3.2 三维晶格振动

的取值限制在一个倒格子原胞范围内， 将 q
此区间称为简约布里渊区。
总结
3支声学波 A (q) q (3n-3)支光学波 O (q ) 晶格振动频率数目: N 3 N (3n 3) 3nN
设晶体有N个原胞,每个原胞有n个原子, 晶格振动的波矢数目=晶体的原胞数N， 格波振动频率数目=晶体的自由度数mNn，
a1 , a2 , a3
a2 Rl
Rl N 2 a 2
a1
Rl N1 a1
沿基矢方向各有N1、N2、N3个原胞, N N 1 N 2 N 3
Rl N1 a1
(l 1 N 1 )a 1 l 2 a 2 l 3 a 3
根据玻恩---卡门周期性条件：
l l1 , l2 , l3 l1 N1 , l2 , l3 u u u s s s l l1 , l2 , l3 l1 , l2 N 2,l3 u s u s u s l l1 , l2 , l3 l1 , l2 , l3 N 3 u u u s s s
3.1 三维晶格振动
§3.2 三维晶格的振动 1.模型
设三维无限大的晶体,每个原胞中有n个原子，各原子的质 量分别为 m1 , m 2 , m 3 , , m n ; 原胞中这n个原子平衡时的相对
位矢分别为 。 Rl rs 表示平衡时顶点位矢为 Rl 的原胞内第s个原子 的位矢；
为波矢的基矢，波矢的点阵亦具有周期性。 每个波矢代表点占有的体积为：
3 3 b b1 b Ω ( 2 π) ( 2 π) 2 3 N1 N 2 N 3 N NΩ Vc
b2 N2
b1 N1
正格子原胞体积
晶体体积
(二维图示)
波矢密度： 波矢空间中单位体积的波矢数目。
[ (=3,s=n)共有3n个方程]
在简谐近似下，上式的右端是位移的线性代数式。
试探解：
l u s
i R l r s .q - t i R l .q - t As e As e
m s 2 As
可得到3n 个线性齐次方程。
于是：
d 频率间隔内的模式数为：
V 2 g j ( )d 2 q dq 2
对一支色散关系而言：
V 2 dq g j ( ) 2 q 2 d
在三维空间中传播的波的 q 的允许值及等频线示意图。
·
Cu晶体的总振动态密度函数谱
见黄昆书p133
可以明显看出铜晶体 的态密度函数，低频 部分呈抛物线形状， 这和色散曲线低 q 部分接近弹性波线性 关系是一致的。
Rl N 2 a 2
l1 a 1 (l 2 N 2 )a 2 l 3 a 3
l i R l . q -t u A e s
e
i ( R l q t )
e
i ( R l q t )
e
i ( R l q t )
e i R q N a q -t e
V Ω NΩ 波矢可取的数目： Ω c 3 N 3 ( 2π) ( 2π)
晶体中格波的支数=原胞内原子的自由度数mn。
m支声学波，m(n-1)支光学波，这里m是晶体的维数，n是
原胞中原子的数目。
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例2：金刚石结构有几支格波?几支声学波?
几支光学波?设晶体有N个原胞，晶格振动模式数为多少?
As有非零解,必须其系数行列式为零
3n个的实根
在3n个实根中，其中有3个当波矢q 0时,
Ai v Ai (q)q , (i 1,2 ,3) 这3支格波称为声学支格波。
其余的(3n-3)支格波的最低频率比声学波的最高频率还要
高称之为光学支格波。
3.波矢q的取值和范围
设晶体有N个原胞,原胞的基矢为：
l u s 表示顶点位矢为 R l 的原胞内 第s个原子离开平衡位置在方向的位移。
r1 , r2 , r3 , , rn
rs
Rl
运动方程和解
l m s u s
..
(=1,2,3；s=1,2,3,· · · ,n)
绝热近似：
讨论离子的运动时，可以近似的认为电子能很快适应离子 位置的变化，在离子运动的任何一个瞬间，电子都处于基态；当 以后讨论自由电子的运动时，我们也可以认为离子是静止不动的， 电子在一个静止的离子构成的周期势场中运动。
结 论
由N个原胞组成的链，q可以取N个不同的值，每个q 对应着一个格波，共有N个不同的格波，N是一维单 原子链的自由度数，即得到链的全部振动模（或振动 状态数）。 同理：可得两种复式格子的q取值个数为N.
1
N1
2π
a2 q
2
N2
2 π (1、2、3为整数)
a3 q
3
N3
2π
波矢 q 具有倒格矢的量纲，得出:
b3 b1 b2 q 1 2 3 N1 N2 N3
(b1、b2、b3为倒格基矢)
b1 b2 b3 、 三维格波的波矢不是连续的而是分立的，其中 N 、 1 N 2 N3
原胞内含 原子 数 单原子链 双原子链 1 2 原胞 数 N N 自由 度数 N 2N q 数 N N 格波数[晶体振动模 或(,q)数] N 2N 声学波 数 ( 支) 1 1 1 光学波 数（支）
三维结构
n
N
3nN
N
3nN
3
3(n-1)
Vc 1 ( 2 π) 3 ( 2 π) 3 Vc
对于 q q K h
l i t R l .( q K h ) u ( q ) A e s s
As e
i t R l .q
l u ( q ) s
答: 晶格振动的波矢数目 =晶体的原胞数N， 格波振动频率数目=晶体的自由度数mNn， 晶体中格波的支数=原胞内原子的自由度数mn。 金刚石结构为复式格子, 每个原胞有2个原子。
m 3, n 2,
有6支格波，3支声学波，3支光学波。 振动模式数为6N。
Pb 的振动谱
fcc
Cu 的振动谱
fcc
1 2 2
L dq 2 N 2 g ( ) m d

分立晶格和连续模型的区别：
m , g ( ) 0
g ( )
分立晶格
连续模型
0
m

同样方法也可以得到一维双原子链晶格振动的态密度，
它们共同的特点是：在布里渊区边界， g ( )
金刚石的振动谱
锗的格波谱
硅的格波谱 GaAs 的格波谱
NaI 的色散曲线
态密度函数
(Density of States)
一维情况
波矢空间单位长度上的模式数： ，所以 dq 间隔内 ( q) 2 的模式数为： L dq 2 定义：态密度
L
g ( ) 就是单位频率间隔内的状态数。
L dq 2
三维情况下的态密度：
设一边长为 L的立方体，体积
V L3 包含有N3个原胞，
3
2 于是每个 q 值在波矢空间占据的体积是： L
4 3 L V 3 q 半径为q 的球体积内的模式数目为： 2q 3 2 6
3
V 2 q q dq 球壳内的模式数： 2 q dq 2
i R l q N 2 a 2 q -t
l 3 3
e
i R l q N1 a1 q -t

a2
Rl
a1
Rl N 2 a 2 Rl N1 a1
N 1 a1 q 2π1 N 2 a 2 q 2π 2
N 3 a 3 q 2π 3
a1 q
L dq g ( ) 2 d
于是：g ( )d
注意到：
( q) ( q)
L dq 有： g ( ) d
一维单原子链晶格振动的态密度：
因为：
1 1 2 sin aq m sin aq m 2 2

所以： d
a qa m cos dq 2 2
近似条件与使用范围：
最近邻近似：
只考虑了最近邻作用，有时为了拟和实验曲线，还必 须考虑次级或更多级的紧邻作用 简谐近似： 体系的势能函数只保留至二次方项，称为简谐近似， 是我们能够求解问题的关键，即便是必须考虑了三次以上 的非谐项，也只能通过修订简谐近似的结果来处理。
玻恩－卡门周期性边界条件：
使用该边界条件推出的结论却完全得到了实验结果的 证实，这充分表明了使用该周期性边界条件的合理性。 至目前为止，尚未找到其它边界条件可以获得与实验 更加符合的结果，所以周期性边界条件成为我们处理晶格 振动的唯一选项。