线性方程组的消元解法
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由于二元一次方程表示平面上的一条直线，所以 将一次方程称为线性方程，将一次方程组称为线性 方程组。
A
线性方程组的一般形式
a11x1 a12x2 L a1n xn b1
La2L1x1L
a22x2 L LLLL
L
a2n xn LL
L
b2 L
(1)
am1x1 am2 x2 L amn xn bm
A
随着研究线性方程组和变量的线性变换问题的深入， 矩阵在18～19世纪期间应运而生，为处理线性问题提 供了有力的工具，从而推动了线性代数的发展。
线性代数的含义随数学的发展而不断扩大。线性代 数的理论和方法已经渗透到数学的许多分支，比如 “以直代曲”是人们处理很多数学问题时一个很自然 的想法。此外，很多实际问题的处理，最后往往归结 为线性问题，它比较容易处理；同时它也是研究理论 物理和理论化学等不可缺少的代数基础知识。
x2 x2
2x3 2x3
4 1
4x1 x2 4x3 2
(1) (2) (3)
x32 (7) 3x26 (8)
由(-1/3)×(8) 得
x22 (9)
将(7)(9)代回(2)中，即消去(2)中的 x2, x3，由
(-2)×(7)+(2)，(2)-(9) 得
x1 1
故原方程组的解为
x 1 1 , x 2 2 , x 3 2
2xx11
x2 x2
2x3 2x3
4 1
(1) (2)
4x1 x2 4x3 2 (3)
解：第一步，为了便于运算，互换(1)与(2)的位置
12xx11
x2 x2
2x3 2x3
1 4
(2) (1)
4x1 x2 4x3 2 (3)
第二步，消去第一个方程下面的各个方程中的 x1， (1)-2×(2)，(3)-4×(2) 得
A
本节的主要内容
1、线性方程组
a11x1 a12x2 L a1n xn b1
La2L1x1L
a22x2 L LLLL
L
a2n xn LLL
b2 L
am1x1 am2 x2 L amn xn bm
解的讨论及其求解方法（m, n 未必相等）。
A
2、数表
ຫໍສະໝຸດ Baidu
a11 a12
A
a21 am1
A
x1
x2 2x3 1 3x2 2x3 2
(2) (4)
3x2 4x3 2 (5)
第三步，消去第二个方程下面的各个方程中的 x2，
(5)-(4) 得
x1 x2 2x3 1 (2)
3x2 2x3 2
(4)
2x3 4 (6)
此时方程组中下一个方程比上一个方程少一个未
第三章 线性代数初步
§1 线性方程组的 消元解法
§2 矩阵及其运算
A
线性代数作为独立的学科分支直到20世纪才形 成，然而它的历史却非常久远。
最古老的线性代数问题是线性方程组的求解， 在中国古代的数学著作《九章算术·方程》章中， 已经作了比较完整的叙述，其中所述方法实质上 相当于现代的对方程组的增广矩阵的行施行初等 变换，消去未知量的方法。
A
2xx11
x2 x2
2x3 2x3
1 4
(2) (1)
4x1 x2 4x3 2 (3)
(1)-2×(2)，(3)-4×(2) 得
x1
x2 2x3 1 3x2 2x3 2
(2) (4)
3x2 4x3 2 (5)
第三步，消去第二个方程下面的各个方程中的 x2， (5)-(4) 得
A
x1 x2 2x3 1 (2)
3x2 2x3 2 (4)
x3 2 (7)
第五步，消去(2)(4)中的 x3，(2)-2×(7)，(4)+2×(7)
知量，形状如阶梯，称此方程组为阶梯形方程组。
A
x1 x2 2x3 1 (2)
3x2 2x3 2
(4)
2x3 4 (6)
第四步，使(6)中的 x3 的系数变为1，(-1/2)×(6) 得
x1 x2 2x3 1 (2)
3x2 2x3 2 (4)
x3 2 (7)
第五步，消去(2)(4)中的 x3，(2)-2×(7)，(4)+2×(7)
其中有 n 个未知量 x1,x2,L ,xn，m 个方程，a ij R (i 1 ,L,m ;j 1 ,L,n )是未知量的系数，b1,L ,bmR 是常数项。
若右端常数项 b1,b2,L均,b为m零， 则称方程组为 齐次线性方程组；否则称为非齐次线性方程组。
A
将要研究的问题 1、线性方程组是否有解？ 2、若有解，解是否唯一？ 3、有解时，如何求出全部的解？ 研究的思路和途径 1、在中学代数中的加减消元法的基础上，结合 具体的线性方程组，导出求解一般方程组的通用方 法：高斯消元法； 2、从实际例子出发，利用高斯消元法观察解存在 与否的判断方法。
A
33xx2242xx3322
(4) (5)
其次，用(4)消去(5)中的未知量 x2，由(5)-(4) 得
2x34 (6)
这比原方程组又少了一个未知量。
由(-1/2)×(6) 得
x32 (7)
最后，将(7)代回(4)中，即消去(4)中的 x3， 由2×(7)+(4) 得
3x26 (8)
A
2xx11
A
从上述求解过程可以看出 加减消元法的基本思想就是：利用方程之间的算
术运算，每次消去一个未知量，得到一个比原方程 组少一个未知量的方程组，一次一次进行下去，直 至得到便于求解的一个形式简单的方程。
为了便于将此方法应用到任意形式的方程组的求 解，仍以例1为例，完整规范的写出它的解题步骤。
A
例1 求解线性方程组
A
例1 求解线性方程组
2xx11
x2 x2
2x3 2x3
4 1
(1) (2)
4x1 x2 4x3 2 (3)
解：首先，用(2)消去(1)(3)中的未知量 x1，由 (-2)×(2)+(1)，(-4)×(2)+(3) 得
33xx2242xx3322
(4) (5)
该方程组比原方程组少一个未知量。
a22 am2
的线性运算（重要的工具）。
a1n
a2n
amn
A
§1 线性方程组的消元解法
对二元一次方程组
a11x1 a12x2 b1 a21x1 a22x2 b2
我们在中学已经学过它的解法，但是实际问题中会 遇到未知量个数和方程个数都很多的一次方程组， 且未知量个数和方程个数未必相同。
A
线性方程组的一般形式
a11x1 a12x2 L a1n xn b1
La2L1x1L
a22x2 L LLLL
L
a2n xn LL
L
b2 L
(1)
am1x1 am2 x2 L amn xn bm
A
随着研究线性方程组和变量的线性变换问题的深入， 矩阵在18～19世纪期间应运而生，为处理线性问题提 供了有力的工具，从而推动了线性代数的发展。
线性代数的含义随数学的发展而不断扩大。线性代 数的理论和方法已经渗透到数学的许多分支，比如 “以直代曲”是人们处理很多数学问题时一个很自然 的想法。此外，很多实际问题的处理，最后往往归结 为线性问题，它比较容易处理；同时它也是研究理论 物理和理论化学等不可缺少的代数基础知识。
x2 x2
2x3 2x3
4 1
4x1 x2 4x3 2
(1) (2) (3)
x32 (7) 3x26 (8)
由(-1/3)×(8) 得
x22 (9)
将(7)(9)代回(2)中，即消去(2)中的 x2, x3，由
(-2)×(7)+(2)，(2)-(9) 得
x1 1
故原方程组的解为
x 1 1 , x 2 2 , x 3 2
2xx11
x2 x2
2x3 2x3
4 1
(1) (2)
4x1 x2 4x3 2 (3)
解：第一步，为了便于运算，互换(1)与(2)的位置
12xx11
x2 x2
2x3 2x3
1 4
(2) (1)
4x1 x2 4x3 2 (3)
第二步，消去第一个方程下面的各个方程中的 x1， (1)-2×(2)，(3)-4×(2) 得
A
本节的主要内容
1、线性方程组
a11x1 a12x2 L a1n xn b1
La2L1x1L
a22x2 L LLLL
L
a2n xn LLL
b2 L
am1x1 am2 x2 L amn xn bm
解的讨论及其求解方法（m, n 未必相等）。
A
2、数表
ຫໍສະໝຸດ Baidu
a11 a12
A
a21 am1
A
x1
x2 2x3 1 3x2 2x3 2
(2) (4)
3x2 4x3 2 (5)
第三步，消去第二个方程下面的各个方程中的 x2，
(5)-(4) 得
x1 x2 2x3 1 (2)
3x2 2x3 2
(4)
2x3 4 (6)
此时方程组中下一个方程比上一个方程少一个未
第三章 线性代数初步
§1 线性方程组的 消元解法
§2 矩阵及其运算
A
线性代数作为独立的学科分支直到20世纪才形 成，然而它的历史却非常久远。
最古老的线性代数问题是线性方程组的求解， 在中国古代的数学著作《九章算术·方程》章中， 已经作了比较完整的叙述，其中所述方法实质上 相当于现代的对方程组的增广矩阵的行施行初等 变换，消去未知量的方法。
A
2xx11
x2 x2
2x3 2x3
1 4
(2) (1)
4x1 x2 4x3 2 (3)
(1)-2×(2)，(3)-4×(2) 得
x1
x2 2x3 1 3x2 2x3 2
(2) (4)
3x2 4x3 2 (5)
第三步，消去第二个方程下面的各个方程中的 x2， (5)-(4) 得
A
x1 x2 2x3 1 (2)
3x2 2x3 2 (4)
x3 2 (7)
第五步，消去(2)(4)中的 x3，(2)-2×(7)，(4)+2×(7)
知量，形状如阶梯，称此方程组为阶梯形方程组。
A
x1 x2 2x3 1 (2)
3x2 2x3 2
(4)
2x3 4 (6)
第四步，使(6)中的 x3 的系数变为1，(-1/2)×(6) 得
x1 x2 2x3 1 (2)
3x2 2x3 2 (4)
x3 2 (7)
第五步，消去(2)(4)中的 x3，(2)-2×(7)，(4)+2×(7)
其中有 n 个未知量 x1,x2,L ,xn，m 个方程，a ij R (i 1 ,L,m ;j 1 ,L,n )是未知量的系数，b1,L ,bmR 是常数项。
若右端常数项 b1,b2,L均,b为m零， 则称方程组为 齐次线性方程组；否则称为非齐次线性方程组。
A
将要研究的问题 1、线性方程组是否有解？ 2、若有解，解是否唯一？ 3、有解时，如何求出全部的解？ 研究的思路和途径 1、在中学代数中的加减消元法的基础上，结合 具体的线性方程组，导出求解一般方程组的通用方 法：高斯消元法； 2、从实际例子出发，利用高斯消元法观察解存在 与否的判断方法。
A
33xx2242xx3322
(4) (5)
其次，用(4)消去(5)中的未知量 x2，由(5)-(4) 得
2x34 (6)
这比原方程组又少了一个未知量。
由(-1/2)×(6) 得
x32 (7)
最后，将(7)代回(4)中，即消去(4)中的 x3， 由2×(7)+(4) 得
3x26 (8)
A
2xx11
A
从上述求解过程可以看出 加减消元法的基本思想就是：利用方程之间的算
术运算，每次消去一个未知量，得到一个比原方程 组少一个未知量的方程组，一次一次进行下去，直 至得到便于求解的一个形式简单的方程。
为了便于将此方法应用到任意形式的方程组的求 解，仍以例1为例，完整规范的写出它的解题步骤。
A
例1 求解线性方程组
A
例1 求解线性方程组
2xx11
x2 x2
2x3 2x3
4 1
(1) (2)
4x1 x2 4x3 2 (3)
解：首先，用(2)消去(1)(3)中的未知量 x1，由 (-2)×(2)+(1)，(-4)×(2)+(3) 得
33xx2242xx3322
(4) (5)
该方程组比原方程组少一个未知量。
a22 am2
的线性运算（重要的工具）。
a1n
a2n
amn
A
§1 线性方程组的消元解法
对二元一次方程组
a11x1 a12x2 b1 a21x1 a22x2 b2
我们在中学已经学过它的解法，但是实际问题中会 遇到未知量个数和方程个数都很多的一次方程组， 且未知量个数和方程个数未必相同。