人教版数学高二B版必修53.2 均值不等式
人教版数学高二B版必修53.2均值不等式
课后训练1．若－4＜x ＜1，则()22222x x f x x -+=-( )． A ．有最小值1 B ．有最大值1C ．有最小值－1D ．有最大值－12．已知a ＞b ＞0，全集I ＝R ，2a b M x b x ⎧+⎫<<⎨⎬⎩⎭=，{}N x x a =<<，P ＝{x |b ＜x ，则( )．A ．P ＝M ∩NB ．P ＝M ∩NC ．P ＝M ∩ND ．P ＝M ∪N3．若0＜a ＜b 且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是( )．A ．12B ．a 2＋b 2C ．2abD ．a4．设a ＞0，b ＞0.是3a 与3b 的等比中项，则11a b +的最小值为( )． A ．8 B ．4 C ．1 D ．145．设x ＞y ＞z ，且11n x y y z x z+≥---恒成立，则n 的最大值是( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．56．在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上，函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (b ，c ∈R )与()21=x x g x x ++在同一点取得相同的最小值，那么f (x )在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值是______． 7．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn ＞0，则12m n+的最小值为______．8．a ，b ，c 为互不相等的正数，且abc ＝1，求证：111a b c ++>. 证明：证法一：∵abc ＝1，且a ，b ，c 为互不相等的正数，求下列各式的最值：(1)已知x ＞y ＞0，且xy ＝1，求22x y x y+-的最小值及此时x ，y 的值； (2)设a ，b ∈R ，且a ＋b ＝5，求2a ＋2b 的最小值．参考答案1. 答案：D解析：11()=121f x x x ⎡⎤(-)+⎢⎥-⎣⎦，∵－4＜x ＜1， ∴x －1＜0，－(x －1)＞0.∴111()=112(1)2f x x x ⎡⎤--(-)+≤-⋅=-⎢⎥--⎣⎦， 当且仅当x －1＝11x -即x ＝0时等号成立，即x ＝0时，f (x )有最大值－1. 2. 答案：A解析：∵2a b b a +<<<， ∴{}M|2a b N x b x x x a x ab ⎧+⎫=<<≥≤⎨⎬⎩⎭或＝{|x b x <≤＝P . 3. 答案：B 解析：∵0＜a ＜b 且a ＋b ＝1，∴12a <，a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＞(a ＋b )2－2·2a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭2＝12. ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2＞0，∴a 2＋b 2＞2ab .∴a 2＋b 2最大．(本题也可取特殊值进行检验)4. 答案：B解析：因为3a ·3b ＝3，所以a ＋b ＝1， 1111()a b a b a b ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭＋＝2+b a a b +≥， 当且仅当b a a b =，即a ＝b ＝12时，等号成立，即11a b +最小值为4. 5. 答案：C解析：原不等式可变形为n ≤(x －z ) 11x y y z ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭，此不等式恒成立的条件是n 不大于右边的最小值．令a ＝x －y ，b ＝y －z ，则a ＞0，b ＞0，且x －z ＝a ＋b .∴(x －z )11x y y z ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭＝(a ＋b )·11a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝2＋b a a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥4.∴n ≤4. 6. 答案：4解析：首先()21=x x g x x ++＝x ＋1x＋1≥3，当x ＝1时取等号，即当x ＝1时取最小值3，所以f (x )的对称轴是x ＝1，所以b ＝－2，再把(1，3)代入即得c ＝4，所以f (x )＝x 2－2x ＋4，易得在122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值是4. 7. 答案：8解析：∵函数y ＝log a (x ＋3)－1的图象过定点(－2，－1)，∴－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1.12124=(2)=4+n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥4＋4＝8. 当且仅当4,21,0,n m m n m n mn ⎧=⎪⎪+=⎨⎪>⎪⎩即1,412m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立． 8. ∴111++＝bc ＋ac ＋ab ＝22bc acac ab ab bc +++++＞∴111a b c++>. 证法二：∵a ，b ，c 为互不相等的正数，且abc ＝1， =111111111222b c a c a b a b c+++<++=++.∴111ab c++>. 证法三：∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，a ，b ，c 互不相等，且abc ＝1，∴11>2a b+==①同理11b c+② 11c a+③ ①＋②＋③得111a b c ++>. 9. 解：(1)∵x ＞y ＞0，∴x －y ＞0，∵xy ＝1(定值)，∴22222()x y x y xyx y x y x y x y+(-)+==-+≥---解方程组1,2,xy x y x y =⎧⎪⎨-=⎪-⎩得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴当2x =，2y =时，22x y xy +-取得最小值(2)因为a ，b ∈R ，故2a ，2b ∈(0，＋∞)，则22a b ≥===+.当且仅当a＝b＝52时，取等号．所以a＝b＝52时，2a＋2b取得最小值为。
人教B版必修5第三章第二节《均值不等式》说课课件
设计意图:通过传统文化知识创设情境
引入新知可以激发学生的学习兴趣，培 养他们的爱国情怀体现了数学学科中数 学建模这一核心素养
（二）启发引导，探求新知
重要不等式
定理１：如果a, b R ，那么
a b 2ab （当且仅当 a b 时取“=”
2 2
号）．
（二）启发引导，探求新知
由代换思想提出问题
当a 0, b 0, 在a b 2ab中
2 2
以 a, b分别代替a,b能得到什么结果?
a b 2 ab
（二）启发引导，探求新知 均值不等式
如果 a , b
ab 2
是正数，那么
ab
(当且仅当 a b 时取“ = ”号）．
引导学生通过已有的知识从代数的角度利用作差法 加以证明
1 1 思考题：已知正数x、y满足2x+y=1，求 的
教 学 反 思
由具体到一般，建立实际生活中的图形 与不等式的联系，然后归纳出重要不等式和 均值不等式以及其取等号的条件．
2. 恰当使用信息技术
恰当地使用多媒体，让学生直观形象地理 解问题，了解知识的形成过程.
2
2
设计意图：给学生充分的时间去合作交 流让学生做到人人都能变形，人人都能 创新从而使学生的思维发散开来，增强 学生解决问题的能力。
研一研·问题探究、课堂更高效
（四）巩固提升
y x 2,并推导出式中等号成立 的条件 例1 已知xy>0 求证： x y
1 变式1 求函数y x （x 0）的最小值
人教B版必修5第三章第二节
一．教材分析 二．学情分析 三．教学目标分析 四．教学重点难点分析
五．教学策略分析 六．教学过程分析
高中数学 第3章 不等式 3.2 均值不等式课件 新人教B版必修5
解析：A 中xy＜0 时，不满足题意；B 中等号不能成立；D
中 tanθ＜0 时，不符合题意；C 中12ex＋2e－x≥2，当 ex＝2，即
x＝ln 2 时等号成立．故选 C. 答案：C
3．已知 x，y 都是正数，若 xy＝4，则 x＋y 的最小值是 ________．
解析：∵x>0，y>0， ∴x＋y≥2 xy＝4， 当且仅当 x＝y＝2 时，等号成立． 答案：4
解析：若x2＋3xx＋1≤a(x>0)恒成立， 则x2＋3xx＋1max≤a，
令 y＝x2＋3xx＋1＝x＋11x＋3≤2＋1 3＝15，
当且仅当 x＝1 时，等号成立，
∴ymax＝15，
∴a
的取值范围为15，＋∞
.
答案：15，＋∞
基础知识达标
即学即练 稳操胜券
1．已知实数 a>0，则 a＋4a的最小值为( )
＝n＋1n－＋112＋8＝
n＋12－2n＋1＋9 n＋1
＝n＋1＋n＋9 1－2≥2 n＋1·n＋9 1－2＝4，
当且仅当 n＋1＝n＋9 1，即 n＝2 时，符号成立，故选 A.
答案：A
5．(2019·河南中原名校联考)已知等差数列{an}的前 n 项和 为 Sn，且 S3＝15，a7＋a9＝34，数列ana1n＋1的前 n 项和为 Tn， 且对于任意的 n∈N*，Tn<an＋t 11，则实数 t 的取值范围为 ________．
课堂互动探究
典例精析 规律总结
设 a，b∈(0，＋∞)，试比较a＋2 b， ab，
a2＋b2， 2
1a＋2 1b的大小． 【解】 ∵a，b∈(0，＋∞)，
∴1a＋1b≥2 a1b，
即2≤ 1a＋1b
人教B版高中数学必修5课件 3.2均值不等式课件(人教B)
人民教育出版社 高二|必修五
解：设每批购入电视机x台，全年费用为y元，保管费与每批
电视机总价值的比例系数为k，则
y 3600 400 2000k，x 当x=400时，y=43600代入上式得 x
y 3600 400 100x 24000 x2 240x 1440 0
x
∴(x-120)2≤0 ∴x=120
人民教育出版社 高二|必修五
注 意 式 中 等 号 成 立 的 条 件
基础知识
（4）两个正数的平方平均值：
（5）两个正数的调和平均值：
关系：
a2 b2 a b ab 2
2
2
11
ab
平方、 算术、 几何、调和
人民教育出版社 高二|必修五
注 意 式 中 等 号 成 立 的 条 件
基础知识
（6）不等式的变形：
基础训练
1.设x+3y－2=0，则函数z=3x+27y+3的最小值是
11
A. 3 B.3+2 2 C.6
D.9
D
2.若t∈(0,1］,则
t
2
t
有最小值
A.2 2
B
人民教育出版社 高二|必修五
3.已知a,b是正数且a+b=1，求
y
1
1 a
1
1 b
的最小值
解：（法一）
y 1 1 1 1 1 a b 1 a b 2 b 2 a a b a b a b
k 1 20
答：每批进货120台，资金够用。
人民教育出版社 高二|必修五
课堂小结
知识要点： 1. 几个平均值之间的关系及应用 2.基本不等式在几何、代数及实际应用三方面的意义
高中数学第三章不等式3.2均值不等式课件新人教B版必修5
一
二
三
2.均值不等式与不等式a2+b2≥2ab的关系如何?请对此进行讨论. 提示:(1)在a2+b2≥2ab中,a,b∈R;在a+b≥ 2 ������������ 中,a,b>0. (2)两者都带有等号,等号成立的条件从形式上看是一样的,但实 质不同(范围不同). (3)证明的方法都是作差比较法. (4)都可以用来求最值. 3.当利用均值不等式求最大(小)值,等号取不到时,如何处理? 提示:等号取不到时,可利用函数的单调性等知识来求解.
������+������ 2 (a,b>0),当且仅当 a=b 2 ������+������ (2)对任意两个正实数 a,b,数 2 叫做
������+������
a,b 的算术平均值,数 ������������
1 ②a+������≥2(a>0),当且仅当 a=1 时,等号成立. ������ ������ ③������ + ������≥2(a,b 同号),当且仅当 a=b 时,等号成立.
2 ( ������ + ������ ) 2.怎样比较 a2+b2, 2 ,2ab
三者的大小关系?
a=b 时等号成立.利用作差
法即可证明.
2 ( ������ + ������ ) 提示:a2+b2≥ ≥2ab,当且仅当 2
一
二
三
3.做一做:已知a,b∈R,且a2+b2=4,则ab( ) A.有最大值2,有最小值-2 B.有最大值2,但无最小值 C.有最小值2,但无最大值 D.有最大值2,有最小值0 解析:这里没有限制a,b的正负,则由a2+b2=4,a2+b2≥2|ab|,得 |ab|≤2,所以-2≤ab≤2,可知ab的最大值为2,最小值为-2. 答案:A
人教B版高中数学必修五第3章32均值不等式课件共15张
b? a ? 2
ba ?
?
2
ab
ab
当且仅当 b ? a ,即a 2 =b2时等号成立 ab
因为ab ? 0,所以式中等号成立的条件是a ? b
练习2、已知 a,b ?
R? ，求证 (a ?
1 )(b ? a
1) ? b
4
例3、已知 x ? 0 ，求函数 f ( x) ? x ? 1
x
的最小值. 2
2
的两条线段，然后比较这两条线段的长。
具体作图如下：
（1）作线段AB=a+b，使AD=a，DB=b,
（2）以AB为直径作半圆O； （3）过D点作CD⊥AB于D，交半圆于点C
（4）连接AC，BC，CA，则
a?b
当a≠bO时C ，? O2C>CD，即
aC?Db ??
2
ab
当a=b时，OC=CD，即
C
a ? b ? ab 2
x? 2
x? 2
x? 2
?2 ? 2 3? 2
当且仅当x ? 2 ? 3 时，取得最小值2 3+2 x? 2
因为x ? 2,所以x ? 2 ? 3
课后延伸：
已知x>0,y>0,且x+y=1,求 u ? 1 ? 1
的最小值．
xy
提示：“1”的妙用
练习：已知x,y为正数,且2x+y=2求 最小值
2 x
3
求函数y ?
sin?
?
4
sin ?
其运式中求用?最均?（值值0的不，?2条等]
的最小值。
件:一正二定三
相等
解：y ? sin ? ? 4 ? 2 sin ? ? 4
数学人教B版必修5课件：3.2 均值不等式
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
【变式训练 1】 当 x>-1 时,求 f(x)=x+������+11的最小值. 分析:由 x>-1 知 x+1>0,变 x=x+1-1,此时 x+1 与������+11的积为常数.
解:∵x>-1,∴x+1>0. ∴f(x)=x+������ +1 1=x+1+������ +1 1-1
≥2 (������ + 1) (������+11)-1=1, 当且仅当 x+1=������+11,即 x=0 时,等号成立,
∴f(x)min=1.
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
利用均值不等式比较大小
将这三个条件总结成口诀:一正、二定、三相等.
一二
二、教材中的“思考与讨论” 均值不等式与不等式a2+b2≥2ab的关系如何?请对此进行讨论. 剖析:(1)在a2+b2≥2ab中,a,b∈R;在a+b≥2 ������������ 中,a,b>0. (2)两者都带有等号,等号成立的条件从形式上看是一样的,但实 质不同(范围不同). (3)证明的方法都是作差比较法. (4)都可以用来求最值.
名师点拨1.应用上述性质时注意三点:(1)各项或各因式均为正;(2) 和或积为定值;(3)各项或各因式能取得相等的值.即“一正二定三相 等”.
2.应用上述性质时,有时需先配凑成和或积为定值的情况,再应用.
【做一做3】 已知x,y都是正数,
(1)若xy=15,则x+y的最小值是
人教B版高中数学必修5-3.2参考课件1-均值不等式
数学[RB·必修5]
若 x>0，求 f(x)＝1x2＋3x 的最小值． 【解】 ∵x>0，∴f(x)＝1x2＋3x≥2 1x2·3x＝12， 当且仅当 3x＝1x2即 x＝2 时，“＝”成立． ∴f(x)的最小值为 12.
返回菜单
数学[RB·必修5]
利用均值不等式证明不等式
已知 a、b、c>0，求证：ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c. 【思路探究】 判断 a，b，c，ab2，bc2，ca2均大于 0―→
返回菜单
数学[RB·必修5]
2．过程与方法 (1)探索并了解均值不等式的形成和证明过程； (2)体会均值不等式的证明方法和简单应用． 3．情感、态度与价值观 (1)通过探索均值不等式的证明过程，培养探索、研究精神； (2)通过对均值不等式成立的条件的分析，养成严谨的科学 态度，勇于提出问题、分析问题的习惯．
返回菜单
数学[RB·必修5] ●重点难点 重点：均值不等式成立的条件及应用． 难点：均值不等式成立的条件以及应用均值不等式求最大值 和最小值．
返回菜单
数学[RB·必修5]
课 1.了解均值不等式的证明过程． 标 2.能利用均值不等式证明简单的不等式及比较代 解 数式的大小．(重点、难点) 读 3.能利用均值不等式求简单函数的最值．(重点)
数学[RB·必修5]
易
错
教
易
学
误
教
辨
法
析
分
析
当
堂
课
3.2 均值不等式
双 基
前
达
自
标
主 导
第 1 课时 均值不等式
课
学
后
知
能
课
人教新课标版数学高二B必修5课件3.2均值不等式(一)
4.均值定理的常用推论 (1)ab≤a＋2 b2≤a2＋2 b2(a，b∈R)；
(2)ba＋ab≥ 2 (a，b 同号)；
(3)当 ab>0 时，ba＋ab≥ 2 ；当 ab<0 时，ba＋ab≤ －2 ； (4)a2＋b2＋c2 ≥ ab＋bc＋ca(a，b，c∈R).
明目标、知重点
明目标、知重点
反思与感悟 应用均值不等式求函数的最值应满足的条 件：(1)两数均为正数；(2)必须出现定值(和为定值或积 为定值)；(3)等号要取到(等号成立取得的值要在定义域 范围内)；(4)若多次应用时，则每一个等号要同时取到.
明目标、知重点
跟踪训练 3 已知函数 y＝x＋1x，x∈(－∞，0)，求函数的 最大值. 解 因为 x<0，所以1x<0，则－x>0，－1x>0， x＋1x＝－[(－x)＋－1x](由均值不等式得)
明目标、知重点
≤－2 －x 1 ＝－2， －x
当且仅当－x＝ 1 即 x＝－1 时，取“＝”. －x
因此当x＝－1时，函数有最大值－2.
明目标、知重点
当堂测·查疑缺
1234 5
1.已知 a>0，b>0，则1a＋1b＋2 ab的最小值是( C )
A.2
B.2 2
C.4
D.5
明目标、知重点
1234 5
明目标、知重点
小结 一般地，对于任意实数a、b，我们有a2＋b2≥2ab， 当且仅当a＝b时，等号成立.通常我们称a2＋b2≥2ab为重 要不等式.
明目标、知重点
a＋b 探究点二 基本不等式 ab≤ 2 思考 1 如果 a>0，b>0，用 a， b分别代替 a2＋b2≥2ab 中的 a，b 会得到怎样的不等式？ 答 得到 a＋b≥2 ab.
高中数学第3章3.2第一课时均值不等式课件新人教B必修5.ppt
上面 3 个不等式相加得 2·bac＋2·abc＋2·acb≥2a＋2b＋2c
(当且仅当 a＝b＝c 时，取等号)．
∴bc＋ac＋ab≥ ab c
a＋
b＋
c.
【点评】 对于证明多项和的不等式时，可以考 虑先分段应用均值不等式或其变形，然后整体相 加(乘)得结论．另外对于与“三项和”有关的不 等式证明问题常常将“三项和”拆成“六项和” 处理．同时应用均值不等式时要注意看是否符合 条件．
【证明】 ∵a、b、c 是正实数，
∴bac＋abc≥2
bc ac a ·b
＝2c(当且仅当bac＝abc，
即 a＝b 时，取等号)；
abc＋acb≥2 abc·acb＝2a(当且仅当abc＝acb，即
b＝c 时，取等号)；
acb＋bac≥2
ab bc c ·a
＝2b(当且仅当bac＝acb，即
a＝c 时，取等号)．
c2≥1， 3
3(ab＋ bc＋ ca)≤ a2＋ b2＋ c2＋ 2ab＋ 2bc＋ 2ac ＝ (a＋ b＋ c)2＝ 1， ∴ ab＋ bc＋ ca≤13. 综上知， a2＋ b2＋ c2≥1≥ ab＋ bc＋ ca.
3
【点评】 要想运用均值不等式，必需把题 目中的条件或要解决的问题“化归”到不等 式的形式并让其符合不等式条件．化归的方 法是把题目给的条件配凑变形，或利用一些 基本公式和一些常见的代换，讲究一个巧字， 根据问题的具体情况把待求的数或式拆配的 恰到好处，才能顺利地进行运算．
＋ a)． 以上三式相加即得 ：
c2＋ a2≥
2 (c
2
a2＋b2＋ b2＋c2＋ c2＋a2≥ 2(a＋b＋c)．
当 a＝b＝c 时取等号．
(人教B版)高二数学必修5课件：3.2均值不等式(二)
明目标、知重点
反思与感悟 利用均值不等式解决实际问题时，一般是先 建立关于目标量的函数关系，再利用均值不等式求解目标 函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件.
y＝150×4
8300＋120×(2×3x＋2×3×4
800 3x )
明目标、知重点
＝240
000＋720×x＋1
600 x
≥240 000＋720×2
1 x·
6x00＝297
600(元)，
当且仅当 x＝1 6x00，即 x＝40 时，y 取得最小值 297 600. 答 水池底面为正方形且边长为40 m时总造价最低，最低 总造价为297 600元.
明目标、知重点
跟踪训练2 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用 面粉6吨，每吨面粉的价格1 800元，面粉的保管费及其他 费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元. 求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总 费用最少？ 解 设该厂每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨. 由题意可知，面粉的保管等其他费用为 3×[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1).
明目标、知重点
(2)利用均值不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时 应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、 变形”等方法创建应用均值不等式的条件. (3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用均值不等 式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用均值不等 式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y＝x ＋px (p>0)的单调性求得函数的最值.
人教版B版高中数学必修5：3.2 均值不等式
得
a b 2 ab 6 2 ab
一正
36 4ab
ab 9
二定
当且仅当a=b，即 a=3时等号成立 所以ab的最大值为9.
三相等 结论
小结
应用举例
例1.已知a>0,b>0，且ab=16，求a+b的最小值.
解：由a>0,b>0根据均值定理，得
一正
a b 2 ab 2 16 8
二定
当且仅当a=b，即a=4时， 等号成立 所以a+b的最小值为8.
三相等 结论
例2.已知a>0,b>0，且a+b=6，求ab的最大值.
解：由a>数平均值大于或等于它 的几何平均值
2002年8月北京第24届国际数学家 大会会标
赵爽：三国时期东吴的数学家。 曾注《周髀算经》，他所作的 《周髀算经注》中有一篇《勾 股圆方图注》全文五百余字， 并附有插图（已失传），
这篇注文简练地总结了东汉时 期勾股算术的重要成果，最早 给出并证明了有关勾股弦三边 及其和、差关系的二十多个命 题，他的证明主要是依据几何 图形面积的换算关系。
人教B版高中数学必修五3.2《均值不等式》课件
合作探究
内容及目标：
1.均值不等式的内容及成立的条件；其他的变形及与重要不等式的区别；（结合自 主学习）
2. 均值不等式是怎样应用的，在应用中要注意哪些问题？ （结合预习自测1,2,3，例1）
3.对于均值不等式你能总结出哪些规律？（结合例2及其练习）
要求：
（1）可以采用一对一、一对多等多种形式。
（2）讨论时，手不离笔、随时记录，争取在讨论时就能将错题解决，未解决的问题
重要不等式： a2 b2 2ab
区别与联系： （1）都是不等式，两个不等式成立的条件是不同的，均值不等式的 条件都是正实数，而重要不等式的条件是实数。
（2）等号成立的条件都是a=b，但其实质不同。
（3）都可以用来求最值。
10
展示点评
展示问题 知识链接 自主学习 预习自测
例1
例1的变式
位置 口头展示 前黑板 前黑板 前黑板
问题： 如果设其中一个小直角三角形的直角 边分别为a,b,那么这四个直角三角形 的面积与这个正方形的面积之和满足 怎样的一个不等关系？
15
总结提升
（一）知识方面
1、均值不等式及其成立的条件。
a b ab (a, b R ) 2
2、重要不等式和均值不等式的变形
a2 b2 2ab a b 2 ab
（1）
a
1 a
2
不正确
（2）
a 2 2
1
a 2 1
a2 a 2 1
不正确
（3）
x (0, ) sin
x
4 sin x
4
成立的条件：
a, b R a+b或ab有一个是定值
高中数学 3.2均值不等式教案 新人教B版必修5
3.2 均值不等式 教案教学目标：推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理. 利用均值定理求极值.了解均值不等式在证明不等式中的简单应用教学重点：推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理 利用均值定理求极值教学过程一、复习：1、复习不等式的性质定理及其推论 1：a>b ⇔b<a2：a>b,b>c ⇒a>c(或c<b,b<a ⇒c<a)(传递性)3：a>b ⇒a+c>b+c(或a<b ⇒a+c<b+c)(1)：a+b>c ⇒a>c-b(移项法则)(2)：a>b,c>d ⇒a+c>b+d4、若a>b,且c>0，那么ac>bc ；若a>b,且c<0，那么ac<bc.(1)、若a>b>0,且c>d>0，则ac>bd(2)、若a>b>0,则a n >b n (n ∈+N ,且n>1)(3)、若a>b>0,则n n b a > (n ∈+N ,且n>1)2、定理变式： 如果a,b ∈R ，那么a 2+b 2≥2ab （当且仅当a=b 时，等号成立）3、均值定理：如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab b a 证明：∵,2)()(22ab b a ≥+b a ≥+∴ab b a ≥+2显然，当且仅当ab b a b a =+=2,时 说明：ⅰ）我们称b a b a ,2为+的算术平均数，称b a ab ,为的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数ⅱ）ab ba ab b a ≥+≥+2222和成立的条件是不同的：前者只要求a,b 都是实数，而后者要求a,b 都是正数ⅲ）“当且仅当”的含义是等价3．均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”以长为a +b 的线段为直径作圆，在直径AB 上取点C ，使AC=a,CB=b 过点C 作垂直于直径AB 的弦DD ′,那么CB CA CD ⋅=2，即ab CD =这个圆的半径为2b a +，显然，它不小于CD ，即ab b a ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合；即a=b 时，等号成立应用例题：例1、已知a 、b 、c ∈R ，求证：不等式的左边是根式，而右边是整式，应设法通过适当的放缩变换将左边各根式的被开方式转化为完全平方式，再利用不等式的性质证得原命题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课后训练
1．函数f (x )＝x ＋
4
x
＋3在(－∞，－2]上( )． A ．无最大值，有最小值7 B ．无最大值，有最小值－1 C ．有最大值7，有最小值－1 D ．有最大值－1，无最小值
2．设a ＞0，b ＞0是3a 与3b 的等比中项，则11
a b
+的最小值为( )． A ．8 B ．4 C ．1 D ．
14
3．点P (x ，y )是直线x ＋3y －2＝0上的动点，则代数式3x ＋27y 有( )． A ．最大值8 B ．最小值8 C ．最小值6 D ．最大值6
4．若a ，b ，c ＞0，且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－2a ＋b ＋c 的最小值为( )．
A 1
B 1
C ．2
D ．2
5．在区间[12
，2]上，函数f (x )＝x 2
＋bx ＋c (b ，c ∈R )与21()x x g x x ++=在同一点取得
相同的最小值，那么f (x )在区间[
1
2
，2]上的最大值是( )． A ．
13
4
B ．4
C ．8
D ．5
4
6．一批救灾物资随26辆汽车从某市以v 千米/时的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长400千米，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于2
()20
v 千米，那么这批物资全部到达灾区，最少需要________小时．
7．设a ≥0，b ≥0，且
a 2＋
2
2
b ＝1，则的最大值为________． 8．已知直线x ＋y ＝1经过第一象限内的点11()P a b
，，则a ＋4b 的最小值是________． 9．某游泳馆出售冬季游泳卡，每张240元，其使用规定：不记名，每卡每次只限一人，每天只限一次．某班有48名同学，老师打算组织同学们集体去游泳，除需购买若干张游泳卡外，每次游泳还需包一辆汽车，无论乘坐多少名同学，每次的包车费均为40元．
(1)若使每个同学游8次，每人最少应交多少元钱？
(2)若使每个同学游4次，每人最少应交多少元钱？
10．用一块钢锭烧铸一个厚度均匀，且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如图所示)，设容器高为h米，盖子边长为a米．
(1)求a关于h的解析式；
(2)设容器的容积为V立方米，则当h为何值时，V最大？并求出V的最大值．(求解本题时，不计容器厚度)
参考答案
1. 答案：D ∵x ≤－2，∴f (x )＝x ＋4x ＋3＝－[(－x )＋(4
x
-)]＋3≤42()()3
x x ---+＝－1，当且仅当4
x x
-=-
，即x ＝－2时，等号成立． ∴f (x )有最大值－1，无最小值，故选D. 2. 答案：B 3是3a 与3b 的等比中项⇒3a ·3b ＝3⇒3a ＋
b ＝3⇒a ＋b ＝1.∵a ＞0，b ＞0，
∴122
a b ab +≤
=14ab ≤
.∴1111
41
4
a b a b ab ab ++==≥=.当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立．
3. 答案：C ∵点P (x ，y )在直线x ＋3y －2＝0上， ∴x ＋3y ＝2.
∴3x ＋27y ＝3x ＋33y ≥33223323236x y x y +⋅===.当且仅当x ＝3y ，即x ＝1，13
y =时，等号成立．
∴代数式3x ＋27y 有最小值6.
4. 答案：D 因为a ，b ，c ＞0，且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－3 所以a 2＋ab ＋ac ＋bc ＝4－23 所以4－23a 2＋ab ＋ac ＋bc ＝14(4a 2＋4ab ＋4ac ＋2bc ＋2bc )≤1
4
(4a 2＋4ab ＋4ac ＋2bc ＋b 2＋c 2)．
当且仅当b ＝c 时，等号成立．
所以(232)2≤(2a ＋b ＋c )2， 则2a ＋b ＋c ≥3 2.
5. 答案：B 211
()13x x g x x x x
++=
=++≥，当且仅当x ＝1时，等号成立，即当x ＝1时取最小值3，所以f (x )的对称轴是x ＝1，所以b ＝－2.再把(1,3)代入即得c ＝4.所以f (x )＝x 2－2x ＋4，易得在[
1
2
，2]上的最大值是f (2)＝4－4＋4＝4. 6. 答案：10 从第一辆车出发到最后一辆车到达目的地共需要的时间
225(
)
400
400254002520210400400
v v v y v
v v v ⨯=
+=+≥⨯=.当且仅当v ＝80时，等号成立． 7. 3
24
由a 2＋2
2b ＝1，知2a 2＋b 2＝2，即2a 2＋(1＋b 2)＝3.因为2a 2＋(1＋
b 2)
≥
≤
=
当且仅当2a 2＝1＋b 2
，即2a =
，
2
b =
时，等号成立． 8. 答案：9
9. 答案：解：(1)设每批去x 名同学，共需去488
x
⨯批， 总开支又分为：①买卡所需费用240x ，②包车所需费用488
40x
⨯⨯.
∴y ＝240x ＋488
x
⨯×40(0＜x ≤48，x ∈Z )．
∴y ＝240(x ＋64
x
)≥240
× 3 840，
当且仅当64
x x
=，即x ＝8时，等号成立．
故每人最少应交3840
8048
=(元)．
(2)设每批去x 名同学，共需去488
x
⨯批，
总开支又分为：①买卡所需费用240x ，②包车所需费用488
40x
⨯⨯.
∴y ＝240x ＋488
x
⨯×40(0＜x ≤48，x ∈Z )．
∴y ＝240(x ＋32
x
)≥240
× 2 715，
当且仅当32
x x
=，即x ≈5.66时，等号成立．
但0＜x ≤48，x ∈Z ，
当x 1＝5时，y 1＝240×(5＋
32
5)＝2 736； 当x 2＝6时，y 2＝240×(6＋32
6
)＝2 720.
∵y 1＞y 2，
∴当x ＝6时，y 有最小值，即y min ＝2 720. 故每人最少应交
2720
56.6748
≈(元)． 10. 答案：解：(1)设h ′是正四棱锥的斜高，由题设，得
2
222142,2
1,4
a h a h a h ⎧+⋅'=⎪⎪⎨
⎪+='⎪⎩消去h ′，
解得a =
a ＞0)．
(2)由22
133(1)
h
V a h h ==+(h ＞0)， 得1
13()
V h h =
+.
而12h h +
≥=. 所以16V ≤，当且仅当1
h h
=，即h ＝1时，等号成立．
故当h ＝1米时，V 有最大值，V 的最大值为1
6
立方米．。