高等量子力学习题
高等量子力学习题
高等量子力学习题† 量子力学中的对称性1、 试证明：若体系在线性变换Qˆ下保持不变，则必有0]ˆ,ˆ[=Q H 。
这里H ˆ为体系的哈密顿算符，变换Qˆ不显含时间，且存在逆变换1ˆ-Q 。
进一步证明，若Q ˆ为幺正的，则体系可能有相应的守恒量存在。
2、 令坐标系xyz O -绕z 轴转θd 角，试写出几何转动算符)(θd R ze的矩阵表示。
3、 设体系的状态可用标量函数描述，现将坐标系绕空间任意轴n转θd 角，在此转动下，态函数由),,(z y x ψ变为),,(),()',','(z y x d n U z y x ψθψ =。
试导出转动算符),(θd n U的表达式，并由此说明，若体系在转动),(θd n U下保持不变，则体系的轨道角动量为守恒量。
4、 设某微观粒子的状态需要用矢量函数描述，试证明该粒子具有内禀自旋1=S 。
5、 证明宇称算符的厄米性和幺正性，并证明宇称算符为实算符。
6、 试证明幺正算符U 与复数共轭算符K 的乘积为反幺正算符。
7、 试证明自旋不为零的粒子的时间反演算符可表为K e T y S i π-=。
8、 试讨论由时间反演不变性引起的Kramers 简并。
† 角动量理论1、 角动量算符可以从两个方面来定义，一种是按矢量算符三个分量所满足的对易关系定义，另一种是按坐标系转动时，态函数的变换规律来定义，试证明这两种定义是等价的。
2、 试证明任意个相互独立的角动量算符之和仍是角动量算符。
3、 定义角动量升降算符yx J i J J ˆˆˆ±=±，试利用升降算符讨论，对给定的角量子数j ，相应的磁量子数m 的取值范围。
4、 给出角量子数1=j 情况下，角动量平方算符及角动量各分量的矩阵表示。
5、 设总角动量算符21J J J +=，1J 、2J相应的角量子数分别为1j 和2j ，试讨论总角动量量子数j 的取值情况。
6、 利用已知的C-G 系数的对称性关系，证明以下三个关系式：11332222221133111122332233221111212)1(1212)1(1212)1(32313m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j C j j C j j C j j C -+----+++-=++-=++-=7、 已知在3ˆs表象中，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01102ˆ1 s ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=002ˆ2i i s ，问在1ˆs 表象中2ˆs 的矩阵表示是怎样的？ 8、 已知∑>>>=113322112211|||m m m j m j m j m j m j Cjm ，其中m m j j jm m j ''|''δδ>=<，1111''1111|''m m j j m j m j δδ>=<，2222''2222|''m m j j m j m j δδ>=<。
高等量子力学-习题及答案 ch02
第二章量子力学测量问题一、从不同角度，量子测量有不同分类，常见的分类有哪些。
(1)一般测量、投影测量和POVM；(2)直接测量和间接测量；(3)完全测量与不完全测量。
二、理想测量的三个基本要求是什么。
(1)当t=0，即探测体和被测系统相互作用之前，探测体制备在量子态ρp，同时量子客体制备在ρ0态。
(2)使用仪器测量之前，量子客体和探测体在t=0时开始相互作用，在t=τ>0时结束作用。
(3)此方法的第三步是，一个经典仪器及在探测体上的测量可以用冯·诺依曼投影假设的理想测量描述。
三、什么叫标准量子极限，标准量子极限可以逾越吗？其中，叫作标准量子极限。
标准量子极限可以逾越吗?答案是肯定的。
在得到这个极限时用了不确定关系，但是二者是不相同的。
标准量子极限的具体数值依赖于量子态，与如何测量有关，而不确定关系是底线。
那么，在遵守不确定性原理的前提下如何使测量精度超越标准量子极限呢?目前有两种思路：一种是以牺牲共轭量一方为代价，去求得另一方的超精度测量，这即是压缩态的思想；另一种就是量子非破坏性测量(QuantumNon-DemolitionMeasurement，QND测量)。
四、什么是量子Zeno效应，在对量子系统进行连续测量时，测量设备一般以两种不同的方式反作用于量子系统，请简单描述。
量子Zeno效应是纯量子测量效应。
理论和实验都已经表明，频繁的测量能阻止不稳定量子系统的衰变或跃迁。
极端而言，连续进行的量子测量将使不稳定的量子系统稳定地保持在其初态上，这种不稳定初态的存活概率在连续测量下将成为百分之百，这就是量子Zeno 效应。
这种在古代哲学中提到的“飞矢不动”的佯谬，在量子系统中真的可以实现。
在对量子系统进行连续测量时，测量设备一般以两种不同的方式反作用于量子系统。
其一，它可以影响被测量的可观测值的期望值的演化。
这被称为“动力学反作用”，这种影响是可以预测的。
其二，测量设备以随机的方式扰动这个可观测量，增加它们的不确定性，从而造成对期.望值的随机偏离。
高等量子力学习题汇总
答案：设：C1=x1+iy1,C2=x2+iy2则：P x=2(x1x2+y1y2) P y=2(x1y2-x2y1) P z=x12+y12-x22-y22P2=P x2+P y2+P z2=4(x1x2+y1y2)2+4(x1y2-x2y1)2+(x12+y12-x22-y22)2=4(x12x22+y12y22+x12y22+x22y12)+(x14-2x12x22-2x12y22-2x22y12-2y12y22-2x22y22+y14+x24+y24) =(x14+2x12x22+2x12y22+2x22y12+2y12y22+2x22y22+y14+x24+y24)=(x12+y12+x22+y22)2=(|C1|2+|C2|2)25、A∧B∧6、证明不确定关系.————答案:对于两个可观测量和成立不等式：（对于两个态矢和，必有：|α〉|β〉（此不等式类似于对实欧式空间的两个矢量（对任意复常数，我们有：λ（（这里用态来强调对任何ket 矢量都适用，于是（|〉（6）因：,,A B A B ∧∧∧∧⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥∆∆=∆的模的平方等于。
7、证明：幺正算符的本征态互相正交.8、试证明：若体系在算子变换Q 下保持不变，则必有[H,Q]=0。
这里H 为哈密顿算符，变换Q 不显含时间，且存在逆变换Q -1。
9、论述态矢,波函数与图景,表象的关系,并说明薛定谔图景和海森堡图景的区别.答案:态矢与图景有关而与表象无关,波函数作为态矢在基态上的投影却与表象有关和图景无关。
海森堡图景,态矢依赖时间t 而基矢不含t,而对于海森堡图景而言，|t Sϕ〉（（|x 〉不含t ，于是时间依赖性完全转移到中去了。
|H ϕ〉|x,t H 〉10、求证11、请写出一维谐振子的经典哈密顿量定义粒子数算符由此可知和分别是的本征值为（n+1）和（†|a n ∧〉|a n ∧〉N ∧相干态为最小不确定态，同时是的本征态，记为在N 表象中解此方程，展开：由得又有，所以由归一化条件得：15、简述：从经典力学过渡到量子力学的三种途径————薛定谔的表述形式，即波动力学，它重视描述粒子“波粒二重性”运动的波函数。
高等量子力学练习题及答案解析
练习28.1 证明: ()[]()t G t G -=-++00证明: 根据公式(28.4)()()()00H t t ie t t it t G '--±'±='-θ可知()()00tH ie t it G-+-=θ()()()00H t i e t i t G ---+=-θ则()[]()()000tH i tH i e t ie t i t G θθ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+-++()()()t G e t i H t i-==---00θ #28.2证明下列二式成立：()()()()⎰∞∞-±±±±--+-=-''dt 't t VG ''t t G 't t G 't t G 00()()()()⎰∞∞-±±±±--+-=-''dt 't ''t VG ''t t G 't t G 't t G 00证明：因为：()()()⎰∞+∞---±±π=-dE e E G 21't t G 't t E i()()()⎰∞+∞---±±π=-dE e E G 21't t G 't t E i00又因为：()()()()E VG E G E G E G 00±±±±+=即有()()()()()()[]()()()()()()()()()()()()()''dt t ''t VG ''t t G 't t G dE e E VG E G 21't t G dE e E VG E G 21dE e E G 21dE e E VG E G E G 21dE e E G 21't t G '00't t E i00't t E i 0't t E i 0't t E i00't t E i00--+-=π+-=π+π=+π=π=-±∞+∞-±±∞+∞---±±±∞+∞---±±∞+∞---±∞+∞---±±±∞+∞---±±⎰⎰⎰⎰⎰⎰又因为()()()()()()()E VG E G E G E VG E G E G E G 0000±±±±±±±+=+=同理可证得()()()()''dt t ''t VG ''t t G 't t G 't t G '00--+-=-±+∞∞-±±±⎰综上所述()()()()()()()()''dt t ''t VG ''t t G 't t G 't t G ''dt t ''t VG ''t t G 't t G 't t G '0'00--+-=---+-=-±∞+∞-±±±±+∞∞-±±±⎰⎰两式成立。
（完整版）高等量子力学习题汇总
（完整版）⾼等量⼦⼒学习题汇总第⼀章1、简述量⼦⼒学基本原理。
答：QM 原理⼀描写围观体系状态的数学量是Hilbert 空间中的⽮量,只相差⼀个复数因⼦的两个⽮量，描写挺⼀个物理状态。
QM 原理⼆ 1、描写围观体系物理量的是Hillbert空间内的厄⽶算符(A)；2、物理量所能取的值是相应算符A ?的本征值；3、⼀个任意态总可以⽤算符A ?的本征态ia 展开如下：ψψi i i iia C a C==∑；⽽物理量A 在ψ中出现的⼏率与2i C 成正⽐。
原理三⼀个微观粒⼦在直⾓坐标下的位置算符i x ?和相应的正则动量算符i p有如下对易关系：[]0?,?=j i x x ，[]0?,?=j i p p ，[]ij j i i p x δη=?,? 原理四在薛定谔图景中，微观体系态⽮量()t ψ随时间变化的规律由薛定谔⽅程给()()t H t ti ψψ?=??η在海森堡图景中，⼀个厄⽶算符()()t A H ?的运动规律由海森堡⽅程给出：()()()[]H A i t A dt d H H ?,?1?η= 原理五⼀个包含多个全同粒⼦的体系，在Hillbert 空间中的态⽮对于任何⼀对粒⼦的交换是对称的或反对称的。
服从前者的粒⼦称为玻⾊⼦，服从后者的粒⼦称为费⽶⼦。
2、薛定谔图景的概念？答：()()t x t ψψ|,x =<>式中态⽮随时间⽽变⽽x 不含t ，结果波函数()t x ，ψ中的宗量t 来⾃()t ψ⽽x 来⾃x ，这叫做薛定谔图景.3、已知.10,01= =βα (1)请写出Pauli 矩阵的3个分量； (2)证明σx 的本征态).(211121|βα±=±>=±x S 4、已知：P 为极化⽮量，P=<ψ|σ|ψ>，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为：求证：答案：设：C 1=x 1+iy 1,C 2=x 2+iy 2则：P x =2(x 1x 2+y 1y 2) P y =2(x 1y 2-x 2y 1) P z =x 12+y 12-x 22-y 22 P 2=P x 2+P y 2+P z 2=4(x 1x 2+y 1y 2)2+4(x 1y 2-x 2y 1)2+(x 12+y 12-x 22-y 22)2=4(x 12x 22+y 12y 22+x 12y 22+x 22y 12)+(x 14-2x 12x 22-2x 12y 22-2x 22y 12-2y 12y 22-2x 22y 22+y 14+x 24+y 24) =(x14+2x 12x 22+2x 12y 22+2x 22y 12+2y 12y 22+2x 22y 22+y 14+x 24+y 24) =(x 12+y 12+x 22+y 22)2 =(|C 1|2+|C 2|2)2 5、6、证明不确定关系.————答案:对于两个可观测量A ∧和B ∧成⽴不等式：（1）先证明⼀个引理----schwarz 不等式：对于两个态⽮|α?和|β?，必有：（2）此不等式类似于对实欧式空间的两个⽮量a,b ，必有：（3）对任意复常数λ，我们有：（4）取||βαλββ??=-，代⼊上式可得（2）.现在证明（1）式：取（5）这⾥⽤态|?来强调对任何ket ⽮量都适⽤，于是（2）式给出：（6）因：（7）其中对易⼦,,A B A B ∧∧∧∧=???是⼀个反厄⽶算符，它的平⽅值恒为纯虚数，⽽反对易⼦},A B ∧∧是厄⽶算符，它的平⽅值恒为实数，于是：的模的平⽅等于。
高等量子力学-习题及答案 ch01
第一章量子力学基本概念和一般理论
一、量子态矢量的定义是什么。
描述微观粒子状态的态矢量ψ等符号代表一个复矢量，而y+是y的厄密共轭矢量或称“对偶矢量"。
用狄拉克符号记为|ψ>，表示波函数ψ的右矢；<ψ|表示左矢。
右矢和左矢是互相独立的，但存在如下关系：。
二、请简述线性算符的运算规则和性质。
(6)若由方程能够唯一地解出|ψ>，则可定义算符A的逆算符
，于是A'满足
(7)若，则U称为幺正算符。
(8)，表示算符A的函数。
三、幺正变换的基本性质有哪些。
幺正变换具有许多非常有意义的性质。
(1)幺正变换下两个态矢量的内积不变。
(2)幺正变换下算符方程的形式不变。
(3)幺正变换下力学量算符对应的平均值保持不变。
(4)幺正变换下算符的行列式不变。
(5)幺正变换下算符的本征值谱不变。
(6)幺正变换下算符的迹不变。
(7)利用上述性质(6)可以给出指数算符函数的一一个有用公式。
(8)可以证明，若算符R是厄米算符，即R=R+，则由它所生成的算符
四、时间演化算符U(t，t0)的基本性质有哪些。
1.初始条件
2.幺正性
3.因子化特性
4.时间反演特性
5.薛定谔绘景中的动力学方程
五、矢量空间中的如下运算规则有哪些。
六、什么叫密度矩阵？
如果采用一个具体表象，例如，F表象(分立情形，)，则与量子态|ψ>相应的密度算符可表示成如下矩阵形式，称为密度矩阵。
七、请列举混合态密度算符的性质。
高等量子力学习题1
k ijk j i S i S S ε=],[2322212S SS S ++=>>=+0|)(!1|n b n n ⎰=++-x x x x e e d ****2φφφφπφ高等量子力学第一章习题：1、 两个态矢量|+＞和|－＞形成完全集。
在它们所构成的Hilbert 空间中定义如下三个算符：试证明它们满足如下对易和反对易关系： ij j i S S δ2},{2=+ 并求出两个态矢量 |+＞和|－＞之间的翻转变换算符及算符 的表达式2、 二能级系统的哈密顿算符一般可表达为：H ＝a|1><1| + b|2><2| + c|1><2| + d|2><1|其中|1>和|2>分别表示二能级的状态，形成正交归一集。
问：H 的厄密性对系数a,b,c,d 有何限制?求该系统的能量本征值及相应的本征态矢量(表示为|1>和|2>的线性叠加)。
3、 已知一线性谐振子在其哈密顿表象中的本征态矢量为其中，基态|0>满足b|0>=0,并且b 和b +与其坐标和动量算符的关系为试求态矢量|n>转换到坐标表象表达式<x|n>。
4、 设某系统的哈密顿算符为: H(t)=a 1(t)J ++a 2(t) J 0+a 3(t) J －其中a i (t),i=1 , 2 , 3为任意时间t 的函数，J + , J 0 , J －为SU(1,1)群的生成元，其满足下述对易关系: [J + , J －]=－2 J 0 , [J 0 , J ±]=±J ±试证明该系统的时间演化算符可表示为:U(t,0)=exp[C 1(t)J +]exp[C 2(t)J 0]exp[C 3(t)J －] , 并导出确定C i (t)的方程.。
5、 已知算符b 和b +的对易关系为[b , b +]=1,在 b + b 对角表象的本征态矢量为且基态满足b|0>=0, 引入算符b 的本征态b|z>=z|z>试求归一化态矢量|z>在b + b 对角表象的表示式,由基矢量组|z>构成的表象称作为相干态表象，试求态矢量|n>在相干态表象的波函数6、 题的已知条件与题5相同，并可利用题5的结果，试证明：（i ）相干态表象的基矢量不具有正交性，并说明其原因。
喀兴林高等量子力学习题EX12-18
练习 12.1. 一维谐振子受微扰21X H ε=的问题，使有严格解的，试仿照正文中的方法，在薛定谔绘景中用近似的方法讨论这一问题，并将结果与严格解比较。
（解答人：李泽超 核对人：熊凯） 解：由题意得：受微扰的一维谐振子的哈密顿量是：()1......................................................................10H H H += ()()2.......21212212220⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+=+++AA A A AA X m P m H ωωω ()()()()⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=-=+=+++A A m i P A A m X iP X m m A iP X m m A 222121 ωωωωωω()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++=+==+++++ωεττωεεm AA AA A A A A A A m X H 23.........2221谐振子从0=t 时刻起其状态满足薛定谔方程：()()()4.......................................:,10H H H t H t ti +==∂∂其中ψψ0H 的含时本征矢量的展开为：()()()5...........................................21exp ∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=jj t a t j i j t ωψ ()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t m i t mt a m ωψ21exp微扰1H 的矩阵元为j H i ，具体的形式为：j AA AA A A A A i j H i +++=++++ τ利用算符A A 和+对本征矢量函数的；上升和下降的性质，得：()()()()()()6..................2121,2,,2j i j i j i i i i i i j H +-+++++-=δδδτ 采用微扰方法近似解薛定谔方程时，薛定谔方程可一化为下式： ()()()()7......................................exp 1t a j H t E E i t a t i j S jj i i ∑⎪⎭⎫⎝⎛-=∂∂将（6）式带入（7）式可得到在题意条件下的微扰方程的表达形式如下：()()()()()()()()()8..21121exp ,2,,2t a i i i i i t E E i t a t i j jj i j i j i j i i ∑+-+++++-⎪⎭⎫⎝⎛-=∂∂δδδτ经化简得：()()()()()()()()()()()()9...212exp 122exp 122t a i i t i t a i t a t i i i i t a dtdi i i i +-++-++--=⇒ωωτ将()t a i 的已知的低级的近似()()t a n i 代入方程的右边，即可以解出高一级的近似()()t a n i 1+。
高等量子力学习题
高等量子力学习题1、 对于一维问题，定义平移算符()a D x ，它对波函数的作用是()()()a x x a D x -=ψψ，其中a 为实数。
设()x ψ的各阶导数存在，试证明()dx d a x ei pa a D -=⎪⎭⎫ ⎝⎛= ˆexp 。
2、 当体系具有空间平移不变性时，证明动量为守恒量。
3、 若算符()x f 与平移算符()a D x 对易，试讨论()x f 的性质。
4、 给定算符B A ,，证明[][][]....,,!21,+++=-B A A B A B Bee AAξξ。
5、 给定算符C B A 和、，存在对易关系[]C B A =,，同时[][]0,,0,==C B C A 。
证明Glauber公式CA B C BA BA ee e ee e e2121==-+。
6、 设U 为幺正算符，证明U 必可分解成iB A U +=，其中A 和B 为厄密算符，并满足122=+B A 和[]0,=B A 。
试找出A 和B ，并证明U 可以表示为iH e U =，H 为厄密算符。
7、 已知二阶矩阵A 和B 满足下列关系：02=A ，1=+++AA A A ，A A B +=。
试证明B B =2，并在B 表象中求出矩阵A 、B 。
8、 对于一维谐振子，求湮灭算符aˆ的本征态，将其表示为谐振子各能量本征态n 的线性叠加。
已知1ˆ-=n n n a 。
9、 从谐振子对易关系[]1,=+a a 出发，证明a e ae eaaaa λλλ--=++。
10、 证明谐振子相干态可以表示为0*aa eααα-+=。
11、谐振子的产生和湮灭算符用a 和+a 表示，经线性变换得++=va ua b 和++=ua va b ，其中u 和v 为实数，并满足关系122=-v u 。
试证明：对于算符b 的任何一个本征态，2=∆⋅∆p x 。
12、某量子体系的哈密顿量为，()223235++++=a a a a H ，其中对易关系[]1,=-≡+++a a aaa a 。
高等量子力学习题
高等量子力学习题1．分别取动量算符和初坐标算符为力学量完全集，求解一维自由粒子的薛定谔方程。
2．对于一维谐振子体系，在相干态中，计算坐标、动量、能量等物理量的平均值及其涨落。
3．均匀磁场i B B=中，有一定域电子，其哈密顿量为 x x eB H σωσμˆˆ2ˆ == 设0=t 时，电子自旋2=z S ，求t 时刻电子自旋S ˆ 的平均值。
4．电荷为q 的自由谐振子，置于均匀电场ε中，其哈密顿量为x q x m p m H εω-+=22221ˆ21ˆ 试确定该体系的能级。
5．不考虑自旋，取Landau 规范，带电粒子在垂直于均匀磁场k B B =的平面内运动的哈密顿量为 ()[]22ˆˆ21ˆqBx p p H y x -+=μ若取力学量完全集{}yp H ˆ,ˆ，则它们的共同本征函数可写为 ()()y p i y ex y x φ=ψ,试确定该体系的能级。
6．证明：在角动量z L ˆ的本征态下，角动量x L ˆ和yL ˆ的平均值均为0。
7．设量子体系的束缚态能级和归一化能量本征矢分别为n E 和n ，设λ为哈密顿量Hˆ含有的一个参数。
试证明 n H n E n λλ∂∂=∂∂ˆ 8．讨论一维无限深势阱()L x ≤≤0中电子气体的性质。
9．讨论边长为L 的二维盒子中电子气体的性质。
10． 讨论边长为L 的三维盒子中电子气体的性质。
11． 设力学量Aˆ满足最简单的代数方程 ()0ˆˆˆ2=++=βαA A Af βα,为常数。
试证明A ˆ有两个本征值，它们都是方程()0=x f 的根。
12． 以a a ,+表示费米子体系的某个单粒子的产生和消灭算符，它们满足关系()0,0,122===++++a a a a aa 。
以a a n +=ˆ表示该单粒子态上的粒子数算符。
（1）求nˆ的本征值；（2）计算[][]a n a n,ˆ,,ˆ+。
13． 试说明自由粒子量子力学的平面波解（箱归一化） ()()∞→<<-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-L L x L e L t x t m p px i p ,,21,22 φ的经典极限不描述单粒子、而描述系综。
高中量子力学试题及答案
高中量子力学试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 量子力学的基本原理之一是波粒二象性，以下哪个现象不是波粒二象性的体现？A. 光的干涉现象B. 光电效应C. 电子的衍射现象D. 牛顿运动定律2. 根据量子力学，一个粒子的位置和动量不能同时被准确测量，这是由以下哪个原理所描述的？A. 能量守恒原理B. 泡利不相容原理C. 测不准原理D. 相对性原理3. 量子力学中的波函数是用来描述什么？A. 粒子的电荷B. 粒子的动量C. 粒子在空间中的概率分布D. 粒子的质量4. 量子力学中，一个系统的状态可以用一个什么来描述？A. 波函数B. 动量C. 位置D. 能量5. 以下哪个是量子力学中的一个基本假设？A. 所有物体都遵循牛顿运动定律B. 粒子在没有观察时不具有确定的位置C. 所有物体都具有确定的动量和位置D. 能量守恒定律不适用于微观粒子6. 量子力学中的薛定谔方程是用来描述什么的？A. 粒子的动量B. 粒子的位置C. 粒子的波函数随时间的变化D. 粒子的总能量7. 量子力学中的量子态叠加原理指的是什么？A. 粒子的动量和位置可以同时被准确测量B. 粒子可以同时处于多个状态的叠加C. 粒子的状态只能由一个确定的波函数描述D. 粒子的状态不能被准确预测8. 量子纠缠是量子力学中的一个现象，它描述了什么？A. 两个粒子之间的相互作用B. 两个粒子之间的空间关系C. 两个或多个粒子的量子态不能独立于彼此存在D. 两个粒子之间的动量守恒9. 量子力学中的泡利不相容原理指的是什么？A. 两个相同的费米子不能处于同一个量子态B. 两个相同的玻色子不能处于同一个量子态C. 两个不同的费米子可以处于同一个量子态D. 两个不同的玻色子不能处于同一个量子态10. 以下哪个实验支持了量子力学的波粒二象性？A. 双缝实验B. 光电效应实验C. 迈克尔逊-莫雷实验D. 万有引力实验二、简答题（每题5分，共30分）1. 请简述量子力学与经典力学的主要区别。
高等量子力学考试题
1.一个包含两个质量和频率都相同的线性谐振子系统，它们之间存在相互作用，其哈密顿算符为：121222222ˆˆˆ()()1ˆ()...(1,2)22i i i H H x H x x x H x m x i m x λω=++∂=-+=∂ (1) 试证明该系统可以表述为两个非耦合谐振子系统(2) 求出该系统的能量2.由李普曼-许温格方程01V E H i ϕε±±ψ=+ψ-± 试计算下列关系式： (1)b a ++ψψ(2) b a -+ψψ3.已知混沌场密度算符1H k T B Z e ρ--=，其中H k T B Z Tre -=，系统的哈密顿量1ˆ()2H a a ω+=+，求此混沌场系统中ˆN a a +=和2ˆN 平均值。
4.设两种系统的哈密顿能量分别为：221ˆˆˆˆˆ()()2H b b b b ωα++=+++和ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ(1)()Ha ab b ab a b ωα++++=++++，其中ˆˆa b 、和++ˆˆa b 、为玻色子算符，求两种系统的元激发谱。
5.已知位移算符*ˆˆˆ()exp()Db b ααα+=-，α为非零复数，ˆb +是声子产生算符，ˆb 是声子消灭算符。
(1) 试计算关系式4()()?D b D αα+= (2) 将位移算符作用于声子真空态得到相干态()0D αα=，试证明相干态α就是ˆb的本征态，对应的本征值为α。
(3) 计算相干态在坐标表象中的结果：?x α=(4) 试证等式*()b αααααα+∂=+∂和*()b αααααα∂=+∂ (5) 试判断声子产生算符ˆb +是否存在本征态，并证明你的判断。
喀兴林高等量子力学习题EX（docX页）
练习31.1 证明)(b a 与)'(b a 的对易关系（31.4）和)(b a 与)'(b a +的对易关系（31.6）式。
0)()'()'()(=-b a b a b a b a ε （31.4）0)()'()'()(=-++b a b a b a b a ε （31.6）（解答：熊凯 ； 校对：李泽超）证明：将)'()(b a b a 和)()'(b a b a 分别作用在n 粒子基左矢νγβαb b b b n ....;上νγβανγβανγβαεbb b b bb n n n b b b bb b n n n b a b a b b b b n ....';2)2)(1(....';2)2)(1()'()(....;+++=+++= (1)νγβανγβαb b b b bb n n n b a b a b b b b n ....';2)2)(1()'()(....;+++= (2)由)2()1(ε-得：0)()'()'()(=-b a b a b a b a ε（2）将)'()(b a b a +与)()'(b a b a +分别作用在右矢νγβαb b b b n ....;上μγβανγαβνγβανγβανγβανγβαδεδεεδδb b b b b n b b b b b b n b b b b b b n b b b b b b n b b b b b b b n b a n b b b b n b a b a v n ....';)(........';)(....';)(....;)'(....';1)(1....;)'()(2-++-+-+-=++=+ （3）μγβανγαβνγβαμγβνβαγνγαβνγβανγβαδεεδδδεδεεδδb b b b b n b b b b b b n b b b b b b n b b b b b n b b b b b n b b b b b n b b b b b n b b nb a b b b b n b a b a v n v n ....';)(........';)(....';)(]....;1)(........;1)(....;1)(....;1)([1)'(....;)()'(112-++-+-=--++--+--+--=--++ （4）由)4()3(ε-得：)'()()'()'()(b b b a b a b a b a -=-++δε □练习31.2 计算下列对易关系：)]()'()'()(),()([b a b a b a b a b a b a +++ )]()'()'()(),'()'([b a b a b a b a b a b a +++（解答：熊凯 ； 校对：李泽超）解：（1）令)()()(b a b a b N +=为处于b 态的占有数算符由（31.10）、（31.11）两式可得：)'()()](),([b b b a b a b N -=++δ （31.10） )'()()](),([b b b a b a b N --=δ （31.11）)'()]()'()'()([)'()'()()'()()'()'()]'(),([)]'(),()['()]'()'(),([)]'(),([=--=-+--=+==+++++++b b b a b a b a b a b b b a b a b b b a b a b a b a b N b a b N b a b a b a b N b N b N δδδ从上式可以看出当'b b =时中括号为0，'b b ≠时δ函数为0，所以上式为零 因为：)()]'(),()[()()]'()'(),()()[()()]'()'(1),()(1)[()()]'()'(),()()[()()]()()'()'()'()'()()()[()()()()'()'()()()'()'()()()()]()'()'()(),()([22===++==-=-=++++++++++++++++++++++++b a b N b N b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a εεεε上式中第四步计算用到了（31.6）式∴ 0)]()'()'()(),()([=+++b a b a b a b a b a b a(2))}'()'()()()'()'(){'()}'()'()()'()()'()'()'({)}'()'()'()()()'()'()'({)]}(),'()['()()()'()](),'({[)]}()'(),'()[()()'()](),'({[)]()'()(),'([)]()'()'()(),'([)]()'()'()()(),'([)]()'()'()()()(),'([)]())'()'(1)((),'([)]())'()'()''()((),'([)]()'()'()(),'()'([b a b N b a b a b N b a b b b a b N b a b b b a b N b a b b b b b a b N b a b a b N b b b a b a b N b N b a b a b N b a b N b a b N b N b a b a b N b a b N b a b N b a b N b a b a b a b a b N b a b a b a b a b N b N b a b a b a b a b a b a b N b a b a b a b a b N b a b a b a b b b a b N b a b a b a b a b a b a +++++++++++++++++++++++++--=---=---=+=+===+=+=+=+-=εδδδεδδεεεεεεεεεδ从上式可以看出：当'b b =时括号为0，'b b ≠时δ函数为0，所以上式为0∴0)]()'()'()(),'()'([=+++b a b a b a b a b a b a□练习31.3 讨论全同粒子的自旋态，设自旋为1/2的粒子的单粒子z S 的本征矢量为>>βα||和，相应的本征值为2/2/ -+和；ββααa a a a ,,++和分别是α态和β态的产生和消灭算符。
喀兴林高等量子力学习题6、7、8
练习 6.1 在ψ按A 的本征矢量{}ia 展开的（6.1）式中，证明若ψ是归一化的，则1=∑*iii cc ，即A 取各值的概率也是归一化的。
（杜花伟）证明：若ψ是归一化的，则1=ψψ。
根据(6.1)式∑=ii ic aψ, ψi i a c =可得1===∑∑*ψψψψi ii i ii a a c c即A 取各值的概率是归一化的。
#练习6.2 (1) 证明在定态中,所有物理量取各可能值的概率都不随时间变化,因而,所有物理量的平均值也不随时间改变.(2) 两个定态的叠加是不是定态? （杜花伟 核对：王俊美）(1)证明：在定态中i E i H i = , Λ3,2,1=i 则()t E i i i i t η-=ψ所以i A i e i A e A t E i t E i i i ==-ηηψψ.即所有物理量的平均值不随时间变化.(2)两个定态的叠加不一定是定态.例如()()()t E i t E i ex v ex u t x 21,ηη--+=ψ当21E E =时,叠加后()t x ,ψ是定态;当21E E ≠时, 叠加后()t x ,ψ不是定态. #6.3证明：当函数)(x f 可以写成x 的多项式时，下列形式上含有对算符求导的公式成立：)(]),([)()](,[X f X i P X f P f Pi P f X ∂∂=∂∂=ηη（解答：陈玉辉 核对：项朋）证明：（1）)()()()()()()()()](,[P f Pi P i P f P i P f P f P i Pi P f P f P i X P f P Xf P f X ∂∂=∂∂-∂∂+∂∂=∂∂-∂∂=-=ηηηηηηψψψψψψψψψ所以 )()](,[P f Pi P f X ∂∂=η（2）)()()())(())(()()())(()()(]),([X f Xi X f X i X i X f X i X f X f X i X i X f X Pf P X f P X f ∂∂=∂∂--∂∂--∂∂-=∂∂--∂∂-=-=ηηηηηηψψψψψψψψψ所以 )(]),([X f Xi P X f ∂∂=η#练习6.4 下面公式是否正确？（解答：陈玉辉 核对：项朋） ),()],(,[P X f Pi P X f X ∂∂=η 解：不正确。
高中量子力学试题及答案
高中量子力学试题及答案1. 量子力学的基本原理是什么？答案：量子力学的基本原理包括波粒二象性、不确定性原理、量子态的叠加原理和量子纠缠等。
2. 描述海森堡不确定性原理。
答案：海森堡不确定性原理指出，粒子的位置和动量不能同时被精确测量，其不确定性的关系由公式ΔxΔp ≥ ħ/2表示，其中Δx是位置的不确定性，Δp是动量的不确定性，ħ是约化普朗克常数。
3. 什么是量子态的叠加原理？答案：量子态的叠加原理指的是一个量子系统可以同时处于多个可能状态的叠加，这些状态的线性组合构成了系统的完整描述。
4. 简述波函数的物理意义。
答案：波函数是量子力学中描述粒子状态的数学函数，它包含了关于粒子的所有可能信息，如位置、动量等。
波函数的绝对值的平方给出了粒子在特定位置被发现的概率密度。
5. 什么是量子纠缠？答案：量子纠缠是量子力学中的一种现象，指的是两个或多个量子系统之间存在一种特殊的关联，即使它们相隔很远，一个系统的状态改变会立即影响到另一个系统的状态。
6. 描述薛定谔的猫思想实验。
答案：薛定谔的猫思想实验是一个关于量子叠加状态的经典比喻，实验中，一个猫被放置在一个盒子里，盒子内有一个放射性原子、一个盖革计数器、一个锤子和一个毒气瓶。
如果原子衰变，盖革计数器会触发锤子打碎毒气瓶，猫就会死亡。
在没有观察之前，猫的状态是既死又活的叠加态，只有当盒子被打开观察时，猫的状态才会塌缩为确定的死或活。
7. 什么是量子隧穿效应？答案：量子隧穿效应是指粒子能够穿越一个经典物理中不可能穿越的势垒。
这种现象在量子力学中是可能的，因为粒子的波函数在势垒的另一侧并不完全为零，这意味着存在一定的概率粒子能够出现在势垒的另一侧。
8. 简述量子力学中的波函数坍缩。
答案：波函数坍缩是指在量子力学中，当一个量子系统被测量时，系统的波函数会从一个叠加态突然转变为一个特定的状态，这个过程是随机的，并且与测量过程有关。
9. 什么是泡利不相容原理？答案：泡利不相容原理指出，在同一个量子系统中，两个相同的费米子（如电子）不能处于同一个量子态。
2023高考物理量子力学练习题及答案
2023高考物理量子力学练习题及答案一、单项选择题1. 根据量子力学的原理，下列哪个量是离散的？A. 电子的动量B. 电子的位置C. 粒子的质量D. 粒子的速度答案：B2. 在量子力学中，波粒二象性指的是什么？A. 粒子存在着波动性B. 粒子的波动速度与光速相等C. 粒子的波动性与粒子性同时存在D. 粒子的波动性只存在于空间中答案：C3. 下列哪个现象不能用经典物理学解释？A. 光的干涉与衍射现象B. 光电效应C. 康普顿效应D. 高速电子的波动性答案：D4. 以下哪项不是量子力学的基本假设之一？A. 波函数包含了粒子的全部信息B. 波函数的平方描述了粒子在不同位置出现的概率C. 粒子的位置和速度可以同时确定D. 波函数的演化遵循薛定谔方程答案：C5. 根据薛定谔方程，粒子波函数的时间演化是：A. 线性的B. 非线性的C. 随机的D. 不可逆的答案：A二、计算题1. 一束入射光照射到金属表面，发生了光电效应。
入射光的波长为550 nm，逸出功为2 eV，求最大能量的光电子的动能。
答案：入射光的能量E = hc/λ = (6.63 × 10^-34 J·s × 3.00 × 10^8 m/s) / (550 ×10^-9 m) = 1.20 × 10^-19 J最大动能K = E - φ = 1.20 × 10^-19 J - (2 × 1.60 × 10^-19 J) = -0.40 ×10^-19 J2. 一束入射电子的波长为1 nm，通过一个宽度为1 μm的狭缝后，到达屏幕上的交叉区域。
求交叉区域的宽度。
答案：交叉区域的宽度Δx = λL / d，其中L为屏幕到狭缝的距离，d为狭缝的宽度。
根据德布罗意关系，电子的波长λ = h / mv，其中h为普朗克常量，m为电子质量，v为电子速度。
将已知值代入计算，可得Δx ≈ (6.63 × 10^-34 J·s) / (9.1 × 10^-31 kg × 1 × 10^6 m/s) × (1 × 10^-9 m) / (1 × 10^-6 m) ≈ 7.3 × 10^-6 m三、解答题1. 请简要阐述波粒二象性的概念，并说明量子力学中的波函数是如何描述粒子的。
高等量子力学课后习题解析
3. 验证所求的内积规则符合条件（9）～（12） 。 4. 用 (i ， j ) = ij 验证所求出的内积规则。 1 证明： 在一个归一化的完全集里面的矢量集合里，任意的两个矢量正交，根据矢 量的正交 性定义，两个矢量 ψ 和 φ 的内积为零，即 , 0 。
重新用 Schmidt 方法求出一组基矢。 （完成人：何贤文 审核人：班卫华） 解：由空间中不满足正交归一条件的完全集{ 1 , 2 , 3 , 4 }，求这个空间的一 组基矢{ 1 , 2 , 3 , 4 }. （1）首先取 1 为归一化的 1 ： 1 1 0 1 1 0 0
归一化的 4 为
则找到一组基矢为 { 1 , 2 , 3 , 4 }.
在三维位形空间中， i ， j ， k 是在互相垂直的 x，y，z 三个轴上的
单位矢量。取三个归一化的矢量：
（高思泽）
i 1 1 2 (i j ) 2 1 3 ( j k) 2
在内积就是点乘积的定义下它们并不正交。现在改变正交的定义：定义这三个 矢量 1 ， 2 ， 3 互相正交。 1. 证明：定义一个归一化的完全集里面的矢量彼此互相正交，等于定有一 种内积规则。 2. 求出这个新的内积规则，即将任意两个矢量 r1 i x1 j y1 k z1 ，
a
综上所述，新定义的内积规则符合条件（9）—条件（12） ，所以仍为内积空间。 练习 1.8 在四维列矩阵空间中，给定四个不正交也不全归一的矢量： 1 0 1 , 0 0 1 1 2 , 0 0 1 1 3 , 1 0 1 1 4 1 1
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高等量子力学习题† 量子力学中的对称性1、 试证明：若体系在线性变换Qˆ下保持不变，则必有0]ˆ,ˆ[=Q H 。
这里H ˆ为体系的哈密顿算符，变换Qˆ不显含时间，且存在逆变换1ˆ-Q 。
进一步证明，若Q ˆ为幺正的，则体系可能有相应的守恒量存在。
2、 令坐标系xyz O -绕z 轴转θd 角，试写出几何转动算符)(θd R ze的矩阵表示。
3、 设体系的状态可用标量函数描述，现将坐标系绕空间任意轴n转θd 角，在此转动下，态函数由),,(z y x ψ变为),,(),()',','(z y x d n U z y x ψθψ =。
试导出转动算符),(θd n U的表达式，并由此说明，若体系在转动),(θd n U下保持不变，则体系的轨道角动量为守恒量。
4、 设某微观粒子的状态需要用矢量函数描述，试证明该粒子具有内禀自旋1=S 。
5、 证明宇称算符的厄米性和幺正性，并证明宇称算符为实算符。
6、 试证明幺正算符U 与复数共轭算符K 的乘积为反幺正算符。
7、 试证明自旋不为零的粒子的时间反演算符可表为K e T y S i π-=。
8、 试讨论由时间反演不变性引起的Kramers 简并。
† 角动量理论1、 角动量算符可以从两个方面来定义，一种是按矢量算符三个分量所满足的对易关系定义，另一种是按坐标系转动时，态函数的变换规律来定义，试证明这两种定义是等价的。
2、 试证明任意个相互独立的角动量算符之和仍是角动量算符。
3、 定义角动量升降算符yx J i J J ˆˆˆ±=±，试利用升降算符讨论，对给定的角量子数j ，相应的磁量子数m 的取值范围。
4、 给出角量子数1=j 情况下，角动量平方算符及角动量各分量的矩阵表示。
5、 设总角动量算符21J J J +=，1J 、2J相应的角量子数分别为1j 和2j ，试讨论总角动量量子数j 的取值情况。
6、 利用已知的C-G 系数的对称性关系，证明以下三个关系式：11332222221133111122332233221111212)1(1212)1(1212)1(32313m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j C j j C j j C j j C -+----+++-=++-=++-=7、 已知在3ˆs表象中，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01102ˆ1 s ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=002ˆ2i i s ，问在1ˆs 表象中2ˆs 的矩阵表示是怎样的？ 8、 已知∑>>>=113322112211|||m m m j m j m j m j m j Cjm ，其中m m j j jm m j ''|''δδ>=<，1111''1111|''m m j j m j m j δδ>=<，2222''2222|''m m j j m j m j δδ>=<。
试证明：∑>>=>jmm j m j m j jm Cm j m j |||33221122119、 两个全同粒子处于中心外力场中，单粒子能级为nlj E ，试证明：无论这两个粒子是玻色子还是费米子，当它们处于同一个单粒子能级时，体系的总角动量量子数J 必为偶数。
† D 函数1、 设坐标系xyz O -绕空间任意轴n转n d θ角，到达'''z y x O -。
在该转动下角动量算符J的本征函数)(τψjm 变为)()'(τψτψθjm J n d i jm n e⋅-=。
试证)'(τψjm 是2J 和'ˆz J 的共同本征函数，这里'ˆz J 为J在'z 轴上的投影。
2、 证明转动算符J n d i n e⋅-θ可表为z y z n J i J i J i J n d i eeeeˆˆˆγβαθ---⋅-=，其中α、β、γ为欧拉角。
3、 证明d 函数>=<-jm ejm dy J i jmm ||')(ˆ'ββ具有如下的对称性：)()()()1()('''''ββββj m m j m m j m m m m j m m d d d d ---=-=--=4、 试利用D 函数的幺正性，给出∑=''')()()'(m jm jm m jm Dτψαβγτψ的逆变换关系式。
5、 对于无穷小转角δϕ，求证：1'1''')1()1()(21)1()1()(21)1()(-+--++-+-+---=m m y x m m y x mm z jm m m m j j i i m m j j i i m i D δδϕδϕδδϕδϕδδϕδϕ6、 对于自旋为2/1和1的态函数，计算相应的D 函数的矩阵表示。
7、 证明两个D 函数的乘积满足如下关系∑++++=jj m m m jm m j m j l l l j m j m D C C D D 21212122112132211222111μμμμμμμμ 8、 试利用上题结果及D 函数与球谐函数的关系，推导出三个球谐函数的积分公式：332211321112233000321*)12(4)12)(12()()()(μμμμμμπΩθϕθϕθϕl l l l l l l l l C C l l l d Y Y Y +++=⎰9、 试证明∑=mlm lm Y YI )()(2211*ϕθϕθ是坐标系转动下的不变量，进而证明球谐函数加法定理：∑+=mlm lm l Y Y l P )()(124)(cos 2211*ϕθϕθπθ。
† 不可约张量算符1、 称按规律∑==-'''1)(ˆ)()'(ˆ)()(ˆ)(m lm l m m lm n lm n T D T d n U T d n U ταβγτθτθ 变换的12+l 个算符),,1,)((ˆl l l m T lm--= τ为l 阶不可约张量算符，试证明这个定义 与不可约张量算符的Racah 定义是等价的。
2、 设)(ˆ)(ˆ212211ττm l m l T T 和分别为1l 阶和2l 阶不可约张量算符，求证由下式定义的算符)(ˆ21ττLM T 为L 阶不可约张量算符： ∑=2122112211)(ˆ)(ˆ)(ˆ2121m m m l m l LMm l m l LM T T CT ττττ。
3、 微观粒子间的相互作用位能，一般包含张量力项12ˆ)(S r V T ，其中12ˆS 为张量算符，其表达式可写为∑--=-⋅=⋅-⋅⋅=mmm m S Y Sr r S r r r S 2222212122112ˆ)(2)(6)())((3ˆσσσσ 其中∑+---+---=μμμμμm mm mS S C S ˆˆˆ21,12。
试证明12ˆS 的这三个定义是等价的。
4、 设∑=mMjm LM JM jmLMJM T CJ J )()(ˆ)(τψττψ，其中)(ˆτLMT 为不可约张量算符，)(τψjm 为角动量本征函数。
试证如此定义的)(τψJ JM 一定是角动量的本征函数。
5、 求约化矩阵元?||||'>=<l Y l L ，?||ˆ||'>=<j Jj 6、 一阶不可约张量算符在角动量表象中的矩阵元可按以下公式计算211)1(|)ˆ(ˆ|'|ˆ|'+>⋅<>=<j j jm T J J jm jm T jm M M ， 称为一阶张量投影定理，试证明这一定理，进而证明这一定理的另一表达式211)1(|)ˆ(||ˆ|'|ˆ|'+>⋅><<>=<j j jm T J jm jm J jm jm T jm M M 7、 试利用投影定理计算微观粒子的磁矩（即磁矩在>jm |态上的平均值），磁矩算符为)(0S g L g S L+=μμ，其中0μ为微观粒子的玻尔磁子。
8、† 多个角动量耦合1、 试证明三个C-G 系数乘积的求和公式∑=12322323113312122323332212122211);(2312321m m m jm m j m j jm m j m j m j m j m j m j m j m j C j j jj j j U C C C。
2、 试证明两个Racah 系数乘积的求和公式∑++++++-=23312312321);();()1();(312313223123211231213j j j j j j j j j j jj j j U j j jj j j U j j jj j j U3、 试计算矩阵元>⋅<2121|)2(ˆ)1(ˆ|''j jmj T T j jmj L L 和><2121|)1(ˆ|''''j jmj T j j m j LM4、 试证明一个角量子数为零的j -9符号可化简为⎭⎬⎫⎩⎨⎧++-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+++243434232243344322)12)(12()1(0342432j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j† 二次量子化方法1、 给定算符a a na a ++=ˆ，，，且满足1},{=+a a ，022==+a a ，试证：1）n n ˆˆ2=；n ˆ的本征值只能取1和0。
2）在nˆ对角化表象中，给出a a ，+和n ˆ的矩阵表示。
2、 设0}ˆ,{}ˆ,ˆ{1}ˆ,ˆ{===+++a a a aa a ，，令a a n ˆˆˆ+=，证明 >->=>+->=+1||ˆ1|1|ˆn n n an n n a3、 令αααa a nˆˆˆ+=，证明无论对玻色子还是费米子，均有 ααααααa a naa n ˆ]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,ˆ[-==++其中α为量子态标记。
4、 考虑一玻色子体系，其哈密顿量具有如下形式∑∑≠=+=NNV T H )(,121βαβααβαα 其中222αα∇-=mT 为单粒子动能算符，|)(|βααβr r V V -=为两粒子相互作用能。
选取 箱归一化的动量本征函数r p i p e L r⋅-=2/3)(ψ作为单粒子波函数。