巧用仿射变换解决椭圆相关问题调查实践

巧用仿射变换解决椭圆相关问题的调查与实践【摘要】利用仿射变换的性质作为桥梁，椭圆通过适当的仿射变换可化为圆。充分应用仿射不变性和不变量解决一般椭圆的有关仿射性质的命题，使仿射几何的知识和思想方法体现于解决初等几何问题中。从仿射变换的代数法、综合法入手，从图形形变的参照图形入手解决方法分类问题。通过对中学生的调查，发现只有少部分学生知道运用此方法，本文从仿射变换的实验特点入手介绍仿射性质，推广此方法广泛用于中学教学中。

【关键词】仿射变换椭圆圆不变性不变量代数法综合法本项目通过对其他专家及学者关于仿射变换在初等几何中的运用这方面的研究作了综合性的分析，并对中学生对仿射变换的知识理解和运用情况进行了调查，得出了仿射变换在初等几何中的应用还没有得到广泛的推广，同时还只是停留在原始的解题方法基础上。我们在此，为了将仿射变换能够更好的推广到中学的初等几何教学中去，我们认为有必要对这方面进行进一步的研究。为了能让中学教师和学生能认识到仿射变换在中学教学中的重要意义，我们进行了如下分析。

1、代数法

当题型只涉及到关系式，没有图形时，可以采用代数法来解决。代数法也是我们数学当中常用的方法。我们对以下两个例子做了调查和分析

例1：已知：点p（x， y）在椭圆上运动，求的最大值

解：令，，则，，问题化为：q（x’， y’）是单位圆上的点，求的最大值。

设a（2，0），则u即为直线aq的斜率k。

设过点a的圆的切线为ab、ac，（b、c为切点）

，当q和c重合时k取最大值，此时

∴时

优点：对于本题，通过与传统的解题方法作比较，它的优点在于比我们利用中学的传统方法解决要简单很多，计算量也不大。

调查方法：我们对部分中学生作了抽样调查，将此题给中学生做，并将数据进行统计。

调查结果：通过回收试题进行了总结，发现只有极少数的同学运用了仿射变换的方法来解决的，而更多的是利用传统的解题方法。

不足之处：此方法在知识上的跳跃性比较强，让中学生接受起来比较困难。若要想此方法在中学中能得到广泛的推广，此题的解决方法还得进行适当的优化。比如添加上图形，采用数与形相结合，使得更加形象化，学生也更容易理解。

分析：此方法虽然比较优越，但在中学的教学中并没有得到广泛的运用。现在所面临的问题就是如何将此方法进行推广。

例2：已知：椭圆直线l： p是l上一点，射线op交椭圆于r，又点q在op上且满足|oq|·|op|=|or|2，当点p在l上移动时，求：点q的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形

故q点的轨迹是以（1，1）为中心，长半轴长为，短半轴长为，且焦点在直线y=1上的椭圆（除去原点）.

优点：本题是一道难度系数很高的高考试题，当年利用传统的解题方法基本没有几个人能在有限的时间里把它做出来，而且计算量也比较大。如果利用仿射变换来解决此题，就简单的多了。无论是计算量上，还是思维方法上都得到了简化。

调查方法：我们同样采用抽样调查的形式，将此题给中学生做，并将试题收回进行数据统计。对在统计中运用此方法的同学进行回访，并调查他们是如果知道此方法的。

调查结果：经过统计的数据分析显示，只有极少部分同学利用仿射变换来解决问题，而更多的还是采用传统的解题方法。经过回访发现，少部分运用此方法的同学都是在学习奥数的时候才知道此方法的的。

不足之处：他们拿到此题首先所想到得就是利用传统的方法来解决，就算给他们充足的时间，也没有几个人能准确做出来。只有少部分老师和同学想到利用仿射变换的方法来解决。这说明此方法在中学的教学中还基本没有得到运用，在他们的心中还没有仿射变换这个概念。

分析：现在关于这方面的研究很多，但此方法并没有得到广泛的运用。对于出现以上问题，其主要在于此方法没有得到推广。现在要解决的问题就是如何将此方法推广到中学教学中去。

2、综合法

在解决复杂的椭圆问题，而且也有图形时，我们可以采用综合法来解决。在既有数式又有图形的条件下，中学生更容易接受，理解起来也比较形象。

例3：设椭圆中心在坐标原点，、是它的两个顶点，直线（ >0 ）与相交于点，与椭圆相交于、两点。（1）若，求的值；（2）求四边形面积最大。（如图1）

解：依题可设椭圆的方程为，如图11，作仿射变换，令，则得仿射坐标系，在此坐标系中上述椭圆变换为圆，点、、、、分别变换成点、、、、，且为直径的圆， =2，， .

（2）设四边形的面积为，四边形的面积为，与的夹角为，则 = ≤（当时取“=”号，此时）.由于椭圆的面积为，圆的面积为，根据仿射变换保持两封闭图形面积之比不变有，故=2 .

所以≤，当且仅当坐标为，即 = 时取“=”号。

优点：本题巧妙的应用了仿射变换的性质来解决问题，将题型由难转为易。并应用综合法，充分利用数与形相结合的特点。

调查方法：通过对中学生进行问卷和试卷形式的调查，并收回试卷和问卷进行数据统计。

调查结果：通过回收的试卷和问卷，进行统计之后发现只有极少部分同学利用仿射变换的性质来解决的。

不足之处：但此解法站在中学生的角度看，步骤上不够详细，跨度比较大，学生理解起来比较困难。

分析：出现以上情况，主要是此方法在中学教育中还没有得到广泛的推广。

对以上几个例子的归纳总结：

对这类题型的研究还有很多例子，其他们的共同点都是将复杂难解的题型利用仿射变换的性质转化成简单易懂的特殊题型。但他们不足之处就是都只是针对典型的例题，而没有针对所有的题型做出明确的解释。用此方法是否所有与椭圆有关的题型都能利用仿射变换的性质来解决。在这方面还需进一步研究。

现在所面临的问题就是是否所有涉及到椭圆的题型都适合应用仿射变换的性质来解决和如何将此方法推广到中学中去。在此基础上，我们也做了进一步的研究。关于涉及到椭圆的题型只有通过坐标的伸缩变换之后新问题与原问题等价才适合。

在此我们归纳出有以下情况的不适合利用仿射变换：

1、对于大多数给定某一个角度的题目，这个方法并不适用，因为角经过对y轴或x轴的拉伸之后就变了，失去了原来的集合性质，不适合用这种方法。

2、对于求某一段距离的长的问题，如果用这种方法，就需要求出两个点的坐标，因为距离经过变换以后也可能变得不同。

推广：解决了问题，但要让此方法得到广泛的推广又是一大难题。就我们个人的意见，要想将此方法推广到中学教育中。首先，将仿射变换的性质以公理的形式告诉给中学生。其次，老师平时在教学中也多注重给学生灌输新的思想，不要总以传统的教育方式。