人教版初中数学九年级上册24.1.4 圆周角3
人教版数学九年级上册：24.1.4圆周角(教案)
在今天的课堂中，我教授了圆周角这一章节。通过整个教学过程，我发现了一些值得思考的问题和亮点。
首先，我发现学生在理解圆周角定理的过程中存在一定难度。尽管我通过直观演示和案例分析引导学生，但部分学生在具体应用时仍然感到困惑。这让我意识到，对于几何定理的教学，除了直观演示和讲解，还应该增加一些实际操作环节，让学生在实际操作中更深刻地体会和理解几何定理。
-圆周角的应用：学会运用圆周角定理解决实际问题，提高学生的几何解题能力。
举例解释：
（1）通过绘制圆和圆内接四边形，展示圆周角与圆心角的关系，让学生在实际操作中感受圆周角定理。
（2）给出典型例题，如求圆内接四边形的某个角的度数，让学生应用圆周角定理进行解答。
2.教学难点
-理解圆周角定理的证明过程：学生需要掌握如何通过逻辑推理和几何图形的性质来证明圆周角定理。
5.激发学生的创新意识：在拓展练习中，鼓励学生探索新方法，发现新规律，激发创新思维，培养探索精神。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，这是本节课的核心知识点，教师需通过直观演示和实例分析，使学生深刻理解这一性质。
-圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，这一性质在解决有关圆内接四边形的问题时具有重要作用。
2.发展学生的逻辑推理能力：在探索和证明圆周角定理的过程中，培养学生严密的逻辑思维和推理能力，掌握数学证明的基本方法。
3.增强学生的应用意识：将圆周角定理应用于解决实际问题，激发学生运用数学知识解决生活中问题的意识，提高数学在实际生活中的应用能力。
4.培养学生的团队协作能力：通过小组讨论与合作完成练习题，促进学生之间的交流与合作，培养团队协作精神，提高沟通能力。
人教版数学九年级上册24.1.4：圆周角的概念和圆周角的定理(教案)
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
3.培养学生的数学抽象能力：让学生从具体的圆周角实例中抽象出一般性规律，理解圆周角与圆心角、弧和弦之间的关系，提升数学抽象思维。
4.培养学生的数学建模能力：通过解决与圆周角相关的问题，使学生能够建立数学模型，运用所学知识解决实际问题，提高数学应用能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-圆周角的概念：强调圆周角定义中“顶点在圆上，两边分别与圆相交”的特点，以及与圆心角的关系。
a.圆周角定理：圆周角等于其所对的圆心角的一半。
b.圆周角推论：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所对的弦也相等。
二、核心素养目标
1.培养学生的几何直观能力：通过观察圆周角与圆心角的关系，使学生能够直观理解圆周角的概念及定理，提高空间想象力和几何直观感知。
2.发展学生的逻辑推理能力：在学习圆周角定理及其推论的过程中，引导学生运用严密的逻辑推理，掌握证明方法，增强解决问题的能力。
-掌握圆周角定理的证明：学生需要掌握如何运用严密的逻辑推理证明圆周角定理，并能够灵活运用。
-圆周角推论的应用：学生需学会将圆周角推论应用于解决实际问题，如求弧长、弦长等。
举例1：针对圆周角定义的难点，教师可通过以下步骤帮助学生理解：
a.展示不同类型的角，让学生辨别哪些是圆周角，哪些是圆心角。
b.通过动态演示，让学生观察圆周角与圆心角的变化关系，加深理解。
人教版数学九年级上册24.1.4圆周角定理的推论和圆内接多边形教案
教学反思中，我认识到以下几点需要关注：
1.加强对基础知识的巩固，确保同学们对圆周角定理推论的理解更加深入。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解圆周角定理的推论和圆内接多边形的基本概念。圆周角定理推论指的是在同一个圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等；圆内接多边形则是指所有顶点都在圆上的多边形。这些概念在几何学中非常重要，它们帮助我们解决与圆和多边形相关的各种问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析一个圆内接四边形的性质，展示如何应用圆周角定理的推论来解决问题。
-以圆内接四边形为例，详细讲解其对角互补的特点，并通过实际例题演示如何利用这一性质解决几何问题。
-对于圆内接多边形的性质，重点讲解对边相等和对角线互相平分的原理，并通过绘制多边形图形，让学生直观感受这些性质的应用。
2.教学难点
-理解并应用圆周角定理的推论解决复杂的几何问题，尤其是涉及到多个圆周角和圆内接多边形的综合应用。
人教版数学九年级上册24.1.4圆周角定理的推论和圆内接多边形教案
一、教学内容
人教版数学九年级上册24.1.4圆周角定理的推论和圆内接多边形，主要包括以下内容：
1.圆周角定理的推论：圆周角相等；圆内接四边形的对角互补；圆内接多边形的外角和等于360°。
2.圆内接多边形的性质：圆内接多边形的对边相等；圆内接多边形的对角线互相平分；圆内接多边形的每个内角都小于180°。
五、教学反思
在今天的教学过程中，我注意到同学们对圆周角定理的推论和圆内接多边形的性质表现出较高的兴趣。通过导入新课环节的日常生活例子，大家能较快地进入学习状态，这让我深感欣慰。但在教学过程中，我也发现了一些需要改进的地方。
人教版九年级数学上册【推荐】24.1.4圆周角同步练习(3).docx
初中数学试卷桑水出品24.1.4 圆周角5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.在⊙O中，同弦所对的圆周角( )A.相等B.互补C.相等或互补D.都不对思路解析：同弦所对的圆周角有两个不同的度数，它们互补.因此同弦所对的圆周角相等或互补.答案：C( )2.如图24-1-4-1，在⊙O中，弦AD=弦DC，则图中相等的圆周角的对数有A.5对B.6对C.7对D.8对思路解析：在同圆或等圆中，判断两个圆周角是否相等，即看它们所对的弧是否相等，因等角对等弧，等弧对等角.先找同弧所对的圆周角：弧AD所对的∠1=∠3；弧DC所对的∠2=∠4；弧BC所对的∠5=∠6；弧AB所对的∠7=∠8.找等弧所对的圆周角，因为弧AC=弧DC，所以∠1=∠4，∠1=∠2，∠4=∠3，∠2=∠3.由上可知，相等的圆周角有8对.答案：D3.下列说法正确的是( )A.顶点在圆上的角是圆周角B.两边都和圆相交的角是圆周角C.圆心角是圆周角的2倍D.圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半思路解析：本题考查圆周角的定义.答案：D4.(2010东北师大附中月考)如图24-1-4-2,已知A、B、C、D、E均在⊙O上,且AC为⊙O的直径,则∠A+∠B+∠C=度.图24-1-4-2思路解析：根据圆周角定义,求得弧的度数是半圆周的一半.答案：90°10分钟训练(强化类训练,可用于课中)1.(山东济南模拟)如图24-1-4-3，把一个量角器放在∠BAC的上面，请你根据量角器的读数判断∠BAC的度数是( )A.30°B.60°C.15°D.20°图24-1-4-3 图24-1-4-4 图24-1-4-5思路解析：根据圆周角与圆心角的关系解答.答案：C2.(2010南京建邺一模)如图24-1-4-4，A、B、C是⊙O上的三点,∠ACB=30°,则∠AOB等于( )A.75°B.60°C.45°D.30°思路解析：根据圆周角和圆心角的关系求得.答案：B3.(重庆模拟)如图24-1-4-5，OB、OC是⊙O的半径，A是⊙O上一点，若已知∠B=20°，∠C=30°，则∠A=__________.思路解析：连结AO，则AO=OB，OA=OC，所以∠A=∠B+∠C=20°+30°=50°.答案：50°4.(经典回放)在半径为1的⊙O中，弦AB、AC分别是3和2，则∠BAC的度数是__________.思路解析：如图(1)和图(2)，分两种情况，作直径AD，连结BD，易知∠BAD=30°，∠CAO=45°，∴∠BAC=15°或75°.(1) (2)答案：15°或75°5.如图24-1-4-6所示，设P、Q为线段BC上两定点，且BP=CQ，A为BC外一动点，当点A运动到使∠BAP=∠CAQ时，△ABC是什么三角形？试证明你的结论.图24-1-4-6思路分析：利用同圆和等圆中，等弧所对的弦相等.解：当∠BAP=∠CAQ时，△ABC是等腰三角形.证明：如图，作出△ABC的外接圆，延长AP、AQ交该圆于D、E，连结DB、CE，由∠BAP=∠CAQ，得弧BD=弧CE.从而弧BDE=弧CED，所以BD=CE，∠CBD=∠BCE.又BP=CQ，则△BPD≌△CQE，这时∠D=∠E，由此弧AB=弧AC，故AB=AC,即△ABC是等腰三角形.快乐时光某足球队队员添了一个小孩,所有队友被邀请参加洗礼,来到教堂.突然孩子从母亲手中滑落,守门员果断地扑出,在离地几厘米的地方接住了孩子.大伙儿鼓掌欢呼,守门员习惯地拍了两下,接着熟练地大脚开出.30分钟训练(巩固类训练,可用于课后)1.如图24-1-4-7，已知⊙O中，AB为直径，AB=10 cm，弦AC=6 cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD和BD的长.图24-1-4-7思路分析：已知条件中若有直径，则利用圆周角定理的推论得到直角三角形，然后利用直角三角形的性质解题.解：∵AB 是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°.在Rt △ACB 中，BC=22AC AB -=22610-=8.∵CD 平分∠ACB ，∴弧AD=弧BD.∴AD=BD.在Rt △ADB 中，AD=BD=22AB=52(cm). 2.用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图24-1-4-8所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形？( )图24-1-4-9思路解析：本题考查圆周角定理的推论及圆周角定义在实际生产中的应用.认真观察图形，可得只有B 符合定理的推论.实际问题应读懂题意，看懂图形，并将实际问题转化成数学模型.A 和C 中的直角显然不是圆周角，因此不正确，D 中的直角只满足圆周角的一个特征，也不是圆周角，因而不能判断是否为半圆形.选B.答案:B3.(辽宁大连模拟)如图24-1-4-9，A 、C 、B 是⊙O 上三点，若∠AOC=40°，则∠ABC 的度数是( )A.10°B.20°C.40°D.80°思路解析：由“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”解答.答案：B4.如图24-1-4-10(1)，已知△ABC 是等边三角形，以BC 为直径的⊙O 交AB 、AC 于D 、E.(1)求证：△DOE 是等边三角形.(2)如图24-1-4-10(2)，若∠A=60°，AB ≠AC ，则(1)中结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.图24-1-4-10思路分析：△ABC 是等边三角形，所以∠B 、∠C 均为60°，利用60°的圆周角定理，可知△DOB 、△EOC 均为等边三角形.第二种情形类似.（1）证明：∵△ABC 为等边三角形，∴∠B=∠C=60°.∵OB=OC=OE=OD ，∴△OBD 和△OEC 都为等边三角形.∴∠BOD=∠EOC=60°.∴∠DOE=60°.∴△DOE 为等边三角形.（2）解:当∠A=60°，AB ≠AC 时，（1）中的结论仍然成立.证明：连结CD.∵BC 为⊙O 的直径，∴∠BDC=90°.∴∠ADC=90°.∵∠A=60°，∴∠ACD=30°.∴∠DOE=2∠ACD=60°.∵OD=OE ，∴△DOE 为等边三角形.5.四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BC=b ，AB=AC=AD=a ，如图24-1-4-11，求BD 的长.图24-1-4-11思路分析：由AB=AC=AD=a 可以得到点B 、C 、D 在以A 为圆心，以a 为半径的圆上，因而可以作出该圆，利用圆的知识解决该题.本题考查圆的定义和圆周角定理及其推论.解：∵AB=AC=AD=a ，∴点B 、C 、D 到A 点距离相等.故以A 为圆心，以a 为半径作⊙A ，并延长BA 交⊙A 于E ，连结DE.∵AB ∥CD ，∴弧BC=弧DE.∴BC=DE=b.∵BE 为⊙A 的直径，∴∠EDB=90°.在Rt △EDB 中，BD=22DE BE -=224b a -，∴BD 的长为224b a -.6.在足球比赛中，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN 进攻，当甲带球冲到A 点时，乙已跟随冲到B 点，如图24-1-4-12.此时，甲自己直接射门好，还是迅速将球传给乙，让乙射门好？图24-1-4-12思路分析：在真正的足球比赛中情况比较复杂,这里仅用数学方法从两点的静止状态来考虑，如果两个点到球门的距离相差不大，要确定较好的射门位置，关键是看这两点各自对球门MN的张角大小，当张角较小时，则容易被对方守门员拦截.解：考虑过M、N及A、B中任一点作圆，这里不妨过M、N、B作圆，则A点在圆外，设MA交⊙O于C，则∠MAN＜∠MCN，而∠MCN=∠MBN，所以∠MAN＜∠MBN.因此在B点射门为好.7.如图24-1-4-13所示，在小岛周围的APB内有暗礁，在A、B两点建两座航标灯塔，且∠APB=θ，船要在两航标灯北侧绕过暗礁区，应怎样航行？为什么？图24-1-4-13思路分析：根据圆周角定理和三角形内角和定理解答.船在航行过程中，始终保持对两灯塔A、B的视角小于θ，即可安全绕过暗礁区.解：船在航行过程中，始终保持对两灯塔A、B的视角小于θ，即可安全绕过暗礁区.（1）在弧APB外任取一点C，连结CA、CB，设CA交弧APB于F，连结FB.∵∠AFB=∠θ，∠AFB＞∠C，∴∠C＜θ.（2）在弧APB的弓形内任取一点D，连结AD并延长交弧APB于E，连结DB、EB.∵∠E=θ，∠ABD＞∠E，∴∠ADB＞θ.由（1）（2）知，在航标灯A 、B 所在直线北侧，在圆弧弧APB 外任一点对A 、B 的视角都小于θ;在圆弧弧APB 上任一点对A 、B 的视角都等于θ;在圆弧弧APB 内任一点对A 、B 的视角都大于θ.为此只有当对两灯塔的视角小于θ的点才是安全点.8.(湖北恩施自治州课改区模拟)在探讨圆周角与圆心角的大小关系时，小亮首先考虑了一种特殊情况(圆心在圆周角的一边上)如图24-1-4-14(1)所示：图24-1-4-14∵∠AOC 是△ABO 的外角,∴∠AOC=∠ABO+∠BAO.又∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA.∴∠AOC=2∠ABO,即∠ABC=21∠AOC. 如果∠ABC 的两边都不经过圆心，如图24-1-4-14(2)(3),那么结论会怎样?请你说明理由.思路分析：本题设计很巧妙，实际上是圆周角定理的证明，可分三种情况讨论:（1）圆心在圆周角的一边上（是已给的情况）；（2）圆心在圆周角内部；（3）圆心在圆周角外部.解：如果∠ABC 的两边都不经过圆心,结论∠ABC=21∠AOC 仍然成立. (1)对图(2)的情况,连结BO 并延长交圆O 于点D, 由题图(1)知:∠ABD=21∠AOD, ∠CBD=21∠COD. ∴∠ABD+∠CBD=21∠AOD+21∠COD, 即∠ABC=21∠AOC. (2)对图(3)的情况仿图(2)的情况可证.9.(经典回放)如图24-1-4-15所示，已知AB 为⊙O 的直径，AC 为弦，OD ∥BC ，交AC 于D ，BC=4 cm.(1)求证：AC ⊥OD ；(2)求OD 的长；(3)若∠A=30°，求⊙O 的直径.图24-1-4-15思路分析：根据圆周角定理的推论以及三角形中位线定理计算.（1）证明:∵AB 是⊙O 的直径，∴∠C=90°.∵OD ∥BC ，∴∠ADO=∠C=90°.∴AC ⊥OD.（2）解:∵OD ∥BC ，又∵O 是AB 的中点，∴OD 是△ABC 的中位线.∴OD=21BC=21×4=2（cm ）. （3）解:∵∠A=30°，在Rt △ABC 中，∠A=30°， ∴BC=21AB. ∴AB=2BC=8（cm ）,即⊙O 的直径是8 cm.10.(经典回放)如图24-1-4-16所示，AB 是⊙O 的直径，C 、D 、E 都是⊙O 上的点，则∠1＋∠2=__________. 思路解析：∠1所对的弧是弧AE ，∠2所对的弧是弧BE ，而弧AE ＋弧BE=弧AB 是半圆，因此连结AD ，∠ADB 的度数是90°，所以∠ADB=∠1＋∠2.本题也可以连结EO ，得到圆心角∠EOA 和∠EOB,而∠EOA ＋∠EOB=180°，所以∠1＋∠2=90°，这是圆周角定理的直接应用.答案：90°图24-1-4-16 图24-1-4-1711.(经典回放)如图24-1-4-17所示，AB 为⊙O 的直径，P 、Q 、R 、S 为圆上相异四点，下列叙述正确的是( )A.∠APB 为锐角B.∠AQB 为直角C.∠ARB 为钝角D.∠ASB ＜∠ARB思路解析：AB 为直径，根据直径所对的圆周角是直角，所以∠APB 、∠AQB 、∠ARB 、∠ASB 都是直角.由于四个角都是直角，所以∠ASB=∠ARB=90°.答案：B。
人教版九年级上册数学教案：24.1.4圆周角
在实践活动环节，我让学生分组讨论和实验操作，目的是让他们在实践中掌握圆周角的知识。从成果展示来看，大部分学生能够完成实验任务，但仍有部分学生操作不够规范，对圆周角的测量和计算存在误差。这说明我在指导学生实验操作时，还需要更加细致地讲解和演示。
3.能够利用圆周角定理证明圆内接四边形的性质，如对角互补等。
4.通过实际操作，培养学生的观察能力、空间想象力和逻辑思维能力。
二、核心素养目标
1.培养学生运用几何直观和空间想象力，理解圆周角的概念及其与圆心角的关系，提高几何图形的认识和分析能力。
2.强化学生逻辑推理和数学论证的能力，通过圆周角定理及推论的探究和运用，培养严谨的数学思维和推理素养。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解圆周角的基本概念。圆周角是顶点在圆周上，两边都与圆相交的角。它是研究圆性质的重要角度之一，对于解决与圆有关的问题至关重要。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设我们有一个圆，其半径为r，我们需要计算圆上两个点对应的圆周角。通过案例分析，我们学习如何应用圆周角定理来解决这个问题。
五、教学反思
在今天的课堂上，我们探讨了圆周角的概念、性质和应用。回顾整个教学过程，我觉得有几个方面值得思考和改进。
首先，关于圆周角定义的引入，我尝试通过日常生活中的例子让学生感受到圆周角的存在，激发他们的学习兴趣。从学生的反应来看，这个方法还是比较有效的。但在实际操作中，我发现有些学生对圆周角的理解仍然不够深入，可能需要我在课堂上更加形象、直观地展示圆周角的特点。
人教版九年级数学上册课件：第24章圆24.1.4 圆周角和圆心角、弧的关系(共20张PPT)
我们来分析第（1）种情况，如图（1），圆心 O在∠BAC的一条边上.
知2－讲
O A B O O C C A A C C A 1 2 B O C .
对于第（2）（3）种情况，可以通过添加辅助线（图 （2）（3）），将它们转化为第（1）种情况.从而得 到相同的结论（请你自己完成证明）.
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
知1－练
1 (中考·柳州)下列四个图中，∠x为圆周角的是( C)
（来自《典中点》）
知1－练
2 如图所示，图中的圆周角共有___4___个，其中A⌒B 所对的圆周角是_∠__C__与_∠__D_____，C⌒D所对的圆周角 是_∠__A_与__∠__B___．
人教版九年级数学上册24.1.4圆周角说课稿
1.教学重点：圆周角定理的表述及其推论，能运用圆周角定理解决实际问题。
2.教学难点：圆周角定理的证明，以及如何运用圆周角定理解决复杂几何问题。
在教学过程中，应着重讲解圆周角定理的证明过程，引导学生通过观察、分析、推理等方法，理解并掌握圆周角定理。同时，通过举例和练习，让学生学会如何运用圆周角定理解决实际问题，提高他们的数学应用能力。
4.圆周角定理的推论：引导学生从圆周角定理出发，推理出圆周角定理的推论，加深学生对定理的理解。
（三）巩固练习
为了帮助学生巩固所学知识并提升应用能力，我计划设计以下巩固练习和实践活动：
1.课堂练习：设计一些与圆周角定理相关的练习题，让学生在课堂上进行练习，检验他们对知识点的掌握程度。
2.小组讨论：组织学生进行小组讨论，让他们共同解决一个与圆周角定理相关的实际问题，培养学生的合作能力和应用能力。
（五）作业布置
我的课后作业布置情况如下：
1.作业内容：设计一些与圆周角定理相关的练习题，让学生在课后进行巩固练习。
2.作业目的：检查学生对圆周角定理的理解和应用能力，巩固所学知识。
3.作业要求：学生在完成作业时，要注意思考和总结，遇到问题时可以寻求他人的帮助。
4.作业反馈：教师要及时批改作业，给予学生反馈，指出他们的错误和不足，帮助学生提高。
2.小组讨论：组织学生进行小组讨论，鼓励他们分享思路，培养学生的合作能力和团队精神。
3.成果展示：鼓励学生展示自己的解题过程和结果，让其他同学进行评价和交流，提高学生的表达能力和评价能力。
4.课后实践：布置一些与生活实际相关的数学问题，让学生在课后进行实践，巩固所学知识。
四、教学过程设计
（一）导入新课
2.在小组讨论和实践活动环节，部分学生可能缺乏合作意识和沟通能力，需要教师进行引导和协调。
初中数学教学课件：24.1.4圆周角(人教版九年级上)
C
等于（ B ）.
A.30° B.60° C.90° D、45°
A
B
P
1.如图，∠A=50°，∠AOC=60° BD是⊙O的直径，则∠AEB等于（ B ）. A.70° B.110° C.90° D.120°
2.（南通·中考） 如图，⊙O的直径
A
ED O
B
C
AB=4，点C在⊙O上，∠ABC=30°，则AC的
24.1.4 圆周角
1.理解圆周角的概念,掌握圆周角的定理的内容及简单 应用； 2.掌握圆周角的定理的三个推论及简单应用； 3.渗透由“特殊到一般”，由“一般到特殊”的数 学思想方法.
C
C
O
O
B
A
B
B A
A
C
O
圆周角：顶__点__在__圆__上__，并且角_两__边__都__和__圆__相__交_. 圆心角: 顶__点__在__圆__心___ 的角.
∠COB=120°．∴∠CBD=1 ∠COD=1 ×1 ∠COB=30°.
2
22
又∠AOB=98°，∠COB=120°．∴∠OAB=41°，
∠OBC=∠OCB=30°, ∠ABD=41°+30°+30°=101°.
答案：101°
4.如图，△ABC的顶点A、B、C都在⊙O
上，∠C＝30°，AB＝2，则⊙O的半径是多少？
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
A D B D 2 A B 2 1 0 52 ( c m )
2
2
跟踪训练
1、如图，在⊙O中，∠ABC=50°， 则∠AOC等于（ D ）. A.50° B.80° C.90° D.100°
24.1.4 圆周角 人教版数学九年级上册教案
24.1.4 圆周角一、【教材分析】知识技能1、理解圆周角的概念,掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用；2、掌握圆周角定理的三个推论，并会熟练运用这些知识进行有关的计算和证明.过程方法1、培养学生观察、分析、想象、归纳和逻辑推理的能力；2、渗透由“特殊到一般”，由“一般到特殊”，体验分类讨论的数学思想方法.教学目标情感态度敢于面对数学活动中的困难，并能有意识地运用已有知识解决新问题.教学重点圆周角定理及定理的三个推论的应用．教学难点圆周角定理的证明，三个推论的灵活应用.二、【教学流程】教学环节问题设计师生活动二次备课情景创设观察与思考：（教师边演示自制教具边介绍，其中底面圆片上标注好有关的字母、线条）假设这是一个圆柱形的房子，同学们可以站在房中通过圆弧形玻璃窗AB向外观看外面的风景，同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正创设问题情境，开展学习活动，引起学生学习的兴趣图图c图画出来.3、利用第2题的图形，分别证明图a、图b、图c中的∠B OC=2∠B AC.4、用自己的语言说出圆周角定理的内容是什么？（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；动，归纳出：⑴在圆周角的一条边上(如图a)；⑵在圆周角的内部(如图b)；⑶在圆周角的外部（如图c）.学生自己独立完成图a的证明.对于图b、图c两种情况的证明，我们可以先尝试让学生小组交流，寻找证题方法，教师可以参与小组讨论，及时给予引导、点拨，然后板书展示证明过程，最后全班进行点评，引导学生体会“转换化归”在解决从特殊到一般问题时的应用思路和方法.以小组为单位讨论、探索，教师参与其中，指导帮助学生完成问题的解答.最后归纳通过制作演示折纸，培养学生动手操作的能力，促进学生参与教学的意识的形成.学会分类讨论、转换化归是教学突破的关键通过观察、交流、归纳，锻炼学生的逻辑思维能力，体验分类讨论的数学思想方法C三、【板书设计】四、【教后反思】本节课首先设计了一个问题情境，展示了圆心角与圆周角的位置关系，引出圆周角的概念.然后通过测量、猜想，得出同弧所对的圆周角等于圆心角的一半的结论.接着通过让学生折纸，观察与思考，利用分类讨论的思想方法，分三种情况给出系统的证明及思维过程.至此我们利用迁移、转化的思想方法化未知为已知，将圆周角的问题转化为圆心角来求解.其后为进一步探索圆周角的其他性质，我们又以设置的问题为导线，将学生带入到教学活动中，同时再次通过交流、讨论、合作、归纳出圆周角定理的三个推论，并运用它们进行解题，实现从认识到应用的转化.。
《24.1.4圆周角》教案教学反思-2023-2024学年数学人教版九年级上册
1.教学重点
（1）圆周角的概念：圆周角是圆上一段弧所对的角，理解圆周角的定义是本节课的核心，是后续学习的基础。
举例：通过观察圆的图形，让学生明确圆周角的概念，并能够准确地指出圆周角。
（2）圆周角定理：圆周角等于其所对圆心角的一半，这是圆周角的核心性质，对于解决相关问题具有重要意义。
突破方法：通过对比、分析、总结等教学活动，让学生深入理解圆周角与圆心角的关系。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《24.1.4圆周角》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否注意过车轮转动时，车轮上的点是如何运动的？”（举例说明）这个问题与我们将要学习的圆周角密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索圆周角的奥秘。
五、教学反思
在今天的课堂中，我们探讨了《24.1.4圆周角》这一章节。通过教学过程，我发现学生们对圆周角的概念和性质有了初步的认识，但在实际应用中，仍有一些学生感到困惑。对此，我进行了以下反思：
首先，关于导入新课部分，我尝试以日常生活中的实例引入圆周角的概念，但感觉效果并不理想。可能是因为例子不够贴近学生的生活，导致部分学生对这一章节的兴趣不够浓厚。在今后的教学中，我会尝试寻找更贴近学生生活的例子，以提高他们的学习兴趣。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了圆周角的基本概念、圆周角定理及其推论，还知道了圆内接四边形的性质。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对圆周角的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决几何问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
24.1.4 圆周角 课件 2024--2025学年人教版九年级数学上册
问题4：为了证明上面发现的结论，首先观察圆周角与圆心O的位置 特点，然后将它进行分类.
结论：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 因此，我们得到以下三种情况：
圆心在圆周角外
圆心在圆周角的一边上
圆心在圆周角内
探索新知 活动五：证明圆周角与圆心角的关系
证明：在⊙O中 OA=OC
∴∠A= ∠C ∵∠BOC是△AOC的外角
圆周角的概念
我们把顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
(1)图中的圆周角：__∠__B_A_C____. (2)这个角所对的弧：_______.
说出下图中有哪些圆周角，并分别说出它们所对的弧.
A
∠BAC 、∠B 、∠C 、∠BDC 、∠CAD
D
O C
∠ADB 、∠BAD 、∠ADC
B
探索新知
∴∠BOC= ∠A+ ∠C
A
O B
D
A
OO
B
C
D
A
O C
D
A O
A
O
D
C
D
C
B
A O
D条弧所对的圆周角等于该弧它所对的圆心角的一半；
几何语言： 在⊙O中
课堂小测
1.如图，点A、B、C、D在☉O上，点A与点D在点B、C所在直线的 同侧，∠BAC=35º.
(1)∠BOC= 70 º， (2)∠BDC= 35 º.
AA
追问：在⊙O上任取一条弧，作出这条弧所对
O
的圆周角和圆心角，测量它们的度数，你能得
C 出同样的结论吗？
结论仍然成立. B
探索新知 活动三：探究圆周角与圆心角的数量关系
因此， 猜想：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
24.1.4 .1圆周角定理及其推论课件 2024-2025学年人教版数学九年级上册
A．25°
B．30°
C．35°
D．50°
知识讲解
知识点2 圆周角定理的推论
圆周角定理的推论：（1）同弧或等弧所对的圆周角相等.
知识讲解
知识点2 圆周角定理的推论
（2）圆周角和直径的关系：半圆或直径所对的圆周角都是直角，
90°的圆周角所对的弦是直径.
知识讲解
知识点2 圆周角定理都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC．求证：
∠ACB=2∠BAC．
证明：∵∠ACB=
∠AOB，∠BAC=
∵∠AOB=2∠BOC，∴∠ACB=2∠BAC.
∠BOC，
随堂练习
8. 船在航行过程中，船长通过测定角度来确定是否遇到暗礁，如图，A、
B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，优弧AB上
30°
∠AOD=60°，则∠DBC的度数为__________.
随堂练习
3. 如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为( C )
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
解析：由BD是⊙O直径得∠BCD＝90°.
∵∠CBD＝30°，∴∠BDC＝60°.
∵∠A与∠BDC是同弧所对的圆周角，
证明：连接BE，∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，∴∠BAE＋∠E＝90°，
∵AD 是 △ABC 的 高 ， ∴∠ADC ＝ 90° ，
∴∠CAD＋∠C＝90°.
知识讲解
知识点2 圆周角定理的推论
【例 4】如图所示，已知△ABC的顶点在⊙O上，AD是△ABC的高，
AE是⊙O的直径，求证：∠BAE＝∠CAD.
人教版数学九年级上册 24.1.4圆周角(共21张PPT)
和∠AEB）和同学乙的视角相同吗？
1、什么叫做圆心角？
定 义
顶点在圆心的角叫做加圆心角。如图（1）
学 习
B
B
O
O
C
（1）
C A
（2）
2、圆周角的定义：
如图（2），∠BAC的顶点在圆上，它的两边分别与圆相交，像这样的角， 叫做圆周角。
3、圆心角与圆周角的差别：
定
义
B
B
学
习
O
O
C
C
A
（1）
（2）
一是对角的顶点的位置的规定，圆心角的顶点在圆心处， 而圆周角的顶点在圆周上；
运
AP
用
连结OD，
直径AB CD
COB DOB 1 COD 2
CPD是圆周角， 对的弧是CBD
O
C
D
B
CPD 1 COD 2
CPD COB
1、本节课的主要内容是什么？
课
圆周角的定义和性质
堂
小
结
2、本节课你学到了什么数学方法来证明圆周角的性质？
分类法 ，数形结合法
[推论] 半圆（或直径）所对的圆周角是
直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
C2 C1
C3
知
识
探
探究与思考
A
O
B
索
（1）如图，弧AB是⊙O半圆（AB是⊙O的直
径），那么∠C1、∠C2、∠C3的度数 是_9_0_°_
（2） 若∠C1、∠C2、∠C3是直角，那么∠AOB
是180° 。点O在_A_B_上，弦AB是 直__径_
2
2
BAC 1 BOC
2
知 识 探 索
24.1.4圆周角-初中九年级上册数学教案(人教版)
4.圆周角的应用：解决实际问题时，如何利用圆周角和圆心角的关系求解角度问题。
本节内容旨在让学生掌握圆周角的概念和性质，以及在实际问题中的应用，培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
二、核心素养目标
1.理解与运用：通过探究圆周角的定义及性质，培养学生对几何图形的认知和运用能力，提高空间想象力。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《圆周角》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要测量圆形场地或物体角度的情况？”（如自行车车轮的转动角度）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索圆周角的奥秘。
-举例解释：
-对于定理证明的难点，采用分步引导法，逐步引导学生通过观察、分析、归纳得出结论。
-在应用难点方面，设计不同难度的题目，从简单到复杂，让学生逐步适应和掌握。
-对于认知难点，通过图形变换和构造，让学生直观感受圆内接四边形性质的形成和应用。
-通过小组讨论和同伴互助，让学生在交流中发现问题，解决认知上的困惑。
24.1.4圆周角-初中九年级上册数学教案（人教版）
一、教学内容
24.1.4圆周角-本节为人教版初中九年级上册数学教材中“圆”单元的内容。主要包括以下方面：
1.圆周角的定义：圆周角是由圆上两条相交弧所对的角，讲解圆周角的度数与对应圆心角的关系。
2.圆周角定理：圆周角等于其所对圆心角的一半，进行证明和应用。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-定义理解：圆周角的定义及其与圆心角的关系，理解圆周角定理。
-性质掌握：圆内接四边形的性质，特别是对角互补和对边相等的特点。
24.1.4 圆周角 人教版九年级数学上册课件
丁E
B
C
O
B
C O
D A
1、已知∠AOB＝75°，
C
求：∠ACB=
。
O
2、已知∠AOB＝120°，
A
B
求： ∠ACB =
A
3、已知∠ACD＝30°，
求：∠AOB =
4、已知∠AOB＝110°，
B 求：∠ACB =
O
B
A
C
5、教材P89 3题 6、判断下列命题的真假，若是真命题请证明，
的 内部
圆心O在∠BAC 的外部
要点归纳 圆周角定理
圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；
如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面的示意图,人们可以通
过其中的圆弧形玻璃AB 观看窗内的海洋动物,同学甲站在 圆心的O 位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C， 他们的视角（∠AOB 和∠ACB）有什么关系？
弧所对的圆心角相等， 所对
对 的 弧所对的圆周角相等， 所对
的弦也相等。
圆 周 的弦也相等。
角
3、在同圆或等圆中，相等的
等 于 3、在同圆或等圆中，相等的
弦所对的圆心角相等，所对
它 所 弦所对的圆周角相等或互补！
的弧也相等．
对 的
圆
·O
B
C
顶点不在圆上
（5）√
A B
（6）√
二 圆周角定理及其推论
测量与猜测
如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与 ∠BOC存在怎样的数量关系.
BAC 1 BOC 2
猜想： 同一条弧（或相等的弧） 所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
推导与论证
24.1.3圆周角++课件-2024-2025学年人教版数学九年级上册
(4) 圆的内接四边形的性质：__________________________．
知识点1
圆周角的定义
1．下列图形中的角是圆周角的是
( B )
知识点2
圆周角定理
2 ． (2023·云 南 省 中 考 ) 如图 ， AB是 ⊙O的 直 径 ， 点 C是 ⊙O上 一
点．若∠BOC＝66°，则∠A＝
考点3
圆周角与分类讨论思想
13．⊙O是正方形ABCD的外接圆，若点P在⊙O上且与点A，B不重
45或135
合，则∠APB的大小为___________度.
考点4
定弧、定弦、定角思想
14．如图，AB为⊙O的直径，点C为半圆的中点，动点D从点A出
发，在圆周上顺时针匀速运动，到达点B后停止运动，在点D运动过程
A．66°
B．33°
C．24°
D．30°
( B )
3．(2023·甘孜州中考)如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝30°，
则∠ABO的度数为
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
( C )
知识点3
圆周角定理的推论
4．(2023·广东省中考)如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝50°，则
∠D＝
A．20°
∴DE＝ 2 − 2 ＝1.
5
2
2
2
在Rt△BOE中，∠OEB＝90°，OB ＝(OB－1) ＋2 ，解得OB＝ .
2
5
即⊙O的半径是 .
2
课后强化
1．如图，点A，B，C在⊙O上，若∠AOB＝140°，则∠ACB的度
数为
( C )
A．40°
人教版九年级上册 24.1.4 圆周角 课件30张
五、思维拓展
与圆有关的角除了圆心角、圆周角还有其 它的角，比较∠A、∠D、∠E的大小关系，你 有什么发现？能说明你的结论吗？
D’
A
E’ E
D
B
C
练习. 如图，在⊙O中，BC=2DE,∠BOC=84°，求
∠A的度数.
C E
A
O
D
B
活动六：反思提升
目标检测
1.如左图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，
24.1.4圆周角
一、温故探新 定义 顶点在圆心的角叫做圆心角.
O
B
C
二、建立概念
圆周角
类 比 思
定义 顶点在圆上， 并且两边都和圆相交 的角叫做圆周角.
想
圆心角
B C
· · B 定义O 顶点A 在圆心 O
A
的角叫做圆心角.
C
（1）√
（2） ×
A O
B
C
A C
·O
B
（3）×
圆周角
定义 顶点在圆上， 并且两边都和圆相交 的角叫做圆周角.
四边形ABCD的对角线.填空：
(1)∠1=∠ 4 ; (2)∠2=∠ 7 ; (3)∠3=∠ 6 ; (4)∠5=∠ 8 .
1.如图，点A、B、C都在⊙O上. （1）若∠AOC=120°，则求∠ABC的度数. （2）写出∠AOC与∠ABC的数量关系.
O
C
A
B
2.如图，点A、B、C都在⊙O上. ∠AOB = 2∠BOC. 请说明∠ACB = 2∠BAC.
O
C
A
B
一、温故探新 定义 顶点在圆心的角叫做圆心角. 性质 弧的度数等于它所对圆心角的度数.
O
B
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师：（指准图）根据圆周角定理，∠A 等于这个圆心角的一半，∠C 等于这个圆
心角的一半，所以∠A+∠C 等于这个角加上这个角的一半.这个角加上这个角
等于 360°，所以∠A+∠C 等于 360°的一半，等于 180°.
师：同样道理可以证明∠B+∠D=180°.
师：（指板书）推论 3 是一个很有用的结论，下面就请同学们利用这个结论来
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人教版初中数学
个四边形叫做圆内接四边形（板书：四边形 ABCD 叫做圆内接四边形），我们
还把⊙O 叫做四边形 ABCD 的外接圆（板书：⊙O 叫做四边形 ABCD 的外接
圆）.
师：（出示圆内接三角形图片，并指准）这是一个三角形，这个三角形的所有
顶点都在这个圆上，我们把这个三角形叫做圆内接三角形，把这个圆叫做这
拿来用.
（作业：P88 习题 6.7.） 课外补充作业
6.如图，∠A=30°，∠ABC=50°，则∠E=
°，
D B
A C E
∠D=
°，∠ACB=
°.
四、板书设计
圆周角定理……
图
例
推论 1……
四边形 ABCD 叫做圆内接四边形
推论 2……
⊙O 叫做四边形 ABCD 的外接圆
推论 3……
∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°
求证：∠DCE=∠A.
A
证明：∵∠DCE+∠BCD=180°， 又∵∠A+∠BCD=180°， ∴∠DCE=∠A.
. O
B
C
E
（六）归纳小结，布置作业
师：（指准板书）本节课我们学习了圆周角定理的推论 3，圆内接四边形的对
角互补；还学习了一个例题，利用推论 3 证明了圆内接四边形的任何一个外
角都等于它的内对角.这个结论像别的定理、推论一样可以在做题的时候直接
学习什么？我们要学习圆周角定理的第三个推论（板书：推论 3）.
师：推论 3 怎么说？让我们先来看下面的问题.
（三）尝试指导，讲授新课
（师出示下图）
D
A
.
O
C B
师：（指准图）这是四边形 ABCD，这个四边形有一个特点，什么特点？（稍 停）这个四边形的四个顶点，点 A，点 B，点 C，点 D 都在⊙O 上，我们把这
个？
生：（齐答）∠BOD.
师：红弧所对的圆心角是∠BOD（边讲边用红笔标∠BOD）. 师：（把 BCD描成黄色，并指准）这条黄弧所对的圆周角是哪个？
生：（齐答）∠A.
师：黄弧所对的圆周角是∠A（边讲边用红笔标∠A），那黄弧所对的圆心角是哪
个？
生：……
师：（指准图）黄弧所对的圆心角是这个角（边讲边用黄笔标这个角）.
°，
O
∠BCD=
°.
（五）尝试指导，讲授新课 师：下面我们来看一道例题.
（师出示例题）
D B
C
例 求证：圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.
（师画出图形写出已知求证，然后让生说证明思路，最后师写出证明过程，
图形、已知、求证及证明过程如下）
已知：如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形.
D
3.用三角尺画出下面这个圆的圆心.
B C
（二）创设情境，导入新课
（师出示下面的板书）
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等.
推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直
径.
师：（指准板书）前面我们学习了圆周角定理和它的两个结论，本节课我们要
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人教版初中数学 重点知识精选
掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！ 人教版初中数学 和你一起共同进步学业有成！
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24.1.4 圆周角
第 2 课时 圆内接四边形的性质及圆周角定理的综合运用
一、教学目标
1.知道圆内接多边形和多边形的外接圆的意义，知道圆内接四边形的对角互
的外接圆.
师：知道了圆内接多边形的概念，（指黑板上的圆内接四边形）现在我们还是回
来看圆内接四边形.
师：圆内接四边形有一个重要的性质，什么性质？圆内接四边形的对角互补
（板书：圆内接四边形的对角互补）.
师：圆内接四边形的对角互补，什么意思？（指准图）就是说，∠A+∠C=180
°，∠B+∠D=180°，（板书：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°）.
个三角形的外接圆.
师：（出示圆内接五边形图片，并指准）这是五边形，这个五边形的所有顶点
都在这个圆上，我们把这个五边形叫做圆内接五边形，把这个圆叫做这个五
边形的外接圆.
师：（出示圆内接五边形图片，并指准）一般地说，如果一个多边形的所有顶
点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形
补，会简单运用这个结论.
2.培养演绎推理能力和识图能力.
二、教学重点和难点
1.重点：圆内接四边形的对角互补.
2.难点：结论的证明.
三、教学过程
（一）基本训练，巩固旧知
1.填空：如图，
x=
°.
40 x
50
Aห้องสมุดไป่ตู้
D
2.填空：如图，∠BAC=55°，∠CAD=45°，
则∠DBC=
°，∠BDC=
°，
∠BCD=
°.
做几个练习.
（四）试探练习，回授调节 4.如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠A=60°， A
填空：
(1)∠BCD=
°；
.D
O
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B
C
E
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(2)∠DCE=
°；
(3)∠B+∠D=
°.
5.如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，
A
∠BOD=100°，
则∠BAD=
TB:小初高题库
人教版初中数学
相信自己，就能走向成功的第一步 教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。数学思维
可以让他们更理性地看待人生
TB:小初高题库
师：用圆周角定理可以推出这个结论，怎么推？大家自己先想一想（让生思考
片刻）.
师：我们一起来证明，（指板书）先证明∠A+∠C=180°.
师：怎么证明∠A+∠C=180°？连结 OB，OD（边讲边用虚线连结 OB，OD）.
师：（把 BAD描成红色，并指准）这条红弧所对的圆周角是哪个？
生：（齐答）∠C.
师：红弧所对的圆周角是∠C（边讲边用红笔标∠C），那红弧所对的圆心角是哪