河南省商丘市第一中学2019-2020学年九年级下期二模数学试卷(解析版)

河南省商丘市第一中学2019-2020学年九年级下期二模数学试卷一．选择题（共10小题）1．﹣2020的绝对值是（）A．﹣2020B．2020C．﹣D．2．已知空气的单位体积质量是0.001239g/cm3，则用科学记数法表示该数为（）A．1.239×10﹣3g/cm3B．1.239×10﹣2g/cm3C．0.1239×10﹣2g/cm3D．12.39×10﹣4g/cm33．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．如图所示的工件的主视图是（）A．B．C．D．5．下列各运算中，计算正确的是（）A．2a•3a＝6a B．（3a2）3＝27a6C．a4÷a2＝2a D．（a+b）2＝a2+ab+b26．关于方程x2﹣4x+9＝0的根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个相等实根B．有两个不相等实数根C．没有实数根D．有一个实数根7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E．若AC ＝3，AB＝5，则DE等于（）A．2B．C．D．8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，当y＞0时，x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜1B．﹣3＜x＜﹣1C．x＜1D．﹣3＜x＜19．方程x2+3x﹣1＝0的根可视为函数y＝x+3的图象与函数的图象交点的横坐标，则方程x3+2x﹣1＝0的实根x0所在的范围是（）A．B．C．D．10．如图①，在菱形ABCD中，动点P从点B出发，沿折线B→C→D→B运动．设点P经过的路程为x，△ABP的面积为y．把y看作x的函数，函数的图象如图②所示，则图②中的b等于（）A．B．C．5D．4二．填空题（共5小题）11．＝．12．若抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴没有交点，则m的取值范围是．13．一个不透明的布袋内装有除颜色外，其余完全相同的3个红球，2个白球，1个黄球，搅匀后，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，再从中随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率为．14．如图，在▱ABCD中，以点A为圆心，AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C，交AD于点E，延长BA与⊙O相交于点F．若的长为，则图中阴影部分的面积为．15．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，对角线AC与BD交于点O，E是AD 边动点，作直线OE交BC于点G，将四边形DEGC沿直线EG折叠，点D落在点D′处，点C落在点C′处，ED′交AC于F，若△AEF是直角三角形，则AE＝．三．解答题（共8小题）16．先化简，再求值：÷（﹣m﹣1），其中m＝6．17．某校九年级（1）班所有学生参加2010年初中毕业生升学体育测试，根据测试评分标准，将他们的成绩进行统计后分为A、B、C、D四等，并绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（未完成），请结合图中所给信息解答下列问题：（1）九年级（1）班参加体育测试的学生有人；（2）将条形统计图补充完整；（3）在扇形统计图中，等级B部分所占的百分比是，等级C对应的圆心角的度数为；（4）若该校九年级学生共有850人参加体育测试，估计达到A级和B级的学生共有人．18．如图直线y1＝﹣x+4，y2＝x+b都与双曲线y＝交于点A（1，3），这两条直线分别与x轴交于B，C两点．（1）求k的值；（2）直接写出当x＞0时，不等式x+b＞的解集；（3）若点P在x轴上，连接AP，且AP把△ABC的面积分成1：2两部分，则此时点P 的坐标是．19．如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交弧AC于点D，过点D 作⊙O的切线，交BA的延长线于点E．（1）求证：AC∥DE；（2）连接AD、CD、OC．填空①当∠OAC的度数为时，四边形AOCD为菱形；②当OA＝AE＝2时，四边形ACDE的面积为．20．如图，小东在楼AB的顶部A处测得该楼正前方旗杆CD的顶端C的俯角为42°，在楼AB的底部B处测得旗杆CD的顶端C的仰角为30°，已知旗杆CD的高度为12m，根据测得的数据，计算楼AB的高度．（结果保留整数，参考数据：sin42°≈0.7，cos42°≈0.7，tan42°≈0.9，≈1.7）21．每年的6月5日为世界环保日，为了提倡低碳环保，某公司决定购买10台节省能源的新设备，现有甲、乙两种型号的设备可供选购，经调查：购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多花16万元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少花6万元．（1）求甲、乙两种型号设备的价格；（2）该公司经预算决定购买节省能源的新设备的资金不超过110万元，你认为该公司有哪几种购买方案；（3）在（2）的条件下，已知甲型设备的产量为240吨/月，乙型设备的产量为180吨/月，若每月要求总产量不低于2040吨，为了节约资金，请你为该公司设计一种最省钱的购买方案．22．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD上一动点，设DE＝nEA，连接CE并延长，交AB于点F．（1）尝试探究如图（1），当∠BAC＝90°，∠B＝30°，DE＝EA时，BF，BA之间的数量关系是；（2）类比延伸如图（2），当△ABC为锐角三角形，DE＝EA时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展迁移如图（3），当△ABC为锐角三角形，DE＝nEA时，请直接写出BF，BA之间的数量关系．23．如图抛物线y＝ax2+bx+6的开口向下与x轴交于点A（﹣6，0）和点B（2，0），与y 轴交于点C，点P是抛物线上一个动点（不与点C重合）（1）求抛物线的解析式；（2）当点P是抛物线上一个动点，若△PCA的面积为12，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线的顶点为D，在抛物线上是否存在点E，使得∠EAB＝2∠DAC，若存在请直接写出点E的坐标；若不存在请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．﹣2020的绝对值是（）A．﹣2020B．2020C．﹣D．【分析】根据绝对值的定义直接进行计算．【解答】解：根据绝对值的概念可知：|﹣2020|＝2020，故选：B．2．已知空气的单位体积质量是0.001239g/cm3，则用科学记数法表示该数为（）A．1.239×10﹣3g/cm3B．1.239×10﹣2g/cm3C．0.1239×10﹣2g/cm3D．12.39×10﹣4g/cm3【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.001239＝1.239×10﹣3．故选：A．3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；故选：D．4．如图所示的工件的主视图是（）A．B．C．D．【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看，所得到的图形，本题找到从正面看所得到的图形即可．【解答】解：从物体正面看，看到的是一个横放的矩形，且一条斜线将其分成一个直角梯形和一个直角三角形．故选：B．5．下列各运算中，计算正确的是（）A．2a•3a＝6a B．（3a2）3＝27a6C．a4÷a2＝2a D．（a+b）2＝a2+ab+b2【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式＝6a2，不符合题意；B、原式＝27a6，符合题意；C、原式＝a2，不符合题意；D、原式＝a2+2ab+b2；不符合题意；故选：B．6．关于方程x2﹣4x+9＝0的根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个相等实根B．有两个不相等实数根C．没有实数根D．有一个实数根【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断根的情况．【解答】解：∵△＝（﹣4）2﹣4×9＝﹣4＜0，∴方程没有实数根．故选：C．7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E．若AC ＝3，AB＝5，则DE等于（）A．2B．C．D．【分析】根据勾股定理求出BC，根据线段垂直平分线性质求出AE＝BE，根据勾股定理求出AE，再根据勾股定理求出DE即可．【解答】解：在Rt△ACB中，由勾股定理得：BC＝＝4，连接AE，从作法可知：DE是AB的垂直平分线，根据性质得出AE＝BE，在Rt△ACE中，由勾股定理得：AC2+CE2＝AE2，即32+（4﹣AE）2＝AE2，解得：AE＝，在Rt△ADE中，AD＝AB＝，由勾股定理得：DE2+（）2＝（）2，解得：DE＝．故选：C．8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，当y＞0时，x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜1B．﹣3＜x＜﹣1C．x＜1D．﹣3＜x＜1【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一交点坐标，然后结合函数图象可以直接得到答案．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0），对称轴为直线x ＝﹣1，∴抛物线与x轴的另一交点坐标是（﹣3，0），∴当y＞0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．故选：D．9．方程x2+3x﹣1＝0的根可视为函数y＝x+3的图象与函数的图象交点的横坐标，则方程x3+2x﹣1＝0的实根x0所在的范围是（）A．B．C．D．【分析】首先根据题意推断方程x3+2x﹣1＝0的实根是函数y＝x2+2与的图象交点的横坐标，再根据四个选项中x的取值代入两函数解析式，找出抛物线的图象在反比例函数上方和反比例函数的图象在抛物线的上方两个点即可判定推断方程x3+2x﹣1＝0的实根x所在范围．【解答】解：方程x3+2x﹣1＝0，∴x2+2＝，∴它的根可视为y＝x2+2和的图象交点的横坐标，当x＝时，y＝x2+2＝2，y＝＝4，此时抛物线的图象在反比例函数下方；当x＝时，y＝x2+2＝2，y＝＝3，此时抛物线的图象在反比例函数下方；当x＝时，y＝x2+2＝2，y＝＝2，此时抛物线的图象在反比例函数上方；当x＝1时，y＝x2+2＝3，y＝＝1，此时抛物线的图象在反比例函数上方．故方程x3+2x﹣1＝0的实根x所在范围为：＜x＜．故选：C．10．如图①，在菱形ABCD中，动点P从点B出发，沿折线B→C→D→B运动．设点P经过的路程为x，△ABP的面积为y．把y看作x的函数，函数的图象如图②所示，则图②中的b等于（）A．B．C．5D．4【分析】连接AC交BD于O，根据图②求出菱形的边长为4，对角线BD为6，根据菱形的对角线互相垂直平分求出BO，再利用勾股定理列式求出CO，然后求出AC的长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出菱形的面积，b为点P在CD上时△ABP 的面积，等于菱形的面积的一半，从而得解．【解答】解：如图，连接AC交BD于O，由图②可知，BC＝CD＝4，BD＝14﹣8＝6，∴BO＝BD＝×6＝3，在Rt△BOC中，CO＝＝＝，AC＝2CO＝2，所以，菱形的面积＝AC•BD＝×2×6＝6，当点P在CD上运动时，△ABP的面积不变，为b，所以，b＝×6＝3．故选：B．二．填空题（共5小题）11．＝2．【分析】根据算术平方根的定义、负整数指数幂计算可得．【解答】解：原式＝2﹣4+4＝2，故答案为：2．12．若抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴没有交点，则m的取值范围是m＞9．【分析】利用根的判别式△＜0列不等式求解即可．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴没有交点，∴△＝b2﹣4ac＜0，∴（﹣6）2﹣4×1•m＜0，解得m＞9，∴m的取值范围是m＞9．故答案为：m＞9．13．一个不透明的布袋内装有除颜色外，其余完全相同的3个红球，2个白球，1个黄球，搅匀后，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，再从中随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率为．【分析】先画树状图展示所有36种等可能的结果数，再找出两次都摸到红球的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图为：共有36种等可能的结果数，其中两次都摸到红球的结果数为9，所以两次都摸到红球的概率为＝．故答案为：．14．如图，在▱ABCD中，以点A为圆心，AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C，交AD于点E，延长BA与⊙O相交于点F．若的长为，则图中阴影部分的面积为2﹣．【分析】连结AC，如图，设半径为r，先根据切线的性质得∠ACD＝90°，再根据平行四边形的性质得AB∥CD，AD∥BC，则∠CAF＝90°，∠1＝∠B，∠2＝∠3，利用∠B ＝∠3易得∠1＝∠2＝45°，则根据弧长公式可得＝，解得r＝2，然后根据扇形面积公式，利用S阴影部分＝S△ACD﹣S扇形CAE进行计算即可．【解答】解：连结AC，如图，设半径为r，∵AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C，∴AC⊥CD，∴∠ACD＝90°，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠CAF＝90°，∠1＝∠B，∠2＝∠3，而AB＝AC，∴∠B＝∠3，∴∠1＝∠2＝45°，∵的长为，∴＝，解得r＝2，在Rt△ACD中，∵∠2＝45°，∴AC＝CD＝2，∴S阴影部分＝S△ACD﹣S扇形CAE×2×2﹣＝2﹣．故答案为2﹣．15．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，对角线AC与BD交于点O，E是AD 边动点，作直线OE交BC于点G，将四边形DEGC沿直线EG折叠，点D落在点D′处，点C落在点C′处，ED′交AC于F，若△AEF是直角三角形，则AE＝或﹣1．【分析】首先证明△AOB是等边三角形，分两种情形分别求解即可．【解答】解：在矩形ABCD中，∵∠BAD＝90°，AD＝2，AB＝2，∴tan∠ABD＝＝，∴∠ABD＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，①当EF⊥AC时，易证点D′与B重合，此时AE＝AB•tan30°＝．②当AE⊥EF时，易证AE＝BM＝CG＝（BC﹣AB）＝﹣1．综上所述，满足条件的AE的值为或﹣1．三．解答题（共8小题）16．先化简，再求值：÷（﹣m﹣1），其中m＝6．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把m的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝÷＝•＝﹣，当m＝6时，原式＝﹣＝﹣＝﹣．17．某校九年级（1）班所有学生参加2010年初中毕业生升学体育测试，根据测试评分标准，将他们的成绩进行统计后分为A、B、C、D四等，并绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（未完成），请结合图中所给信息解答下列问题：（1）九年级（1）班参加体育测试的学生有50人；（2）将条形统计图补充完整；（3）在扇形统计图中，等级B部分所占的百分比是40%，等级C对应的圆心角的度数为72°；（4）若该校九年级学生共有850人参加体育测试，估计达到A级和B级的学生共有595人．【分析】（1）由A等的人数和比例，根据总数＝某等人数÷所占的比例计算；（2）根据“总数＝某等人数÷所占的比例”计算出D等的人数，总数﹣其它等的人数＝C等的人数；（3）由总数＝某等人数÷所占的比例计算出B等的比例，由总比例为1计算出C等的比例，对应的圆心角＝360°×比例；（4）用样本估计总体．【解答】（1）总人数＝A等人数÷A等的比例＝15÷30%＝50人；（2）D等的人数＝总人数×D等比例＝50×10%＝5人，C等人数＝50﹣20﹣15﹣5＝10人，如图：（3）B等的比例＝20÷50＝40%，C等的比例＝1﹣40%﹣10%﹣30%＝20%，C等的圆心角＝360°×20%＝72°；（4）估计达到A级和B级的学生数＝（A等人数+B等人数）÷50×850＝（15+20）÷50×850＝595人．18．如图直线y1＝﹣x+4，y2＝x+b都与双曲线y＝交于点A（1，3），这两条直线分别与x轴交于B，C两点．（1）求k的值；（2）直接写出当x＞0时，不等式x+b＞的解集；（3）若点P在x轴上，连接AP，且AP把△ABC的面积分成1：2两部分，则此时点P 的坐标是（﹣，0）或（，0）．【分析】（1）将点A的坐标代入y＝，即可求解；（2）观察图象即可求解；（3）AP把△ABC的面积分成1：2两部分，则点P把BC分成1：2两部分，即可求解．【解答】解：（1）将点A的坐标代入y＝得，k＝xy＝1×3＝3；（2）从图象看，x＞0，当不等式x+b＞时，x＞1；（3）将点A的坐标代入y2＝x+b得，3＝+b，解得：b＝，y2＝x+，令y2＝0，则x＝﹣3，即点C（﹣3，0），y1＝﹣x+4，令y1＝0，则x＝4，即点B（4，0），则BC＝7，AP把△ABC的面积分成1：2两部分，则点P把BC分成1：2两部分，即PB＝BC或BC，即BP＝或，设点P的横坐标为x，则4﹣x＝或，解得：x＝或﹣故点P的坐标为：（﹣，0）或（，0）；故答案为：（﹣，0）或（，0）．19．如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交弧AC于点D，过点D 作⊙O的切线，交BA的延长线于点E．（1）求证：AC∥DE；（2）连接AD、CD、OC．填空①当∠OAC的度数为30°时，四边形AOCD为菱形；②当OA＝AE＝2时，四边形ACDE的面积为2．【分析】（1）由垂径定理，切线的性质可得FO⊥AC，OD⊥DE，可得AC∥DE；（2）①连接CD，AD，OC，由题意可证△ADO是等边三角形，由等边三角形的性质可得DF＝OF，AF＝FC，且AC⊥OD，可证四边形AOCD为菱形；②由题意可证△AFO∽△ODE，可得，即OD＝2OF，DE＝2AF＝AC，可证四边形ACDE是平行四边形，由勾股定理可求DE的长，即可求四边形ACDE 的面积．【解答】证明：（1）∵F为弦AC的中点，∴AF＝CF，且OF过圆心O∴FO⊥AC，∵DE是⊙O切线∴OD⊥DE∴DE∥AC（2）①当∠OAC＝30°时，四边形AOCD是菱形，理由如下：如图，连接CD，AD，OC，∵∠OAC＝30°，OF⊥AC∴∠AOF＝60°∵AO＝DO，∠AOF＝60°∴△ADO是等边三角形又∵AF⊥DO∴DF＝FO，且AF＝CF，∴四边形AOCD是平行四边形又∵AO＝CO∴四边形AOCD是菱形②如图，连接CD，∵AC∥DE∴△AFO∽△ODE∴∴OD＝2OF，DE＝2AF∵AC＝2AF∴DE＝AC，且DE∥AC∴四边形ACDE是平行四边形∵OA＝AE＝OD＝2∴OF＝DF＝1，OE＝4∵在Rt△ODE中，DE＝＝2∴S四边形ACDE＝DE×DF＝2×1＝2故答案为：220．如图，小东在楼AB的顶部A处测得该楼正前方旗杆CD的顶端C的俯角为42°，在楼AB的底部B处测得旗杆CD的顶端C的仰角为30°，已知旗杆CD的高度为12m，根据测得的数据，计算楼AB的高度．（结果保留整数，参考数据：sin42°≈0.7，cos42°≈0.7，tan42°≈0.9，≈1.7）【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形．本题涉及到两个直角三角形△AEC、△CBD，通过解这两个直角三角形求得AE、DC的长度，进而可解即可求出答案．【解答】解：∵在Rt△CBD中，∠CBD＝30°，CD＝12m，∴DB＝，过点C作CE⊥AB于点E，则CE＝DB＝12m．∵在A处测得旗杆CD的顶端C的俯角为42°，∴∠ACE＝42°，∴AE＝CE•tan 42°≈12×0.9≈18.4（m）∴AB＝BE+AE＝CD+AE＝12+18.4≈30（m）．答：楼AB的高度约为30m．21．每年的6月5日为世界环保日，为了提倡低碳环保，某公司决定购买10台节省能源的新设备，现有甲、乙两种型号的设备可供选购，经调查：购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多花16万元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少花6万元．（1）求甲、乙两种型号设备的价格；（2）该公司经预算决定购买节省能源的新设备的资金不超过110万元，你认为该公司有哪几种购买方案；（3）在（2）的条件下，已知甲型设备的产量为240吨/月，乙型设备的产量为180吨/月，若每月要求总产量不低于2040吨，为了节约资金，请你为该公司设计一种最省钱的购买方案．【分析】（1）设甲，乙两种型号设备每台的价格分别为x万元和y万元，根据购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多花16万元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少花6万元，列出方程组，然后求解即可；（2）设购买甲型设备m台，乙型设备（10﹣m）台，根据公司经预算决定购买节省能源的新设备的资金不超过110万元，列出不等式，然后求解即可得出购买方案；（3）根据甲型设备的产量为240吨/月，乙型设备的产量为180吨/月和总产量不低于2040吨，列出不等式，求出m的取值范围，再根据每台的钱数，即可得出最省钱的购买方案．【解答】解：（1）设甲，乙两种型号设备每台的价格分别为x万元和y万元，由题意得：，解得：，则甲，乙两种型号设备每台的价格分别为12万元和10万元．（2）设购买甲型设备m台，乙型设备（10﹣m）台，则：12m+10（10﹣m）≤110，∴m≤5，∵m取非负整数∴m＝0，1，2，3，4，5，∴有6种购买方案．（3）由题意：240m+180（10﹣m）≥2040，∴m≥4∴m为4或5．当m＝4时，购买资金为：12×4+10×6＝108（万元），当m＝5时，购买资金为：12×5+10×5＝110（万元），则最省钱的购买方案为，选购甲型设备4台，乙型设备6台．22．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD上一动点，设DE＝nEA，连接CE并延长，交AB于点F．（1）尝试探究如图（1），当∠BAC＝90°，∠B＝30°，DE＝EA时，BF，BA之间的数量关系是；（2）类比延伸如图（2），当△ABC为锐角三角形，DE＝EA时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展迁移如图（3），当△ABC为锐角三角形，DE＝nEA时，请直接写出BF，BA之间的数量关系．【分析】（1）尝试探究：过点D作DM∥CF，交AB于M，可证△BDM∽△BCF，△AFE∽△AMD，可得，＝，可证BM＝MF＝AF，可得BF，BA之间的数量关系；（2）类比延伸过点D作DM∥CF，交AB于M，可证△BDM∽△BCF，△AFE∽△AMD，可得，＝，可证BM＝MF＝AF，可得BF，BA之间的数量关系；（3）拓展迁移过点D作DM∥CF，交AB于M，由平行线分线段成比例可得BM＝MF，FM＝nAF，可得AB＝2nAF+AF，BF＝2nAF，即可求BF，BA之间的数量关系．【解答】解：（1）尝试探究如图，过点D作DM∥CF，交AB于M，∵AD是中线，AE＝DE∴BD＝CD＝BC，AE＝AD∵DM∥CF，∴△BDM∽△BCF，△AFE∽△AMD∴，＝∴BF＝2BM，AM＝2AF∴BM＝MF，AF＝FM∴BM＝MF＝AF∴（2）类比延伸：结论仍然成立，理由如下：如图，过点D作DM∥CF，交AB于M，∵AD是中线，AE＝DE∴BD＝CD＝BC，AE＝AD∵DM∥CF，∴△BDM∽△BCF，△AFE∽△AMD∴，＝∴BF＝2BM，AM＝2AF∴BM＝MF，AF＝FM∴BM＝MF＝AF∴（3）拓展迁移如图，过点D作DM∥CF，交AB于M，∵DM∥FC，且BD＝CD∴∴BM＝MF∵DM∥CF，DE＝nEA∴＝＝∴FM＝nAF∴BM＝MF＝nAF∴AB＝2nAF+AFBF＝2nAF∴23．如图抛物线y＝ax2+bx+6的开口向下与x轴交于点A（﹣6，0）和点B（2，0），与y 轴交于点C，点P是抛物线上一个动点（不与点C重合）（1）求抛物线的解析式；（2）当点P是抛物线上一个动点，若△PCA的面积为12，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线的顶点为D，在抛物线上是否存在点E，使得∠EAB＝2∠DAC，若存在请直接写出点E的坐标；若不存在请说明理由．【分析】（1）函数的表达式为：y＝a（x+6）（x﹣2）＝a（x2+4x﹣12），即可求解；（2）S△PCA＝PG×AC＝PG×6＝12，解得：PH＝4，直线AC的表达式为：y＝x+6，即可求解；（3）sin∠DAC＝＝，sin2∠DAC＝sin∠DAD′＝＝＝＝sin∠EAB，则tan∠EAB＝，即可求解．【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x+6）（x﹣2）＝a（x2+4x﹣12），﹣12a＝6，解得：a＝﹣，函数的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+6…①，顶点D坐标为（﹣2，8）；（2）如图1所示，过点P作直线m∥AC交抛物线于点P′，在直线AC下方等距离处作直线n交抛物线与点P″、P′″，过点P作PH∥y轴交AC于点H，作PG⊥AC于点G，∵OA＝OC，∴∠PHG＝∠CAB＝45°，则HP＝PG，S△PCA＝PG×AC＝PG×6＝12，解得：PH＝4，直线AC的表达式为：y＝x+6，则直线m的表达式为：y＝x+10…②，联立①②并解得：x＝﹣2或﹣4，则点P坐标为（﹣2，8）或（﹣4，6）；直线n的表达式为：y＝x+2…③同理可得点P（P″、P′″）的坐标为（﹣3﹣，﹣﹣1）或（﹣3，﹣1），综上，点P的坐标为（﹣2，8）或（﹣4，6）或（﹣3﹣，﹣﹣1）或（﹣3，﹣1）．（3）点A、B、C、D的坐标为（﹣6，0）、（2，0）、（0，6）、（﹣2，8），则AC＝，CD＝，AD＝，则∠ACD＝90°，sin∠DAC＝＝，延长DC至D′使CD＝CD′，连接AD′，过点D作DH⊥AD′，则DD′＝2，AD＝AD′＝，S△ADD′＝DD′×AC＝DH×AD′，即：2×＝DH×，解得：DH＝，sin2∠DAC＝sin∠DAD′＝＝＝＝sin∠EAB，则tan∠EAB＝，①当点E在AB上方时，则直线AE的表达式为：y＝x+b，将点A坐标代入上式并解得：直线AE的表达式为：y＝x+…④，联立①④并解得：x＝（不合题意值已舍去），即点E（，）；②当点E在AB下方时，同理可得：点E（，﹣），综上，点E（，）或（，﹣）．。