第1讲导数的综合应用

第1讲 导数的综合应用
[最新考纲]
1．利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题；
2．会利用导数解决某些简单的实际问题.
知 识 梳 理
1．生活中的优化问题
通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为优化问题，一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点．
2．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤
3．导数在研究方程(不等式)中的应用
研究函数的单调性和极(最)值等离不开方程与不等式；反过来方程的根的个数、不等式的证明、不等式恒成立求参数等，又可转化为函数的单调性、极值与最值的问题，利用导数进行研究．
辨 析 感 悟
1．函数最值与不等式(方程)的关系
(1)(教材习题改编)对任意x >0，ax 2＋(3a －1)x ＋a ≥0恒成立的充要条件是a ∈⎣⎢⎡⎭
⎪⎫15，＋∞.(√) (2)(2011·辽宁卷改编)已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是(－∞，2ln 2－2]．(√)
2．关于实际应用问题
(3)实际问题中函数定义域要由实际问题的意义和函数解析式共同确定．(√)
(4)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解．(×)
(5)(2014·鹰潭模拟改编)已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单
位：万件)的函数关系式为y＝－1
3x
3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润
的年产量为9万件．(√)
[感悟·提升]
1．两个转化
一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；
二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理，如(2)．
2．两点注意
一是注意实际问题中函数定义域，由实际问题的意义和解析式共同确定，如(3)．
二是在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么可直接根据实际意义判定是最大值还是最小值，如(4)；若在开区间内有极值，则一定有最优解.
考点一导数与生活中的优化问题
【例1】(2013·重庆卷)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．
(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；
(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．
解(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元．
所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．
又根据题意得200πrh＋160πr2＝12 000π，
所以h＝1
5r(300－4r
2)，
从而V(r)＝πr2h＝π
5(300r－4r
3)．
因r>0，又由h>0可得r<53，故函数V(r)的定义域为(0,53)．
(2)因V(r)＝π
5(300r－4r
3)，故V′(r)＝
π
5(300－12r
2)，
令V′(r)＝0，解得r＝5或－5(因r＝－5不在定义域内，舍去)．
当r∈(0,5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0,5)上为增函数；
当r∈(5,53)时，V′(r)<0，故V(r)在(5,53)上为减函数．
由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8.
即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．
规律方法求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合．用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点．
【训练1】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单
位：cm)满足关系：C(x)＝k
3x＋5
(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
解(1)设隔热层厚度为x cm，由题设，
每年能源消耗费用为C(x)＝
k
3x＋5
.
再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝
40
3x＋5
.
又建造费用为C1(x)＝6x.
则隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×
40
3x＋5
＋6x
＝
800
3x＋5
＋6x(0≤x≤10)．
(2)f′(x)＝6－
2 400
(3x＋5)2
，令f′(x)＝0，
即
2 400
(3x＋5)2
＝6.解得x＝5或－
25
3(舍去)．
当0＜x＜5时，f′(x)＜0，当5＜x＜10时，f′(x)＞0，
故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋
800
15＋5
＝70.
当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元．
考点二导数在方程(函数零点)中的应用
【例2】(2013·北京卷)已知函数f(x)＝x2＋x sin x＋cos x.
(1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值；
(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围．
解由f(x)＝x2＋x sin x＋cos x，
得f′(x)＝x(2＋cos x)，
(1)∵y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切．
∴f′(a)＝a(2＋cos a)＝0且b＝f(a)，
则a＝0，b＝f(0)＝1.
(2)设g(x)＝f(x)－b＝x2＋x sin x＋cos x－b，
令g′(x)＝f′(x)－0＝x(2＋cos x)＝0，得x＝0.
当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：
x (－∞，0)0(0，＋∞)
g′(x)－0＋
g(x) 1－b
所以函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，且g(x)的最小值为g(0)＝1－b.
当1－b≥0时，即b≤1时，g(x)＝0至多有一个实根，曲线y＝f(x)与y＝1最多有一个交点，不合题意．
当1－b＜0时，即b＞1时，有g(0)＝1－b＜0，
g(2b)＝4b2＋2b sin 2b＋cos 2b－b＞4b2－2b－1－b＞4b－2b－1－b＞0.
∴y＝g(x)在(0,2b)内存在零点，
又y＝g(x)在R上是偶函数，且g(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴y＝g(x)在(0，＋∞)上有唯一零点，在(－∞，0)也有唯一零点．
故当b＞1时，y＝g(x)在R上有两个零点，则曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点．
综上可知，如果曲线y＝f(x)与直线y＝b有且只有两个不同交点，那么b的取值范围是(1，＋∞)．
规律方法(1)在解答第(2)问时，可转化为判定f(x)＝b有两个实根时实数b 应满足的条件，并注意g(x)的单调性、奇偶性、最值的灵活应用，另外也可作出函数y＝f(x)的大致图像，直观判定曲线交点个数，但应注意严谨性，进行必要的论证．
(2)该类问题的求解，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图像，根据零点或图像的交点情况，建立含参数的方程(或不等式)组求解，实现形与数的和谐统一．
【训练2】(2012·天津卷节选)已知函数f(x)＝1
3x
3＋
1－a
2x
2－ax－a，x∈R，
其中a＞0.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在区间(－2,0)内恰有两个零点，求a的取值范围．
解(1)f′(x)＝x2＋(1－a)x－a＝(x＋1)(x－a)．
由f′(x)＝0，得x＝－1或x＝a(a＞0)．
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－1)－1(－1，a) a (a，＋∞)
f′(x)＋0－0＋
f(x) 极大值 极小值
故函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－1)，(a，＋∞)；单调递减区间是(－1，
a)．
(2)由(1)知f(x)在区间(－2，－1)内单调递增，
在区间(－1，0)内单调递减，
从而函数f (x )在区间(－2,0)内恰有两个零点当且仅当⎩⎨⎧ f (－2)＜0，
f (－1)＞0，
f (0)＜0.
解得0＜
a ＜13.
所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，13. 考点三 导数在不等式中的应用
【例3】 (2014·泰安一模)已知函数f (x )＝x ln x . (1)若函数g (x )＝f (x )＋ax 在区间[e 2，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围；
(2)若对任意x ∈(0，＋∞)，f (x )≥－x 2＋mx －32
恒成立，求实数m 的最大值． 审题路线 (1)转化为g ′(x )≥0在[e 2，＋∞)上恒成立问题．
(2)代入f (x )⇒分离出m ⇒构造函数t (x )⇒求t ′(x )⇒根据单调性求t (x )的最值⇒得出m 的范围⇒得出结论．
解 (1)由题意得g ′(x )＝f ′(x )＋a ＝ln x ＋a ＋1，
∵函数g (x )在区间[e 2，＋∞)上为增函数，
∴当x ∈[e 2，＋∞)时，g ′(x )≥0，
即ln x ＋a ＋1≥0在[e 2，＋∞)上恒成立，
∴a ≥－1－ln x ，令h (x )＝－ln x －1，
当x ∈[e 2，＋∞)时，ln x ∈[2，＋∞)，
∴h (x )∈(－∞，－3]，∴a 的取值范围是[－3, ＋∞)．
(2)∵2f (x )≥－x 2＋mx －3，
即mx ≤2x ln x ＋x 2＋3，
又x ＞0，∴m ≤2x ln x ＋x 2＋3x
， 令t (x )＝2x ln x ＋x 2＋3x ＝2ln x ＋x ＋3x ，
∴t ′(x )＝2x ＋1－3x 2＝x 2＋2x －3x 2＝(x ＋3)(x －1)x 2
， 令t ′(x )＝0得x ＝1或－3(舍)．
当x ∈(0,1)时，t ′(x )＜0，t (x )在(0,1)上单调递减，
当x∈(1，＋∞)时，t′(x)＞0，t(x)在(1，＋∞)上单调递增．
t(x)min＝t(1)＝4，∴m≤t(x)min＝4，即m的最大值为4.
规律方法(1)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．
(2)由不等式的恒成立求参数问题．首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数最值问题．
【训练3】(2014·临川模拟)已知x＝2是函数f(x)＝1
3x
3－bx2＋2x＋a的一个
极值点．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若当x∈[1，＋∞)时，f(x)－2
3＞a
2恒成立，求实数a的取值范围．
解(1)∵f′(x)＝x2－2bx＋2，且x＝2是f(x)的一个极值点，∴f′(2)＝4－4b
＋2＝0，解得b＝3 2，
∴f′(x)＝x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．
由f′(x)＞0得x＞2或x＜1，
∴函数f(x)的单调增区间为(－∞，1)，(2，＋∞)；
由f′(x)＜0得1＜x＜2，
∴函数f(x)的单调减区间为(1,2)．
(2)由(1)知，函数f(x)在(1,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，∴当x＝2时，函数f(x)取得极小值也是最小值，
故f(x)min＝f(2)＝a＋2 3.
当x∈[1，＋∞)时，f(x)－2
3＞a
2恒成立等价于a2＜f(x)
min
－
2
3，即a
2－a＜0，
∴0＜a＜1.
故实数a的取值范围是(0,1)．
1．利用导数解决含有参数的单调性问题是将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．
2．在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．
3．要充分理解列表在研究函数极值过程中的重要性，以及列表的操作步骤与算法思想，能利用导数研究函数的极值与最值．
答题模板4——构建函数模型证明不等式恒成立问题
【典例】 (12分)(2013·辽宁卷)(1)证明：当x ∈[0,1]时，22x ≤sin x ≤x ；
(2)若不等式ax ＋x 2
＋x 3
2＋2(x ＋2)cos x ≤4对x ∈[0,1]恒成立，求实数a 的取值范围．
[规范解答] (1)记F (x )＝sin x －22x ，
则F ′(x )＝cos x －22.
当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4时，F ′(x )＞0，F (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，π4上是增函数； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1时，F ′(x )＜0，F (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π4，1上是减函数． 又F (0)＝0，F (1)＞0，所以当x ∈[0,1]时，F (x )≥0，
即sin x ≥22x .(3分)
记H (x )＝sin x －x ，则当x ∈(0,1)时，H ′(x )＝cos x －1＜0，
所以，H (x )在[0,1]上是减函数，则H (x )≤H (0)＝0，
即sin x ≤x . 综上，22x ≤sin x ≤x ，x ∈[0,1]．(5分)
(2)记f(x)＝ax＋x2＋x3
2＋2(x＋2)cos x－4，则
f′(x)＝a＋2x＋3x2
2＋2cos x－2(x＋2)sin x．(6分)
记G(x)＝f′(x)，则G′(x)＝2＋3x－4sin x－2(x＋2)cos x.
当x∈(0,1)时，cos x＞1
2，因此
G′(x)＜2＋3x－4·2
2x－(x＋2)＝(2－22)x＜0.
于是f′(x)在[0,1]上是减函数，因此，当x∈[0,1]时，
f′(x)＜f′(0)＝a＋2，故当a≤－2时，f′(x)＜0，从而f(x)在[0,1]上是减函
数，所以f(x)≤f(0)＝0，即当a≤－2时，不等式ax＋x2＋x3
2＋2(x＋2)cos x≤4对x
∈[0,1]恒成立．(9分)
下面证明，当a＞－2时，不等式ax＋x2＋x3
2＋2(x＋2)cos x≤4对x∈[0,1]不
恒成立．
由于f′(x)在[0,1]上是减函数，且
f′(0)＝a＋2＞0，f′(1)＝a＋7
2＋2cos 1－6sin 1.
当a≥6sin 1－2cos 1－7
2时，f′(1)≥0，所以当x∈(0,1)时，f′(x)＞0，因此
f(x)在[0,1]上是增函数，故f(1)＞f(0)＝0；当－2＜a＜6sin 1－2cos 1－7
2时，f′(1)
＜0.
又f′(0)＞0，故存在x0∈(0,1)使f′(x0)＝0，则当0＜x＜x0时，f′(x)＞f′(x0)＝0，所以f(x)在[0，x0]上是增函数，所以当x∈(0，x0)时，f(x)＞f(0)＝0.
所以当a＞－2时，不等式ax＋x2＋x3
2＋2(x＋2)cos x≤4对x∈[0,1]不恒成立．
综上，实数a的取值范围是(－∞，－2]．(12分)
[反思感悟] 利用导数知识证明不等式是导数应用的一个重要方面，也是高考的一个新热点，其关键是构造适当的函数，判断区间端点对应的函数值与0的关系，实际就是利用求导的方法去研究函数的单调性，并通过单调性证明不等式．
答题模板 运用导数证明不等式f (x )＞g (x )成立的一般步骤： 第一步：构造h (x )＝f (x )－g (x )；
第二步：求h ′(x )；
第三步：判断h (x )的单调性；
第四步：确定h (x )的最小值；
第五步：证明h (x )min ＞0成立；
第六步：得出所证结论．
【自主体验】
(2014·渭南质检)已知函数f (x )＝sin x (x ≥0)，g (x )＝ax (x ≥0)．
(1)若f (x )≤g (x )恒成立，求实数a 的取值范围；
(2)当a 取(1)中的最小值时，求证：g (x )－f (x )≤16x 3.
解 (1)令h (x )＝sin x －ax (x ≥0)，则h ′(x )＝cos x －a . ①若a ≥1，h ′(x )＝cos x －a ≤0，
h (x )＝sin x －ax (x ≥0)单调递减，h (x )≤h (0)＝0，
则sin x ≤ax (x ≥0)成立．
②若0<a <1，存在x 0∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，π2，使得cos x 0＝a ， 当x ∈(0，x 0)，h ′(x )＝cos x －a >0，h (x )＝sin x －ax (x ∈(0，x 0))单调递增，h (x )>h (0)＝0，不合题意．
③当a ≤0，结合f (x )与g (x )的图像可知显然不合题意． 综上可知，a ≥1.
(2)当a 取(1)中的最小值为1时，
g (x )－f (x )＝x －sin x .
设H (x )＝x －sin x －16x 3(x ≥0)，
则H ′(x )＝1－cos x －12x 2.
令G (x )＝1－cos x －12x 2，
则G ′(x )＝sin x －x ≤0(x ≥0)，
所以G (x )＝1－cos x －12x 2在[0，＋∞)上单调递减，此时G (x )＝1－cos x －1
2x 2≤G (0)＝0，
即H ′(x )＝1－cos x －1
2x 2≤0，
所以H (x )＝x －sin x －1
6x 3在x ∈[0，＋∞)上单调递减． 所以H (x )＝x －sin x －1
6x 3≤H (0)＝0， 则x －sin x ≤1
6x 3(x ≥0)．
所以，当a 取(1)中的最小值时，g (x )－f (x )≤16x 3
.
基础巩固题组 (建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( )．
A ．(－1,2)
B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞)
C ．(－3,6)
D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
2．已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋ln x 是单调递增函数，则m 的取值范围是( )． A ．(－22，＋∞) B ．[－22，＋∞) C ．(－∞，22)
D ．(－∞，22]
3．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R 与年产量x 的年关系是R ＝R (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
400x －12x 2(0≤x ≤400)，80 000(x ＞400)，
则总利润最大时，每年生产的产品是( )．
A ．100
B ．150
C ．200
D ．300
4．若关于x 的不等式x 3－3x 2－9x ＋2≥m 对任意x ∈[－2,2]恒成立，则m 的
取值范围是( )．
A ．(－∞，7]
B ．(－∞，－20]
C ．(－∞，0]
D ．[－12,7]
5．(2013·潍坊模拟)已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，不等式f (x )＋xf ′(x )<0成立，若a ＝30.3
f (30.3
)，b ＝(log π3)f (log π3)，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 319f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫log 319，
则a ，b ，c 间的大小关系是( )．
A ．a >b >c
B ．c >b >a
C ．c >a >b
D ．a >c >b
二、填空题
6．要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72 cm 3，其底面两邻边长之比为1∶2，则它的长为________，宽为________，高为________时，可使表面积最小．
7．(2013·江西九校联考)已知函数f (x )的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表：
x －1 0 2 4 5 y
1
2
2
1
f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图像如图所示．
(1)f (x )的极小值为________；
(2)若函数y ＝f (x )－a 有4个零点，则实数a 的取值范围是________． 8．(2014·延安模拟)已知函数f (x )＝ax 3－3x ＋1对x ∈(0,1]总有f (x )≥0成立，则实数a 的取值范围是________ .
三、解答题
9．设函数f (x )＝1
2x 2＋e x －x e x . (1)求f (x )的单调区间；
(2)若当x ∈[－2,2]时，不等式f (x )＞m 恒成立，求实数m 的取值范围． 10．(2014·青岛一模)设函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax ＋b
x ，函数f (x )的图像与x 轴
的交点也在函数g(x)的图像上，且在此点有公切线．
(1)求a，b的值；
(2)试比较f(x)与g(x)的大小．
能力提升题组
(建议用时：25分钟)
一、选择题
1．(2014·洛阳统考)若函数f(x)＝2x3－9x2＋12x－a恰好有两个不同的零点，则a可能的值为()．
A．4B．6
C．7D．8
2．(2014·高安中学模拟)已知对任意实数x，都有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x＞0时，f′(x)＞0，g′(x)＞0，则x＜0时()．
A．f′(x)＞0，g′(x)＞0B．f′(x)＞0，g′(x)＜0
C．f′(x)＜0，g′(x)＞0D．f′(x)＜0，g′(x)＜0
二、填空题
3．(2014·南昌模拟)设0＜a≤1，函数f(x)＝x＋a2
x，g(x)＝x－ln x，若对任意
的x1，x2∈[1，e]，都有f(x1)≥g(x2)成立，则实数a的取值范围是________．
三、解答题
4．已知函数f(x)＝ax3－3
2(a＋2)x
2＋6x－3.
(1)当a＞2时，求函数f(x)的极小值；
(2)试讨论函数y＝f(x)的图像与x轴公共点的个数．
能力提升练——导数及其应用
(建议用时：90分钟) 一、选择题
1．(2014·新余模拟)若曲线f(x)＝x sin x＋1在x＝π
2处的切线与直线ax＋2y＋1
＝0互相垂直，则实数a的值为()．A．－2B．－1
C ．1
D ．2
2．(2014·上高二中模拟)曲线y ＝e x 在点A 处的切线与直线x －y ＋3＝0平行，则点A 的坐标为( )．
A ．(－1，e －1)
B ．(0,1)
C ．(1，e)
D ．(0,2)
3．(2014·山东省实验中学诊断)曲线y ＝13x 3＋x 在点⎝ ⎛
⎭⎪⎫1，43处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )．
A ．2
9 B ．19 C ．13
D ．23
4．(2014·长安一中模拟)函数f (x )＝x ＋1
x 的单调递减区间是( )． A ．(－1,1) B ．(－1,0)∪(0,1)
C ．(－1,0)，(0,1)
D ．(－∞，－1)，(1，＋∞)
5．设函数g (x )＝x (x 2－1)，则g (x )在区间[0,1]上的最小值为( )． A ．－1 B ．0 C ．－239
D ．33
6．(2014·宜春模拟)函数y ＝x
3＋sin x 的图像大致是( )．
7．(2014·金溪一中模拟)已知函数f (x )＝sin x －12x (x ∈[0，π])，那么下列结论正确的是( )．
A ．f (x )在⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，π2上是增函数
B ．f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π6，π上是减函数
C ．存在x ∈[0，π]，f (x )>f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π3
D ．任意x ∈[0，π]，f (x )≤f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π3
8．(2014·汉中模拟)若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )．
A ．[1，＋∞)
B ．⎣⎢⎡
⎭⎪⎫1，32
C ．[1,2)
D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2
9．(2014·青岛一模)已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx 的图像如图所示，则x 2
1＋x 22等
于( )．
A ．23
B ．43
C ．83
D ．163
10．(2013·湖北卷)已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是( )．
A ．(－∞，0)
B ．(0，1
2) C ．(0,1) D ．(0，＋∞)
二、填空题
11．若函数f (x )＝x 2＋a x ＋1
在x ＝1处取极值，则a ＝________.
12．(2014·白鹭洲中学模拟)f (x )＝12x －14sin x －3
4cos x 的图像在点A (x 0，f (x 0))处的切线斜率为1
2，则tan 2x 0的值为________．
13．(2014·扬州模拟)已知函数f (x )＝ln x －m
x (m ∈R )在区间[1，e]上取得最小值4，则m ＝________.
14．(2014·镇安中学模拟)已知f (x )＝x e x ，g (x )＝－(x ＋1)2＋a ，若存在x 1，x 2∈R ，使得f (x 2)≤g (x 1)成立，则实数a 的取值范围是________ .
三、解答题
15．(2013·广东卷改编)设函数f (x )＝(x －1)e x －kx 2. (1)当k ＝1时，求函数f (x )的单调区间；
(2)若f (x )在x ∈[0，＋∞)上是增函数，求实数k 的取值范围．
16．(2014·江西九校联考)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2－3x 在x ＝±1处取得极值． (1)求函数f (x )的解析式；
(2)若过点A (1，m )(m ≠－2)可作曲线y ＝f (x )的三条切线，求实数m 的取值范围．
17．(2014·西工大附中模拟)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品须向总公司缴纳a 元(a 为常数，2≤a ≤5)的管理费，根据多年的统计经验，预计当每件产品的售价为x 元时，产品一年的销售量为k
e x (e 为自然对数的底数)万件，已知每件产品的售价为40元时，该产品一年的销售量为500万件．经物价部门核定每件产品的售价x 最低不低于35元，最高不超过41元．
(1)求分公司经营该产品一年的利润L (x )万元与每件产品的售价x 元的函数关系式；
(2)当每件产品的售价为多少元时，该产品一年的利润L (x )最大，并求出L (x )的最大值．
参考公式：(e ax ＋b )′＝a e ax ＋b (a ，b 为常数)．
18．(2014·临川二中模拟)已知函数f (x )＝2
x ＋a ln x －2(a >0)．
(1)若对于任意x ∈(0，＋∞)都有f (x )>2(a －1)成立，试求a 的取值范围； (2)记g (x )＝f (x )＋x －b (b ∈R )，当a ＝1时，函数g (x )在区间[e －1，e]上有两个零点，求实数b 的取值范围．
解 (1)f ′(x )＝－2x 2＋a x ＝ax －2x 2. 由f ′(x )>0，解得x >2
a ； 由f ′(x )<0，解得0<x <2
a .
所以f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，＋∞上单调递增，在区间⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，2a 上单调递减．
所以当x ＝2a 时，函数f (x )取得最小值，y min ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2a .
因为对于任意x ∈(0，＋∞)都有f (x )>2(a －1)成立， 所以只需满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2a >2(a －1)即可．
则22a
＋a ln 2a －2>2(a －1)，即a ln 2a >a . 由a ln 2a >a ，解得0<a <2e .所以a 的取值范围是⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，2e .
(2)依题意得g (x )＝2
x ＋ln x ＋x －2－b ，其定义域为(0，＋∞)．则g ′(x )＝x 2＋x －2
x 2.由g ′(x )>0解得x >1；
由g ′(x )<0解得0<x <1.
所以函数g (x )在区间(0,1)上为减函数，在区间(1，＋∞)上为增函数．又因为函数g (x )在区间[e －1，e]上有两个零点，
所以⎩⎨⎧
g (e －1)≥0，
g (e )≥0，
g (1)<0，
解得1<b ≤2
e ＋e －1，
所以b 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤
1，2e ＋e －1.
古人相马不相皮，瘦马虽瘦骨法奇；世无伯乐良可嗤，千金市马惟市肥。

——欧阳修。