180°。
例如，∠A和∠B是补角，∠B和∠C也是补角。
5. 对角线互相平分：平行四边形的对角线互相平分，即对角线AC 平分∠B和∠D，对角线BD平分∠A和∠C。
6. 对角线长度关系：平行四边形的对角线长度关系为AC² + BD² = 2(AB² + AD²)。
即对角线长度的平方和等于两对边长的平方和的两倍。
三、平行四边形的推论1. 矩形是特殊的平行四边形：矩形是一种拥有四个直角的平行四边形。
因为矩形的每个角都是直角，所以它具有平行四边形的所有性质和特点。
2. 平行四边形的对角线相等：若平行四边形的对角线相等，即AC = BD，则该四边形是矩形。
3. 平行四边形的对角线垂直平分：若平行四边形的对角线互相垂直平分，即AC⊥BD，则该四边形是菱形。
4. 平行四边形的对边相等：若平行四边形的相邻边相等，即AB = CD，AD = BC，则该四边形是矩形或菱形。
四、平行四边形的应用1. 平行四边形的性质在几何证明中常常被用到，能够简化计算和推理的过程。
2. 在建筑和工程中，平行四边形的性质可以用来设计和布局平行的道路、建筑物和平面构造。
3. 平行四边形的面积计算公式为：S = 底边 ×高，可以在计算面积时提供便利。
青岛版九年级数学上册全部学案
青岛版九年级数学上册全部学案青岛版数学九年级上册学案1.1 平行四边形及其性质（1）审核人：张宏学习目标：1、理解并掌握平行四边形的定义2、掌握平行四边形的性质定理1及性质定理23、提高综合运用知识的能力学习重点：平行四边形的定义，对角、对边相等的性质，以及性质的应用．学习难点：运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．预习指导：1、在四边形中，最常见、价值最大的是平行四边形，生活中也常见平行四边形的实例，如_______________________________________________________等，都是平行四边形。
2、____________________________________是平行四边形。
3、平行四边形的性质是：_________________________________________. 学习过程：一、学习新知1、平行四边形的定义（1）定义：________________________________________叫做平行四边形。
（2）几何语言表述: ∵ AB∥CD AD∥BC ∴四边形ABCD是平行四边形（3）定义的双重性: 具备__________________的四边形，才是平行四边形，反过来，平行四边形就一定具有性质。
（4）平行四边形的表示：平行四边形ABCD记作_________,读作___________. 2、平行四边形的性质平行四边形是一种特殊的四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外，还有什么特殊的性质呢？已知：如图ABCD，求证：AB＝CD，CB＝AD．分析：要证AB＝CD，CB＝AD．我们可以考虑只要证明四条线段所在的两个三角形全等，因此我们可以作辅助线__________________,它将平行四边形分成_________和__________，我们只要证明这两个三角形全等即可得到结论．证明：总结：本题提供了证明线段相等的方法，也体现了数学中的转化思想。
平行四边形及其性质课件
04 平行四边形的面积计算
面积公式推导
底乘高
通过将平行四边形的一条底边与对应 的高相乘，可以得出面积。这是平行 四边形面积计算的基本公式。
转化思想
将平行四边形转化为矩形或三角形， 利用已知的矩形或三角形面积公式推 导出平行四边形的面积公式。
面积计算方法
01
02
03
直接计算
根据平行四边形的底和高 ，直接使用面积公式进行 计算。
理等。
代数方程
在代数方程中，平行四边形也常 被用于解决各种问题，如解线性
方程组、求矩阵的逆等。
微积分
在微积分中，平行四边形可用于 计算面积和体积，如在计算曲边 梯形和曲顶柱体的面积和体积时 ，可以利用平行四边形的性质进
行简化计算。
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平行四边形及其性质课件
目录
• 平行四边形的基本概念 • 平行四边形的性质 • 平行四边形的判定方法 • 平行四边形的面积计算 • 平行四边形的应用举例
01 平行四边形的基本概念
定义与分类
定义
两组对边分别平行的四边形叫做 平行四边形。
分类
根据对边是否相等或平行，平行 四边形可分为两组对边相等且平 行和一组对边平行且相等的两种 类型。
VS
证明
假设四边形ABCD中，AB平行于CD且BC 平行于AD。由于AB平行于CD且BC平行 于AD，所以∠ABC+∠BCD=180°且 ∠ADC+∠BCD=180°。因此， ∠ABC=∠ADC。由于AB平行于CD且BC 平行于AD，根据平行线的性质，BC是AB 和CD的中线。因此，四边形ABCD是平 行四边形。
对角线互相平分
定义
平行四边形的定义及性质(一)PPT课件
7
3 ， ABCD的面
A
D
2020年10月2日
BE
C 6
演讲完毕，谢谢观看！
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平行四边形的定义及性质（一）
（随堂课件）
2020年10月2日
HnsongzhIana@
1
二、平行四边形
A
D
平行四边形
B
C
梯形 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 “平行四边形”用“ ” “ ABCD”
2020年10月2日
2
（一）角：
A
D
平
1、相邻的两个角互补
行 四 边
2、∠A与∠C； ∠B与∠D 有 B 什么关系？
则：∠B= 130°，∠C= 50°，
D
C
ABCD的周长= 2（a+b）.
A
B
课 堂 练
2.如图： ABCD中∠A+∠C=200°. 则：∠A= 100°，∠B= 80° .
A B
D C
习 3.如图： ABCD的周长为36，AB=8，BC= 10 ；
当∠B=60°时AD、BC的距离AE 4 积 S ABCD = 40 3 .
2020年10月2日
4
A1 A2 A 3 A4 …
l1
平行四边形的性质
平行四边形的性质平行四边形是一种特殊的四边形，在几何学中具有独特的性质和特点。
本文将详细探讨平行四边形的性质，包括四边形定义、性质、形状特征以及与其他几何形状的关系。
一、平行四边形定义平行四边形是指具有两组对边相互平行的四边形。
这意味着两对对边分别平行，分别相互等长。
二、1. 对边性质：平行四边形的对边互相平行且相等。
其中，对应的边相等，对立的边平行。
2. 对角线性质：平行四边形的对角线互相平分，并且对角线相交的点能够将对角线等分。
3. 内角性质：平行四边形的内角相对必定相等，即相对的内角相等。
4. 外角性质：平行四边形的补角（外角）互相补角，并且相等。
5. 邻边性质：平行四边形的邻边互相补角，且互相领对。
6. 周长性质：平行四边形的周长等于四边分别长度之和。
7. 对面性质：平行四边形的对面两边是平行的，对面两边的夹角互为补角，即一个内角和一个外角。
三、平行四边形的形状特征1. 平行四边形的边相等且对边平行，使其具有近似矩形的形状。
2. 平行四边形的内角互相相等，使其具有近似菱形的形状。
3. 平行四边形的对角线相等且互相平分，使其具有对称性。
四、平行四边形与其他几何形状的关系1. 矩形：矩形是一种特殊的平行四边形，具有所有平行四边形的性质，同时还具有直角特征。
2. 菱形：菱形是一种特殊的平行四边形，具有所有平行四边形的性质，同时还具有边长相等、对角相等、对角平分等特征。
3. 正方形：正方形是一种特殊的矩形和菱形，同时具有平行四边形、矩形和菱形的所有性质，边长相等且所有角都是直角。
总结：平行四边形是一种具有两组平行边的四边形，具有丰富的性质和特点。
它的定义包括对边平行且相等，对角线互相平分和周长为各边长之和。
平行四边形的形状特征使其近似矩形和菱形，同时与其他几何形状如矩形、菱形和正方形有密切的关系。
通过研究平行四边形的性质，我们可以更好地理解和应用它在几何学中的重要性。
平行四边形及其性质ppt课件
填一填
1.如图，在 ABCD中，对角线AC,BD交
于点O，AC＝10，BD=8,则AD的取值范围是
_1_＜__A_D_＜__9_. D
C
O
●
A
B
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
2. 若平行四边形的一边长为５,则它的两
条对角线长可以是( D )
Ａ. １２和２
Ｂ. ３和４
Ｃ. ４和６
Ｄ. ４和８
A
C
O
B
D
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也Biblioteka 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
2.如图,在 ABCD中, 对角线AC﹑BD相交于
点O,且AC+BD=20, △AOB的周长等于15,
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
知识回顾
定义：对边分别平行的四边形 是平行四边形
A
几何语言： ∵ AB∥CD， AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形 B
性质1：平行四边形对边相等. ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD，AD=BC
说一说,练一练
A
D
如图，在 ABCD中，
BC=10cm, AC=8cm,
O
B
BD=14cm,
（1）△ AOD的周长是多少？为什么？
（ 2） △ ABC与△ DBC的周长哪个长？长多少？
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
平行四边形的性质
平行四边形的性质平行四边形是几何学中常见的一个概念，它有着一些独特的性质和特点。
本文将介绍平行四边形的性质，并通过实例来展示这些性质的应用。
一、定义和性质概述平行四边形是由四条互不相交的平行线所围成的四边形。
其主要性质如下：1. 对边平行性质：平行四边形的对边是平行的，即相对的两条边永远平行。
2. 对角线性质：平行四边形的对角线相交于一点，且该点将对角线等分。
3. 对边长度性质：平行四边形的对边长度相等。
二、平行四边形的重要定理平行四边形有许多重要的定理，下面将介绍其中几个常用的定理。
1. 对边角定理：平行四边形的对边角（相对的两个内角和两个外角）互补，即其和等于180度。
实例：如图所示，ABCD为平行四边形。
角A和角C是对边角，角B和角D是对边角。
根据对边角定理，角A + 角C = 180度，角B + 角D = 180度。
（插入图示例）2. 对角线分割定理：平行四边形的对角线将该四边形分割成两个面积相等的三角形。
实例：如图所示，ABCD为平行四边形，AC和BD为其对角线。
根据对角线分割定理，三角形ABC的面积等于三角形ACD的面积。
（插入图示例）三、平行四边形的应用举例平行四边形的性质在实际应用中有着广泛的应用。
下面将介绍两个实际问题，并借助平行四边形的性质来解决。
问题一：已知一个平行四边形的对角线长分别为5cm和8cm，求该平行四边形的面积。
解决方法：设对角线相交点为O，根据对角线分割定理，平行四边形被对角线所分割成两个面积相等的三角形。
因此，平行四边形的面积等于两个三角形的面积之和。
设对角线AO和BO分别为5cm和8cm，利用三角形面积公式 S = 1/2 * 底 * 高，可得到三角形AOB的面积为 S1 = 1/2 * 5cm * 8cm =20cm²。
由于平行四边形被对角线等分，所以另一个三角形的面积也为20cm²。
因此，平行四边形的面积为 2 * 20cm² = 40cm²。
平行四边形及性质
求证：∠BAE＝∠DCF。
A
D
F
E
B
C
变式：如图，平行四边形ABCD中，点E、F
在对角线BD上，且AE|| CF.
求证：AE＝CF
A
E B
D F
C
基础训练
1.在 ABCD中，∠A= ，5则0∠B= °，∠1D30=
°
130
2.如果 ABCD中，∠A+∠C=240°，则∠A= ∠B= 60 °．
°， 120
２．平行四边形的对角相等．
∴AD∥BC ,A B∥CD
证明：连结BD ∵四边形ABCD是平行四边形
A
D
（平行四边形定义）
14 3
∴∠1=∠2， ∠3=∠4 ∵BD=DB
（两直线平行， 内错角相等）
2
B
C ∴△ABD≌△CDB（ASA）
∴AD=CB，AB=CD(全等三角形对应边相等）
∠A=∠C
（全等三角形对应角相等）
3.如果 ABCD的周长为28cm，且AB：BC=2∶5，那么
AB=
cm，BC=
cm，CD=
cm，CD=
4
10
4
cm．
10
A
D
O
B
C
1
本节课研究了什么图形的性质？
2
什么是平行四边形？
课堂小结：
3
平行四边形有哪些性质？
作业
习题1.1 A 组
第1、2、3题
AG
D
E
O
F
BH
C
如图，四边形ABCD
A
30
D
是平行四边形，求：
∠ADC，∠BCD的度
01
平行四边形的性质
平行四边形的性质平行四边形是一种特殊的四边形，其具有独特的性质和特点。
本文将介绍平行四边形的性质及其相关定理与应用。
一、定义和性质平行四边形是指具有两组对边平行的四边形。
它有以下一些基本性质：1. 对边性质：平行四边形的对边相等。
即，如果ABCD是一个平行四边形，那么AB = CD，BC = AD。
2. 对角线性质：平行四边形的对角线互相平分。
3. 顶角性质：平行四边形的内角相对应相等。
例如，∠A = ∠C，∠B = ∠D。
4. 不同对边的延长线相交于同一点：平行四边形的任意两个对边的延长线相交于同一点。
二、平行四边形的重要定理平行四边形有一些重要的定理，下面将介绍其中两个：1. 副对角线定理：平行四边形的副对角线互相等长。
即，如果ABCD是一个平行四边形，AC = BD。
证明：根据平行四边形的定义，AB ∥ CD，AD ∥ BC。
又因为平行线的性质，∠A + ∠B = 180°，∠C + ∠D = 180°。
将这两个等式相加，得到∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°。
而对于四边形ABCD来说，它的内角和是360°。
因此，∠A + ∠B + ∠C +∠D = 360°，即∠A + ∠C =∠B + ∠D。
利用同位角的性质，我们可以得到∠ACB = ∠ADC。
再根据三角形内角和的性质，我们可以得到三角形ACB和三角形ADC的内角和都等于180°。
又因为AC ∥ BD，所以∠ACB = ∠ADC，且∠BAC = ∠BCD。
因此，根据三角形的相似性质和对应角相等的性质，我们可以得到三角形ACB和三角形ADC全等。
根据全等三角形的对应边相等的性质，我们得到AC = BD。
2. 对角线分割定理：平行四边形的对角线将其分割成两个面积相等的三角形。
证明：我们可以将平行四边形ABCD的对角线AC和BD延长至交于一点E。
连接BE和AD，并延长至交于一点F。
平行四边形性质及定理PPT课件
的平衡和美感。
图案设计
02
平行四边形在图案设计中也有广泛应用，如纺织品、壁纸、地
毯等的设计。
舞台布景和道具设计
03
在舞台布景和道具设计中，平行四边形也常被用于创造视觉效
果和空间感。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
一组对边平行
总结词
如果一个四边形中有一组对边平 行，则该四边形是平行四边形。
详细描述
这是平行四边形的一个基本判定 定理。如果一个四边形的对边平 行，则这个四边形必然是平行四 边形。
一组对边相等
总结词
如果一个四边形中有一组对边相等， 则该四边形是平行四边形。
详细描述
这也是平行四边形的一个基本判定定 理。如果一个四边形的对边相等，则 这个四边形必然是平行四边形。
窗户和门的形状设计
平行四边形因其独特的对边平行和相 对边相等的特性，常被用于创造空间 感和视觉效果。
窗户和门的形状设计经常采用平行四 边形，以实现采光和通风的最佳效果。
建筑结构的稳定性
平行四边形的对角线互相平分，这使 得它在建筑结构设计中具有稳定性， 如桥梁、房屋的支撑结构等。
机械设计中的应用
机械零件的形状设计
平行四边形性质及定理ppt课件
contents
目录
• 平行四边形的基本性质 • 平行四边形的判定定理 • 特殊平行四边形 • 平行四边形在实际生活中的应用
01 平行四边形的基本性质
对边平行
总结词
平行四边形的对边是平行的。
详细描述
这是平行四边形的基本性质之一，即相对的两条边是平行的，不会相交于一点。
直角三角形斜边中线定 理，矩形的对角线相等
且互相平分。
总结平行四边形的性质与定理
总结平行四边形的性质与定理平行四边形是平面几何学中一种重要的图形。
在本文中，我们将总结平行四边形的性质与定理，探讨其定义、特点以及相关定理，并通过例题加深理解。
一、平行四边形的定义平行四边形是指有四个边都是平行的四边形。
它的特点是对边相等且对角线互相平分。
二、平行四边形的性质1. 对边相等性质：平行四边形的对边是相等的。
具体而言，其中任意一对对边长度相等。
2. 对角线平分性质：平行四边形的对角线互相平分。
也就是说，对角线所形成的交点将对角线分为两个相等的部分。
3. 对角线长度关系：平行四边形中，对角线的长度满足定理：对角线互相平分情况下，两对角线长度平方和等于对角线平方和。
即若对角线分别为d1和d2，则有d1^2 + d2^2 = 2a^2 + 2b^2，其中a和b分别为平行四边形的两条边长。
4. 临角补角：平行四边形的相邻内角互为补角。
如果一个内角是a 度，那它相邻的内角就是180° - a度。
5. 对边夹角：平行四边形的对边夹角相等。
也就是说，如果一个内角是a度，那它所对面的内角也是a度。
6. 邻边平行关系：平行四边形中，邻边互相平行。
三、平行四边形的定理1. 垂直定理：如果平行四边形的一对对边垂直相交，那么该平行四边形是矩形。
2. 对角线互相垂直定理：如果平行四边形的对角线互相垂直，那么该平行四边形是菱形。
3. 对角线平分关系：如果平行四边形的对角线互相平分，并且其中一对对边相等，那么该平行四边形是正方形。
例题1：已知平行四边形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，对角线AC的长度为10cm，求对角线BD的长度。
解：根据对角线长度关系定理，我们有d1^2 + d2^2 = 2a^2 + 2b^2，其中a=6cm，b=8cm，d1=10cm。
代入数值计算可得，d2=√(10^2+40^2)=√500=10√5 cm。
例题2：已知平行四边形EFGH中，对边FG=2x+3，对边EH=4x-1，对角线EG=3x+7，求该平行四边形的周长。
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A
3 2
1
D
4
证明：连结BD ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC ,AB∥CD （平行四边形定义） ∴∠1=∠2， ∠3=∠4 （两直线平行， 内错角相等） ∵BD=DB
B
C ∴△ABD≌△CDB（ASA）
∴AD=CB，AB=CD(全等三角形对应边相等） ∠A=∠C （全等三角形对应角相等） ∵∠1=∠2， ∠3=∠4 ∴∠1+∠4=∠2+∠3（等式性质） 即∠ABC=∠ADC ∴ AD=CB，AB=CD，∠A=∠C，∠ABC=∠ADC
O C
B
H
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2.如图，四边形ABCD是平行四边形，求： （1）∠ADC，∠BCD的度数；（2）边AB，BC的长度. 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠B=∠ADC(平行四边形对角相等) A 30 D AB∥CD(平行四边形对边平行) ∴∠B+∠BCD=180° 25 (两直线平行，同旁内角互补) 56° B C ∵∠B=56° ∴∠ADC=∠B=56° ∠BCD=180°-∠B=180°-56°=124° （2）∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD=BC,AB=CD(平行四边形对边相等) ∵AD=30,CD=25 ∴BC=30,AB=25.
图2
如图2所示的四边形ABCD是平行四边形. 记作： ABCD 读作：平行四边形ABCD ABCD的对角线.
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线段AC、BD就是
对平行四边形的理解：
对边分别平行的四边形 几何语言： A
D
平行四边形
∵ AB∥CD，AD∥BC
B
C
∴四边形ABCD是平行四边形
∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ AB∥CD， AD∥BC
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平行四边形对边相等.
平行四边形对角相等.
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几何语言: 性质1：平行四边形对边相等.B
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AD=BC
A C
D
性质2：平行四边形对角相等.
∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠A＝∠C，∠B＝∠D
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随堂练习
1.填空： 对边 对角 对边 （1）平行四边形＿＿＿平行，＿＿＿相等，＿＿＿ 相等； （2）如下图 ABCD 中，EF∥BC, GH∥AB, EF与GH 9 相交于点O，则图中共有＿＿＿个平行四边形. A E G D F
作业
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义务教育课程标准实验教科书数学· 九年级·Байду номын сангаас上册（泰山版）
九年级数学(上)第一章：特殊四边形
请同学们认真阅读课本第4页和第5页，完成以下内容：
1、什么叫平行四边形？怎么表示？如何读法？ 2、平行四边形有哪些性质定理？
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两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
A B C D
平行四边形不相邻的两个顶 点连成的线段叫它的对角线.
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3.四边形ABCD是平行四边形，它的四条边中哪些 线段可以通过平移而相互得到？ 4. ABCD中，E、F过AC中点O，交AD、BC于E、F， 求证：OE=OF. D E C
O
A
F B
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课堂小结：
1、本节课研究了什么图形的性质？
2、什么是平行四边形？
3、平行四边形有哪些性质？
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