线性方程组的消元解法
高斯消元法解线性方程组
高斯消元法解线性方程组线性方程组是数学中常见的问题，其中包含多个线性方程，求解线性方程组即为找到满足所有方程的解。
高斯消元法是一种常用的方法，可以有效地解决线性方程组。
本文将介绍高斯消元法的原理和步骤，并通过一个具体的例子来演示其应用。
一、高斯消元法原理高斯消元法是通过一系列的行变换来将线性方程组转化为上三角形式，进而求解方程组。
具体步骤如下：1. 将线性方程组写成增广矩阵形式，其中每一行表示一个方程，最后一列为常数项。
2. 选择一个主元，通常选择第一列的第一个非零元素作为主元。
3. 将主元所在行的所有元素除以主元，使主元变为1。
4. 将主元所在列的其他行元素通过适当的倍数加到相应行，使得主元所在列的其他元素都变为0。
5. 重复步骤2-4，直到将矩阵转化为上三角形式。
6. 从最后一行开始，通过回代法求解每个未知数的值。
二、高斯消元法步骤示例为了更好地理解高斯消元法的步骤，下面以一个具体的线性方程组为例进行演示。
假设有如下线性方程组：2x + y - z = 1-3x - y + 2z = -2-2x + y + 2z = 3首先，将线性方程组写成增广矩阵形式：[ 2 1 -1 | 1 ][-3 -1 2 | -2 ][-2 1 2 | 3 ]选择第一列的第一个非零元素2作为主元，将主元所在行的所有元素除以主元，使主元变为1，得到：[ 1 0 -0.5 | 0.5 ][-3 -1 2 | -2 ][-2 1 2 | 3 ]然后，将主元所在列的其他行元素通过适当的倍数加到相应行，使得主元所在列的其他元素都变为0，得到：[ 1 0 -0.5 | 0.5 ][ 0 -1 1.5 | -0.5 ][ 0 1 3 | 4 ]接下来，选择第二列的第二个非零元素-1作为主元，将主元所在行的所有元素除以主元，使主元变为1，得到：[ 1 0 -0.5 | 0.5 ][ 0 1 -1.5 | 0.5 ][ 0 1 3 | 4 ]再次进行行变换，将主元所在列的其他行元素通过适当的倍数加到相应行，使得主元所在列的其他元素都变为0，得到：[ 1 0 -0.5 | 0.5 ][ 0 1 -1.5 | 0.5 ][ 0 0 4.5 | 3 ]将矩阵转化为上三角形式后，从最后一行开始，通过回代法求解每个未知数的值。
W084线性代数-3.1 线性方程组的消元解法
解线性方程组
2x1 x1
2x2 2x2
x3 4x3
6 3
5x1 7x2 x3 28
解
2x1 x1
2x2 2x2
4
x3 x3
6 3
5x1 7x2 x3 28
2
x1
2x2 3x2
(9
/
x3 2)x3
6 0
2x2 (7 / 2)x3 13
2
x1
2x2 3x2
0 0 1 2
可以看出用消元法解线性方程组的过程 实质上就是对
该方程组的增广矩阵施以初等行变换的过程 解线性方程组
时 为了书写简便 只写出方程组的增广矩阵的变换过程即可
2x1
2x2 3x2
8 9
x3 2
2
x1
2
x2 x2
8 3
x3 2
2x1
x2
2 3
x3 2
xxx121 x3
233
0001
5 1 0 0
1 1 0 0
1 2
0 0
0021
0001
1 1 0 0
2 1 6 0
3 4
3 0
2911
都是阶梯形矩阵
阶梯形矩阵与简化的阶梯形矩阵
如果矩阵自上而下的各行中 每一非零行的第一个非零
元素的下方全是零 元素全为零的行(如果有的话)都在非零行
的下边 则称该矩阵为阶梯形矩阵
阶梯形矩阵与简化的阶梯形矩阵
如果矩阵自上而下的各行中 每一非零行的第一个非零
元素的下方全是零 元素全为零的行(如果有的话)都在非零行
的下边 则称该矩阵为阶梯形矩阵
如果阶梯形矩阵的每一非零行的第一个非零元素为1 且
线性代数解线性方程组的消元法
a12
a22
a1n
a2n
b1 b2 ,
am1 am2 amn bm
利 用 矩 阵 的 初 等 行 变 换 将 A 化 为 阶 梯 形 ,
c11 0
c12 c 22
c1r c2r
c1n c2n
d 1 d2
0
A
0
0 c rr c rn d r
0
0
0
d
r
1
0 0 0 0 0
用矩阵的初等行变换解方程组(1)：
2 1 1 1 2
B
1 4
1 6
2 2
1 2
4 4
3 6 9 7 9
1 1 2
r1 r2
2
1
1
1 4 1 2
r3 2
2 3
3 6
1 9
1 7
2 9
1 1 2 2 1 1
1 4 1 2
2 3
3 6
1 9
1 7
2 9
r2 r3
r3 2r1
r4 3r1
最后一个为矛盾方程组 0 2, 故方程组无解.
a11x1 a12x2 a1nxn b1 ,
线性方程组
a21x 1 a 22x2
a2nxn
b2
,
am1x1 am2x2 amnxn bm .
a11
系数矩阵
A
a21
a12
a22
a1n
a2n
,
am1 am2 amn
增广矩阵
a11 A(A,b)a 21
2x1 x2 x3 x4 1
7
x1 x1 2
x2 x2
x3 x4 2x3 4
线性方程组的消元法
线性方程组的消元法线性方程组的消元法是解决线性方程组的常用方法之一，通过逐步消去未知数的系数，将方程组转化为更简单的形式，从而求得方程组的解。
本文将详细介绍线性方程组的消元法及其应用。
1. 消元法简介消元法是一种通过逐步消除未知数的系数，将线性方程组转化为更简单形式的方法。
它的基本思想是通过不断的代入与消去操作，将方程组转化为三角形式或最简形式，从而求得方程组的解。
2. 线性方程组的一般形式线性方程组的一般形式可以表示为：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙ其中，a₁₁、a₁₂、...、aₙₙ为未知数的系数，b₁、b₂、...、bₙ为常数项。
3. 消元法的步骤（1）选取主元：根据方程组的特点，选择一项作为主元，并将其系数置为1，并且使其所在的其他行对应的列的系数皆为0，这样可以简化计算过程并减少误差。
（2）代入消元：选择一个非主元进行代入，将其代入主元所在的其他方程中，从而消去该未知数。
（3）重复步骤（1）和（2），直至将所有的非主元都消去为止。
（4）最后得到一个三角形形式的线性方程组，可以通过回代法求解该方程组的解。
4. 消元法的应用消元法广泛应用于各个领域，特别是在科学和工程领域中具有重要作用。
以下是几个应用实例：（1）经济学中的输入产出模型：通过消元法可以分析不同产业之间的投入产出关系，从而得出经济模型的解释。
（2）物理学中的电路分析：通过消元法可以简化复杂的电路方程组，从而计算出电路中各个节点的电压和电流。
（3）化学反应平衡问题：通过消元法可以解决化学反应平衡过程中的复杂线性方程组，从而得到反应物和生成物的浓度。
5. 总结消元法是一种解决线性方程组的有效方法，通过逐步消除未知数的系数，将方程组转化为更简单的形式，从而求得方程组的解。
消元法解线性方程组
3
÷2
(1)
4
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解
1↔ 2 3 ÷2
(1)
⎧ x1 + x2 − 2 x3 + x4 = 4, ⎪ 2 x − x − x + x = 2, ⎪ 1 2 3 4 ⎨ ⎪ 2 x1 − 3 x2 + x3 − x4 = 2, ⎪ 3 x1 + 6 x2 − 9 x3 + 7 x4 = 9, ⎩ ⎧ x1 + x2 − 2 x3 + x4 = 4, ⎪ 2 x − 2 x + 2 x = 0,43; 5 x 3 − 3 x 4 = − 6, ⎪ 3 x 2 − 3 x 3 + 4 x 4 = − 3, ⎩
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2 r2 − ⎛31 ⎛ 1 − 1 r ⎜ ⎜ 1 r3 − ⎜ 21 − 0 − 2 2r ⎜ 1 B1 = ⎜ ⎜3 2 −0 −5 1 r4 − ⎜ 1 ⎜ 3r ⎜3 ⎜0 −3 9 ⎝6 ⎝
r2 ÷ 2 r3 − 5r2 r4 − 3r2
2 − 1 4 ⎞1 ⎟ 2 − 1 2 ⎟2 − 1 2 ⎟3 5 − ⎟ ⎟4 3 − 7 9⎠
k1 (0,1,1,0 ) + k2 (− 1,2,2,1)
T T
(k1 , k2 ∈ R ).
问( I )与( II )是否有非零公共解 ? 若有 , 求出来;若没 有, 说明理由.
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思考题解答 解
将( II )的通解代入 ( I )得
⎧ − k2 + k1 + 2k2 = 0 ⇒ k1 = − k2 . ⎨ ⎩ k1 + 2k2 − k2 = 0
消元法求解线性方程组
消元法求解线性⽅程组
这⾥的消元法，主要是针对矩阵A可逆的情况下(如果A不可逆消元后不好回代)，即线性⽅程组只有唯⼀解的情况下，有多解的情况的解法在后⾯介绍。
其中的⼀种分解⽅法是LU分解。
这种⽅法的优势在于分解结果中L（上三⾓矩阵）和U（下三⾓矩阵）都是三⾓形矩阵，后续运算⽐较简便。
⽽且⼆者恰好相配，使⽤计算机进⾏运算时可以存储在⼀个数组中，节约存储空间。
利⽤A的LU分解解线性⽅程组的过程为将Ax=b等价变形成（LU）x=b，根据结合律有L(Ux)=b，再解Ly=b中的y，最后解Ux=y得到线性⽅程组的解。
Processing math: 100%。
线性方程组的解法消元法代入法高斯消元法
线性方程组的解法消元法代入法高斯消元法线性方程组的解法：消元法、代入法和高斯消元法线性方程组是数学中的基本概念之一，在现代数学和物理学的研究中有着广泛的应用。
为了求解线性方程组，人们发明了许多方法，其中最常用的有消元法、代入法和高斯消元法。
本文将介绍这三种方法的基本原理和求解步骤，并通过实例对其进行说明。
一、消元法消元法是一种通过逐步消除未知量，从而求解线性方程组的方法。
其基本原理是利用等式变换，逐步消去各个方程中的未知量，直到将方程组化为上三角形式，然后通过回代方法，求解未知量的值。
具体步骤如下：1. 将含有未知量的项都移动到等式的同一侧，即将线性方程组转化为增广矩阵形式。
2. 选取一个主元素，将该列的其他元素全部变为0，从而消去该列的未知量。
3. 依次选取下一个主元素，直到整个增广矩阵被消元成上三角形式。
4. 利用回代方法，求解未知量的值。
二、代入法代入法是一种通过将一个方程的解代入另一个方程，逐步求解未知量的方法。
其基本原理是将一个方程的未知量表示为另一个方程的已知量，不断代入，从而求解未知量的值。
具体步骤如下：1. 将一个方程的未知量表示为另一个方程的已知量。
2. 将该解代入另一个方程，求解未知量的值。
3. 重复以上步骤，直到求出所有未知量的值。
三、高斯消元法高斯消元法是一种通过矩阵变换，将线性方程组化为上三角形式，从而求解未知量的方法。
其基本原理是利用初等矩阵变换，逐步将增广矩阵化为上三角形式，然后通过回代方法，求解未知量的值。
具体步骤如下：1. 将矩阵的列向量按递增顺序排列，从左到右依次选取主元素。
2. 利用初等矩阵变换，将每一列的主元素下方元素全部变为0。
3. 重复以上步骤，直到整个增广矩阵被化为上三角形式。
4. 利用回代方法，求解未知量的值。
举例说明：考虑以下线性方程组：x + 2y – z = 92x – y + 3z = –33x + y + 4z = 12采用消元法求解：将该方程组转化为增广矩阵形式：1 2 –1 | 92 –13 | –33 14 | 12选取主元素1，将第2行乘以2减去第1行，将第3行乘以3减去第1行，得到：1 2 –1 | 90 –5 5 | –210 –5 7 | –15选取主元素–5，将第3行减去第2行，得到：1 2 –1 | 90 –5 5 | –210 0 2 | 6将该矩阵化为上三角形式，然后采用回代方法，求得：x = 2y = –3z = 3同样的，采用代入法或高斯消元法也能求解出相同的结果。
第一节 线性方程组的消元解法
解
用消元法
2 x1 − 3 x2 + 2 x3 = 9 3 x1 + 2 x2 + 9 x3 = 19 x1 + x2 + 2 x3 = 4 x1 + x2 + 2 x3 = 4 ①,③ 3 x + 2 x + 9 x = 19 1 2 3 互换 2 x1 − 3 x2 + 2 x3 = 9 x1 + x2 + 2 x3 = 4 − x + 3x = 7 2 3 −17 x3 = −34
(-3)①+② 3)① (-2)①+③ 2)①
x1 + x2 + 2 x3 = 4 (-5)②+③ 5)② − x2 + 3 x3 = 7 −5 x 2 − 2 x 3 = 1
阶梯形方程组
x1 + x 2 + 2x 3 = 4
− x 2 + 3x 3 = 7 −17x 3 = −34
− 1 ③ 17
x1 + x 2 + 2x 3 = 4 − x 2 + 3x 3 = 7 x3 = 2 =0 =1
x3 = 2
阶梯形方程组
(-3)③+② 3)③ (-2)③+① 2)③
x1 + x 2 − x2
x1
=1 x2 = −1
x3 = 2
简化阶梯形矩阵每个1对应的未知量为非自由未知量其余的为自由未知量令自由未知量为任意常数将非自由未知量用自由未知量表示出来就得到方程的全部解
第三章
线性方程组
克莱姆法则
3.3 线性方程组的消元解法
x1 -2x2+4x3 = 3
2xx22++52xx33
= =
3 8
于是得到
x3=2， x2 =3-2x3 =-1， x1=3+2x2-4x3=-7。
方程组的解为
x1=x2=-
7 1。
x3= 2
—r3-—2r2
x1
-2x2+4x3 x2+2x3
= =
3 3，
x3 = 2 最新课件
6
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1 5 -1 -1 -1
解： (A b)=
1 1
6 -2 -3 -3 3133
11377
10499
0 0
1 -1 -2 -2 0000
，
00000
R (A )=R (A ,b)=2 4 , 故方程组有无穷多解.
方程组的一般解为
x1 = 9 - 4x3 x2 =- 2 + x3
- 9x4 + 2x4
(x3, x4任意)
则方程组的通解为：
x1=- 9 - 4c1 - 9c2
x2=- 2 + c1 + 2c2
x3 =
c1 c1
x4 =
c2
(c1,c2 R)
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12
铃
例3．解线性方程组
x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 1 x2 + x3 - 4x4 = 1 。
x1 + 2x2 + 3x3 - x4 = 4 2x1 + 2x2 - x3 - x4 =- 6
线性方程组的解法
线性方程组的解法线性方程组是初等代数中的重要概念，它描述了一组线性方程的集合。
解决线性方程组是数学和物理等领域中最为基础且重要的问题之一。
本文将介绍三种常见的线性方程组解法：高斯消元法、矩阵求逆法和矩阵的列主元素消去法。
一、高斯消元法高斯消元法是最常用的线性方程组解法之一。
其基本思想是通过一系列的行变换将线性方程组转化为阶梯形矩阵，进而求解出方程组的解。
以一个二元线性方程组为例：```a₁₁x₁ + a₁₂x₂ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ = b₂```通过行变换，我们可以将其转化为阶梯型矩阵：```a₁₁'x₁ + a₁₂'x₂ = b₁'a₂₂'x₂ = b₂'```其中，a₁₁'、a₁₂'、b₁'、a₂₂'、b₂'是经过行变换后的新系数。
由此可得到方程组的解。
二、矩阵求逆法矩阵求逆法是利用逆矩阵的性质来求解线性方程组的解法。
对于一个n阶线性方程组Ax = b，其中A为系数矩阵，x为未知数向量，b为常数向量。
首先，我们需要判断系数矩阵A是否可逆。
若A可逆，则可以得到A的逆矩阵A⁻¹。
方程组的解即为x = A⁻¹b。
若A不可逆，说明方程组的解不存在或者有无穷多个解。
三、矩阵的列主元素消去法矩阵的列主元素消去法是一种改进的高斯消元法，其目的是尽量减小计算误差。
在高斯消元法中，我们选择主元素为每一行首非零元素。
而在列主元素消去法中，我们选择主元素为每一列的绝对值最大的元素。
类似于高斯消元法，列主元素消去法也通过一系列的行变换将线性方程组转化为阶梯形矩阵。
通过后向代入的方法，可以得到方程组的解。
总结线性方程组的解法有多种，其中包括高斯消元法、矩阵求逆法和矩阵的列主元素消去法。
这些解法在不同场景下都有其应用价值，具体的选择取决于问题的特点和所需计算的精度。
通过掌握这些解法，并结合具体问题的特点，我们可以高效解决线性方程组，进而应用到更广泛的数学和物理等领域中。
第9讲：线性方程组的消元解法
课题：线性方程组的消元解法教学目的：掌握线性方程组的定义，矩阵表示式，消元解法教学重点：高斯消元法教学时数：二学时教学设计：I •引入课题在行列式的学习中，我们学到了克莱姆法则，可以利用行列式来解线性方程组，如X i X2 - X3 =0«2石+3x2+ x3 = 73石一2x2 _2x3 = -31 1由克莱姆法则，有D=2 33 -2故X1 = 1, x 2 =1,X3 =2。
克莱姆法则可以作为一种解方程组的方法，但计算量比较大，而且只能解方程个数与未知数个数相同的线性方程组，比较有局限性，今天开始，我们来学习普通的方程组的解法，并由此引入向量组的相关问题。
第三章线性方程组与向量组的线性相关性II .新课设计3.1线性方程组的消元解法一.线性方程组a“X1 +a12X2 +■八+amx n =6a21X1 +a22 X2 +"八+a2n X n =b2形如< 的方程组，称为线性方程组，若令i a m1X1 *a m2X2 衣*a mn x n =b ma11 a12 a1 n f 、X1A = a 21 a 22・・・a 2 n ---系数矩阵，X = X2 I----未知数矩阵，b = b2--常数矩阵。
& m1 a m 2・・・amn」2n」-1 0 1 -11 =16 , D1 =7 3 1 =16 ,-2 -3 -2 -21 1 02 3 7 =323 -2 -30 -17 1 =16 , D3-3 -2D2(6)线性方程组的分类若b =0，则线性方程组为 AX =0，称为齐次线性方程组 若b = 0，则线性方程组为 AX =b ，称为非齐次线性方程组 。
对于AX b 若只改变b = 0，则称AX 0为原方程组的到处方程组。
二•线性方程组的消元解法---高斯消元法例1 •解线性方程组（每写一个方程组，同时写出对应的增广矩阵）X i +X 2—X 3 =0r1 1 -1 0a,彳2X t + 3x 2 + x 3 = 72 3 1 7 --A3X i 一2x 2 一2X 3 = -33 J-2-2_3J解：(1)汉一2+(2), (1)疋 d +3X i +X 2 -X 3 =0 q 1 一 1b, <X 2 十3x 3 =71 3 1 —B一 5X 2 +X 3 = -3-51~2J(4) 5 - (5)d + X 2 - X 3 = 0 「11-1 0 ' < x 2 +3x 3 = 70 13 7 J6x 3 =321632」116X 1 + x 2 -x 3 =01 _1 0、X 2 — 3X 3 =7 0 1 3 7,X 3 =2<0 012」ai2ainb i 、 增广矩阵：(Ab )=a21a22・ ・a2nb 2i a m1am 2・ ・amnb n J则方程组可用矩阵可表示为:AX = b ---方程组的矩阵表示以后，要求能根据方程组写出增广矩阵, （举例说明）反之，给出增光矩阵，能写出对应的方程组。
解线性方程组的消元法
注： 初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。
变换 ri rj 的逆变换是其本身， 则 E ( i , j ) 1 E ( i , j ) ；
1 变换 ri k 的逆变换为 ri ， k 1 1 则 E ( i ( k )) E ( i ( )); k
变换 ri krj 的逆变换为ri ( k )rj， 则 E ( ij ( k ))1 E ( ij ( k )) .
2 3 1 1
1 2 0 7 r r ( 4) x 2 x 7 0 6 5 24 ( 1 ) r r ( 2) 1 2 (1)( 4 ) ( 2 ) (1)( 2 ) ( 3) ( 2 ) 6 x 5 x 24 2 3 0 5 3 13 5 x2 3 x3 13 (3)
ai(1) 1 i (1) (2) a22
(i 3,
n)
照此消元，直至第 n 1步得到三角形方程组
(0) (0) (0) 0) a11 x1 a12 x 2 a13 x3 a1(n x n b1( 0) (1) (1) (1) (1) a x a x a x b 22 2 23 3 2n n 2 ( 2) ( 2) ( 2) a33 x3 a 3 x b n n 3 ( n 1) ( n 1) a x b nn n n
(0) 11
a12 a 22
a1n a2n
a n 2 a nn
a a a
(0) 13 (1) 23 ( 2) 33
b1 b2 a r r bn a
n n1 11
a21 r1 a11 a r3 31 r1 a11 r2
线性方程组的消元解法
满足以下两个条件：
1）各非零行的第一个非零元素都是1。
2）所有第一个非零元素所在列的其余元素均为零。 则称该矩阵为行简化阶梯形矩阵。
例如
1 0 2 5 3
1 3 0 2 0 1
0 0
1 0
4 0
0 0
10、
0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 3
等，均为行简化阶梯形矩阵。
1.4 线性方程组的解法
0
0 1
2③ ①
0
01
0
0
0 0 0 1 1
0 0 1 0 0
0 0 0
1
1
x1 1
于是得方程组的解为
x2 x3
1 0
x4 1
由上例可知，利用矩阵的有关知识解线性方
程组的具体步骤为：
1)写出该线性方程组的增广矩阵 A 。 2)把此增广矩阵 A 划成行简化阶梯形矩阵。
3)“读出”线性方程组的解来。
数学
0 0
6
3
3
0 0 0
51
51
1④
51
1 0
1 1
2 1
1 3
③
0 0 1 0 0 0
3 4
1 5
9④③
1 0
1 1
2 1
9 9 4④ ②
0 0 1
1
1
3④
Hale Waihona Puke ①0 0 00 0 0 1
2
1
0
1
1 1 0 0 2
1 0 0 0 1
3③②
0
1
0
0
1
②①
0
1
数学
线性方程组的消元解法
线性方程组的解法
线性方程组的解法线性方程组是高中数学中非常基础的一部分，但是线性方程组的求解方法却有很多种。
在这篇文章中，我们将系统地介绍几种线性方程组的常用求解方法。
一、高斯消元法高斯消元法是最基本的线性方程组求解方法之一，其基本思想是通过不断消元，将一组线性方程转化成简单的形式，从而求解出未知数的值。
这种方法的主要步骤是：1. 构造增广矩阵；2. 选出第一个主元素，采用行变换使其成为1；3. 将第一个主元素以下的所有元素消为0；4. 选出下一个主元素，执行第二步和第三步，直到所有主元素都被选完或没有解。
这种方法的时间复杂度为O(n^3)，但是它是一种通用的求解方法，能够解决任意规模的线性方程组。
二、列主元高斯消元法列主元高斯消元法在高斯消元法的基础上进行了改进，它能够更准确地选出主元素，从而加速求解过程。
其主要步骤是：1. 构造增广矩阵；2. 在每一列中选出绝对值最大的元素作为主元素；3. 采用行变换使得主元素所在行的其他元素都消为0；4. 重复2和3步，直到所有未知数的值都解出或者出现无解的情况。
列主元高斯消元法比普通的高斯消元法要更快一些，其时间复杂度为O(n^3)。
三、LU分解法LU分解法将线性方程组的系数矩阵分解成一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积，从而将原问题转化成两个较为简单的子问题。
其主要步骤是：1. 将系数矩阵分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U；2. 将线性方程组Ax=b转化为LUx=b；3. 解Ly=b和Ux=y。
LU分解法虽然时间复杂度为O(n^3)，但是它可以节省计算量，特别是当需要解多个方程组时，分解过程只需要进行一次，即可解出多个方程组。
四、Jacobi迭代法Jacobi迭代法是一种通过迭代逐步求解的方法，其主要思想是将待求解的线性方程组分解成一个对角线矩阵和一个非对角线矩阵的和，从而通过迭代求解整个线性方程组。
算法步骤如下：1. 将线性方程组Ax=b化为对角线矩阵D和非对角线矩阵R的和，即A=D-R；2. 取一个初始向量X0；3. 迭代，直到误差小于精度要求或者迭代次数超过预设值为止。
线性方程组的解法学会利用消元法解决线性方程组
线性方程组的解法学会利用消元法解决线性方程组线性方程组的解法——学会利用消元法解决线性方程组线性方程组是数学中常见的问题之一，解决线性方程组的方法有很多种，而消元法是其中最常用的一种解法。
本文将详细介绍线性方程组的消元法解法及其应用。
一、线性方程组的基本概念在介绍消元法之前，我们首先需要了解线性方程组的基本概念。
线性方程组由多个线性方程组成，每个线性方程可以写成如下形式：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙ其中，a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ为系数，x₁, x₂, ..., xₙ为未知数，b₁,b₂, ..., bₙ为常数项，m为方程组的数量，n为未知数的数量。
二、消元法的原理消元法的基本思想是通过变换线性方程组的等价形式，将未知数的系数化为0，使得方程组具备易解性。
具体来说，消元法通过一系列的行变换和列变换，将线性方程组化为最简形式，也即阶梯形式。
三、消元法的步骤1. 第一步：将线性方程组写成增广矩阵的形式将线性方程组转化为矩阵形式，如下所示：⎡ a₁₁ a₁₂ ... a₁ₙ | b₁⎤⎢ a₂₁ a₂₂ ... a₂ₙ | b₂⎥⎢ ... ... ... ... | ... ⎥⎢ aₙ₁ aₙ₂ ... aₙₙ | bₙ ⎥⎣以矩阵的形式更方便进行行变换和列变换。
2. 第二步：选主元在进行消元操作前，需要选取主元。
主元是指每一行首个不为0的元素，它将作为该行进行消元的依据。
3. 第三步：消元操作通过行变换和列变换，将主元下方的元素化为0。
行变换包括以下几种操作：- 交换两行位置- 将某行乘以一个非零常数- 将某行的倍数加到另一行上4. 第四步：重复进行消元操作重复进行消元操作，直到将所有非主元下方的元素全部化为0。
5. 第五步：回代求解未知数消元完成后，可得到一个阶梯形矩阵。
4-线性方程组的解法
17
定理 1 矩阵 A 可以三角分解的条件如下：
1. 若矩阵 A 的所有顺序主子式不等于零; 2. 若矩阵 A 对称正定; 3. 若矩阵 A 严格对角占优，即：
akk akj , k 1, 2, n 。
j k
18
2 2 1 A 4 5 4 例 3 已知矩阵 ，检验 A 是否满足三角分解的条件， 2 4 3
n n n n a11 a1 a b k 1n 1 n n n akk akn bk n n ann bn
7
消元公式：
(0) aij aij , bi(0) bi , ( i , j 1, 2, ..., n) For k 1, 2, ..., n 1 (k ) ( k 1) ( k 1) aij aij lik akj b( k ) b( k 1) l b( k 1) i i ik k ( k 1) ( k 1) akk ; i , j k 1, ..., n lik aik
利用增广矩阵的初等行变换法表示为：
1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 1 3 2 1 3 2 A b 4 1 2 1 3 6 7 3 1
k 1
1
ai1 lik uk1 li1u11 ，
k 1
1
即： li1 ai1 u11 i 2, 3,, n .
这是 U 的第一行和 L 的第一列。
22
设： U 的前 m 1 行和 L 前 m 1 列均已算出，那么：
amj lmk ukj lmk ukj lmmumj ,
1线性方程组的消元解法
dr1 0 时，方程组有解
r( A ) r( Ab )
r n 时，方程组有唯一解 r( A ) r( Ab ) n r n 时，方程组有无穷多解 r( A ) r( Ab ) n
即： 线性方程组化为阶梯形后，有 r( A ) r( Ab ) 无解
r( A ) r( Ab ) n 唯一解
x1
13 7
3 7
c1
13 7
c2
x2
4 7
2 7
c1
4 7
c2
x3 c1
x4
c2
四、齐次线性方程组的求解 1、定理3.2 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件
是： r( A ) n
例5 解齐次线性方程组
x1 x2 5 x3 x4 0
x1 x2 2 x3 3x4 0
则方程组可写为： AX b
Ab
a11 a12 a1n b1
a21 a22 a2n b2
am1
am2
amn
bm
2、求解步骤：
① 写出增广矩阵
② 化为阶梯形
③ 判断是否有解，如有解
④ 进行回代
称为增广矩阵
化为阶梯形
a'
11
x1
a' 12 x2 a' 22 x2
1 0 1 7
0
1
4 1
8 9
2 4
方程组有无穷多个解
引例3 线性方程组
x31x1
2
x2 x2
3x3 5x3
x4 3x4
1
2
2x1 x2 2x3 2x4 3
解：消元得
x1
2x2 5x2
3x3 x4 4x3 1
完整版)线性方程组的常见解法
完整版)线性方程组的常见解法一、高斯消元法高斯消元法是解线性方程组的常见且有效的方法。
它的基本思想是通过一系列的行变换，将线性方程组化为简单的等价形式，从而得到方程组的解。
具体步骤如下：1.将方程组写成增广矩阵的形式。
2.选择一个主元，通常选择首行首列的元素作为主元。
3.对其它行进行变换，使得主元下面的元素都变为0.4.重复步骤2和步骤3，直到将增广矩阵变成上三角形矩阵。
5.从最后一行开始，逐步计算出未知数的值。
高斯消元法的优点是简单、直观，适用于任意的线性方程组。
然而，当线性方程组中出现矩阵的秩小于未知数量的情况时，可能存在无解或无穷多解的情况。
二、克拉默法则克拉默法则是另一种常见的解线性方程组的方法。
它通过分别计算每个未知数在方程组中的系数的行列式值，从而求解出未知数的值。
具体步骤如下：1.将方程组写成矩阵的形式。
2.计算系数矩阵的行列式值。
3.将未知数的系数替换为方程组中的常数，然后计算新的矩阵的行列式值。
4.重复步骤3，每次只替换一个未知数的系数。
5.将每次计算得到的行列式值除以系数矩阵的行列式值，得到各个未知数的值。
克拉默法则的优点是在某些特定情况下比高斯消元法更便捷，且不需要判断线性方程组是否有解或有无穷多解。
但是，克拉默法则的计算复杂度比较高，不适用于大规模的线性方程组。
三、矩阵求逆法矩阵求逆法是另一种常见且有效的解线性方程组的方法。
它通过求解矩阵的逆矩阵，从而得到方程组的解。
具体步骤如下：1.将方程组写为矩阵的形式。
2.判断系数矩阵是否可逆，若可逆则继续，否则方程组无解或有无穷多解。
3.求解系数矩阵的逆矩阵。
4.将常数向量乘以逆矩阵，得到未知数向量。
矩阵求逆法的优点是计算精确，适用于任意规模的线性方程组。
然而，计算矩阵的逆矩阵需要一定的计算量，不适合处理大规模的方程组。
总结：以上是线性方程组的常见解法。
在选择解法时，可以根据方程组的特点、规模、求解的精确度要求等因素进行权衡。
我们需要明确方程组是否有解或有无穷多解，并选择适用于特定情况的求解方法。
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A
线性方程组的一般形式
a11x1 a12x2 L a1n xn b1
La2L1x1L
a22x2 L LLLL
L
a2n xn LL
L
b2 L
(1)
am1x1 am2 x2 L amn xn bm
A
x1
x2 2x3 1 3x2 2x3 2
(2) (4)
3x2 4x3 2 (5)
第三步，消去第二个方程下面的各个方程中的 x2，
(5)-(4) 得
x1 x2 2x3 1 (2)
3x2 2x3 2
(4)
2x3 4 (6)
此时方程组中下一个方程比上一个方 加减消元法的基本思想就是：利用方程之间的算
术运算，每次消去一个未知量，得到一个比原方程 组少一个未知量的方程组，一次一次进行下去，直 至得到便于求解的一个形式简单的方程。
为了便于将此方法应用到任意形式的方程组的求 解，仍以例1为例，完整规范的写出它的解题步骤。
A
例1 求解线性方程组
第三章 线性代数初步
§1 线性方程组的 消元解法
§2 矩阵及其运算
A
线性代数作为独立的学科分支直到20世纪才形 成，然而它的历史却非常久远。
最古老的线性代数问题是线性方程组的求解， 在中国古代的数学著作《九章算术·方程》章中， 已经作了比较完整的叙述，其中所述方法实质上 相当于现代的对方程组的增广矩阵的行施行初等 变换，消去未知量的方法。
知量，形状如阶梯，称此方程组为阶梯形方程组。
A
x1 x2 2x3 1 (2)
3x2 2x3 2
(4)
2x3 4 (6)
第四步，使(6)中的 x3 的系数变为1，(-1/2)×(6) 得
x1 x2 2x3 1 (2)
3x2 2x3 2 (4)
x3 2 (7)
第五步，消去(2)(4)中的 x3，(2)-2×(7)，(4)+2×(7)
A
本节的主要内容
1、线性方程组
a11x1 a12x2 L a1n xn b1
La2L1x1L
a22x2 L LLLL
L
a2n xn LLL
b2 L
am1x1 am2 x2 L amn xn bm
解的讨论及其求解方法（m, n 未必相等）。
A
2、数表
a11 a12
A
a21 am1
A
例1 求解线性方程组
2xx11
x2 x2
2x3 2x3
4 1
(1) (2)
4x1 x2 4x3 2 (3)
解：首先，用(2)消去(1)(3)中的未知量 x1，由 (-2)×(2)+(1)，(-4)×(2)+(3) 得
33xx2242xx3322
(4) (5)
该方程组比原方程组少一个未知量。
x2 x2
2x3 2x3
4 1
4x1 x2 4x3 2
(1) (2) (3)
x32 (7) 3x26 (8)
由(-1/3)×(8) 得
x22 (9)
将(7)(9)代回(2)中，即消去(2)中的 x2, x3，由
(-2)×(7)+(2)，(2)-(9) 得
x1 1
故原方程组的解为
x 1 1 , x 2 2 , x 3 2
A
2xx11
x2 x2
2x3 2x3
1 4
(2) (1)
4x1 x2 4x3 2 (3)
(1)-2×(2)，(3)-4×(2) 得
x1
x2 2x3 1 3x2 2x3 2
(2) (4)
3x2 4x3 2 (5)
第三步，消去第二个方程下面的各个方程中的 x2， (5)-(4) 得
A
x1 x2 2x3 1 (2)
3x2 2x3 2 (4)
x3 2 (7)
第五步，消去(2)(4)中的 x3，(2)-2×(7)，(4)+2×(7)
A
33xx2242xx3322
(4) (5)
其次，用(4)消去(5)中的未知量 x2，由(5)-(4) 得
2x34 (6)
这比原方程组又少了一个未知量。
由(-1/2)×(6) 得
x32 (7)
最后，将(7)代回(4)中，即消去(4)中的 x3， 由2×(7)+(4) 得
3x26 (8)
A
2xx11
a22 am2
的线性运算（重要的工具）。
a1n
a2n
amn
A
§1 线性方程组的消元解法
对二元一次方程组
a11x1 a12x2 b1 a21x1 a22x2 b2
我们在中学已经学过它的解法，但是实际问题中会 遇到未知量个数和方程个数都很多的一次方程组， 且未知量个数和方程个数未必相同。
2xx11
x2 x2
2x3 2x3
4 1
(1) (2)
4x1 x2 4x3 2 (3)
解：第一步，为了便于运算，互换(1)与(2)的位置
12xx11
x2 x2
2x3 2x3
1 4
(2) (1)
4x1 x2 4x3 2 (3)
第二步，消去第一个方程下面的各个方程中的 x1， (1)-2×(2)，(3)-4×(2) 得
A
随着研究线性方程组和变量的线性变换问题的深入， 矩阵在18～19世纪期间应运而生，为处理线性问题提 供了有力的工具，从而推动了线性代数的发展。
线性代数的含义随数学的发展而不断扩大。线性代 数的理论和方法已经渗透到数学的许多分支，比如 “以直代曲”是人们处理很多数学问题时一个很自然 的想法。此外，很多实际问题的处理，最后往往归结 为线性问题，它比较容易处理；同时它也是研究理论 物理和理论化学等不可缺少的代数基础知识。
其中有 n 个未知量 x1,x2,L ,xn，m 个方程，a ij R (i 1 ,L,m ;j 1 ,L,n )是未知量的系数，b1,L ,bmR 是常数项。
若右端常数项 b1,b2,L均,b为m零， 则称方程组为 齐次线性方程组；否则称为非齐次线性方程组。
A
将要研究的问题 1、线性方程组是否有解？ 2、若有解，解是否唯一？ 3、有解时，如何求出全部的解？ 研究的思路和途径 1、在中学代数中的加减消元法的基础上，结合 具体的线性方程组，导出求解一般方程组的通用方 法：高斯消元法； 2、从实际例子出发，利用高斯消元法观察解存在 与否的判断方法。