系统工程导论复习题解答

习 题

1. 某油田产量为Q 吨/年，分别供应A 、B 、C 、D 四个城市，各城市每年的原油需求量分别为10、50、5、35吨。油田与各城市间有八条通路相联系（如图所示），每条通路的允许流量和费用如表所示。问如何安排运送计划最为经济？试建立此问题的数学模型。

2. 某冷饮店要制定七八月份的日进货计划。该品质的冷饮进货成本为每箱30元，销售价为50元，当天销售后每箱可获利20元。如果剩一箱，由于冷藏及其它原因要亏损10元。今年的市场情况不清楚，但有前两年同期120天的日销售资料如表所示。试问今年平均每天进多少箱为好？

3. 试将下列线性规划问题化为标准型。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧≥-=-+-≥+-≤++-+-=无约束

，，3213213

21321321052327

..32min x x x x x x x x x x x x t s x x x f

4. 试写出下列线性规划问题的对偶问题。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=+≥-≤++=无约束

，21212

1

212

10510342023..54max x x x x x x x x t s x x f

5.某工厂计划生产A、B两种产品，生产这两种产品需要煤、电力和劳动力三种资源。已知该厂可利用的煤有360吨，电力有200千瓦，劳动力有300个，生产每千克产品的资源消耗量和可获得的利润如表所示。问该厂应生产A、B两种产品各多少千克才能使总利润最大？请用单纯形法求解。

6.设有如图所示的网络图，计算网络图中各节点的最早、最迟时间，并求出关键路线。

7.从油田铺设管道，把原油运输到原油加工厂。要求管道必须沿着如图所示的给定路线进行铺设，图中顶点1为油田，顶点8为原油加工厂，弧权为相应路段的管道长度，应如何铺设管道，才能使油田到原油加工厂的管道总长最短？试用标号算法确定其最短距离及其相应的路线。

习题解答

1. 某油田产量为Q 吨/年，分别供应A 、B 、C 、D 四个城市，各城市每年的原油需求量分别为10、50、5、35吨。油田与各城市间有八条通路相联系（如图所示），每条通路的允许流量和费用如表所示。问如何安排运送计划最为经济？试建立此问题的数学模型。

解：设各条通路要安排的全年运油总量分别为j （ =1, 2, …, 8）。本问题的目标为总运输费用最小，即

876543218540703510408010m in x x x x x x x x f +++++++=

首先，考虑各城市需求量约束，则有

）

（供应城市）（供应城市）

（供应城市）（供应城市D C B A 35

5501087626537

5481≥+++≥--≥-+≥-x x x x x x x x x x x x

其次，总供应量不能超过油田产量，即

Q x x x x ≤+++4321

再次，各条通路的运量不能超过其允许流量，则有

404020104054321≤≤≤≤≤x x x x x 40

1870876≤≤≤x x x 故该问题的数学模型为

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎨

⎧=≥≤≤≤≤≤≤≤≤≤+++≥+++≥--≥-+≥-+++++++=)

8,,1(0401870404020104035550

10

.

.8540703510408010min 876

543214

321

8762653754

818

7654321Λj x x x x x x x x x Q

x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x x x x f j

2. 某冷饮店要制定七八月份的日进货计划。该品质的冷饮进货成本为每箱30元，销售价为50元，当天销售后每箱可获利20元。如果剩一箱，由于冷藏及其它原因要亏损10元。今年的市场情况不清楚，但有前两年同期120天的日销售资料如表所示。试问今年平均每天

解：再根据每天可能的销售量，计算不同进货方案的收益值，并编成如下所示的决策表。

最后由公式

),()()(4

1

j j i j i C A U C P A U ∑==

计算各销售方案的期望利润值，则

U(A 1) = 2000×0.2+2000×0.4+2000×0.3+2000×0.1=2000 U(A 2) = 1900×0.2+2200×0.4+2200×0.3+2200×0.1=2140

U(A 3) = 1800×0.2+2100×0.4+2400×0.3+2400×0.1=2160 U(A 4) = 1700×0.2+2000×0.4+2300×0.3+2600×0.1=2090 故最优方案

2160}2090,2160,2140,2000max{)(max ===∈*i A

A i A U A i

可见，日进货120箱的计划方案A 3的期望利润值最大，应选为最优方案。

3. 试将下列线性规划问题化为标准型。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧≥-=-+-≥+-≤++-+-=无约束

，，3213213

21321321052327..32min x x x x x x x x x x x x t s x x x f 解：令33

3x x x ''-'=且3x '、03≥''x 在第一个约束条件中引入松弛变量x 4，第二个约束条件中引入剩余变量x 5，第三个约

束条件两边同乘以1，同时将目标函数变为求最大值，整理可得

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧≥'''=''-'+-=-''-'+-=+''-'++''-'+-=-='0522327..332min max 5433

2133

215

3321433

213321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x f f ，，，，，

4. 试写出下列线性规划问题的对偶问题。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧≥=+≥-≤++=无约束

，21212

1212

10510342023..54max x x x x x x x x t s x x f 解：令22

2x x x ''-'=且2x '、02≥''x 将第二个约束条件两边同乘以1，第三个约束条件转化为两个不等式，则原问题可改

写为

⎪⎪⎪⎩⎪

⎪⎪⎨⎧≥'''≤''-'+-≤''+'--⇒≥''-'+-≤''-'+-≤''-'+''-'+=05

5510

33420223..554max 22

12

21

22122

122122

122

1x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x f ，，