2018江苏苏锡常镇四市高三调研(一)数学试题及答案

2018江苏苏锡常镇四市高三调研(一)数学试题及答案2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅰ试题一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题．．卡相应位置上．．．．．．. 1.已知集合{1,1}A =-，{3,0,1}B =-，则集合A B =I ．2.已知复数z 满足34z i i ⋅=-（i 为虚数单位），则z =．3.双曲线22143x y -=的渐近线方程为 ．4.某中学共有1800人，其中高二年级的人数为600.现用分层抽样的方法在全校抽取n 人，其中高二年级被抽取的人数为21，则n = ．5.将一颗质地均匀的正四面体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4）先后抛掷2次，观察其朝下一面的数字，则两次数字之和等于6的概率为 ．6.如图是一个算法的流程图，则输出S 的值是 ．7.若正四棱锥的底面边长为2cm ，侧面积为28cm ，则它的体积为 3cm ．8.设nS 是等差数列{}na 的前n 项和，若242aa +=，241S S +=，则10a = ．9.已知0a >，0b >，且23aba b+=，则ab 的最小值是 ．10.设三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b，c ，已知tan 3tan A c bB b-=，则cos A = ． 11.已知函数,1()4,1x a e x f x x x x ⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩（e 是自然对数的底）.若函数()y f x =的最小值是4，则实数a 的取值范围为 ．12.在ABC ∆中，点P 是边AB 的中点，已知3CP =u u u r4CA =u u u r ，23ACB π∠=，则CP CA ⋅=u u u r u u u r ．13.已知直线l ：20x y -+=与x 轴交于点A ，点P 在直线l 上，圆C ：22(2)2x y -+=上有且仅有一个点B 满足AB BP⊥，则点P 的横坐标的取值集合为 ． 14.若二次函数2()f x axbx c =++(0)a >在区间[1,2]上有两个不同的零点，则(1)f a 的取值范围为 ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量(2sin ,1)a α=r，(1,sin())4b πα=+r .（1）若角α的终边过点(3,4)，求a b ⋅的值； （2）若//a b ，求锐角α的大小.16.如图，正三棱柱111ABC A B C -的高为6，其底面边长为2.已知点M ，N 分别是棱11A C ，AC 的中点，点D是棱1CC 上靠近C 的三等分点.求证：（1）1//B M 平面1A BN ；（2）AD ⊥平面1A BN .17.已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>经过点1(3,)2，3(1,)2，点A 是椭圆的下顶点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点A 且互相垂直的两直线1l ，2l 与直线y x =分别相交于E ，F 两点，已知OE OF =，求直线1l 的斜率.18.如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB 为6，O 是圆心，且OC AB ⊥.在OC 上有一座观赏亭Q ，其中23AQC π∠=.计划在BC 上再建一座观赏亭P ，记(0)2POB πθθ∠=<<.（1）当3πθ=时，求OPQ ∠的大小； （2）当OPQ ∠越大，游客在观赏亭P 处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭P 处的观赏效果最佳时，角θ的正弦值. 19.已知函数32()f x x ax bx c=+++，()ln g x x =.（1）若0a =，2b =-，且()()f x g x ≥恒成立，求实数c 的取值范围；（2）若3b =-，且函数()y f x =在区间(1,1)-上是单调递减函数.①求实数a 的值； ②当2c =时，求函数(),()()()(),()()f x f xg xh x g x f x g x ≥⎧=⎨<⎩的值域. 20.已知nS 是数列{}na 的前n 项和，13a=，且123n n S a +=-*()n N ∈.（1）求数列{}na 的通项公式；（2）对于正整数i ，j ，()k i j k <<，已知ja λ，6i a ，kaμ成等差数列，求正整数λ，μ的值；（3）设数列{}nb 前n 项和是nT ，且满足：对任意的正整数n ，都有等式12132nn n a b a b a b --++113n n a b ++⋅⋅⋅+=33n --成立.求满足等式13n nTa=的所有正整数n .2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A. 选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过点D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点C ，且满足DA DC =.（1）求证：2AB BC =； （2）若2AB =，求线段CD 的长. B. 选修4-2：矩阵与变换已知矩阵4001A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1205B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，列向量a X b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.（1）求矩阵AB ； （2）若1151B A X --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求a ，b 的值.C. 选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知圆C 经过点(22,)4P π，圆心为直线sin()33πρθ-=-C 的极坐标方程.D. 选修4-5：不等式选讲已知x ，y 都是正数，且1xy =，求证：22(1)(1)9x y y x ++++≥. 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PD垂直于底面ABCD ，2PD AD AB ==，点Q 为线段PA （不含端点）上一点.（1）当Q 是线段PA 的中点时，求CQ 与平面PBD 所成角的正弦值；（2）已知二面角Q BD P --的正弦值为23，求PQPA的值. 23.在含有n 个元素的集合{1,2,,}nAn =⋅⋅⋅中，若这n 个元素的一个排列（1a ，2a ，…，na ）满足(1,2,,)ia i i n ≠=⋅⋅⋅，则称这个排列为集合nA 的一个错位排列（例如：对于集合3{1,2,3}A=，排列(2,3,1)是3A 的一个错位排列；排列(1,3,2)不是3A 的一个错位排列）.记集合nA 的所有错位排列的个数为nD .（1）直接写出1D ，2D ，3D ，4D 的值；（2）当3n ≥时，试用2n D -，1n D -表示nD ，并说明理由；（3）试用数学归纳法证明：*2()nDn N ∈为奇数.2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅰ试题参考答案一、填空题1. {1}2. 53. 32y x =±4. 635. 3166. 2543 8. 8 9. 261311. 4a e ≥+ 12. 6 13. 1,53⎧⎫⎨⎬⎩⎭14. [0,1)二、解答题15.解：（1）由题意4sin 5α=，3cos 5α=，所以2sin()4a b a πα⋅=++2sin cos 4παα=+cos sin4πα+4242552=+⨯3232522+⨯=.（2）因为//a b 2sin()14a πα+=，即2α(sin coscos sin )144ππαα+=，所以2sin sin cos 1ααα+=，则2sin cos 1sin ααα=-2cos α=，对锐角α有cos 0α≠，所以tan 1α=，所以锐角4πα=.16.证明：（1）连结MN ，正三棱柱111ABC A B C -中，11//AA CC 且11AA CC =，则四边形11AAC C 是平行四边形，因为点M、N 分别是棱11A C ，AC 的中点，所以1//MN AA 且1MN AA =，又正三棱柱111ABC A B C -中11//AA BB 且11AA BB =，所以1//MN BB且1MN BB =，所以四边形1MNBB 是平行四边形，所以1//B M BN，又1B M ⊄平面1A BN ，BN ⊂平面1A BN ，所以1//B M 平面1A BN ；（2）正三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，BN ⊂平面ABC ，所以1BN AA ⊥，正ABC ∆中，N 是AB 的中点，所以BN AC ⊥，又1AA 、AC ⊂平面11AAC C ，1AA AC A=I，所以BN ⊥平面11AAC C ，又AD ⊂平面11AAC C ， 所以AD BN ⊥，由题意，16AA =2AC =，1AN =，63CD =，所以132AA ANAC CD ==又12A AN ACD π∠=∠=，所以1A AN ∆与ACD ∆相似，则1AA N CAD∠=∠，所以1ANA CAD ∠+∠112ANA AA N π=∠+∠=， 则1AD A N ⊥，又1BN A N N=I，BN ，1A N ⊂平面1A BN ，所以AD ⊥平面1A BN . 17.解：（1）由题意得222231141314a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2211411a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=；（2）由题意知(0,1)A -，直线1l ，2l 的斜率存在且不为零，设直线1l ：11y k x =-，与直线y x =联立方程有11y k x y x=-⎧⎨=⎩，得1111(,)11E k k --，设直线2l ：111y x k =--，同理1111(,)1111F k k ----，因为OE OF =，所以1111||||111k k =---，①1111111k k =---，1110k k +=无实数解；②1111111k k =---，1112k k -=，211210kk --=，解得112k=综上可得，直线1l 的斜率为1218.解：（1）设OPQ α∠=，由题，Rt OAQ ∆中，3OA =，AQO AQC π∠=-∠233πππ=-=，所以3OQ =OPQ ∆中，3OP =，2POQ πθ∠=-236πππ=-=， 由正弦定理得sin sin OQ OPOPQ OQP=∠∠， 即33sin sin()6παπα=--3sin()6παπα=--5sin()6πα=-，53sincos 6παα=5cos sin 6πα-13cos 22αα=+，所以3cos αα=，因为α为锐角，所以cos 0α≠，所以3tan 3α=，得6πα=； （2）设OPQ α∠=，在OPQ ∆中，3OP =，2POQ πθ∠=-236πππ=-=， 由正弦定理得sin sin OQ OPOPQ OQP=∠∠，即33sin(())2ππαθ=---，所以3sin(())2παπαθ=---sin(())2παθ=--cos()αθ=-cos cos sin sin αθαθ=+，从而3sin )sin θαcos cos αθ=3sin 0θ≠，cos 0α≠，所以tan 3sin αθ=-，记()3sin f θθ=-，213sin '()(3sin )f θθθ-=-(0,)2πθ∈； 令'()0f θ=，3sin 3θ=，存在唯一0(0,)2πθ∈使得03sin 3θ=，当0(0,)θθ∈时'()0f θ>，()f θ单调增，当0(,)2πθθ∈时'()0f θ<，()f θ单调减，所以当0θθ=时，()f θ最大，即tan OPQ ∠最大， 又OPQ ∠为锐角，从而OPQ ∠最大，此时3sin 3θ=. 答：观赏效果达到最佳时，θ的正弦值为33.19.解：（1）函数()y g x =的定义域为(0,)+∞.当0a =，2b =-，3()2f x xx c=-+，∵()()f x g x ≥恒成立，∴32ln xx c x-+≥恒成立，即3ln 2c x x x≥-+.令3()ln 2x x xxϕ=-+，则21'()32x x xϕ=-+3123x x x +-=2(1)(133)x x x x -++=，令'()0x ϕ≥，得1x ≤，∴()x ϕ在(0,1]上单调递增， 令'()0x ϕ≤，得1x ≥，∴()x ϕ在[1,)+∞上单调递减，∴当1x =时，max[()](1)1x ϕϕ==.∴1c ≥.（2）①当3b =-时，32()3f x x ax x c=+-+，2'()323f x xax =+-.由题意，2'()3230f x xax =+-≤对(1,1)x ∈-恒成立，∴'(1)3230'(1)3230f a f a =+-≤⎧⎨-=--≤⎩，∴0a =，即实数a 的值为0. ②函数()y h x =的定义域为(0,)+∞. 当0a =，3b =-，2c =时，3()32f x xx =-+.2'()33f x x =-，令2'()330f x x=-=，得1x =.x(0,1)1(1,)+∞'()f x - 0+ ()f x]极小值0Z∴当(0,1)x ∈时，()0f x >，当1x =时，()0f x =，当(1,)x ∈+∞时，()0f x >.对于()ln g x x =，当(0,1)x ∈时，()0g x <，当1x =时，()0g x =，当(1,)x ∈+∞时，()0g x >.∴当(0,1)x ∈时，()()0h x f x =>，当1x =时，()0h x =，当(1,)x ∈+∞时，()0h x >.故函数()y h x =的值域为[0,)+∞. 20.解：（1）由123nn S a +=-*()n N ∈得1223n n Sa ++=-，两式作差得1212n n n aa a +++=-，即213n n aa ++=*()n N ∈. 13a =，21239aS =+=，所以13n n aa +=*()n N ∈，0na≠，则13n na a +=*()n N ∈，所以数列{}na 是首项为3公比为3的等比数列， 所以3n na=*()n N ∈；（2）由题意26jk ia a a λϕ+=⋅，即33263jk iλμ+=⋅⋅，所以3312j ik i λμ--+=，其中1j i -≥，2k i -≥，所以333j iλλ-≥≥，399k iμμ-≥≥，123312j i k i λμ--=+≥，所以1j i -=，2k i -=，1λμ==；（3）由12132nn n a ba b a b --++113n n a b ++⋅⋅⋅+=33n --得， 11231n n n a b a b a b +-++211n n a b a b ++⋅⋅⋅++233(1)3n n +=-+-，111213(n n n a b a b a b +-++121)n n a b a b -+⋅⋅⋅++233(1)3n n +=-+-，1113(333)n n a b n +++--233(1)3n n +=-+-，所以21333(1)n n b n ++=-+133(333)n n +----，即1363n bn +=+，所以121n b n +=+*()n N ∈，又因为111133133a b +=-⋅-=，得11b =，所以21nbn =-*()n N ∈， 从而135(21)n T n =+++⋅⋅⋅+-21212n n n +-==*()n N ∈，2*()3n n n T n n N a =∈，当1n =时1113Ta=；当2n =时2249Ta=；当3n =时3313Ta=；下面证明：对任意正整数3n >都有13n nTa<，11n n n n T T a a ++-121(1)3n n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭121133n n n +⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1221((1)3)3n n n +⎛⎫+-= ⎪⎝⎭2(221)n n -++，当3n ≥时，22221(1)nn n -++=-(2)0n n +-<，即110n nn nTT aa ++-<，所以当3n ≥时，n nT a递减，所以对任意正整数3n >都有3313n nTT aa <=；综上可得，满足等式13n nTa=的正整数n 的值为1和3.2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅱ（附加题）参考答案21.【选做题】A. 选修4-1：几何证明选讲证明：（1）连接OD ，BD .因为AB 是圆O 的直径，所以90ADB ∠=o，2AB OB =.因为CD 是圆O 的切线，所以90CDO ∠=o，又因为DA DC =，所以A C ∠=∠， 于是ADB CDO ∆≅∆，得到AB CO =， 所以AO BC =，从而2AB BC =.（2）解：由2AB =及2AB BC =得到1CB =，3CA =.由切割线定理，2133CDCB CA =⋅=⨯=，所以3CD =B. 选修4-2：矩阵与变换解：（1）401248010505AB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦；（2）由1151BA X --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，解得51X AB ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦485280515⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，又因为a X b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以28a =，5b =.C. 选修4-4：坐标系与参数方程 解：在sin()33πρθ-=-0θ=，得2ρ=， 所以圆C 的圆心的极坐标为(2,0). 因为圆C 的半径PC 22(22)22222cos24π=+-⨯⨯⨯=，于是圆C 过极点，所以圆的极坐标方程为4cos ρθ=. D. 选修4-5：不等式选讲 证明：因为x ，y 都是正数， 所以223130x yxy ++≥>，223130y xyx ++≥>，22(1)(1)9x y y x xy++++≥，又因为1xy =，所以22(1)(1)9x y y x ++++≥.【必做题】22.解：（1）以D 为原点，DA ，DC ，DP 为坐标轴，建立如图所示空间直角坐标系；设AB t =，则(0,0,0)D ，(2,0,0)A t ，(2,,0)B t t ，(0,,0)C t ，(0,0,2)P t ，(,0,)Q t t ；所以(,,)CQ t t t =-u u u r，(2,,0)DB t t =u u u r，(0,0,2)DP t =u u u r，设平面PBD 的法向量1(,,)n x y z =u r ，则110DB n DP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u r u u ur u r ，即2020tx ty tz +=⎧⎨=⎩，解得200x y z +=⎧⎨=⎩，所以平面PBD 的一个法向量1(1,2,0)n =-u r，111cos ,n CQ n CQ n CQ⋅<>=u r u u u ru r u u u r u r u u u r 53t =⨯15=，则CQ 与平面PBD 所成角的正弦值为155.（2）由（1）知平面PBD 的一个法向量为1(1,2,0)n =-u r，设(01)PQPAλλ=<<，则PQ PAλ=u u u r u u u r ，DQ DP PQ =+u u u r u u u r u u u r (0,0,2)(2,0,2)t t t λ=+-(2,0,2(1))t t λλ=-，(2,,0)DB t t =u u u r ，设平面QBD 的法向量2(,,)n x y z =u u r ，则220DQ n DB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u r u u ur u u r ，即22(1)020t x t z tx ty λλ+-=⎧⎨+=⎩，解得(1)020x z x y λλ+-=⎧⎨+=⎩，所以平面QBD 的一个法向量2(1,22,)n λλλ=---u u r，由题意得21221()cos ,3n n -=<>u r u u r 1212n n n n ⋅=u r u u ru r u u r 2225(1)5(1)(22)()λλλλ-=-+-+-，所以2255(1)96105λλλ-=-+，即2(2)()03λλ--=， 因为01λ<<，所以23λ=，则23PQ PA =. 23. 解：（1）10D =，21D=，32D =， 49D =，（2）12(1)()nn n Dn D D --=-+，理由如下：对nA 的元素的一个错位排列（1a ，2a ，…，na ），若1(1)a k k =≠，分以下两类：若1ka=，这种排列是2n -个元素的错位排列，共有2n D -个；若1ka≠，这种错位排列就是将1，2，…，1k -，1k +，…，n排列到第2到第n 个位置上，1不在第k 个位置，其他元素也不在原先的位置，这种排列相当于1n -个元素的错位排列，共有1n D -个；根据k 的不同的取值，由加法原理得到12(1)()n n n D n D D --=-+；（3）根据（2）的递推关系及（1）的结论，nD 均为自然数；当3n ≥，且n 为奇数时，1n -为偶数，从而12(1)()n n n D n D D --=-+为偶数，又10D =也是偶数，故对任意正奇数n ，有nD 均为偶数.下面用数学归纳法证明2nD （其中*n N ∈）为奇数.当1n =时，21D =为奇数；假设当n k =时，结论成立，即2kD 是奇数，则当1n k =+时，2(1)212(21)()k k k Dk D D ++=++，注意到21k D +为偶数，又2kD 是奇数，所以212k kDD ++为奇数，又21k +为奇数，所以2(1)212(21)()k k k D k D D ++=++，即结论对1n k =+也成立；根据前面所述，对任意*n N ∈，都有2nD 为奇数.。