齿轮机械动力学发展史

齿轮动力学研究综述

齿轮传动作为机械传动的主要形式，尤其是在高速的传动中扮演着更为重要的角色，故而对齿轮的动力学研究便显得十分必要。

虽然齿轮在远古时期便已经得到了应用，但是由于动力限制了极其的速度，所以此刻的齿轮根本谈不上动力学的问题。即便是时间推至到工业革命时期，有关齿轮传动的动力学研究也未正式提上议事日程。在第一次工业革命之后，由Euler所提出的渐开线齿廓齿轮逐渐地得到广泛的应用。时至今日，齿轮传动的速度最高已达300。齿轮传动速度的提高使得动力学分析成为必要的环节，但是其并不是唯一的原因。齿轮强度计算方法的不断探索和完善也是促进齿轮动力学分析的重要推力。1893年，美国学者W.Lewis提出了基于断臂梁的轮齿弯曲应力计算公式。1908年，德国学者E.Videky基于Hertz理论建立了齿面接触应力的计算公式。这些理论的建立和不断完善使得人们注意到：速度提高以后齿轮传动中的动载荷是至关重要的。基于此，在20世纪上半叶，不同国家的学者开始了以估算齿轮传动中的动载荷为目的的动力学研究，但是该阶段的研究是初步的，很不完善的。随着机械设备速度的不断提高，对齿轮的传动速度也提出了更高的要求，而此时齿轮传动的降噪及减振成为十分迫切的任务，所以以振动模型为标志的齿轮动力学研究成为了主流。20世纪50——60年代的研究以线性振动理论为基础[1-2]，80年代以后，以非线性振动理论为基础的研究发展起来[2]。

齿轮传动作为一个振动系统，其输入、输出和系统模型、求解方法覆盖了诸多的方面。随着研究的不断深入和研究条件的不断改善，用于研究的模型也有着很大的区别。起初，常常采用简单的模型研究某一项内部激励产生的动态响应，但是随着研究的不断加深，外部激励也被考虑进来，这使得其对激励的表达也越来越精确。

1、齿轮动力学的起步

齿轮的动力学起步直接来源于应用领域，由于强度计算的需要而估算动载荷[]。在齿轮设计的早期阶段，由于对齿轮传动存在着一定的盲区，在计算时仅仅根据齿轮的功率计算出轮齿间的载荷，此即为静载荷。但是齿轮在实际的传动过程当中，存在着冲击、振动等动力学效应，轮齿间的实际载荷要比静载荷大，此时的载荷称之为动载荷。为了在计算时将动载荷的因素考虑进来，1868年，

H.Walker提出了动载荷系数的概念；

F d=L S L D

式中，F d—动载系数；

L S 、L D--静载荷和动载荷。

但是由于科技条件的不成熟，在早期的研究中，经常会采用经验性的方法来决定动载系数。

在齿轮动载荷的研究过程中，Buckingham做出了巨大的贡献，他认为，由

于误差的存在，轮齿会发生瞬时的分离和随后的碰撞。早期的动载荷分析便是以这种冲击理论为基础的。其在自己的研究结果中指出影响齿轮动载荷的三个主要因素：系统惯性、轮齿误差和齿轮速度。在计算时将这些因素考虑进公式当中，被称为Buckingham公式。对于该公式的研究大约持续了二十多年，随后这方面研究的工作量便逐渐减少了。到了上世纪50年代，齿轮动力学的研究便进入了新时期——开始建立齿轮动力学的分析模型。其核心思想是将齿轮系统视为弹性

结构系统，分析其在内、外激励作用下轮齿之间的相对动态位移，并进而计算轮齿的动载荷。振动模型的引入使得齿轮动力学的研究范围得到了大大的扩大，为精确数据的获取奠定了基础。

进入本世纪后，关于齿轮动载系数的研究，不同的国家给出了不同的标准。例如：ISO标准中的动载系数就是通过振动模型进行分析而得出的，对处于共振区、次共振区和超共振区的传动采用不同的公式来计算动载系数。

2、齿轮线性动力学的研究

在很长的一段时间内，由于科技条件的不成熟，齿轮动力学的研究是建立在线性振动理论的基础之上的。直到20世纪80年代之后，以现代非线性动力学理论为基础的齿轮系统非线性动力学的研究才真正开始。

1）关于齿轮系统的动力学模型

1950年，英国学者W.Tuplin提出了单自由度的振动模型，随后，又建立起多种类型的齿轮传动系统振动模型[1-2]。根据其所考虑的对象，可以将其分为三类：只考虑轮齿柔性的齿轮副扭转振动模型、计入轴和轴承柔性的齿轮传动系统振动模型、考虑箱体等结构部分的变形的齿轮传动装置振动模型。

齿轮副扭转振动模型是以一对齿轮副为分析对象，只计入轮齿的变形，研究齿轮副的扭转振动。这是齿轮系统动力学的最基本形式。这种简单的振动模型有利于把问题简化，依次对不同的影响因素进行分析，但是该模型过于粗糙简单，由此模型所获取的数据往往精度较低，需要借助于其他软件进行分析验证。

上述振动模型仅仅是针对轮齿而建立的，忽略了轴的质量和刚度的影响。但是在实际应用中，除了轮齿柔性外，还必须考虑轴和轴承的柔性。在这种前提下，便出现了两类较为复杂的力学模型：只计入轴的扭转刚度的扭转振动模型和同时计入轴的扭转和横向刚度的扭转——横移耦合振动模型[4]。采用这种模型更加符合齿轮系统真实的动力学情况，尤其是考虑到不同影响因素之间耦合的状况，这些对于齿轮系统动力学的发展都有着积极的影响。但是这种振动模型距离真实的情况还是存在着一定的距离，于是便引出了下一种齿轮系统动力学模型。

齿轮传动装置的振动模型不仅考虑齿轮、轴和轴承组成的系统，而且还要考虑箱体等结构的影响。关于这种模型的解决方法，主要是传递矩阵法、集中参数法和有限元法等多种建模方法[5]。从计算精度上来讲，有限元法更接近于具有连续弹性传动系统的实际，是目前最为精细化的建模方法。但是由于造型、边界条件、内部动态激励以及外部激励的复杂性等因素的制约，使得有限元法的使用受到了一定的限制。

2）关于轮齿变形的研究

在齿轮的动力学模型中，轮齿的啮合刚度是一个重要参数，它需要轮齿的变形导出。在齿轮动力学的研究史上，关于轮齿变形的研究先后提出了许多方法，但这些方法不外乎几大类：材料力学法、数学弹性力学方法和有限元法[6]。

材料力学的方法是最早提出的，其中心思想就是利用悬碧浪来模拟轮齿的变形。但是该方法由于不能精确地考虑到渐开线齿形和齿根圆角对变形的影响，所以在此基础上提出了数学弹性力学方法，该方法的核心是以弹性力学为基础的保角映射法可得到更精确的结果。20世纪70年代以后，人们开始利用有限元法来对轮齿变形进行计算，这种方法相对于以上两种方法，其计算结果的精度得到了大大的提高，但是约束和边界条件如何施加等一系列问题的存在使得有限元的应用还有待于进一步研究与加深。