高中数学教案——函数的单调性 第二课时

课 题：2.3.2
函数的单调性2
教学目的： 1.. 巩固函数单调性的概念；熟练掌握证明函数单调性的方法和步骤；初步了解复合函数单调性的判断方法.
2.会求复合函数的单调区间. 明确复合函数单调区间是定义域的子集. 教学重点：熟练证明函数单调性的方法和步骤.
教学难点：单调性的综合运用
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1.对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值21,x x ⑴若当1x <2x 时，都有)(1x f <)(2x f ,则说)(x f 在这个区间上是增函数； ⑵若当1x <2x 时，都有)(1x f >)(2x f ,则说)(x f 在这个区间上是减函数.
2.若函数)(x f y =在某个区间是增函数或减函数，则就说函数)(x f y =在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数)(x f y =的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.
3.判断证明函数单调性的一般步骤是：⑴设1x ,2x 是给定区间内的任意两个值，且1x <2x ；⑵作差)(1x f －)(2x f ，并将此差式变形（要注意变形的程度）；⑶判断)(1x f －)(2x f 的正负（要注意说理的充分性）；⑷根据)(1x f －)(2x f 的符号确定其增减性.
二、讲解新课：
1．函数单调性的证明
例1．判断并证明函数3)(x x f =的单调性
证明：设21x x <则
)x x x )(x x (x x x )f(x )f(x 22212121223121++-=-=-
∵21x x < ∴021<-x x ，043)2(2
2221222121>++=++x x x x x x x , ∴021<-)f(x )f(x 即)f(x )f(x 21< （注：关键021<-)f(x )f(x 的判断） ∴3)(x x f =在R 上是增函数.
2．复合函数单调性的判断
对于函数)(u f y =和)(x g u =，如果)(x g u =在区间),(b a 上是具有单调性，当),(b a x ∈时，),(n m u ∈，且)(u f y =在区间),(n m 上也具有单调性，则复合函数))((x g f y =在区间),(b a 具有单调性的规律见下表：
以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.
证明：①设),(,21b a x x ∈，且21x x <
∵)(x g u =在),(b a 上是增函数，
∴)()(21x g x g <，且),()(),(21n m x g x g ∈
∵)(u f y =在),(n m 上是增函数，∴))(())((21x g x g f <.
所以复合函数))((x g f y =在区间),(b a 上是增函数
②设),(,21b a x x ∈，且21x x <，∵)(x g u =在),(b a 上是增函数， ∴)()(21x g x g <，且),()(),(21n m x g x g ∈
∵)(u f y =在),(n m 上是减函数，∴))(())((21x g x g f >.
所以复合函数))((x g f y =在区间),(b a 上是减函数
③设),(,21b a x x ∈，且21x x <，∵)(x g u =在),(b a 上是减函数， ∴)()(21x g x g >，且),()(),(21n m x g x g ∈
∵)(u f y =在),(n m 上是增函数，∴))(())((21x g x g f >.
所以复合函数))((x g f y =在区间),(b a 上是减函数
④设),(,21b a x x ∈，且21x x <，∵)(x g u =在),(b a 上是减函数， ∴)()(21x g x g >，且),()(),(21n m x g x g ∈
∵)(u f y =在),(n m 上是减函数，∴))(())((21x g x g f <.
所以复合函数))((x g f y =在区间),(b a 上是增函数
例2．求函数2
22)2()2(28x x y ---+=的值域，并写出其单调区间 解：题设函数由228u u y -+=和2
2x u -=复合而成的复合函数， 函数22x u -=的值域是]2,(-∞，
在]2,(-∞上的值域是]9,(-∞.
故函数222)2()2(28x x y ---+=的值域是]9,(-∞.
22)1(928--=-+=u u u y
对于函数的单调性，不难知二次函数228u u y -+=在区间)1,(-∞上是减函数，在区间),1[+∞上是增函数；
二次函数2
2x u -=区间)0,(-∞上是减函数，在区间),0[+∞上是增函数 当)1,(-∞∈u 时，)1,(22-∞∈-x ，即122<-x ，1-<x 或1>x .
当),1[+∞∈u 时，),1[22+∞∈-x ，即122≥-x ，11≤≤-x .
因此，本题应在四个区间)1,(--∞，)0,1[-，)1,0[，),1[+∞上考虑 ① 当)1,(--∞∈x 时，)1,(22-∞∈-=x u ，
而22x u -=在)1,(--∞上是增函数，228u u y -+=在)1,(-∞上是增函
数，所以，函数222)2()2(28x x y ---+=在区间)1,(--∞上是增函数
②当)0,1[-∈x 时，),1[22
+∞∈-=x u ，
而22x u -=在)0,1[-上是增函数，228u u y -+=在),1[+∞上是减函数， 所以，函数2
22)2()2(28x x y ---+=在区间)0,1[-上是减函数 ③当)1,0[∈x 时，),1(22
+∞∈-=x u ，
而22x u -=在)1,0[上是减函数，228u u y -+=在),1(+∞上是减函数， 所以，函数2
22)2()2(28x x y ---+=在区间)1,0[上是增函数
④当),1[+∞∈x 时，]1,(22-∞∈-=x u ，
而2
2x u -=在),1[+∞上是增函数，228u u y -+=在]1,(-∞上是减函数，所以，函数222)2()2(28x x y ---+=在区间),1[+∞上是减函数综上所述，函数222)2()2(28x x y ---+=在区间)1,(--∞、)1,0[上是增函数；在区间)0,1[-、]1,(-∞上是减函数
另外，本题给出的复合函数是偶函数，在讨论具有奇偶性的函数的单调性时，应注意应用其奇函数或偶函数的性质，以使解题过程简捷、清楚、具有条理性
三、课堂练习：课本P60练习：3，4
四、小结 本节课学习了以下内容：函数单调性的证明方法
五、课后作业：课本第60习题2.3：4，5，6，7
六、板书设计（略）
七、课后记：。