2018南通一模(四)数学

2018南通一模(四)数学

2018届高三年级第一次模拟考试(四)

数学

(满分160分，考试时间120分钟) 参考公式：

柱体的体积公式：V

柱体

＝Sh，其中S为柱体的底面积，h为高．

一、填空题：本大题共14小题，每

小题5分，共计70分．

1. 已知集合A＝{－1，0，a}，B＝{0，a}．若B⊆A，则实数a的值为________．

2. 已知复数z＝1＋4i

1－i

，其中i为虚数单位，

则复数z的实部为________．

3. 已知某校高一、高二、高三的学生人数分别为400，400，500.为了解该校学生的身高情况，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为65的样本，则应从高三年级抽取________名学生．

4. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为________．

5. 若某同学欲从数学建模、航模制作、程

若将该螺帽熔化后铸成一个高为6 cm 的正三棱柱零件，则该正三棱柱的底面边长为________cm .(不计损耗)

(第

11题)

(第12题) 12. 如图，已知矩形ABCD 的边长AB ＝2，AD ＝1.点P ，Q 分别在边BC ，CD 上，且∠PAQ

＝45°，则AP

→·AQ →的最小值为________． 13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(－4，0)，B(0，4)，从直线AB 上一点P 向圆x 2＋y 2＝4引两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D.设线段CD 的中点为M ，则线段AM 的长度的最大值为________．

14. 已知函数f(x)＝⎩⎨⎧x 2－2ax －a ＋1，x ≥0，ln （－x ）， x<0，

g(x)＝x 2＋1－2a.若函数y ＝f(g(x))有4个零点，则实数a 的取值范围是________________．

二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. (本小题满分14分)

如图，在三棱锥PABC 中，AB

⊥PC ，CA ＝CB ，M 是AB 的中点．点

N 在棱PC 上，D 是BN 的中点．

求证：(1) MD ∥平面PAC ；

(2) 平面ABN ⊥平面PMC.

16. (本小题满分14分)

在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是

a ，

b ，

c ，且a 2＝b 2＋c 2

－bc ，a ＝152 b. (1) 求sin B 的值；

(2) 求cos ⎝

⎛⎭⎪⎫C ＋π12的值．

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆

x2 a2＋y2

b2＝1(a>b>0)的离心率为

2

2，两条准线之间

的距离为4 2.

(1) 求椭圆的标准方程；

(2) 已知椭圆的左顶点为A，点

M在圆x2＋y2＝8

9上，直线AM与

椭圆相交于另一点B，且△AOB的面积是△AOM的面积的2倍，求直线AB的方程．

如图，某小区中央广场由两部分组成，一部分是边长为80m 的正方形ABCD ，另一部分是以AD 为直径的半圆，其圆心为O.规划修建的3条直道AD ，PB ，PC 将广场分割为6个区域：Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ为绿化区域(图中阴影部分)，Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ为休闲区域，其中点P 在半圆弧上，AD 分别与PB ，PC 相交于点E ，F.(道路宽度忽略不计)

(1) 若PB 经过圆心，求点P 到AD 的距离：

(2) 设∠POD ＝θ，θ∈⎝

⎛⎭⎪⎫0，π2. ①试用θ表示EF 的长度；

②当sin θ为何值时，绿化区域面积之和最大．

已知函数g(x)＝x3＋ax2＋bx(a，b∈R)有极值，且函数f(x)＝(x＋a)e x的极值点是g(x)的极值点，其中e是自然对数的底数．(极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值)

(1) 求b关于a的函数关系式；

(2) 当a>0时，若函数F(x)＝f(x)－g(x)的最

小值为M(a)，证明：M(a)<－7

3.

若数列{a n }同时满足：①对于任意的正整数n ，a n ＋1≥a n 恒成立；②若对于给定的正整数k ，a n －k ＋a n ＋k ＝2a n 对于任意的正整数n(n>k)恒成立，则称数列{a n }是“R(k)数列”．

(1) 已知a n ＝⎩⎨⎧2n －1，n 为奇数，2n ， n 为偶数，

判断数列{a n }是否为“R(2)数列”，并说明理由；

(2) 已知数列{b n }是“R(3)数列”，且存在整数p(p>1)，使得b 3p －3，b 3p －1，b 3p ＋1，b 3p ＋3成等差数列，证明：{b n }是等差数列．

2018届高三年级第一次模拟考试(四)

数学附加题

(本部分满分40分，考试时间30分钟)

21. 【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并作答．若

多做，则按作答的前两小题评分．解

答时应写出文字说明、证明过程或

演算步骤．

A. [选修41：几何证明选讲](本小题满分10分)

如图，已知⊙O1的半径为2，⊙O2的半径为1，两圆外切于点T.点P为⊙O1上一点，PM与⊙O2切于点M.若PM＝3，求PT的长．

B. [选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)

已知x ∈R ，向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤01是矩阵A ＝⎣⎢

⎡⎦

⎥⎤

1x 02的属于特征值λ的一个特征向量，求λ与A －1

.

C. [选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分)

在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝x 与曲

线⎩⎨⎧x ＝t －1，

y ＝t 2

－1

(t 为参数)相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．