解三角形应用(1)(几何图形的边角关系)

解三角形应用（1）（几何图形的边角关系）

【教学•建构】

探究1 如图,半圆O 的直径为2,A 为直径延长线上一点,2,OA B

=为半圆上一点,以AB 为一边向OAB ∆的外侧作等边

ABC ∆. （1）问点B 在什么位置时,四边形OACB 的面积最大?

（2）当OC 平分AOB ∠时.

（I ）求证：OAC OBC π∠+∠=；

（II ）求OC 的长度.

变式 B Q P A ,,,为平面上四点，其中B A ,为定点，且3=AB ，

动点Q P ,满足1===QB PQ AP ，设A P B ∆和PQB ∆的面积分别为T S ,，

试求：

O A

B C

（1）求22T S +的最大值；

（2）当22T S +取最大值时，APB ∆的形状如何？

探究2 在路边安装路灯，灯柱AB 与地面垂直，BC 与灯柱AB 所在平面与道路垂

直，120ABC ∠=，路灯C 采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知60ACD ∠=，路宽24AD =米，设灯柱高AB h =（米），ACB θ∠=（3045θ≤≤）

（1）求灯柱的高h （用θ表示）；

（2）若灯杆BC 与灯柱AB 所用材料相同，记此用料长度和为S ，求S 关于θ的函数表达式，并求出S 的最小值．

探究3 在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若已知3,4π

==A a .

（1）求ABC ∆周长的最大值；

（2）求ABC ∆面积的最大值.

探究4 如图某污水处理厂要在一个矩形污水处理池

()ABCD 的池底水平铺设污水净化管道FHE Rt ∆(，

H 是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.设计要求管道的接口H 是AB 的中点，,E F 分别落在线段,BC AD 上.已知20AB =米，

AD =BHE θ∠=.

（1）试将污水净化管道的长度L 表示为θ的函数,并写出定义域；

（2）若

sin cos θθ+=L ；

（3）问：当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管

道

的长度.

【应用•探究•思考】

1. 如图，某城市有一条公路从正西方AO 通过市中心O 后转向东北方OB ，现要修筑一条铁路L ，L 在OA 上设一站A ，在OB 上设一站B ，铁路在AB 部分为直线段，现要求市中心

O到AB的距离为10km，设OABα

∠=．

（1）试求AB关于角α的函数关系式；

（2）问角α多大时，才能使AB最短，并求最短距离．

2. 如图，直角三角形ABC中，∠B＝，AB＝1，BC＝．点

M,分别在边AB和AC上(M点和B点不

N

重合)，将△AMN沿MN翻折，△AMN变

为△MN

A'，使顶点A'落在边BC上(A'点

和B点不重合).设∠AMN＝．

（1）用θ表示线段AM的长度，并写出θ的取值范围；（2）求线段N

A'长度的最小值．