系统工程导论复习题解答

习 题1. 某油田产量为Q 吨/年，分别供应A 、B 、C 、D 四个城市，各城市每年的原油需求量分别为10、50、5、35吨。

油田与各城市间有八条通路相联系（如图所示），每条通路的允许流量和费用如表所示。

问如何安排运送计划最为经济？试建立此问题的数学模型。

2. 某冷饮店要制定七八月份的日进货计划。

该品质的冷饮进货成本为每箱30元，销售价为50元，当天销售后每箱可获利20元。

如果剩一箱，由于冷藏及其它原因要亏损10元。

今年的市场情况不清楚，但有前两年同期120天的日销售资料如表所示。

试问今年平均每天进多少箱为好？3. 试将下列线性规划问题化为标准型。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-=-+-≥+-≤++-+-=无约束，，321321321321321052327..32min x x x x x x x x x x x x t s x x x f4. 试写出下列线性规划问题的对偶问题。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=+≥-≤++=无约束，21212121210510342023..54max x x x x x x x x t s x x f5.某工厂计划生产A、B两种产品，生产这两种产品需要煤、电力和劳动力三种资源。

已知该厂可利用的煤有360吨，电力有200千瓦，劳动力有300个，生产每千克产品的资源消耗量和可获得的利润如表所示。

问该厂应生产A、B两种产品各多少千克才能使总利润最大？请用单纯形法求解。

6.设有如图所示的网络图，计算网络图中各节点的最早、最迟时间，并求出关键路线。

7.从油田铺设管道，把原油运输到原油加工厂。

要求管道必须沿着如图所示的给定路线进行铺设，图中顶点1为油田，顶点8为原油加工厂，弧权为相应路段的管道长度，应如何铺设管道，才能使油田到原油加工厂的管道总长最短？试用标号算法确定其最短距离及其相应的路线。

习题解答1. 某油田产量为Q 吨/年，分别供应A 、B 、C 、D 四个城市，各城市每年的原油需求量分别为10、50、5、35吨。

油田与各城市间有八条通路相联系（如图所示），每条通路的允许流量和费用如表所示。

问如何安排运送计划最为经济？试建立此问题的数学模型。

解：设各条通路要安排的全年运油总量分别为j （ =1, 2, …, 8）。

本问题的目标为总运输费用最小，即876543218540703510408010m in x x x x x x x x f +++++++=首先，考虑各城市需求量约束，则有）（供应城市）（供应城市）（供应城市）（供应城市D C B A 3555010876265375481≥+++≥--≥-+≥-x x x x x x x x x x x x其次，总供应量不能超过油田产量，即Q x x x x ≤+++4321再次，各条通路的运量不能超过其允许流量，则有404020104054321≤≤≤≤≤x x x x x 401870876≤≤≤x x x 故该问题的数学模型为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥≤≤≤≤≤≤≤≤≤+++≥+++≥--≥-+≥-+++++++=)8,,1(040187040402010403555010..8540703510408010min 87654321432187626537548187654321Λj x x x x x x x x x Qx x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x x x x f j2. 某冷饮店要制定七八月份的日进货计划。

该品质的冷饮进货成本为每箱30元，销售价为50元，当天销售后每箱可获利20元。

如果剩一箱，由于冷藏及其它原因要亏损10元。

今年的市场情况不清楚，但有前两年同期120天的日销售资料如表所示。

试问今年平均每天解：再根据每天可能的销售量，计算不同进货方案的收益值，并编成如下所示的决策表。

最后由公式),()()(41j j i j i C A U C P A U ∑==计算各销售方案的期望利润值，则U(A 1) = 2000×0.2+2000×0.4+2000×0.3+2000×0.1=2000 U(A 2) = 1900×0.2+2200×0.4+2200×0.3+2200×0.1=2140U(A 3) = 1800×0.2+2100×0.4+2400×0.3+2400×0.1=2160 U(A 4) = 1700×0.2+2000×0.4+2300×0.3+2600×0.1=2090 故最优方案2160}2090,2160,2140,2000max{)(max ===∈*i AA i A U A i可见，日进货120箱的计划方案A 3的期望利润值最大，应选为最优方案。

3. 试将下列线性规划问题化为标准型。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-=-+-≥+-≤++-+-=无约束，，321321321321321052327..32min x x x x x x x x x x x x t s x x x f 解：令333x x x ''-'=且3x '、03≥''x 在第一个约束条件中引入松弛变量x 4，第二个约束条件中引入剩余变量x 5，第三个约束条件两边同乘以1，同时将目标函数变为求最大值，整理可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥'''=''-'+-=-''-'+-=+''-'++''-'+-=-='0522327..332min max 543321332153321433213321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x f f ，，，，，4. 试写出下列线性规划问题的对偶问题。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=+≥-≤++=无约束，21212121210510342023..54max x x x x x x x x t s x x f 解：令222x x x ''-'=且2x '、02≥''x 将第二个约束条件两边同乘以1，第三个约束条件转化为两个不等式，则原问题可改写为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥'''≤''-'+-≤''+'--⇒≥''-'+-≤''-'+-≤''-'+''-'+=05551033420223..554max 221221221221221221221x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x f ，，由原问题与对偶问题的关系，可得相应的对偶问题为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≥-+--≥+-+≥+--+--=0532532443..551020min 43214321432143214321y y y y y y y y y y y y y y y y t s y y y y f ，，，5. 某工厂计划生产A 、B 两种产品，生产这两种产品需要煤、电力和劳动力三种资源。

已知该厂可利用的煤有360吨，电力有200千瓦，劳动力有300个，生产每千克产品的资源消耗量和可获得的利润如表所示。

问该厂应生产A 、B 两种产品各多少千克才能使总利润最大？12⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤++=03001032005436049..127max 2121212121x x x x x x x x t s x x f ， 将模型标准化，可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=++=++=+++=5,,2,103001032005436049..127max 52142132121Λj x x x x x x x x x x t s x x f j ，表2 x 5替换为x 2后的单纯形表2/5 1/2 6/54178/25 1/5 3/2534/2513/25表3最后一行的所有检验数σj 都已为负或零，这表示目标函数值已不可能再增大，于是得到最优解[][]T T x x x x x X 0084242054321==*且相应的最优值（即工厂的最大总利润）f *= 428。

6. 设有如图所示的网络图，计算网络图中各节点的最早、最迟时间，并求出关键路线。

解：第一步：计算各节点的最早时间，并将结果记入图中各节点左下方的方框“□”中0)1(=E T 4)2(=E T 3)4(=E T9}5,9,7m ax {})4(,)2(,)1(m ax {)3(432313==+++=t T t T t T T E E E E 16}6,16,14m ax {})4(,)3(,)2(m ax {)5(453525==+++=t T t T t T T E E E E第二步：计算各节点的最迟时间，并将结果记入图中各节点右下方的三角框“Δ”中16)5()5(==E L T T9716)5()3(35=-=-=t T T L L7}7,13m in{})3(,)5(m in{)4(4345==--=t T t T T L L L 4}6,4m in{})5(,)3(m in{)2(2523==--=t T t T T L L L0}4,2,0m in{})4(,)3(,)2(m in{)1(141312==---=t T t T t T T L L L L第三步：确定关键线路如图所示，网络图中○1、○2、○3、○5为关键节点，○1−→−A○2、○2−→−D○3、○3−→−G○5为关键工序，则由A —D —G 即为网络图的关键线路。

7. 从油田铺设管道，把原油运输到原油加工厂。

要求管道必须沿着如图所示的给定路线进行铺设，图中顶点1为油田，顶点8为原油加工厂，弧权为相应路段的管道长度，应如何铺设管道，才能使油田到原油加工厂的管道总长最短？试用标号算法确定其最短距离及其相应的路线。

解：用最短路标号算法求解时，首先给顶点1标上P 类标号，即P (1) = 0，其余顶点标上T 类标号，且T ( j ) = ∞（j =2,…, 8）。

第一步○1 与顶点1直接相连且又为临时标号的顶点是2和3，则将这两个顶点的T 类标号改为 T (2 ) = min {T (2 )，P (1) + l 12 } = min[∞，0+4] = 4 T (3 ) = min {T (3 )，P (1) + l 13 } = min[∞，0+6] = 6○2 在所有的T 类标号中，T ( 2 ) = 4最小，于是令P (2) = 4，即顶点2获得固定标号； 第二步○1 与顶点2直接相连且又为临时标号的顶点是4和5，则将它们的T 类标号改为 T (4 ) = min {T (4 )，P (2) + l 24 } = min[∞，4+5] = 9 T (5 ) = min {T (5 )，P (2) + l 25 } = min[∞，4+5] = 9○2 在所有的T 类标号中，T (3 ) = 6最小，于是令P (3) = 6； 第三步○1 与顶点3直接相连且又为临时标号的顶点是4和5，则将它们的T 类标号改为 T (4 ) = min {T (4 )，P (3) + l 34 } = min[9，6+4] = 9 T (5 ) = min {T (5 )，P (3) + l 35 } = min[9，6+7] = 9○2 在所有的T 类标号中，T (4 ) = T ( 5 ) = 9最小，于是令P (4 ) = P ( 5 ) = 9； 第四步○1 与顶点4、5直接相连且又为临时标号的顶点是6和7，则将它们的T 类标号改为 T (6 ) = min {T (6 )，P (4) + l 46，P (5) + l 56 } = min[∞，9+9，9+4] = 13 T (7 ) = min {T (7 )，P (4) + l 47，P (5) + l 57 } = min[∞，9+7，9+6] = 15 ○2 在所有的T 类标号中，T (6 ) = 13最小，于是令P (6) = 13； 第五步○1 与顶点6直接相连且又为临时标号的顶点是7和8，则将它们的T 类标号改为 T (7 ) = min {T (7 )，P (6) + l 67 } = min[15，13+5] = 15 T (8 ) = min {T (8 )，P (6) + l 68 } = min[∞，13+4] = 17○2 在所有的T 类标号中，T (7 ) = 15最小，于是令P (7 ) = 15； 第六步○1 与顶点7直接相连且又为临时标号的顶点只有8，则将它的T 类标号改为 T (8) = min {T (8 )，P (7) + l 78 } = min[∞，15+1] = 16○2 显然应令P (8) = 16，即终点（顶点6）获得固定标号，算法到此结束，则顶点1到顶点8的最短距离为16，其固定标号值如图所示。