力系的平衡—思考题-解答

第6章力系的平衡——思考题——解答6-1 空间一般力系向三个相互相交的坐标平面投影，得到三个平面一般力系，每个平面一般力系都有三个独立的平衡方程，这样力系就有九个平衡方程，那么能否求解九个未知量？为什么？6-1 解答：(1) 空间一般平衡力系，有六个独立的平衡方程，能求解六个未知量。

(2) 空间一般力系向三个相互相交的坐标平面投影，得到三个平面一般力系，每个平面一般力系都有三个独立的平衡方程，这样力系就有九个平衡方程，但并非独立，因为三个相互相交的坐标平面满足一定的几何关系（每一个坐标平面之间的夹角是确定的，共有三个确定的夹角），这样得到的三个平面一般力系，每个平面一般力系都有三个独立的平衡方程，力系就有九个平衡方程，其实独立的还是六个平衡方程，能求解六个未知量。

6-2 试问在下述情况下，空间平衡力系最多能有几个独立的平衡方程？为什么？（1）各力的作用线均与某直线垂直； （2）各力的作用线均与某直线相交； （3）各力的作用线均与某直线垂直且相交； （4）各力的作用线均与某一固定平面平行； （5）各力的作用线分别位于两个平行的平面内； （6）各力的作用线分别汇交于两个固定点； （7）各力的作用线分别通过不共线的三个点；（8）各力的作用线均平行于某一固定平面，且分别汇交于两个固定点； （9）各力的作用线均与某一直线相交，且分别汇交于此直线外的两个固定点； （10）由一组力螺旋构成，且各力螺旋的中心轴共面；（11）由一个平面任意力系与一个平行于此平面任意力系所在平面的空间平行力系组成；（12）由一个平面任意力系与一个力偶矩均平行于此平面任意力系所在平面的空间力偶系组成。

6-2 解答：空间的一般平衡力系共有六个独立的平衡方程0=∑xF，0=∑y F ，0=∑z F ，0=∑x M ，0=∑y M ，0=∑z M(1) 各力的作用线均与某直线垂直 —— 最多有五个独立平衡方程。

假设各力的作用线均与z 轴垂直，则0=∑z F 自动满足，独立的平衡方程有5个。

(2) 各力的作用线均与某直线相交 —— 最多有五个独立平衡方程。

假设各力的作用线均与z 轴相交，则0=∑z M 自动满足，独立的平衡方程有5个。

(3) 各力的作用线均与某直线垂直且相交 —— 最多有四个独立平衡方程。

假设各力的作用线均与z 轴相交且垂直，则0=∑z F ，0=∑z M 自动满足，独立的平衡方程有4个。

(4) 各力的作用线均与某一固定平面平行（与“各力的作用线均与某直线垂直”相等价）——最多有五个独立平衡方程。

假设各力的作用线均与xy平面平行（与“各力的作用线均与z轴垂直”相等价），∑z F自动满足，独立的平衡方程有5个。

则0=(5) 各力的作用线分别位于两个平行的平面内——最多有四个独立的平衡方程。

(6) 各力的作用线分别汇交于两个固定点——最多有五个独立的平衡方程。

6-3 如图所示，ABCDA′B′C′O 为边长等于a 、b 、c 的长方体，试问下列方程组中， 是空间力系平衡的充分必要条件？（1）0=∑x F ，0=∑z F ，0=∑x M ，0=∑y M ，0=∑z M ，0=∑'A A M ； （2）0=∑x M ，0=∑y M ，0=∑z M ，0=∑'B B M ，0=∑'C C M ，0=∑y F ； （3）0=∑x M ，0=∑y M ，0=∑z M ，0=∑'A A M ，0=∑'B B M ，0=∑'C C M 。

6-3 解答：(1) 0=∑x F ，0=∑z F ，0=∑x M ，0=∑y M ，0=∑z M ，0=∑'A A M ： 是空间力系平衡的充分必要条件。

原因如下：设空间力系向点O 简化所得到的一个力和一个力偶的力偶矩分别为k F j F i F k F j F i F F F z y x z y x O ρρρρρρρρ)()()(R R R R ∑∑∑++=++==k M j M i M k M j M i M M z y x z y x O ρρρρρρρ)()()(∑∑∑++=++= 由于满足方程 0=∑x M ，0=∑y M ，0=∑z M ，故 0=O M ρ，又满足方程 0=∑x F ，0=∑z F ，又根据 0R ==∑'b F M y A A ⇒ 0R =y F ⇒ 0=∑y F 。

由此可见，题目中的六个方程能保证空间力系一定是平衡力系，所以它们是空间思考题6-3图力系平衡的充分必要条件。

(2) 0=∑x M ，0=∑y M ，0=∑z M ，0=∑'B B M ，0=∑'C C M ，0=∑y F ： 是空间力系平衡的必要而非充分条件。

原因如下：设空间力系向点O 简化所得到的一个力和一个力偶的力偶矩分别为k F j F i F k F j F i F F F z y x z y x O ρρρρρρρρ)()()(R R R R ∑∑∑++=++==k M j M i M k M j M i M M z y x z y x O ρρρρρρρ)()()(∑∑∑++=++= 由于满足方程 0=∑x M ，0=∑y M ，0=∑z M ，故 0=O M ρ，又根据 0R =-=∑'b F M x C C ⇒ 0R =x F ， 再根据 0R R =+-=∑'a F b F M y x B B ⇒ 0R =y F ，至此，空间力系的简化结果可能是一个合力 k F F F z O ρρρR R ==或平衡力系，这两个结果均满足0R ==∑y y F F ，即题目中第六个方程给不出任何新的信息，也就是说它与前五个方程是线性相关的。

因此，这六个方程不能保证空间力系一定是平衡力系，所以它们不是空间力系平衡的充分条件，但显然是必要条件。

解析：(1) 空间力系与其向点O 简化所得力系是等效力系，它们对任何一根轴的矩和在任何一根轴上的投影均相等。

(2) 若将题中第六个方程改写为0=∑x F ，或0=∑l M （其中l 轴为既不与z 轴平行，也不与z 轴相交的任一轴），则这六个方程就成为空间力系平衡的充分必要条件。

(3) 0=∑x M ，0=∑y M ，0=∑z M ，0=∑'A A M ，0=∑'B B M ，0=∑'C C M ： 是空间力系平衡的必要而非充分条件。

原因如下：设空间力系向点O 简化所得到的一个力和一个力偶的力偶矩分别为k F j F i F k F j F i F F F z y x z y x O ρρρρρρρρ)()()(R R R R ∑∑∑++=++==k M j M i M k M j M i M M z y x z y x O ρρρρρρρ)()()(∑∑∑++=++= 由于满足方程 0=∑x M ，0=∑y M ，0=∑z M ，故 0=O M ρ，又根据 0R ==∑'b F M y A A ⇒ 0R =y F ⇒ 0=∑y F ，0R =-=∑'b F M x C C ⇒ 0R =x F ⇒ 0=∑x F ， 0R R =+-=∑'a Fb F My x B B ⇒ 0R =y F ⇒0=∑yF由此可见，0=∑'A A M 与0=∑'B B M 是等价的线性相关方程。

因此，题目中给出的六个方程不能保证空间力系一定是平衡力系，所以它们不是空间力系平衡的充分条件，但显然是必要条件。

6-4 试分别给出空间任意力系平衡时平衡方程四矩式、五矩式和六矩式的一种方法。

6-4 解答：待解答6-5 图示均质等粗直角弯杆，已知其AB = l ，BD = 2l ，试求平衡时ϕ为多少？6-5 解答：受力分析如图(a)所示。

0=∑B M ：0cos sin 2211=⋅-⋅ϕϕBC P BC P ⇒0cos 2sin 221=⋅-⋅ϕϕBD P AB P ⇒ 0cos 222sin 211=⋅-⋅ϕϕl P l P ⇒ 4tan =ϕ ⇒ο9638.75=ϕ思考题6-5图思考题6-5图 (a)6-6 自重和摩擦不计的图示平面结构受三个已知力作用，分别汇交于点B 和点C ，平衡时有 。

（1）F A = 0，F N D 不一定为零； （2）F A 不一定为零，F N D = 0； （3）F A = 0，F N D = 0； （4）F A 和F N D 均不一定为零。

6-6 解答：(2) F A 不一定为零，F N D = 0 ：正确。

思考题6-6图 (a)思考题6-6图 (b)6-7 试问图示各系统分别是什么系统（静定、超静定、机构）？6-7 解答：(a) 静定系统（结构）； (b) 单自由度系统（机构）； (c) 一次静不定系统（结构）； (d) 一次静不定系统（结构）； (e) 静定系统（结构）； (f) 静定系统（结构）。

思考题6-7图 (a)M思考题6-7图 (b)M思考题6-7图 (c)M思考题6-7图 (d)思考题6-7图 (e)思考题6-7图 (f)6-8 若不计自重和摩擦，试问图示平面系统中杆OA、AB、CD分别在什么力系作用下处于平衡状态？思考题6-8图6-8 解答：杆OA在三个共线力（三个力的作用线均与OA重合）作用下处于平衡状态；杆AB在三个平行力作用下处于平衡状态；杆CD在力偶系作用下处于平衡状态。

6-9 若不计自重和摩擦，试问图示平面系统中杆AB 和CD 分别在什么力系作用下处于平衡状态？6-9 解答：杆BD 和杆GH 为二力杆。

对于整体而言，整个结构为力偶平衡系统，A F ρ与C F ρ的大小相等方向反向。

待续思考题6-9图D6-10 若不计自重和摩擦，已知M 1 = M 2 = M ，两圆盘的半径都为r ，试计算图(a)、(b)所示结构中A 、B 、C 处约束力的大小和方向。

从计算结果看，你能发现什么规律？思考题6-10图 (a)思考题6-10图 (b)6-11 试判断图示平面桁架中哪些杆为零杆？6-12 如何快速地求出图示平面桁架中杆OC 的内力？思考题6-11图 (a)思考题6-11图 (b)思考题6-12图6-13 在图示平面桁架中，杆OE 与BC 、杆BD 与AE 都相交但不相连，如何快速地求出杆AB 的内力？6-14 在如图所示桁架中，OABCDE 为正八角形的一半，杆OC 、OD 分别与杆AE 、BE 相交但不相连，F 1 = F 2 = F ，如何快速地求出杆BC 的内力？思考题6-13图思考题6-14图6-15 已知F 1 = F 2 = F ，如何快速地求出图示平面桁架中杆GL 和KN 的内力？6-16 如图所示，均质物块重为P ，放在粗糙的水平面上，它们之间的静摩擦因数为23sf ，今受到一方向如图所示的推力F 的作用，且F = P ，若物块不会被翻倒，试问物块能否保持平衡？为什么？思考题6-15图2思考题6-16图6-17 如图所示，在机械设备、木工以及坑道作业中，常采用一种楔块，将楔块打入上下两段支柱之间。