2017年浙江省高中数学竞赛

2017年浙江省高中数学竞赛

一、填空题（每题8分，共80分）

1.在多项式()

()31012x x -+的展开式中6x 的系数为___________________.2.已知()

53a -=，则实数a =______________.3.设()2f x x ax b =++在[]0,1中有两个实数根，则22a b -的取值范围为___________.

4.设,x y R ∈，且()

222222sin cos cos cos sin sin 1sin x x x y x y x y -+⋅-⋅=+，则x y -=_________.5.已知两个命题，命题p ：函数()()log 0a f x x x =>单调递增；命题q ：函数()()210g x x ax x R =++>∈.若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，则实数a 的取值范围为__________.

6.设S 是50,8⎛

⎫ ⎪⎝⎭中所有有理数的集合，对简分数q S p

∈（正整数,p q 互质），定义函数1q q f p p ⎛⎫+= ⎪⎝⎭

，则()23f x =在S 中根的个数为_____________.7.已知动点,,P M N 分别在x 轴，圆()()22121x y -+-=和圆()()22343x y -+-=上，则PM PN +的最小值为____________.

8.已知棱长为1的正四面体P ABC -，PC 的中点为D ，动点E 在线段AD 上，则直线BE 与平面ABC 所成角的取值范围为______________.

9.已知平面向量,,a b c 满足1,2,3,01λ===<

10.已知()22,01,0

x x f x x x -<⎧=⎨-≥⎩，方程()()240f x f x ax +--=有三个实根123x x x <<.若()32212x x x x -=-，则实数a =___________.

二、解答题（本题5大题，共120分）

11.（20分）设()()111,2,n f x f x n +=

= .对每个n ，求()3n f x x =的实数解.12.（20分）已知椭圆22

162

x y +=的右焦点为F ，过F 的直线()2y k x =-交椭圆于,P Q 两点（0k ≠）.若PQ 的中点为N ，O 为原点，直线ON 交直线3x =于M .

（1）求MFQ ∠的大小；（2）求PQ MF

的最大值.

13.（20分）设数列{}n a 满足：122,2,1,2,3,n n n a a a n +-=≤= .证明：如果1a 为有理数，则从某项后{}n a 为周期数列.

14.（30分）设123123,,,,,a a a b b b Z +∈，证明：存在不全为零的数{}123,,0,1,2λλλ∈，使得112233a a a λλλ++和112233b b b λλλ++同时被3整除.

15.（30分）设{}12,,,n a a a σ= 为{}1,2,,n 的一个排列，记()11n i i i F a a σ+==⋅∑，

11n a a +=，求()min F σσ.