【知识学习】对数与对数运算教学设计
对数与对数运算教案
对数与对数运算教案一、教学目标1.了解对数的概念和性质。
2.掌握对数的换底公式。
3.能够运用对数运算解决实际问题。
二、教学重点1.对数的换底公式的掌握。
2.对数运算的实际应用。
三、教学难点1.对数的换底公式的理解与应用。
2.对数运算在实际问题中的灵活运用。
四、教学过程1.导入(5分钟)通过提问的方式引入对数的概念,例如:什么是指数?怎样求指数运算的结果?对数与指数有何关系等。
2.知识讲解与演示(25分钟)(1)对数的概念与性质:先简要介绍对数的概念,即以一些数为底,使结果等于一些数的指数运算。
然后讲解对数的性质,包括对数的唯一性、对数的基本法则等。
3.练习与巩固(25分钟)(1)讲解练习题:组织学生进行对数运算的练习,包括计算对数的值、利用对数解决方程等。
逐步提高题目的难度,以巩固学生的基本技能。
(2)拓展练习:根据实际问题设置应用题,引导学生运用对数解决实际问题,如物种数量的估算、露营地数量的计算等。
培养学生的问题解决能力和分析能力。
4.深化与延伸(20分钟)(1)对数运算的实际意义:通过一些具体的实际例子,讲解对数运算在生活中的应用,如音量的计算、地震强度的测量等。
让学生感受到对数运算在实际问题中的重要性。
(2)拓展延伸:引导学生深入思考对数的概念和性质,并做一些拓展性的练习,如求对数的近似值、应用对数解决复杂方程等。
拓宽学生的数学思维。
五、课堂小结与展望(5分钟)对本节课的内容进行小结,回顾所学的知识点和技能。
展望下节课的内容,为下一步学习打下基础。
六、作业布置布置适量的练习题作业,巩固对数与对数运算的知识与技能的掌握。
七、教学反思通过本节课的教学,学生对对数和对数运算有了初步的了解。
对数的换底公式的掌握是此节课的难点和重点,需要进行反复的练习和巩固。
通过设置实际问题的应用题,培养学生的问题解决能力和应用能力。
同时,教师需要耐心引导学生思考和讨论,帮助学生更好地理解和掌握数学知识。
对数与对数的运算市公开课获奖教案省名师优质课赛课一等奖教案
对数与对数的运算教案一、教学目标:1. 理解对数的概念及其运算规则;2. 掌握对数的运算方法;3. 能够解决涉及对数的实际问题。
二、教学重难点:1. 掌握对数的基本概念及其运算规则;2. 理解并能够正确应用对数与对数之间的运算。
三、教学内容与方法:1. 教学内容:(1) 对数的定义及性质介绍;(2) 对数的运算规则;(3) 对数的应用。
2. 教学方法:(1) 课堂讲解法:通过讲解对数的定义及性质,引导学生理解对数的概念;(2) 案例分析法:通过实际问题分析,引导学生掌握对数的运算方法;(3) 课堂练习法:通过课堂练习巩固所学知识。
四、教学步骤:1. 引入:通过提问的方式,询问学生对对数的理解程度,并激发学生对对数的兴趣。
2. 对数的定义及性质介绍:(1) 定义:介绍对数的定义,即对于任意正数a和底数为b的对数运算,定义为满足b的x次方等于a的x的值。
(2) 性质:介绍对数运算的基本性质,包括对数运算的单调性、对数运算的底数性质等。
3. 对数的运算规则:(1) 同底数相乘的运算规则;(2) 同底数相除的运算规则;(3) 底数为10的运算规则。
4. 对数的应用:(1) 对数在指数函数中的应用;(2) 对数在科学计数法中的应用;(3) 对数在解决实际问题中的应用。
5. 案例分析:通过具体实例分析,引导学生掌握对数的运算方法。
6. 课堂练习:布置一些练习题目,让学生在课堂上进行练习,并即时批改答案,帮助学生查漏补缺。
7. 拓展延伸:对于一些对数运算的特殊情况,进行延伸讨论,帮助学生更深入理解对数运算。
8. 总结回顾:对本节课所学的内容进行总结回顾,澄清学生的疑惑。
五、教学评价:通过课堂上的练习和学生的参与情况,评价学生是否掌握了对数和对数运算的概念、运算规则,并能够正确应用于解决实际问题。
六、教学拓展:1. 引导学生进一步思考,深入理解对数运算的本质及其应用领域;2. 鼓励学生自主探索,寻找更多有关对数的应用案例,并进行分享和讨论。
《对数与对数运算》教学设计(精品)
对数与对数运算(一)(一)教学目标1.知识技能:①理解对数的概念,了解对数与指数的关系;②理解和掌握对数的性质;③掌握对数式与指数式的关系.2.过程与方法:通过与指数式的比较,引出对数定义与性质.3.情感、态度、价值观(1)学会对数式与指数式的互化,从而培养学生的类比、分析、归纳能力.(2)通过对数的运算法则的学习,培养学生的严谨的思维品质.(3)在学习过程中培养学生探究的意识.(4)让学生理解平均之间的内在联系,培养分析、解决问题的能力.(二)教学重点、难点(1)重点:对数式与指数式的互化及对数的性质(2)难点:推导对数性质的(三)教学方法启发式启发学生从指数运算的需求中,提出本节的研究对象——对数,从而由指数与对数的关系认识对数,并掌握指数式与对数式的互化、而且要明确对数运算是指数运算的逆运算.引导学生在指数式与对数式的互化过程中,加深对于定义的理解,为下一节学习对数的运算性质打好基础.(四)教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图提出问题1.提出问题(P72思考题)13 1.01xy=⨯中,哪一年的老师提出问题,学生思考回答.由实际问题引入,激发人口数要达到10亿、20亿、30亿……,该如何解决?即:1820301.01, 1.01, 1.01,131313x x x ===在个式子中,x 分别等于多少?象上面的式子,已知底数和幂的值,求指数,这就是我们这节课所要学习的对数(引出对数的概念).启发学生从指数运算的需求中,提出本节的研究对象——对数,学生的学习积极性.概念 形成合作探究:若1.01x =1318,则x 称作是以1.01为底的1318的对数.你能否据此给出一个一般性的结论?一般地,如果a x=N (a >0,且a ≠1),那么数x 叫做以a 为底N 的对数,记作x =log a N ,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数.举例:如:24416,2log 16==则,读作2是以4为底,16的对数.1242=,则41log 22=,读作12是以4为底2的对数.合作探究 师:适时归纳总结,引出对数的定义并板书.让学生经历从“特殊一一般”,培养学生“合情推理”能力,有利于培养学生的创造能力.概念 深化 1. 对数式与指数式的互化 在对数的概念中,要注意:(1)底数的限制a >0,且a ≠1 (2)log x a a N N x =⇔= 指数式⇔对数式 幂底数←a →对数底数 指 数←x →对数 幂 ←N→真数掌握指数式与对数式的互化、而且要明确对数运算是指数运算的逆运算.通过本环节的教学,培养学生的用联系的关点观察问题.说明:对数式log a N 可看作一记号,表示底为a (a >0,且a ≠1),幂为N 的指数工表示方程x a N =(a >0,且a ≠1)的解. 也可以看作一种运算,即已知底为a (a >0,且a ≠1)幂为N ,求幂指数的运算. 因此,对数式log a N 又可看幂运算的逆运算. 2. 对数的性质:提问:因为a >0,a ≠1时,log x N a a N x =⇔=则 由1、a 0=1 2、a 1=a 如何转化为对数式②负数和零有没有对数? ③根据对数的定义,log a N a =? (以上三题由学生先独立思考,再个别提问解答) 由以上的问题得到① 011,a a a == (a >0,且a ≠1) ② ∵a >0,且a ≠1对任意的力,10log N 常记为lg N .恒等式:log a N a =N 3. 两类对数① 以10为底的对数称为常用对数,10log N 常记为lg N .② 以无理数e =2.71828…为底的对数称为自然对数,log e N 常记为ln N .备选例题例1 将下列指数式与对数式进行互化.(1)64)41(=x(2)51521=-(3)327log 31-= (4)664log -=x【分析】利用a x = N ⇔x = log a N ,将(1)(2)化为对数式,(3)(4)化为指数式. 【解析】(1)∵64)41(=x ,∴x =41log 64(2)∵51521=-,∴2151log 5-= (3)∵327log 31-=,∴27)31(3=-(4)∵log x 64 = –6,∴x -6 = 64.【小结】对数的定义是对数形式与指数形式互化的依据,同时,教材的“思考”说明了这一点. 在处理对数式与指数式互化问题时,依据对数的定义a b = N ⇔b = log a N 进行转换即可.例2 求下列各式中的x . (1)32log 8-=x ; (2)4327log =x ; (3)0)(log log 52=x ; 【解析】(1)由32log 8-=x得32332)2(8--==x = 2–2,即41=x .(2)由4327log =x ,得343327==x ,∴813)3(4343===x .(3)由log 2 (log 5x ) = 0得log 5x = 20 = 1. ∴x = 5.【小结】(1)对数式与指数式的互化是求真数、底数的重要手段.(2)第(3)也可用对数性质求解.如(3)题由log 2(log 5x ) = 0及对数性质log a 1=0. 知log 5x = 1,又log 55 = 1. ∴x = 5.对数与对数运算(二)(一)教学目标1.知识与技能:理解对数的运算性质.2.过程与方法:通过对数的运算性质的探索及推导过程,培养学生的“合情推理能力”、“等价转化”和“演绎归纳”的数学思想方法,以及创新意识.3.情感、态态与价值观通过“合情推理”、“等价转化”和“演绎归纳”的思想运用,培养学生对立统一、相互联系,相互转化以及“特殊—一般”的辩证唯物主义观点,以及大胆探索,实事求是的科学精神.(二)教学重点、难点1.教学重点:对数运算性质及其推导过程. 2.教学难点: 对数的运算性质发现过程及其证明. (三)教学方法针对本节课公式多、思维量大的特点,采取实例归纳,诱思探究,引导发现等方法. (四)教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入复习:对数的定义及对数恒等式log baN b a N=⇔=(a>0,且a≠1,N>0),指数的运算性质.;m n m n m n m na a a a a a+-⋅=÷=();mnm n mn n ma a a a==学生口答,教师板书.对数的概念和对数恒等式是学习本节课的基础,学习新知前的简单复习,不仅能唤起学生的记忆,而且为学习新课做好了知识上的准备.提出问题探究:在上课中,我们知道,对数式可看作指数运算的逆运算,你能从指数与对数的关系以及指数运算性质,得出相应的对数运算性质吗?如我们知道m n m na a a+⋅=,那m n+如何表示,能用对数式运算吗?如:,,m n m n m na a a M a N a+⋅===设.于是,m nMN a+=由对数的定义得到log,maM a m M=⇔=lognaN a n N=⇔=logm naMN a m n MN+=⇔+=log log log()a a aM N MN∴+=放出投影学生探究,教师启发引导.即:同底对数相加,底数不变,真数相乘提问:你能根据指数的性质按照以上的方法推出对数的其它性质吗?概念形成(让学生探究,讨论)如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么:(1)log log loga a aMN M N=+(2)log log loga a aMM NN=-(3)log log()na aM n M n R=∈证明:(1)令,m nM a N a==则:m n m nMa a aN-=÷=logaMm nN∴-=又由,m nM a N a==log,loga am M n N∴==即:log log loga a aMM N m nN-=-=(3)0,log,Nn nan N M M a≠==时令则log,bnab n M M a==则N bn na a∴=N b∴=让学生多角度思考,探究,教师点拨.让学生讨论、研究,教师引导.让学生明确由“归纳一猜想”得到的结论不一定正确,但是发现数学结论的有效方法,让学生体会“归纳一猜想一证明”是数学中发现结论,证明结论的完整思维方法,让学生体会回到最原始(定义)的地方是解决数学问题的有效策略.通过这一环节的教学,训练学生思维的广阔性、发散性,进一步加深学生对字母的认识和利用,体会即log log log aa a MM N N=- 当n =0时,显然成立.log log na a M n M ∴=从“变”中发现规律.通过本环节的教学,进一步体会上一环节的设计意图.概念 深化合作探究: 1. 利用对数运算性质时,各字母的取值范围有什么限制条件?2. 性质能否进行推广?(师组织,生交流探讨得出如下结论) 底数a >0,且a ≠1,真数M >0,N >0;只有所得结果中对数和所给出的数的对数都存在时,等式才能成立.(生交流讨论) 性质(1)可以推广到n 个正数的情形,即 log a (M 1M 2M 3…M n ) =log a M 1+log a M 2 +log a M 3+…+log a M n(其中a >0,且a ≠1,M 1、M 2、M 3…M n >0).应用 举例例1 用log a x ,log a y ,log a z 表示下列各式(1)log a xyz(2)23log 8a x y学生思考,口答,教师板演、点评. 例1分析:利用对数运算性质直接化简.(1)log axyzlog log a a xy z =-通过例题的解答,巩固所学的对数运算法则,提高运算能力.备选例题例1 计算下列各式的值: (1)245lg 8lg 344932lg21+-;(2)22)2(lg 20lg 5lg 8lg 325lg +⋅++. 【解析】(1)方法一:原式=2122325)57lg(2lg 34)7lg 2(lg 21⨯+--=5lg 217lg 2lg 27lg 2lg 25++-- =5lg 212lg 21+ =21)5lg 2(lg 21=+. 方法二:原式=57lg 4lg 724lg +- =475724lg⨯⨯ =21)52lg(=⨯.(2)原式=2lg5 + 2lg2 + lg5 (2lg2 + lg5) + (lg2)2 =2lg10 + (lg5 + lg2)2 = 2 + (lg10)2 = 2 + 1 = 3.【小结】易犯lg52 = (lg5)2的错误.这类问题一般有两种处理方法:一种是将式中真数的积、商、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商,然后化简求值;另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根,然后化简求值. 计算对数的值时常用到lg2 + lg5 = lg10 = 1.例2:(1)已知lg2 = 0.3010,lg3 = 0.4771,求lg 45; (2)设log a x = m ,log a y = n ,用m 、n 表示][log 344yxa a ⋅;(3)已知lg x = 2lg a + 3lg b – 5lg c ,求x .【分析】由已知式与未知式底数相同,实现由已知到未知,只须将未知的真数用已知的真数的乘、除、幂表示,借助对数运算法则即可解答.【解析】(1)1190lg 45lg 222==1[lg9lg10lg 2]2=+- 1[2lg31lg 2]2=+- =-+=2lg 21213lg 0.4771+0.5 – 0.1505 = 0.8266 (2)434log []a x a y⋅ 1113412log log log a a a a x y =+-.1213141log 121log 3141m n y x a a -+=-+=(3)由已知得:532532lglg lg lg lg cb ac b a x =-+=,∴532c b a x =.【小结】①比较已知和未知式的真数,并将未知式中的真数用已知式的真数的乘、除、乘方表示是解题的关键,并且应注意对数运算法则也是可逆的;②第(3)小题利用下列结论:同底的对数相等,则真数相等. 即log a N = log a M ⇒N = M .对数与对数运算(三)(一)教学目标 1.知识与技能:(1)掌握换底公式,会用换底公式将一般的对数化为常用对数或自然对数,并能进行一些简单的化简和证明.(2)能将一些生活实际问题转化为对数问题并加以解答. 2.过程与方法:(1)结合实例引导学生探究换底公式,并通过换底公式的应用,使学生体会化归与转化的数学思想.(2)通过师生之间、学生与学生之间互相交流探讨,培养学生学会共同学习的能力. (3)通过应用对数知识解决实际问题,帮助学生确立科学思想,进一步认识数学在现实生活、生产中的重要作用.3.情感、态度与价值观(1)通过探究换底公式的概念,使学生体会知识之间的有机联系,感受数学的整体性,激发学生的学习兴趣,培养学生严谨的科学精神.(2)在教学过程中,通过学生的相互交流,培养学生灵活运用换底公式的能力,增强学生数学交流能力,同时培养学生倾听并接受别人意见的优良品质.(二)教学重点、难点1.教学重点:(1)换底公式及其应用.(2)对数的应用问题.2.教学难点:换底公式的灵活应用.(三)教学方法启发引导式通过实例研究引出换底公式,既明确学习换底公式的必要性,同时也在公式推导中应用对数的概念和对数的运算性质,在教学中可以根据学生的不同基础适当地增加具体实例,便于学生理解换底公式的本质,培养学生从具体的实例中抽象出一般公式的能力.利用换底公式“化异为同”是解决有关对数问题的基本思想方法,它在求值或恒等变形中起着重要作用,在解题过程中应注意:(1)针对具体问题,选择恰当的底数;(2)注意换底公式与对数运算性质结合使用;(3)换底公式的正用与逆用.(四)教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图提出问题我们学习了对数运算法则,可以看到对数的运算法则仅适用于对数的底数相同的情形,若在解题过程中,遇到对数的底数不相同时怎么办?师:从对数的定义可以知道,任何不等于1的正数都可以作为对数的底.数学史上,人们经过大量的努力,制作了常用对数、自然对数表,只要通过查表就能求出任意正产生认知冲突,激发学生的学习欲望.数的常用对数或自然对数.这样,如果能将其他底的对数转换为以10或e为底的对数,就能方便地求出任意不为1的正数为底的对数.概念形成1. 探求换底公式,明确换底公式的意义和作用.例如,求我国人口达到18亿的年份,就是计算x=log1.011318的值,利用换底公式与对数的运算性质,可得x=log1.011318=01.1lg1318lg=01.1lg13lg18lg-≈0043.01139.12553.1-=32.8837≈33(年).由此可得,如果人口年增长率控制在1%,那么从2000年初开始,大约经过33年,即到2032年底我国的人口总数可达到18亿.师:你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗?log a N=aNccloglog(a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;N>0).(师生讨论并完成)当a>0,且a≠1时,若a b=N,①则log a N=b. ②在①的两边取以c(c>0,且c≠1)为底的对数,则log c a b=log c N,即b log c a=log c N.∴b=aNcaloglog. ③由②③得log a N=aNccloglog(c>0,且c≠1).一般地,log a N=aNccloglog(a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;N>0),这个公式称为换底公式.推导换底公式应用举例(多媒体显示如下例题,生板演,师组织学生进行课堂评价)例1 计算:(1)例1分析:在利用换底公式进行化简求值时,一般情况是根据题中所给的对数式的掌握换底公式的应用.log34·log48·log8m=log416,求m的值.(2)log89·log2732.(3)(log25+log4125)·5log2log33.具体特点选择恰当的底数进行换底,如果所给的对数式中的底数和真数互不相同,我们可以选择以10为底数进行换底.(1)解:原方程等价于3lg4lg×4lg8lg×8lglg m=2,即log3m=2,∴m=9.(2)解法一:原式=8lg9lg·27lg32lg=2g313g21·3g312g51=910.解法二:原式=8log9log22·27log32log22=33log22·3log352=910.(3)解:原式=(log25+log255)·5log22log33=21log2255·log52=21log2525·log52=45log25·log52=45.小结(1)不同底的对数要尽量化为同底的对数来计算;(2)在第(3)小题的计算过程中,用到了性质logmaM n=mn logaM及换底公式log a N=aNbbloglog.利用换底公合作探究:现在我们来用已学过的对数知识解决实际问题.例2 20世纪30年代,里克特(C.F.Richter)制订了一种表明地震能量大小的尺度,就是使用测震仪衡量地震能量的等级,地震能量越大,测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级M,其计算公式为M=lg A-lg A0,其中,A是被测地震的最大振幅,A0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差).(1)假设在一次地震中,一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20,此时标准地震的振幅是0.001,计算这次地震的震级(精确到0.1);(2)5级地震给人的震感已比较明显,计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍(精确到1). 式可以证明:log a b=ablog1,即log a b log b a=1.例2解:(1)M=lg20-lg0.001=lg001.020=lg20000=lg2+lg104≈4.3.因此,这是一次约为里氏4.3级的地震.(2)由M=lg A-lg A0可得M=lgAA⇔AA=10M⇔A=A0·10M.当M=7.6时,地震的最大振幅为A1=A0·107.6;当M=5时,地震的最大振幅为A2=A0·105.所以,两次地震的最大振幅之比是21AA=56.71010⋅⋅AA=107.6-5=102.6≈398.答:7.6级地震的最大振幅大约是5级地震的最大振幅的398倍.合作探究:可以看到,虽然7.6级地震和5级地震仅相差2.6级,但7.6级地震的最大振幅却是5级地震最大掌握利用对数知识解决实际问题.课堂练习1.课本P 79练习第4题.2.在a b log 1,ba lg lg ,log nb a n ,log n b a n ,baab ab log 1log 1--(a >0,a ≠1,b >0,b ≠1,ab ≠1,n ∈N )中和log a b 相等的有 A.2个B.3个C.4个D.1个3.若log 34·log 48·log 8m =log 42,求m .4.(1)已知log 53=a ,log 54=b ,试用a 、b 表示log 2512;(2)已知log 1227=a ,求log 616.14的含量P =(21)5730t.由对数与指数的关系,指数式P =(21)5730t可写成对数式t =log573021P .湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76.7%,即P =0.767,那么t =log5730210.767,由计算器可得t ≈2193. 所以,马王堆古墓是近2200年前的遗址. 课堂练习答案1.(1)1;(2)1;(3)45.2. A3. 3.4. (1)2ba +. (2)aa +-3)3(4. 归纳 总结1.换底公式及其应用条件(注意字母的范围).2.解决实际问题的一般步骤:学生先自回顾反思,教师点评完善.形成知识体系.课后作业:2.2 第三课时 习案学生独立完成巩固新知备选例题例1 已知log 189 = a ,18b = 5,求log 3645. 【解析】方法一:∵log 189 = a ,18b = 5, ∴log 185 = b , 于是)218(log )59(log 36log 45log 45log 1818181836⨯⨯== =2log 15log 9log 181818++=aba b a -+=++2918log 118. 方法二:∵log 189 = a ,18b = 5, ∴lg9 = a lg18,lg5 = b lg8,∴9lg 18lg 25lg 9lg 918lg)59lg(36lg 45lg 45log 236-+=⨯===ab a a b a -+=-+218lg 18lg 218lg 18lg . 【小结】(1)利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数,进一步应用对数运算的性质;(2)题目中有指数式和对数式时,要注意指数与对数互化,统一成一种形式. 例2 我们都处于有声世界里,不同场合,人们对音量会有不同的要求,音量大小的单位是分贝(dB),对于一个强度为I 的声波,分贝的定义是:y = 10lgI I. 这里I 0是人耳能听到的声音的最低声波强度,I 0 = 10-12w/m 2,当I = I 0时,y = 0,即dB = 0.(1)如果I = 1w/m 2,求相应的分贝值;(2)70dB 时声音强度I 是60dB 时声音强度I′的多少倍? 【解析】(1)∵I =1w/m 2, ∴y =10lg120110lg 10I I -= 1210lg101012lg10120()dB ==⨯=(2)由70 = 10lg 0I I ,即7lg 0=I I,∴7010=I I ,又60 = 10lg0I I ',即lg 0I I '=6,∴0I I '=106. ∴67001010='='I I I II I =10,即I = 10I ′答: (1)I = 1w/m 2,相应的分贝值为120()dB ; (2)70dB 时声音强度I 是60dB 时声音强度I′的10倍。
对数及对数函数教案8篇
写教案能帮助教师更好地安排课堂教学时间,教案要结合实际的教学进度和学生的学习能力,才能更好地帮助学生提高学习效果,下面是范文社小编为您分享的对数及对数函数教案8篇,感谢您的参阅。
对数及对数函数教案篇1【学习目标】一、过程目标1通过师生之间、学生与学生之间的互相交流,培养学生的数学交流能力和与人合作的精神。
2通过对对数函数的学习,树立相互联系、相互转化的观点,渗透数形结合的数学思想。
3通过对对数函数有关性质的研究,培养学生观察、分析、归纳的思维能力。
二、识技能目标1理解对数函数的概念,能正确描绘对数函数的图象,感受研究对数函数的意义。
2掌握对数函数的性质,并能初步应用对数的性质解决简单问题。
三、情感目标1通过学习对数函数的概念、图象和性质,使学生体会知识之间的有机联系,激发学生的.学习兴趣。
2在教学过程中,通过对数函数有关性质的研究,培养观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力,增强学习的积极性,同时培养学生倾听、接受别人意见的优良品质。
教学重点难点:1对数函数的定义、图象和性质。
2对数函数性质的初步应用。
教学工具:多媒体学前准备】对照指数函数试研究对数函数的定义、图象和性质。
对数及对数函数教案篇2对数函数及其性质教学设计1.教学方法建构主义学习观,强调以学生为中心,学生在教师指导下对知识的主动建构。
它既强调学习者的认知主体作用,又不忽视教师的指导作用。
高中一年级的学生正值身心发展的过渡时期,思维活跃,具有一定的独立性,喜欢新鲜事物,敢于大胆发表自己的见解,不过思维还不是很成熟.在目标分析的基础上,根据建构主义学习观,及学生的认知特点,我拟采用“探究式”教学方法。
将一节课的核心内容通过四个活动的形式引导学生对知识进行主动建构。
其理论依据为建构主义学习理论。
它很好地体现了“学生为主体,教师为主导,问题为主线,思维为主攻”的“四为主”的教学思想。
2.学法指导新课程强调“以学生发展为核心”,强调培养学生的自主探索能力与合作学习能力。
对数及其对数运算教案
对数及其对数运算教案教案标题:对数及其对数运算教案目标:1. 理解对数的概念和性质。
2. 掌握对数的运算法则。
3. 能够灵活运用对数进行计算和问题解决。
教学重点:1. 对数的定义和性质。
2. 对数的运算法则。
3. 对数在实际问题中的应用。
教学难点:1. 灵活运用对数的运算法则。
2. 将对数应用于实际问题的解决。
教学准备:1. 教师准备:教案、教学课件、黑板、白板笔、计算器等。
2. 学生准备:教材、笔记本、计算器等。
教学过程:Step 1:导入新知识1. 引入对数的概念:通过举例子和问题引导学生思考,了解对数的背景和应用场景。
2. 提出问题:如果一个数的对数是3,那么这个数是多少?Step 2:对数的定义和性质1. 讲解对数的定义:对数是指数运算的逆运算,即log_a(b) = c等价于a^c = b。
2. 引导学生理解对数的性质:对数的底数必须大于0且不等于1,对数的真数必须大于0。
Step 3:对数的运算法则1. 讲解对数的运算法则:对数的乘法法则、对数的除法法则、对数的幂法则和对数的换底法则。
2. 通过例题演示和练习巩固对数的运算法则。
Step 4:实际问题的应用1. 引导学生分析实际问题中的对数运算应用:例如,解决指数增长问题、测量声音强度问题等。
2. 指导学生通过建立数学模型和运用对数进行问题求解。
Step 5:课堂练习和总结1. 给学生分发练习题,让学生独立或合作完成。
2. 总结本节课的重点内容和要点,强调对数的定义、性质和运算法则的重要性。
教学延伸:1. 给学生布置相关的课后作业,巩固对数的概念和运算法则。
2. 鼓励学生在实际生活中寻找更多对数的应用场景,并进行探究和分享。
教学评估:1. 课堂练习:通过课堂练习检查学生对对数的理解和运用能力。
2. 学生表现:观察学生在课堂上的参与和表现,评估其对对数的掌握程度。
教学资源:1. 教学课件:包含对数的定义、性质和运算法则的讲解和例题演示。
《对数与对数运算》教学设计
《对数与对数运算》教学设计2.2.1对数与对数运算(一)教学目标(一)教学知识点1.对数的概念;2.对数式与指数式的互化.(二)能力训练要求1.理解对数的概念;2.能够进行对数式与指数式的互化;3.培养学生数学应用意识.(三)德育渗透目标1.认识事物之间的普遍联系与相互转化;2.用联系的观点看问题;3.了解对数在生产、生活实际中的应用.教学重点对数的定义.教学难点对数概念的理解.教学过程一、复习引入:假设20XX 年我国国民生产总值为a 亿元,如果每年平均增长8%,那么经过多少年国民生产总值是20XX 年的2倍?()x %81+=2?x =?也是已知底数和幂的值,求指数.你能看得出来吗?怎样求呢?二、新授内容:定义:一般地,如果()1,0≠>a a a 的b 次幂等于N ,就是N a b=,那么数 b 叫做以a 为底 N 的对数,记作 b N a =log ,a 叫做对数的底数,N 叫做真数.b N N a a b =?=log例如:1642= ? 216log 4=; 100102=?2100log 10=;2421= ?212log 4=; 01.0102=-?201.0log 10-=.探究:1。
是不是所有的实数都有对数?b N a =log 中的N 可以取哪些值?⑴ 负数与零没有对数(∵在指数式中 N > 0 )2.根据对数的定义以及对数与指数的关系,=1log a ? =a a log ?⑵ 01log =a ,1log =a a ;∵对任意 0>a 且1≠a , 都有 10=a ∴01log =a 同样易知:1log =a a ⑶对数恒等式如果把 N a b= 中的 b 写成 N a log , 则有 N aNa =log .⑷常用对数:我们通常将以10为底的对数叫做常用对数.为了简便,N 的常用对数N 10log 简记作lgN .例如:5log 10简记作lg5;5.3log 10简记作lg3.5.⑸自然对数:在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……为底的对数,以e 为底的对数叫自然对数,为了简便,N 的自然对数N e log 简记作lnN .例如:3log e 简记作ln3; 10log e 简记作ln10.(6)底数的取值范围),1()1,0(+∞ ;真数的取值范围),0(+∞.三、讲解范例:例1.将下列指数式写成对数式:(1)62554= (2)64126=- (3)273=a(4) 73.531=m )(解:(1)5log 625=4;(2)2log 641=-6;(3)3log 27=a ;(4)m =73.5log 31.例2.将下列对数式写成指数式:(1)416log 21-=;(2)7128log 2=;(3)201.0lg -=;(4)303.210ln =.解:(1)16)21(4=- (2)72=128;(3)210-=0.01;(4)303.2e =10.例3.求下列各式中的x 的值:(1)32log 64-=x ;(2)68log =x (3)x =100lg (4)x e =-2ln 例4.计算:⑴27log 9,⑵81log 43,⑶()()32log 32-+,⑷625log 345.解法一:⑴设 =x 27log 9 则 ,279=x3233=x , ∴23=x ⑵设 =x 81log 43 则()8134=x, 4433=x , ∴16=x⑶令 =x ()()32log 32-+=()()13232log -++, ∴()()13232-+=+x, ∴1-=x⑷令 =x 625log 345, ∴()625534=x, 43455=x , ∴3=x解法二:⑴239log 3log 27log 239399===;⑵16)3(log 81log 1643344== ⑶()()32log 32-+=()()132log 132-=+-+;⑷3)5(log 625log 334553434==四、练习:(书P64`)1.把下列指数式写成对数式(1) 32=8;(2)52=32 ;(3)1 2-=21;(4)312731=-.解:(1)2log 8=3 (2) 2log 32=5 (3) 2log 21=-1 (4) 27log 31=-312.把下列对数式写成指数式(1) 3log 9=2⑵5log 125=3⑶2log 41=-2⑷3log 811=-4解:(1)23=9 (2)35=125 (3)22-=41 (4) 43-=811 3.求下列各式的值(1) 5log 25 ⑵2log 161⑶lg 100 ⑷lg 0.01 ⑸lg 10000 ⑹lg 0.0001 解:(1) 5log 25=5log 25=2 (2) 2log 161=-4 (3) lg 100=2 (4) lg 0.01=-2 (5) lg 10000=4 (6) lg0.0001=-4 4.求下列各式的值(1) 15log 15 ⑵4.0log 1 ⑶9log 81 ⑷5..2log 6.25 ⑸7log 343⑹3log 243 解:(1) 15log 15=1 (2) 4.0log 1=0 (3) 9log 81=2(4) 5..2log 6.25=2 (5) 7log 343=3 (6) 3log 243=5五、课堂小结⑴对数的定义;⑵指数式与对数式互换;⑶求对数式的值.六、课后作业:1.阅读教材第62~64页; 2.作业:《习案》作业二十《对数与对数运算(第一课时)》教学设计华南师范大学陈嘉韵教材新课标人教版高中教材数学必修1课题 2.2.1对数与对数运算第一课时教学目标(一)知识与能力1.理解对数的概念,了解对数与指数的关系;2.理解和掌握对数的性质;3.掌握对数式与指数式的关系。
对数与对数的运算教案
对数与对数的运算教案教案标题:对数与对数的运算教案目标:1. 理解对数的概念和性质。
2. 掌握对数运算的基本规则。
3. 能够运用对数运算解决实际问题。
教案步骤:引入活动:1. 引导学生回顾指数的概念和运算规则,并提醒学生指数运算中可能遇到的困难。
2. 引出对数的概念,通过举例说明对数是指数的逆运算。
知识讲解:1. 解释对数的定义:如果a^x = b,那么x就是以a为底b的对数,记作log_a(b)。
2. 讲解对数的性质:a) log_a(a) = 1,任何数以自身为底的对数都等于1。
b) log_a(1) = 0,任何数以底为a的对数等于1。
c) log_a(a^x) = x,对数与指数运算互为逆运算。
d) log_a(b * c) = log_a(b) + log_a(c),对数运算中的乘法法则。
e) log_a(b / c) = log_a(b) - log_a(c),对数运算中的除法法则。
f) log_a(b^x) = x * log_a(b),对数运算中的幂运算法则。
示例练习:1. 给出一些简单的对数运算题目,让学生运用对数运算法则进行计算。
2. 提供一些实际问题,要求学生运用对数运算解决问题,如计算震级、pH值等。
拓展应用:1. 鼓励学生自主探索对数运算在科学、工程等领域的应用。
2. 分组讨论,让学生分享对数运算在日常生活中的应用案例。
总结回顾:1. 总结对数的定义和性质。
2. 强调对数运算的重要性和实际应用。
教学资源:1. 板书:对数的定义和性质,对数运算的基本规则。
2. 教材:提供相关的例题和练习题。
3. 计算器:用于计算较复杂的对数运算。
教学评估:1. 在课堂上进行小组讨论和问题解答,观察学生对对数和对数运算的理解程度。
2. 布置作业,包括计算题和应用题,检验学生对对数运算的掌握情况。
3. 批改作业,给予学生针对性的反馈和指导。
对数与对数运算教案
对数与对数运算教案一、教学目标:1. 理解对数的概念和性质;2. 掌握对数与指数的关系;3. 掌握对数运算的基本规则;4. 能够运用对数解决实际问题。
二、教学重点:1. 对数的概念和性质;2. 对数与指数的关系;3. 对数运算的基本规则。
三、教学难点:1. 对数运算的基本规则;2. 对数方程的求解。
四、教学准备:1. 教材《高中数学选修6》;2. PowerPoint课件;3. 展示用白板、彩色笔。
五、教学过程:Step 1 引入新知识(5分钟)通过提问引导学生回忆指数运算的概念和性质。
然后告诉学生,当指数运算无法直接计算时,我们可以利用对数运算来简化计算过程。
Step 2 讲解对数的概念和性质(10分钟)1. 介绍对数的定义:如果a^x = b,则x叫做以a为底b的对数,记作x = logₐb。
2. 引导学生理解对数的特性:对数运算可以将一个指数运算转化为一个等价的等式运算。
3. 用例子讲解对数运算的具体过程,并利用PPT展示辅助讲解。
Step 3 探究对数与指数的关系(15分钟)1. 让学生思考:对数运算与指数运算之间有什么关系?2. 引导学生发现:对数运算是指数运算的逆运算,两者互为反函数。
3. 提醒学生注意指数和对数的底数需相同,否则无法进行计算。
4. 用简单的练习题让学生巩固对数和指数的关系。
Step 4 对数运算的基本规则(15分钟)1. 介绍对数运算的基本规则:a) logₐ(m × n) = logₐm + logₐn;b) logₐ(m ÷ n) = logₐm - logₐn;c) logₐ(m^p) = p × logₐm;d) logₐ1 = 0;e) logₐa = 1。
2. 指导学生如何运用这些规则进行对数运算的简化计算。
3. 通过实例展示对数运算的基本规则,并让学生自己尝试计算。
Step 5 解决真实问题(15分钟)1. 给学生提供实际问题,引导他们运用所学知识解决问题。
高中数学教案:对数与对数运算
高中数学教案:对数与对数运算教学目标:1. 理解对数的定义和性质;2. 掌握对数的运算法则;3. 能够利用对数解决实际问题。
教学重点:1. 对数的定义和性质;2. 对数的运算法则。
教学难点:对数运算的应用。
教学准备:教师准备好黑板、白板、彩色粉笔、教科书、练习册等教材。
教学过程:Step1 导入教师可以通过提问激发学生对对数的了解和认识,如:你们知道什么是对数吗?对数有哪些性质呢?Step2 引入教师在黑板上写下对数的定义:如果a^x=b,那么x就是以a为底b的对数,记作x=log_a b,其中a是底数,b是真数。
让学生进行解读和理解。
Step3 对数的性质1. 对数的底数必须大于0且不等于1;2. log_a a=1;3. log_a 1=0;4. log_a (m*n)=log_a m + log_a n;5. log_a (m/n) = log_a m - log_a n;6. log_a m^p = p * log_a m;教师可以结合教材上的例题来讲解这些性质,并通过示意图等方式帮助学生理解。
Step4 对数的运算法则教师介绍对数的运算法则,如:log_a (mn) = log_a m + log_a n,log_a (m/n) = log_a m - log_a n,log_a m^p = p * log_a m,等等。
通过实例演示和练习,帮助学生掌握这些运算法则。
Step5 解决实际问题教师通过一些实际问题的例子,如物种繁殖问题、地震震级问题等,引导学生使用对数进行运算,解决问题。
Step6 练习教师布置一些练习题,让学生在课下巩固对对数和对数运算的理解和掌握。
Step7 总结与拓展教师对本节课的内容进行总结,并对下一节课的内容进行预告和拓展,如指数函数的概念和性质。
Step8 课堂作业布置课堂作业,让学生对本节课所学内容进行巩固和复习。
Step9 教学反思教师对本节课上的教学进行反思,并做好备课记录,以便下次备课和教学参考。
人教版高中必修12.2.1对数与对数运算教学设计
人教版高中必修12.2.1对数与对数运算教学设计一. 教学目标1.了解对数的概念,能执行对数转换;2.学会对数运算的计算方法;3.掌握对数运算在实际问题中的应用;4.培养学生的数学思维能力和实际解决问题的能力。
二. 教学重点1.对数的概念及应用;2.对数运算的计算方法;3.对数运算在实际问题中的应用。
三. 教学难点1.对数运算在实际问题中的应用;2.通过具体应用题目来拓展学生的思路。
四. 教学方法1.讲授、探究、实践相结合的教学方法;2.自主探究式教学方法。
五. 教学过程(一) 预习(15分钟)在此阶段,教师将会分享一个视频,介绍对数的概念。
学生应观看视频并完成一系列的预习习题,以巩固对数的基本概念。
(二) 导入(10分钟)教师将会给出一个对数例子,让学生通过小组讨论给出对数的概念。
教师会在整个过程中作为指导者,引导学生结合预习内容进行思考。
(三) 概念讲解(10分钟)针对对数的概念进行全面的讲解,引导学生进行完整理解。
(四) 实践应用(30分钟)由于对数运算在实际问题中的应用比较复杂,教师将会给出三道实际问题,讨论不同的解决方案及答案的求解方法。
学生可以在小组中合作,通过完整的解决方案进行讨论。
(五) 拓展思路(15分钟)引导学生通过更加复杂的应用题目进行思考,激发其数学思维能力,并鼓励学生与其他组进行合作、互助。
(六) 总结归纳(10分钟)针对对数本章内容进行简单回顾,以及对问题进行答疑解惑。
六. 作业布置1.完成课前预习习题;2.完成三道实际运用问题的解析,并对应用思路进行拓展;3.尝试寻找对数运用于日常生活中的应用场景,并详细陈述。
七. 教学反思总体而言,此次授课能充分引导学生去思考对数运算这一复杂问题,并在实际案例中进行探讨。
此次教学中,学生自主探究式的学习方法得到了很好的展现。
希望在以后的教学设计中,能够更好地引导学生进行自主探究。
对数与对数的运算详细教案
课题2.2.1 对数与对数的运算 教学内容:对数与对数的运算 教学目标:1.知识目标:理解对数的概念,掌握指数式与对数式的互化以及认识特殊对数的意义和表示方式;2.能力目标:培养学生分析问题、解决问题的能力与思维灵活性的能力;3.情感目标:在知识的探索和发现过程中让学生认识事物之间的相互联系与相互转换;感受探索新知的乐趣和成功的喜悦.教学重点:对数的概念,对数与指数的关系. 教学难点:对数概念的理解. 课型:新授课. 教学方法:1 教法:讲解法,合作法.2 学法:类比学习法,合作学习法.3 教学用具:彩色粉笔;多媒体.教学过程:1.创设情境,引入新知(1)庄子:一尺之棰,日取其半,万世不竭.①取5次,还有多长? ②取多少次,还有0.125尺?(2)截止1999年底,我国人口约13亿,如果今后能将人口年平均增长率控制在1%,那么多少年后我国人口数可达18亿? 可抽象出:51,2a ⎛⎫= ⎪⎝⎭10.125?2xx ⎛⎫=⇒= ⎪⎝⎭()1311%18y⨯+=即181.01?13y y =⇒=师:上一节我们已经知道指数运算就是我们以前学的乘方运算,同样也知道乘方运算的逆运算开方运算.对512a⎛⎫=⎪⎝⎭,大家认为是什么运算呢?a的值为多少呢?对于1180.125 1.01213xy⎛⎫==⎪⎝⎭和,这两个式子有什么共同的地方没有?是什么?(已知底数和幂值,求指数).是我们熟悉的运算吗?和我们所熟知的指数也能算和开方运算有联系吗?其中的x y和的值怎么表示呢?带着这些问题进入我们今天的课堂:对数.2.探究新知⑴对数定义如果x a N=(a>0且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x =loga N(01a a>≠且)其中a叫对数的底数,N叫做真数.师:从上述定义要知道对数的记法为:logaN;读作:以a为底N的对数.师:得出logaN表示a的多少次幂为N.师:在上节我们学的指数函数中,我们知道a>0且a≠1才有意义,所以在考虑对数的时候我们也规定a>0且a≠1.师:知道了对数的定义,我们就根据定义来把刚刚的第三和四小题中的,x y表示出来了:因为10.1252x⎛⎫=⎪⎝⎭,所以12log0.125x=;因为181.0113y=,所以1.0118log13y=.师:我们根据对数定义,可以看出指数和对数存在密不可分的关系,那么究竟有怎样的关系呢?我们一起来看看.⑵指数式和对数式的关系师: 讨论两者之间的关系前要明确a的取值范围是a>0且a≠1,也要知道两个式子中相同字母代表的是同一个数,只是数的位置发生了变化,到底是怎样的变化呢?下面我们就一起来学习:师: 这便是指数式和对数式的关系,在此我还要强调一下,x a N =和x =log a N 其实表示的一种关系,它们是一种关系的不同表达式,x a N =是指数形式,x =log a N 是对数形式,本质上它们是一回事。
《对数运算与对数函数》教学设计
《对数运算与对数函数》教学设计对数运算与对数函数教学设计一、教学目标1. 了解对数的定义和基本性质;2. 掌握对数运算的计算方法;3. 理解对数函数的概念及其图像特性;4. 能够应用对数函数解决实际问题。
二、教学内容1. 对数的定义和基本性质;2. 对数运算的计算方法;3. 对数函数的定义和图像特性;4. 对数函数的应用。
三、教学过程1. 导入:通过引入实际问题,激发学生对对数的兴趣,引发思考。
2. 知识讲解:讲解对数的定义和基本性质,通过例题演示对数运算的计算方法。
3. 实例讲解:通过实例引入对数函数的概念,讲解对数函数的定义和图像特性,强调对数函数与指数函数的关系。
4. 练与应用:学生进行对数函数的计算练,结合实际问题应用对数函数解决问题。
5. 总结与归纳:总结对数运算和对数函数的要点和特性,澄清常见问题。
6. 拓展与展望:介绍对数在其他学科领域的应用,展望对数研究的发展前景。
四、教学评价1. 参与度评价:观察学生的思考和回答问题的积极程度、课堂表现等。
2. 理解程度评价:通过讲解和练的效果判断学生对对数运算和对数函数的理解程度。
3. 应用能力评价:通过实际问题解决的情况评估学生的对数函数的应用能力。
五、教学资源1. PPT课件:包含对数的定义、示例和计算方法等内容。
2. 题集:提供对数运算和对数函数的练题,供学生课后巩固。
六、教学反思对数运算与对数函数是高中数学的重要内容,但往往被学生认为比较抽象和难理解。
本次教学设计通过引入实际问题、讲解和实例讲解的方式,让学生更容易理解对数的概念,掌握对数运算和对数函数的计算方法,并能够应用到实际问题中。
同时,通过对学生的参与度、理解程度和应用能力进行评价,可以及时了解学生的学习情况,调整教学策略,提高教学效果。
对数与对数运算教案
对数与对数运算教案对数与对数运算教案对数与对数运算教案1一、教学目标1、知识与技能(1)理解对数的概念,了解对数与指数的关系;(2)能够进行指数式与对数式的互化;(3)理解对数的性质,掌握以上知识并培养类比、分析、归纳能力;2、过程与方法3、情感态度与价值观(1)通过本节的学习体验数学的严谨性,培养细心观察、认真分析分析、严谨认真的良好思维习惯和不断探求新知识的精神;(2)感知从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性认知过程;(3)体验数学的科学功能、符号功能和工具功能,培养直觉观察、探索发现、科学论证的良好的数学思维品质、二、教学重点、难点教学重点(1)对数的定义;(2)指数式与对数式的互化;教学难点(1)对数概念的理解;(2)对数性质的理解;三、教学过程:四、归纳总结:1、对数的概念一般地,如果函数ax=n(a0且a≠1)那么数x叫做以a为底n 的对数,记作x=logan,其中a叫做对数的底数,n叫做真数。
2、对数与指数的互化ab=n?logan=b3、对数的基本性质负数和零没有对数;loga1=0;logaa=1对数恒等式:alogan=n;logaa=nn五、课后作业课后练习1、2、3、4六、板书设计对数与对数运算教案21教学目标1、理解对数的概念,了解对数与指数的关系;掌握对数式与指数式的互化;理解对数的性质,掌握以上知识并形成技能。
2、通过事例使学生认识对数的模型,体会引入对数的必要性;通过师生观察分析得出对数的概念及对数式与指数式的互化。
3、通过学生分组探究进行活动,掌握对数的重要性质。
通过做练习,使学生感受到理论与实践的统一。
4、培养学生的类比、分析、归纳能力,严谨的思维品质以及在学习过程中培养学生探究的意识。
2学情分析现阶段大部分学生学习的自主性较差,主动性不够,学习有依赖性,且学习的'信心不足,对数学存在或多或少的恐惧感。
通过对指数与指数幂的运算的学习,学生已多次体会了对立统一、相互联系、相互转化的思想,并且探究能力、逻辑思维能力得到了一定的锻炼。
对数与对数运算 教学设计 说课稿 教案
对数与对数运算(二)(一)教学目标1.知识与技能:理解对数的运算性质.2.过程与方法:通过对数的运算性质的探索及推导过程,培养学生的“合情推理能力”、“等价转化”和“演绎归纳”的数学思想方法,以及创新意识.3.情感、态态与价值观通过“合情推理”、“等价转化”和“演绎归纳”的思想运用,培养学生对立统一、相互联系,相互转化以及“特殊—一般”的辩证唯物主义观点,以及大胆探索,实事求是的科学精神.(二)教学重点、难点1.教学重点:对数运算性质及其推导过程.2.教学难点:对数的运算性质发现过程及其证明.(三)教学方法针对本节课公式多、思维量大的特点,采取实例归纳,诱思探究,引导发现等方法.(四)教学过程例1 计算下列各式的值: (1)245lg 8lg 344932lg21+-; (2)22)2(lg 20lg 5lg 8lg 325lg +⋅++. 【解析】(1)方法一:原式=2122325)57lg(2lg 34)7lg 2(lg 21⨯+--=5lg 217lg 2lg 27lg 2lg 25++--=5lg 212lg 21+=21)5lg 2(lg 21=+.方法二:原式=57lg 4lg 724lg+-=475724lg⨯⨯=21)52lg(=⨯. (2)原式=2lg5 + 2lg2 + lg5 (2lg2 + lg5) + (lg2)2 =2lg10 + (lg5 + lg2)2 = 2 + (lg10)2 = 2 + 1 = 3.【小结】易犯lg52 = (lg5)2的错误.这类问题一般有两种处理方法:一种是将式中真数的积、商、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商,然后化简求值;另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根,然后化简求值. 计算对数的值时常用到lg2 + lg5 = lg10 = 1. 例2:(1)已知lg2 = 0.3010,lg3 = 0.4771,求lg 45; (2)设log a x = m ,log a y = n ,用m 、n 表示][log 344yxa a ⋅;(3)已知lg x = 2lg a + 3lg b – 5lg c ,求x .【分析】由已知式与未知式底数相同,实现由已知到未知,只须将未知的真数用已知的真数的乘、除、幂表示,借助对数运算法则即可解答.【解析】(1)1190lg 45lg 222== 1[lg 9lg10lg 2]2=+- 1[2lg 31lg 2]2=+- =-+=2lg 21213lg 0.4771+0.5 – 0.1505 = 0.8266(2)log a 1113412log log log a a a a x y =+-.1213141log 121log 3141m n y x a a -+=-+=(3)由已知得:532532lglglglglgc bacbax=-+=,∴532 c bax=.【小结】①比较已知和未知式的真数,并将未知式中的真数用已知式的真数的乘、除、乘方表示是解题的关键,并且应注意对数运算法则也是可逆的;②第(3)小题利用下列结论:同底的对数相等,则真数相等. 即log a N = log a M⇒N = M.。
教案18对数与对数运算
教案18对数与对数运算一、教学目标1.理解对数的概念和性质。
2.掌握对数运算的基本规则。
3.能够灵活运用对数运算解决实际问题。
二、教学内容1.对数的定义和性质。
2.对数运算的基本规则。
3.对数运算的应用。
三、教学重点1.理解对数的含义。
2.掌握对数运算的基本规则。
3.能够应用对数运算解决实际问题。
四、教学难点1.掌握对数运算的应用。
2.运用对数运算解决实际问题。
五、教学方法1.讲授法。
2.实例分析法。
六、教学准备1.教学课件。
2.教学实例。
七、教学过程【Step 1】导入新知教师出示一道数学问题:“如果2^x=8,那么x等于多少?”学生思考并回答正确答案是3、教师提问:“那么如果2^x=64,x等于多少?”此时学生需要计算64开2的几次方,这很耗时。
教师引入对数的概念,通过引导,学生自己发现2^6=64,因此x等于6、教师解释对数就是解指数方程的运算。
【Step 2】讲解对数的定义和性质1.对数的定义教师让学生观察2^3=8和3=lg8的关系,引导学生理解对数的定义。
对数是指数运算的逆运算,2^3=8可以写成lg8=32.对数的性质教师讲解对数的三个基本性质:a)任意一个正数都有唯一对数。
对于任意的正数x,都有一个唯一的对数y,x=10^y。
b)对数的基数大于1,那么对数函数是递增函数;对数的基数小于1,那么对数函数是递减函数。
c) 当对数的底数为10时,对数就是常用对数,表示成lg;当对数的底数为e≈2.718时,对数就是自然对数,表示成ln。
【Step 3】讲解对数运算的基本规则1.对数与指数的关系教师讲解对数与指数的关系:ay=x,可以写成y=loga(x)。
并通过一些例子引导学生理解。
2.对数与指数运算的性质a) 基本运算:loga(m*n)=logam+logan;loga(m/n)=logam-logan。
b) 幂运算:loga(m^p)=p*logam。
c) 对数运算:loga(logb(m))=loga(m)/loga(b)。
对数及对数运算教案祥
对数及对数运算教案祥对数教案一、教学目标:1.了解对数的概念和性质;2.熟悉对数的运算规则;3.掌握对数的计算方法;4.能够灵活运用对数解决实际问题。
二、教学重难点:1.如何理解对数的概念和性质;2.掌握对数的计算方法。
三、教学准备:1.教师准备:多媒体教学设备、黑板、彩色粉笔;2.学生准备:课本、笔、纸。
四、教学步骤:Step 1: 导入新知识1.以例题引出对数的概念和性质。
如:如果8的几次方等于64,8的几次方等于4,我们怎么找出这个几次方呢?学生讨论后,引出对数的概念。
2.通过引导,让学生回忆一下指数的概念和性质,然后引出对数与指数的关系。
Step 2: 对数的定义和性质1.对数的定义:如果b^x=a,则称x为以b为底a的对数,记作x=logb(a),其中b称为底数,a称为真数。
根据这个定义,让学生自己思考和总结,对数的底数、真数和对数之间的关系。
2.对数的性质:设a和b是正数(且a≠1,b≠1),m和n为任意实数,则有:(1)logb(ab)=logb(a)+logb(b)(2)logb(a^n)=nlogb(a)(3)logb(a/m)=logb(a)-logb(m)(4)logb(a^n)=nlogb(a)(5)logb(1)=0(6)logb(b)=1(7)loga(a)=1因此,对数具有加法、减法、乘法和幂的性质。
Step 3: 计算对数1.先让学生通过观察计算几个对数,如log2(8)=3,log3(1/9)=-2等,引发他们注意计算方法的规律。
2.介绍换底公式:对于任意的正数a、b和c,有logc(b)=loga(b)/loga(c)。
3.通过例题的计算,让学生掌握用换底公式计算对数的方法。
Step 4: 实际问题解决1.选择几个与对数相关的实际问题,如指数增长问题、频率问题、酸碱度问题等,让学生运用对数来解决。
2.鼓励学生自己找一些实际问题,并用对数来解答。
五、教学延伸:1.可以通过多个例题让学生进行练习巩固知识。
对数与对数运算教案
对数与对数运算教案教案标题:对数与对数运算教案概述:本教案旨在帮助学生理解对数的概念,并能够进行对数运算。
通过引入实际问题和互动式学习活动,学生将能够掌握对数的基本概念和运算规则,并能够应用于解决实际问题。
教案目标:1. 理解对数的概念和性质。
2. 掌握对数的运算规则。
3. 能够应用对数解决实际问题。
教学资源:1. 教材:包含对数和对数运算的相关知识点。
2. 白板、黑板或投影仪等教学工具。
3. 学生练习册或作业本。
教学步骤:引入活动:1. 引发学生对对数的兴趣,例如通过提问“你知道对数是什么吗?”或展示一些实际问题,如“如果你要计算一个数的指数,你会如何做?”2. 让学生分享他们对对数的理解和经验。
概念讲解:1. 通过示意图或实例解释对数的概念,例如“对数是指数的逆运算,用于表示一个数以某个底数为底的幂次方的结果。
”2. 引导学生理解对数的定义,并解释底数、指数和对数的关系。
运算规则讲解:1. 解释对数运算的基本规则,如对数的乘法法则、除法法则和幂运算法则。
2. 提供示例和练习,让学生运用运算规则进行对数运算。
互动学习活动:1. 将学生分成小组,给每个小组分发一些实际问题,要求他们用对数解决问题。
2. 每个小组向全班展示他们的解决思路和答案,并进行讨论和分享。
巩固练习:1. 分发练习册或作业本,让学生进行对数运算的练习。
2. 监督学生的练习过程,及时解答疑问并给予指导。
总结:1. 对本节课的内容进行总结,强调对数的概念和运算规则。
2. 鼓励学生将对数应用于解决更多实际问题,并提供相关资源和参考资料。
扩展活动:1. 鼓励学生进行更多的对数运算练习,以提高他们的计算能力。
2. 探索更深入的对数概念和应用,如对数函数和对数图像。
评估方式:1. 观察学生在课堂上的参与和回答问题的能力。
2. 批改学生的练习册或作业本,评估他们对对数的理解和运算能力。
教学反思:1. 教学过程中是否引起学生的兴趣和参与度?2. 学生是否理解对数的概念和运算规则?3. 是否有足够的练习和实际问题让学生巩固所学的知识?4. 是否需要调整教学方法和资源,以更好地满足学生的学习需求?通过以上教案,学生将能够理解对数的概念和运算规则,并能够应用于解决实际问题。
对数与对数运算教学设计
对数与对数运算教学设计《对数与对数运算》教学设计课题2.2.1对数与对数运算:第一课时三维目标:知识与技能1.理解对数的概念,了解对数与指数的关系;2.学会对数式与指数式的的互化,培养学生类比,分析,归纳的能力。
(二)过程与方法1.解自然对数和常用对数的概念,以及对数恒等式;2.通过实例推导对数运算性质,准确运用对数的运算性质进行计算,求值,化简。
并掌握化简,求值的技能。
(三)情感、态度和价值观1.培养学生分析,综合解决问题的能力;2.通过对数的运算法则的学习,培养学生的严谨的思维品质;3.在学习过程中培养学生探究的意识。
教学内容分析:教学重点对数式与指数式的互化以及对数性质加以灵活运用教学难点对数运算性质推导过程,以及分析过程课型:新授课新课讲解(一)创设情境,课题引入(学生活动)P72~P73页提出以下问题:对对数的发明有杰出贡献的科学家是谁发明对数的目的是什么?为什么说对数发明是17世纪重大数学成就?苏格兰数学家napier(纳皮尔)在研究天文学过程中,为了简化其中的计算发明了对数。
恩格斯曾经把对数的发明与解析几何的创立、微积分的建立是并称为17世纪数学史上的3大成就。
伽利略也说过:“给我空间、时间及对数,我可以创造一个宇宙”;(老师引导:那么,什么是对数?对数式怎样简化运算的?对数真的有用吗?)教师:为了研究对数,我们先来研究下面这个问题?(学生活动)P72页思考:根据上一节的例1我们能从中算出任意一个某(经过的年份)的人口总数,可不可能哪一年人口数低于13亿?那么哪一年的人口达到18亿?可不可能哪一年人口达到1000亿?你会算吗(教师活动)由指数函数性质知,有,所以人口数达到18时候,,所以有在个式子中,等于多少?学生可能会说,解出即可。
实际不然,实际问题实际考虑,地球上供养不起这么多人,所以现在同学们们要珍惜现在资源,爱护地球。
对数概念(教师活动)(板书)一般地,若,那么数叫做以为底的对数,记作,叫做对数的底数,叫做真数。
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对数与对数运算教学设计本资料为woRD文档,请点击下载地址下载全文下载地址教学设计2.2.1 对数与对数运算第1课时作者:林宁宁,古田一中教师.本教学设计获福建省教学设计大赛二等奖.整体设计教学内容分析本节课是新课标高中数学A版必修1中第二章对数函数内容的第1课时,也就是对数函数的入门.对数函数对于学生来说是一个全新的函数模型,学习起来比较困难.而对数函数又是本章的重要内容,在高考中占有一定的分量,它是在指数函数的基础上,对函数类型的拓广,同时在解决一些日常生活问题及科研中起着十分重要的作用.通过本节课的学习,可以让学生理解对数的概念,从而进一步深化对对数模型的认识与理解,为学习对数函数做好准备.同时,通过对对数概念的学习,对培养学生对立统一、相互联系、相互转化的思想,培养学生的逻辑思维能力都具有重要的意义.学生学习情况分析现阶段大部分学生学习的自主性较差,主动性不够,学习有依赖性,且学习的信心不足,对数学存在或多或少的恐惧感.通过对指数与指数幂的运算的学习,学生已多次体会了对立统一、相互联系、相互转化的思想,并且探究能力、逻辑思维能力得到了一定的锻炼.因此,学生已具备了探索、发现、研究对数定义的认识基础,故应通过指导,教会学生独立思考、大胆探索和灵活运用类比、转化、归纳等数学思想的学习方法.设计思想学生是教学的主体,本节课要给学生提供各种参与机会.为了调动学生学习的积极性,使学生化被动为主动,本节课可利用多媒体辅助教学,引导学生从实例中认识对数模型,体会引入对数的必要性.在教学重难点上,步步设问、启发学生的思维,通过课堂练习、探究活动、学生讨论的方式来加深理解,更好地突破难点和提高教学效率.让学生在教师的引导下,充分地动手、动口、动脑,掌握学习的主动权.教学目标.理解对数的概念,了解对数与指数的关系;掌握对数式与指数式的互化;理解对数的性质,掌握以上知识并形成技能.2.通过实例使学生认识对数模型,体会引入对数的必要性;通过师生观察分析得出对数的概念及对数式与指数式的互化.3.通过学生分组进行探究活动,掌握对数的重要性质.通过做练习,使学生感受到理论与实践的统一.4.培养学生的类比、分析、归纳能力,培养学生严谨的思维品质以及在学习过程中培养学生的探究意识.重点难点重点:对数的概念;对数式与指数式的相互转化.难点:对数概念的理解;对数性质的理解.教学过程教学环节教学程序及设计设计意图创设情境,引入新课引例.一尺之锤,日取其半,万世不竭.取5次,还有多长?取多少次,还有0.125尺?分析:为同学们熟悉的指数函数模型,易得125=132,可设取x次,则有12x=0.125,抽象出:12x=0.125⇒x=?2.XX年我国GDP为a亿元,如果每年平均增长8%,那么经过多少年GDP是XX年的2倍?分析:设经过x年,则有x=2,抽象出:x=2⇒x =?让学生根据题意,设未知数,列出方程.这两个例子都出现指数是未知数x的情况,让学生思考如何表示x,激发其对对数的学习兴趣,培养学生的探究意识.生活及科研中还有很多这样的例子,因此引入对数是必要的.讲授新课一、对数的概念[一般地,如果ax=N,那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.注意:底数的限制:a>0且a≠1;对数的书写格式正确理解对数定义中底数的限制,为以后对数函数定义域的确定做准备.同时注意对数的书写格式,避免因书写不规范而产生的错误.二、对数式与指数式的互化:幂底数←a→对数底数指数←b→对数幂←N→真数思考:为什么对数的定义中要求底数a>0且a≠1?是否是所有的实数都有对数呢?负数和零没有对数让学生了解对数与指数的关系,明确对数式与指数式形式的区别,a,b和N位置的不同,及它们的含义.互化体现了等价转化这个重要的数学思想.三、两个重要对数常用对数:以10为底的对数log10N,简记为lgN;自然对数:以无理数e=2.71828…为底的对数logeN,简记为lnN.注意:两个重要对数的书写这两个重要对数一定要掌握,为以后的解题以及换底公式作准备.课堂练习.将下列指数式写成对数式:24=16;3-3=127;5a=20;12b=0.45.2.将下列对数式写成指数式:log5125=3;=-2;log10a=-1.069.3.求下列各式的值:log264;log927.本练习让学生独立阅读课本例1和例2后思考完成,从而熟悉对数式与指数式的相互转化,加深对对数概念的理解.并要求学生指出对数式与指数式互化时应注意哪些问题,培养学生严谨的思维品质.四、对数的性质探究活动1求下列各式的值:log31=0;lg1=0;log0.51=0;ln1=0.思考:你发现了什么?“1”的对数等于零,即loga1=0,类比:a0=1.探究活动由学生独立完成后,通过思考,然后分小组进行讨论,最后得出结论.通过练习与讨论的方式,让学生自己得出结论,从而能更好地理解和掌握对数的性质.培养学生类比、分析、归纳的能力.探究活动2求下列各式的值:log33=1;lg10=1;log0.50.5=1;lne=1.思考:你发现了什么?底数的对数等于“1”,即logaa=1,类比:a1=a.探究活动3求下列各式的值:=3;=0.6;=89.思考:你发现了什么?对数恒等式:=N.探究活动4求下列各式的值:log334=4;log0.90.95=5;lne8=8.思考:你发现了什么?对数恒等式:logaan=n.讲授新课小结负数和零没有对数;“1”的对数等于零,即loga1=0;底数的对数等于“1”,即logaa=1;对数恒等式:=N;对数恒等式:logaan=n.将学生归纳的结论进行小结,从而得到对数的基本性质.归纳小结,强化思想.引入对数的必要性——对数的概念一般地,如果ax=N,那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN.2.指数与对数的关系3.对数的基本性质负数和零没有对数;loga1=0;logaa=1;对数恒等式:=N;logaan=n.总结是一堂课内容的概括,有利于学生系统地掌握所学内容.同时,将本节内容纳入已有的知识体系中,发挥承上启下的作用.为下一课时对数的运算打下扎实的基础.作业布置一、课本习题2.2A组第1,2题.二、已知loga2=x,loga3=y,求a3x+2y的值.三、求下列各式的值:;;;.作业是学生信息的反馈,教师可以在作业中发现学生在学习中存在的问题,弥补教学中的不足.板书设计2.2.1 对数与对数运算第1课时引例1引例2一、对数的定义二、对数式与指数式的互化练习三、对数的基本性质四、小结五、作业布置教学反思本教学设计先由引例出发,创设情境,激发学生对对数的学习兴趣;在讲授新课部分,通过结合多媒体教学以及一系列的课堂探究活动,加深学生对对数的认识;最后通过课堂练习来巩固学生对对数的掌握.第2课时作者:卢岩冰整体设计教学目标.知识与技能通过实例推导对数的运算性质,准确地运用对数的运算性质进行运算、求值、化简,并掌握化简求值的技能.运用对数的运算性质解决有关问题.培养学生分析、解决问题的能力.培养学生的数学应用意识和科学分析问题的精神和态度.2.过程与方法让学生经历并推导出对数的运算性质.让学生归纳整理本节所学的知识.3.情感态度与价值观让学生感觉对数运算性质的重要性,增加学生的成功感,增强学习的积极性.重点难点重点:对数运算的性质与对数知识的应用.难点:正确使用对数的运算性质.教学过程导入新课思路1.上节课我们学习了以下内容:.对数的定义.2.指数式与对数式的互化.ab=N⇔logaN=b.3.重要性质:负数与零没有对数;loga1=0,logaa=1;对数恒等式=N.下面我们接着讲对数的运算性质〔教师板书课题:对数与对数运算〕.思路2.我们在学习指数的时候,知道指数有相应的运算法则,即指数运算法则:am•an=am+n;am÷an=am-n;n=amn;man=.从上节课我们还知道指数与对数都是一种运算,而且它们互为逆运算,对数是否也有和指数相类似的运算法则呢?答案是肯定的,这就是本堂课的主要内容,点出课题:对数与对数运算.推进新课新知探究提出问题在上节课中,我们知道,对数运算可看作指数运算的逆运算,你能从指数与对数的关系以及指数运算的性质,得出相应的对数运算的性质吗?如我们知道am=m,an=N,am•an=am+n,那m +n如何表示,能用对数式运算吗?在上述的条件下,类比指数运算性质能得出其他对数运算性质吗?你能否用最简练的语言描述上述结论?如果能,请描述.上述运算性质中的字母的取值有什么限制吗?上述结论能否推广呢?学习这些性质能对我们进行对数运算带来哪些方便呢?讨论结果:通过问题来说明.若am•an=am+n,m=am,N=an,于是mN=am +n,由对数的定义得到m=am⇔m=logam,N=an⇔n=logaN,mN=am+n⇔m+n=logamN,logamN=logam+logaN.因此m+n可以用对数式表示.令m=am,N=an,则mN=am÷an=am-n,所以m-n =logamN.又由m=am,N=an,所以m=logam,n=logaN.所以logam-logaN=m-n=logamN,即logamN=logam -logaN.设m=am,则mn=n=amn.由对数的定义,所以logam=m,logamn=mn.所以logamn=mn=nlogam,即logamn=nlogam.这样我们得到对数的三个运算性质:如果a>0,a≠1,m>0,N>0,则有loga=logam+logaN;①logamN=logam-logaN;②logamn=nlogam.③以上三个性质可以归纳为:性质①:两数积的对数,等于各数的对数的和;性质②:两数商的对数,等于被除数的对数减去除数的对数;性质③:幂的对数等于幂指数乘以底数的对数.利用对数运算性质进行运算,所以要求a>0,a≠1,m >0,N>0.性质①可以推广到n个数的情形:即loga=logam1+logam2+logam3+…+logamn.纵观这三个性质我们知道,性质①的等号左端是乘积的对数,右端是对数的和,从左往右看是一个降级运算.性质②的等号左端是商的对数,右端是对数的差,从左往右是一个降级运算,从右往左是一个升级运算.性质③从左往右仍然是降级运算.利用对数的性质①②可以使两正数的积、商的对数转化为两正数的各自的对数的和、差运算,方便了对数式的化简和求值.应用示例例1用logax,logay,logaz表示下列各式:logaxyz;logax2y3z.活动:学生思考观察,教师巡视,检查学生解题情况,发现问题及时纠正.利用对数的运算性质,把整体分解成部分.对logaxyz,可先利用性质②,转化为两数对数的差,再利用性质①,把积的对数转化为两数对数的和.对logax2y3z,可先利用性质②,转化为两数对数的差,再利用性质①,把积的对数转化为两数对数的和,最后利用性质③,转化为幂指数与底数的对数的积.解:logaxyz=loga-logaz=logax+logay-logaz;logax2y3z=loga-loga3z=logax2+logay-loga3z=2logax+12logay-13logaz.点评:对数的运算性质实质上是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算.变式训练.若a>0,a≠1,x>0,y>0,x>y,下列式子正确的个数为①logax•logay=loga;②logax-logay=loga;③logaxy=logax÷logay;④loga=logax•logay.A.0B.1c.2D.3答案:A2.若a>0,a≠1,x>y>0,n∈N*,下列式子正确的个数为①n=nlogax;②n=logaxn;③logax=-loga1x;④logaxlogay=logaxy;⑤nlogax=1nlogax;⑥1nlogax=loganx;⑦logaxn=nlogax;⑧logax-yx+y=-logax+yx-y.A.3B.4c.5D.6答案:B例2求值:;log3127.解:解法一:设,则x=33=3,所以x=3.解法二:.解法一:令x=log3127,则3x=127,即3x=3-3,所以x=-3.解法二:log3127=log33-3=-3.例3计算:lg14-2lg73+lg7-lg18;lg243lg9;lg27+lg8-3lg10lg1.2.解:解法一:lg14-2lg73+lg7-lg18=lg-2+lg7-lg=lg2+lg7-2lg7+2lg3+lg7-2lg3-lg2=0.解法二:lg14-2lg73+lg7-lg18=lg14-lg732+lg7-lg18=lg14×7732×18=lg1=0.lg243lg9=lg35lg32=5lg32lg3=52.lg27+lg8-3lg10lg1.2==32lg3+2lg2-1=32.点评:此例题体现对数运算性质的综合运用,应注意掌握变形技巧,如题各部分变形要化到最简形式,同时注意分子、分母的联系;题要避免错用对数的运算性质.对数运算性质的灵活运用、运算性质的逆用常被学生所忽视.例4设x=log23,求23x-2-3x2x-2-x的值.活动:学生思考观察,教师引导,学生有困难及时提示并评价学生的思考过程.本题主要考查对数的定义及其运算性质.先利用对数的定义求2x,再求23x,从而可求,或先化简再代入求值.解法一:由x=log23,得2x=3,2-x=13,所以23x -2-3x2x-2-x=33-1333-13=32+3×13+132=919.解法二:由x=log23,得2x=3,2-x=13,所以23x -2-3x2x-2-x=2x-2-x=22x+1+2-2x=32+1+132=919.知能训练课本本节练习第1,2,3题.【补充练习】.用logax,logay,logaz,loga,loga表示下列各式:loga3xy2z;logax•4z3y2;;logaxyx2-y2;logax+yx-y•y;logayx3.解:loga3xy2z=loga3x-logay2z=13logax-=13logax-2logay-logaz;logax•4z3y2=logax+loga4z3y2=logax+14=logax-24logay+34logaz=logax-12logay+34logaz;=logax++=logax+12logay-23logaz;logaxyx2-y2=logaxy-loga=logax+logay-loga =logax+logay-loga-loga;logax+yx-y•y=logax+yx-y+logay=loga -loga+logay;logayx3=3[logay-logax-loga]=3logay-3logax -3loga.2.已知f=log2x,则f等于A.43B.8c.18D.12解析:因为f=log2x,x>0,令x6=8,得,所以f==12.另解:因为f=log2x=16log2x6,所以f=16log2x.所以f=16log28=16log223=12.答案:D拓展提升已知x,y,z>0,且lgx+lgy+lgz=0,求的值.活动:学生讨论、交流、思考,教师可以引导.大胆设想,运用对数的运算性质.由于所求的式子是三项积的形式,每一项都有指数,指数中又有对数,因此想到用对数的运算性质,如果能对所求式子取对数,那可能会好解决些,故想到用参数法,设所求式子的值为t.解:令,则lgt=1lgy+1lgzlgx+1lgz+1lgxlgy+1lgx +1lgylgz=lgxlgy+lgxlgz+lgylgz+lgylgx+lgzlgx+lgzlgy=lgx+lgzlgy+lgx+lgylgz+lgy+lgzlgx=-lgylgy+-lgzlgz+-lgxlgx=-3,所以t=10-3=11000即为所求.课堂小结.对数的运算性质.2.对数的运算性质的综合应用,特别是性质的逆向使用.3.对数与指数形式比较:式子ab=NlogaN=b名称a——幂的底数b——幂的指数N——幂值a——对数的底数b——以a为底的N的对数N——真数运算性质am•an=am+n;am÷an=am-n;n=amn;loga=logam+logaN;logamN=logam-logaN;logamn=nlogam;作业课本习题2.2A组3,4,5.设计感想在前面研究了对数概念的基础上,为了运算的方便,本节课我们借助指数的运算性质,推出了对数的运算性质,引导学生自己完成推导过程,加深对公式的理解和记忆,对运算性质的认识类比指数的运算性质来理解记忆,强化性质的使用条件,注意对数式中每一个字母的取值范围,由于它是以后学习对数函数的基础,所以安排教学时,要反复练习,加大练习的量,多结合信息化的教学手段,顺利完成本堂课的任务.第3课时作者:刘菲整体设计教学目标.知识与技能推导对数的换底公式,培养学生分析、解决问题的能力,培养学生的数学应用意识和科学分析问题的精神和态度.2.过程与方法让学生经历推导对数的换底公式的过程,归纳整理本节所学知识.3.情感态度与价值观通过对数的运算性质、对数换底公式的学习,培养学生的探究意识,培养学生的严谨的思维品质;感受对数的广泛应用.重点难点重点:对数的运算性质、换底公式及其应用.难点:正确使用对数的运算性质和换底公式.教学过程导入新课思路1.问题:你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗?a>0,且a≠1,c>0,且c≠1,b>0,logab=logcblogca.教师直接点出课题:对数与对数运算——对数的换底公式及其应用.思路2.前两节课我们学习了以下内容:1.对数的定义及性质;2.对数恒等式;3.对数的运算性质,用对数的运算性质我们能就同底数的对数进行运算,那么不同底数的对数集中在一起,如何解决呢?这就是本堂课的主要内容.教师板书课题:对数与对数运算——对数的换底公式及其应用.思路3.从对数的定义可以知道,任意不等于1的正数都可作为对数的底,数学史上,人们经过大量的努力,制作了常用对数表和自然对数表,只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数,这样,如果能将其他底的对数转换为以10为底或以e为底的对数就能方便地求出任意不等于1的正数为底的对数,那么,怎么转化呢?这就需要一个公式,即对数的换底公式,从而引出课题:对数与对数运算——对数的换底公式及其应用.推进新课新知探究提出问题已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求log23的值;根据,如a>0,a≠1,你能用含a的对数式来表示log23吗?更一般地,我们有logab=logcblogca,如何证明?证明logab=logcblogca的依据是什么?你能用自己的话概括出换底公式吗?换底公式的意义是什么?有什么作用?活动:学生针对提出的问题,交流讨论,回顾所学,力求转化,教师适时指导,必要时提示学生解题的思路,给学生创造一个互动的学习环境,培养学生的创造性思维能力.对目前还没有学习对数的换底公式,它们又不是同底,因此可考虑对数的定义,转化成方程来解;对参考的思路和结果的形式,借助对数的定义可以表示;对借助的思路,利用对数的定义来证明;对根据证明的过程来说明;对抓住问题的实质,用准确的语言描述出来,一般是按照从左到右的形式;对换底公式的意义就在于对数的底数变了,与我们的要求接近了.讨论结果:因为lg2=0.3010,lg3=0.4771,根据对数的定义,所以100.3010=2,100.4771=3.不妨设log23=x,则2x=3,所以x=100.4771,100.3010×x=100.4771,即0.3010x=0.4771,x=0.47710.3010=lg3lg2.因此log23=lg3lg2=0.47710.3010≈1.5850.根据我们看到,最后的结果是log23用lg2与lg3表示,是通过对数的定义转化的,这就给我们以启发,本来是以2为底的对数转换成了以10为底的对数,不妨设log23=x,由对数定义知道,2x=3,两边都取以a为底的对数,得loga2x=loga3,xloga2=loga3,x=loga3loga2,也就是log23=loga3loga2.这样log23就表示成了以a为底的3的对数与以a为底的2的对数的商.证明logab=logcblogca.证明:设logab=x,由对数定义知道,ax=b;两边取以c为底的对数,得logcax=logcb⇒xlogca=logcb;所以x=logcblogca,即logab=logcblogca.一般地,logab=logcblogca称为对数的换底公式.由的证明过程来看,换底公式的证明要紧扣对数的定义,证明的依据是:若m>0,N>0,m=N,则logam=logaN.一个数的对数,等于同一底数的真数的对数与底数的对数的商,这样就把一个对数变成了与原来对数的底数不同的两个对数的商.换底公式的意义就在于把对数式的底数改变,把不同底问题转化为同底问题,为使用运算性质创造条件,更方便化简求值.说明:我们使用的计算器中,“log”通常是常用对数,因此要使用计算器计算对数,一定要先用换底公式转化为常用对数.如log23=lg3lg2,即计算log23的值的按键顺序为:“log”→“3”→“÷”→“log”→“2”→“=”.再如:在前面要求我国人口达到18亿的年份,就是要计算x=log1.011813,所以x=log1.011813=lg1813lg1.01=lg18-lg13lg1.01≈1.2553-1.0390.0043=32.8837≈33.可以看到运用对数换底公式,有时要方便得多.应用示例例1求log89•log2732的值.活动:学生观察题目,思考讨论,互相交流,教师适时提示,学生板演,利用换底公式统一底数;根据题目的特点,底数不同,所以考虑把底数统一起来,可以化成常用对数或以2为底的对数,以3为底的对数也可.解法一:log89•log2732=lg9lg8•lg32lg27=2lg33lg2•5lg23lg3=109.解法二:log89•log2732=log29log28•log232log227=2log233•53log23=109.解法三:log89•log2732=log39log38•log332log327=23log32•5log323=109.点评:灵活运用对数的换底公式是解决问题的关键.例2计算:log52•log4981log2513•log734;log43•log92-.活动:学生积极交流,教师引导,学生展示自己的思维过程,教师对学生的表现及时评价.先利用对数运算性质和换底公式进行化简,然后再求值;对根据题目的特点,底数不同,所以考虑把底数统一起来,再利用对数的运算性质化简.对利用换底公式把底数统一起来,再化简求值.解:原式=lg2lg5•lg34lg72lg3-1lg52•lg22lg73=12•lg2lg5•4lg32lg7-lg32lg5•2lg23lg7=-3.log43•log92-=log23log24•log22log29-=12log23•12log32+54log22=14+54=32.点评:在利用对数的换底公式进行化简求值时,一般情况是根据题中所给的对数式的具体特点选择恰当的底数进行换底,如果题目中所给的真数和底数互不相同,我们常选择以10为底的对数进行换底.例3证明logaxlogabx=1+logab;已知==…==λ,求证:.活动:学生思考、讨论,教师适当提示:运用对数换底公式,统一成以a为底的对数可直接得解,或利用对数的定义,分别把三个式子设出,再由定义转化成指数形式,利用指数幂的性质得解;这是条件证明问题,应在现有条件下利用换底公式,转化成积的形式,从题目的结论来看,真数是积的形式,因此要创造对数的和的形式,这就想到先换底,再利用等比性质来解.证法一:设logax=p,logabx=q,logab=r,则x=ap,x=q=aqbq,b=ar.所以ap=q=aq,从而p=q.因为q≠0,所以pq=1+r,即logaxlogabx=1+logab.证法二:显然x>0且x≠1,x可作为底数,左边=logaxlogabx=logxablogxa=logaab=1+logab=右边.证明:因为loga1b1=loga2b2=…=loganbn=λ,所以由换底公式得lgb1lga1=lgb2lga2=…=lgbnlgan=λ.由等比定理,所以lgb1+lgb2+…+lgbnlga1+lga2+…+lgan=λ.所以lglg=λ.所以=lglg=λ.点评:在解题过程中,根据题目的需要,把底数转化,换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化,该公式既可正用,又可逆用,使用时的关键是选择底数,换底的目的是实现对数式的化简.例420世纪30年代,里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度,就是使用测震仪衡量地震能量的等级,地震能量越大,测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级m,其计算公式为m=lgA-lgA0,其中,A 是被测地震的最大振幅,A0是“标准地震”的振幅.假设在一次地震中,一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20,此时标准地震的振幅是0.001,计算这次地震的震级;5级地震给人的震感已比较明显,计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍?活动:学生审题,教师引导,学生交流,展示自己的思维过程,教师强调实际问题的注意事项.根据题目给出的数学模型及其含义来解决.这是实际问题,但题目给出了数学模型即关系式,关系式是以常用对数的形式给出,因此要利用对数的定义和运算性质,同时注意要使实际问题有意义.解:m=lg20-lg0.001=lg200.001=lgXX0=lg2+lg104≈4.3.因此,这是一次约为里氏4.3级的地震.由m=lgA-lgA0可得m=lgAA0,即AA0=10m,所以A =A0•10m.当m=7.6时,地震的最大振幅为A1=A0•107.6;当m=5时,地震的最大振幅为A2=A0•105.所以,两次地震的最大振幅之比是A1A2=A0×107.6A0×105=107.6-5=102.6≈398.答:7.6级地震的最大振幅大约是5级地震的最大振幅的398倍.点评:利用所学知识解决实际问题,是教学的一个难点.知能训练课本本节练习4.【补充练习】已知lg2=a,lg3=b,则lg12lg15等于A.2a+b1+a+bB.a+2b1+a+bc.2a+b1-a+bD.a+2b1-a+b已知2lg=lgx+lgy,则xy的值为A.1B.4c.1或4D.4或-1若3a=2,则log38-2log36=__________.lg12.5-lg58+lg0.5=__________.答案:c B a-2 1拓展提升探究换底公式的其他证明方法:活动:学生讨论、交流、思考,教师可以引导,大胆设想,运用对数的定义及运算性质和指数幂的运算性质.证法一:设logaN=x,则ax=N,两边取以c为底的对数,得logcax=logcN,所以xlogca=logcN,即x=logcNlogca.故logaN=logcNlogca.证法二:由对数恒等式,得,两边取以c为底的对数,得logcN=logaN•logca,所以logaN=logcNlogca.证法三:令logca=m,logaN=n,则a=cm,N=an,所以N=n=cmn.两边取以c为底的对数,得mn=logcN,所以n=logcNm,即logaN=logcNlogca.对数换底公式的应用:换底公式logaN=logcNlogca的应用包括两个方面,即由左端到右端的应用和由右端到左端的应用,前者较为容易,而后者则易被学生忽视,因此,教学时应重视后者的用法,下面仅就后者举例说明:例:化简:logamlogaN+logbmlogbN+logcmlogcN+logdmlogdN.解:原式=logNm+logNm+logNm+logNm=4logNm.课堂小结.对数换底公式;2.换底公式可用于对数式的化简、求值或证明.若对数式的底数和真数可转化成同底数的幂的形式,则该幂底数可被选作换底公式的底数,也可把对数式转化成以10为底的常用对数或以任意数a为底的对数式的形式.作业课本习题2.2A组6,11,12.【补充作业】.已知,,求log81175的值.解:因为=log277=13log37=a,所以log37=3a.又因为=log35=b,所以log81175=14log3=14=14=3a+2b4.2.求证:log9n32=52.证明:左边=log9n32=•1nlog932=nlog23•1nlog332=log23•52log32=52=右边.设计感想本堂课主要是学习对数的换底公式,它在以后的学习中有着非常重要的应用,由于对数的运算性质是在同底的基础上,因此利用对数换底公式把不同底数的对数转化为同底显得非常重要,有时也可以逆用对数的换底公式达到我们的目的,特别是实际问题的应用十分广泛,因此要反复训练,强化记忆,所以设计了大量的例题与练习,授课时要加快速度,激发学生学习的兴趣,多运用多媒体的教学手段.备课资料【备选例题】【例1】化简:logamlogbN•logbmlogcN•logcmlogdN• logdmlogaN.解:原式=logamlogaN•logbmlogbN•logcmlogcN• logdmlogdN=logNm•logNm•logNm•logNm=4.【例2】求证:logab=1logba.证法一:logab=logbblogba=1logba.证法二:1logba=logbblogba=logab.【例3】试证:1log2x+1log3x+1log4x+…+1lognx =1logn!x.证明:1log2x+1log3x+1log4x+…+1lognx=logx=logx=logxn!=1logn!x.【知识拓展】对数的创立对数是中学初等数学中的重要内容,那么当初是谁首创“对数”这种高级运算的呢?在数学史上,一般认为对数的发明者是16世纪末到17世纪初的苏格兰数学家——纳皮尔男爵.在纳皮尔所处的年代,哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行,这导致天文学成为当时的热门学科.可是由于当时常量数学的局限性,天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”,因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间.纳皮尔也是当时的一位天文爱好者,为了简化计算,他多年潜心研究大数字的计算技术,终于独立发明了对数.当然,纳皮尔所发明的对数,在形式上与现代数学中的对数理论并不完全一样.在纳皮尔那个时代,“指数”这个概念还尚未形成,因此纳皮尔并不是像现行代数课本中那样,通过指数来引出对数,而是通过研究直线运动得出对数概念的.那么,当时纳皮尔所发明的对数运算,是怎么一回事呢?在那个时代,计算多位数之间的乘积,还是十分复杂的运算,因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法.让我们来看看下面这个例子:0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、…、2、4、8、16、32、64、128、256、512、1024、2048、4096、8192、16384、…这两行数字之间的关系是极为明确的:第一行表示2的指数,第二行表示2的对应幂.如果我们要计算第二行中两。