第六章 无穷级数

其和函数 S(x) 是连续函数．
6.2 幂级数

性质 3 如果幂级数 an xn 的收敛半径 R 0，则在收敛区间 (R, R) 内， n0
其和函数 S(x) 是可积的，并且有
x
S (t )dt

0
x
(
0
ant n )dt


n0
n0
x 0
ant ndt


数 un (x0 ) 收敛，则称级数（1）在点 x0 收敛， x0 称为收敛点；如果发散，则称 x0 为这 n1
个级数的发散点．一个级数的收敛点的全体称为它的收敛域．
在收敛域上，函数项级数的和是关于 x 的函数 S(x) ，通常称 S(x) 为函数项级数的
和函数，记作

S(x) un (x) ． n 1

1 n 1
．
Sn
1 1 L 12 23
1 n (n 1)
(1 1) (1 1) (1 1) L (1 1 )
2 23 34
n n1

1

n
1
1
．
因为
lim
n
S
n

lim(1
n
n
1
) 1

1
，所以级数
n1
1 n(n 1)
收敛，且
n1
1 n(n 1)
1．
6.1 常数项级数
6.1.2 常数项级数的基本性质


性质 1 若 un 收敛， c 为常数，则 cun 也收敛．
n 1
n1



性质 2 若 un 收敛于 s ， vn 收敛于 ，则 (un vn ) 收敛于 s ．
f (n1) (x) (n 1)!
x
n1
．
称为 f (x) 的麦克劳林展开式．
6.3 函数的幂级数展开式
例 写出函数 y e x 的麦克劳林展开式．
解： f (k) (x) e x ， f (k) (0) 1 ， (k 0,1,2, , n) ， f (n1) (x) ex ． 所以， y e x 的麦克劳林展开式为
n0
n0
n0
这性质表明幂级数在收敛区间内可以逐项求导．
6.2 幂级数
例
求幂级数
n0
x 2n1 2n 1
的和函数，并求级数
n0
1 ( 1 )2n1 2n 1 2
的值．
1
解：因为


lim
n
2(n
1) 1
1
1，所以
R
1 ．又
x2n1 2n 1
n0
n0

令 R min(R1, R2 ) ，则在 (R, R) 内，幂级数 (an bn )xn 收敛，且有 n0



(an bn )xn an x n bn x n ．
n0
n0
n0

性质 2 如果幂级数 an xn 的收敛半径 R 0，则在收敛区间 (R, R) 内， n0
x 2n1 1 1 x
n0
2n
1

ln 2
1
x
，
x (1,1)
．
1 ( 1 )2n1
n0 2n 1 2

1 ln 1 x 2 1 x
x1

1 2
ln
3
．
2
6.3 函数的幂级数展开式
6.3.1 泰勒级数
1.泰勒展开式
设 y f (x) 在 x0 的某邻域内有直至 n 1阶的导数，则对此邻域内任意 x 有
正常数时，幂级数在收敛区间的端点处 x R 可能收敛，也可能发散；| x | R
时，幂级数发散．
例
求级数

(1) n1
n 1
xn n
的收敛区间与收敛域．
1
解：
lim
n
|
an1 an
|
lim n
n 1 1
1，即
1，所以收敛半径 R

1
1．
n

ex
1
x
1 x2 2!

1 x3 3!


1 xn n!

(n
1
1)!
ex
x
n1
．
为了计算 e 的近似值，可在上式中取 x 1，得 e 的表达式为
第六章 无穷级数
无穷级数是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的重要工具，它主 要包括常数项级数和函数项级数两部分．
第六章 无穷级数
6.1 常数项级数 6.2 幂级数 6.3 函数的幂级数展开式 6.4 傅里叶级数
6.1.1 常数项级数的基本概念
6.1 常数项级数
定义 1 设给定数列 u1, u2 , , un , ，则将式子 u1 u2 un 称为
S
n

S ，则称级数
un
n 1
收敛，并称极限值 S 为级数
un
n 1
的和，记为 un n 1

= S ．如果部分和数列 Sn 没有极限，则称级数 un 发散． n 1
6.1 常数项级数
1
例 讨论级数 n1 n(n 1) 的敛散性．
解：通项 un

1 n(n 1)

1 n
f (x) f (x0 )
f
( x0 1!
)
(
x

x0
)

f
( x0 2!
)
(x

x0
)2


f
(n) (x0 ) n!
(x

x0 )n

f (n1) ( ) (n 1)!
(x

x0
) n1 ．
在 x 与 x0 之间．称上式为 f (x) 的泰勒展开式或泰勒公式，其中
Rn (x)
n0
的函数项级数称为 x x0 的幂级数，其中常数 a0 , a1, a2 , , an , 称为幂级数的
系数．
定理
设
lim
n
|
an1 an
|


( 0) ，则

① 当 0 时，幂级数 an xn 在任何 x (,) 处收敛； n1

② 当 时，幂级数 an xn 仅在 x 0处收敛； n1
1.函数的项级数
设 u1(x),u2 (x),L ,un (x),L 都是定义在数集 E 上的函数，则和式

u1 (x) + u2 (x) +…+ un (x) +… un (x) (1) n 1
称为定义在数集 E 上的函数项级数， un (x) 称为一般项或通项．
当 x 在数集 E 上取某个特定值 x0 时，级数（1）就是一个数项级数．如果这个数项级

x t 2ndt ，而
0
2n 1
x 2n
n0
1 x2
x4

x2n


1
1 x
2
， x (1,1) ．
逐项积分，得
x x3 x5 L x2n1 L
35
2n 1
x dt 0 1t2

1 2
ln 1 1
x x
，
x (1,1)
．
即 所以
n0
an n 1
x n1
．
这性质表明幂级数在收敛区间内可以逐项积分．

性质 4 如果幂级数 an xn 的收敛半径 R 0，则在收敛区间 (R, R) 内， n0
其和函数 S(x) 是可导的，并且有



S (x) ( an xn ) (an xn ) nan x n1 ．
6.1.3 级数收敛与发散的判定方法
1.正项级数收敛性的判定

如果级数 un 中的每一项均非负，即 un 0 (n 1, 2,3,L ) ，则称该级 n 1
数为正项级数．
（1）比较判别法


设 un ， vn 均为正项级数，且 un vn (n 1, 2,3,L ) ，则
)n
，
因为 q

1 2 p1
1，所以级数
n1
1 np
收敛．
6.1 常数项级数
（2）比值判别法

设 un 是正项级数，且 n 1
lim un1 u n
n
l
．

则 ① 当 l 1时，级数 un 收敛； n 1

② 当 l 1时，级数 un 发散； n 1

③ 当 l 1时，级数 un 可能收敛，也可能发散． n 1
n 1
n 1


① 由 vn 收敛，可推断 un 亦收敛；
n 1
n 1


② 由 un 发散，可推断 vn 亦发散．
n 1
n 1
6.1 常数项级数
1
例 讨论 p 级数 n1 n p 的敛散性（ p 0 ）．
1 1
解：① 当 p 1时， n1 n p n1 n 为调和级数，发散．
n 1
n 1
n1

性质 3
若
n 1
un
收敛，则
lim
n
u
n
0．
n
例 判别级数 n1 10n 3 的敛散性．
解：因为 un

n 10n
3
，
lim
n
un

n lim n 10n 3

1 10

0，
n
所以级数 n1 10n 3 发散．
6.1 常数项级数
其中 x 是收敛域内的任意一点．
将函数项级数的前 n
项和记作 Sn (x)
，则在收敛域上有
lim
n
S
n
(
x)

S(x) ．
6.2 幂级数
2.幂级数及其收敛区间 形如

an (x x0 )n a0 a1 (x x0 ) a2 (x x0 )2 an (x x0 )n

常数项无穷级数，简称数项级数，记作 un ，即 n 1

un = u1 u2 un ，
n 1
其中 u n 称为级数的通项或一般项．

定义 2 如果当 n 时，级数 un 的部分和数列 Sn 有极限 S ，即 n 1



lim
n
n1
n 1
数敛散性的判别方法如下：

如果交错级数 (1)n1un (un 0) 满足： n1
① un1 un (n 1, 2,3L ) ；
②
lim
n
un
0．
则该交错级数收敛，且其和 S u1 ．
(1)n1
例 判定级数 n 1
n
的敛散性．
6.1 常数项级数

若 un 收敛，但 | un | 发散，则称 un 是条件收敛级数；若 un 收
n 1
n 1
n 1
n 1

敛， | un n 1

| 也收敛，则称 un n 1

为绝对收敛级数．如 (1) n1 n1
1 n2
是绝对收
敛级数．
6.2 幂级数
6.2.1 幂级数的概念
②
当
1 p 1时， n p

1

n ，由比较判别法知 n1
1 np
发散．
③
1 当 p 1时， n1 n p

1

(
1 2p

1 3p
)
1 (4p

1 5p

1 6p

1 7p
)
L

1

(
1 2p

1 2p
)

(
1 4p

1 4p

1 4p

1 4p
)
L

n1
(
1 2 p1
当 x 1时，级数化为 (1)2n1
n1
1 n



n 1
1
n ，发散；
当
x

1时，级数化为
n1
(1) n1
1 n
，收敛；
所以，该级数的收敛区间为 (1,1) ，收敛域为 (1,1] ．
6.2.2 幂级数的性质
6.2 幂级数


性质 1 如果幂级数 an xn 和 bn xn 的收敛半径分别为 R1 0 ， R2 0 ，
③

当 为不等于零的正常数时，幂级数 an xn n1
在
x

(
1

,
1

)
内收
敛，在
x

(,

1

)
U
(
1

,
)
内发散．
6.2 幂级数


0 时，令
R

1

，并规定：

0 时，R

；

时，R

0 ．R

称为幂级数 an xn 的收敛半径；区间 (R, R) 称为幂级数的收敛区间． R 为 n1
解： un

1 n ，显然有 un1

1 n 1

1 n

u
n
，且
lim
n
u
n

lim 1 n n
0 ，所以
该级数是收敛的．
将级数

(1)n1 1 的每一项取绝对值后变成调和级数

1
是发散的，于
n1
n
n1 n
(1)n1
是我们称
n 1
n
为条件收敛级数．


ຫໍສະໝຸດ Baidu
f (n1) ( ) (n 1)!
(x

x0
) n1
称为 f (x) 的 n 阶泰勒余项．
在泰勒展开式中，当 x0 0 时，记 x ，（ 0 1），公式成为
f (x)
f (0)
f (0) x 1!
f (0) x2 2!

f (n) (0) x n n!
n
例
讨论级数 n 1
2n
的敛散性．
n 1
解：lnim
u n 1 un
lim 2n1 n n

lim
n
n 1 2n

1 2
1，根据比值判别法，级数
n 1
n 2n
收敛．
2n
6.1 常数项级数
2.交错级数收敛性的判定


设 un 0 ，则级数 (1)n1un （或 (1)n un ）称为交错级数．交错级