人教版数学高二B版必修53.2 均值不等式

课后训练

1．函数f (x )＝x ＋

4

x

＋3在(－∞，－2]上( )． A ．无最大值，有最小值7 B ．无最大值，有最小值－1 C ．有最大值7，有最小值－1 D ．有最大值－1，无最小值

2．设a ＞0，b ＞0是3a 与3b 的等比中项，则11

a b

+的最小值为( )． A ．8 B ．4 C ．1 D ．

14

3．点P (x ，y )是直线x ＋3y －2＝0上的动点，则代数式3x ＋27y 有( )． A ．最大值8 B ．最小值8 C ．最小值6 D ．最大值6

4．若a ，b ，c ＞0，且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－2a ＋b ＋c 的最小值为( )．

A 1

B 1

C ．2

D ．2

5．在区间[12

，2]上，函数f (x )＝x 2

＋bx ＋c (b ，c ∈R )与21()x x g x x ++=在同一点取得

相同的最小值，那么f (x )在区间[

1

2

，2]上的最大值是( )． A ．

13

4

B ．4

C ．8

D ．5

4

6．一批救灾物资随26辆汽车从某市以v 千米/时的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长400千米，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于2

()20

v 千米，那么这批物资全部到达灾区，最少需要________小时．

7．设a ≥0，b ≥0，且

a 2＋

2

2

b ＝1，则的最大值为________． 8．已知直线x ＋y ＝1经过第一象限内的点11()P a b

，，则a ＋4b 的最小值是________． 9．某游泳馆出售冬季游泳卡，每张240元，其使用规定：不记名，每卡每次只限一人，每天只限一次．某班有48名同学，老师打算组织同学们集体去游泳，除需购买若干张游泳卡外，每次游泳还需包一辆汽车，无论乘坐多少名同学，每次的包车费均为40元．

(1)若使每个同学游8次，每人最少应交多少元钱？

(2)若使每个同学游4次，每人最少应交多少元钱？

10．用一块钢锭烧铸一个厚度均匀，且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如图所示)，设容器高为h米，盖子边长为a米．

(1)求a关于h的解析式；

(2)设容器的容积为V立方米，则当h为何值时，V最大？并求出V的最大值．(求解本题时，不计容器厚度)

参考答案

1. 答案：D ∵x ≤－2，∴f (x )＝x ＋4x ＋3＝－[(－x )＋(4

x

-)]＋3≤42()()3

x x ---+＝－1，当且仅当4

x x

-=-

，即x ＝－2时，等号成立． ∴f (x )有最大值－1，无最小值，故选D. 2. 答案：B 3是3a 与3b 的等比中项⇒3a ·3b ＝3⇒3a ＋

b ＝3⇒a ＋b ＝1.∵a ＞0，b ＞0，

∴122

a b ab +≤

=14ab ≤

.∴1111

41

4

a b a b ab ab ++==≥=.当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立．

3. 答案：C ∵点P (x ，y )在直线x ＋3y －2＝0上， ∴x ＋3y ＝2.

∴3x ＋27y ＝3x ＋33y ≥33223323236x y x y +⋅===.当且仅当x ＝3y ，即x ＝1，13

y =时，等号成立．

∴代数式3x ＋27y 有最小值6.

4. 答案：D 因为a ，b ，c ＞0，且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－3 所以a 2＋ab ＋ac ＋bc ＝4－23 所以4－23a 2＋ab ＋ac ＋bc ＝14(4a 2＋4ab ＋4ac ＋2bc ＋2bc )≤1

4

(4a 2＋4ab ＋4ac ＋2bc ＋b 2＋c 2)．

当且仅当b ＝c 时，等号成立．

所以(232)2≤(2a ＋b ＋c )2， 则2a ＋b ＋c ≥3 2.

5. 答案：B 211

()13x x g x x x x

++=

=++≥，当且仅当x ＝1时，等号成立，即当x ＝1时取最小值3，所以f (x )的对称轴是x ＝1，所以b ＝－2.再把(1,3)代入即得c ＝4.所以f (x )＝x 2－2x ＋4，易得在[

1

2

，2]上的最大值是f (2)＝4－4＋4＝4. 6. 答案：10 从第一辆车出发到最后一辆车到达目的地共需要的时间

225(

)

400

400254002520210400400

v v v y v

v v v ⨯=

+=+≥⨯=.当且仅当v ＝80时，等号成立． 7. 3

24

由a 2＋2

2b ＝1，知2a 2＋b 2＝2，即2a 2＋(1＋b 2)＝3.因为2a 2＋(1＋

b 2)

≥

≤

=

当且仅当2a 2＝1＋b 2

，即2a =

，

2

b =

时，等号成立． 8. 答案：9

9. 答案：解：(1)设每批去x 名同学，共需去488

x

⨯批， 总开支又分为：①买卡所需费用240x ，②包车所需费用488

40x

⨯⨯.

∴y ＝240x ＋488

x

⨯×40(0＜x ≤48，x ∈Z )．

∴y ＝240(x ＋64

x

)≥240

× 3 840，

当且仅当64

x x

=，即x ＝8时，等号成立．

故每人最少应交3840

8048

=(元)．

(2)设每批去x 名同学，共需去488

x

⨯批，

总开支又分为：①买卡所需费用240x ，②包车所需费用488

40x

⨯⨯.

∴y ＝240x ＋488

x

⨯×40(0＜x ≤48，x ∈Z )．

∴y ＝240(x ＋32

x

)≥240

× 2 715，

当且仅当32

x x

=，即x ≈5.66时，等号成立．

但0＜x ≤48，x ∈Z ，

当x 1＝5时，y 1＝240×(5＋

32

5)＝2 736； 当x 2＝6时，y 2＝240×(6＋32

6

)＝2 720.

∵y 1＞y 2，

∴当x ＝6时，y 有最小值，即y min ＝2 720. 故每人最少应交

2720

56.6748

≈(元)． 10. 答案：解：(1)设h ′是正四棱锥的斜高，由题设，得

2

222142,2

1,4

a h a h a h ⎧+⋅'=⎪⎪⎨

⎪+='⎪⎩消去h ′，