九年级数学上学期圆专题训练

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人教版九年级数学上册第24章《圆》单元练习题(含答案)

人教版九年级数学上册第24章《圆》单元练习题（含答案）一、单选题1．已知点P 在半径为8的O 外，则（）A ．8OP >B ．8OP =C ．8OP <D ．8OP ≥ 2．在O 中，AB ，CD 为两条弦，下列说法：①若AB CD =，则AB CD =；②若AB CD =，则2AB CD =；③若2AB CD =，则弧AB=2弧CD ；④若2AOB COD ∠=∠，则2AB CD =.其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3．O 的半径为10cm ，弦//AB CD ．若12cm,16cm AB CD ==，则AB 和CD 的距离为（） A ．2cm B ．14cm C ．2cm 或14cm D ．2cm 或10cm 4．如图，正五边形ABCDE 和正三角形AMN 都是O 的内接多边形，则BOM ∠的度数是（）A ．36︒B ．45︒C ．48︒D ．60︒5．如图，,OA OB 是O 的两条半径，点C 在O 上，若80AOB ∠=︒，则C ∠的度数为（）A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒ 6．如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O 为圆心，OA ，OB 长分别为半径，圆心角120O ∠=︒形成的扇面，若3m OA =，1.5m OB =，则阴影部分的面积为（）A ．24.25m πB ．23.25m πC ．23m πD ．22.25m π 7．如图，点,,,,A B C DE 在O 上，,42AB CD AOB =∠=︒，则CED ∠=（）A ．48︒B ．24︒C ．22︒D ．21︒8．如图，ABC 内接于O ，CD 是O 的直径，40ACD ∠=︒，则B ∠=（）A ．70°B ．60°C ．50°D ．40°9．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠A ＝50°．E 是边BC 的中点，连接OE 并延长，交⊙O 于点D ，连接BD ，则∠D 的大小为（）A ．55°B ．65°C ．60°D ．75°10．已知圆锥的母线长8cm ，底面圆的直径6cm ，则这个圆锥的侧面积是（）A ．96πcm 2B ．48πcm 2C ．33πcm 2D ．24πcm 211．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C 在半圆上．点A ，B 的读数分别为86°，30°，则∠ACB 的度数是（）A ．28°B ．30°C ．36°D ．56°12．如图，点A ，B 的坐标分别为(2,0),(0,2)A B ，点C 为坐标平面内一点，1BC =，点M 为线段AC 的中点，连接OM ，则OM 的最大值为（）A ．21+B ．122+C ．221+D ．1222- 二、填空题13．如图，在Rt ABC △甲，90ABC ︒∠=，2AB =，23BC =，以点B 为圆心，AB 的长为半径作圆，交AC 于点E ，交BC 于点F ，阴影部分的面积为__________（结果保留π）．14．如图，在Rt AOB 中，23,30,OB A O =∠=︒的半径为1,点P 是AB 边上的动点，过点P 作O 的一条切线PQ (其中点Q 为切点)，则线段PQ 长度的最小值为____．15．如图，将半径为10cm 的圆形纸片沿一条弦AB 折叠，折叠后弧AB 的中点C 与圆心O 重叠，则弦AB 的长度为________cm ．16．如图，A 、B 是⊙O 上的两点，AC 是过A 点的一条直线，如果∠AOB =120°，那么当∠CAB 的度数等于________度时，AC 才能成为⊙O 的切线．17．如图，ABC 是O 的内接三角形．若=45ABC ∠︒，2AC =，则O 的半径是______．18．如图，在正五边形ABCDE 中，连结AC ，以点A 为圆心，AB 为半径画圆弧交AC 于点F ，连接DF ．则∠FDC 的度数是 _____．三、解答题19．如图，AD ，BD 是O 的弦，AD BD ⊥，且28BD AD ==，点C 是BD 的延长线上的一CD=，求证：AC是O的切线．点，220．请用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．求作：一个⊙O，使⊙O与AB、BC所在直线都相切，且圆心O在边AC上．21．如图，四边形ABCD内接于120，，，求证：ABC是等边三角形．O AB AC ADC=∠=︒22．如图，AB 是O 的直径，过点A 作O 的切线AC ，点P 是射线AC 上的动点，连接OP ，过点B 作BD //OP ，交O 于点D ，连接PD ．(1)求证：PD 是O 的切线；(2)当APO ∠的度数为______时，四边形POBD 是平行四边形．23．如图，Rt ABC △中，90C ∠=︒，点O 在AC 上，以OA 为半径的半圆O 分别交AB ，AC 于点D ，E ，过点D 作半圆O 的切线DF ，交BC 于点F ．(1)求证：BF DF =；(2)若4AO CE ==，1CF =，求BF 的长．24．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的一条弦，AB ⊥CD ，连接AC ，OD ．(1)求证：∠BOD ＝2∠A ；(2)连接DB ，过点C 作CE ⊥DB ，交DB 的延长线于点E ，延长DO ，交AC 于点F ．若F 为AC 的中点，求证：直线CE 为⊙O 的切线．25．如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的一条弦，,AB CD ⊥连接,.AC OD(1)求证：2;BOD A ∠=∠(2)连接DB ,过点C 作,CE DB ⊥交DB 的延长线于点E ，延长,DO 交AC 于点F ，若F 为AC 的中点，求证：直线CE 为O 的切线．26．石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为AB ．桥的跨度（弧所对的弦长）26m AB =，设AB 所在圆的圆心为O ，半径OC AB ⊥，垂足为D ．拱高（弧的中点到弦的距离）5m CD =．连接OB ．(1)直接判断AD 与BD 的数量关系；(2)求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到1m ）参考答案1．A2．A3．C4．C5．B6．D7．D8．C9．B10．D11．A12．B13．π33+ 14．2215．10316．6017．118．3619．证明：连接AB ，∵AD BD ⊥，且28BD AD ==∴AB 为直径，AB 2=82+42=80，∵CD =2，AD =4∴AC 2=22+42=20∵CD =2，BD =8,∴BC 2=102=100∴222AC AB CB +=，∴90BAC ∠=︒∴AC 是O 的切线．20．解：作∠ABC 的平分线交AC 于O 点，以O 点为圆心，OC 为半径作圆，则O 为所求作的圆．21．证明：∵四边形ABCD 内接于O ， ∴180ADC ABC ∠+∠=︒，又∵120ADC ∠=︒，∴180********ABC ADC ∠=︒-∠=︒-︒=︒， ∵AB AC =，∴AB AC =，∴ABC 是等边三角形．22．解：证明：连接OD ，∵P A 切⊙O 于A ，∴P A ⊥AB ，即∠P AO =90°，∵OP ∥BD ，∴∠DBO =∠AOP ，∠BDO =∠DOP ， ∵OD =OB ，∴∠BDO =∠DBO ，∴∠DOP =∠AOP ，在△AOP 和△DOP 中，AO DO AOP DOP PO PO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOP ≌△DOP （SAS ），∴∠PDO =∠P AO ，∵∠P AO =90°，∴∠PDO =90°，即OD ⊥PD ，∵OD 过O ，∴PD 是⊙O 的切线；（2）由（1）知：△AOP ≌△DOP ，∴P A =PD ，∵四边形POBD 是平行四边形，∴PD =OB ，∵OB =OA ，∴P A =OA ，∴∠APO =∠AOP ，∵∠P AO =90°，∴∠APO =∠AOP =45°．23．（1）证明：连接OD ，如图，∵半圆O 的切线DF ，∴90ODF ∠=︒．∴90ADO BDF ∠+∠=︒．∵90C ∠=︒，∴90OAD B ∠+∠=︒．∵OA OD =，∴OAD ADO ∠=∠．∴B BDF ∠=∠．∴BF DF =．（2）解：连接OF ．∵4AO CE ==，AO OE =，∴8OC =．∵9090C ODF ∠=︒=∠=︒，1CF =，∴2222265OF OC CF OD DF =+=+=．又∵4OD =，∴7DF BF ==．24．（1）证明：如图，连接AD ，∵AB 是⊙O 的直径，AB ⊥CD ，∴BC BD =，∴∠CAB ＝∠BAD ，∵∠BOD ＝2∠BAD ，∴∠BOD ＝2∠CAB ；（2）证明：如图，连接OC ，AD ，∵F为AC的中点，∴DF⊥AC，∴AD＝CD，∴∠ADF＝∠CDF，∵BC BD=，∴∠CAB＝∠DAB，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠CDF＝∠CAB，∵OC＝OD，∴∠CDF＝∠OCD，∴∠OCD＝∠CAB，∵BC BC=，∴∠CAB＝∠CDE，∴∠CDE＝∠OCD，∵∠E＝90︒，∴∠CDE+∠DCE＝90︒，∴∠OCD+∠DCE＝90︒，即OC⊥CE，∵OC为半径，∴直线CE为⊙O的切线．25．（1）证明：设AB交CD于点H，连接OC，由题可知，∴=，90OC OD∠=∠=︒，OHC OHD()Rt Rt HL COH DOH ≅∴，COH DOH ∴∠=∠，BC BD ∴=，COB BOD ∴∠=∠，2COB A ∠=∠，2BOD A ∴∠=∠；（2）证明：连接AD ，OA OD =，OAD ODA ∠=∠∴，同理可得：OAC OCA ∠=∠,OCD ODC ∠=∠， ∵点H 是CD 的中点，点F 是AC 的中点，OAD ODA OAC OCA OCD ODC ∴∠=∠=∠=∠=∠=∠， 180OAD ODA OAC OCA OCD ODC ∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒， 30OAD ODA OAC OCA OCD ODC ∴∠=∠=∠=∠=∠=∠=︒， 223060COB CAO ∴∠=∠=⨯︒=︒， AB 为O 的直径，90ADB ∴∠=︒，90903060ABD DAO ∴∠=-∠=︒-︒=︒，60ABD COB ∴∠=∠=︒，OC DE ∴∥，CE BE ⊥，∴直线CE 为O 的切线． 26．解：∵半径OC AB ⊥， ∴AD BD =．故答案为：AD BD =．（2）设主桥拱半径为R ，由题意可知26AB =，5CD =， ∴11261322BD AB ==⨯=，5OD OC CD R =-=-，在Rt OBD △中，由勾股定理，得222OB BD OD =+，即22213(5)R R =+-，解得19.4R =，∴19R ≈，因此，这座石拱桥主桥拱半径约为19m。

九年级数学上册第二十四章圆典型例题(带答案)

九年级数学上册第二十四章圆典型例题单选题1、如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于E，AB＝8，OD＝5，则CE的长为（）A．4B．2C．√2D．1答案：B分析：连接OA，如图，先根据垂径定理得到AE＝BE＝4，再利用勾股定理计算出OE＝3，然后计算OC﹣OE即可．解：连接OA，如图，∵AB⊥CD，∴AE＝BE=1AB＝4，2在Rt△OAE中，OE=√OA2−AE2=√52−42=3，∴CE＝OC﹣OE＝5﹣3＝2．故选：B．小提示：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．2、已知⊙O的半径为3，OA=5，则点A和⊙O的位置关系是（）A．点A在圆上B．点A在圆外C．点A在圆内D．不确定答案：B分析：根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断，OA小于半径则在圆内，OA等于半径则在圆上，OA大于半径则在圆外．解：∵⊙O的半径为3，OA=5，即A与点O的距离大于圆的半径，所以点A与⊙O外．故选：B．小提示：本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．3、如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E．若AC=4√2，DE=4，则BC的长是（）A．1B．√2C．2D．4答案：C分析：根据垂径定理求出OD的长，再根据中位线求出BC=2OD即可．设OD=x，则OE=OA=DE-OD=4-x．∵AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点，AC=4√2∴AD =DC =12AC =2√2 ∴OD 是△ABC 的中位线∴BC =2OD∵OA 2=OD 2+AD 2∴(4−x)2=x 2+(2√2)2，解得x =1∴BC =2OD =2x =2故选：C小提示：本题考查垂径定理、中位线的性质，根据垂径定理结合勾股定理求出OD 的长是解题的关键．4、如图，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点E ，则下列结论不一定成立的是（）A ．AE ＝BEB ．OE ＝DEC ．AC⌢=BC ⌢D ．AD ⌢=BD ⌢ 答案：B分析：根据垂径定理即可判断．解：∵CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点E ，∴AE =EB ，AC⌢=BC ⌢， AD ⌢=BD ⌢．故选：B ．小提示：本题主要考查垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键．5、斐波那契螺旋线也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列1，1，2，3，5，…画出来的螺旋曲线．如图，在每个边长为1的小正方形组成的网格中，阴影部分是依次在以1，1，2，3，5的一个四分之一圆做圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为（）A ．54B ．2C ．52D ．4答案：A分析：根据斐波那契数的规律，求出下一个圆弧的底面半径和弧长，结合圆锥的侧面积性质进行求解即可．解：有根据斐波那契数的规律可知，从第三项起，每一个数都是前面两个数之和，即半径为5的扇形对应的弧长l =2π×5×14=52π设圆锥底面半径为r ，则2πr =52π ∴r =54故选：A ．小提示：本题考查圆锥侧面积的计算，结合斐波那契数的规律，及扇形的弧长公式进行转化是解题关键．6、如图，正五边形ABCDE 和正三角形AMN 都是⊙O 的内接多边形，则∠BOM 的度数是（）A ．36°B ．45°C ．48°D ．60°答案：C分析：如图，连接AO ．利用正多边形的性质求出∠AOM ，∠AOB ，可得结论．解：如图，连接AO．∵△AMN是等边三角形，∴∠ANM=60°，∴∠AOM=2∠ANM=120°，∵ABCDE是正五边形，=72°，∴∠AOB=360°5∴∠BOM=120°−72°=48°．故选：C．小提示：本题考查正多边形与圆，等边三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握正多边形的性质，属于中考常考题型．7、如图，斗笠是一种遮挡阳光和蔽雨的编结帽，它可近似看成一个圆锥，已知该斗笠的侧面积为550πcm2，AB是斗笠的母线，长为25cm，AO为斗笠的高，BC为斗笠末端各点所在圆的直径，则OC的值为（）A．22B．23C．24D．25答案：A分析：根据圆锥的侧面积和母线可得底面圆的周长，进而可得底面圆的半径．解：∵侧面积为550π cm2，母线长为25cm，∴1×l×25=550π解得l=44π，2∵2πr=44π，∴OC=r=22，故选：A．小提示：本题考查圆锥的计算，根据侧面积和母线得到底面圆的半径是解题关键．8、如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则正五边形中心角∠COD的度数是（）A．76°B．72°C．60°D．36°答案：B计算即可．分析：根据正多边形的中心角的计算公式：360°n解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，∴五边形ABCDE的中心角∠COD的度数为360°=72°，5故选：B．小提示：本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式：360°是解题的关键．n9、如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从A地走到B地有观赏路（劣弧AB）和便民路（线段AB）.已知A、B是圆上的点，O为圆心，∠AOB=120°，小强从A走到B，走便民路比走观赏路少走（）米.A ．6π−6√3B ．6π−9√3C ．12π−9√3D ．12π−18√3答案：D分析：作OC ⊥AB 于C ，如图，根据垂径定理得到AC =BC ，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠A ，从而得到OC 和AC ，可得AB ，然后利用弧长公式计算出AB⌢的长，最后求它们的差即可．解：作OC ⊥AB 于C ，如图，则AC =BC ，∵OA =OB ，∴∠A =∠B =12（180°-∠AOB ）=30°，在Rt △AOC 中，OC =12OA =9， AC =√182−92=9√3，∴AB =2AC =18√3，又∵AB ⌢=120×π×18180=12π，∴走便民路比走观赏路少走12π−18√3米，故选D ．小提示：本题考查了垂径定理：垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．10、在锐角△ABC中，∠ACB=60°，∠BAC、∠ABC的角平分线AD、BE交于点M，则下列结论中错误的是（）A．∠AMB=120°B．ME=MDC．AE+BD=AB D．点M关于AC的对称点一定在△ABC的外接圆上答案：D分析：利用三角形内角和定理以及角平分线的定义求出∠MAB+∠MBA=60°，推出∠AMB=120°，可判断A，证明C，E，M，D四点共圆，利用圆周角定理可判断B；在AB上取一点T，使得AT=AE，利用全等三角形的性质证明BD=BT，可判断C；无法判断∠M′与∠ABC互补，可判断D．解：如图，∵∠ACB=60°，∴∠CAB+∠CBA=120°，∵AD，BE分别是∠CAB，∠CBA的角平分线，∴∠MAB+∠MBA=1（∠CAB+∠CBA）=60°，2∴∠AMB=180°-（∠MAB+∠MBA）=120°，故A符合题意，∵∠EMD=∠AMB=120°，∴∠EMD+∠ECD=180°，∴C，E，M，D四点共圆，∵∠MCE=∠MCD，∴EM⌢=DM⌢，∴EM=DM，故B符合题意，∵四边形CEMD是⊙O的内接四边形，∴∠AME=∠ACB=60°=∠BMD,在AB上取一点T，使得AT=AE，在△AME和△AMT中，{AE=AT∠MAE=∠MATAM=AM，∴△AME≌△AMT（SAS），∴∠AME=∠AMT=60°，EM=MT，∴∠BMD=∠BMT=60°，MT=MD，在△BMD和△BMT中，{MD=MT∠BMD=∠BMTBM=BM，∴△BMD≌△BMT，∴BD=BT，∴AB=AT+TB=AE+BD，故C符合题意，∵M，M′关于AC对称，∴∠M′=∠AMC，∵∠AMC=180°−12(∠CAB+∠ACB)=180°−12(180°−∠ABC)=90°+12∠ABC，∴∠M′与∠ABC不一定互补，∴点M′不一定在△ABC的外接圆上，故D不符合题意，故选D．小提示：本题考查三角形的外接圆，四点共圆，圆周角定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．填空题11、如图，已知A为半径为3的⊙O上的一个定点，B为⊙O上的一个动点（点B与A不重合），连接AB，以AB为边作正三角形ABC．当点B运动时，点C也随之变化，则O、C两点之间的距离的最大值是______．答案：6分析：连接OB，OC，OA，在优弧AB上取点N，使得AN=AO．证明△BAO≌△CAN（SAS），推出OB=CN=3，推出OC≤ON+CN=6，可得结论．解：如图，连接OB，OC，OA，在优弧AB上取点N，使得AN=AO．∵OA=ON，OA=AN，∴AO=ON=AN，∴△OAN是等边三角形，∴∠OAN=60°，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵∠BAC=∠OAN=60°，∴∠BAO=∠CAN，∴△BAO≌△CAN（SAS），∴OB=CN=3，∵OC≤ON+CN=6，∴OC的最大值为6，所以答案是：6．小提示：本题考查了等边三角形的性质，圆的相关性质，垂径定理，利用两地之间线段最短是本题的解题关键．12、一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB=12cm，BC=5cm，则圆形镜面的半径为__________．cm答案：132分析：连接AC，根据∠ABC=90°得出AC是圆形镜面的直径，再根据勾股定理求出AC即可．解：连接AC，∵∠ABC=90°，且∠ABC是圆周角，∴AC是圆形镜面的直径，由勾股定理得：AC=√AB2+BC2=√122+52=13(cm)，cm，所以圆形镜面的半径为132cm．所以答案是：132小提示：本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系和勾股定理等知识点，能根据圆周角定理得出AC 是圆形镜面的直径是解此题的关键．13、如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A ，B ，D 均在小正方形的顶点上，且点B ，C 在AD⌢上，∠BAC =22.5°，则BC⌢的长为__________．答案：5π4 分析：先找到AD̂的圆心O ，得到∠BOC =45°，利用弧长公式即可求解．解：连接AD ，作线段AB 、AD 的垂直平分线，交点即为AD̂的圆心O ，从图中可得：AD̂的半径为OB =5，连接OC ，∵∠BAC =22.5°，∴∠BOC =2×22.5°=45°，BC ̂的长为45×π×5180=5π4．．所以答案是：5π4.小提示：本题考查了弧长公式，找到AD̂的圆心是解题的关键． 14、如图，正六边形ABCDEF 的边长为4，以A 为圆心，AC 的长为半径画弧，得EC⌢，连接AC 、AE ，用图中阴影部分作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为______．答案：2√33分析：由正六边形ABCDEF的边长为4，可得AB=BC=4，∠ABC=∠BAF=120°，进而求出∠BAC=30°，∠CAE=60°，过B作BH⊥AC于H，由等腰三角形的性质和含30°直角三角形的性质得到AH=CH=12AC，BH=2．在Rt△ABH中，由勾股定理求得AH=2√3，得到AC=4√3．根据扇形的面积公式可得到阴影部分的面积，即是圆锥的侧面积，最后根据圆锥的侧面积公式求解底面半径即可．解：∵正六边形ABCDEF的边长为4，∴AB=BC=4，∠ABC=∠BAF=(6−2)×180°6=120°，∵∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，∴∠BAC=12(180°−∠ABC)=30°，如图，过B作BH⊥AC于H，∴AH=CH=12AC，BH=12AB=12×4=2，在Rt△ABH中，AH=√AB2−BH2=√42−22=2√3，∴AC=2AH=4√3，同理可求∠EAF=30°，∴∠CAE=∠BAF−∠BAC−∠EAF=120°−30°−30°=60°，∴S扇形CAE =60π⋅(4√3)2360=8π，∴S圆锥侧＝S扇形CAE=8π，∵S 圆锥侧＝πrl =πr ⋅AC =4√3πr ，∴4√3πr =8π，∴r =2√33，所以答案是：2√33．小提示：本题考查的是正六边形的性质、扇形面积的计算、等腰三角形的性质、勾股定理、圆锥的侧面积，掌握扇形面积公式和圆锥侧面积公式是解题的关键．15、刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，如图，若用圆的内接正十二边形的面积S 1来近似估计⊙O 的面积S ，设⊙O 的半径为1，则S −S 1=__________.答案：π−3分析：如图，过点A 作AC ⊥OB ，垂足为C ，先求出圆的面积，再求出△ABC 面积，继而求得正十二边形的面积即可求得答案.如图，过点A 作AC ⊥OB ，垂足为C ，∵⊙O 的半径为1，∴⊙O 的面积S =π，OA=OB=1，∴圆的内接正十二边形的中心角为∠AOB=360°12=30°，∴AC=12OB=12，∴S △AOB =12OB•AC=14， ∴圆的内接正十二边形的面积S 1=12S △AOB =3，∴则S −S 1=π−3，故答案为π−3．小提示：本题考查了正多边形与圆，正确的求出正十二边形的面积是解题的关键．解答题16、如图，CD 与EF 是⊙O 的直径，连接CE 、CF ，延长CE 到A ，连接AD 并延长，交CF 的延长线于点B ，过点F 作⊙O 的切线交AB 于点G ，点D 是AB 的中点．(1)求证：EF ∥AB ；(2)若AC =3，CD =2.5，求FG 的长．答案：(1)见解析；(2)65分析：（1）连接DE ，根据CD 和EF 都是⊙O 的直径得到∠DEA =∠ECF =90°，根据直角三角形的性质得到CD =AD =BD ，利用等腰三角形三线合一的性质推出∠ADE =∠CDE ，进而得到∠ADE =∠OED ，即可得到EF ∥AB ；（2）根据直角三角形斜边上的中线求得AB=2CD=5,勾股定理求得BC=4,由（1）可得EF=12AB,根据切线的性质可得FG⊥AB，根据sinB=FGBF =ACAB，代入数值，即可得到FC．（1）证明：连接DE，∵CD和EF都是⊙O的直径，∴∠DEA=∠ECF=90°，∵D是AB的中点，∴CD=AD=BD，∴∠ADE=∠CDE，∵OD=OE，∴∠OED=∠CDE，∴∠ADE=∠OED，∴EF∥AB；（2）连接DF，∵CD是⊙O的直径，∴∠DFC=90°，∴∠DFC=∠FCE=∠CED=90°，∴四边形CEDF是矩形，∴FC=DE，DE∥BC，∴AEEC =ADDB=1，∴AE=CE，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=12BC，∵AB=2CD=5，AC=3，∴BC=√AB2−AC2=√52−32=4，∴FC=2．∴BF=BC−FC=4−2=2∵FG是⊙O的切线，∴GF⊥EF∵EF∥AB∴FG⊥AB∴∠BGF=∠BCA=90°∴sinB=FGBF =ACAB∴FG2=35∴FG=65小提示：此题考查了圆周角定理，矩形的判定定理及性质定理，勾股定理，三角形中位线的性质，熟记圆周角定理是解题的关键．17、如图，D是△ABC的BC边上一点，连结AD，作△ABD的外接圆O，将△ADC沿直线AD折叠，点C的对应点E 落在⊙O 上．(1)若∠ABC =30°，如图1．①求∠ACB 的度数．②若AD =DE ，求∠EAB 的度数．(2)若AD⌢=BE ⌢,AC =4,CD =2，如图2．求BC 的长．答案：(1)①30°，②60°；(2)BC =6分析：（1）①根据折叠的性质可得∠ACD =∠AED ，根据等弧所对的圆周角即可求解；②根据等边对等角可得∠DAE =∠DEA ，根据（1）的结论可得∠ACB =∠ABC ，进而根据折叠的性质求得∠CAE =60°，进而根据∠CAB −∠CAE 即可求得∠BAE ，（2）根据AD⌢+DE ⌢=BE ⌢+DE ⌢，可得AE ⌢=DB ⌢，AE =BE ，根据折叠的性质可得DB =AE =4，进而即可求解．（1）①∵AD⌢=AD ⌢，∠ABC =30°， ∴∠AED =∠ABD =30°，∵将△ADC 沿直线AD 折叠，点C 的对应点E 落在⊙O 上，∴∠ACB =∠AED =30° ；②∵ AD =DE ，∴∠DAE =∠DEA ，∵∠DEA =∠DBA ，∴∠DAE =30°，∵将△ADC 沿直线AD 折叠，点C 的对应点E 落在⊙O 上，∴∠DAE =∠DAC =30°，△ABC 中，∠ABC =∠ACB =30°，则∠CAB =180°−∠ABC −∠ACB =120°，∵∠CAE =∠CAD +∠EAD =60°，∴∠EAB =∠CAB −∠CAE =120°−60°=60°，∴∠EAB =60°，（2）∵ AD⌢=BE ⌢ ∴AD⌢+DE ⌢=BE ⌢+DE ⌢ ∴AE⌢=DB ⌢ ∴AE =BE∵折叠∴AC =AE∴DB =AE =4∵CD =2∴BC =CD +DB =4+2=6小提示：本题考查了折叠的性质，同弧或等弧所对的圆周角相等，弧与弦的关系，三角形内角和定理的应用，综合运用以上知识是解题的关键．18、如图，C ，D 是以AB 为直径的半圆上的两点，∠CAB =∠DBA ，连结BC ，CD ．(1)求证：CD ∥AB ．(2)若AB =4，∠ACD =30°，求阴影部分的面积．答案：(1)答案见解析(2)23π 分析：（1）根据同弧所对的圆周角相等得到∠ACD ＝∠DBA ，根据 ∠CAB ＝∠DBA 得到∠CAB ＝∠ACD ，进而得到结论；（2）连结OC ，OD ，证明所求的阴影部分面积与扇形COD 的面积相等，继而得到结论．（1）证明：∵AD ⌒=AD ⌒，∴∠ACD ＝∠DBA ，又∵∠CAB ＝∠DBA ，∴∠CAB ＝∠ACD ，∴CD ∥AB ；（2）解：如图，连结OC ，OD ．∵∠ACD ＝30°，∴∠ACD ＝∠CAB ＝30°，∴∠AOD ＝∠COB ＝60°,∴∠COD ＝180°-∠AOD -∠COB ＝60°．∵CD ∥AB ，∴S △DOC =S △DBC ，∴S 阴影=S 弓形COD +S △DOC =S 弓形COD +S △DBC=S 扇形COD ，∵AB ＝4，∴OA ＝2，∴S 扇形COD=nπr 2360=60×π×22360=23π．∴S阴影=2π．3小提示：本题主要考查扇形的面积，同弧所对的圆周角相等，平行线的判定，掌握定理以及公式是解题的关键．。

专题训练. 圆的基本性质--八大题型总结(拔尖篇)- 九年级数学上册 (浙教版)

专题3.12圆的基本性质章末八大题型总结（拔尖篇）【题型1动态图形的扫过的面积的计算】（2023秋·江苏·九年级专题练习）2．如图，半圆O的直径时停止滑动，若M是（2023·黑龙江鸡西·校考三模）3．在平面直角坐标系中，已知()2,0A ，()3,1B ，()1,3C ；(1)将ABC 沿x 轴负方向平移2个单位至111A B C △，画图并写出1C 的坐标____________；(2)以1A 点为旋转中心，将111A B C △逆时针方向旋转90︒得22A B C 1△，画图并写出2C 的坐标_____；(3)在平移和旋转过程中线段BC 扫过的面积为___________．（2023秋·浙江·九年级专题练习）4．如图所示，扇形OAB 从图①无滑动旋转到图②，再由图②到图③，60O ∠=︒，1OA =．(1)求O 点运动的路径长；(2)求O 点走过路径与射线l 围成的面积．【题型2圆周角定理有关的计算与证明】【方法点拨】圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径（2023秋·北京西城·九年级北京八中校考期中）5．如图，已知：过O 上一点A 作两条弦AB 、AC ，且45BAC ∠=︒，(AB ，AC 都不经过)O 过A 作AC 的垂线AF 交O 于D ，直线BD ，AC 交于点E ，直线BC ，DA 交于点F ．(1)证明：BE BF =；(2)探索线段AB 、AE 、AF 的数量关系，并证明你的结论．（2023秋·湖北·九年级期末）6．已知ABC 内接于O ，BAC ∠的平分线交O 于点D ，连接DB ，DC ．(1)如图①，当120BAC ∠=︒时，请直接写出线段(2)如图②，当90BAC ∠=︒时，试探究线段(1)求ADB ∠的度数；(2)求AC 的长度；(3)判定四边形AFBC 的形状，并证明你的结论．（2023秋·江苏盐城·九年级统考期中）8．如图，在O 的内接四边形(1)若75DAE ∠=︒，则(2)过点D 作DE AB ⊥(3)若62AB AE ==、【题型3垂径定理的实际应用】【方法点拨】垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．推论：平分弦(不是直径条弧．（2023秋·河北石家庄9．如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，圆的半径为5厘米，上”太阳与海平线的位置关系是（2023秋·浙江台州·10．我市在创建全国文明城市检查中，发现一些破旧的公交车候车亭有碍观瞻，现已更换新的公交候车亭图2所示的是侧面示意图，FG为水平线段，PQ⊥FG，点H为垂足，FG=4m，FH=2.4m，点P在弧FG上，且弧FG所在的圆的圆心O到FG，PQ的距离之比为5：2，则PH的长约为多少米？（2023春·浙江台州·九年级台州市书生中学校考期中）11．如图这是我市某跨海大桥正侧面的照片，大桥的主桥拱为圆弧型，桥面AB长为800米，且与水面平行，小王用计算机根据照片对大桥进行了模拟分析，在桥正下方的水面上取一点P，在桥面AB上取点C，作射线PC交弧（主桥拱）于点D，右边画出了PC与PD关于AC长的函数图象，下列对此桥的判断不合理的是（）A．桥拱的最高点与桥面AB的实际距离约为210米B．桥拱正下方的桥面EF的实际长度约为500米C．拍摄照片时，桥面离水面的实际高度约为110米D．桥面上BF段的实际长度约200米(1)求该圆的半径；(2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦【题型4由点与圆的位置关系求求最值】【方法点拨】解决此类问题关键要记住若半径为当d＝r时，点在圆上，当d＜（2023秋·江苏苏州·九年级苏州市振华中学校校考期中）13．如图，在平面直角坐标系中，已知点为半径的圆上运动，且始终满足（2023秋·山东泰安·九年级校联考期末）15．如图，点()34P P ，，半径为大值是（）A ．32B ．52（2023秋·河南驻马店·九年级平舆县第二初级中学校考期末）16．如图，Rt ABC 中，AB 的最小值为（2023秋·安徽淮北·九年级校考期末）的直径，18．如图，AB是O+的最小值为（点，则PC PDA．22B．2（2023秋·陕西渭南·九年级统考期末）19．如图，A、B是半圆O上的两点，的最小值为．（2023秋·广东广州·九年级校考期末）20．（1）如图①，在ABC 中，120A ∠= ，5AB AC ==．尺规作图：作ABC 的外接圆O ，并直接写出ABC 的外接圆半径R 的长．（2）如图②，O 的半径为13，弦24AB =，M 是AB 的中点，P 是O 上一动点，求PM 的最大值．（3）如图③所示，AB ，AC 、 BC是某新区的三条规划路，其中6km AB =，3km AC =，60BAC ∠= ， BC 所对的圆心角为60 ，新区管委会想在 BC路边建物资总站点P ，在AB ，AC 路边分别建物资分站点E 、F ，也就是，分别在 BC、线段AB 和AC 上选取点P 、E 、F ．由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按P E F P →→→的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE 、EF 和FP ．为了快捷、环保和节约成本．要使得线段PE 、EF 、FP 之和最短，试求PE EF FP ++的最小值．（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）【题型6动点的运动轨迹长度计算】（2023秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）22．如图，已知90ABC ∠=︒停止，圆心O 运动的路程是（2023秋·江苏徐州·九年级校考阶段练习）23．如图，有一块长为4cm 、宽为3cm 的矩形木板在桌面上按顺时针方向无滑动地翻滚，木板上顶点化为12A A A →→，其中，第二次翻滚时被桌面上一个小木块挡住，使木板边沿滚到点2A 的位置经过的路径长为（）A ．10cmB ．3.5cm π（2023·浙江温州·校考三模）24．图1是挂桶式垃圾车的联动装置，通过钢轴先后作两次旋转移动垃圾桶，实现对垃圾桶提升和翻转，将垃圾桶内的垃圾自动收入车厢．图2，图110cm,AB =303cm,30cm BC CD ==【题型7正多边形与圆】【方法点拨】定义：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．（2023秋·山东淄博·九年级统考期末）25．已知四个正六边形如图摆放在图中，顶点A ，B ，C ，D ，E ，F 在圆上．若两个大正六边形的边长均为小正六边形的边长是（）A ．33-B ．2312-C ．312+D ．1312-（2023秋·河南驻马店·九年级统考期末）26．如图，已知O 的半径为4，则该圆内接正六边形ABCDEF 的边心距OG （① DF 的长为2π；②2DF OF =；③ODE 为等边三角形；④S 正八边形【题型8圆锥侧面积的相关计算】【方法点拨】解决此类问题掌握圆锥侧面积的计算公式是关键，并且能够灵活运用（2023秋·全国·九年级专题练习）29．小华的爸爸要用一块矩形铁皮加工出一个底面半径为缝（接缝忽略不计）()1你能求出这个锥形漏斗的侧面展开图的圆心角吗？()2如图，有两种设计方案，请你计算一下，哪种方案所用的矩形铁皮面积较少？（2023秋·江苏·九年级专题练习）31．如图是一张直角三角形卡片，DE⊥AB．若将该卡片绕直线DE旋转一周，则形成的几何体的表面积为（2023秋·全国·九年级专题练习）32．如图，在一张四边形ABCD的纸片中，、交于点E、径的圆分别与AB AD(1)求证：DC与A的切线；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）(2)过点B作A(3)若用剪下的扇形AEF围成一个圆锥的侧面，能否从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面？。

人教版九年级数学上册圆的基本性质专题训练(含答案)

人教版九年级数学上册圆的基本性质专题训练一、单选题1．如图，AB 是⊙O 的直径，若⊙BAC=35°，则⊙ADC=（）A ．35°B ．55°C ．70°D ．110°2．如图，两弦AB 、CD 相交于点E ，且AB CD ⊥，若30A ∠=︒，则弧BD 的度数为（）.A ．30°B ．50︒C ．60︒D ．70︒ 3．如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，若110ADC ∠=︒，则AOC ∠的度数是（）A ．110︒B ．120︒C ．130︒D ．140︒ 4．下列说法中，正确的是（）A ．经过半径的端点并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线B ．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧C ．90°的圆周角所对的弦是直径D ．如果两个圆周角相等，那么它们所对的弦相等．5．已知在⊙O 中，弦AB 的长为8，圆心O 到AB 的距离为3，则⊙O 的面积是（） A ．9π B ．16π C ．25π D ．64π 6．如图，点A 、B 、C 是⊙O 上的三点，若056=∠OBC ，则A ∠的度数是（）.A ．28︒B ．30︒C ．34︒D ．56︒7．如图，在同圆中，弧AB 等于弧CD 的2倍，试判断AB 与2CD 的大小关系是（）A ．2AB CD > B ．2AB CD <C ．2AB CD = D ．不能确定 8．如图所示，⊙O 的半径为13，弦的长度是24，ON AB ⊥,垂足为N ，则ON =（）A ．5B ．7C ．9D ．119．如图，⊙ABC 内接于⊙O ，若⊙OAB ＝26°，则⊙C 的大小为（）A ．26°B ．52°C ．60°D ．64°10．已知⊙ABC 内接于⊙O ，连接AO 并延长交BC 于点D ，若⊙B ＝60°，⊙C ＝50°，则⊙ADB 的度数是（）A ．70°B ．80°C ．82°D ．85°11．如图，⊙O 是正五边形ABCDE 的外接圆，点P 是弧BE 的一点，则⊙CPD 的度数是（）A ．30°B ．36°C ．45°D ．72°12．如图, BC 是O e 的直径，AB 切⊙O 于点B ，8AB BC ==，点D 在⊙O 上，DE AD ⊥交BC 于E ，3BE CE =，则AD 的长是( )A B C ． D ．二、填空题13．如图，⊙O 中，直径20cm CD =，弦AB CD ⊥于点M ，:3:2OM MD =，则AB 的长是________cm .14．如图，⊙O 经过原点，并与两坐标轴分别交于A ，D 两点，已知30OBA ∠=︒，点A 的坐标为()2,0，则点D 的坐标为________.15．如图，将⊙O 沿弦AB 折叠，使弧AB 经过圆心O ，则⊙OAB=_______°.16．若⊙O 的半径为4cm ，弦AB ＝4cm ，则点O 到AB 的距离为_____cm ．17．如图，量角器的0度刻度线为AB ，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C ，直尺另一边交量角器于点A ，D ，量得10AD cm =，点D 在量角器上的读数为60o ，则该直尺的宽度为____________cm ．18．如图，AB 是半圆O 的直径，C 为半圆上一点，AB ＝10，BC ＝6，过O 作OE ⊙AB 交AC 于点E ，则OE 的长为_____．19．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，延长CO 交圆于点E ，连接BE .若110A ∠=︒，70E ∠=︒ ，则OCD ∠=__________度.20．如图，若AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，⊙ABD ＝58°，则⊙BCD ＝_____．三、解答题21．如图，已知⊙O 的直径6AB =，E 、F 为AB 的三等分点，M 、N 为»AB 上两点，且MEB NFB ∠=∠60︒=，求EM FN +的值.22．如图，已知AB 、MD 是⊙O 的直径，弦CD⊙AB 于E ．（1）若CD=16cm ，OD=10cm ，求BE 的长；（2）若⊙M=⊙D ，求⊙D 的度数．23．如图，BC 为⊙O 的直径，AD BC ⊥，垂足为D ，点A 是弧BF 的中点，BF 和AD 相交于E ，求证：AE BE =．24．如图，AB 为⊙O 的直径，AC 切O e 于点A ，连结BC 交O 于点D ，E 是⊙O 上一点，且与点D 在AB 异侧，连结DE（1）求证：C BED ∠=∠；（2）若50C ∠=︒，2AB =，则»BD的长为（结果保留π）25．如图，AD 是⊙O 直径，B ，C 是圆上点且在AD 同侧．（1）如果30COD ︒∠=，则ACO ∠=________°．（2）如果2BOC COD ∠=∠，45BAD ∠=︒，求BAC ∠度数．26．如图，AB 是⊙O 的一条弦，C 、D 是⊙O 上的两个动点，且在AB 弦的异侧，连接CD ．（1）若AC=BC，AB平分⊙CBD，求证：AB=CD；（2）若⊙ADB=60°，⊙O的半径为1，求四边形ACBD的面积最大值．参考答案1．B2．C3．D4．C5．C6．C7．B8．A9．D10．B11．B12．A13．1614．（0， 15．3016．1718．154 19．50° 20．32°．21 22．（1）4cm ；（2）30° 23．略 24．（1）略；（2）59π 25．（1）15（2）30BAC ∠=︒26．（1）略；（2．。

数学九年级上册圆几何综合专题练习(word版

数学九年级上册圆几何综合专题练习（word 版一、初三数学圆易错题压轴题（难）1．如图，以A （0，3）为圆心的圆与x 轴相切于坐标原点O ，与y 轴相交于点B ，弦BD的延长线交x 轴的负半轴于点E ，且∠BEO ＝60°，AD 的延长线交x 轴于点C ．（1）分别求点E 、C 的坐标；（2）求经过A 、C 两点，且以过E 而平行于y 轴的直线为对称轴的抛物线的函数解析式；（3）设抛物线的对称轴与AC 的交点为M ，试判断以M 点为圆心，ME 为半径的圆与⊙A 的位置关系，并说明理由．【答案】（1）点C 的坐标为（－3，0）（2）2343333y x x =++3）⊙M 与⊙A 外切【解析】试题分析：（1）已知了A 点的坐标，即可得出圆的半径和直径，可在直角三角形BOE 中，根据∠BEO 和OB 的长求出OE 的长进而可求出E 点的坐标，同理可在直角三角形OAC 中求出C 点的坐标；（2）已知了对称轴的解析式，可据此求出C 点关于对称轴对称的点的坐标，然后根据此点坐标以及C ，A 的坐标用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（3）两圆应该外切，由于直线DE ∥OB ，因此∠MED=∠ABD ，由于AB=AD ，那么∠ADB=∠ABD ，将相等的角进行置换后可得出∠MED=∠MDE ，即ME=MD ，因此两圆的圆心距AM=ME+AD ，即两圆的半径和，因此两圆外切.试题解析：（1）在Rt△EOB 中，3cot60232EO OB =⋅︒==， ∴点E 的坐标为（－2，0）．在Rt△COA 中，tan tan60333OC OA CAO OA =⋅∠=⋅︒==， ∴点C 的坐标为（－3，0）．（2）∵点C 关于对称轴2x =-对称的点的坐标为F （－1，0），点C 与点F （－1，0）都在抛物线上．设()()13y a x x =++，用(03A ，代入得()()30103a =++，∴33a =． ∴()()3133y x x =++，即 2343333y x x =++．（3）⊙M 与⊙A 外切，证明如下： ∵ME ∥y 轴，∴MED B ∠=∠．∵B BDA MDE ∠=∠=∠， ∴MED MDE ∠=∠． ∴ME MD =．∵MA MD AD ME AD =+=+， ∴⊙M 与⊙A 外切．2．已知：四边形ABCD 内接于⊙O ，∠ADC ＝90°，DE ⊥AB ，垂足为点E ，DE 的锯长线交⊙O 于点F ，DC 的延长线与FB 的延长线交于点G ．（1）如图1，求证：GD ＝GF ；（2）如图2，过点B 作BH ⊥AD ，垂足为点M ，B 交DF 于点P ，连接OG ，若点P 在线段OG 上，且PB ＝PH ，求∠ADF 的大小；（3）如图3，在（2）的条件下，点M 是PH 的中点，点K 在BC 上，连接DK ，PC ，D 交PC 点N ，连接MN ，若AB ＝122，HM +CN ＝MN ，求DK 的长．【答案】（1）见解析；（2）∠ADF ＝45°；（3）1810．【解析】【分析】（1）利用“同圆中，同弧所对的圆周角相等”可得∠A ＝∠GFD ，由“等角的余角相等”可得∠A ＝∠GDF ，等量代换得∠GDF ＝∠GFD ，根据“三角形中，等角对等边”得GD ＝GF ；（2）连接OD 、OF ，由△DPH ≌△FPB 可得：∠GBH ＝90°，由四边形内角和为360°可得：∠G ＝90°，即可得：∠ADF ＝45°；（3）由等腰直角三角形可得AH ＝BH ＝12，DF ＝AB ＝12，由四边形ABCD 内接于⊙O ，可得：∠BCG ＝45°＝∠CBG ，GC ＝GB ，可证四边形CDHP 是矩形，令CN ＝m ，利用勾股定理可求得m ＝2，过点N 作NS ⊥DP 于S ，连接AF ，FK ，过点F 作FQ ⊥AD 于点Q ，过点F 作FR ⊥DK 交DK 的延长线于点R ，通过构造直角三角形，应用解直角三角形方法球得DK ．【详解】解：（1）证明：∵DE ⊥AB ∴∠BED ＝90° ∴∠A +∠ADE ＝90° ∵∠ADC ＝90° ∴∠GDF +∠ADE ＝90° ∴∠A ＝∠GDF ∵BD BD = ∴∠A ＝∠GFD ∴∠GDF ＝∠GFD ∴GD ＝GF （2）连接OD 、OF ∵OD ＝OF ，GD ＝GF ∴OG ⊥DF ，PD ＝PF 在△DPH 和△FPB 中PD PF DPH FPB PH PB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DPH ≌△FPB （SAS ） ∴∠FBP ＝∠DHP ＝90° ∴∠GBH ＝90°∴∠DGF ＝360°﹣90°﹣90°﹣90°＝90° ∴∠GDF ＝∠DFG ＝45° ∴∠ADF ＝45°（3）在Rt △ABH 中，∵∠BAH ＝45°，AB ＝∴AH ＝BH ＝12 ∴PH ＝PB ＝6 ∵∠HDP ＝∠HPD ＝45° ∴DH ＝PH ＝6∴AD ＝12+6＝18，PN ＝HM ＝12PH ＝3，PD ＝∵∠BFE ＝∠EBF ＝45° ∴EF ＝BE∵∠DAE ＝∠ADE ＝45° ∴DE ＝AE∴DF ＝AB ＝∵四边形ABCD 内接于⊙O ∴∠DAB +∠BCD ＝180° ∴∠BCD ＝135° ∴∠BCG ＝45°＝∠CBG ∴GC ＝GB又∵∠CGP ＝∠BGP ＝45°，GP ＝GP ∴△GCP ≌△GBP （SAS ） ∴∠PCG ＝∠PBG ＝90° ∴∠PCD ＝∠CDH ＝∠DHP ＝90° ∴四边形CDHP 是矩形∴CD ＝HP ＝6，PC ＝DH ＝6，∠CPH ＝90° 令CN ＝m ，则PN ＝6﹣m ，MN ＝m +3 在Rt △PMN 中，∵PM 2+PN 2＝MN 2 ∴32+（6﹣m ）2＝（m +3）2，解得m ＝2 ∴PN ＝4过点N 作NS ⊥DP 于S ，在Rt △PSN 中，PS ＝SN ＝DS ＝﹣＝SN 1tanDS 2SDN ∠=== 连接AF ，FK ，过点F 作FQ ⊥AD 于点Q ，过点F 作FR ⊥DK 交DK 的延长线于点R 在Rt △DFQ 中，FQ ＝DQ ＝12 ∴AQ ＝18﹣12＝6 ∴tan 1226FQ FAQ AQ ∠=== ∵四边形AFKD 内接于⊙O ， ∴∠DAF +∠DKF ＝180° ∴∠DAF ＝180°﹣∠DKF ＝∠FKR在Rt △DFR 中，∵DF ＝1tan 2FDR ∠=∴FR DR ==在Rt △FKR 中，∵FR tan ∠FKR ＝2∴KR ＝5∴DK＝DR﹣KR＝24106101810555=-=．【点睛】本题是一道有关圆的几何综合题，难度较大，主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，全等三角形性质及判定，等腰直角三角形性质，解直角三角形等知识点；解题关键是添加辅助线构造直角三角形．3．选做题：从甲乙两题中选作一题，如果两题都做，只以甲题计分题甲：已知矩形两邻边的长、是方程的两根.（1）求的取值范围；（2）当矩形的对角线长为时，求的值；（3）当为何值时，矩形变为正方形？题乙：如图，是直径，于点，交于点，且．（1）判断直线和的位置关系，并给出证明；（2）当，时，求的面积．【答案】题甲（1）（2）（3）题乙：（1）BD是切线；证明所以OB⊥BD，BD是切线（2）S=【解析】试题分析：题甲：（1）、是方程的两根，则其；由得（2）矩形两邻边的长、，矩形的对角线的平方=；矩形两邻边的长、是方程的两根，则；因为，所以；解得由得（3）矩形变为正方形，则a=b；、是方程的两根，所以方程有两个相等的实数根，即，由得题乙：（1）BD是切线；如图所示，是弧AC所对的圆周角，；因为，所以；于点，，所以，，在三角形OBD中，所以OB⊥BD；BD是切线（2），AB是圆的直径，所以OB=5；于点，交于点，F是BC的中点；，BF=4；在直角三角形OBF中由勾股定理得OF=；根据题意，，则，所以，从而，解得DF=，的面积=考点：直线与圆相切，相似三角形点评：本题考查直线与圆相切，相似三角形；解本题的关键是会判断直线与圆是否相切，能判定两个三角形相似4．在直角坐标系中，⊙C过原点O，交x轴于点A（2，0），交y轴于点B（0，）．（1）求圆心C的坐标．（2）抛物线y=ax2+bx+c过O，A两点，且顶点在正比例函数y=-的图象上，求抛物线的解析式．（3）过圆心C作平行于x轴的直线DE，交⊙C于D，E两点，试判断D，E两点是否在（2）中的抛物线上．（4）若（2）中的抛物线上存在点P（x0，y0），满足∠APB为钝角，求x0的取值范围．【答案】（1）圆心C的坐标为（1，）；（2）抛物线的解析式为y=x2﹣x；（3）点D、E均在抛物线上；（4）﹣1＜x0＜0，或2＜x0＜3．【解析】试题分析：（1）如图线段AB是圆C的直径，因为点A、B的坐标已知，根据平行线的性质即可求得点C的坐标；（2）因为抛物线过点A、O，所以可求得对称轴，即可求得与直线y=﹣x的交点，即是二次函数的顶点坐标，利用顶点式或者一般式，采用待定系数法即可求得抛物线的解析式；（3）因为DE∥x轴，且过点C，所以可得D、E的纵坐标为，求得直径AB的长，可得D、E的横坐标，代入解析式即可判断；（4）因为AB为直径，所以当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满足∠APB为钝角，所以﹣1＜x0＜0，或2＜x0＜3．试题分析：（1）∵⊙C经过原点O∴AB为⊙C的直径∴C为AB的中点过点C作CH垂直x轴于点H，则有CH=OB=，OH=OA=1∴圆心C的坐标为（1，）．（2）∵抛物线过O、A两点，∴抛物线的对称轴为x=1，∵抛物线的顶点在直线y=﹣x上，∴顶点坐标为（1，﹣）．把这三点的坐标代入抛物线y=ax2+bx+c，得，解得，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x．（3）∵OA=2，OB=2，∴AB==4，即⊙C的半径r=2，∴D（3，），E（﹣1，），代入y=x2﹣x检验，知点D、E均在抛物线上．（4）∵AB为直径，∴当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满足∠APB为钝角，∴﹣1＜x0＜0，或2＜x0＜3．考点：二次函数综合题．5．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D．（1）如图1，已知点A，B，C的坐标分别为（-2，0），（8，0），（0，-4）；①求此抛物线的函数解析式；②若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值；（2）如图2，若a=1，c=-4，求证：无论b取何值，点D的坐标均不改变．【答案】（1）①y=x2-x-4；②△BDM的面积有最大值为36；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）①只需运用待定系数法就可解决问题；②过点M作ME∥y轴，交BD于点E，连接BC，如图1．根据勾股定理的逆定理可得∠ACB=90°，从而可得AB为直径，根据垂径定理可得OD=OC，即可得到D（0，4），然后运用待定系数法可求得直线BD的解析式为y=-x+4，设M（x，x2-x-4），则E（x，-x+4），从而得到ME=-x2+x+8，运用割补法可得S△BDM=S△DEM+S△BEM=-（x-2）2+36，然后根据二次函数的最值性就可求出△BDM的面积的最大值；（2）连接AD、BC，如图2．若a=1，c=-4，则抛物线的解析式为y=x2+bx-4，可得C（0，-4），OC=4．设点A（x1，0），B（x2，0），则OA=-x1，OB=x2，且x1、x2是方程x2+bx-4=0的两根，根据根与系数的关系可得OA•OB=4．由A、D、B、C四点共圆可得∠ADC=∠ABC，∠DAB=∠DCB，从而可得△ADO∽∽△CBO，根据相似三角形的性质可得OC•OD=OA•OB=4，从而可得OD=1，即可得到D（0，1），因而无论b取何值，点D的坐标均不改变．试题解析：（1）①∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（-2，0），B（8，0），C（0，-4），∴，解得．∴抛物线的解析式为y=x2-x-4；②过点M作ME∥y轴，交BD于点E，连接BC，如图1．∵A（-2，0），B（8，0），C（0，-4），∴OA=2，OB=8，OC=4，∴AB=10，AC=2，BC=4，∴AB2=AC2+BC2，∴∠ACB=90°，∴AB为直径．∵CD⊥AB，∴OD=OC，∴D（0，4）．设直线BD的解析式为y=mx+n．∵B（8，0），D（0，4），∴，解得，∴直线BD的解析式为y=-x+4．设M（x，x2-x-4），则E（x，-x+4），∴ME=（-x+4）-（x2-x-4）=-x2+x+8，∴S△BDM=S△DEM+S△BEM=ME（x E-x D）+ME（x B-x E）=ME（x B-x D）=（-x2+x+8）×8=-x2+4x+32=-（x-2）2+36．∵0＜x＜8，∴当x=2时，△BDM的面积有最大值为36；（2）连接AD、BC，如图2．若a=1，c=-4，则抛物线的解析式为y=x2+bx-4，则C（0，-4），OC=4．设点A（x1，0），B（x2，0），则OA=-x1，OB=x2，且x1、x2是方程x2+bx-4=0的两根，∴OA•OB=-x1•x2=-（-4）=4．∵A、D、B、C四点共圆，∴∠ADC=∠ABC，∠DAB=∠DCB，∴△ADO∽△CBO，∴，∴OC•OD=OA•OB=4，∴4OD=4，∴OD=1，∴D（0，1），∴无论b取何值，点D的坐标均不改变．考点：圆的综合题6．我们把“有两条边和其中一边的对角对应相等的两个三角形”叫做“同族三角形”，如图1，在△ABC和△ABD中，AB=AB，AC=AD，∠B=∠B，则△ABC和△ABD是“同族三角形”．（1）如图2，四边形ABCD内接于圆，点C是弧BD的中点，求证：△ABC和△ACD是同族三角形；（2）如图3，△ABC内接于⊙O，⊙O的半径为32，AB=6，∠BAC=30°，求AC的长；（3）如图3，在（2）的条件下，若点D在⊙O上，△ADC与△ABC是非全等的同族三角形，AD＞CD，求ADCD的值．【答案】（1）详见解析；（2）33+3；（3）ADCD=622+或62．【解析】【分析】(1）由点C是弧BD的中点，根据弧与弦的关系，易得BC=CD，∠BAC=∠DAC，又由公共边AC，可证得：△ABC和△ACD是同族三角形；(2）首先连接0A，OB，作点B作BE⊥AC于点E，易得△AOB是等腰直角三角形，继而求得答案；(3)分别从当CD=CB时与当CD=AB时进行分析求解即可求得答案．【详解】（1）证明：∵点C是弧BD的中点，即BC CD=，∴BC=CD，∠BAC=∠DAC，∵AC=AC，∴△ABC和△ACD是同族三角形.（2）解：如图1，连接OA，OB，作点B作BE⊥AC于点E，∵2，AB=6，∴OA2+OB2=AB2，∴△AOB是等腰直角三角形，且∠AOB=90°，∴∠C=∠AOB=45°， ∵∠BAC=30°，∴BE=AB=3，∴AE=22AB BE -=33，∵CE=BE=3，∴AC=AE+CE=33+3.（3）解：∵∠B=180°﹣∠BAC ﹣∠ACB=180°﹣30°﹣45°=105°，∴∠ADC=180°﹣∠B=75°，如图2，当CD=CB 时，∠DAC=∠BAC=30°，∴∠ACD=75°， ∴AD=AC=33+3，CD=BC=2BE=32，∴AD 333CD 32+==62+；如图3，当CD=AB 时，过点D 作DF ⊥AC ，交AC 于点F ，则∠DAC=∠ACB=45°，∴∠ACD=180°﹣∠DAC ﹣∠ADC=60°，∴33 ∴2DF=36∴AD 36CD 6==62综上所述：AD CD =622或62 【点睛】本题考查圆的综合应用问题，综合运用弧与弦的关系，等腰三角形的性质结合图形作辅助线进行分析证明以及求解，难度较大.7．在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r(r＞1)，点P是圆内与圆心C不重合的点，⊙C的“完美点”的定义如下：过圆心C的任意直线CP与⊙C交于点A，B，若满足|PA﹣PB|＝2，则称点P为⊙C的“完美点”，如图点P为⊙C的一个“完美点”．(1)当⊙O的半径为2时①点M(32，0)⊙O的“完美点”，点(﹣32，﹣12)⊙O的“完美点”；(填“是”或者“不是”)②若⊙O的“完美点”P在直线y＝34x上，求PO的长及点P的坐标；(2)设圆心C的坐标为(s，t)，且在直线y＝﹣2x+1上，⊙C半径为r，若y轴上存在⊙C的“完美点”，求t的取值范围．【答案】(1)①不是，是；②PO的长为1，点P的坐标为(45，35)或(﹣45，﹣35)；(2)t的取值范围为﹣1≤t≤3．【解析】【分析】（1）①利用圆的“完美点”的定义直接判断即可得出结论.②先确定出满足圆的“完美点”的OP的长度，然后分情况讨论计算即可得出结论；（2）先判断出圆的“完美点”的轨迹，然后确定出取极值时OC与y轴的位置关系即可得出结论.【详解】解：(1)①∵点M(32，0)，∴设⊙O与x轴的交点为A，B，∵⊙O的半径为2，∴取A(﹣2，0)，B(2，0)，∴|MA﹣MB|＝|(32+2)﹣(2﹣32)|＝3≠2，∴点M不是⊙O的“完美点”，同理：点(﹣32，﹣12)是⊙O的“完美点”．故答案为不是，是．②如图1，根据题意，|PA﹣PB|＝2，∴|OP+2﹣(2﹣OP)|＝2，∴OP＝1．若点P在第一象限内，作PQ⊥x轴于点Q，∵点P在直线y＝34x上，OP＝1，∴43,55 OQ PQ==．∴P(43,55)．若点P在第三象限内，根据对称性可知其坐标为(﹣45，﹣35)．综上所述，PO的长为1，点P的坐标为(43,55)或（43,55--）)．(2)对于⊙C的任意一个“完美点”P都有|PA﹣PB|＝2，∴|CP+r﹣(r﹣CP)|＝2．∴CP＝1．∴对于任意的点P，满足CP＝1，都有|CP+r﹣(r﹣CP)|＝2，∴|PA﹣PB|＝2，故此时点P为⊙C的“完美点”．因此，⊙C的“完美点”是以点C为圆心，1为半径的圆．设直线y＝﹣2x+1与y轴交于点D，如图2，当⊙C移动到与y轴相切且切点在点D的上方时，t的值最大．设切点为E，连接CE，∵⊙C的圆心在直线y＝﹣2x+1上，∴此直线和y轴，x轴的交点D(0，1)，F(12，0)，∴OF＝12，OD＝1，∵CE∥OF，∴△DOF∽△DEC，∴OD OF DE CE=，∴112 DE=，∴DE＝2，∴OE＝3，t的最大值为3，当⊙C移动到与y轴相切且切点在点D的下方时，t的值最小．同理可得t的最小值为﹣1．综上所述，t的取值范围为﹣1≤t≤3．【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了新定义，相似三角形的性质和判定，直线和圆的位置关系，解本题的关键是理解新定义的基础上，会用新定义，是一道比中等难度的中考常考题.8．如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点G，E是CD上一点，且BE＝DE，延长EB至点P，连接CP，使PC＝PE，延长BE与⊙O交于点F，连结BD，FD．（1）连结BC，求证：△BCD≌△DFB；（2）求证：PC是⊙O的切线；（3）若tan F＝23，AG﹣BG533，求ED的值．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）DE＝1339．【解析】【分析】（1）由BE=DE可知∠CDB=∠FBD，而∠BFD=∠DCB，BD是公共边，结论显然成立．（2）连接OC，只需证明OC⊥PC即可．根据三角形外角知识以及圆心角与圆周角关系可知∠PEC=2∠CDB=∠COB，由PC=PE可知∠PCE=∠PEC=∠COB，注意到AB⊥CD，于是∠COB+∠OCG=90°=∠OCG+∠PEC=∠OCP，结论得证．（3）由于∠BCD=∠F，于是tan∠BCD=tanF=23=BGCG，设BG=2x，则CG=3x．注意到AB是直径，连接AC，则∠ACB是直角，由射影定理可知CG2=BG•AG，可得出AG的表达式（用x表示），再根据AG-BG=53求出x的值，从而CG、CB、BD、CD的长度可依次得出，最后利用△DEB∽△DBC列出比例关系算出ED的值．【详解】解：（1）证明：因为BE＝DE，所以∠FBD＝∠CDB，在△BCD和△DFB中：∠BCD＝∠DFB∠CDB＝∠FBDBD＝DB所以△BCD≌△DFB（AAS）．（2）证明：连接OC．因为∠PEC＝∠EDB+∠EBD＝2∠EDB，∠COB＝2∠EDB，所以∠COB＝∠PEC，因为PE ＝PC ，所以∠PEC ＝∠PCE ，所以∠PCE ＝∠COB ，因为AB ⊥CD 于G ，所以∠COB+∠OCG ＝90°，所以∠OCG+∠PEC ＝90°，即∠OCP ＝90°，所以OC ⊥PC ，所以PC 是圆O 的切线．（3）因为直径AB ⊥弦CD 于G ，所以BC ＝BD ，CG ＝DG ，所以∠BCD ＝∠BDC ，因为∠F ＝∠BCD ，tanF ＝23，所以∠tan ∠BCD ＝23＝BG CG，设BG ＝2x ，则CG ＝3x ．连接AC ，则∠ACB ＝90°，由射影定理可知：CG 2＝AG•BG ，所以AG ＝229922x C x G x G B ==，因为AG ﹣BG ，所以2392x x -=，解得x ＝3，所以BG ＝2x CG ＝3x ＝所以BC =，所以BD ＝BC ＝3，因为∠EBD ＝∠EDB ＝∠BCD ，所以△DEB ∽△DBC ，所以BDB DC DE D =，因为CD ＝2CG ＝所以DE＝21339DBCD．【点睛】本题为圆的综合题，主要考查了垂径定理，圆心角与圆周角的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、切线的判定、射影定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等重要知识点．第（1）、（2）问解答的关键是导角，难度不大，第（3）问解答的要点在于根据射影定理以及条件当中告诉的两个等量关系求出BG、CG、BC、BD、CD的值，最后利用“共边子母型相似”（即△DEB∽△DBC）列比例方程求解ED．9．阅读材料：“最值问题”是数学中的一类较具挑战性的问题．其实，数学史上也有不少相关的故事，如下即为其中较为经典的一则：海伦是古希腊精通数学、物理的学者，相传有位将军曾向他请教一个问题﹣﹣如图1，从A点出发，到笔直的河岸l去饮马，然后再去B 地，走什么样的路线最短呢？海伦轻松地给出了答案：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB＝A′B的值最小．解答问题：（1）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC＝60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；（2）如图3，已知菱形ABCD的边长为6，∠DAB＝60°．将此菱形放置于平面直角坐标系中，各顶点恰好在坐标轴上．现有一动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿A→C 的方向，向点C运动．当到达点C后，立即以相同的速度返回，返回途中，当运动到x轴上某一点M时，立即以每秒1个单位的速度，沿M→B的方向，向点B运动．当到达点B 时，整个运动停止．①为使点P能在最短的时间内到达点B处，则点M的位置应如何确定？②在①的条件下，设点P的运动时间为t（s），△PAB的面积为S，在整个运动过程中，试求S与t之间的函数关系式，并指出自变量t的取值范围．【答案】（1）PA+PC的最小值是32）①点M30）时，用时最少；②S与t之间的函数关系式是当3t3S＝3﹣3t；当0＜t3S ＝3t．当3t3S＝﹣3t3【解析】【分析】（1）延长AO交圆O于M，连接CM交OB于P，连接AC，AP+PC＝PC+PM＝CM最小；（2）①根据运动速度不同以及运动距离，得出当PB⊥AB时，点P能在最短的时间内到达点B处；②根据三角形的面积公式求出从A到C时，s与t的关系式和从C到（3，0）以及到B 的解析式．【详解】解：（1）延长AO交圆O于M，连接CM交OB于P，连接AC，则此时AP+PC＝PC+PM＝CM最小，∵AM是直径，∠AOC＝60°，∴∠ACM＝90°，∠AMC＝30°，∴AC＝12AM＝2，AM＝4，由勾股定理得：CM＝22AM AC＝23．答：PA+PC的最小值是23．（2）①根据动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿A→C的方向，向点C运动．当到达点C后，立即以相同的速度返回，返回途中，当运动到x轴上某一点M时，立即以每秒1个单位的速度，沿M→B的方向，向点B运动，即为使点P能在最短的时间内到达点B处，∴当PB⊥AB时，根据垂线段最短得出此时符合题意，∵菱形ABCD，AB＝6，∠DAB＝60°，∴∠BAO＝30°，AB＝AD，AC⊥BD，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝6，BO＝3，由勾股定理得：AO＝3在Rt△APB中，AB＝6，∠BAP＝30°，BP＝12AP，由勾股定理得：AP＝3，BP＝3，∴点M30）时，用时最少．②当0＜t ≤33时，AP ＝2t ， ∵菱形ABCD ， ∴∠OAB ＝30°， ∴OB ＝12AB ＝3，由勾股定理得：AO ＝CO ＝33，∴S ＝12AP ×BO ＝12×2t ×3＝3t ； ③当33＜t ≤43时，AP ＝63﹣（2t ﹣63）＝123﹣2t ， ∴S ＝12AP ×BO ＝12×（123﹣2t ）×3＝183﹣3t ．当43＜t ≤63时，S ＝12AB ×BP ＝12×6×[23﹣（t ﹣43）]＝﹣3t +183，答：S 与t 之间的函数关系式是当33＜t ≤43时，S ＝183﹣3t ；当0＜t ≤33时，S ＝3t ．当43＜t ≤63时，S ＝﹣3t +183．【点睛】本题主要考查对含30度角的直角三角形，勾股定理，三角形的面积，轴对称-最短问题，圆周角定理等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行计算是解此题的关键．10．在O 中，AB 为直径，CD 与AB 相较于点H ，弧AC=弧AD（1）如图1，求证：CD AB ⊥;（2）如图2，弧BC 上有一点E ，若弧CD=弧CE ，求证：3EBA ABD ∠=∠;（3）如图3，在（2）的条件下，点F 在上，连接,//FH FH DE ，延长FO 交DE 于点K ，若165,5FK DB BE ==，求AB ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）185AB =．【解析】【分析】（1）连接,OC OD ,根据AC AD = 得出COA DOA ∠=再根据OC OD =得出OCD ODC ∠=∠，从而得证；（2）连接,BC BD ,根据AC AD =得出,BC BD BA CD =⊥，CBA ABD ∠=∠，再根据CE CD =,得出CBE CBD ∠=∠,从而得出结论；（3）作,CM DB CN BE ⊥⊥，过点P 作,PT BE PS BD ⊥⊥，,5BE BP a DB a ===先证CDM CEN ∆≅∆，DM EN =，再证,CMB CNB BM BN ∆≅∆=，设DM b =，得出2b a =，再算出,CM CD 得出CPD ∆为等腰三角形，再根据BP 是角平分线利用角平分线定理得出BCP EBP S DP BD S PE BE∆==，从而算出,PE DE ,再根据三角函数值算出BG ,,,,AB r OG OH ，再根据//FH DE 得出HO OF GO OK=，从而计算AB ．【详解】（1）连接OC ，CD因为AC AD =，所以COA DOA ∠=∠ OC OD =，,OA CD CD AB ∴⊥∴⊥;(2)连接BC ，,BC BD BA CD =⊥所以AB 平分CBD ∠，设ABD ABC α∠=∠=2CBD α∴∠=CD CE ∴=2CBE CBD α∴∠=∠=，3EBA α∴∠=3EBA ABD ∴∠=∠．(3) 2,90EBC BPE PEB αα︒∠=∠=∠=-设,5BE BP a DB a ===作,CM DB CN BE ⊥⊥，可证：CDM CEN ∆≅∆，DM EN =，再证：,CMB CNB BMBN ∆≅∆=设,5,2DM EN b a b a b b a ==+=-∴=在CBM ∆中勾股4CM a =在CDM ∆中勾股25CD a =得CPD ∆为等腰三角形25DP DC a ==因为BP 为角平分线，过点P 作,PT BE PS BD ⊥⊥可证：5BCP EBP S DP BD S PE BE∆=== 2525,53PE a DE a ∴== 14tan ,tan 223αα== 2555,32BG a AB a ∴== 557535,,4124r a OG a OH a === //FH DE97HO OF GO OK ∴== 995185,16OF KF AB ===【点睛】本题是一道圆的综合题目，难度较大，考查了圆相关的性质以及与三角形综合，掌握相关的线段与角度转化是解题关键．。

九年级上册圆几何综合专题练习(word版

九年级上册圆几何综合专题练习（word版一、初三数学圆易错题压轴题（难）1．如图所示，CD为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接BC、BD，过点B的切线AE与CD 的延长线交于点A，OE//BD，交BC于点F，交AB于点E.（1）求证：∠E=∠C；（2）若⊙O的半径为3，AD=2，试求AE的长；（3）在（2）的条件下，求△ABC的面积.【答案】（1）证明见解析；（2）10；（3）48 5.【解析】试题分析：（1）连接OB，利用已知条件和切线的性质证明：OE∥BD，即可证明：∠E=∠C；（2）根据题意求出AB的长，然后根据平行线分线段定理，可求解；（3）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可求解.试题解析：（1）如解图，连接OB，∵CD为⊙O的直径，∴∠CBD＝∠CBO＋∠OBD＝90°，∵AB是⊙O的切线，∴∠ABO＝∠ABD＋∠OBD＝90°，∴∠ABD＝∠CBO.∵OB、OC是⊙O的半径，∴OB＝OC，∴∠C＝∠CBO.∵OE∥BD，∴∠E＝∠ABD，∴∠E＝∠C；（2）∵⊙O的半径为3，AD＝2，∴AO＝5，∴AB＝4.∵BD∥OE，∴＝，∴＝，∴BE＝6，AE=6+4=10（3）S △AOE==15，然后根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得S△ABC= S△AOE==2．如图，△ABC内接于⊙O，点D在AB边上，CD与OB交于点E，∠ACD＝∠OBC；（1）如图1，求证：CD⊥AB；（2）如图2，当∠BAC＝∠OBC+∠BCD时，求证：BO平分∠ABC；（3）如图3，在（2）的条件下，作OF⊥BC于点F，交CD于点G，作OH⊥CD于点H，连接FH并延长，交OB于点P，交AB边于点M．若OF＝3，MH＝5，求AC边的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）AC＝48 5【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，得出∠FCB=90°，再根据“同弧所对的圆周角相等”得出∠A=∠F，再根据已知条件得∠3=90°，得CD⊥AB；（2）延长BO交AC于K，由已知可得∠A=∠5，由∠A+∠2=90°得∠5+∠2=90°，根据三角形的内角和定理及外角定理得出∠9=∠1得出BO平分∠ABC；（3）延长BO交AC于点K，延长CD交⊙O于点N，联结BN，由条件可得CH=NH，BF=CF，从而HF是△CBN的中位线，HF∥BN，得出∠OEH=∠EHM又由∠OEH+∠EOH=∠EHM+∠OHP=90°可得HM=OB=5，在Rt△OBF中，根据勾股定理可得BF=4，解出BC=8，sin∠OBC=35，所以可得AC=2CK，CK=BC•sin∠OBC=245得AC=48 5.【详解】解：（1）如图1，令∠OBC＝∠1，∠ACD＝∠2延长BO交⊙O于F，连接CF．∵BF是⊙O的直径，∴∠FCB＝90°∴∠1+∠F＝90°，∵弧BC＝弧BC，∴∠A＝∠F又∵∠1＝∠2，∴∠2+∠A＝90°，∴∠3＝90°，∴CD⊥AB（2）如图2，令∠OBC＝∠1，∠BCD＝∠4延长BO交AC于K∵∠A＝∠1+∠4，∠5＝∠1+∠4，∴∠A＝∠5，∵∠A+∠2＝90°，∴∠5+∠2＝90°，∴∠6＝90°∵∠7＝180°﹣∠3＝90°，∴∠6＝∠7，又∵∠5＝∠8，∴∠9＝∠2∵∠2＝∠1，∴∠9＝∠1，∴BO平分∠ABC（3）如图3，延长BO交AC于点K，延长CD交⊙O于点N，联结BN∵OH⊥CN，OF⊥BC∴CH＝NH，BF＝CF∴HF是△CBN的中位线，HF∥BN∴∠FHC＝∠BNC＝∠BAC∵∠BAC＝∠OEH，∠FHC＝∠EHM∴∠OEH＝∠EHM设EM、OE交于点P∵∠OEH+∠EOH＝∠EHM+∠OHP＝90°∴∠EOH＝∠OHP∴OP＝PH∵∠ADC＝∠OHC＝90°∴AD∥OH∴∠PBM＝∠EOH，∠BMP＝∠OHP∴PM＝PB∴PM+PH＝PB+OP∴HM＝OB＝5在Rt△OBF中，根据勾股定理可得BF＝4∴BC＝8，sin∠OBC＝3 5∵∠A+∠ABO＝∠DEB+∠ABO＝90°∴∠AKB+∠CKB＝90°∴OK⊥ACAC＝2CK，CK＝BC•sin∠OBC＝24 5∴AC＝48 5【点睛】此题主要考查了圆的综合应用以及三角形的内角和定理及外角定理和勾股定理、三角函数等知识，理解同弧所对的圆周角相等是解题关键．3．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC的边BC在y轴的正半轴上，点A在x轴的正半轴上，点C的坐标为（0，8），将△ABC沿直线AB折叠，点C落在x轴的负半轴D（−4，0）处．（1）求直线AB的解析式；（2）点P从点A出发以每秒45个单位长度的速度沿射线AB方向运动，过点P作PQ⊥AB，交x轴于点Q，PR∥AC交x轴于点R，设点P运动时间为t（秒），线段QR长为d，求d与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，点N是射线AB上一点，以点N为圆心，同时经过R、Q两点作⊙N，⊙N交y轴于点E，F．是否存在t，使得EF=RQ？若存在，求出t的值，并求出圆心N的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）132y x=-+（2）d=5t （3）故当 t=85，或815，时，QR=EF，N（-6，6）或（2，2）．【解析】试题分析：（1）由C（0，8），D（-4，0），可求得OC，OD的长，然后设OB=a，则BC=8-a ，在Rt △BOD 中，由勾股定理可得方程：（8-a ）2=a 2+42,解此方程即可求得B 的坐标，然后由三角函数的求得点A 的坐标，再利用待定系数法求得直线AB 的解析式；（2）在Rt △AOB 中，由勾股定理可求得AB 的长，继而求得∠BAO 的正切与余弦，由PR//AC 与折叠的性质，易证得RQ=AR ，则可求得d 与t 的函数关系式；（3）首先过点分别作NT ⊥RQ 于T ，NS ⊥EF 于S ，易证得四边形NTOS 是正方形，然后分别从点N 在第二象限与点N 在第一象限去分析求解即可求解; 试题解析：（1）∵C （0，8），D （-4，0）， ∴OC=8，OD=4，设OB=a ，则BC=8-a ，由折叠的性质可得：BD=BC=8-a ，在Rt △BOD 中，∠BOD=90°，DB 2=OB 2+OD 2，则（8-a ）2=a 2+42，解得：a=3，则OB=3，则B （0，3）， tan ∠ODB=34OB OD = ，在Rt △AOC 中，∠AOC=90°，tan ∠ACB=34OA OC = ，则OA=6，则A （6，0），设直线AB 的解析式为：y=kx+b ，则60{3k b b +== ，解得：1{23k b =-= ，故直线AB 的解析式为：y=-12x +3；（2）如图所示：在Rt △AOB 中，∠AOB=90°，OB=3，OA=6，则22135,tan 2OB OB OA BAO OA +=∠== ，255OAcos BAO AB∠==，在Rt △PQA 中，9045APQ AP t ∠=︒=，，则AQ=10cos APt BAO =∠ ,∵PR ∥AC ，∴∠APR=∠CAB ，由折叠的性质得：∠BAO=∠CAB ， ∴∠BAO=∠APR ， ∴PR=AR ，∵∠RAP+∠PQA=∠APR+∠QPR=90°， ∴∠PQA=∠QPR ， ∴RP=RQ ， ∴RQ=AR ，∴QR=12 AQ=5t, 即d=5t;（3）过点分别作NT ⊥RQ 于T ，NS ⊥EF 于S ， ∵EF=QR ， ∴NS=NT ，∴四边形NTOS 是正方形，则TQ=TR=1522QR t = ， ∴1115151022224NT AT AQ TQ t t t ==-=-=（）（），分两种情况，若点N 在第二象限，则设N （n ，-n ），点N 在直线132y x =-+ 上，则132n n -=-+ ，解得：n=-6，故N （-6，6），NT=6，即1564t = ，解得：85t =; 若点N 在第一象限，设N （N ，N ），可得：132n n =-+ , 解得：n=2，故N （2，2），NT=2，即1524t =, 解得：t=815∴当 t =85，或815，时，QR =EF ，N （-6，6）或（2，2）。

九年级数学上册圆几何综合专题练习(word版

九年级数学上册圆几何综合专题练习（word版一、初三数学圆易错题压轴题（难）1．选做题：从甲乙两题中选作一题，如果两题都做，只以甲题计分题甲：已知矩形两邻边的长、是方程的两根.（1）求的取值范围；（2）当矩形的对角线长为时，求的值；（3）当为何值时，矩形变为正方形？题乙：如图，是直径，于点，交于点，且．（1）判断直线和的位置关系，并给出证明；（2）当，时，求的面积．【答案】题甲（1）（2）（3）题乙：（1）BD是切线；证明所以OB⊥BD，BD是切线（2）S=【解析】试题分析：题甲：（1）、是方程的两根，则其；由得（2）矩形两邻边的长、，矩形的对角线的平方=；矩形两邻边的长、是方程的两根，则；因为，所以；解得由得（3）矩形变为正方形，则a=b；、是方程的两根，所以方程有两个相等的实数根，即，由得题乙：（1）BD是切线；如图所示，是弧AC所对的圆周角，；因为，所以；于点，，所以，，在三角形OBD中，所以OB⊥BD；BD是切线（2），AB是圆的直径，所以OB=5；于点，交于点，F是BC的中点；，BF=4；在直角三角形OBF中由勾股定理得OF=；根据题意，，则，所以，从而，解得DF=，的面积=考点：直线与圆相切，相似三角形点评：本题考查直线与圆相切，相似三角形；解本题的关键是会判断直线与圆是否相切，能判定两个三角形相似2．在直角坐标系中，⊙C过原点O，交x轴于点A（2，0），交y轴于点B（0，）．（1）求圆心C的坐标．（2）抛物线y=ax2+bx+c过O，A两点，且顶点在正比例函数y=-的图象上，求抛物线的解析式．（3）过圆心C作平行于x轴的直线DE，交⊙C于D，E两点，试判断D，E两点是否在（2）中的抛物线上．（4）若（2）中的抛物线上存在点P（x0，y0），满足∠APB为钝角，求x0的取值范围．【答案】（1）圆心C的坐标为（1，）；（2）抛物线的解析式为y=x2﹣x；（3）点D、E均在抛物线上；（4）﹣1＜x0＜0，或2＜x0＜3．【解析】试题分析：（1）如图线段AB是圆C的直径，因为点A、B的坐标已知，根据平行线的性质即可求得点C的坐标；（2）因为抛物线过点A、O，所以可求得对称轴，即可求得与直线y=﹣x的交点，即是二次函数的顶点坐标，利用顶点式或者一般式，采用待定系数法即可求得抛物线的解析式；（3）因为DE∥x轴，且过点C，所以可得D、E的纵坐标为，求得直径AB的长，可得D、E的横坐标，代入解析式即可判断；（4）因为AB为直径，所以当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满足∠APB为钝角，所以﹣1＜x0＜0，或2＜x0＜3．试题分析：（1）∵⊙C经过原点O∴AB为⊙C的直径∴C为AB的中点过点C作CH垂直x轴于点H，则有CH=OB=，OH=OA=1∴圆心C的坐标为（1，）．（2）∵抛物线过O、A两点，∴抛物线的对称轴为x=1，∵抛物线的顶点在直线y=﹣x上，∴顶点坐标为（1，﹣）．把这三点的坐标代入抛物线y=ax2+bx+c，得，解得，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x．（3）∵OA=2，OB=2，∴AB==4，即⊙C的半径r=2，∴D（3，），E（﹣1，），代入y=x2﹣x检验，知点D、E均在抛物线上．（4）∵AB为直径，∴当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满足∠APB为钝角，∴﹣1＜x0＜0，或2＜x0＜3．考点：二次函数综合题．3．四边形ABCD内接于⊙O，连接AC、BD，2∠BDC+∠ADB＝180°．（1）如图1，求证：AC＝BC；（2）如图2，E为⊙O上一点，AE＝BE，F为AC上一点，DE与BF相交于点T，连接AT，若∠BFC＝∠BDC+12∠ABD，求证：AT平分∠DAB；（3）在（2）的条件下，DT＝TE，AD＝8，BD＝12，求DE的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）82【解析】【分析】（1）只要证明∠CAB=∠CBA即可．（2）如图2中，作TH⊥AD于H，TR⊥BD于R，TL⊥AB于L．想办法证明TL=TH即可解决问题．（3）如图3中，连接EA，EB，作EG⊥AB，TH⊥AD于H，TR⊥BD于R，TL⊥AB于L，AQ⊥BD于Q．证明△EAG≌△TDH（AAS），推出AG=DH，证明Rt△TDR≌Rt△TDH（HL），推出DH=DR，同理可得AL=AH，BR=BL，设DH=x，则AB=2x，由S△ADB=12•BD•AQ=12•AD•h+12•AB•h+12•DB•h，可得AQ=52h，再根据sin∠BDE=sin∠ADE，sin∠AED=sin∠ABD，构建方程组求出m即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC＝180°，即∠ADB+∠BDC+∠ABC＝180°，∵2∠BDC+∠ADB＝180°，∵∠BAC＝∠BDC，∴∠BAC＝∠ABC，∴AC＝BC．（2）如图2中，作TH⊥AD于H，TR⊥BD于R，TL⊥AB于L．∵∠BFC＝∠BAC+∠ABF，∠BAC＝∠BDC，∴∠BFC＝∠BDC+∠ABF，∵∠BFC＝∠BDC+12∠ABD，∴∠ABF＝12∠ABD，∴BT平分∠ABD，∵AE＝BE∴∠ADE＝∠BDE，∴DT平分∠ADB，∵TH⊥AD于H，TR⊥BD于R，TL⊥AB于L．∴TR＝TL，TR＝TH，∴TL＝TH，∴AT平分∠DAB．（3）如图3中，连接EA，EB，作EG⊥AB，TH⊥AD于H，TR⊥BD于R，TL⊥AB于L，AQ⊥BD于Q．∵AE＝BE∴∠EAB＝∠EDB＝∠EDA，AE＝BE，∵∠TAE＝∠EAB+∠TAB，∠ATE＝∠EDA+∠DAT，∴AE＝TE，∵DT＝TE，∴AE ＝DT，∵∠AGE＝∠DHT＝90°，∴△EAG≌△TDH（AAS），∴AG＝DH，∵AE＝EB，EG⊥AB，∴AG＝BG，∴2DH＝AB，∵Rt△TDR≌Rt△TDH（HL），∴DH＝DR，同理可得AL=AH，BR＝BL，设DH＝x，则AB＝2x，∵AD＝8，DB＝12，∴AL＝AH＝8﹣x，BR＝12﹣x，AB＝2x＝8﹣x+12﹣x，∴x＝5，∴DH＝5，AB＝10，设TR＝TL＝TH＝h，DT＝m，∵S△ADB=12•BD•AQ=12•AD•h+12•AB•h+12•DB•h，∴12AQ＝（8+12+10）h，∴AQ＝52 h，∵sin∠BDE＝sin∠ADE，可得hm＝APAD＝AP8，sin∠AED＝sin∠ABD，可得APm＝AQAB＝AQ10＝5210h，∴APm＝52810mAP，解得m＝42或﹣42（舍弃），∴DE＝2m＝82．【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理和判定定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考压轴题．4．如图1，四边形ABCD中，、为它的对角线，E为AB边上一动点（点E不与点A、B重合），EF∥AC交BC于点F，FG∥BD交DC于点G，GH∥AC交AD于点H，连接HE．记四边形EFGH的周长为，如果在点的运动过程中，的值不变，则我们称四边形ABCD为“四边形”，此时的值称为它的“值”．经过探究，可得矩形是“四边形”．如图2，矩形ABCD中，若AB=4，BC=3，则它的“值”为．（1）等腰梯形（填“是”或“不是”）“四边形”；（2）如图3，是⊙O的直径，A是⊙O上一点，，点为上的一动点，将△沿的中垂线翻折，得到△．当点运动到某一位置时，以、、、、、中的任意四个点为顶点的“四边形”最多，最多有个．【答案】“值”为10；（1）是；（2）最多有5个．【解析】试题分析：仔细分析题中“四边形”的定义结合矩形的性质求解即可；（1）根据题中“四边形”的定义结合等腰梯形的性质即可作出判断；（2）根据题中“四边形”的定义结合中垂线的性质、圆的基本性质即可作出判断.矩形ABCD中，若AB=4，BC=3，则它的“值”为10；（1）等腰梯形是“四边形”；（2）由题意得当点运动到某一位置时，以、、、、、中的任意四个点为顶点的“四边形”最多，最多有5个.考点：动点问题的综合题点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．5．如图①、②、③是两个半径都等于2的⊙O1和⊙O2，由重合状态沿水平方向运动到互相外切过程中的三个位置，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，分别连结O1A、O1B、O2A、O2B和AB．(1)如图②，当∠AO1B=120°时，求两圆重叠部分图形的周长l；(2)设∠AO1B的度数为x，两圆重叠部分图形的周长为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3)在(2)中，当重叠部分图形的周长时，则线段O2A所在的直线与⊙O1有何位置关系？请说明理由.除此之外，它们是否还有其它的位置关系？如果有，请直接写出其它位置关系时的x的取值范围.【答案】（1）83（2）（0≤x≤180）（3）O2A与⊙O1相切；当0≤x≤90和0≤x≤180时，线段O2A所在的直线与⊙O1相交【解析】试题分析：（1）解法一、依对称性得，∠AO2B=∠AO1B=120°,∴解法二、∵O1A=O1B=O2A=O2B∴AO1BO2是菱形∴∠AO2B=∠AO1B=120°∴l=2×ˆA=(2)∵由（1）知，菱形AO1BO2中∠AO2B=∠AO1B=x度,∴重叠图形的周长, 即（0≤x≤180）(3) 当时，线段O2A所在的直线与⊙O1相切！理由如下：∵，由（2）可知：，解之x=90度∴AO1B=90°,因此菱形AO1BO2是正方形，∴O1AO2=90°,即O2A⊥O1A,而O1A是⊙O1的半径，且A为半径之外端；∴O2A与⊙O1相切．还有如下位置关系：当0≤x≤90和0≤x≤180时，线段O2A所在的直线与⊙O1相交考点：直线与圆的位置关系点评：本题主要考查直线与圆的位置关系，掌握判定直线与圆的位置关系是解本题的关键，会求函数的解析式，本题难度比较大6．如图1，△ABC内接于⊙O，直径AD交BC于点E，延长AD至点F，使DF＝2OD，连接FC并延长交过点A的切线于点G，且满足AG∥BC，连接OC，若cos∠BAC＝13，BC＝8．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径OC；（3）如图2，⊙O的弦AH经过半径OC的中点F，连结BH交弦CD于点M，连结FM，试求出FM的长和△AOF的面积．【答案】（1）见解析；（2）32332232【解析】【分析】（1）由DF=2OD，得到OF=3OD=3OC，求得13OE OCOC OF==，推出△COE∽△FOE，根据相似三角形的性质得到∠OCF=∠DEC=90°，于是得到CF是⊙O的切线；（2）利用三角函数值，设OE=x，OC=3x，得到CE=3，根据勾股定理即可得到答案；（3）连接BD，根据圆周角定理得到角相等，然后证明△AOF∽△BDM，由相似三角形的性质，得到FM为中位线，即可求出FM的长度，由相似三角形的性质，以及中线分三角形的面积为两半，即可求出面积.【详解】解：（1）∵DF＝2OD，∴OF＝3OD＝3OC，∴13 OE OCOC OF==，∵∠COE＝∠FOC，∴△COE∽△FOE，∴∠OCF＝∠DEC＝90°，∴CF是⊙O的切线；（2）∵∠COD＝∠BAC，∴cos∠BAC＝cos∠COE＝13 OEOC=，∴设OE＝x，OC＝3x，∵BC＝8，∴CE＝4，∵CE⊥AD，∴OE2+CE2＝OC2，∴x2+42＝9x2，∴x2（负值已舍去），∴OC ＝3x ＝32， ∴⊙O 的半径OC 为32；（3）如图，连结BD ，由圆周角定理，则∠OAF=∠DBM ，2AOF ADC ∠=∠， ∵BC ⊥AD ， ∴AC AB =， ∴∠ADC=∠ADB ，∴2AOF ADC BDM ∠=∠=∠， ∴△AOF ∽△BDM ； ∵点F 是OC 的中点， ∴AO ：OF=BD ：DM=2，又∵BD=DC ， ∴DM=CM ， ∴FM 为中位线， ∴322， ∴S △AOF : S △BDM =(326 2 34=； ∵111118(322)4222222BDM BCD S S BC DE ∆∆==⨯•=⨯⨯⨯= ∴S △AOF =3424=32 【点睛】本题考查了圆的综合问题，圆周角定理，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，利用勾股定理求边长，以及三角形中线的性质，解题的关键是熟练掌握所学的定理和性质，运用属性结合的思想进行解题.7．如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，以D 为圆心，D 长为半径作作⊙D ．⑴求证：AC 是⊙D 的切线.⑵设AC 与⊙D 切于点E ，DB=1，连接DE ，BF ，EF.①当∠BAD= 时，四边形BDEF为菱形；②当AB= 时，△CDE为等腰三角形.【答案】（1）见解析；（2）①30°，②2+1【解析】【分析】(1) 作DE⊥AC于M,由∠ABC=90°，进一步说明DM=DB，即DB是⊙D的半径，即可完成证明；（2）①先说明△BDF是等边三角形，再运用直角三角形的内角和定理解答即可；②先说明DE=CE=BD=1，再设AB=x，则AE=x，分别表示出AC、BC、AB的长，然后再运用勾股定理解答即可.【详解】⑴证明：如图：作DE⊥AC于M，∵∠ABC=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，∴DE=DB.∴DM是⊙D的半径，∴AC是⊙D的切线；⑵①如图：∵四边形BDEF 为菱形；∴△BDF 是等边三角形∴∠ADB=60°∴∠BAD=90°-60°=30°∴当∠BAD=30°时，四边形BDEF 为菱形；②∵△CDE 为等腰三角形.∴DE=CE=BD=1，∴2设AB=x ，则AE=x∴在Rt △ABC 中，AB=x ，AC=1+x ，2 ∴()222(12)1x x +=+ ，解得2+1 ∴当2+1时，△CDE 为等腰三角形.【点睛】本题考查的是切线的判定、菱形的性质和判定、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理的灵活运用；熟练掌握切线的判定方法和灵活应该勾股定理是解答本题的关键.8．如图．在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，6AC =，10AB =，DE 是ABC 的中位线，连结BD ，点F 是边BC 上的一个动点，连结AF 交BD 于H ，交DE 于G ．(1)当点F 是BC 的中点时，求DH BH的值及GH 的长 (2) 当四边形DCFH 与四边形BEGH 的面积相等时，求CF 的长：(3)如图2．以CF 为直径作O ． ①当O 正好经过点H 时，求证：BD 是O 的切线： ②当DH BH 的值满足什么条件时，O 与线段DE 有且只有一个交点．【答案】（1）12DH BH =，13GH =；（2）83CF =；（3）①见解析；②当32DH BH =或2514DH BH >时，O 与线段DE 有且只有一个交点．【解析】【分析】（1）根据题意得H 为ABC 的重心，即可得DH BH的值，由重心和中位线的性质求得16=GH AF ，由勾股定理求得AF 的长，即可得GH 的长；（2）根据图中面积的关系得S 四边形DCFG =DEB S，列出关系式求解即可得CF 的长；（3）根据O 与线段DE 有且只有一个交点，可分两类情况讨论：当O 与DE 相切时，求得DH BH 的值；当O 过点E ，此时是O 与线段DE 有两个交点的临界点，即可得出O 与线段DE 有且只有一个交点时DH BH 满足的条件．【详解】解：（1）∵DE 是ABC 的中位线，∴,D E 分别是,AC AB 的中点，//DE BC ，又∵点F 是BC 的中点，∴BD 与AF 的交点H 是ABC 的重心，:1:2DH BH ∴=，即12DH BH =；:1:2=HF AH ， ∴13=HF AF ，在ACF 中，D 为AC 中点，//DE BC ，则//DG CF ，∴DG 为ACF 的中位线，G 为AF 的中点，12∴=GF AF ，111236∴=-=-=GH GF HF AF AF AF ，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，6AC =，10AB =，22221068BC AB AC ∴=-=-=，则142==CF BC ， 222264213AF AC CF ∴=+=+=，11321363∴=⨯=GH ；（2）∵四边形DCFH 与四边形BEGH 的面积相等，∴S 四边形DCFH +DGH S=S 四边形BEGH +DGH S ，即S 梯形DCFG =DEB S ，∵6AC =，8BC =，DE 是ABC 的中位线，∴3CD =，4DE =，∵1143622=⋅⋅=⨯⨯=DEB S DE CD ，设2CF a =，∵DG 为ACF 的中位线， ∴12==DG CF a ，则S 梯形DCFG ()3(2)622+⋅==+=DG CF CD a a ，解得：43a =， 823∴==CF a ；（3）①证明：如图2，连结、CH OH ，CF 为O 的直径，O 经过点H ，90∴∠=︒FHC ，∴90∠=∠=︒AHC FHC ，AHC 为直角三角形，D 为AC 的中点，12∴==DH AC CD ， ∠∠∴=DCH DHC ．又OC OH =，∴∠=∠OCH OHC ，∴∠+=∠+OCH DCH OHC DHC ，即90∠=∠=︒DHO ACB ，∴BH BD ⊥，即BD 是O 的切线；②如图3-1，当O 与DE 相切时，O 与线段DE 有且只有一个交点，设O 的半径为r ，圆心O 到DE 的距离为d ，∴当r=d 时，O 与DE 相切， ∵//DE CF ，90ACB ∠=︒，3CD =，∴两平行线、DE CF 之间的距离为3CD =，∴3r =，则6CF =，1862,32=-=-===BF BC CF DG CF ，由//DE CF 得：DGH BFH ，32DH DG BH BF ∴==；如图3-2，当O 经过点E 时，连接OE 、OG ，设O 的半径为r ，即==OE OC r ，∵G 为AF 的中点，O 为CF 的中点，∴//OG CD ，∴四边形COGD 为平行四边形，又∵90ACB ∠=︒，∴四边形COGD 为矩形，∴90∠=︒DGO ，则90∠=︒OGE ，OGE 为直角三角形， ∴=3=OG CD ，==DG OC r ，则4=-=-GE DE DG r ，由勾股定理得：222+=OG GE OE ，即2223(4)+-=r r ，解得：258r =，则258==OE OC ，2524==CF r 257258,448∴=-=-===BF BC CF DG OC ，由//DE BC 得：DGH BFH ，252514874∴===DH DG BH BF ，则当2514DH BH >时，O 与线段DE 有且只有一个交点；综上所述，当32DH BH =或2514DH BH >时，O 与线段DE 有且只有一个交点．【点睛】本题属于圆综合题，考查了切线的性质与判定、中位线的性质等知识，解题的关键是灵活添加常用的辅助线，属于中考压轴题．9．如图，平行四边形ABCD 中，AB=5，BC=8，cosB=45，点E 是BC 边上的动点，以C 为圆心，CE 长为半径作圆C ，交AC 于F ，连接AE ，EF ．（1）求AC的长；（2）当AE与圆C相切时，求弦EF的长；（3）圆C与线段AD没有公共点时，确定半径CE的取值范围．【答案】（1）AC=5；（2）4105EF=；（3）03CE≤<或58CE<≤．【解析】【分析】（1）过A作AG⊥BC于点G，由cos45B=，得到BG=4，AG=3，然后由勾股定理即可求出AC的长度；（2）当点E与点G重合时，AE与圆C相切，过点F作FH⊥CE，则CE=CF=4，则CH=3.2，FH=2.4，得到EH=0.8，由勾股定理，即可得到EF的长度；（3）根据题意，可分情况进行讨论：①当圆C与AD相离时；②当CE>CA时；分别求出CE的取值范围，即可得到答案．【详解】解：（1）过A作AG⊥BC于点G，如图：在Rt△ABG中，AB=5，4 cos5BGBAB==，∴BG=4，∴AG=3，∴844CG=-=，∴点G是BC的中点，在Rt△ACG中，22345AC+=；（2）当点E与点G重合时，AE与圆C相切，过点F作FH⊥CE，如图：∴CE=CF=4，∵AB=AC=5，∴∠B=∠ACB ，∴4cos cos 5CH B ACB CF =∠==， ∴CH=3.2，在Rt △CFH 中，由勾股定理，得FH=2.4，∴EH=0.8，在Rt △EFH 中，由勾股定理，得 224100.8 2.4EF =+=；（3）根据题意，圆C 与线段AD 没有公共点时，可分为以下两种情况：①当圆C 与AD 相离时，则CE<AE ，∴半径CE 的取值范围是：03CE ≤<；②当CE>CA 时，点E 在线段BC 上，∴半径CE 的取值范围是：58CE <≤；综合上述，半径CE 的取值范围是：03CE ≤<或58CE <≤．【点睛】本题考查了解直角三角形，直线与圆的位置关系，平行四边形的性质，勾股定理，以及线段的动点问题，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确作出辅助线，正确确定动点的位置，从而进行解题．10．如图，二次函数y ＝﹣56x 2+bx +c 与x 轴的一个交点A 的坐标为（﹣3，0），以点A 为圆心作圆A ，与该二次函数的图象相交于点B ，C ，点B ，C 的横坐标分别为﹣2，﹣5，连接AB ，AC ，并且满足AB ⊥AC ．（1）求该二次函数的关系式；（2）经过点B 作直线BD ⊥AB ，与x 轴交于点D ，与二次函数的图象交于点E ，连接AE ，请判断△ADE 的形状，并说明理由；（3）若直线y ＝kx +1与圆A 相切，请直接写出k 的值．【答案】（1）y ＝﹣56x 2﹣376x ﹣11；（2）△ADE 是等腰三角形，理由见解析；（3）k 的值为﹣12或2 【解析】【分析】（1）利用三垂线判断出()ACN BAM AAS ∆≅∆，进而得出(2,2)B --，(5,1)C --，最后将点B ，C 坐标代入抛物线解析式中即可得出结论；（2）先判断出ABM BDM ∆∆∽，得出点D 坐标，进而求出直线BD 的解析式，求出点E 坐标，即可得出结论；（3）分两种情况，Ⅰ、切点在x 轴上方，利用三垂线判断出()AQG FPG AAS ∆≅∆，得出AQ PF =，GQ PG =，设成点G 坐标，进而得出3AQ m =+，PF km =，PG m =-，1GQ km =+，即可得出结论；Ⅱ、切点在x 轴下方，同Ⅰ的方法即可得出结论．【详解】解：（1）如图1，过点B 作BM x ⊥轴于M ，过点C 作CN x ⊥轴于N ，90ANC BMA ∴∠=∠=︒， 90ABM BAM ∴∠+∠=︒， AC AB ⊥，90CAN BAM ∴∠+∠=︒， ABM CAN ∴∠=∠，A 过点B ，C ，AC AB ∴=，()ACN BAM AAS ∴∆≅∆， 2(3)1CN AM ∴==---=，3(5)2BM AN ==---=， (2,2)B ∴--，(5,1)C --，点B ，C 在抛物线上， ∴54226525516b c b c ⎧-⨯-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯-+=-⎪⎩， ∴37611b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩， ∴抛物线的解析式为25371166y x x =---，（2）ADE ∆是等腰三角形，理由如下：如图1，BD AB ⊥，90ABD ∴∠=︒，90ABM DBM ∴∠+∠=︒，过点B 作BM x ⊥轴于M ，90BMD AMB ∴∠=∠=︒，90BDM DBM ∴∠+∠=︒，ABM BDM ∴∠=∠，ABM BDM ∴∆∆∽， ∴AM BM BM DM=， ∴122DM=， 4DM ∴=，2()2D ∴,， 5AD ∴=，(2,2)B --，∴直线BD 的解析式为112y x =-，联立，21125371166y x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=---⎪⎩， ∴22x y =-⎧⎨=-⎩（舍)或61x y =-⎧⎨=-⎩， (6,4)E ∴--，22(63)(40)5AE ∴=-++--=，AD AE ∴=，ADE ∴∆是等腰三角形；（3）如图2，点(2,2)B --在A 上，AB ∴ 记直线1y kx =+与y 轴相交于F ，令0x =，则1y =，(0,1)F ∴，1OF ∴=，Ⅰ、当直线1y kx =+与A 的切点在x 轴上方时，记切点为G ，则AG AB ==90AGF ∠=︒，连接AF ，在Rt AOF ∆中，3OA =，1OF =，AF ∴=，在Rt AGF ∆中，根据勾股定理得，FG AG ===，如图2，过点G 作GP y ⊥轴于P ，过点G 作GQ x ⊥轴于Q ，90AQG FPG POQ ∴∠=∠=︒=∠，∴四边形POQG 是矩形，90PGQ ∴∠=︒， FG 是A 的切线，AGQ FGP ∴∠=∠，()AQG FPG AAS ∴∆≅∆，AQ PF ∴=，GQ PG =，设点(,1)G m km +，3AQ m ∴=+，PF km =，PG m =-，1GQ km =+，3m km ∴+=①，1km m +=-②，联立①②解得，212m k =-⎧⎪⎨=-⎪⎩， Ⅱ、当切点在x 轴下方时，同Ⅰ的方法得，2k =，即：直线1y kx =+与圆A 相切，k 的值为12-或2．【点睛】此题是二次函数综合题，主考查了待定系数法，三垂线判定两三角形全等，解方程组，判断出FG AG =是解本题的关键．。

九年级数学上册《圆》练习题及答案解析

九年级数学上册《圆》练习题及答案解析学校:___________姓名：___________班级：___________一、单选题1．下列说法正确的是（）A．直径是弦，弦是直径B．过圆心的线段是直径C．圆中最长的弦是直径D．直径只有二条2．下列语句不正确的有（）个．①直径是弦；①优弧一定大于劣弧；①长度相等的弧是等弧；①半圆是弧．A．1B．2C．3D．43．如图，在①O中，点B,O,C和点A,O,D分别在同一条直线上，则图中有（）条弦.A．2B．3C．4D．54．下列说法正确的是（）A．劣弧一定比优弧短B．面积相等的圆是等圆C．长度相等的弧是等弧D．如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧也相等5．下列由实线组成的图形中，为半圆的是（）A．B．C．D．6．下列说法正确的是（）A．平分弦的直径垂直于弦B ．半圆（或直径）所对的圆周角是直角C ．相等的圆心角所对的弧相等D ．若一条直线与一个圆有公共点，则二者相交二、填空题7．如图，已知在Rt△ABC 中，①ACB ＝90°，分别以AC ，BC ，AB 为直径作半圆，面积分别记为S 1，S 2，S 3，若S 3＝9π，则S 1+S 2等于_____．8．如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，以点C 为圆心，BC 为半径的圆交AB 于D ，交AC 于点E ，40BCD ∠=︒，则A ∠=______．9．如图，圆中扇子对应的圆心角α（180α）与剩余圆心角β的比值为黄金比时，扇子会显得更加美观，若黄金比取0.6，则βα-的度数是__________．10．数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形较短直角边长为6，大正方形的边长为10，则小正方形的边长为________．11．如图，在O 中，AB 为直径，8AB =，BD 为弦，过点A 的切线与BD 的延长线交于点C ，E 为线段BD 上一点（不与点B 重合），且OE DE =．（1）若35B ∠=︒，则AD 的长为______（结果保留π）；（2）若6AC =，则DE BE=______．三、解答题12．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，以AC 为直径作O ，交AB 于点D ，E 为BC 的中点，连接DE 并延长交AC 的延长线于点E ．(1)求证：DF 是O 的切线；(2)若2CF =，4DF =，求O 的半径．13．如图，点A ，B 分别在①DPE 两边上，且PA PB =，点C 在①DPE 平分线上．(1)连接AC ，BC ，求证：AC BC =；(2)连接AB 交PC 于点O ，若60APB ∠=︒，6PA =，求PO 的长；(3)若PO OC ，且点O 是PAB △的外心，请直接写出四边形P ACB 的形状．参考答案与解析：1．C【详解】解：A 、直径是弦，但弦不一定是直径，不符合题意；B 、过圆心的弦是直径，但线段不一定是直径，不符合题意；C 、圆中最长的弦是直径，符合题意；D 、直径有无数条，不符合题意，故选C ．2．B【分析】根据圆的概念、等弧的概念、垂径定理、弧、弦直径的关系定理判断即可．【详解】解：①直径是弦，①正确；①在同圆或等圆中，优弧大于劣弧，①错误；①在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，①错误；①半圆是弧，①正确；故不正确的有2个．故选：B ．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．3．B【详解】根据弦的概念，AB 、BC 、EC 为圆的弦，共有3条弦.故选B.4．B【分析】根据圆的相关概念、圆周角定理及其推论进行逐一分析判断即可．【详解】解：A.在同圆或等圆中，劣弧一定比优弧短，故本选项说法错误，不符合题意；B.面积相等的圆是等圆，故本选项说法正确，符合题意；C.能完全重合的弧才是等弧，故本选项说法错误，不符合题意；D.必须在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项说法错误，不符合题意．故选：B ．【点睛】本题主要考查了圆周角定理及其推论、等弧、等圆、以及优弧和劣弧等知识，解题关键是理解各定义的前提条件是在同圆或等圆中．5．B【分析】根据半圆的定义即可判断．【详解】半圆是直径所对的弧，但是不含直径，故选B ．【点睛】此题主要考查圆的基本性质，解题的根据熟知半圆的定义．6．B【分析】利用圆与圆的位置关系、垂径定理、圆周角定理等有关圆的知识进行判断即可【详解】A 、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项错误；B 、半圆或直径所对的圆周角是直角，故本选项正确；C 、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项错误；D 、若一条直线与一个圆有公共点，则二者相交或相切，故本选项错误，故选B ．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理.能清楚的知道每个定理的条件和它对应的结论是解题的关键.7．9π．【分析】根据勾股定理和圆的面积公式，可以得到S 1+S 2的值，从而可以解答本题．【详解】解：①①ACB ＝90°，①AC 2+BC 2＝AB 2，①S 1＝π（2AC ）2×12，S 2＝π（2BC ）2×12，S 3＝π（2AB ）2×12， ①S 1+S 2＝π（2AC ）2×12+π（2BC ）2×12＝π（2AB ）2×12＝S 3， ①S 3＝9π，①S 1+S 2＝9π，故答案为：9π．【点睛】本题考查勾股定理，解答本题的关键是利用数形结合的思想解答．8．20°．【分析】由半径相等得CB=CD，则①B=①CDB，在根据三角形内角和计算出①B=12（180°-①BCD）=70°，然后利用互余计算①A的度数．【详解】解：①CB=CD，①①B=①CDB，①①B+①CDB+①BCD=180°，①①B=12（180°-①BCD）=12（180°-40°）=70°，①①ACB=90°，①①A=90°-①B=20°．故答案为20°．【点睛】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了三角形内角和定理．9．90°##90度【分析】根据题意得出α=0.6β，结合图形得出β=225°，然后求解即可．【详解】解：由题意可得：α：β=0.6，即α=0.6β，①α+β=360°，①0.6β+β=360°，解得：β=225°，①α=360°-225°=135°，①β-α=90°，故答案为：90°．【点睛】题目主要考查圆心角的计算及一元一次方程的应用，理解题意，得出两个角度的关系是解题关键．10．2【分析】在Rt①ABC中，根据勾股定理求出AC，即可求出CD．【详解】解：如图，①若直角三角形较短直角边长为6，大正方形的边长为10，①AB ＝10，BC ＝AD ＝6，在Rt ①ABC 中，AC 8，①CD ＝AC ﹣AD ＝8﹣6＝2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．11． 149π 2539 【分析】（1）根据圆周角定理求出①AOD =70°，再利用弧长公式求解；（2）解直角三角形求出BC ，AD ，BD ，再利用相似三角形的性质求出DE ，BE ，可得结论．【详解】解：（1）①270AOD ABD ∠=∠=︒，①AD 的长704141809ππ⋅⋅==；故答案为：149π；（2）连接AD ，①AC 是切线，AB 是直径，①AB AC ⊥，①10BC ，①AB 是直径，①90ADB ∠=︒，①AD CB ⊥，①1122AB AC BC AD ⋅⋅=⋅⋅，①245 AD=，①325 BD==，①OB OD=，EO ED=，①EDO EOD OBD ∠=∠=∠，①DOE DBO△∽△，①DO DE DB DO=，①43245DE=，①52 DE=，①325395210 BE BD DE=-=-=，①5252393910DEBE==．故答案为：25 39．【点睛】本题主要考查圆的相关知识，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，熟练掌握各性质及判定定理，正确寻找相似三角形解决问题是解题的关键．12．(1)见解析(2)3【分析】（1）连接OD、CD，由AC为①O的直径知①BCD是直角三角形，结合E为BC的中点知①CDE=①DCE，由①ODC=①OCD且①OCD+①DCE=90°可得答案；（2）设①O的半径为r，由OD2+DF2=OF2，即r2+42=（r+2）2可得r=3，即可得出答案．（1）解：如图，连接OD、CD．①AC为①O的直径，①①ADC=90°，①①CDB=90°，即①BCD是直角三角形，①E为BC的中点，①BE=CE=DE，①①CDE=①DCE，①OD=OC，①①ODC=①OCD，①①ACB=90°，①①OCD+①DCE=90°，①①ODC+①CDE=90°，即OD①DE，①DE是①O的切线；（2）解：设①O的半径为r，①①ODF=90°，①OD2+DF2=OF2，即r2+42=（r+2）2，解得：r=3，①①O的半径为3．【点睛】本题主要考查了圆切线的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线，勾股定理等等，熟知圆切线的性质与判定是解题的关键．13．(1)证明见解析(2)(3)正方形，理由见解析【分析】（1）证明①P AC①①PBC即可得到结论；（2）根据已知条件得到①APC=①BPC=30°，OP①AB于O，求得AO=3，再利用勾股定理即可得到结论；P A B C在以O为圆心，OP为半径的圆上，再证明①APB=①PBC=①BCA=①CAP=90°，可得（3）先证明,,,OBP BPC POB根据正方形的判定定理即可得到结论．四边形APBC为矩形，再证明45,90,（1）证明：①点C在①DPE平分线上，① APC BPC ∠=∠ ，又①P A =PB ，PC =PC ，①①P AC ①①PBC （SAS ）；.AC BC（2）解：①,,60,PA PB APOBPO APB ①①APC =①BPC =30°，OP ①AB 于O ；①P A =6，①AO =3， 22633 3.OP（3）解：如图，①点O 是①P AB 的外心，①OA =OB =OP ，而OP =OC ， ,,,P A B C 在以O 为圆心，OP 为半径的圆上，,AB PC 为圆的直径，①①APB =①PBC =①BCA =①CAP =90°，①四边形APBC 为矩形，PC 平分,APB ∠45,APC BPC,OP OB 45,90,OBP BPC POB①四边形APBC 为正方形．【点睛】本题考查了圆的综合题，全等三角形的判定和性质，正方形的判定，圆的确定，圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键．。

部编数学九年级上册专题24.1圆【七大题型】(人教版)(解析版)含答案

专题24.1 圆【七大题型】【人教版】【题型1 圆的概念】 (1)【题型2 圆的有关概念】 (4)【题型3 确定圆的条件】 (6)【题型4 点与圆的位置关系】 (9)【题型5 圆中角度的计算】 (12)【题型6 圆中线段长度的计算】 (15)【题型7 圆相关概念的应用】 (18)定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．【题型1 圆的概念】【例1】（2022•金沙县一模）下列说法中，不正确的是（）A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形B．圆有无数条对称轴C．圆的每一条直径都是它的对称轴D．圆的对称中心是它的圆心【分析】利用圆的对称性质逐一求解可得．【解答】解：A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形，正确；B．圆有无数条对称轴，正确；C．圆的每一条直径所在直线都是它的对称轴，此选项错误；D．圆的对称中心是它的圆心，正确；故选：C．【变式1-1】（2022•武昌区校级期末）由所有到已知点O 的距离大于或等于2，并且小于或等于3的点组成的图形的面积为（）A ．4πB ．9πC ．5πD ．13π【分析】根据题意、利用圆的面积公式计算即可．【解答】解：由所有到已知点O 的距离大于或等于2，并且小于或等于3的点组成的图形的面积为以3为半径的圆与以2为半径的圆组成的圆环的面积，即π×32﹣π×22＝5π，故选：C ．【变式1-2】（2022•杭州模拟）现有两个圆，⊙O 1的半径等于篮球的半径，⊙O 2的半径等于一个乒乓球的半径，现将两个圆的周长都增加1米，则面积增加较多的圆是（）A ．⊙O 1B ．⊙O 2C ．两圆增加的面积是相同的D ．无法确定【分析】先由L ＝2πR 计算出两个圆半径的伸长量，然后再计算两个圆增加的面积，然后进行比较大小即可．【解答】解：设⊙O 1的半径等于R ，变大后的半径等于R ′；⊙O 2的半径等于r ，变大后的半径等于r ′，其中R ＞r ．由题意得，2πR+1＝2πR ′，2πr +1＝2πr ′，解得R ′＝R +12π，r ′＝r +12π；所以R ′﹣R =12π，r ′﹣r =12π，所以，两圆的半径伸长是相同的，且两圆的半径都伸长12π．∴⊙O 1的面积＝πR 2，变大后的面积=π(R +12π)2，面积增加了π(R +12π)2−πR 2＝R +14π，⊙O 2的面积＝πr 2，变大后的面积=π(r +12π)2，面积增加了π(r +12π)2−πr 2=r +14π，∵R ＞r ，∴R +14π＞r +14π，∴⊙O 1的面积增加的多．故选：A ．【变式1-3】（2022•浙江）如图，AB 是⊙O 的直径，把AB 分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设AB ＝a ，那么⊙O 的周长l ＝πa ．计算：（1）把AB 分成两条相等的线段，每个小圆的周长l 2=12πa =12l ；（2）把AB 分成三条相等的线段，每个小圆的周长l 3＝　13l ；（3）把AB 分成四条相等的线段，每个小圆的周长l 4＝　14l ；（4）把AB 分成n 条相等的线段，每个小圆的周长l n ＝　1n l ．结论：把大圆的直径分成n 条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，那么每个小圆周长是大圆周长的　1n ．请仿照上面的探索方法和步骤，计算推导出每个小圆面积与大圆面积的关系．【分析】把大圆的直径分成n 条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，那么每个小圆周长是l n ＝π（1n a ）=1n l ，即每个小圆周长是大圆周长的1n ；根据圆的面积公式求得每个小圆的面积和大圆的面积后比较．【解答】解：（2）13l ；（3）14l ；（4）1n l ；1n ；每个小圆面积＝π（12•1n a ）2=14•πa 2n 2，而大圆的面积＝π（12•a ）2=14πa 2即每个小圆的面积是大圆的面积的1．n2【题型2 圆的有关概念】【例2】（2022•远安县期末）下列说法：①弦是直线；②圆的直径被该圆的圆心平分；③过圆内一点P的直径仅有一条；④弧是圆的一部分．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据弦，直径，弧的定义一一判断即可．【解答】解：①弦是直线，错误，弦是线段．②圆的直径被该圆的圆心平分，正确．③过圆内一点P的直径仅有一条，错误，点P是圆心时，直径有无数条．④弧是圆的一部分，正确．故选：B．【变式2-1】（2022图木舒克月考）有一个圆的半径为5，则该圆的弦长不可能是（）A．1B．4C．10D．11【分析】根据直径是圆中最长的弦，判断即可．【解答】解：∵一个圆的半径为5，∴圆中最长的弦是10，∴弦长不可能为11，故选：D．【变式2-2】（2022•嘉鱼县期末）如右图中有　1　条直径，有　4　条弦，以点A为端点的优弧有　2　条，有劣弧　2　条．【分析】根据直径、弦、优弧及劣弧的概念解答即可得．【解答】解：图中直径只有AB这1条，弦有AC、AB、CD、BC这4条，以点A为端点的优弧有ACD、ADC 这2条，劣弧有AC、AD这2条，故答案为：1、4、2、2．【变式2-3】（2022仪征市期末）如图，⊙O的半径为6，△OAB的面积为18，点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，P点有　4　个．【分析】解法一：过点P最长的弦是12，根据已知条件，△OAB的面积为18，可以求出AB＜12，根据三角形面积可得OC＝OP的长有两个整数：5，6，且OP＝6是P在A或B点时，每一个值都有两个点P，所以一共有4个．解法二：根据面积可知，OA上的高为6，也就是说OA与OB互相垂直，然后算出OC长度即可．【解答】解：解法一：过O作OC⊥AB于C，则AC＝BC，设OC＝x，AC＝y，∵AB是⊙O的一条弦，⊙O的半径为6，∴AB≤12，∵△OAB的面积为18，+y2=362y⋅x=18，则y=18x，∴x2+(18x)2=36，解得x＝∴OC＝4，∴4＜OP≤6，∵点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，OP＝5或6，P点有4个．解法二：设△AOB中OA边上的高为h，则12×OAℎ=18，即12×6ℎ=18，∴h＝6，∵OB＝6，∴OA⊥OB，即∠AOB＝90°，∴AB＝OC＝同理得：点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，OP＝5或6，P点有4个．故答案为：4．【题型3 确定圆的条件】【例3】（2022•绥中县一模）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（）A．①B．②C．③D．均不可能【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．【解答】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．故选：A．【变式3-1】（2022春•射阳县校级期末）平面直角坐标系内的三个点A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）　能　确定一个圆（填“能”或“不能”）．【分析】根据三个点的坐标特征得到它们不共线，于是根据确定圆的条件可判断它们能确定一个圆．【解答】解：∵B（0，﹣3）、C（2，﹣3），∴BC∥x轴，而点A（1，0）在x轴上，∴点A、B、C不共线，∴三个点A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）能确定一个圆．故答案为：能．【变式3-2】（2022•西城区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为　（2，1）　．【分析】根据图形得出A、B、C的坐标，再连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两线交于Q，则Q是圆弧的圆心，最后求出点Q的坐标即可．【解答】解：从图形可知：A点的坐标是（0，2），B点的坐标是（1，3），C点的坐标是（3，3），连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两线交于Q，则Q是圆弧的圆心，如图，∴Q点的坐标是（2，1），故答案为：（2，1）．【变式3-3】（2022•任城区校级月考）将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．（1）画出该轮的圆心；（2）若△ABC是等腰三角形，底边BC＝16cm，腰AB＝10cm，求圆片的半径R．【分析】（1）根据垂径定理，分别作弦AB和AC的垂直平分线交点即为所求；（2）连接AO，OB，利用垂径定理和勾股定理可求出圆片的半径R．【解答】解：（1）如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线交点O即为所求的圆心；（2）连接AO，OB，BC，BC交OA于D．∵BC＝16cm，∴BD＝8cm，∵AB＝10cm，∴AD＝6cm，设圆片的半径为R，在Rt△BOD中，OD＝（R﹣6）cm，∴R2＝82+（R﹣6）2，cm，解得：R=253cm．∴圆片的半径R为253【题型4 点与圆的位置关系】【例4】（2022秋•宜州区期末）如已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝2cm，BC＝4cm，CM是中线，以C长为半径画圆，则点A、B、M与⊙C的关系如何？【分析】点与圆的位置关系由三种情况：设点到圆心的距离为d，则当d＝R时，点在圆上；当d＞R时，点在圆外；当d＜R时，点在圆内．【解答】解：根据勾股定理，有AB=cm）；∵CA＝2cm，∴点A在⊙O内，∵BC＝4cm，∴点B在⊙C外；由中线定理得：CM=∴M点在⊙C上．【变式4-1】（2022春•龙湖区校级月考）⊙O的面积为25πcm2，⊙O所在的平面内有一点P，当PO　＝5cm　时，点P在⊙O上；当PO　＜5cm　时，点P在⊙O内；当PO　＞5cm　时，点P在⊙O外．【分析】根据圆的面积求出圆的半径，然后确定圆上点，圆内点以及圆外的到圆心的距离．【解答】解：因为圆的面积为25πcm2，所以圆的半径为5cm．当点P到圆心的距离等于5cm时，点P在⊙O上，此时OP＝5cm．当点P到圆心的距离小于5cm时，点P在⊙O内，此时OP＜5cm．当点P到圆心的距离大于5cm时，点P在⊙O外，此时OP＞5cm．故答案分别是：PO＝5cm，PO＜5cm，PO＞5cm．【变式4-2】（2022•广东模拟）如图，已知⊙A的半径为1，圆心的坐标为（4，3）．点P（m，n）是⊙A 上的一个动点，则m2+n2的最大值为　36　．【分析】由于圆心A的坐标为（4，3），点P的坐标为（m，n），利用勾股定理可计算出OA＝5，OP=这样把m2+n2理解为点P与原点的距离的平方，利用图形可得到当点P运动到射线OA上时，点P离圆点最远，即m2+n2有最大值，然后求出此时的PO长即可．【解答】解：作射线OA交⊙O于P′点，如图，∵圆心A的坐标为（4，3），点P的坐标为（m，n），∴OA5，OP=∴m2+n2是点P点圆点的距离的平方，∴当点P运动到P′处，点P离圆点最远，即m2+n2有最大值，此时OP＝OA+AP′＝5+1＝6，则m2+n2＝36．故答案为：36．【变式4-3】（2022秋•金牛区期末）如图．A（3，0）．动点B到点M（3，4）的距离为1，连接BO，BO 的中点为C，则线段AC的最小值为　2　．【分析】先确定AC最小值时点B的位置：过B作BD∥AC交x轴于D，由图可知：当BD经过M时，线段BD的长最小，此时AC有最小值，根据勾股定理和三角形中位线定理可得AC的长．【解答】解：过B作BD∥AC交x轴于D，∵C是OB的中点，∴OA＝AD，BD，∴AC=12∴当BD取最小值时，AC最小，由图可知：当BD经过M时，线段BD的长最小，此时AC有最小值，∵A（3，0），∴D（6，0），∵M（3，4），∴DM==5，∴BD＝5﹣1＝4，BD＝2，即线段AC的最小值为2；∴AC=12故答案为：2．【题型5 圆中角度的计算】【例5】（2022•江宁区校级期中）如图，BD＝OD，∠AOC＝114°，求∠AOD的度数．【分析】设∠B＝x，根据等腰三角形的性质，由BD＝OD得∠DOB＝∠B＝x，再根据三角形外角性质得∠ADO＝2x，则∠A＝∠ADO＝2x，然后根据三角形外角性质得2x+x＝114°，解得x＝38°，最后利用三角形内角和定理计算∠AOD的度数．【解答】解：设∠B＝x，∵BD＝OD，∴∠DOB＝∠B＝x，∴∠ADO＝∠DOB+∠B＝2x，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO＝2x，∵∠AOC＝∠A+∠B，∴2x+x＝114°，解得x＝38°，∴∠AOD＝180°﹣∠OAD﹣∠ADO＝180°﹣4x＝180°﹣4×38°＝28°．【变式5-1】（2022•汉阳区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E．已知AB＝2DE，∠AEC＝25°，求∠AOC的度数．【分析】求∠AOC的度数，可以转化为求∠C与∠E的问题．【解答】解：连接OD，∵AB＝2DE＝2OD，∴OD＝DE，又∵∠E＝25°，∴∠DOE＝∠E＝25°，∴∠ODC＝50°，同理∠C＝∠ODC＝50°∴∠AOC＝∠E+∠OCE＝75°．【变式5-2】（2022•金牛区期末）如图，AB为⊙O的直径，AD∥OC，∠AOD＝84°，则∠BOC＝　48°　．【分析】根据半径相等和等腰三角形的性质得到∠D＝∠A，利用三角形内角和定理可计算出∠A，然后根据平行线的性质即可得到∠BOC的度数．【解答】解：∵OD＝OC，∴∠D＝∠A，∵∠AOD＝84°，（180°﹣84°）＝48°，∴∠A=12又∵AD∥OC，∴∠BOC＝∠A＝48°．故答案为：48°．【变式5-3】（2022•大丰市月考）如图，直线l经过⊙O的圆心O，且与⊙O交于A、B两点，点C在⊙O 上，且∠AOC＝30°，点P是直线l上的一个动点（与圆心O不重合），直线CP与⊙O相交于点Q．是否存在点P，使得QP＝QO；若存在，求出相应的∠OCP的大小；若不存在，请简要说明理由．【分析】点P是直线l上的一个动点，因而点P与线段AO有三种位置关系，在线段AO上，点P在OB 上，点P在OA的延长线上．分这三种情况进行讨论即可．【解答】解：①根据题意，画出图（1），在△QOC中，OC＝OQ，∴∠OQC＝∠OCP，在△OPQ中，QP＝QO，∴∠QOP＝∠QPO，又∵∠AOC＝30°，∴∠QPO＝∠OCP+∠AOC＝∠OCP+30°，在△OPQ中，∠QOP+∠QPO+∠OQC＝180°，即（∠OCP+30°）+（∠OCP+30°）+∠OCP＝180°，整理得，3∠OCP＝120°，∴∠OCP＝40°．②当P在线段OA的延长线上（如图2）∵OC＝OQ，∴∠OQP＝（180°﹣∠QOC）×1①，2∵OQ＝PQ，∴∠OPQ＝（180°﹣∠OQP）×1②，2在△OQP中，30°+∠QOC+∠OQP+∠OPQ＝180°③，把①②代入③得∠QOC＝20°，则∠OQP＝80°∴∠OCP＝100°；③当P在线段OA的反向延长线上（如图3），∵OC＝OQ，∴∠OCP＝∠OQC＝（180°﹣∠COQ）×1①，2∵OQ＝PQ，∴∠P＝（180°﹣∠OQP）×1②，2∵∠AOC＝30°，∴∠COQ+∠POQ＝150°③，∵∠P＝∠POQ，2∠P＝∠OCP＝∠OQC④，①②③④联立得∠P＝10°，∴∠OCP＝180°﹣150°﹣10°＝20°．故答案为：40°、20°、100°．【题型6 圆中线段长度的计算】【例6】（2022•潮安区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10．若以点C为圆心，CA长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则⊙C的半径为（）A ．B ．8C ．6D ．5【分析】连结CD ，根据直角三角形斜边中线定理求解即可．【解答】解：如图，连结CD ，∵CD 是直角三角形斜边上的中线，∴CD =12AB =12×10＝5．故选：D ．【变式6-1】（2022•海港区校级自主招生）如图，圆O 的周长为4π，B 是弦CD 上任意一点（与C ，D 不重合），过B 作OC 的平行线交OD 于点E ，则EO +EB ＝　2　．（用数字表示）【分析】根据圆的周长公式得到OD ＝2，根据等腰三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】解：∵⊙O 的周长为4π，∴OD ＝2，∵OC ＝OD ，∴∠C ＝∠D ，∵BE ∥OC ，∴∠EBD ＝∠C ，∴∠EBD ＝∠D ，∴BE ＝DE ，∴EO +EB ＝OD ＝2，故答案为：2．【变式6-2】（2022•龙湖区校级开学）如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，CD ⊥AB 于D ，AD ＜BD ，若CD ＝2cm ，AB ＝5cm ，求AD 、AC 的长．【分析】由直径AB ＝5cm ，可得半径OC ＝OA =12AB =52cm ，分别利用勾股定理计算AD 、AC 的长．【解答】解：连接OC ，∵AB ＝5cm ，∴OC ＝OA =12AB =52cm ，Rt △CDO 中，由勾股定理得：DO =32cm ，∴AD =52−32=1cm ，由勾股定理得：AC ==则AD 的长为1cm ，AC ．【变式6-3】（2022秋•邗江区期中）如图，半圆O 的直径AB ＝8，半径OC ⊥AB ，D 为弧AC 上一点，DE ⊥OC ，DF ⊥OA ，垂足分别为E 、F ，求EF 的长．【分析】连接OD ，利用三个角是直角的四边形是矩形判定四边形DEOF 是矩形，利用矩形的对角线相等即可得到所求结论．【解答】解：连接OD ．∵OC ⊥AB DE ⊥OC ，DF ⊥OA ，∴∠AOC ＝∠DEO ＝∠DFO ＝90°，∴四边形DEOF是矩形，∴EF＝OD．∵OD＝OA∴EF＝OA＝4．【题型7 圆相关概念的应用】【例7】（2022秋•南岗区校级期中）某中学原计划修一个半径为10米的圆形花坛，为使花坛修得更加美观，决定向全校征集方案，在众多方案中最后选出两种方案：方案A如图1所示，先画一条直径，再分别以两条半径为直径修两个圆形花坛；方案B如图2所示，先画一条直径，然后在直径上取一点，把直径分成2：3的两部分，再以这两条线段为直径修两个圆形花坛；（花坛指的是图中实线部分）（1）如果按照方案A修，修的花坛的周长是．（保留π）（2）如果按照方案B修，与方案A比，省材料吗？为什么？（保留π）（3）如果按照方案B修，学校要求在5天内完成，甲工人承包了此项工程，甲每天能完成工程的1，他15做了1天后，发现不能完成任务，就请乙来帮忙，乙的速度是甲的2倍，乙加入后，甲的速度也提高了1，结果正好按时完成任务，若修1米花坛可得到10元钱，修完花坛后，甲，乙各得到多少钱？（π取23）【分析】（l）根据圆的周长公式：c＝xd，把数据代入公式求此直径是10米的两个圆的周长即可．（2）首先根据圆的周长公式：c＝元d，求出直径是4米、和6米的圆的周长和，然后与图1进行比较．（3）求出乙的钱数，再用总钱数﹣乙是钱数，可得结论．【解答】解：（1）10÷2＝5（米），2π×5×2＝20π（米）．故答案为：20π米．=8（米），8÷2＝4（米），（2）10×2＝20（米），20×223=12（米），12÷2＝6（米），20×323方案B花坛周长：2π（4+6）＝20π（米），20π＝20π，方案B与A周长一样，用的材料一样．×2×（5﹣1）×20π×10＝320（元）．（3）乙的钱数=115甲的钱数＝20π×10﹣320＝280（元），答：修完花坛后，甲，乙分别得到320元和280元．【变式7-1】（2022•南岗区期末）一个压路机的前轮直径是1.7米，如果前轮每分钟转动6周，那么这台压路机10分钟前进（）米．A．51πB．102πC．153πD．204π【分析】首先根据圆的周长公式C＝πd，求出前轮的底面圆周长，然后用前轮的底面周长乘每分钟转的周数（6周），求出1分钟前进多少米，再乘工作时间10分钟即可．【解答】解：前轮的底面圆周长：π×1.7＝1.7π（米），1.7π×6×10＝102π（米）故选：B．【变式7-2】（2022•罗田县校级模拟）一个塑料文具胶带如图所示，带宽为1cm，内径为4cm，外径为7cm，已知30层胶带厚1.5mm，则这卷胶带长　51.81　m．（π≈3.14，结果保留4位有效数字）【分析】首先求出胶带的体积，用胶带的体积除以一米长的胶带的体积即可求得．【解答】解：4÷2＝2（cm），7÷2＝3.5（cm），胶带的体积是：π（3.52﹣22）•1＝8.25πcm3＝8.25π×10﹣6（m3），一米长的胶带的体积是：0.01×1×5×10﹣5＝5×10﹣7（m3），因而胶带长是：（8.25π×10﹣6）÷（5×10﹣7）≈51.81（m）．故答案为：51.81．【变式7-3】（2022•张店区期末）如图，大圆和圆的半径都分别是4cm和2cm，两圆外切于点C，一只蚂蚁由点A开始ABCDEFCGA的顺序沿着两圆圆周不断地爬行，其中各点分别是两圆周的四等分点，蚂蚁直到行走2010πcm后才停下来．则这只蚂蚁停在点　E　．【分析】首先求得蚂蚁由点A开始ABCDEFCGA的顺序走一周的路线长，然后确定走2010πcm是走了多少周，即可确定．【解答】解：A开始ABCDEFCGA的顺序转一周的路径长是：8π+4π＝12πcm，蚂蚁直到行走2010πcm所转的周数是：2010π÷12π＝167…6π．即转167周以后又走了6πcm．从A到B得路长是：2π，再到C的路线长也是2π，从C到D，到E的路线长是2π，则从A行走6πcm 到E点．故答案是：E．。

数学九年级上册圆几何综合专题练习(解析版)

数学九年级上册圆几何综合专题练习（解析版）一、初三数学圆易错题压轴题（难）1．如图，二次函数y=x 2-2mx+8m 的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边且OA≠OB ),交y 轴于点C ，且经过点（m ，9m ）,⊙E 过A 、B 、C 三点。

（1）求这条抛物线的解析式；（2）求点E 的坐标；（3）过抛物线上一点P （点P 不与B 、C 重合）作PQ ⊥x 轴于点Q ，是否存在这样的点P 使△PBQ 和△BOC 相似？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，说明理由【答案】（1）y=x 2+2x-8（2）（-1，-72）（3）（-8，40），（-154，-1316），（-174，-2516）【解析】分析：（1）把(),9m m 代入解析式，得：22289m m m m -+=，解这个方程可求出m 的值；（2）分别令y =0和x =0，求出OA ，OB ，O C 及AB 的长，过点E 作EG x ⊥轴于点G ,EF y ⊥轴于点F ,连接CE ，AE ,设OF =GE =a ,根据AE CE = ，列方过程求出a 的值，从而求出点E 的坐标；（3）设点P (a , a 2+2a -8)，则228,2PQ a a BQ a =+-=-，然后分PBQ ∽CBO 时和PBQ ∽BCO 时两种情况，列比例式求出a 的值，从而求出点P 的坐标.详解：（1）把(),9m m 代入解析式，得：22289m m m m -+=解得：121,0m m =-=（舍去）∴228y x x =+-（2）由（1）可得：228y x x =+-，当0y =时，124,2x x =-=;∵点A 在点B 的左边 ∴42OA OB ，== ，∴6AB OA OB =+=，当0x =时，8y =-，∴8OC =过点E 作EG x ⊥轴于点G ,EF y ⊥轴于点F ,连接CE ，, 则116322AG AB ==⨯= ，设，则，在Rt AGE ∆中，，在中， ()222218CE EF CF a =+=+-，∵AE CE = ，∴()22918a a +=+- ，解得：72a = ， ∴712E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，；（3）设点()2,28a a a P +-，则228,2PQ a a BQ a =+-=-，a.当PBQ ∆∽CBO ∆时， PQ CO BQ OB =，即228822a a a +-=-，解得：10a =（舍去）；22a =（舍去）；38a =- ， ∴()18,40P - ；b.当PBQ ∆∽BCO ∆时，PQ BO BQ CO =，即228228a a a +-=-，解得：12a =（舍去），2154a =-；3174a =- ， ∴21523,416P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；31725416P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，；综上所述，点P 的坐标为：()18,40P -，21523,416P ⎛⎫--⎪⎝⎭，31725416P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点睛：本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数与坐标轴的交点，垂径定理，勾股定理，相似三角形的性质和分类讨论的数学思想，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系、相似三角形的性质是解答本题的关键.2．如图所示，CD 为⊙O 的直径，点B 在⊙O 上，连接BC 、BD ，过点B 的切线AE 与CD 的延长线交于点A ，OE//BD ，交BC 于点F ，交AB 于点E.（1）求证：∠E=∠C ；（2）若⊙O 的半径为3，AD=2，试求AE 的长；（3）在（2）的条件下，求△ABC 的面积.【答案】（1）证明见解析；（2）10；（3）485. 【解析】试题分析：（1）连接OB ，利用已知条件和切线的性质证明：OE∥BD，即可证明：∠E=∠C；（2）根据题意求出AB 的长，然后根据平行线分线段定理，可求解；（3）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可求解.试题解析：（1）如解图，连接OB ，∵CD 为⊙O 的直径，∴∠CBD ＝∠CBO ＋∠OBD ＝90°，∵AB 是⊙O 的切线，∴∠ABO＝∠ABD＋∠OBD＝90°，∴∠ABD＝∠CBO.∵OB、OC是⊙O的半径，∴OB＝OC，∴∠C＝∠CBO.∵OE∥BD，∴∠E＝∠ABD，∴∠E＝∠C；（2）∵⊙O的半径为3，AD＝2，∴AO＝5，∴AB＝4.∵BD∥OE，∴＝，∴＝，∴BE＝6，AE=6+4=10（3）S △AOE==15，然后根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得S△ABC= S△AOE==3．如图①、②、③是两个半径都等于2的⊙O1和⊙O2，由重合状态沿水平方向运动到互相外切过程中的三个位置，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，分别连结O1A、O1B、O2A、O2B和AB．(1)如图②，当∠AO1B=120°时，求两圆重叠部分图形的周长l；(2)设∠AO1B的度数为x，两圆重叠部分图形的周长为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3)在(2)中，当重叠部分图形的周长时，则线段O2A所在的直线与⊙O1有何位置关系？请说明理由.除此之外，它们是否还有其它的位置关系？如果有，请直接写出其它位置关系时的x的取值范围.【答案】（1）83（2）（0≤x≤180）（3）O2A与⊙O1相切；当0≤x≤90和0≤x≤180时，线段O2A所在的直线与⊙O1相交【解析】试题分析：（1）解法一、依对称性得，∠AO2B=∠AO1B=120°,∴解法二、∵O 1A=O 1B=O 2A=O 2B∴AO 1BO 2是菱形 ∴∠AO 2B =∠AO 1B =120° ∴l =2×ˆA= (2)∵由（1）知，菱形AO 1BO 2中∠AO 2B =∠AO 1B=x 度,∴重叠图形的周长, 即（0≤x ≤180） (3) 当时，线段O 2A 所在的直线与⊙O 1相切！理由如下：∵，由（2）可知：，解之x =90度 ∴AO 1B =90°,因此菱形AO 1BO 2是正方形，∴O 1AO 2=90°,即O 2A ⊥O 1A ,而O 1A 是⊙O 1的半径，且A 为半径之外端；∴O 2A 与⊙O 1相切．还有如下位置关系：当0≤x ≤90和0≤x ≤180时，线段O 2A 所在的直线与⊙O 1相交考点：直线与圆的位置关系点评：本题主要考查直线与圆的位置关系，掌握判定直线与圆的位置关系是解本题的关键，会求函数的解析式，本题难度比较大4．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，45ABC ∠=︒，12BC cm =，半圆O 的直径12DE cm =．点E 与点C 重合，半圆O 以2/cm s 的速度从左向右移动，在运动过程中，点D 、E 始终在BC 所在的直线上．设运动时间为()x s ，半圆O 与ABC ∆的重叠部分的面积为()2S cm ．（1）当0x =时，设点M 是半圆O 上一点，点N 是线段AB 上一点，则MN 的最大值为_________；MN 的最小值为________．（2）在平移过程中，当点O 与BC 的中点重合时，求半圆O 与ABC ∆重叠部分的面积S ；（3）当x 为何值时，半圆O 与ABC ∆的边所在的直线相切？【答案】（1）24cm ，()926cm ；（2）2(189)cm π+；（3）0x =或6x =或932x =-【解析】【分析】（1）当N 与点B 重合，点M 与点D 重合时，MN 最大，此时121224()MN DB DE BC cm ==+=+=如图①，过点O 作ON AB ⊥于N ，与半圆交于点M ，此时MN 最小，MN ON OM =-，261218()92()2OB OC CB cm ON BN OB cm =+=+====，所以926()MN ON OM cm =-=-；（2）当点O 与BC 的中点重合时，如图②，点O 移动了12cm ，设半圆与AB 交于点H ，连接OH 、CH ，6OH OC OB ===，29016669183602BOH HOC S S S ππ∆=+=⋅+⨯⨯=+阴影扇形；（3）当半圆O 与直线AC 相切时，运动的距离为0或12，所以0x =（秒)或6（秒)；当半圆O 与直线AB 相切时，如图③，连接OH ，则OH AB ⊥，6OH =，262OB OH ==，1262OC BC OB =-=-，移动的距离为612621862()cm +-=-，运动时间为18629322x -==-（秒)．【详解】解：解（1）当N 与点B 重合，点M 与点D 重合时，MN 最大，此时121224()MN DB DE BC cm ==+=+=如图①，过点O 作ON AB ⊥于N ，与半圆交于点M ，此时MN 最小，MN ON OM =-，45ABC ∠=︒，45NOB ∴∠=︒，在Rt ONB ∆中，61218()OB OC CB cm =+=+=292()ON BN OB cm ∴===， 926()MN ON OM cm ∴=-=-，故答案为24cm ，(926)cm -；（2）当点O 与BC 的中点重合时，如图②，点O 移动了12cm ，设半圆与AB 交于点H ，连接OH 、CH ．BC 为直径，90CHB ∴∠=︒， 45ABC ∠=︒45HCB ∴∠=︒，HC HB ∴=，OH BC ∴⊥，6OH OC OB ===，29016669183602BOH HOC S S S ππ∆=+=⋅+⨯⨯=+阴影扇形；（3）当半圆O 与直线AC 相切时，运动的距离为0或12，0x ∴=（秒)或6（秒)；当半圆O 与直线AB 相切时，如图③，连接OH ，则OH AB ⊥，6OH =45B ∠=︒，90OHB ∠=︒，262OB OH ∴==，1262OC BC OB =-=-，移动的距离为612621862()cm +-=-，运动时间为1862932x -==-（秒)，综上所述，当x 为0或6或932-时，半圆O 与ABC ∆的边所在的直线相切．【点睛】本题考查了圆综合知识，熟练掌握勾股定理以及圆切线定理是解题的关键．要注意分类讨论.5．已知：AB 为⊙O 直径，弦CD ⊥AB ，垂足为H ，点E 为⊙O 上一点，AE BE =，BE 与CD 交于点F ．（1）如图1，求证：BH ＝FH ；（2）如图2，过点F 作FG ⊥BE ，分别交AC 、AB 于点G 、N ，连接EG ，求证：EB ＝EG ；（3）如图3，在（2）的条件下，延长EG 交⊙O 于M ，连接CM 、BG ，若ON ＝1，△CMG 的面积为6，求线段BG 的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）210 ．【解析】【分析】（1）连接AE ，根据直径所对圆周角等于90°及弧与弦的关系即可得解；（2）根据题意，过点C 作CQ FG CS FB ⊥⊥，，连接CE BC 、，通过证明Rt CGQ Rt CBS ∆≅∆，CBE CGE ∆≅∆即可得解；（3）根据题意，过点G 作GT CD ⊥于T ，连接CN ，设CAB α∠＝，证明()CMG CNG AAS ∆≅∆，再由面积法及勾股定理进行计算求解即可.【详解】解：（1）如下图，连接AE∵AB 为直径∴90AEB =︒∠∵AE BE =∴AE BE =∴45B ∠=︒又∵CD AB ⊥于H ∴45HFB ∠=︒∴HF HB =；（2）如下图，过点C 作CQ FG CS FB ⊥⊥，，连接CE BC 、AB 为直径，∴90ACB QCS ∠=∠=︒∴GCQ BCS ∠=∠∴()Rt CGQ Rt CBS AAS ∆≅∆∴CG CB =同理()CBE CGE SAS ∆≅∆∴EG EB =；（3）如下图，过点G 作GT CD ⊥于T ，连接CN设CAB α∠=由（2）知：CM CB =∴CM CB =∵HB HF =∴45HBF HFB ∠=∠=︒∵GF BE ⊥∴45NFH NH BH CN BC ∠=︒∴=∴=，，∴CM CB CN ==则：2MEB α∠=902AEG α∠=︒-∴45EAG EGA α∠=∠=︒+∴45M MGC α∠=∠=︒+∴()CMG CNG AAS ∆≅∆∵CMG ∆面积为6∴6CAN GAN S S -=设2122BH NH x OA OB x AN x ====+=+，，则()CGT BCH AAS ∆≅∆∴C BH x ==∴6AN CH AN TH ⋅-⋅=∴1(22)62x CT +⋅= 解得：2x =∵2BC BH BA =⋅∴2210BC =⨯，则25BC ＝∴2210BG BC ＝＝【点睛】本题主要考查了圆和三角形的综合问题，熟练掌握圆及三角形的各项重要性质及判定方法是解决本题的关键.6．如图，PA ，PB 分别与O 相切于点A 和点B ，点C 为弧AB 上一点，连接PC 并延长交O 于点F ，D 为弧AF 上的一点，连接BD 交FC 于点E ，连接AD ，且2180APB PEB ∠+∠=︒．（1）如图1，求证：//PF AD ；（2）如图2，连接AE ，若90APB ∠=︒，求证：PE 平分AEB ∠；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AB 交PE 于点H ，连接OE ，8AD =，4sin 5ABD ∠=，求PH 的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）257 【解析】【分析】（1）连接OA 、OB ，由切线的性质可得90OAP OBP ∠=∠=︒，由四边形内角和是360︒，得180∠+∠=︒P AOB ，由同弧所对的圆心角是圆周角的一半，得到2AOB ADB ∠=∠，等量代换得到ADB PEB ∠=∠，由同位角相等两直线平行，得到//PF AD ；（2）过点P 做PK PF ⊥交EB 延长线于点K ，由90APB ∠=︒得290PEB ∠=︒，从而45PEB ∠=︒，由切线的性质，得PA PB =，由PK PE ⊥，45PEK ∠=︒，得PE PK =，从而90APE EPB ︒∠=-∠，进而APE BPK ∠=∠，即可证得APE BPK ∆∆≌由此45K AEP ∠=∠=︒，得到AEP PEB ∠=∠，即可证得PE 平分AEB ∠；（3）连接AO 并延长交圆O 于点M ，连接OB 、OH 、OP 、OD 、DM ，由45ADE ∠=︒，90AED ∠=︒，可得DE AE =，由OA 、OD 为半径，可得OA OD =，即可证出DEO AEO ∆∆≌，由直径所对的圆周角是直角，可得90ADM ∠=︒，在Rt ADM ∆中，由正弦定义可得10AM =，由此5OA OB ==，由OAPB 为正方形，对角线AB 垂直平分OP ，从而，OH PH =.在Rt OAP ∆中，252OP OA ==延长EO 交AD 于K ，在Rt OEP ∆中，由勾股定理得7PE =，在Rt OEH ∆中，由勾股定理得257PH =. 【详解】（1）连接OA 、OB∵PA 、PB 与圆O 相切于点A 、B ，且OA 、OB 为半径，∴OA AP ⊥，OB BP ⊥，∴90OAP OBP ∠=∠=︒，∴在四边形AOBP 中，360180180P AOB ∠+∠=︒-︒=︒，∵AB AB =，∴2AOB ADB ∠=∠，∴2180P ADB ∠+∠=︒，∵2180P PEB ∠+∠=︒，∴ADB PEB ∠=∠，∴//PF AD（2）过点P 做PK PF ⊥交EB 延长线于点K∵90APB ∠=︒，∴21809090PEB ∠=︒-︒=︒，∴45PEB ∠=︒，∵PA 、PB 为圆O 的切线，∴PA PB =，∵PK PE ⊥，45PEK ∠=︒，∴PE PK = ，∵9090APE EPB KPB EPB ︒︒∠=-∠=∠=-∠，∴APE BPK ∠=∠，∴APE BPK ∆∆≌，∴45K AEP ∠=∠=︒，∴AEP PEB ∠=∠，∴PE 平分AEB ∠；（3）连接AO 并延长交圆O 于点M ，连接OB 、OH 、OP 、OD 、DM∵45ADE ∠=︒，90AED ∠=︒，∴DE AE =，∵OA 、OD 为半径，∴OA OD =，∵OE OE =，∴DEO AEO ∆∆≌，∴1452AEO OED AED ∠=∠=∠=︒， ∴90OEP ∠=︒，∵AM 为圆O 的直径，∴90ADM ∠=︒，∵弧AD =弧AD ，∴ABD AMD ∠=∠，在Rt ADM ∆中，8AD =，4sin 5AMD ∠=，则10AM =， ∴5OA OB ==，由题易证四边形OAPB 为正方形，∴对角线AB 垂直平分OP ，AB OP =，∵H 在AB 上，∴OH PH =，在Rt OAP ∆中，252OP OA ==延长EO 交AD 于K ，∵DE AE =，可证OK AD ⊥，DOK ABD ∠=∠，∴4DK KE ==，3OK =，1OE =∴在Rt OEP ∆中，227PE OP OE =-=在Rt OEH ∆中，222OH OE EH =+∵OH PH =，7EH PE HP PH =-=-∴()22217PH PH =+- ∴257PH =．【点睛】本题考查了圆的综合题，圆的性质，等腰三角形的性质，相交弦定理，正弦定理，勾股定理，灵活运用这些性质定理解决问题是本题的关键．7．△ABC内接于⊙O，AB=AC，BD⊥AC，垂足为点D，交⊙O于点E，连接AE．（1）如图1，求证：∠BAC=2∠CAE；（2）如图2，射线AO交线段BD于点F，交BC边于点G，连接CE，求证：BF=CE；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CO并延长，交线段BD于点H，交⊙O于点M，连接FM，交AB边于点N，若BH=DH，四边形BHOG的面积为2，求线段MN的长．【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）6MN【解析】【分析】（1）先依据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理证明∠BAC+2∠C=180°，然后得到2∠CAE+2∠E=180°，然后根据同弧所对的圆周角相等得到∠E=∠C，即可得到结论；（2）连接OB、OC．先依据SSS证明△ABO≌△ACO，从而得到∠BAO=∠CAO，然后在依据ASA证明△ABF≌△ACE，最后根据全等三角形的性质可证明BF=CE；（3）连接HG、BM．由三线合一的性质证明BG=CG，从而得到HG是△BCD的中位线，则∠FHO=∠AFD=∠HFO，于是可得到HO=OF，然后得到∠OGH=∠OHG，从而得到OH=OG，则OF=OG，接下来证明四边形MFGB是矩形，然后由MF∥BC证明△MFH∽△CBH，从而可证明HF=FD．接下来再证明△ADF≌△GHF，由全等三角形的性质的到AF=FG，然后再证明△MNB≌△NAF，于是得到MN=NF．设S△OHF=S△OHG=a，则S△FHG=2a，S△BHG=4a，然后由S四边形BHOG2，可求得2，设HF=x，则BH=2x，然后证明△GFH∽△BFG，由相似三角形的性质可得到2x，然后依据S△BHG=122，可求得x=2，故此可得到HB、GH的长，然后依据勾股定理可求得BG的长，于是容易求得MN的长．【详解】解：（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∴∠BAC+2∠C=180°．∵BD⊥AC，∴∠ADE=90°．∴∠E+∠CAE=90°．∴2∠CAE+2∠E=180°．∵∠E=∠ACB，∴2∠CAE+2∠ACB=180°．∴∠BAC=2∠CAE．（2）连接OB、OC．∵AB=AC，AO=AO，OB=OC，∴△ABO≌△ACO．∴∠BAO=∠CAO．∵∠BAC=2∠CAE，∴∠BAO=∠CAE．在△ABF和△ACE中，ABF ACEAB ACBAF CAE∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABF≌△ACE．∴BF=CE．（3）连接HG、BM．∵AB=AC，∠BAO=∠CAO，∴AG⊥BC，BG=CG．∵BH=DH，∴HG是△BCD的中位线．∴HG∥CD．∴∠GHF=∠CDE=90°．∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA．∵∠OAC+∠AFD=90°，∠OCA+∠FHO=90°，∴∠FHO=∠AFD=∠HFO ．∴HO=OF ．∵∠HFO+∠OGH=90°，∠OHF+∠OHG=90°，∴∠OGH=∠OHG ．∴OH=OG ．∴OF=OG ．∵OM=OC ，∴四边形MFCG 是平行四边形．又∵MC 是圆O 的直径，∴∠CBM=90°．∴四边形MFGB 是矩形．∴MB=FG ，∠FMB=∠AFN=90°．∵MF ∥BC ，∴△MFH ∽△CBH ． ∴12HF MF BH CB ==． ∴HF ：HD=1：2．∴HF=FD ．在△ADF 和△GHF 中，AFD GFH ADF GHF FH FD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADF ≌△GHF ．∴AF=FG ．∴MB=AF ．在△MNB 和△NAF 中，90BMF AFN ANF BNM MB AF ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MNB ≌△NAF ．∴MN=NF ．设S △OHF =S △OHG =a ，则S △FHG =2a ，S △BHG =4a ，∴S 四边形BHOG．∴．设HF=x ，则BH=2x ．∵∠HHG=∠GFB ，∠GHF=∠FGB ，∴△GFH ∽△BFG ．∴HF GHHG BH=，即2x HGHG x=．∴HG=2x．∴S△BHG=12BH•HG=12×2x•2x=42，解得：x=2．∴HB=4，GH=22．由勾股定理可知：BG=26．∴MF=26．∴MN=NF=6．【点睛】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了圆周角定理、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判断、勾股定理的应用、矩形的性质和判定，找出图中相似三角形和全等三角形是解题的关键．8．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与A、B重合），D为的AC中点，过点D作弦DE⊥AB于F，P是BA延长线上一点，且∠PEA＝∠B．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）连接CA与DE相交于点G，CA的延长线交PE于H，求证：HE＝HG；（3）若tan∠P＝512，试求AHAG的值．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）1310 AHAG=．【解析】【分析】（1）连接OE，由圆周角定理证得∠EAB+∠B＝90°，可得出∠OAE＝∠AEO，则∠PEA+∠AEO＝90°，即∠PEO＝90°，则结论得证；（2）连接OD，证得∠AOD＝∠AGF，∠B＝∠AEF，可得出∠PEF＝2∠B，∠AOD＝2∠B，可证得∠PEF＝∠AOD＝∠AGF，则结论得证；（3）可得出tan∠P＝tan∠ODF＝512OFDF=，设OF＝5x，则DF＝12x，求出AE，BE，得出23AEBE=，证明△PEA∽△PBE，得出23PAPE=，过点H作HK⊥PA于点K，证明∠P＝∠PAH，得出PH＝AH，设HK＝5a，PK＝12a，得出PH＝13a，可得出AH＝13a，AG＝10a，则可得出答案．【详解】解：（1）证明：如图1，连接OE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠EAB+∠B＝90°，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠AEO，∴∠B+∠AEO＝90°，∵∠PEA＝∠B，∴∠PEA+∠AEO＝90°，∴∠PEO＝90°，又∵OE为半径，∴PE是⊙O的切线；（2）如图2，连接OD，∵D为AC的中点，∴OD⊥AC，设垂足为M，∴∠AMO＝90°，∵DE⊥AB，∴∠AFD＝90°，∴∠AOD+∠OAM＝∠OAM+∠AGF＝90°，∴∠AOD＝∠AGF，∵∠AEB＝∠EFB＝90°，∴∠B＝∠AEF，∵∠PEA＝∠B，∴∠PEF＝2∠B，∵DE⊥AB，∴AE AD=，∴∠AOD＝2∠B，∴∠PEF＝∠AOD＝∠AGF，∴HE＝HG；（3）解：如图3，∵∠PEF＝∠AOD，∠PFE＝∠DFO，∴∠P＝∠ODF，∴tan∠P＝tan∠ODF＝512 OFDF=，设OF＝5x，则DF＝12x，∴OD22OF DF+13x，∴BF＝OF+OB＝5x+13x＝18x，AF＝OA﹣OF＝13x﹣5x＝8x，∵DE⊥OA，∴EF＝DF＝12x，∴AE22AF EF+13，BE22EF BF+13，∵∠PEA＝∠B，∠EPA＝∠BPE，∴△PEA∽△PBE，∴41323613PA AEPE BE===，∵∠P+∠PEF＝∠FAG+∠AGF＝90°，∴∠HEG＝∠HGE，∴∠P＝∠FAG，又∵∠FAG＝∠PAH，∴∠P＝∠PAH，∴PH＝AH，过点H作HK⊥PA于点K，∴PK＝AK，∴13 PKPE=，∵tan ∠P ＝512，设HK ＝5a ，PK ＝12a ，∴PH ＝13a ，∴AH ＝13a ，PE ＝36a ，∴HE ＝HG ＝36a ﹣13a ＝23a ，∴AG ＝GH ﹣AH ＝23a ﹣13a ＝10a ，∴13131010AH a AG a ==．【点睛】本题是圆的综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，掌握相似三角形的判定定和性质定理及方程思想是解题的关键．9．如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AB=CD=AD=5，cos 45B =，点O 是边BC 上的动点，以OB 为半径的O 与射线BA 和边BC 分别交于点E 和点M ，联结AM ，作∠CMN=∠BAM ，射线MN 与边AD 、射线CD 分别交于点F 、N ．（1）当点E 为边AB 的中点时，求DF 的长；（2）分别联结AN 、MD ，当AN//MD 时，求MN 的长；（3）将O 绕着点M 旋转180°得到'O ，如果以点N 为圆心的N 与'O 都内切，求O 的半径长．【答案】（1）DF 的长为158；（2）MN 的长为5；（3）O 的半径长为258．【解析】【分析】（1）作EH BM ⊥于H ，根据中位线定理得出四边形BMFA 是平行四边形，从而利用cos 45B =解直角三角形即可求算半径，再根据平行四边形的性质求FD 即可；（2）先证AMB CNM ∠=∠，再证MAD CNM ∠=∠，从而证明AFM NFD ∆~∆，得到AF MF AF DF NF MF NF DF=⇒=，再通过平行证明AFN DFM ∆~∆，从而得到AF NF AF MF NF DF DF MF=⇒=，通过两式相乘得出AF NF =再根据平行得出NF DF =，从而得出答案．（3）通过图形得出MN 垂直平分'OO ,从而得出90BAM CMN ∠=∠=︒，再利用cos 45B =解三角函数即可得出答案．【详解】（1）如图，作EH BM ⊥于H ：∵E 为AB 中点，45,cos 5AB AD DC B ==== ∴52AE BE ==∴cos 45BH B BE == ∴2BH = ∴2253222EH ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭设半径为r ，在Rt OEH ∆中： ()222322r r ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 解得：2516r =∵,E O 分别为,BA BM 中点 ∴BAM BEO OBE ∠=∠=∠又∵CMN BAM ∠=∠∴CMN OBE ∠=∠∴//MF AB∴四边形BMFA 是平行四边形∴2528AF BM r ===∴2515588FD AD AF =-=-=（2）如图：连接MD AN ，∵,B C BAM CMN ∠=∠∠=∠∴AMB CNM ∠=∠又∵AMB MAD ∠=∠∴MAD CNM ∠=∠又∵AFM NFD ∠=∠∴AFM NFD ∆~∆∴AF MF AF DF NF MF NF DF=⇒=① 又∵//MD AN∴AFN DFM ∆~∆ ∴AF NF AF MF NF DF DF MF=⇒=② 由①⨯②得; 22AF NF AF NF =⇒=∴NF DF =∴5MN AD ==故MN 的长为5；（3）作如图：∵圆O 与圆'O 外切且均与圆N 内切设圆N 半径为R ，圆O 半径为r∴'=NO R r NO -=∴N 在'OO 的中垂线上∴MN 垂直平分'OO∴90NMC ∠=︒∵90BAM CMN ∠=∠=︒∴A 点在圆上∴54cos 5AB B BM BM === 解得：254BM =O 的半径长为258【点睛】本题是一道圆的综合题目，难度较大，掌握相似之间的关系转化以及相关线段角度的关系转化是解题关键．10．已知点A 为⊙O 外一点，连接AO ，交⊙O 于点P ，AO=6．点B 为⊙O 上一点，连接BP ，过点A 作CA ⊥AO ，交BP 延长线于点C ，AC=AB ．（1）判断直线AB 与⊙O 的位置关系，并说明理由．（2）若3 PB 的长．（3）若在⊙O 上存在点E ，使△EAC 是以AC 为底的等腰三角形，则⊙O 的半径r 的取值范围是___________．【答案】（1）AB 与⊙O 相切，理由见解析；（2）33PB =；（3）6565r ≤< 【解析】【分析】（1）连接OB ，有∠OPB=∠OBP ，又AC=AB ，则∠C=∠ABP ，利用∠CAP=90°，即可得到结论成立；（2）由AB=AC ，利用勾股定理先求出半径，作OH ⊥BP 与H ，利用相似三角形的判定和性质，即可求出PB 的长度；（3）根据题意得出OE=12AC=122216r 2-22162r r -≤，即可求出取值范围．【详解】解：（1）连接OB ，如图：∵OP=OB ，∴∠OPB=∠OBP=∠APC ，∵AC=AB ，∴∠C=∠ABP ，∵AC ⊥AO ，∴∠CAP=90°，∴∠C+∠APC=90°，∴∠ABP+∠OBP=90°，即OB ⊥AB ，∴AB 为切线；（2）∵AB=AC∴22AB AC =，∴2222CP AP OA OB -=-，设半径为r ，则2222(43)(6)6r r --=-解得：r=2；作OH ⊥BP 与H ，则△ACP ∽△HOP ，∴PH OP AP CP=，即443PH =∴23PH =, ∴4323PB PH ==；（3）如图，作出线段AC 的垂直平分线MN ，作OE ⊥MN ，∴四边形AOEM 是矩形，∴OE=AM=12AC=1222162r - 又∵圆O 与直线MN 有交点，∴22162r r -， 2262r r -≤，∴22364r r -≤，∴65r ≥ 又∵圆O 与直线AC 相离，∴r ＜6，即565r ≤<．【点睛】此题主要考查了圆的综合以及切线的判定与性质和勾股定理以及等腰三角形的性质等知识，得出EO 与AB 的关系进而求出r 取值范围是解题关键．。

新人教版初三九年级上册数学人教版初三数学圆的测试题及答案试卷

九年级圆测试题附参考答案一、选择题（每题3分，共30分）1．如图，直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，AB ＝4，分别以AC 、BC 为直径作半圆，则图中阴影的面积为（）A 2π－3B 4π－43C 5π－4D 2π－232．半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（） A 1∶2∶3 B 1∶2∶3 C 3∶2∶1 D 3∶2∶13．在直角坐标系中,以O(0，0)为圆心,以5为半径画圆,则点A(3-,4)的位置在（） A ⊙O 内 B ⊙O 上 C ⊙O 外 D 不能确定4．如图，两个等圆⊙O 和⊙O ′外切，过O 作⊙O ′的两条切线OA 、OB ，A 、B 是切点，则∠AOB 等于（） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°5．在Rt △ABC 中，已知AB ＝6，AC ＝8，∠A ＝90°，如果把此直角三角形绕直线AC 旋转一周得到一个圆锥，其表面积为S 1；把此直角三角形绕直线AB 旋转一周得到另一个圆锥，其表面积为S 2，那么S 1∶S 2等于（） A 2∶3 B 3∶4 C 4∶9 D 5∶126．若圆锥的底面半径为 3，母线长为5，则它的侧面展开图的圆心角等于（） A ． 108° B ． 144° C ． 180° D ． 216°7．已知两圆的圆心距d = 3 cm ，两圆的半径分别为方程0352=+-x x 的两根，则两圆的位置关系是（） A 相交 B 相离 C 相切 D 内含8．四边形中，有内切圆的是（） A 平行四边形 B 菱形 C 矩形 D 以上答案都不对9．如图，以等腰三角形的腰为直径作圆，交底边于D ，连结AD ，那么（）A ∠BAD +∠CAD= 90°B ∠BAD >∠CADC ∠BAD =∠CAD D ∠BAD<∠CAD.10．下面命题中，是真命题的有（） ①平分弦的直径垂直于弦；②如果两个三角形的周长之比为3∶2，则其面积之比为3∶4；③圆的半径垂直于这个圆的切线；④在同一圆中，等弧所对的圆心角相等；⑤过三点有且只有一个圆。

人教版九年级上册数学圆专题卷(有答案)

人教版九年级上册数学圆专题卷（有答案）一、单选题（共12题；共24分）1.如图，AB是半圆的直径，AB＝2r，C、D为半圆的三等分点，则图中阴影部分的面积是（）.A. πr2B. πr2C. πr2D. πr22.若⊙O的半径为6，点P在⊙O内，则OP的长可能是（）A. 5B. 6C. 7D. 83.如图，A、B、C三点在⊙O上，∠AOB＝80º，则∠ACB的大小（）`A. 40ºB. 60ºC. 80ºD. 100º4.已知AB、CD是两个不同圆的弦，如AB=CD，那么与的关系是（）A. =B. ＞C. ＜D. 不能确定5.已知⊙O中最长的弦为8cm，则⊙O的半径为（）cm．A. 2B. 4C. 8D. 166.已知⊙O1与⊙O2的半径分别为3和4，若圆心距O1O2=1，则两圆的位置关系是（）:A. 相交B. 相离C. 内切D. 外切7.两圆的半径分别是5cm和4cm,圆心距为7cm,则两圆的位置关系是( )A. 相交B. 内切C. 外切D. 外离8.如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），拱的半径为13米，拱高CD为8米，则拱桥的跨度AB 的长为（）)A. 20米B. 24米C. 28米D. 24米9.如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C点，若圆O的半径为6，OP=10，则△PDE的周长为（）A. 10B. 12C. 16D. 2010.如图，AB是⊙的直径，CD是∠ACB的平分线交⊙O于点D，过D作⊙O的切线交CB的延长线于点E．若AB=4，∠E=75°，则CD的长为（）A. B. 2 C. 2 D. 311.（2017•葫芦岛）如图，点A,B,C是⊙O上的点，∠AOB=70°，则∠ACB的度数是（））A. 30°B. 35°C. 45°D. 70°12.如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的各顶点称为格点，直角△ABC的顶点均在格点上，则满足条件的点C有（）A. 6个B. 8个C. 10个D. 12个二、填空题（共6题；共20分）13.如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P，已知∠OAB＝22°，则∠OCB ＝________°．14.（2011•南通）比较正五边形与正六边形，可以发现它们的相同点和不同点．例如：它们的一个相同点：正五边形的各边相等，正六边形的各边也相等．它们的一个不同点：正五边形不是中心对称图形，正六边形是中心对称图形．请你再写出它们的两个相同点和不同点：相同点：①________；②________．不同点：①________；②________．!15.如图，在⊙O中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有 ________条弦，它们分别是 ________16.如图，在边长为2的正三角形中，将其内切圆和三个角切圆（与角两边及三角形内切圆都相切的圆）的内部挖去，则此三角形剩下部分（阴影部分）的面积为________．17.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），点P在以D （4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最大值是________．18.一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘，如图所示，AB与CD是水平的，BC与水平面的夹角为60°，其中AB=60cm，CD=40cm，BC=40cm，那么该小朋友将圆盘从A点滚动到D点其圆心所经过的路线长为________cm．三、综合题（共5题；共56分）19.如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．》（1）求证：AE=ED；（2）若AB=10，∠CBD=36°，求的长．20.如图，在半径为2的⊙O中，弦AB长为2．、（1）求点O到AB的距离．（2）若点C为⊙O上一点（不与点A，B重合），求∠BCA的度数．21.（2015•北海）如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD 的延长线交于点P，使∠PED=∠C．^（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）求证：ED平分∠BEP；（3）若⊙O的半径为5，CF=2EF，求PD的长．;22.（2017•安顺）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．（1）求证：BE与⊙O相切；（2）设OE交⊙O于点F，若DF=1，BC=2 ，求阴影部分的面积．23.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC的平分线与AC相交于点D，与⊙O过点A的切线相交于点E．（1）∠ACB=________°，理由是：________；（2）猜想△EAD的形状，并证明你的猜想；（3）若AB=8，AD=6，求BD．`答案一、单选题1.B2. A3. A4.D5. B6. C7. A8. B9. C 10.C 11.B 12. C二、填空题13.4414.都是轴对称图形；都有外接圆和内切圆；内角和不同；对角线的条数不同15.三；AE，DC，AD.16.17.618.三、综合题19. （1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵OC∥BD，∴∠AEO=∠ADB=90°，即OC⊥AD，∴AE=ED；（2）解：∵OC⊥AD，∴，∴∠ABC=∠CBD=36°，∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°，∴．20.（1）解：过点O作OD⊥AB于点D，连接AO，BO．如图1所示：∵OD⊥AB且过圆心，AB=2，∴AD= AB=1，∠ADO=90°，在Rt△ADO中，∠ADO=90°，AO=2，AD=1，∴OD= = ．即点O到AB的距离为．（2）解：如图2所示：∵AO=BO=2，AB=2，∴△ABO是等边三角形，∴∠AOB=60°．若点C在优弧上，则∠BCA=30°；若点C在劣弧上，则∠BCA= （360°﹣∠AOB）=150°；综上所述：∠BCA的度数为30°或150°．21.（1）证明：如图，连接OE．∵CD是圆O的直径，∴∠CED=90°．∵OC=OE，∴∠1=∠2．又∵∠PED=∠C，即∠PED=∠1，∴∠PED=∠2，∴∠PED+∠OED=∠2+∠OED=90°，即∠OEP=90°，∴OE⊥EP，又∵点E在圆上，∴PE是⊙O的切线；（2）证明：∵AB、CD为⊙O的直径，∴∠AEB=∠CED=90°，∴∠3=∠4（同角的余角相等）．又∵∠PED=∠1，∴∠PED=∠4，即ED平分∠BEP；（3）解：设EF=x，则CF=2x，∵⊙O的半径为5，∴OF=2x﹣5，在RT△OEF中，OE2=OF2+EF2，即52=x2+（2x﹣5）2，解得x=4，∴EF=4，∴BE=2EF=8，CF=2EF=8，∴DF=CD﹣CF=10﹣8=2，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∵AB=10，BE=8，∴AE=6，∵∠BEP=∠A，∠EFP=∠AEB=90°，∴△AEB∽△EFP，∴，即，∴PF=，∴PD=PF﹣DF=﹣2=．22.（1）证明：连接OC，如图，∵CE为切线，∴OC⊥CE，∴∠OCE=90°，∵OD⊥BC，∴CD=BD，即OD垂中平分BC，∴EC=EB，在△OCE和△OBE中，∴△OCE≌△OBE，∴∠OBE=∠OCE=90°，∴OB⊥BE，∴BE与⊙O相切（2）解：设⊙O的半径为r，则OD=r﹣1，在Rt△OBD中，BD=CD= BC= ，∴（r﹣1）2+（）2=r2，解得r=2，∵tan∠BOD= = ，∴∠BOD=60°，∴∠BOC=2∠BOD=120°，在Rt△OBE中，BE= OB=2 ，∴阴影部分的面积=S四边形OBEC﹣S扇形BOC=2S△OBE﹣S扇形BOC=2× ×2×2 ﹣=4 ﹣π23.（1）90；直径所对的圆周角是直角（2）解：△EAD是等腰三角形．证明：∵∠ABC的平分线与AC相交于点D，∴∠CBD=∠ABE∵AE是⊙O的切线，∴∠EAB=90°∴∠AEB+∠EBA=90°，∵∠EDA=∠CDB，∠CDB+∠CBD=90°，∵∠CBE=∠ABE，∴∠AED=∠EDA，∴AE=AD∴△EAD是等腰三角形（3）解：∵AE=AD，AD=6，∴AE=AD=6，∵AB=8，∴在直角三角形AEB中，EB=10∵∠CDB=∠E，∠CBD=∠ABE∴△CDB∽△AEB，∴= = =∴设CB=4x，CD=3x则BD=5x，∴CA=CD+DA=3x+6，在直角三角形ACB中，AC2+BC2=AB2即：（3x+6）2+（4x）2=82，解得：x=﹣2（舍去）或x=∴BD=5x=。

人教版九年级数学上册圆的练习题

人教版九年级数学上册圆的练习题练一一、选择题1.若⊙O的半径为5㎝，点A到圆心O的距离为4㎝，那么点A与圆心O的位置关系是（）A。

点A在圆外B。

点A在圆上C。

点A在圆内D。

不能确定2.在⊙O中，已知弦AB的长为8㎝，AB的弦心距为3㎝，则⊙O的半径为（）A。

7㎝B。

5㎝C。

7㎝D。

3㎝3.如图，半径为10的⊙O中，弦AB的长为16，则这条弦的弦心距为（）A。

6B。

8C。

10D。

124.下列命题中，①圆是轴对称图形；②圆是中心对称图形；③圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；④圆是轴对称图形，对称轴是直径；⑤圆是中心对称图形，对称中心是圆心。

其中正确的命题是（）A。

①②③B。

①②⑤C。

①②③⑤D。

②③④⑤5.如图所示，正方形ABCD内接于⊙O，P是劣弧AD上任意一点，则∠ABP+∠DCP=（）A。

90°B。

60°C。

45°D。

30°6.以已知点O为圆心作圆，可以作（）圆A。

1个B。

2个C。

3个D。

无数个7.若圆心角∠PCB=60°，则弧PCB所对的圆周角等于（）A。

30°B。

40°C。

60°D。

80°8.如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOC=100°则∠ABC的度数是（）A。

30°B。

45°C。

50°D。

60°9.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠A=40°，则∠B等于（）A。

80°B。

60°C。

50°D。

40°二、填空题11.已知⊙O的半径为4cm，A为线段OP的中点，当OP=5 cm时，点A在⊙O 上；当OP=8cm时，点A在⊙O 上；当OP=10 cm时，点A在⊙O 外。

12.如图，弓形的弦长AB为23cm，高CD为1cm，则弓形所在圆的半径为12cm。

13.一条弦把圆心分成1：3两部分，则劣弧所对的圆心角为120°。

(人教版)九年级上册数学《圆》测试题(含答案)

第二十四章圆整章综合水平测试题一选择题（每小题 3 分，共 30 分）1. 下列命题中，假命题是（）A. 两条弧的长度相等，它们是等弧B. 等弧所对的圆周角相等C. 直径所对的圆周角是直角D.一条弧所对的圆心角等于它所对圆周角的 2 倍.2．若圆的一条弦把圆分成度数的比为 1 ：3 的两段弧，则劣弧所对的圆周角等于（）A ．45B。

90C。

135D。

2703.已知正六边形的周长是12a ，则该正六边形的半径是（）A 6a B. 4a C. 2a D. 3 a24.如图 1，圆与圆的位置关系是（）A. 外离 B 相切 C.相交 D. 内含图1图25.如图 2，A, B, C , D , E的半径都是 1，顺次连结这些圆心得到五边形ABCDE ，则图中的阴影部分面积之和为（）A.3C. 25 B. D.226.过O 内一点N的最长弦为6，最短的弦长为4，那么 ON 的长为（）A 3 B.2 C. 5 D. 37．若正三角形、正方形、正六边形的周长相等，它们的面积分别是S1 , S2 , S3，则下列关系成立的是（）A ．S1S2S3，B。

S1S2S3C．S1S2S3D。

S2S3S18.平行四边形的四个顶点在同一个圆上，则该平行四边形一定是（A. 正方形 B 菱形 C.矩形）D. 等腰梯形9.在半径等于5cm的圆内有长为5 3cm 的弦，则此弦所对的圆周角为（）A. 120B30或 120 C. 60 D 60或 12010.已知01、O2、O3两两外切，且半径分别为2cm 、 3cm、 10cm，则O1O2O3的形状是（）A 锐角三角形 B. 直角三角形 C 钝角三角形 D.等腰直角三角形.二、填空题（每小题 3 分，共 30 分）11.如图 3，已知 AB 为O 的直径， AB CD ，垂足为E，由图你还能知道哪些正确的结论？请把它们一一写出来._____________.图3图4图512.如图 4，AB 是O 的直径，C为圆上一点, A 60 , OD BC , D为垂足,且OD=10,则 AB=_______,BC=_______.13.如图 5,已知O 中,AB BC ,且 AB : AMC 3: 4 ,则AOC______.14.如图 6,在条件 : ①COA AOD60 ;②AC=AD=OA;③点E分别是AO、CD的中点；④ OA CD ，且ACO 60 中，能推出四边形OCAD是菱形的条件有_______个 .图6图715.为了改善市区人民的生活环境 , 某市建设污水管网工程 , 某圆柱型水管的直径为100cm ,截面如图7 所示 , 若管内的污水的面宽AB 60cm ,则污水的最大深度为______.16.O 的直径为 11cm ,圆心到一直线的距离为 5cm,那么这条直线和圆的位置关系是_______;若圆心到一直线的距离为 5.5cm,那么这条直线和圆的位置关系是_______;17.若两圆相切 ,圆心距为8cm ,其中一个圆的半径为12cm,则另一个圆的半径为 _____.18.正五边形的一个中心角的度数是 ________,19.已知O1和o2的半径分别为 2 和 3,如果它们既不相交又不相切,那么它们的圆心距 d 的取值范围是________.20 已知在同一平面内圆锥两母线在顶点处最大的夹角为60 ,母线长为8,则圆锥的侧面积为 ______.三 .解答题（共60 分）21.（ 6 分）如图8,已知ABC 中, C 90 ,AC=3,BC=4,已点C为圆心作 C ,半径为 r .当 r 取什么值时点(1)、B在C外？, A（2）当r取什么值时 ,点 A 在C内，点B在 C 外？图 822.（ 6 分）如图9，两个同心圆，作一直线交大圆于A、 B，交小圆于C、 D， AC 与 BD 有何关系？请说明理由.图 923（. 6 分）如图 10，PA、PB 是O的两条切线， A 、B 是切点，AC 是O的直径，BAC35 ，求 P的度数.图 1024.（ 8 分）如图11，P 是O 的直径AB上的一点，PC AB ，PC交O 于C，OCP的平分线交O 于D，当点P 在半径OA（不包括O 点和A点）上移动时，试探究AD与 BD的大小关系.图 1125（ 8 分） .如图 12，O 的半径OA=5，点C是弦AB上的一点，且 OC AB ，OC=BC.求 AB 的长.图 1226（. 8 分）如图 13，O 的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=1，EB=5，DEB 60 ，求 CD 的长.图 1327.（ 8 分）现有边长为a的正方形花布，问怎样剪裁，才能得到一个面积最大的正八边形花布来做一个形状为正八边形的风筝？（10分）如图14，已知一底面半径为r ，母线长为3r的圆锥，在地面圆周上有一蚂蚁位28于 A 点，它从 A 点出发沿圆锥面爬行一周后又回到原出发点，请你给它指出一条爬行最短的路径，并求出最短路径的长 .图 14.备用题1.如图 1，交于点 E，你认为ABC 中，AB=AC，BD是ABC 的平分线，A、B、D三点的圆与AD=CE 吗？如果不能，请举反例；如果AD=CE ，请说明理由.BC相图1图22.如图 2，在直角梯形 ABCD 中， AB ∥ CD ，以 AD 为直径的圆切 BC 于 E，谅解 OB、OC，试探究 OB 与 OC 有何位置关系？参考答案一 .1A2A3C4A5B6C7B8C9D10B二 .11.CE=DE，AC AD，BC BD ；12.40， 203；13. 144；14. 4；15. 90；16.相交、相切；17. 4cm或16cm； 18.72 ；19. d5或0 d 1；20.32 .三 .21，r 3 ， 3 r 4 ；所以22.AC=BD.AE-CE=BE-DE理由：作 OE，即 AC=BD.AB 于E，（如图1）由垂径定理得AE=BE ， CE=DE ，（图1）图 223. 因为BAC35 ，所以 AOB18035 2 110，因为 PA、PB 是O的切线，所以PAO PBO 90 ，所以P360PAO PBOAOB = 70 .24.AD BD.理由如图2，延长CP 交O 于E，延长CO 交O 于F，因为PCD FCD，所以DE DF因为直径AB CE ，所以AE AC因为AOC BOF ，所以AC BF，所以AE BF，所以AE DE BF DF，即AD BD.25. 因为OC AB ，所以AC=BC，又OC=BC ，所以OC=AC=BC设OC=AC=BC=x ，在Rt AOC 中，x2x252解得 x 52 ，所以AB 2 x5 2 . 226.作OF CD 于F，（如图3）则CF=EF，连结DO ，在 Rt OEF 中，OEF DEB60，EOF30OE=OA-AE=1 AB2AE312， EF1 OE2122 1，所以OF OE 2EF 222123所以DF OD 2OF 2323 6 ，所以CD 2DF 2 6 .图 3图 4图 527.如图 4，将正方形花布的四个角各截去一个全等的直角三角形，设DF=GC= x，则 EF2x,因为， EF=FG ，所以2x a 2x，解得x2 2 a2因此，应从正方形花布的四个角各截去一个全等的直角边为22a 的等腰直角三2角形 .28.圆锥的侧面展开图如图 5 所示，则线段AA 的长为最短路径设扇形的圆心角为n ，则2r n 3r，解得 n 120 180作 OC AA，AOC60，AOC 30 ，因为 OA3r , 所以 OC 3r ，由勾股定理求得 AC33r ，22所以 AA 3 3r ，即蚂蚁从 A 点出发沿圆锥面爬行一周后又回到原出发点的最短路径长为 3 3r .备用题 .1.连结 DE ，（如图 6）因为 BD 是ABC 的平分线，所以ABD EBD ，所以因为 AB=AC ，所以ABC C ，因为CDE ABC所以C CDE ，所以CE=DE，所以AD=CE.AD=DE，图6如图72.连结 OE，（如图 7）由切线性质及切线长定理可得：Rt AOB Rt EOB ，R t C O D R t C O所以AOB EOB , COD COE所以BOE1AOD1COE180 90 22即BOC90 ，所以OB OC .。

人教版初中数学九年级上册-：《圆》专题测试卷(有解析))

《圆》专题检测卷时间：100分钟满分：100分班级：_______ 姓名：________得分:_______一．选择题（每题3分，共30分）1．已知圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则∠D的大小是（）A．45°B．60°C．90°D．135°2．已知△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交BC于点D，若∠B＝62°，∠C＝50°，则∠ADB的度数是（）]A．68°B．72°C．78°D．82°3．如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，且∠AOC＝126°，则∠CDB＝（）A．54°B．64°C．27°D．37°4．如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，交于BC的中点D，过点D作直线EF与⊙O相切，交AC于点E，交AB的延长线于点F．若△ABC的面积为△CDE的面积的8倍，则下列结论中，错误的是（）A．AC＝2AO B．EF＝2AE C．AB＝2BF D．DF＝2DE；5．已知⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，P为⊙O上除C、D外任意一点，则∠CPD的度数为（）A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°6．以O为中心点的量角器与直角三角板ABC如图所示摆放，直角顶点B在零刻度线所在直线DE上，且量角器与三角板只有一个公共点P，若点P的读数为35°，则∠CBD的度数是（）A．55°B．45°C．35°D．257．如图，是用一把直尺、含60°角的直角三角板和光盘摆放而成，点A为60°角与直尺交点，点B为光盘与直尺唯一交点，若AB＝3，则光盘的直径是（）{A．6B．3C．6 D．38．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB＝8，OC＝3，则EC的长为（）A．B．8 C．D．9．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝5cm，BC＝8cm．动点D从点C出发，沿线段CB以2cm/s 的速度向点B运动，同时动点O从点B出发，沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随时停止．设运动时间为t（s），以点O为圆心，OB长为半径的⊙O与BA交于另一点E，连接ED．当直线DE与⊙O相切时，t的取值是（）A．B．C．D．：10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以BC为直径的半圆O交斜边AB于点D，则图中阴影部分的面积为（）A．π﹣B．π﹣C．π﹣D．π﹣二．填空题（每题4分，共20分）11．如图，在三角形广场ABC的三个角处各建一个半径相等的扇形草坪，草坪的半径长为20m，则草坪的总面积为．（保留π）12．如图所示，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠BAC与∠BOC互补，则∠BOC的度数为．·13．如图，已知C为上一点，若∠AOB＝100°，则∠ACB的度数为度．14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，且四边形OABC是平行四边形，则∠D＝．15．如图，等边△ABC中，AB＝2，点D是以A为圆心，半径为1的圆上一动点，连接CD，取CD的中点E，连接BE，则线段BE的最大值与最小值之和为．三．解答题（每题10分，共50分）；16．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，∠BAC＝∠DAC，过点C做直线EF⊥AD，交AD的延长线于点E，连接BC．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若∠BAC＝∠DAC＝30°，BC＝2，求劣弧的长l．17．如图，一个装满玉米的粮囤，上面是圆锥形，下面是圆柱形，圆柱底面的半径是10米，高是4米，圆锥的高是3米．（π≈）（1）求这个粮囤能装多少立方米的玉米（2）若每立方米玉米重吨，这囤玉米有多少吨（3）在（2）的条件下，粮库欲将这些玉米运往食品加工厂，甲、乙两个运输队承担此次运输任务，已知甲运输队每天比乙运输队多运送，在运送过程中，甲、乙两运输队合运7天后，甲运输队有其他任务，剩下由乙运输队单独运送6天，恰好运完．求甲、乙两运输队每天各运送多少吨玉米\18．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，交BC于F．（1）若∠ABC＝40°，∠C＝80°，求∠CBD的度数；（2）求证：DB＝DE；、（3）若AB＝6，AC＝4，BC＝5，求DE的长．19．如图，在△ABC中，BC＝4，且△ABC的面积为4，以点A为圆心，2为半径的⊙A交AB于E，交AC于F，点P是⊙A上一点，且∠EPF＝45°．（1）求证：BC为⊙A的切线；…（2）求图中阴影部分的面积．20．如图①，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD平分∠CAB，AD与BC交于点F，过点D作DE⊥AB于点E．|（1）求证：BC＝2DE；（2）如图②，连接OF，若∠AFO＝45°，半径为2时，求AC的长．参考答案一．选择题1．解：∵四边形ABCD为圆的内接四边形，∴∠A：∠B：∠C：∠D＝1：2：3：2，而∠B+∠D＝180°，|∴∠D＝×180°＝90°．故选：C．2．解：延长AD交⊙O于E，连接CE，则∠E＝∠B＝62°，∠ACE＝90°，∴∠CAE＝90°﹣62°＝28°，∵∠ADB＝∠CAE+∠ACB＝78°，故选：C．;3．解：∵∠AOC＝126°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝54°，∵∠CDB＝∠BOC＝27°．故选：C．4．解：连接OD、AD，∵OB＝OA，BD＝DC，∴AC＝2OD，∵OA＝OD，、∴AC＝2OD，A正确，不符合题意；∵EF是⊙O的切线，∴OD⊥EF，∵OB＝OA，BD＝DC，∴OD∥AC，∴AE⊥EF，∵△ABC的面积为△CDE的面积的8倍，D是BC的中点，∴△ADC的面积为△CDE的面积的4倍，,∴△ADE的面积为△CDE的面积的3倍，∴AE＝3EC，∴＝，∵OD∥AC，∴＝＝，∴FA＝2AE，B错误，符合题意；AB＝2BF，C正确，不符合题意；＝＝，!∴DF＝2DE，D正确，不符合题意；故选：B．5．解：连接OC、OD，如图，∵⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，∴∠COD＝60°，当P点在弧CAD上时，∠CPD＝∠COD＝30°，当P点在弧CD上时，∠CPD＝180°﹣30°＝150°，;综上所述，∠CPD的度数为30°或150°．故选：B．6．解：∵AB是⊙O的切线，∴∠OPB＝90°，∵∠ABC＝90°，∴OP∥BC，∴∠CBD＝∠POB＝35°，》故选：C．7．解：设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，由切线长定理知AB＝AC＝3，OA平分∠BAC，∴∠OAB＝60°，在Rt△ABO中，OB＝AB tan∠OAB＝3，∴光盘的直径为6，故选：A．—8．解：连接BE，∵AE为⊙O直径，∴∠ABE＝90°，∵OD⊥AB，OD过O，∴AC＝BC＝AB＝＝4，∵AO＝OE，∴BE＝2OC，;∵OC＝3，∴BE＝6，在Rt△CBE中，EC＝＝＝2，故选：D．9．解：作AH⊥BC于H，如图，BE＝2t，BD＝8﹣2t，∵AB＝AC＝5，∴BH＝CH＝BC＝4，当BE⊥DE，直线DE与⊙O相切，则∠BED＝90°，)∵∠EBD＝∠ABH，∴△BED∽△BHA，∴＝，即＝，解得t＝．故选：A．10．解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B ＝60°，∴∠COD ＝120°，}∵BC ＝4，BC 为半圆O 的直径，∴∠CDB ＝90°，∴OC ＝OD ＝2，∴CD ＝BC ＝2，图中阴影部分的面积＝S 扇形COD ﹣S △COD ＝﹣2×1＝﹣，故选：A ．二．填空题（共5小题）11．解：S 草坪＝＝200π（m 2），！故答案为200πm 2．12．解：∵∠BAC 和∠BOC 所对的弧都是， ∴∠BAC ＝∠BOC∵∠BAC +∠BOC ＝180°， ∴∠BOC +∠BOC ＝180°，∴∠BOC ＝120°．故答案为120°．13．解：在优弧AB 上取一点D ，连接AD 、BD ，~∵∠AOB ＝100°，∴∠D ＝AOB ＝50°，∵A 、D 、B 、C 四点共圆，∴∠D +∠ACB ＝180°，∴∠ACB ＝180°﹣∠D ＝130°，故答案为：130．14．解：∵四边形OABC是平行四边形，?∴∠AOC＝∠ABC，∵∠D+∠ABC＝180°，∠D＝∠AOC＝∠ABC，∴设∠D＝x，则∠ABC＝2x，∴x+2x＝180°，解得：x＝60°，故∠D＝60°．故答案为：60°．15．解：延长CB到T，使得BT＝BC，连接AT，DT，AD．%∵△ABC是等边三角形，∴BA＝BC＝AC＝BT＝2，∠ACB＝60°，∴∠CAT＝90°，∴AT＝CT•sin60°＝2，∵AD＝1，∴2﹣1≤DT≤2+1，∵CB＝BT，CE＝DE，@∴BE＝DT，∴≤BE≤，∴线段BE的最大值与最小值之和为2，故答案为2．三．解答题（共5小题）16．（1）证明：连接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠DAC，>∴∠DAC＝∠OCA，∴AD∥OC，∵∠AEC＝90°，∴∠OCF＝∠AEC＝90°，∴EF是⊙O的切线；（2）解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝∠DAC＝30°，BC＝2，&∴∠BOC＝60°，AB＝2BC＝4，∴OB＝AB＝2，∴的长＝＝π．17．解：（1）＝×＝1570（立方米）答：这个粮囤能装1570立方米的玉米；（2）×1570＝1256（吨）．*答：这囤玉米有1256吨；（3）设乙运输队每天运送x吨玉米，则甲运输队每天运送吨玉米．根据题意得，，解得x＝60，（吨）．答：乙运输队每天运送60吨玉米，甲运输队每天运送68吨玉米．18．解：（1）∵∠ABC＝40°，∠C＝80°，∴∠BAC＝180°﹣40°﹣80°＝60°，$∵点E是△ABC的内心，∴∠CAD＝∠BAD＝BAC＝30°，∴∠CBD＝∠CAD＝30°．答：∠CBD的度数为30°；（2）证明：如图，连接BE，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠2＝∠6，，∴∠1＝∠6，∵∠5＝∠1+∠3，∠DBE＝∠6+∠4＝∠1+∠3，∴∠5＝∠DBE，∴DB＝DE；（3）∵∠1＝∠2，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∴＝＝，∴BF＝3，CF＝2，>∵∠6＝∠2，∠D＝∠C，∴△BDF∽△ACF，∴＝＝＝2，＝，∴DF＝BD，DF•AF＝BF•CF＝6，∵∠1＝∠2＝∠6，∠BDF＝∠ADB，∴△DBF∽△DAB，∴＝，|∴BD2＝DF•DA＝DF（AF+DF）＝DF•AF+DF2＝6+（BD）2，解得BD＝2，∴DE＝BD＝2．答：DE的长为2．19．解：（1）过点A作AD⊥BC于点D，∵△ABC的面积为4，∴BC•AD＝4，∴AD＝2，…∵⊙A的半径为2，∴BC是⊙A的切线．（2）∵∠EPF＝45°，∴由圆周角定理可知：∠BAC＝90°，＝＝π，∴S扇形AEF∴阴影部分的面积为4﹣π．20．（1）证明：如图①中，延长DE交⊙O于G，连接AG．。

数学九年级上册圆几何综合专题练习(word版

数学九年级上册圆几何综合专题练习（word 版一、初三数学圆易错题压轴题（难）1．已知圆O 的半径长为2，点A 、B 、C 为圆O 上三点，弦BC=AO ，点D 为BC 的中点，(1)如图，连接AC 、OD ，设∠OAC=α，请用α表示∠AOD ；(2)如图，当点B 为AC 的中点时，求点A 、D 之间的距离：(3)如果AD 的延长线与圆O 交于点E ，以O 为圆心，AD 为半径的圆与以BC 为直径的圆相切，求弦AE 的长．【答案】（1）1502AOD α∠=︒-；（2）7AD =3）33133122or 【解析】【分析】（1）连接OB 、OC ，可证△OBC 是等边三角形，根据垂径定理可得∠DOC 等于30°，OA=OC 可得∠ACO=∠CAO=α，利用三角形的内角和定理即可表示出∠AOD 的值.（2）连接OB 、OC ，可证△OBC 是等边三角形，根据垂径定理可得∠DOB 等于30°，因为点D 为BC 的中点，则∠AOB=∠BOC=60°，所以∠AOD 等于90°，根据OA=OB=2,在直角三角形中用三角函数及勾股定理即可求得OD 、AD 的长.（3）分两种情况讨论：两圆外切，两圆内切.先根据两圆相切时圆心距与两圆半径的关系，求出AD 的长，再过O 点作AE 的垂线，利用勾股定理列出方程即可求解.【详解】(1)如图1：连接OB 、OC.∵BC=AO∴OB=OC=BC∴△OBC 是等边三角形∴∠BOC=60°∵点D 是BC 的中点∴∠BOD=1302BOC ∠=︒ ∵OA=OC∴OAC OCA ∠=∠=α∴∠AOD=180°-α-α-30︒=150°-2α(2)如图2：连接OB、OC、OD.由（1）可得：△OBC是等边三角形，∠BOD=130 2BOC∠=︒∵OB=2，∴OD=OB∙cos30︒=3∵B为AC的中点，∴∠AOB=∠BOC=60°∴∠AOD=90°根据勾股定理得：AD=227AO OD+=（3）①如图3.圆O与圆D相内切时：连接OB、OC，过O点作OF⊥AE∵BC是直径，D是BC的中点∴以BC为直径的圆的圆心为D点由（2）可得：3D的半径为1∴31设AF=x 在Rt △AFO 和Rt △DOF 中，2222OA AF OD DF -=-即()2222331x x -=-+- 解得：331x 4+= ∴AE=3312AF +=②如图4.圆O 与圆D 相外切时：连接OB 、OC ，过O 点作OF ⊥AE∵BC 是直径，D 是BC 的中点∴以BC 为直径的圆的圆心为D 点由（2）可得：3D 的半径为1∴31在Rt △AFO 和Rt △DOF 中，2222OA AF OD DF -=-即()2222331x x -=-解得：331x 4-= ∴AE=3312AF -=【点睛】本题主要考查圆的相关知识：垂径定理，圆与圆相切的条件，关键是能灵活运用垂径定理和勾股定理相结合思考问题，另外需注意圆相切要分内切与外切两种情况.2．如图，矩形ABCD中，BC＝8，点F是AB边上一点（不与点B重合）△BCF的外接圆交对角线BD于点E，连结CF交BD于点G．（1）求证：∠ECG＝∠BDC．（2）当AB＝6时，在点F的整个运动过程中．①若BF＝22时，求CE的长．②当△CEG为等腰三角形时，求所有满足条件的BE的长．（3）过点E作△BCF外接圆的切线交AD于点P．若PE∥CF且CF＝6PE，记△DEP的面积为S1，△CDE的面积为S2，请直接写出12SS的值．【答案】（1）详见解析；（2）①1825；②当BE为10，395或445时，△CEG为等腰三角形；（3）724.【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得出∠ABD＝∠BDC，根据圆周角定理得出∠ABD＝∠ECG，即可证得结论；（2）根据勾股定理求得BD ＝10，①连接EF ，根据圆周角定理得出∠CEF ＝∠BCD ＝90°，∠EFC ＝∠CBD ．即可得出sin ∠EFC＝sin ∠CBD ，得出35CE CD CF BD ==，根据勾股定理得到CF ＝CE ； ②分三种情况讨论求得：当EG ＝CG 时，根据等腰三角形的性质和圆周角定理即可得到∠GEC ＝∠GCE ＝∠ABD ＝∠BDC ，从而证得E 、D 重合，即可得到BE ＝BD ＝10；当GE ＝CE 时，过点C 作CH ⊥BD 于点H ，即可得到∠EGC ＝∠ECG ＝∠ABD ＝∠GDC ，得到CG ＝CD ＝6．根据三角形面积公式求得CH ＝245，即可根据勾股定理求得GH ，进而求得HE ，即可求得BE ＝BH ＋HE ＝395；当CG ＝CE 时，过点E 作EM ⊥CG 于点M ，由tan ∠ECM ＝43EM CM =．设EM ＝4k ，则CM ＝3k ，CG ＝CE ＝5k ．得出GM ＝2k ，tan ∠GEM ＝2142GM k EM k ==，即可得到tan ∠GCH ＝GH CH =12．求得HE ＝GH ＝125，即可得到BE ＝BH ＋HE ＝445；（3）连接OE 、EF 、AE 、EF ，先根据切线的性质和垂直平分线的性质得出EF ＝CE ，进而证得四边形ABCD 是正方形，进一步证得△ADE ≌△CDE ，通过证得△EHP ∽△FBC ，得出EH ＝16BF ，即可求得BF ＝6，根据勾股定理求得CF ＝10，得出PE ＝106，根据勾股定理求得PH ，进而求得PD ，然后根据三角形面积公式即可求得结果．【详解】（1）∵AB ∥CD ．∴∠ABD ＝∠BDC ，∵∠ABD ＝∠ECG ，∴∠ECG ＝∠BDC ．（2）解：①∵AB ＝CD ＝6，AD ＝BC ＝8，∴BD ＝10，如图1，连结EF ，则∠CEF ＝∠BCD ＝90°，∵∠EFC ＝∠CBD ．∴sin ∠EFC ＝sin ∠CBD ， ∴35CE CD CF BD ==∴CF∴CE②Ⅰ、当EG＝CG时，∠GEC＝∠GCE＝∠ABD＝∠BDC．∴E与D重合，∴BE＝BD＝10．Ⅱ、如图2，当GE＝CE时，过点C作CH⊥BD于点H，∴∠EGC＝∠ECG＝∠ABD＝∠GDC，∴CG＝CD＝6．∵CH＝BC CD24 BD5⋅=，∴GH185 =，在Rt△CEH中，设HE＝x，则x2+（245）2＝（x+185）2解得x＝75，∴BE＝BH+HE＝325+75＝395；Ⅲ、如图2，当CG＝CE时，过点E作EM⊥CG于点M．∵tan∠ECM＝43 EMCM=．设EM＝4k，则CM＝3k，CG＝CE＝5k．∴GM＝2k，tan∠GEM＝2142 GM kEM k==，∴tan∠GCH＝GHCH＝tan∠GEM＝12．∴HE＝GH＝12412 255⨯=，∴BE＝BH+HE＝321244 555+=，综上所述，当BE为10，395或445时，△CEG为等腰三角形；（3）解：∵∠ABC＝90°，∴FC是△BCF的外接圆的直径，设圆心为O，如图3，连接OE、EF、AE、EF，∵PE是切线，∴OE⊥PE，∵PE∥CF，∴OE⊥CF，∵OC＝OF，∴CE＝EF，∴△CEF是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，EF=2FC，∴∠ABD＝∠ECF＝45°，∴∠ADB＝∠BDC＝45°，∴AB＝AD＝8，∴四边形ABCD是正方形，∵PE∥FC，∴∠EGF＝∠PED，∴∠BGC＝∠PED，∴∠BCF＝∠DPE，作EH⊥AD于H，则EH＝DH，∵∠EHP＝∠FBC＝90°，∴△EHP∽△FBC，∴16 EH PEBF FC==，∴EH＝16 BF，∵AD＝CD，∠ADE＝∠CDE，∴△ADE≌△CDE，∴AE＝CE，∴AE＝EF，∴AF＝2EH＝13 BF，∴13BF+BF＝8，∴BF＝6，∴EH＝DH＝1，CF10，∴PE＝16FC＝53，∴PH4 3 =，∴PD＝47133 +=，∴1277 3824S PDS AD===．【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，圆周角定理、三角形的面积以及相似三角形的判定和性质，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．3．在平面直角坐标系xOy中，已知 A(-2，0)，B(2，0)，AC⊥AB于点A，AC=2，BD⊥AB于点B，BD=6，以AB为直径的半圆O上有一动点P（不与A、B两点重合），连接PD、PC，我们把由五条线段AB、BD、DP、PC、CA所组成的封闭图形ABDPC叫做点P的关联图形，如图1所示.（1）如图2，当P运动到半圆O与y轴的交点位置时，求点P的关联图形的面积.（2）如图3，连接CD、OC、OD,判断△OCD的形状，并加以证明.（3）当点P运动到什么位置时，点P的关联图形的面积最大，简要说明理由，并求面积的最大值.【答案】（1）12；（2）判断△OCD是直角三角形，证明见解析；（3）连接OC，交半圆O于点P，这时点P的关联图形的面积最大，理由风解析，82+【解析】试题分析：（1）判断出四边形AOPC是正方形，得到正方形的面积是4，根据BD⊥AB，BD=6，求出梯形OPDB的面积=()(26)2822OP DB OB+⨯+⨯==，二者相加即为点P的关联图形的面积是12．（2）根据CF=DF=4，∠DCF=45°，求出∠OCD=90°，判断出△OCD是直角三角形．（3）要使点P的关联图形的面积最大，就要使△PCD的面积最小，确定关联图形的最大面积是梯形ACDB的面积﹣△PCD的面积，根据此思路，进行解答．试题解析：（1）∵A（﹣2，0），∴OA=2，∵P 是半圆O 上的点，P 在y 轴上，∴OP=2，∠AOP=90°，∴AC=2，∴四边形AOPC 是正方形，∴正方形的面积是4，又∵BD ⊥AB ，BD=6，∴梯形OPDB 的面积=()(26)2822OP DB OB +⨯+⨯==， ∴点P 的关联图形的面积是12．（2）判断△OCD 是直角三角形．证明：延长CP 交BD 于点F ，则四边形ACFB 为矩形，∴CF=DF=4，∠DCF=45°，∴∠OCD=90°，∴OC ⊥CD ，∴△OCD 是直角三角形．（3）连接OC 交半圆O 于点P ，则点P 即为所确定的点的位置．理由如下：连接CD ，梯形ACDB 的面积=()(26)41622AC DB AB +⨯+⨯==为定值，要使点P 的关联图形的面积最大，就要使△PCD 的面积最小，∵CD 为定长，∴P 到CD 的距离就要最小，连接OC ，设交半圆O 于点P ， ∵AC ⊥OA ，AC=OA ，∴∠AOC=45°，过C 作CF ⊥BD 于F ，则ACFB 为矩形， ∴CF=DF=4，∠DCF=45°，∴OC ⊥CD ，OC=2∴PC 在半圆外，设在半圆O 上的任意一点P′到CD 的距离为P′H ，则P′H+P′O ＞OH ＞OC ， ∵OC=PC+OP ，∴P′H ＞PC ，∴当点P 运动到半圆O 与OC 的交点位置时，点P 的关联图形的面积最大．∵CD=42CP=222，∴△PCD 的面积=()(26)41622AC DB AB +⨯+⨯==， ∴点P 的关联图形的最大面积是梯形ACDB 的面积﹣△PCD 的面积=16(842)842--=+考点：圆的综合题．4．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC的边BC在y轴的正半轴上，点A在x轴的正半轴上，点C的坐标为（0，8），将△ABC沿直线AB折叠，点C落在x轴的负半轴D（−4，0）处．（1）求直线AB的解析式；（2）点P从点A出发以每秒45个单位长度的速度沿射线AB方向运动，过点P作PQ⊥AB，交x轴于点Q，PR∥AC交x轴于点R，设点P运动时间为t（秒），线段QR长为d，求d与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，点N是射线AB上一点，以点N为圆心，同时经过R、Q两点作⊙N，⊙N交y轴于点E，F．是否存在t，使得EF=RQ？若存在，求出t的值，并求出圆心N的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）132y x=-+（2）d=5t （3）故当 t=85，或815，时，QR=EF，N（-6，6）或（2，2）．【解析】试题分析：（1）由C（0，8），D（-4，0），可求得OC，OD的长，然后设OB=a，则BC=8-a，在Rt△BOD中，由勾股定理可得方程：（8-a）2=a2+42,解此方程即可求得B的坐标，然后由三角函数的求得点A的坐标，再利用待定系数法求得直线AB的解析式；（2）在Rt△AOB中，由勾股定理可求得AB的长，继而求得∠BAO的正切与余弦，由PR//AC 与折叠的性质，易证得RQ=AR，则可求得d与t的函数关系式；（3）首先过点分别作NT⊥RQ于T，NS⊥EF于S，易证得四边形NTOS是正方形，然后分别从点N在第二象限与点N在第一象限去分析求解即可求解;（1）∵C （0，8），D （-4，0），∴OC=8，OD=4，设OB=a ，则BC=8-a ，由折叠的性质可得：BD=BC=8-a ，在Rt △BOD 中，∠BOD=90°，DB 2=OB 2+OD 2，则（8-a ）2=a 2+42，解得：a=3，则OB=3，则B （0，3），tan ∠ODB=34OB OD = ，在Rt △AOC 中，∠AOC=90°，tan ∠ACB=34OA OC = ，则OA=6，则A （6，0），设直线AB 的解析式为：y=kx+b ，则60{3k b b +== ，解得：1{23k b =-= ，故直线AB 的解析式为：y=-12x +3；（2）如图所示：在Rt △AOB 中，∠AOB=90°，OB=3，OA=6，则22135,tan 2OB OB OA BAO OA +=∠== ，255OA cos BAO AB∠==，在Rt △PQA 中，905APQ AP t ∠=︒=，则AQ=10cos AP t BAO=∠ , ∵PR ∥AC ，∴∠APR=∠CAB ，由折叠的性质得：∠BAO=∠CAB ，∴∠BAO=∠APR ，∵∠RAP+∠PQA=∠APR+∠QPR=90°，∴∠PQA=∠QPR ，∴RP=RQ ，∴RQ=AR ，∴QR=12AQ=5t, 即d=5t; （3）过点分别作NT ⊥RQ 于T ，NS ⊥EF 于S ，∵EF=QR ，∴NS=NT ，∴四边形NTOS 是正方形，则TQ=TR=1522QR t = ， ∴1115151022224NT AT AQ TQ t t t ==-=-=（）（），分两种情况，若点N 在第二象限，则设N （n ，-n ），点N 在直线132y x =-+ 上，则132n n -=-+ ，解得：n=-6，故N （-6，6），NT=6，即1564t = ，解得：85t = ; 若点N 在第一象限，设N （N ，N ），可得：132n n =-+ , 解得：n=2，故N （2，2），NT=2，即1524t ,解得：t=815∴当 t=85，或815，时，QR=EF，N（-6，6）或（2，2）。

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专题04 圆章末重难点题型【举一反三】【考点1 圆的相关概念】【方法点拨】解决此类问题的关键是圆中的半径所构成等腰三角形的灵活应用.【例1】如图，⊙O的直径BA的延长线与弦DC的延长线交于点E，且CE＝OB，已知∠DOB＝72°，则∠E等于（）A．36°B．30°C．18°D．24°【变式1-1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，以C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，连接CD，则∠ACD＝（）A．10°B．15°C．20°D．25°【变式1-2】如图，半圆O是一个量角器，△AOB为一纸片，AB交半圆于点D，OB交半圆于点C，若点C、D、A在量角器上对应读数分别为45°，70°，160°，则∠B的度数为（）A．20°B．30°C．45°D．60°【变式1-3】如图，A，B，C是⊙O上的三点，AB，AC的圆心O的两侧，若∠ABO＝20°，∠ACO＝30°，则∠BOC的度数为（）A．100°B．110°C．125°D．130°【考点2 垂径定理求线段】【方法点拨】垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．【例2】如图，⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝4：5，则AB的长为（）A．6 B．7 C．8 D．9【变式2-1】如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EB．若AB＝4，CD＝1，则EB的长为（）A．3 B．4 C．5 D．2.5【变式2-2】如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AC于点E，连接BC过点O作OF⊥BC于点F，若BD＝12cm，AE＝4cm，则OF的长度是（）A．B．C．D．3cm【变式2-3】如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD 的长是（）A．2B．2C．2D．4【考点3 圆周角定理】【方法点拨】圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。

推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

【例3】如图，BC是⊙O的直径，A，D是⊙O上的两点，连接AB，AD，BD，若∠ADB＝70°，则∠ABC 的度数是（）A．20°B．70°C．30°D．90°【变式3-1】如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是上的点．若∠BOC＝50°，则∠D的度数（）A．105°B．115°C．125°D．85°【变式3-2】如图，AD是半圆的直径，点C是弧BD的中点，∠ADC＝55°，则∠BAD等于（）A．50°B．55°C．65°D．70°【变式3-3】如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，若∠ABC＝30°，则∠CAD的度数为（）A．l00°B．105°C．110°D．120【考点4 圆的内接四边形】【方法点拨】圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补,且任意一个角的外角都等于其内对角.【例4】如图，点A、B、C、D在⊙O上，，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝（）A．30°B．50°C．70°D．80°【变式4-1】如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的一个外角∠EBC＝55°，分别连接AC、BD，若AC＝AD，则∠DBC的度数为（）A．50°B．60°C．65°D．70°【变式4-2】如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且＝，连接CF并延长交AD的延长线于点E ，连接AC ，若∠ABC ＝105°，∠BAC ＝25°，则∠E 的度数为（）A ．45°B ．50°C ．55°D ．60°【变式4-3】如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，若⊙O 的半径为4，且∠B ＝2∠D ，连接AC ，则线段AC 的长为（）A ．4B ．4C ．6D ．8【考点5 弧长计算】【方法点拨】n °的圆心角所对的弧长l 为：180R n l π=。

【例5】如图，AC 是⊙O 的直径，B ，D 是⊙O 上的点，若⊙O 的半径为3，∠ADB ＝30°，则的长为．【变式5-1】如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，∠ABC 的平分线交⊙O 于点D ．若AB ＝6，∠BAC ＝30°，则劣弧的长等于．【变式5-2】如图，△ABC 的顶点C 在半径为9的⊙O 上，∠C ＝40°，边AC ，BC 分别与⊙O 交于D ，E 两点，则劣弧DE的长度为．【变式5-3】如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，E为BC的中点，AF＝1，以EF为直径的半圆与DE 交于点G，则劣弧的长为．【考点6 正多边形与圆】【方法点拨】定义：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。

【例6】如图，⊙O与正六边形OABCDE的边OA、OE分别交丁点F、G，点M在FG上，则圆周角∠FMG 的大小为度．【变式6-1】如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D，则劣弧所对的圆心角∠BOD 的大小为度．【变式6-2】如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是°．【变式6-3】如图，⊙O的半径为2，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，对角线CE、DF相交于点M，则△MEF的面积是．【考点7 与圆有关的求最值】【例7】正△ABC的边长为4，⊙A的半径为2，D是⊙A上动点，E为CD中点，则BE的最大值为．【变式7-1】如图，在平面直角坐标系中，点P（3，4），⊙P半径为2，A（2.6，0），B（5.2，0），点M 是⊙P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值为．【变式7-2】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D是以点A为圆心4为半径的圆上一点，连接BD，点M为BD中点，线段CM长度的最大值为．【变式7-3】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE ＝3，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为．【考点8 垂径定理的应用】【例8】一些不便于直接测量的圆形孔道的直径可以用如下方法测量．如图，把一个直径为10mm的小钢球紧贴在孔道边缘，测得钢球顶端离孔道外端的距离为8mm，求这个孔道的直径AB．【变式8-1】在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB 于点E，AE＝1寸，CD＝10寸，求直径AB的长．请你解答这个问题．【变式8-2】在直径为1000毫米的圆柱形油罐内装进一些油．其横截面如图．油面宽AB＝600毫米．（1）求油的最大深度；（2）如果再注入一些油后，油面宽变为800毫米，此时油面上升了多少毫米？【变式8-3】如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？【考点9 切线的性质与判定】【方法点拨】切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。

经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长。

【例9】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E．（1）求证：AC是⊙D的切线；（2）若CE＝2，求⊙D的半径．【变式9-1】如图，点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，E 是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若OB＝BF，EF＝4，求AD的长．【变式9-2】如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点O作OD⊥AB，交BC的延长线于D，交AC 于点E，F是DE的中点，连接CF．（1）求证：CF是⊙O的切线．（2）若∠A＝22.5°，求证：AC＝DC．【变式9-3】如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，E是BC 上的一点，且BE ＝BF ，连接DE ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线．（2）若BF ＝2，DH ＝，求⊙O 的半径．【考点10 圆中阴影面积计算】【方法点拨】圆心角为n °的扇形面积S 为：3602R n S π=扇形；lR S 21=扇形【例10】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的圆，交AC 于E 点，交BC 于D 点．（1）若AB ＝8，∠C ＝60°，求阴影部分的面积；（2）当∠A 为锐角时，试说明∠A 与∠CBE 的关系．【变式10-1】如图，已知AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，OC ∥BD ，交AD 于点E ，连结BC ．（1）求证：AE ＝ED ；（2）若AB ＝8，∠CBD ＝30°，求图中阴影部分的面积．【变式10-2】如图，△ABC 中，∠ABC ＝90°，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，点E 为BC 的中点，连接OD、DE．（1）求证：OD⊥DE．（2）若∠BAC＝30°，AB＝8，求阴影部分的面积．【变式10-3】如图，在△ABC中，AB＝AC，E在AC上，经过A，B，E三点的圆O交BC于点D，且D点是弧BE的中点，（1）求证AB是圆的直径；（2）若AB＝8，∠C＝60°，求阴影部分的面积；（3）当∠A为锐角时，试说明∠A与∠CBE的关系．。

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