辗转相除法与更相减损术 PPT

例如，用辗转相除法求225和135的最大公约数 225=135×1+90
6105=2146×2+1813
135=90×1+45
2146=1813×1+333
90=45×2+0
1813=333×5+148
333=148×2+37
148=37×4+0 显然37是148和37的最大公约 数，也就是8251和6105的最 大公约数
第一步，给定两个正整数m，n(m>n). 第二步，计算m除以n所得的余数r. 第三步，m=n，n=r. 第四步，若r=0，则m，n的最大公约数等于m； 否则，返回第二步.
上述算法的程序框图如何表示？
开始 输入m，n
INPUT m，n DO
求m除以n的余数r
m=n
n=r r=0？ 否
是 输出m
r= m MOD n m=n n=r LOOP UNTIL r=0 PRINT m
思考2:对于8251与6105这两个数，由于其公有的质因数 较大，利用上述方法求最大公约数就比较困难了.
注意到 8251=6105×1+2146，
8251与6105的公约数和6105与2146的公约数 有什相么同关系？
又6105=2146×2+1813， 同理，6105与2146的公约数和2146与1813的公约数相等.
两个正整数m，n的最大公约数的程序框图和程序分别如何
m≠n？ 否
IF n>k THEN m=n
是
n=k
m=k
否
k=m-n n>k？
输出m
ELSE m=k
END IF
是
WEND
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
“更相减损术m”=n在中国古结代束数学专著P《RI九NT章算m术》中记述
为:可半者半之n=，k 不可半者，副置分母EN、D 子之数，以少减
多，更相减损，求其等也，以等数约之.
思考：如果用当型循环结构构造算法，则用辗转相除法求
〖创设情景，揭示课题〗
[问题1]：在小学，我们已经学过求最大公约数的知
识，你能求出18与30的最大公约数吗？
2 18 30 3 9 15
先用两个数公有的质因数连 续去除,一直除到所得的商是
35
互质数为止,然后把所有的除
∴18和30的最大公约 数连乘起来.
数是2×3=6.
ex：（1）求25和35的最大公约数（2）求49和63的最大公约数
理论迁移 例2. 求325，130，270三个数的最大公约数. 解：因为325=130×2+65，130=65×2+0，
所以325与130的最大公约数是65. 又因为270=65×4+10，65=10×6+5， 10=5×2+0， 所以65与270最大公约数是5.
故325，130，270三个数的最大公约数是5.
END
结束
练习2：利用辗转相除法求两数4081与
20723的最大公约数. (53)
20723=4081×5+318; 4081=318×12+265; 318=265×1+53; 265=53×5+0.
知识探究（二）:更相减损术
思考1:设两个正整数m>n，若m-n=k，则m与n的最大公约数 和n与k的最大公约数有什相么等关. 系？
（1） 5 25 35 57
所以，25和35的最大公约数为5
（2） 7 49 63
79 所以，49和63的最大公约数为7
〖创设情景，揭示课题〗
[问题2]:我们都是利用找公约数的方法来求最 大公约数，如果公约数比较大而且根据我们的 观察又不能得到一些公约数，我们又应该怎样 求它们的最大公约数？比如求8251与6105的最 大公约数?
重复上述操作,你能得到8251与6105这两个数的
最大公约数吗37？
8251=6105×1+2146， 6105=2146×2+1813，
2146=1813×1+333， 1813=333×5+148， 1813=333×5+148， 333=148×2+37，
148=37×4+0.
完整的过程
8251=6105×1+2146
课堂练习
1.用辗转相除法计算60与48的最大公约数时， 需要做__________次除法运算。
2.分别用辗转相除法和更相减损术计算288与123的最大公
约数。 课堂小结
1.辗转相除法
2.更相减损术
课后作业
程序框图
程序
开始 输入m，n
I其NP对UT应的m程，序n WHIL如E何？m<>n
k=m-n
显然45是90和45的最大公约数，也就是 225和135的最大公约数
思考：从上面的两个例子可 以看出计算的规律是什么？
S1：用大数除以小数
S2：除数变成被除数，余数变成除数
S3：重复S1，直到余数为0
辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤，
这实际上是一个循环结构。
m=n×q＋r
用程序框图表示出右边的过程
8251=6105×1+2146
r=m MOD n m=n n=r
r=0?
否
是
6105=2146×2+1813 2146=1813×1+333 1813=333×5+148
333=148×2+37 148=37×4+0
上述求两个正整数的最大公约数的方法称为 辗转相除法或欧几里得算法.
一般地，用辗转相除法求两个正整数m，n的最大公约数， 可以用什么逻辑结构来构造算法？其算法步骤如何设计？
——辗转相除法与更相减损术
复习回顾
1.研究一个实际问题的算法，主要从算法步骤、程序框图 和编写程序三方面展开.在程序框图中算法的基本逻辑结 构有哪几种？在程序设计中基本的算法语句有哪几种？
新课引入
2.“求两个正整数的最大公约数”是数学中的一个基础性 问题，它有各种解决办法，我们以此为案例，对该问题的 算法作一些探究.
反复利用这个原理，可求得：
98与63的最大公约数为多7少？
98-63=35， 63-35=28， 35-28=7， 28-7=21， 21-7=14，
这种求两个正整数的最大公约数的 方法称为更相减损术.
14-7=7.
理论迁移
例1.求168与93的最大公约数.
(要求：分别用辗转相除法和更相减损术）
辗转相除法：
168=93×1+75， 93=75×1+18，
更相减损术: 168-93=75， 93-75=18， 75-18=57， 57-18=39，
75=18×4+3，
39-18=21， 21-18=3，
18=3×6+0.
18-3=15， 15-3=12，
故最大公约数为3 12-3=9，
9-3=6，
6-3=3.