2018江苏苏锡常镇四市高三调研(一)数学试题及答案
江苏省苏州、无锡、常州、镇江四市2018届高三下学期教学情况调研(一)数学
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·1·2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)数学Ⅰ试题一、填空题:本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应.....位置上....1.已知集合{1,1}A ,{3,0,1}B,则集合A B .2.已知复数z 满足34z i i (i 为虚数单位),则z.3.双曲线22143x y 的渐近线方程为.4.某中学共有1800人,其中高二年级的人数为600.现用分层抽样的方法在全校抽取n 人,其中高二年级被抽取的人数为21,则n .5.将一颗质地均匀的正四面体骰子(每个面上分别写有数字1,2,3,4)先后抛掷2次,观察其朝下一面的数字,则两次数字之和等于6的概率为.6.如图是一个算法的流程图,则输出S 的值是.7.若正四棱锥的底面边长为2cm ,侧面积为28cm ,则它的体积为3cm .8.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若242a a ,241S S ,则10a .9.已知0a ,0b ,且23ab a b ,则ab 的最小值是.10.设三角形ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知tan 3tan A c b B b ,则cos A .·2·11.已知函数,1()4,1x ae xf x x x x (e 是自然对数的底).若函数()y f x 的最小值是4,则实数a 的取值范围为.12.在ABC 中,点P 是边AB 的中点,已知3CP ,4CA ,23ACB ,则CP CA .13.已知直线l :20xy 与x 轴交于点A ,点P 在直线l 上,圆C :22(2)2x y 上有且仅有一个点B 满足ABBP ,则点P 的横坐标的取值集合为.14.若二次函数2()f x ax bx c (0)a 在区间[1,2]上有两个不同的零点,则(1)f a 的取值范围为.二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域.......内作答,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知向量(2sin ,1)a,(1,sin())4b . (1)若角的终边过点(3,4),求a b 的值;(2)若//a b ,求锐角的大小. 16.如图,正三棱柱111ABC A B C 的高为6,其底面边长为2.已知点M ,N 分别是棱11AC ,AC 的中点,点D 是棱1CC 上靠近C 的三等分点.求证:(1)1//B M 平面1A BN ;(2)AD 平面1A BN .。
江苏省苏锡常镇四市2018届高三教学情况调研(一)(解析版)
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江苏省苏锡常镇四市2018届高三教学情况调研单项选择题:1.下列各式属于定义式的是A. 加速度a =F mB. 电动势E n t ∆Φ=∆C. 电容4S C kd επ=D. 磁感应强度F B IL= 【答案】D【解析】 F a m=是牛顿第二定律的表达式,不是加速度的定义式,故A 错误.电动势E n t ∆Φ=∆是法拉第电磁感应定律的表达式,不是定义式,选项B 错误;电容4S C kdεπ= 是电容的量度公式,是定义式,选项C 错误;磁感应强度F B IL =是磁感应强度的定义式,采用比值法定义,故D 正确.故选D.2.如图所示为从静止开始做直线运动的物体的加速度—时间图象,关于物体的运动下列说法正确的是( )A. 物体在t =6 s 时,速度为0B. 物体在t =6 s 时,速度为18 m/sC. 物体运动前6 s 的平均速度为9 m/sD. 物体运动前6 s 的位移为18 m【答案】B【解析】物体在t =6s 时,速度为1v 66/18/2at m s m s ==⨯⨯=,选项B 正确,A 错误;因物体做变加速运动,无法求解前6s 的位移和平均速度,故选B.3.高空滑索是勇敢者的运动.如图所示一个人用轻绳通过轻质滑环悬吊在足够长的倾斜钢索上运动(设钢索是直的),下滑过程中到达图中A 位置时轻绳与竖直线有夹角,到达图中B 位置时轻绳竖直向下.不计空气阻力,下列说法正确的是A. 在A位置时,人的加速度可能为零B. 在A位置时,钢索对轻绳的作用力可能小于人的重力C. 在B位置时,钢索对轻环的摩擦力为零D. 若轻环在B位置突然被卡住,则此时轻绳对人的拉力等于人的重力【答案】B【解析】在A位置时,人受到重力和线的拉力,合力沿斜面向下,不为零,则加速度不可能为零;拉力T=mgtanθ,当θ<450时,T<mg,故A错误,B正确;在B位置时,细绳的拉力竖直,则人匀速下滑,此时钢索对轻环的摩擦力等于重力的分力mgsinθ,选项C错误;若轻环在B位置突然被卡住,则此时人将做圆周运动,根据T-mg=m2vL可知,轻绳对人的拉力大于人的重力,选项D错误;故选B.4.一带电粒子在电场中仅受静电力作用,做初速度为零的直线运动,取该直线为x轴,起始点O为坐标原点,其电势能E p与位移x的关系如图所示,下列图象中合理的是【答案】D【解析】粒子仅受电场力作用,做初速度为零的加速直线运动,电场力做功等于电势能的减小量,故:F P E x=,即pE x ﹣图象上某点的切线的斜率表示电场力; A 、pE x ﹣ 图象上某点的切线的斜率表示电场力,故电场力逐渐减小,根据EF q=,故电场强度也逐渐减小,A 错误; B 、根据动能定理,有:k F?x E =,故kE x ﹣图线上某点切线的斜率表示电场力;由于电场力逐渐减小,与B 图矛盾,B 错误;C 、按照C 图,速度随着位移均匀增加,根据公式2202v v ax -=,匀变速直线运动的2x v ﹣图象是直线,题图v x ﹣图象是直线;相同位移速度增加量相等,又是加速运动,故增加相等的速度需要的时间逐渐减小,故加速度逐渐增加;而电场力减小导致加速度减小;故矛盾,C 错误;D 、粒子做加速度减小的加速运动,D 正确;故选D 。
2018年苏锡常镇四市一模试题和答案
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2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)化学可能用到的相对原子质量:H-1 C一12 N-14 0—16 S-32Na-23 Mg-24 A1-27 Fe-56 Cu-64 2n-65选择题单项选择题:本题包括10小题,每小题2分,共计20分。
每小题只有一个选项符合题意。
1.每年3月22日为“世界水日”。
下列有关“废水”的处理正确的是A.工业废水无需处理,直接用于农业灌溉B.废水经氯气消毒后,即可安全再利用C.寻找方式来减少和再利用废水可节约水资源D.收集和处理废水,弊大于利2.下列有关化学用语的表示,正确的是A.氨基(-NH2)的电子式:B.钾离子的结构示意图:C.二氧化碳分子的比例模型:D.碳酸电离的方程式:3.下列有关物质性质与用途具有对应关系的是A.晶体硅熔点高硬度大,可用于制造半导体材料B碳酸钠溶液显碱性,可用于除去金属器件表面的油脂C.碳酸氢钠能与碱反应,可用作焙制糕点的膨松剂D.明矾溶于水能形成胶体,可用于自来水的杀菌消毒4.实验室制各氨气、收集、验证其还原性并进行尾气处理的装置和原理能达到实验目的的是A.用装置甲制取氨气B.用装置乙收集氨气时气体应该从a口进b口出C.装置丙中黑色固体变成红色时还原产物一定为铜D.可以用装置丁吸收氨气,进行尾气处理5.短周期主族元素X、Y、Z、W原子序数依次增大,其中X、Y处于同一周期且相邻,Z元素的原子在短周期中原子半径最大,W是地壳中含量最多的金属元素。
下列说法正确的是A.原子半径:r(X)<r(Y)<r(W)<r(Z)B.Z和X组成的化合物中一定不含共价键C.W的单质还原性比Z的强D.Y、Z、W三种元素组成的化合物可能是Z3WY66.下列指定反应的离子方程式正确的是A.石灰水中加入过量小苏打溶液:B.将铜丝插入足量浓硝酸中:C.将SO2通入少量氨水中:D.用双氧水从酸化的海带灰浸出液中提取碘:7.在给定的条件下,下列选项所示的物质间转化均能实现的是8.电石(主要成分为CaC2)是重要的基本化工原料。
江苏省苏锡常镇四市2018届高三教学情况调研(一)(3月)数学试题 (11)
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【题文】如图,正三棱柱ABC -A 1B 1C 1,其底面边长为2.已知点M ,N 分别是棱A 1C 1,AC 的中点,点D 是棱CC 1上靠近C 的三等分点.求证:(1)B 1M ∥平面A 1BN ;(2)AD ⊥平面A 1BN .【答案】证明:(1)连结MN ,正三棱柱111ABC A B C -中,11//AA CC 且11AA CC =,则四边形11AAC C 是平行四边形,因为点M 、N 分别是棱11A C ,AC 的中点,所以1//MN AA 且1MN AA =,又正三棱柱111ABC A B C -中11//AA BB 且11AA BB =,所以1//MN BB 且1MN BB =,所以四边形1MNBB 是平行四边形,所以1//B M BN ,又1B M ⊄平面1A BN ,BN ⊂平面1A BN ,所以1//B M 平面1A BN ;(2)正三棱柱111ABC A B C -中,1AA ⊥平面ABC ,BN ⊂平面ABC ,所以1BN AA ⊥,正ABC ∆中,N 是AB 的中点,所以BN AC ⊥,又1AA 、AC ⊂平面11AAC C ,1AA AC A =,所以BN ⊥平面11AAC C ,又AD ⊂平面11AAC C ,所以AD BN ⊥,由题意,1AA =,2AC =,1AN =,3CD =,所以1AA AN AC CD == 又12A AN ACD π∠=∠=,所以1A AN ∆与ACD ∆相似,则1AA N CAD ∠=∠,所以1ANA CAD ∠+∠112ANA AA N π=∠+∠=, 则1AD A N ⊥,又1BNA N N =,BN ,1A N ⊂平面1A BN ,所以AD ⊥平面1A BN .【解析】 【标题】江苏省苏锡常镇四市2018届高三教学情况调研(一)(3月)数学试题【结束】。
高三数学-2018年苏、锡、常、镇四市高三情况调查测试
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苏、锡、常、镇四市2018年高三教学情况调查测试数学试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
共150分,考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)参考公式一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.请把所选项前的字母填在题后括号内. 1.直线032=+-y x 的倾斜角所在的区间是( )A .)4,0(πB .)2,4(ππ C .)43,2(ππ D .),43(ππ 2.不等式0)12(|1|≥-+x x 的解集为( )A .}21|{≥x xB .}211|{≥-≤x x x 或C .}211|{≥-=x x x 或D .}211|{≤≤-x x3.已知θ是锐角,那么下列各值中θθcos sin +能取到的值是 ( )A .34 B .43 C .35 D .21 4.函数)0)(1lg(<-=x x y 的反函数是( )A .)0(101>-=x y xB .)0(101<-=x y xC .)0(101>=-x y xD .)0(101<=-x y x5.已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,若854,18S a a 则-=等于 ( )A .18B .36C .54D .72如果事件A 、B 互斥,那么 P (A+B )=P (A )+P (B )如果事件A 、B 相互独立,那么 P (A ·B )=P (A )·P (B ) 如果事件A 在一次试验中发生的概率 是p ,那么n 次独立重复试验中恰好发生k次的概率 kn k k n n p p C k P --=)1()( 正棱锥、圆锥的侧面积公式 cl S 21=侧面 其中c 表示底面周长,l 表示斜高或母线长 球的体积公式 334R V π=球 其中R 表示球的半径6.已知二面角βα--l 的大小为60°,b 和c 是两条异面直线,则在下列四个条件中,能 使b 和c 所成的角为60°的是( )A .b ∥α,c ∥βB .b ∥α,c ⊥βC .b ⊥α,c ⊥βD .b ⊥α,c ∥β7.设F 1,F 2是双曲线1422=-y x 的两个焦点,点P 在双曲线上,且21PF ⋅=0,则 ||||21PF ⋅的值等于( )A .2B .22C .4D .88.过点(1,3)作直线l ,若l 经过点(a ,0)和(0,b ),且*∈N b a ,,则可作出的l 的条数 为( )A .1B .2C .3D .多于39.已知)2cos()(),2sin()(ππ-=+=x x g x x f ,则下列结论中正确的是( )A .函数)()(x g x f y ⋅=的周期为2πB .函数)()(x g x f y ⋅=的最大值为1C .将)(x f 的图象向左平移2π单位后得)(x g 的图象D .将)(x f 的图象向右平移2π单位后得)(x g 的图象10.从装有4粒大小、形状相同,颜色不同的玻璃球的瓶中,随意一次倒出若干粒玻璃球 (至少一粒),则倒出奇数粒玻璃球的概率比倒出偶数粒玻璃球的概率 ( ) A .小 B .大 C .相等 D .大小不能确定 11.如右图,A 、B 、C 、D 是某煤矿的四个采煤点,l 是公路,图中所标线段为道路, ABQP 、BCRQ 、CDSR 近似 于正方形.已知A 、B 、C 、D 四个采煤点每天的采煤量之 比约为5:1:2:3,运煤的费用与运煤的路程、所运煤的重量 都成正比.现要从P 、Q 、R 、S 中选出一处设立一个运煤中 转站,使四个采煤点的煤运到中转站的费用最少,则地点应选在 ( )A .P 点B .Q 点C .R 点D .S 点12.函数)1(-=x f y 的图象如右图所示,它在R 上单调递减.现有如下结论: ①1)0(>f ; ②1)21(<f ; ③0)1(1=-f④0)21(1>-f其中正确结论的个数是 ( )A .1B .2C .3D .4第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题:本大题共有4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上. 13.抛物线24x y =的准线方程是 . 14.已知)(x f y =是偶函数,当)(,]1,3[.4)(,0x f x xx x f x 记时当时--∈+=>的最大值为 m ,最小值为n ,则m -n = .15.为了科学地比较考试的成绩,有些选拔性考试常常会将考试分数转化为标准分,转化关 系式为:sxx Z -=(其中x 是某位学生的考试分数,x 是该次考试的平均分,s 是该次 考试的标准差,Z 称为这位学生的标准分).转化成标准分后可能出现小数和负值,因此, 又常常再将Z 分数作线性变换转化成其他分数. 例如某次学业选拔考试采用的是T 分 数,线性变换公式是:T=40Z+60. 已知在这次考试中某位考生的考试分数是85,这次考试的平均分是70,标准差是25,则该考生的T 分数为 .16.如右图,正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,M 、N 分别为棱C 1D 1、C 1C 上的中点,有以下四 个结论:①直线AM 与CC 1是相交直线 ②直线AM 与NB 是平行直线 ③直线BN 与MB 1是异面直线 ④直线AM 与DD 1是异面直线其中正确的结论为 (注:把你认为正确的结论的序号都填上)三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知平面上三个向量a 、b 、c 的模均为1,它们相互之间的夹角均为120°.(Ⅰ)求证:(a -b )⊥c ; (Ⅱ)若(k a +b +c )>1(k ∈R ),求k 的取值范围.18.(本小题满分12分) 某种电路开关闭合后,会出现红灯或绿灯闪动,已知开关第一次闭合后,出现红灯和出现绿灯的概率都是21.从开关第二次闭合起,若前次出现红灯,则下一次出现红灯的概率是31,出现绿灯的概率是32;若前次出现绿灯,则下一次出现红灯的概率是53,出现绿灯的概率是52.问:(Ⅰ)第二次闭合后出现红灯的概率是多少?(Ⅱ)三次发光中,出现一次红灯、两次绿灯的概率是多少?注意:考生在(19甲)、(19乙)两题中选一题作答,如果两题都答,只以(19甲)计分. 19.(甲)(本小题满分12分)如图,四棱锥P—ABCD中,PD⊥平面ABCD,PA与平面ABCD所成的角为60°,在四边形ABCD中,∠D=∠DAB=90°,AB=4,CD=1,AD=2.(Ⅰ)建立适当的坐标系,并写出点B、P的坐标;(Ⅱ)求异面直线PA与BC所成的角;(Ⅲ)若PA的中点为M,求证:平面AMC⊥平面PBC.19.(乙)(本小题满分12分)如图,在三棱柱ABC—A1B1C1中,四边形A1ABB1是菱形,四边形BCC1B1是矩形,AB⊥BC,CB=3,AB=4,∠A1AB=60°.(Ⅰ)求证:平面CA1B⊥平面A1ABB1(Ⅱ)求直线A1C与平面BCC1B1所成角的正切值;(Ⅲ)求点C1到平面A1CB的距离.20.(本小题满分12分)直线)1(2:1:22>=++=a y ax C kx y l 与椭圆交于A 、B两点,以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB (O 为坐标原点). (Ⅰ)若1=k ,且四边形OAPB 为矩形,求a 的值; (Ⅱ)若2=a ,当k 变化时(k ∈R ),求点P 的轨迹方程.21.(本小题满分12分,附加题满分4分)某厂在一个空间容积为2000m3的密封车间内生产某种化学药品. 开始生产后,每满60分钟会一次性释放出有害气体a m3,并迅速扩散到空气中.每次释放有害气体后,车间内的净化设备随即自动工作20分钟,将有害气体的含量降至该车间内原有有害气体含量的r%,然后停止工作,待下一次有害气体释放后再继续工作. 安全生产条例规定:只有当车间内的有害气体总量不超过1.25a m3时才能正常进行生产.(Ⅰ)当r=20时,该车间能否连续正常6.5小时?请说明理由;(Ⅱ)能否找到一个大于20的数据r,使该车间能连续正常生产6.5小时?请说明理由;(Ⅲ)(本小题为附加题,如果解答正确,加4分,但全卷总分不超过150分)已知该净化设备的工作方式是:在向外释放出室内混合气体(空气和有害气体)的同时向室内放入等体积的新鲜空气. 已知该净化设备的换气量是200m3/分,试证明该设备连续工作20分钟能够将有害气体含量降至原有有害气体含量的20%以下.(提示:我们可以将净化过程划分成n次,且n趋向于无穷大.)(22)(本题满分14分)已知)0,()(23-∞+++=在d cx bx x x f 上是增函数,在[0,2]上是减函数,且方程 0)(=x f 有三个根,它们分别为βα,2,.(Ⅰ)求c 的值;(Ⅱ)求证;2)1(≥f (Ⅲ)求||βα-的取值范围.苏、锡、常、镇四市2018年高三教学情况调查测试数学试卷参考答案及评分标准一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.每小题5分,满分60分.1.B 2.C 3.A 4.A 5.D 6.C 7.A 8.B 9.D 10.B 11.B 12.C 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分. 13.161-=y 14.1 15.84 16.③④三、解答题17.解(Ⅰ),1||||||===c b a 且a 、b 、c 之间的夹角均为120°, 0120||||120cos ||||)(=-=⋅-⋅=⋅-∴ ocs c b c a c b c a c b a …3分 c b a ⊥-∴)(.…4分 (Ⅱ),1||,1||2>++∴>++c b ka c b ka ……………………………………6分1222,1)()(2>⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅∴>++⋅++c b c ka b ka c c b b a a k c b ka c b ka …8分,02,21120cos 2>-∴-==⋅=⋅=⋅k k c b c a b a …10分 .20><∴k k 或……12分18.解(Ⅰ)如果第一次出现红灯,则接着又出现红灯的概率是3121⨯;………………2分如果第一次出现绿灯,则接着出现红灯的概率为5321⨯.……………………………4分综上,第二次出现红灯的概率为3121⨯+1575321=⨯.………………………………5分(Ⅱ)由题意,三次发光中,出现一次红灯、两次绿灯的情况共有如下三种方式:①当出现绿、绿、红时的概率为535221⨯⨯;……………………………………7分②当出现绿、红、绿时的概率为325321⨯⨯;……………………………………9分③当出现红、绿、绿时的概率为523221⨯⨯;…………………………………………11分所以三次发光中,出现一次红灯、两次绿灯的概率为535221⨯⨯+325321⨯⨯+523221⨯⨯=.7534………………………………………………12分19.(甲)解(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系,xyz D - ∵∠D=∠DAB=90°,AB=4,CD=1,AD=2, ∴A (2,0,0),C (0,1,0),B (2,4,0).…………………………………2分 由PD ⊥平面ABCD ,得∠PAD 为PA 与平面ABCD 所成的角,∴∠PAD=60°. 在Rt △PAD 中,由AD=2,得PD=32, ∴)32,0,0(P .…………………………4分 (Ⅱ)),0,3,2(),32,0,2(--=-=13131340)52()3(0)2(2,cos -=⨯-+-⨯+-⨯>=<∴BC PA ……6分所以PA 与BC 所成的角为1313arccos …………………7分(Ⅲ))3,2,1(,的坐标为中点为M PB M ∴ .)32,4,2(),3,1,1(),3,2,1(-==-=∴…………………………………8分0323422)1(=⨯+⨯+⨯-=⋅ ,0)32(324121=-⨯+⨯+⨯=⋅PB CM ……………………………………………10分PBC PB AMC PB 平面平面⊂⊥∴⊥⊥∴ .,,PBC AMC 平面平面⊥∴.…………………………………………………………12分19.(乙)证(Ⅰ)因为四边形BCC 1B 1是矩形∴BC ⊥BB 1, 又∵AB ⊥BC ,∴BC ⊥平面A 1ABB 1,…………………………………………2分∵BC ⊂平面CA 1B ,∴平面CA 1B ⊥平面A 1ABB 1.……………………………3分 解(Ⅱ)过A 1作A 1D ⊥B 1B 于D ,连接DC ,∵BC ⊥平面A 1ABB 1,∴BC ⊥A 1D ∴A 1D ⊥平面BCC 1B 1,故∠A 1CD 为直线A 1C 与平面BCC 1B 1所成的角.……5分 在矩形BCC 1B 1中,DC=13, 因为四边形A 1ABB 1是菱形,∠A 1AB=60°,CB=3, AB=4,∴321=D A , 133921332tan 11===∠∴CD D A CD A .………………7分(Ⅲ)∵B 1C 1∥BC 1, ∴B 1C 1∥平面A 1BC ,∴C 1到平面A 1BC 的距离即为B 1到平面A 1BC 的距离.…………………………9分连结AB 1 ,AB 1与A 1B 交于点O ,∵四边形A 1ABB 1是菱形,∴B 1O ⊥A 1B. ∵平面CA 1B ⊥平面A 1ABB 1,∴ B 1O ⊥平面A 1BC∵B 1O 即为C 1到平面A 1BC 的距离.………………11分 ∵B 1O=32,∴C 1到平面A 1BC 的距离为32.………………………………………………12分20.解(Ⅰ)设012)1(21),,(),,(2222211=-++⎩⎨⎧=++=x x a y ax x y y x B y x A 得由…………2分,,,12,112121OB OA OAPB a x x a x x ⊥∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++-=∴为矩形四边形 0)1)(1(,021212121=+++=+∴x x x x y y x x 即,………………………………4分3,01121111=∴=++-+-+-∴a a a a ……………………………………6分(Ⅱ)设).2,2(),,(),,(),,(2211y x Q OP y x B y x A y x P 的中点则因为A 、B 在椭圆⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+.22,22,222222212122y x y x y x 所以上 相减得2,221212121-=⋅-=++⋅--OP AB k k x x y y x x y y 即……………………………………9分所以.022.221222=-+-=⋅-y y x x y x y 化简得…………………………………………11分).0(022.0,22≠=-+∴≠∴y y y x P y x l 点的轨迹方程为轴不能垂直于 ……………12分21.解(Ⅰ)∵第一次释放有害气体3am ,∴第二次释放有害气体后(净化之前),车间内共有有害气体3%)(m ar a +,第三次释放有害气体后(净化之前),车间内共有有害气体3%]%)([m r ar a a ++,…2分……∵6.5小时共释放出6次有害气体,且有害气体的含量逐次递增,∴要使该车间能连续正常生产,在最后一次释放有害气体后(净化之前),车间内有害气体总量不得超过 1.25a m 3,即必须要有a r a r a ar a 25.1%)(%)(%52≤++++ ,即.25.1%1%)(16a r r a ≤--⋅…………4分 ,25.18.012.0112.012.01206==-<--=)(时,当r∴当r=20时,该车间能连续生产6.5小时.…………………………………6分(Ⅱ))0(2.0%>+=x x r 设满足条件,即要有,25.1)2.0(1)2.0(16≤+-+-x x 即.25.1)2.0(6x x ⋅≥+ (*)…8分,)2.0(62.0)2.0(62.0)2.0(56566x x x +>++=+要使(*)成立,只要025.116)2.0(2.056≥-⋅+x x 即可,……………………10分5656)2.0(625.1)2.0(10020,0)2.0(625.1)2.0(-⋅+=∴>-=∴r x 取可取,就可使该车间连续生产6.5小时.………………………………………………………………………12分(Ⅲ)设车间内原有有害气体量为A ,将20分钟的净化过程划分成n 次,则每次的换气量为34000m n. 不防假设换气过程是先放入新鲜空气再释放混合气体,∵净化后残留的有害气体量=净化前残留的有害气体量-被释放混合气体中所含有害气体量,第一次将化后残留的有害气体量为:;2114000400020001nA nn AA a +⋅=⋅+-=第二次净化后残留的有害气体量为:;)211(21140004000200021112nA n a n n a a a +=+⋅=⋅+-=……第n 次净化后残留的有害气体量为:nn nA a )211(+=……………………2分当n 极大时,可将2n看作整数k ,,])11(1[)211(2kn kA nA +=+∴ ,51)5.21(,5.26)2)(1(2)1(11)11(22A A a k k k k k k k k nk <<∴>--+-++=+ ∵20分钟能够将有害气体含量降至原有有害气体含量的20%以下.……………4分 22.解(Ⅰ),23)(2c bx x x f ++='………1分 )0,()(-∞在x f 上是增函数,在[0,2]上是减函数,∴当)(,0x f x 时=取到极大值,.0,0)0(=∴='∴c f ……3分(Ⅱ)).2(4,0)2(+-=∴=b d f ………4分023)(2=+='bx x x f 的两个根分别为,32,021b x x -== ∵函数]2,0[)(在x f 上是减函数,3,2322-≤∴≥-=∴b bx .……………………7分 .2371)2(41)1(≥--=++-=++=∴b b b d b f ……………………………9分(Ⅲ)))(2)(()(,0)(,2,βαβα---==x x x x f x f 可设的三根是方程 ,2)22()2()(23αβαββαβα-+++++-=∴x x x x f⎪⎩⎪⎨⎧-=--=+∴⎩⎨⎧-=---=∴.21,2.2,2d b d b αββααββα…………………………………………12分 .16)2()2(8)2(2)2(4)(||2222--=+-+=++=-+=-∴b b b d b αββαβα3||,3≥-∴-≤βαb .………………………………………………………14分。
推荐-江苏省苏、锡、常、镇四市2018年高三教学情况调查(一)数学试卷附答案 精品

江苏省苏、锡、常、镇四市2018年高三教学情况调查(一)数 学注意事项:1.本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共4页.满分150分.考试时间120分钟.2.请将第Ⅰ卷的答案填涂在答题卡上,第Ⅱ卷的解答写在答题卷上.在本试卷上答题无效.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}(,)2M x y x y =+=,{}(,)4N x y x y =-=,则MN =A .{}3,1x y ==-B .(3,1)-C .{}3,1-D .{}(3,1)- 2.设向量a =(1,2)-,b =(1,1)-,c =(3,2)-,且p q c =a +b ,则实数p,q 的值为 A .41p =,q = B .14p =,q = C .04p =,q = D .14p =,q =- 3.已知函数()2sin()f x x =+ωϕ对任意x 都有()()66f x f x ππ+=-,则()6f π等于 A .2或0 B .2-或2 C .0 D .2-或0 4.等差数列{}n a 的公差10,d a d ≠≠,若这数列的前40项的和是20m ,则m 等于 A .1030a a + B .20a C .40a d + D .1526a a + 5.已知,a b ∈R ,则“,0a b ab >>”是“11a b<”成立的是 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D . 既不充分也不必要条件 6.已知平面α、β和直线a 、b ,若,,l a b =⊂⊂αβαβ,且平面α与平面β不垂直,直线a 与直线l 不垂直,则A .直线a 与直线b 可能垂直,但不可能平行B .直线a 与直线b 可能垂直,也可能平行C .直线a 与直线b 不可能垂直,但可能平行D .直线a 与直线b 不可能垂直,也不可能平行7.已知双曲线2221x y a-=的一条准线与抛物线26y x =-的准线重合,则该双曲线的离心率为 AB .32 CD8.已知函数()(0,)(,2)f x x =∈πππ,则A .函数图象关于直线x =π对称B .函数图象关于点(,0)π对称C .函数在区间(,)2ππ上递减 D .函数在区间3(,)2ππ上递减 9.已知(,)(0)M a b ab ≠是圆O :222x y r +=内一点,现有以M 为中点的弦所在直线m 和直线l :2ax by r +=,则A .//m l ,且l 与圆相交B .l m ⊥,且l 与圆相交C .//m l ,且l 与圆相离D .l m ⊥,且l 与圆相离 10.已知()y f x =是定义域为R 的单调函数,且1212,1,,1x x x x +≠≠-=+λλαλ211x x +=+λβλ,若12()()()()f x f x f f -<-αβ,则A .0<λB .0=λC .01<<λD .1>λ11.身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人,身穿蓝颜色衣服的有一人,先将这五人排成一行,要求穿相同颜色衣服的人不能相邻,则不同的排法共有A .48种B .72种C .78种D .84种 12.函数()lg(2)1f x x x =⋅+-的图象与x 轴的交点个数有A .0个B .1个C .2个D .3个第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.把答案填在答卷纸相应位置上. 13.5(12)x -展开式中的倒数第三项是 .14.已知三角形两边长分别为1,第三边上的中线长为 .15.在正三棱锥P ABC -中,侧棱PC ⊥侧面PAB,侧棱PC =接球的表面积为 .16.变量,x y 满足20400x y x y y ++⎧⎪-+⎨⎪⎩的最小值为 . ≤ ≤≤17.某电脑公司计划在2018 年5月1日将500台电脑投放市场,经市场调研发现,该批电脑每个10天平均日销售量减少两台,现准备用38天的时间销售完该批电脑,则预计该公司5月1日至5月10日的平均销售量是 台. 18.已知函数()sin()()2x f x =+ϕϕ为常数,有以下命题:①不论ϕ取何值,函数()f x 的周期都是π; ②存在常数ϕ,使得函数()f x 是偶函数; ③函数()f x 在区间[2,32]πϕπϕ--上是增函数; ④若0,ϕ<函数()f x 的图象可由函数sin2xy =的图象向右平移|2|ϕ个单位得到. 其中,所有正确命题的序号是__________________.三、解答题:本大题共5小题,共66分.请把解答写在答题卷规定的答题框内.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19.(本小题满分12分) 已知函数3()3f x x x =-.(Ⅰ)求函数()f x 在3[3]2-,上的最大值和最小值;(Ⅱ)过点26P-(,)作曲线()y f x =的切线,求此切线的方程.20.(本小题满分12分)加工某种零件需经过四道工序.已知第一、二、三、四道工序的合格率分别为910、89、 78、67,且各道工序互不影响. (Ⅰ)求该种零件的合格率;(Ⅱ)从加工好的零件中任取3件,求至少取到2件合格品的概率;(Ⅲ) 假设某人依次抽取4件加工好的零件检查,求恰好连续2次抽到合格品的概率.(用最简分数表示结果)21.(本小题满分14分)正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2,D 是棱AC 的中点,E 是棱1CC 的中点,AE 交1A D 于点H .(Ⅰ)求证:1AE A BD⊥平面; (Ⅱ)求二面角1D BA A --的大小;(用反三角函数表示结果) (Ⅲ)求点1B 到平面1A BD 的距离.22.(本小题满分14分)在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点,,,F T M P 满足(1,0)OF =,(1,)OT t =-,FM MT =,PM FT ⊥,//PT OF .(Ⅰ)当t 变化时,求点P 的轨迹C 的方程;(Ⅱ)若过点F 的直线交曲线C 于,A B 两点,求证:直线,,TA TF TB 的斜率依次成等差数列.23.(本小题满分14分) 已知数列{}n a 满足12115,5,6(n nna a a a a n +-===+≥2,)n *∈N ,若数列{}1n n a a λ++ 是等比数列.(Ⅰ)求出所有λ的值,并求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)求证:当k 为奇数时,111143k k k a a +++<; (Ⅲ)求证:121111()2n n a a a *+++<∈N .1苏、锡、常、镇四市2018年高三教学情况调查(一)数学答题卡苏、锡、常、镇四市2018年高三教学情况调查(一)数学试题参考答案及评分标准说明:一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解答与本解答不同,可根据试题的主要考查内容参照评分标准制定相应的评分细则。
2017—2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)(含答案)
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12017—2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)数学Ⅰ试题2018.3一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共计70分.不需要写出解答过程,请将答案填写在答题卡相应的位置上..........) 1.已知集合A ={﹣1,1},B ={﹣3,0,1},则集合A ∩B = .2.已知复数z 满足34z i i ⋅=-(i 为虚数单位),则z = .3.双曲线22143x y -=的渐近线方程为 . 4.某中学共有1800人,其中高二年级的人数为600,现用分层抽样的方法在全校抽取n 人,其中高二年级被抽取的人数为21,则n = .5.将一颗质地均匀的正四面体骰子(每个面上分别写有数字1,2,3,4)先后抛掷2次,观察其朝下一面的数字,则两次数字之和等于6的概率为 .6.如图是一个算法的流程图,则输出S 的值是 .7.若正四棱锥的底面边长为2cm ,侧面积为8cm²,则它的体积为 cm³.8.设n S 是等差数列{n a }的前n 项和,若242a a +=,2S +41S =,则10=a .9.已知0a >,0b >,且23a b+=,则ab 的最小值是 .10.设三角形ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c , 第6题 已知tan A 3tan B c b b -=,则cosA = .211.已知函数1()41x a e x f x x x x ⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩,,(e 是自然对数的底数),若函数()y f x =的最小值是4,则实数a 的取值范围为 .12.在△ABC 中,点P 是边AB 的中点,已知CP 3=,CA 4=,∠ACB =23π,则CP CA ⋅= .13.已知直线l :20x y -+=与x 轴交于点A ,点P 在直线l 上,圆C :22(2)2x y -+=上有且仅有一个点B 满足AB ⊥BP ,则点P 的横坐标的取值集合为 .14.若二次函数2()(0)f x ax bx c a =++>在区间[1,2]上有两个不同的零点,则(1)f a的取值范围为 .二、解答题(本大题共6小题,共计90分.请在答题纸指定区域.......内作答,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)15.(本题满分14分) 已知向量(2sin a α=,1),(1b =,sin())4πα+.(1)若角α的终边过点(3,4),求a b ⋅的值;(2)若a ∥b ,求锐角α的大小.16.(本题满分14分)如图,正三棱柱ABC —A 1B 1C 1,其底面边长为2,已知点M ,N 分别是棱A 1C 1,AC 的中点,点D 是棱CC 1上靠近C 的三等分点.(1)求证:B 1M ∥平面A 1BN ;(2)求证:AD⊥平面A 1BN .。
2018届苏锡常镇高三二模数学试卷及问题详解(word)
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2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)数学Ⅰ试题 2018.3一、填空题:本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上......... 1.已知集合{1,1}A =-,{3,0,1}B =-,则集合AB = .2.已知复数z 满足34z i i ⋅=-(i 为虚数单位),则z = .3.双曲线22143x y -=的渐近线方程为 . 4.某中学共有1800人,其中高二年级的人数为600.现用分层抽样的方法在全校抽取n 人,其中高二年级被抽取的人数为21,则n = .5.将一颗质地均匀的正四面体骰子(每个面上分别写有数字1,2,3,4)先后抛掷2次,观察其朝下一面的数字,则两次数字之和等于6的概率为 .6.如图是一个算法的流程图,则输出S 的值是 .7.若正四棱锥的底面边长为2cm ,侧面积为28cm ,则它的体积为 3cm . 8.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若242a a +=,241S S +=,则10a = .9.已知0a >,0b >,且23a b+=,则ab 的最小值是 . 10.设三角形ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知tan 3tan A c bB b-=,则cos A = . 11.已知函数,1()4,1x a e x f x x x x ⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩(e 是自然对数的底).若函数()y f x =的最小值是4,则实数a 的取值范围为 .12.在ABC ∆中,点P 是边AB 的中点,已知3CP =4CA =,23ACB π∠=,则CP CA ⋅= . 13.已知直线l :20x y -+=与x 轴交于点A ,点P 在直线l 上,圆C :22(2)2x y -+=上有且仅有一个点B 满足AB BP ⊥,则点P 的横坐标的取值集合为 .14.若二次函数2()f x ax bx c =++(0)a >在区间[1,2]上有两个不同的零点,则(1)f a的取值范围为 . 二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域.......内作答,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量(2sin ,1)a α=,(1,sin())4b πα=+.(1)若角α的终边过点(3,4),求a b ⋅的值; (2)若//a b ,求锐角α的大小.16.如图,正三棱柱111ABC A B C -,其底面边长为2.已知点M ,N 分别是棱11A C ,AC 的中点,点D 是棱1CC 上靠近C 的三等分点.求证:(1)1//B M 平面1A BN ; (2)AD ⊥平面1A BN .17.已知椭圆C :22221x y a b +=(0)a b >>经过点1)2,,点A 是椭圆的下顶点. (1)求椭圆C 的标准方程;(2)过点A 且互相垂直的两直线1l ,2l 与直线y x =分别相交于E ,F 两点,已知OE OF =,求直线1l 的斜率.18.如图,某景区内有一半圆形花圃,其直径AB 为6,O 是圆心,且OC AB ⊥.在OC 上有一座观赏亭Q ,其中23AQC π∠=.计划在BC 上再建一座观赏亭P ,记(0)2POB πθθ∠=<<.(1)当3πθ=时,求OPQ ∠的大小;(2)当O P Q ∠越大,游客在观赏亭P 处的观赏效果越佳,求游客在观赏亭P 处的观赏效果最佳时,角θ的正弦值.19.已知函数32()f x x ax bx c =+++,()ln g x x =.(1)若0a =,2b =-,且()()f x g x ≥恒成立,求实数c 的取值范围; (2)若3b =-,且函数()y f x =在区间(1,1)-上是单调递减函数. ①求实数a 的值;②当2c =时,求函数(),()()()(),()()f x f x g x h x g x f x g x ≥⎧=⎨<⎩的值域.20.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和,13a =,且123n n S a +=-*()n N ∈.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)对于正整数i ,j ,()k i j k <<,已知j a λ,6i a ,k a μ成等差数列,求正整数λ,μ的值;(3)设数列{}n b 前n 项和是n T ,且满足:对任意的正整数n ,都有等式12132n n n a b a b a b --++113n n a b ++⋅⋅⋅+=33n --成立.求满足等式13n n T a =的所有正整数n .2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】在A ,B ,C ,D 四小题中只能选做两题,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A. 选修4-1:几何证明选讲如图,AB 是圆O 的直径,D 为圆O 上一点,过点D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点C ,且满足DA DC =.(1)求证:2AB BC =; (2)若2AB =,求线段CD 的长.B. 选修4-2:矩阵与变换已知矩阵4001A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,1205B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,列向量a X b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.(1)求矩阵AB ;(2)若1151B A X --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,求a ,b 的值.C. 选修4-4:坐标系与参数方程在极坐标系中,已知圆C 经过点)4P π,圆心为直线sin()3πρθ-=求圆C 的极坐标方程. D. 选修4-5:不等式选讲已知x ,y 都是正数,且1xy =,求证:22(1)(1)9x y y x ++++≥.【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域.......内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是矩形,PD 垂直于底面ABCD ,2PD AD AB ==,点Q 为线段PA (不含端点)上一点.(1)当Q 是线段PA 的中点时,求CQ 与平面PBD 所成角的正弦值; (2)已知二面角Q BD P --的正弦值为23,求PQ PA的值. 23.在含有n 个元素的集合{1,2,,}n A n =⋅⋅⋅中,若这n 个元素的一个排列(1a ,2a ,…,n a )满足(1,2,,)i a i i n ≠=⋅⋅⋅,则称这个排列为集合n A 的一个错位排列(例如:对于集合3{1,2,3}A =,排列(2,3,1)是3A 的一个错位排列;排列(1,3,2)不是3A 的一个错位排列).记集合n A 的所有错位排列的个数为n D .(1)直接写出1D ,2D ,3D ,4D 的值;(2)当3n ≥时,试用2n D -,1n D -表示n D ,并说明理由;(3)试用数学归纳法证明:*2()n D n N ∈为奇数.2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)数学Ⅰ试题参考答案一、填空题1. {1}2. 53. y x =4. 635. 3166. 25 8. 8 9. 10. 1311. 4a e ≥+ 12. 6 13. 1,53⎧⎫⎨⎬⎩⎭14. [0,1)二、解答题15.解:(1)由题意4sin 5α=,3cos 5α=,所以sin()4a b a πα⋅=++sin cos 4παα=+cos sin 4πα+4552=+⨯3522+⨯=.(2)因为//a b sin()14a πα+=α(sin coscos sin )144ππαα+=,所以2sin sin cos 1ααα+=,则2sin cos 1sin ααα=-2cos α=,对锐角α有cos 0α≠,所以tan 1α=,所以锐角4πα=.16.证明:(1)连结MN ,正三棱柱111ABC A B C -中,11//AA CC 且11AA CC =,则四边形11AAC C 是平行四边形,因为点M 、N 分别是棱11A C ,AC 的中点,所以1//MN AA 且1MN AA =,又正三棱柱111ABC A B C -中11//AA BB 且11AA BB =,所以1//MN BB 且1MN BB =,所以四边形1MNBB 是平行四边形,所以1//B M BN ,又1B M ⊄平面1A BN ,BN ⊂平面1A BN , 所以1//B M 平面1A BN ;(2)正三棱柱111ABC A B C -中,1AA ⊥平面ABC ,BN ⊂平面ABC ,所以1BN AA ⊥,正ABC ∆中,N 是AB 的中点,所以BN AC ⊥,又1AA 、AC ⊂平面11AAC C ,1AA AC A =,所以BN ⊥平面11AAC C ,又AD ⊂平面11AAC C , 所以AD BN ⊥,由题意,1AA =,2AC =,1AN =,CD =,所以1AA AN AC CD == 又12A AN ACD π∠=∠=,所以1A AN ∆与ACD ∆相似,则1AA N CAD ∠=∠,所以1ANA CAD ∠+∠112ANA AA N π=∠+∠=,则1AD A N ⊥,又1BN A N N =,BN ,1A N ⊂平面1A BN ,所以AD ⊥平面1A BN .17.解:(1)由题意得222231141314a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,解得2211411a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=; (2)由题意知(0,1)A -,直线1l ,2l 的斜率存在且不为零, 设直线1l :11y k x =-,与直线y x =联立方程有11y k x y x=-⎧⎨=⎩,得1111(,)11E k k --,设直线2l :111y x k =--,同理1111(,)1111F k k ----,因为OE OF =,所以1111||||111k k =---, ①1111111k k =---,1110k k +=无实数解; ②1111111k k =---,1112k k -=,211210k k --=,解得11k = 综上可得,直线1l的斜率为118.解:(1)设OPQ α∠=,由题,Rt OAQ ∆中,3OA =,AQO AQC π∠=-∠233πππ=-=,所以OQ =OPQ ∆中,3OP =,2POQ πθ∠=-236πππ=-=,由正弦定理得sin sin OQ OPOPQ OQP=∠∠,3sin()6ππα=--sin()6παπα=--5sin()6πα=-,5sincos 6παα=5cos sin 6πα-1cos 2αα=+cos αα=, 因为α为锐角,所以cos 0α≠,所以tan α=,得6πα=; (2)设OPQ α∠=,在OPQ ∆中,3OP =,2POQ πθ∠=-236πππ=-=,由正弦定理得sin sin OQ OPOPQ OQP =∠∠3sin(())2ππαθ=---,sin(())2παπαθ=---sin(())2παθ=--cos()αθ=-cos cos sin sin αθαθ=+,从而sin )sin θα-cos cos αθ=sin 0θ≠,cos 0α≠,所以tanα=记()f θ=,'()f θ=(0,)2πθ∈;令'()0f θ=,sin θ=0(0,)2πθ∈使得0sin θ=, 当0(0,)θθ∈时'()0f θ>,()f θ单调增,当0(,)2πθθ∈时'()0f θ<,()f θ单调减,所以当0θθ=时,()f θ最大,即tan OPQ ∠最大,又OPQ ∠为锐角,从而OPQ ∠最大,此时sin 3θ=.答:观赏效果达到最佳时,θ的正弦值为3. 19.解:(1)函数()y g x =的定义域为(0,)+∞.当0a =,2b =-,3()2f x x x c =-+, ∵()()f x g x ≥恒成立,∴32ln x x c x -+≥恒成立,即3ln 2c x x x ≥-+.令3()ln 2x x x x ϕ=-+,则21'()32x x xϕ=-+3123x x x +-=2(1)(133)x x x x -++=,令'()0x ϕ≥,得1x ≤,∴()x ϕ在(0,1]上单调递增, 令'()0x ϕ≤,得1x ≥,∴()x ϕ在[1,)+∞上单调递减, ∴当1x =时,max [()](1)1x ϕϕ==. ∴1c ≥.(2)①当3b =-时,32()3f x x ax x c =+-+,2'()323f x x ax =+-. 由题意,2'()3230f x x ax =+-≤对(1,1)x ∈-恒成立,∴'(1)3230'(1)3230f a f a =+-≤⎧⎨-=--≤⎩,∴0a =,即实数a 的值为0.②函数()y h x =的定义域为(0,)+∞.当0a =,3b =-,2c =时,3()32f x x x =-+.2'()33f x x =-,令2'()330f x x =-=,得1x =.∴当(0,1)x ∈时,()0f x >,当1x =时,()0f x =,当(1,)x ∈+∞时,()0f x >.对于()ln g x x =,当(0,1)x ∈时,()0g x <,当1x =时,()0g x =,当(1,)x ∈+∞时,()0g x >. ∴当(0,1)x ∈时,()()0h x f x =>,当1x =时,()0h x =,当(1,)x ∈+∞时,()0h x >. 故函数()y h x =的值域为[0,)+∞.20.解:(1)由123n n S a +=-*()n N ∈得1223n n S a ++=-,两式作差得1212n n n a a a +++=-,即213n n a a ++=*()n N ∈.13a =,21239a S =+=,所以13n n a a +=*()n N ∈,0n a ≠,则13n na a +=*()n N ∈,所以数列{}n a 是首项为3公比为3的等比数列,所以3n n a =*()n N ∈;(2)由题意26j k i a a a λϕ+=⋅,即33263j k iλμ+=⋅⋅,所以3312j ik i λμ--+=,其中1j i -≥,2k i -≥,所以333j iλλ-≥≥,399k i μμ-≥≥,123312j i k i λμ--=+≥,所以1j i -=,2k i -=,1λμ==;(3)由12132n n n a b a b a b --++113n n a b ++⋅⋅⋅+=33n --得,11231n n n a b a b a b +-++211n n a b a b ++⋅⋅⋅++233(1)3n n +=-+-, 111213(n n n a b a b a b +-++121)n n a b a b -+⋅⋅⋅++233(1)3n n +=-+-, 1113(333)n n a b n +++--233(1)3n n +=-+-,所以21333(1)n n b n ++=-+133(333)n n +----,即1363n b n +=+,所以121n b n +=+*()n N ∈,又因为111133133a b +=-⋅-=,得11b =,所以21n b n =-*()n N ∈,从而135(21)n T n =+++⋅⋅⋅+-21212n n n +-==*()n N ∈,2*()3n n n T n n N a =∈,当1n =时1113T a =;当2n =时2249T a =;当3n =时3313T a =; 下面证明:对任意正整数3n >都有13n n T a <, 11n n n n T T a a ++-121(1)3n n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭121133nn n +⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1221((1)3)3n n n +⎛⎫+-= ⎪⎝⎭2(221)n n -++,当3n ≥时,22221(1)n n n -++=-(2)0n n +-<,即110n nn nT T a a ++-<, 所以当3n ≥时,n nT a 递减,所以对任意正整数3n >都有3313n n T T a a <=;综上可得,满足等式13n n T a =的正整数n 的值为1和3. 2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)数学Ⅱ(附加题)参考答案21.【选做题】A. 选修4-1:几何证明选讲证明:(1)连接OD ,BD .因为AB 是圆O 的直径,所以90ADB ∠=,2AB OB =. 因为CD 是圆O 的切线,所以90CDO ∠=, 又因为DA DC =,所以A C ∠=∠, 于是ADB CDO ∆≅∆,得到AB CO =, 所以AO BC =,从而2AB BC =.(2)解:由2AB =及2AB BC =得到1CB =,3CA =.由切割线定理,2133CD CB CA =⋅=⨯=,所以CD =.B. 选修4-2:矩阵与变换 解:(1)401248010505AB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦; (2)由1151B A X --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,解得51X AB ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦485280515⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,又因为a X b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,所以28a =,5b =.C. 选修4-4:坐标系与参数方程解:在sin()3πρθ-=0θ=,得2ρ=,所以圆C 的圆心的极坐标为(2,0).因为圆C 的半径PC 2==,于是圆C 过极点,所以圆的极坐标方程为4cos ρθ=. D. 选修4-5:不等式选讲 证明:因为x ,y 都是正数,所以210x y ++≥>,210y x ++≥>,22(1)(1)9x y y x xy ++++≥,又因为1xy =,所以22(1)(1)9x y y x ++++≥.【必做题】22.解:(1)以D 为原点,DA ,DC ,DP 为坐标轴,建立如图所示空间直角坐标系;设AB t =,则(0,0,0)D ,(2,0,0)A t ,(2,,0)B t t ,(0,,0)C t ,(0,0,2)P t ,(,0,)Q t t ;所以(,,)CQ t t t =-,(2,,0)DB t t =,(0,0,2)DP t =,设平面PBD 的法向量1(,,)n x y z =,则110DB n DP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即2020tx ty tz +=⎧⎨=⎩,解得200x y z +=⎧⎨=⎩,所以平面PBD 的一个法向量1(1,2,0)n =-,111cos ,n CQ n CQ n CQ⋅<>===,则CQ 与平面PBD 所成角的正弦值为5.(2)由(1)知平面PBD 的一个法向量为1(1,2,0)n =-,设(01)PQPAλλ=<<,则PQ PA λ=,DQ DP PQ =+(0,0,2)(2,0,2)t t t λ=+-(2,0,2(1))t t λλ=-,(2,,0)DB t t =,设平面QBD 的法向量2(,,)n x y z =,则220DQ n DB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即22(1)020t x t z tx ty λλ+-=⎧⎨+=⎩,解得(1)020x z x y λλ+-=⎧⎨+=⎩,所以平面QBD 的一个法向量2(1,22,)n λλλ=---,12cos ,n n =<>1212n n n n ⋅==,所以2255(1)96105λλλ-=-+,即2(2)()03λλ--=, 因为01λ<<,所以23λ=,则23PQ PA =. 23. 解:(1)10D =,21D =,32D =, 49D =,(2)12(1)()n n n D n D D --=-+, 理由如下:对n A 的元素的一个错位排列(1a ,2a ,…,n a ),若1(1)a k k =≠,分以下两类: 若1k a =,这种排列是2n -个元素的错位排列,共有2n D -个;若1k a ≠,这种错位排列就是将1,2,…,1k -,1k +,…,n 排列到第2到第n 个位置上,1不在第k 个位置,其他元素也不在原先的位置,这种排列相当于1n -个元素的错位排列,共有1n D -个; 根据k 的不同的取值,由加法原理得到12(1)()n n n D n D D --=-+; (3)根据(2)的递推关系及(1)的结论,n D 均为自然数;当3n ≥,且n 为奇数时,1n -为偶数,从而12(1)()n n n D n D D --=-+为偶数, 又10D =也是偶数,故对任意正奇数n ,有n D 均为偶数.下面用数学归纳法证明2n D (其中*n N ∈)为奇数. 当1n =时,21D =为奇数;假设当n k =时,结论成立,即2k D 是奇数,则当1n k =+时,2(1)212(21)()k k k D k D D ++=++,注意到21k D +为偶数,又2k D 是奇数,所以212k k D D ++为奇数,又21k +为奇数,所以2(1)212(21)()k k k D k D D ++=++,即结论对1n k =+也成立;根据前面所述,对任意*n N ∈,都有2n D 为奇数。
2018届苏锡常镇高三二模数学试卷及答案(word)
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2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)数学Ⅰ试题 2018.3一、填空题:本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上......... 1.已知集合{1,1}A =-,{3,0,1}B =-,则集合AB = .2.已知复数z 满足34z i i ⋅=-(i 为虚数单位),则z = .3.双曲线22143x y -=的渐近线方程为 . 4.某中学共有1800人,其中高二年级的人数为600.现用分层抽样的方法在全校抽取n 人,其中高二年级被抽取的人数为21,则n = .5.将一颗质地均匀的正四面体骰子(每个面上分别写有数字1,2,3,4)先后抛掷2次,观察其朝下一面的数字,则两次数字之和等于6的概率为 .6.如图是一个算法的流程图,则输出S 的值是 .7.若正四棱锥的底面边长为2cm ,侧面积为28cm ,则它的体积为 3cm . 8.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若242a a +=,241S S +=,则10a = .9.已知0a >,0b >,且23a b+=,则ab 的最小值是 . 10.设三角形ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知tan 3tan A c bB b-=,则cos A = . 11.已知函数,1()4,1x a e x f x x x x ⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩(e 是自然对数的底).若函数()y f x =的最小值是4,则实数a 的取值范围为 .12.在ABC ∆中,点P 是边AB 的中点,已知3CP =4CA =,23ACB π∠=,则CP CA ⋅= . 13.已知直线l :20x y -+=与x 轴交于点A ,点P 在直线l 上,圆C :22(2)2x y -+=上有且仅有一个点B 满足AB BP ⊥,则点P 的横坐标的取值集合为 .14.若二次函数2()f x ax bx c =++(0)a >在区间[1,2]上有两个不同的零点,则(1)f a的取值范围为 . 二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域.......内作答,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量(2sin ,1)a α=,(1,sin())4b πα=+.(1)若角α的终边过点(3,4),求a b ⋅的值; (2)若//a b ,求锐角α的大小.16.如图,正三棱柱111ABC A B C -,其底面边长为2.已知点M ,N 分别是棱11A C ,AC 的中点,点D 是棱1CC 上靠近C 的三等分点.求证:(1)1//B M 平面1A BN ; (2)AD ⊥平面1A BN .17.已知椭圆C :22221x y a b +=(0)a b >>经过点1)2,(1,)2,点A 是椭圆的下顶点. (1)求椭圆C 的标准方程;(2)过点A 且互相垂直的两直线1l ,2l 与直线y x =分别相交于E ,F 两点,已知OE OF =,求直线1l 的斜率.18.如图,某景区内有一半圆形花圃,其直径AB 为6,O 是圆心,且OC AB ⊥.在OC 上有一座观赏亭Q ,其中23AQC π∠=.计划在BC 上再建一座观赏亭P ,记(0)2POB πθθ∠=<<.(1)当3πθ=时,求OPQ ∠的大小;(2)当O P Q ∠越大,游客在观赏亭P 处的观赏效果越佳,求游客在观赏亭P 处的观赏效果最佳时,角θ的正弦值.19.已知函数32()f x x ax bx c =+++,()ln g x x =.(1)若0a =,2b =-,且()()f x g x ≥恒成立,求实数c 的取值范围; (2)若3b =-,且函数()y f x =在区间(1,1)-上是单调递减函数. ①求实数a 的值;②当2c =时,求函数(),()()()(),()()f x f xg xh x g x f x g x ≥⎧=⎨<⎩的值域.20.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和,13a =,且123n n S a +=-*()n N ∈.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)对于正整数i ,j ,()k i j k <<,已知j a λ,6i a ,k a μ成等差数列,求正整数λ,μ的值;(3)设数列{}n b 前n 项和是n T ,且满足:对任意的正整数n ,都有等式12132n n n a b a b a b --++113n n a b ++⋅⋅⋅+=33n --成立.求满足等式13n n T a =的所有正整数n .2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】在A ,B ,C ,D 四小题中只能选做两题,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A. 选修4-1:几何证明选讲如图,AB 是圆O 的直径,D 为圆O 上一点,过点D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点C ,且满足DA DC =.(1)求证:2AB BC =; (2)若2AB =,求线段CD 的长.B. 选修4-2:矩阵与变换已知矩阵4001A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,1205B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,列向量a X b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. (1)求矩阵AB ;(2)若1151B A X --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,求a ,b 的值.C. 选修4-4:坐标系与参数方程在极坐标系中,已知圆C 经过点)4P π,圆心为直线sin()3πρθ-=求圆C 的极坐标方程. D. 选修4-5:不等式选讲已知x ,y 都是正数,且1xy =,求证:22(1)(1)9x y y x ++++≥.【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域.......内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是矩形,PD 垂直于底面ABCD ,2PD AD AB ==,点Q 为线段PA (不含端点)上一点.(1)当Q 是线段PA 的中点时,求CQ 与平面PBD 所成角的正弦值; (2)已知二面角Q BD P --的正弦值为23,求PQ PA的值. 23.在含有n 个元素的集合{1,2,,}n A n =⋅⋅⋅中,若这n 个元素的一个排列(1a ,2a ,…,n a )满足(1,2,,)i a i i n ≠=⋅⋅⋅,则称这个排列为集合n A 的一个错位排列(例如:对于集合3{1,2,3}A =,排列(2,3,1)是3A 的一个错位排列;排列(1,3,2)不是3A 的一个错位排列).记集合n A 的所有错位排列的个数为n D .(1)直接写出1D ,2D ,3D ,4D 的值;(2)当3n ≥时,试用2n D -,1n D -表示n D ,并说明理由;(3)试用数学归纳法证明:*2()n D n N ∈为奇数.2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)数学Ⅰ试题参考答案一、填空题1. {1}2. 53. 2y x =±4. 635. 3166. 257.3 8. 8 9. 10. 1311. 4a e ≥+ 12. 6 13. 1,53⎧⎫⎨⎬⎩⎭14. [0,1)二、解答题15.解:(1)由题意4sin 5α=,3cos 5α=,所以sin()4a b a πα⋅=++sin cos 4παα=+cos sin 4πα+4552=+⨯3522+⨯=.(2)因为//a b sin()14a πα+=α(sin coscos sin )144ππαα+=,所以2sin sin cos 1ααα+=,则2sin cos 1sin ααα=-2cos α=,对锐角α有cos 0α≠,所以tan 1α=, 所以锐角4πα=.16.证明:(1)连结MN ,正三棱柱111ABC A B C -中,11//AA CC 且11AA CC =,则四边形11AAC C 是平行四边形,因为点M 、N 分别是棱11A C ,AC 的中点,所以1//MN AA 且1MN AA =,又正三棱柱111ABC A B C -中11//AA BB 且11AA BB =,所以1//MN BB 且1MN BB =,所以四边形1MNBB 是平行四边形,所以1//B M BN ,又1B M ⊄平面1A BN ,BN ⊂平面1A BN , 所以1//B M 平面1A BN ;(2)正三棱柱111ABC A B C -中,1AA ⊥平面ABC ,BN ⊂平面ABC ,所以1BN AA ⊥,正ABC ∆中,N 是AB 的中点,所以BN AC ⊥,又1AA 、AC ⊂平面11AAC C ,1AA AC A =,所以BN ⊥平面11AAC C ,又AD ⊂平面11AAC C , 所以AD BN ⊥,由题意,1AA =,2AC =,1AN =,CD =,所以1AA AN AC CD == 又12A AN ACD π∠=∠=,所以1A AN ∆与ACD ∆相似,则1AA N CAD ∠=∠,所以1ANA CAD ∠+∠112ANA AA N π=∠+∠=,则1AD A N ⊥,又1BN A N N =,BN ,1A N ⊂平面1A BN ,所以AD ⊥平面1A BN .17.解:(1)由题意得222231141314a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,解得2211411a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=; (2)由题意知(0,1)A -,直线1l ,2l 的斜率存在且不为零, 设直线1l :11y k x =-,与直线y x =联立方程有11y k x y x=-⎧⎨=⎩,得1111(,)11E k k --,设直线2l :111y x k =--,同理1111(,)1111F k k ----,因为OE OF =,所以1111||||111k k =---,①1111111k k =---,1110k k +=无实数解; ②1111111k k =---,1112k k -=,211210k k --=,解得11k = 综上可得,直线1l的斜率为118.解:(1)设OPQ α∠=,由题,Rt OAQ ∆中,3OA =,AQO AQC π∠=-∠233πππ=-=,所以OQ =OPQ ∆中,3OP =,2POQ πθ∠=-236πππ=-=,由正弦定理得sin sin OQ OPOPQ OQP=∠∠,3sin()6ππα=--sin()6παπα=--5sin()6πα=-,5sincos 6παα=5cos sin 6πα-1cos 22αα=+cos αα=, 因为α为锐角,所以cos 0α≠,所以tan α=,得6πα=; (2)设OPQ α∠=,在OPQ ∆中,3OP =,2POQ πθ∠=-236πππ=-=,由正弦定理得sin sin OQ OPOPQ OQP =∠∠,即3sin sin(())2παπαθ=---,sin(())2παπαθ=---sin(())2παθ=--cos()αθ=-cos cos sin sin αθαθ=+,从而sin )sin θα-cos cos αθ=sin 0θ≠,cos 0α≠,所以tanα=记()f θ=,'()f θ=(0,)2πθ∈;令'()0f θ=,sin 3θ=,存在唯一0(0,)2πθ∈使得0sin 3θ=, 当0(0,)θθ∈时'()0f θ>,()f θ单调增,当0(,)2πθθ∈时'()0f θ<,()f θ单调减,所以当0θθ=时,()f θ最大,即tan OPQ ∠最大,又OPQ ∠为锐角,从而OPQ ∠最大,此时sin 3θ=.答:观赏效果达到最佳时,θ的正弦值为3. 19.解:(1)函数()y g x =的定义域为(0,)+∞.当0a =,2b =-,3()2f x x x c =-+, ∵()()f x g x ≥恒成立,∴32ln x x c x -+≥恒成立,即3ln 2c x x x ≥-+.令3()ln 2x x x x ϕ=-+,则21'()32x x xϕ=-+3123x x x +-=2(1)(133)x x x x -++=,令'()0x ϕ≥,得1x ≤,∴()x ϕ在(0,1]上单调递增, 令'()0x ϕ≤,得1x ≥,∴()x ϕ在[1,)+∞上单调递减, ∴当1x =时,max [()](1)1x ϕϕ==. ∴1c ≥.(2)①当3b =-时,32()3f x x ax x c =+-+,2'()323f x x ax =+-. 由题意,2'()3230f x x ax =+-≤对(1,1)x ∈-恒成立,∴'(1)3230'(1)3230f a f a =+-≤⎧⎨-=--≤⎩,∴0a =,即实数a 的值为0. ②函数()y h x =的定义域为(0,)+∞.当0a =,3b =-,2c =时,3()32f x x x =-+.2'()33f x x =-,令2'()330f x x =-=,得1x =.∴当(0,1)x ∈时,()0f x >,当1x =时,()0f x =,当(1,)x ∈+∞时,()0f x >.对于()ln g x x =,当(0,1)x ∈时,()0g x <,当1x =时,()0g x =,当(1,)x ∈+∞时,()0g x >. ∴当(0,1)x ∈时,()()0h x f x =>,当1x =时,()0h x =,当(1,)x ∈+∞时,()0h x >. 故函数()y h x =的值域为[0,)+∞.20.解:(1)由123n n S a +=-*()n N ∈得1223n n S a ++=-,两式作差得1212n n n a a a +++=-,即213n n a a ++=*()n N ∈.13a =,21239a S =+=,所以13n n a a +=*()n N ∈,0n a ≠,则13n na a +=*()n N ∈,所以数列{}n a 是首项为3公比为3的等比数列,所以3n n a =*()n N ∈;(2)由题意26j k i a a a λϕ+=⋅,即33263j k iλμ+=⋅⋅,所以3312j ik i λμ--+=,其中1j i -≥,2k i -≥,所以333j iλλ-≥≥,399k i μμ-≥≥,123312j i k i λμ--=+≥,所以1j i -=,2k i -=,1λμ==;(3)由12132n n n a b a b a b --++113n n a b ++⋅⋅⋅+=33n --得,11231n n n a b a b a b +-++211n n a b a b ++⋅⋅⋅++233(1)3n n +=-+-, 111213(n n n a b a b a b +-++121)n n a b a b -+⋅⋅⋅++233(1)3n n +=-+-, 1113(333)n n a b n +++--233(1)3n n +=-+-,所以21333(1)n n b n ++=-+133(333)n n +----,即1363n b n +=+,所以121n b n +=+*()n N ∈,又因为111133133a b +=-⋅-=,得11b =,所以21n b n =-*()n N ∈,从而135(21)n T n =+++⋅⋅⋅+-21212n n n +-==*()n N ∈,2*()3n n n T n n N a =∈,当1n =时1113T a =;当2n =时2249T a =;当3n =时3313T a =; 下面证明:对任意正整数3n >都有13n n T a <, 11n n n n T T a a ++-121(1)3n n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭121133nn n +⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1221((1)3)3n n n +⎛⎫+-= ⎪⎝⎭2(221)n n -++,当3n ≥时,22221(1)n n n -++=-(2)0n n +-<,即110n nn nT T a a ++-<, 所以当3n ≥时,n nT a 递减,所以对任意正整数3n >都有3313n n T T a a <=;综上可得,满足等式13n n T a =的正整数n 的值为1和3. 2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)数学Ⅱ(附加题)参考答案21.【选做题】A. 选修4-1:几何证明选讲证明:(1)连接OD ,BD .因为AB 是圆O 的直径,所以90ADB ∠=,2AB OB =. 因为CD 是圆O 的切线,所以90CDO ∠=, 又因为DA DC =,所以A C ∠=∠, 于是ADB CDO ∆≅∆,得到AB CO =, 所以AO BC =,从而2AB BC =.(2)解:由2AB =及2AB BC =得到1CB =,3CA =.由切割线定理,2133CD CB CA =⋅=⨯=,所以CD =.B. 选修4-2:矩阵与变换 解:(1)401248010505AB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦; (2)由1151B A X --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,解得51X AB ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦485280515⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,又因为a X b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,所以28a =,5b =. C. 选修4-4:坐标系与参数方程解:在sin()3πρθ-=0θ=,得2ρ=,所以圆C 的圆心的极坐标为(2,0).因为圆C 的半径PC 2==,于是圆C 过极点,所以圆的极坐标方程为4cos ρθ=. D. 选修4-5:不等式选讲 证明:因为x ,y 都是正数,所以210x y ++≥>,210y x ++≥>,22(1)(1)9x y y x xy ++++≥,又因为1xy =,所以22(1)(1)9x y y x ++++≥.【必做题】22.解:(1)以D 为原点,DA ,DC ,DP 为坐标轴,建立如图所示空间直角坐标系;设AB t =,则(0,0,0)D ,(2,0,0)A t ,(2,,0)B t t ,(0,,0)C t ,(0,0,2)P t ,(,0,)Q t t ;所以(,,)CQ t t t =-,(2,,0)DB t t =,(0,0,2)DP t =,设平面PBD 的法向量1(,,)n x y z =,则110DB n DP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即2020tx ty tz +=⎧⎨=⎩,解得200x y z +=⎧⎨=⎩,所以平面PBD 的一个法向量1(1,2,0)n =-,111cos ,n CQ n CQ n CQ⋅<>===,则CQ 与平面PBD(2)由(1)知平面PBD 的一个法向量为1(1,2,0)n =-,设(01)PQPAλλ=<<,则PQ PA λ=,DQ DP PQ =+(0,0,2)(2,0,2)t t t λ=+-(2,0,2(1))t t λλ=-,(2,,0)DB t t =,设平面QBD 的法向量2(,,)n x y z =,则220DQ n DB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即22(1)020t x t z tx ty λλ+-=⎧⎨+=⎩,解得(1)020x z x y λλ+-=⎧⎨+=⎩,所以平面QBD 的一个法向量2(1,22,)n λλλ=---,12cos ,n n =<>1212n n n n ⋅==,所以2255(1)96105λλλ-=-+,即2(2)()03λλ--=,因为01λ<<,所以23λ=,则23PQ PA =. 23. 解:(1)10D =,21D =,32D =, 49D =,(2)12(1)()n n n D n D D --=-+, 理由如下:对n A 的元素的一个错位排列(1a ,2a ,…,n a ),若1(1)a k k =≠,分以下两类: 若1k a =,这种排列是2n -个元素的错位排列,共有2n D -个;若1k a ≠,这种错位排列就是将1,2,…,1k -,1k +,…,n 排列到第2到第n 个位置上,1不在第k 个位置,其他元素也不在原先的位置,这种排列相当于1n -个元素的错位排列,共有1n D -个; 根据k 的不同的取值,由加法原理得到12(1)()n n n D n D D --=-+; (3)根据(2)的递推关系及(1)的结论,n D 均为自然数;当3n ≥,且n 为奇数时,1n -为偶数,从而12(1)()n n n D n D D --=-+为偶数, 又10D =也是偶数,故对任意正奇数n ,有n D 均为偶数.下面用数学归纳法证明2n D (其中*n N ∈)为奇数. 当1n =时,21D =为奇数;假设当n k =时,结论成立,即2k D 是奇数,则当1n k =+时,2(1)212(21)()k k k D k D D ++=++,注意到21k D +为偶数,又2k D 是奇数,所以212k k D D ++为奇数,又21k +为奇数,所以2(1)212(21)()k k k D k D D ++=++,即结论对1n k =+也成立;根据前面所述,对任意*n N ∈,都有2n D 为奇数。
江苏省2018-2019学年度苏锡常镇四市高三教学情况调查(一)数学试题(含附加题)
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2018-2019学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查(一)数学Ⅰ一、填空题,本大题共14 题,每小题5 分,共70 分,不需要写出解答过程,请把答案直接填在答题卡相应位置上1、已知集合A ={0,1,2},B ={x | -1 <x < 1},则A∩B =▲ .2、i为虚数单位,复数(1- 2i)2 的虚部为▲ .3、抛物线y 2 = 4x 的焦点坐标为▲ .4、箱子中有形状、大小相同的3只红球、1只白球,一次摸出2 只球,则摸到的2 只球颜色相同的概率为▲ .5、如图是抽取某学校160 名学生的体重频率分布直方图,已知从左到右的前3组的频率成等差数列,则第2 组的频数为▲ .6、如图是一个算法流程图,则输出的S 的值是▲ .7、已知函数2log (3),0()21,0x x x f x x -≤⎧=⎨->⎩,若1(1)2f a -=, 则实数a = ▲ .8、中国古代著作《 张丘建算经》 有这样一个问题:“今有马行转迟,次日减半疾,七日行七百里”,意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢,每天行走的里程是前一天的一半, 七天一共行走了 700 里, 那么这匹马在最后一天行走的里程数为 ▲ .9、已知圆柱的轴截面的对角线长为 2, 则这个圆柱的侧面积的最大值为 ▲ .10、设定义在区间 (0,2π)上的函数 y =x 的图像与 y = 3cos 2x + 2 的图像交于点P , 则点 P 到 x 轴的距离为 ▲ .11、在△ABC 中 , 角 A , B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知5a = 8b ,A = 2B , 则sin (A -4π)= ▲ . 12、若直线 l : ax + y - 4a = 0 上存在相距为 2 的两个动点 A ,B ,圆 O : x 2 + y 2 =1上存在 点 C , 使得△ABC 为等腰直角三角形(C 为直角顶点), 则实数 a 的取值范围为 ▲ . 13、在△ABC 中, 已知 AB = 2, AC = 1,∠BAC = 90º, D ,E 分别为 BC ,AD 的中点, 过点 E 的直线交 AB 于点 P ,交 AC 于点 Q , 则BQ CP ⋅u u u r u u r的最大值为 ▲ . 14、已知函数 f (x ) = x 2 +|x - a |, g (x ) = (2a -1)x + a ln x , 若函数 y = f (x ) 与函数 y = g (x ) 的图像恰好有两个不同的交点, 则实数 a 的取值范围为 ▲ .二、 解答题: 共 6 小题, 共 90 分、请在答题卡指定区域内作答, 解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 15.( 本小题满分 14 分)如图,三棱锥 D - ABC 中,已知 AC ⊥ BC , AC ⊥ DC , BC = DC , E ,F 分别为BD , CD 的中点, 求证: (1) EF // 平面 ABC ; (2) BD ⊥平面 ACE.16.( 本小题满分 14 分)已知向量 a = (2cos α,2sin α ),b = (cos α - sin α,cos α + sin α ). (1) 求向量a 与b 的夹角; (2) 若(λb - a ) ⊥ a ,求实数 λ的值.某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化. 已知空地的一边是直路 AB ,余下的外围是抛 物线的一段弧, 直路 AB 的中垂线恰是该抛物线的对称轴( 如图) . 拟在这个空地上划出 一个等腰梯形 ABCD 区域种植草坪, 其中 A , B ,C , D 均在该抛物线上. 经测量, 直路 AB 长为 40 米, 抛物线的顶点 P 到直路 AB 的距离为 40 米. 设点C 到抛物线的对称轴的距离为m 米, 到直路AB 的距离为 n 米. (1) 求出 n 关于 m 的函数关系式;(2) 当m 为多大时, 等腰梯形草坪 ABCD 的面积最大? 并求出其最大值.18.( 本小题满分 16 分)已知椭圆E : 22221(0)x y a b a b +=>> (1) 求椭圆 E 的标准方程;(2) 已知 P (t ,0) 为椭圆 E 外一动点, 过点 P 分别作直线 l 1和 l 2 , l 1和 l 2 分别交椭圆 E 于点 A , B 和点C ,D , 且 l 1和 l 2 的斜率分别为定值k 1 和k 2,求证:PA PBPC PD为定值.已知函数 f (x ) = (x +1)ln x + ax (a ∈ R ).(1) 若 y = f (x ) 在(1,f (1)) 处的切线方程为 x + y + b = 0 , 求实数 a ,b 的值;(2) 设函数 g (x ) =()f x x, x ∈ [1,e ]( 中 e 为自然对数的底数) . ①当 a =- 1时, 求 g (x ) 的最大值;②若h (x ) =()g x x是单调递减函数, 求实数 a 的取值范围.20.( 本小题满分 16 分)定义: 若有穷数列 a 1,a 2,⋅⋅⋅,a n 同时满足下列三个条件, 则称该数列为 P 数列.①首项 a 1 = 1; ② a 1 < a 2 < ⋅⋅⋅ < a n ; ③对于该数列中的任意两项 a i 和 a j (1 ≤ i ≤ j ≤ n ) , 其积 a i a j 或商j ia a 仍是该数列中的项.(1) 问等差数列1,3,5 是否为 P 数列?(2) 若数列 a ,b ,c ,6 是 P 数列, 求 b 的取值范围;(3) 若 n > 4 ,且数列 b 1,b 2,…,b n 是 P 数列, 求证: 数列 b 1,b 2,⋅⋅⋅,b n 是等比数列.2018-2019学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查(一)数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】本题包括A ,B ,C 三小题,请选定其中两题作答,每小题10分共计20分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤. A .选修4—2:矩阵与变换已知x ,y ∈R ,12α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是矩阵A = 10 x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的属于特征值﹣1的一个特征向量,求矩阵A 的另一个特征值.B .选修4—4:坐标系与参数方程在极坐标系中,已知直线l :sin()03πρθ-=,在直角坐标系(原点与极点重合,x 轴正方向为极轴的正方向)中,曲线C 的参数方程为1414y t tx t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数).设l 与C 交于A ,B 两点,求AB 的长.C .选修4—5:不等式选讲若不等式15x x a ++-≥对任意的x ∈R 恒成立,求实数a 的取值范围.【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分10分)从批量较大的产品中随机取出10件产品进行质量检测,若这批产品的不合格率为0.05,随机变量X 表示这10件产品中的不合格产品的件数.(1)蚊:这10件产品中“恰好有2件不合格的概率P(X =2)”和“恰好有3件不合格的概率P(X =3)”哪个大?请说明理由;(2)求随机变量X 的数学期望E(X). 23.(本小题满分10分)已知34268243451681022()n nn n C C C C f n C C C C ++=++++,562468243451681022()n nn n C C C C g n C C C C +++=++++,其中n N *∈,2n ≥.(1)求(2)f ,(3)f ,(2)g ,(3)g 的值;(2)记()()()h n f n g n =-,求证:对任意的m N *∈,m ≥2,总有1(2)2mm h ->.2018-2019学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查(一)数学Ⅰ参考答案一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分. 1.{}0 2.4- 3.(1,0) 4.125.408. 700127 9.2π 10.313.94- 14.1a >二、解答题:本大题共6小题,共计90分.15.(1)三棱锥D ABC -中,∵E 为DC 的中点,F 为DB 的中点,∴EF BC ∥, …………………………3分 ∵BC ⊂平面ABC ,EF ⊄平面ABC ,∴EF ∥平面ABC . ……………………………………………………………6分 (2)∵AC BC ⊥,AC DC ⊥,BC DC C =,∴AC ⊥平面BCD , …………………………………………………………………8分 ∵BD ⊂平面BCD ,∴AC BD ⊥, ………………………………………………10分 ∵,DC BC E =为BD 的中点,∴CE BD ⊥, ……………………………………12分 ∵AC CE C =,∴BD ⊥平面ACE . …………………………………………14分 16.(1)设向量a 与b 的夹角为θ,因为2=a ,==b ………………………4分 所以cos θ⋅=⋅a ba b =22==…………………………………………………………7分 考虑到0πθ剟,得向量a 与b 的夹角4π. ………………………………………9分(2)若()λ-⊥b a a ,则()0λ-⋅=b a a ,即20λ⋅-=b a a , ………………………12分 因为2⋅=b a ,24=a ,所以240λ-=,解得2λ=. ……………………………………………………14分 17.(1)以路AB 所在的直线为x 轴,抛物线的对称轴为y 轴建立平面直角坐标系, …………………………………………………1分 则(20,0)A -,(20,0)B ,(0,40)P , …………………………………………………2分∵曲线段APB 为抛物线的一段弧,∴可以设抛物线的解析式为(20)(20)y a x x =-+, 将点(0,40)P 代入得:40400a =-,解得110a =-, ………………………………4分∴抛物线的解析式为21(400)10y x =-, …………………………………………5分 ∵点C 在抛物线上,∴21(400)10n m =-,00m <<2. ………………………6分(2)设等腰梯形ABCD 的面积为S ,则211(240)(400)210S m m =⨯+⨯-, ………………………………………………8分321(204008000)10S m m m =--++, ………………………………………………9分 ∵211(340400)(320)(20)1010S m m m m '=--+=--+, ………………………10分令0S '=,得20m =, …………………………………………………………11分分 ∴当203m =时,等腰梯形ABCD 的面积最大,最大值为2560027平方米. …………14分18. (1)设椭圆的半焦距为c ,由已知得,c a=2a c c -=,222c a b =-, ………………………………………3分 解得2a =,1b =,c = …………………………………………………………5分∴椭圆E 的标准方程是2214x y +=. ………………………………………………6分 (2)由题意,设直线1l 的方程为1()y k x t =-,代入椭圆E 的方程中,并化简得,22222111(14)8440k x k t xk t +-+-=, …………………………………………………8分 设11(,)A x y ,22(,)B x y .则211221814k t x x k +=+,22112214414k t x x k -=+,因为P A 1t -,PB 2t -,……………………………………10分 所以PA PB ⋅=2112(1)k x t x t +--2211212(1)()k t x x t x x =+-++2222221112211844(1)1414k t k t k t k k -=+-+++221211|4|14k t k +-=+(), ……………………………12分同理,PC ⋅ PD =222221|4|14k t k +-+(), …………………………………………………14分所以PA PB PC PD ⋅⋅=22122221(114114k k k k ++++)()()()为定值. ………………………………………16分 19.(1)1()ln x f x x a x+'=++,(1)21f a '=+=-,3a =-, ………………………1分 (1)3f a ==-,(1,3)-代入0x y b ++=解得2b =. ……………………………2分 (2)①∵1()(1)ln 1g x x x =+-,则222ln 1ln 1()x x x x g x x x x +-+'=-+=. …………3分令()ln 1x x x ϕ=-+,则1()10x xϕ'=-≥,()x ϕ在[]1,e 单调递增, …………………………………5分()(1)0x ϕϕ>≥, ………………………………………………………………6分∴()0g x '>,()g x 在[]1,e 单调递增,∴()g x 的最大值为1(e)eg =. …………8分 ②同理,单调递增函数()()f x g x x =1,1e a a ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦, ……………………………9分则11()(1)ln ex h x x a x =++⋅.1若0a ≥,()0g x ≥,1(1)ln ()e xx ax h x ++=,111ln (1)ln ()exx x x ax x x h x +-+-+-'=222(1)ln 10e x x x x ax x x -++-++=…, 令22()(1)ln 1u x x x x ax x =-++-++, 则1()(12)ln (21)0u x x x a x x'=-+--+<. 即()u x 在[]1,e 单调递减,∴max ()(1)20u x u a ==-+…,∴2a ≥.……………11分2若a …1知,h 即221(1)ln ax x x x x +-++≤对[1,e]x ∈恒成立,3若e +-[)2,⎤+∞⎥⎦.20.(1)∵3515⨯=,53均不在此等差数列中, ∴等差数列1,3,5不是P 数列; …………………………………………………2分 (2)∵数列a ,b ,c ,6是P 数列,所以1=a <b <c <6, ………………………3分由于6b 或6b是数列中的项,而6b 大于数列中的最大项6, ∴6b 是数列中的项,同理6c也是数列中的项, ……………………………………5分考虑到1<6c <6b <6,于是6c =b ,6b=c ,∴bc =6,又1<b <c ,所以1<b …………………………………………7分综上,b 的取值范围是(1. ………………………………………………8分(3)∵数列{b n }是P 数列,所以1=b 1<b 2<b 3<…<b n ,由于b 2b n 或2n b b 是数列中的项,而b 2b n 大于数列中的最大项b n , ∴2n b b 是数列{b n }中的项, …………………………………………………………10分 同理3n b b ,4n b b ,…,1n n b b -也都是数列{b n }中的项, 考虑到1<1n n b b -<…<2n b b <b n ,且1,1n n b b -,…,2n b b ,b n 这n 个数全是共有n 项的增数列1, b 2,…,b n 中的项, ∴21n n b b b -=,…,12n n b b b -=, 从而b n =b i b n +1-i (i =1,2,…,n -1),① ………………………………12分又∵b n -1b 3>b n -1b 2=b n ,所以b n -1b 3不是数列{b n }中的项, ∴13n b b -是数列{b n }中的项,同理14n b b -,…12n n b b --也都是数列{b n }中的项, 考虑到1<12n n b b --<…<14n b b -<13n b b -<3n b b =b n -2<b n -1<b n , 且1,12n n b b --,…,14n b b -,13n b b -,3n b b ,b n -1,b n 这n 个数全是共有n 项的增数列1, b 2,…,b n 中的项,于是,同理有,b n -1=b i b n -i (i =1,2,…,n -2),② …………………………14分在①中将i 换成i +1后与②相除,得1n n b b -=1i ib b +,i =1,2,…,n -2, ∴b 1,b 2,…,b n 是等比数列. …………………………………………………16分2018-2019学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查(一)数学Ⅱ(附加题) 参考答案21.【选做题】本题包括A ,B ,C ,三小题,每小题10分.A .(选修4—2:矩阵与变换)解:∵12α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是矩阵10x A y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的属于特征值1-的一个特征向量, ∴111022x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,∴21,22,x y +=-⎧⎨=-⎩解得3,1x y =-=-, ……………………4分 ∴3101A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦, …………………………………………………………………6分 特征多项式为31()001f λλλ+-==+,即(3)(1)0λλ++=, ……………………8分 ∴另一个特征值为3λ=-. …………………………………………………………10分B .(选修4—4:坐标系与参数方程)解:以极点为直角坐标系原点,极轴为x 轴建立坐标系, 直线sin()03πρθ-=的直角坐标方程为y =, ……………………………………2分 曲线1,41,4y t t x t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩的普通方程为221y x -=, ……………………………………………4分则直线与曲线的交点为A和(B , ………………………………7分∴AB ==. ………………………………………………………………10分C .(选修4—5:不等式选讲) 解:∵111x x a x x a a ++-+-+=+≥, …………………………………………4分 ∴要使不等式15x x a ++-≥对任意的R x ∈恒成立,当且仅当15a +≥, ………7分 ∴4a ≥或6a -…. ………………………………………………………………………10分【必做题】第22,23题,每小题10分,计20分.22.解: 由于批量较大,可以认为随机变量(10,0.05)X B , ………………………2分(1)恰好有2件不合格的概率22810(2)0.050.95P X C ==⨯⨯,恰好有3件不合格的概率33710(3)0.050.95P X C ==⨯⨯, ……………………………4分 ∵22810337100.050.95(2)571(3)0.050.958C P X P X C ⨯⨯===>=⨯⨯, ∴(2)(3)P X P X =>=,即恰好有2件不合格的概率大; …………………………6分(2)∵1010()(1)k k k k P X k p C p p -===-,0,1,2,,10k =.随机变量X 的概率分布为:故0()0.5k k E X kp ===∑. ………………………………………………………………9分答:随机变量X 的数学期望()E X 为0.5. …………………………………………10分23.解:(1)24363(2)10C f C ==,3264346841(3)70C C f C C =+=, 44361(2)20C g C ==,5464346819(3)140C C g C C =+=;……………………………………………3分 (2)∵222122(2)!(2)!(!)(!)((2)!)((2)!)(22)!((1)!)((1)!)k k k k k k k k C C k k k k k C k k +++--⋅-⋅+=++⋅+ 2(1)(2)(1)(1)(22)(21)(2)k k k k k k k k ++-+-=+++ (1)(42)1(22)(21)(2)2k k k k k k ++==++++, ………………………………………4分 ∴222122221()()()2k k n n k k k k k k C Ch n f n g n C k ++==+-=-==+∑∑.……………………………………5分 下面用数学归纳法证:对任意的*,2N m m ∈≥,总有1(2)2m m h ->. 当2m =时,111371(4)456602h =++=>,命题成立;则当1m t =+时,11111(2)(2)232422t t t t t h h ++=+++⋅⋅⋅++++ 111111122324252622t t t t t t +->++++⋅⋅⋅++++++(), …………………………7分 ∵3t ≥,1113232422t t t ++-+++1(23)2(23)(24)(22)t t t t t +--22=+++0>, ∴1113232422t t t ++>+++. ……………………………………………………………8分 又1111252622t t t ++⋅⋅⋅++++111111222222t t t +++>++⋅⋅⋅++++ 12222t t +-=+, ………………………………………………………………………9分 ∴1111322(2)222222t t t t t t h +++-->++=++, ∴命题成立. ……………………………………………………………………………10分。
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2018江苏苏锡常镇四市高三调研(一)数学试题及答案2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)数学Ⅰ试题一、填空题:本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题..卡相应位置上....... 1.已知集合{1,1}A =-,{3,0,1}B =-,则集合A B =I .2.已知复数z 满足34z i i ⋅=-(i 为虚数单位),则z =.3.双曲线22143x y -=的渐近线方程为 .4.某中学共有1800人,其中高二年级的人数为600.现用分层抽样的方法在全校抽取n 人,其中高二年级被抽取的人数为21,则n = .5.将一颗质地均匀的正四面体骰子(每个面上分别写有数字1,2,3,4)先后抛掷2次,观察其朝下一面的数字,则两次数字之和等于6的概率为 .6.如图是一个算法的流程图,则输出S 的值是 .7.若正四棱锥的底面边长为2cm ,侧面积为28cm ,则它的体积为 3cm .8.设nS 是等差数列{}na 的前n 项和,若242aa +=,241S S +=,则10a = .9.已知0a >,0b >,且23aba b+=,则ab 的最小值是 .10.设三角形ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b,c ,已知tan 3tan A c bB b-=,则cos A = . 11.已知函数,1()4,1x a e x f x x x x ⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩(e 是自然对数的底).若函数()y f x =的最小值是4,则实数a 的取值范围为 .12.在ABC ∆中,点P 是边AB 的中点,已知3CP =u u u r4CA =u u u r ,23ACB π∠=,则CP CA ⋅=u u u r u u u r .13.已知直线l :20x y -+=与x 轴交于点A ,点P 在直线l 上,圆C :22(2)2x y -+=上有且仅有一个点B 满足AB BP⊥,则点P 的横坐标的取值集合为 . 14.若二次函数2()f x axbx c =++(0)a >在区间[1,2]上有两个不同的零点,则(1)f a 的取值范围为 . 二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域.......内作答,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量(2sin ,1)a α=r,(1,sin())4b πα=+r .(1)若角α的终边过点(3,4),求a b ⋅的值; (2)若//a b ,求锐角α的大小.16.如图,正三棱柱111ABC A B C -的高为6,其底面边长为2.已知点M ,N 分别是棱11A C ,AC 的中点,点D是棱1CC 上靠近C 的三等分点.求证:(1)1//B M 平面1A BN ;(2)AD ⊥平面1A BN .17.已知椭圆C :22221x y a b+=(0)a b >>经过点1(3,)2,3(1,)2,点A 是椭圆的下顶点. (1)求椭圆C 的标准方程;(2)过点A 且互相垂直的两直线1l ,2l 与直线y x =分别相交于E ,F 两点,已知OE OF =,求直线1l 的斜率.18.如图,某景区内有一半圆形花圃,其直径AB 为6,O 是圆心,且OC AB ⊥.在OC 上有一座观赏亭Q ,其中23AQC π∠=.计划在BC 上再建一座观赏亭P ,记(0)2POB πθθ∠=<<.(1)当3πθ=时,求OPQ ∠的大小; (2)当OPQ ∠越大,游客在观赏亭P 处的观赏效果越佳,求游客在观赏亭P 处的观赏效果最佳时,角θ的正弦值. 19.已知函数32()f x x ax bx c=+++,()ln g x x =.(1)若0a =,2b =-,且()()f x g x ≥恒成立,求实数c 的取值范围;(2)若3b =-,且函数()y f x =在区间(1,1)-上是单调递减函数.①求实数a 的值; ②当2c =时,求函数(),()()()(),()()f x f xg xh x g x f x g x ≥⎧=⎨<⎩的值域. 20.已知nS 是数列{}na 的前n 项和,13a=,且123n n S a +=-*()n N ∈.(1)求数列{}na 的通项公式;(2)对于正整数i ,j ,()k i j k <<,已知ja λ,6i a ,kaμ成等差数列,求正整数λ,μ的值;(3)设数列{}nb 前n 项和是nT ,且满足:对任意的正整数n ,都有等式12132nn n a b a b a b --++113n n a b ++⋅⋅⋅+=33n --成立.求满足等式13n nTa=的所有正整数n .2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】在A ,B ,C ,D 四小题中只能选做两题,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A. 选修4-1:几何证明选讲如图,AB 是圆O 的直径,D 为圆O 上一点,过点D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点C ,且满足DA DC =.(1)求证:2AB BC =; (2)若2AB =,求线段CD 的长. B. 选修4-2:矩阵与变换已知矩阵4001A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,1205B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,列向量a X b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.(1)求矩阵AB ; (2)若1151B A X --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,求a ,b 的值.C. 选修4-4:坐标系与参数方程 在极坐标系中,已知圆C 经过点(22,)4P π,圆心为直线sin()33πρθ-=-C 的极坐标方程.D. 选修4-5:不等式选讲已知x ,y 都是正数,且1xy =,求证:22(1)(1)9x y y x ++++≥. 【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域.......内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是矩形,PD垂直于底面ABCD ,2PD AD AB ==,点Q 为线段PA (不含端点)上一点.(1)当Q 是线段PA 的中点时,求CQ 与平面PBD 所成角的正弦值;(2)已知二面角Q BD P --的正弦值为23,求PQPA的值. 23.在含有n 个元素的集合{1,2,,}nAn =⋅⋅⋅中,若这n 个元素的一个排列(1a ,2a ,…,na )满足(1,2,,)ia i i n ≠=⋅⋅⋅,则称这个排列为集合nA 的一个错位排列(例如:对于集合3{1,2,3}A=,排列(2,3,1)是3A 的一个错位排列;排列(1,3,2)不是3A 的一个错位排列).记集合nA 的所有错位排列的个数为nD .(1)直接写出1D ,2D ,3D ,4D 的值;(2)当3n ≥时,试用2n D -,1n D -表示nD ,并说明理由;(3)试用数学归纳法证明:*2()nDn N ∈为奇数.2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)数学Ⅰ试题参考答案一、填空题1. {1}2. 53. 32y x =±4. 635. 3166. 2543 8. 8 9. 261311. 4a e ≥+ 12. 6 13. 1,53⎧⎫⎨⎬⎩⎭14. [0,1)二、解答题15.解:(1)由题意4sin 5α=,3cos 5α=,所以2sin()4a b a πα⋅=++2sin cos 4παα=+cos sin4πα+4242552=+⨯3232522+⨯=.(2)因为//a b 2sin()14a πα+=,即2α(sin coscos sin )144ππαα+=,所以2sin sin cos 1ααα+=,则2sin cos 1sin ααα=-2cos α=,对锐角α有cos 0α≠,所以tan 1α=,所以锐角4πα=.16.证明:(1)连结MN ,正三棱柱111ABC A B C -中,11//AA CC 且11AA CC =,则四边形11AAC C 是平行四边形,因为点M、N 分别是棱11A C ,AC 的中点,所以1//MN AA 且1MN AA =,又正三棱柱111ABC A B C -中11//AA BB 且11AA BB =,所以1//MN BB且1MN BB =,所以四边形1MNBB 是平行四边形,所以1//B M BN,又1B M ⊄平面1A BN ,BN ⊂平面1A BN ,所以1//B M 平面1A BN ;(2)正三棱柱111ABC A B C -中,1AA ⊥平面ABC ,BN ⊂平面ABC ,所以1BN AA ⊥,正ABC ∆中,N 是AB 的中点,所以BN AC ⊥,又1AA 、AC ⊂平面11AAC C ,1AA AC A=I,所以BN ⊥平面11AAC C ,又AD ⊂平面11AAC C , 所以AD BN ⊥,由题意,16AA =2AC =,1AN =,63CD =,所以132AA ANAC CD ==又12A AN ACD π∠=∠=,所以1A AN ∆与ACD ∆相似,则1AA N CAD∠=∠,所以1ANA CAD ∠+∠112ANA AA N π=∠+∠=, 则1AD A N ⊥,又1BN A N N=I,BN ,1A N ⊂平面1A BN ,所以AD ⊥平面1A BN . 17.解:(1)由题意得222231141314a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,解得2211411a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=;(2)由题意知(0,1)A -,直线1l ,2l 的斜率存在且不为零,设直线1l :11y k x =-,与直线y x =联立方程有11y k x y x=-⎧⎨=⎩,得1111(,)11E k k --,设直线2l :111y x k =--,同理1111(,)1111F k k ----,因为OE OF =,所以1111||||111k k =---,①1111111k k =---,1110k k +=无实数解;②1111111k k =---,1112k k -=,211210kk --=,解得112k=综上可得,直线1l 的斜率为1218.解:(1)设OPQ α∠=,由题,Rt OAQ ∆中,3OA =,AQO AQC π∠=-∠233πππ=-=,所以3OQ =OPQ ∆中,3OP =,2POQ πθ∠=-236πππ=-=, 由正弦定理得sin sin OQ OPOPQ OQP=∠∠, 即33sin sin()6παπα=--3sin()6παπα=--5sin()6πα=-,53sincos 6παα=5cos sin 6πα-13cos 22αα=+,所以3cos αα=,因为α为锐角,所以cos 0α≠,所以3tan 3α=,得6πα=; (2)设OPQ α∠=,在OPQ ∆中,3OP =,2POQ πθ∠=-236πππ=-=, 由正弦定理得sin sin OQ OPOPQ OQP=∠∠,即33sin(())2ππαθ=---,所以3sin(())2παπαθ=---sin(())2παθ=--cos()αθ=-cos cos sin sin αθαθ=+,从而3sin )sin θαcos cos αθ=3sin 0θ≠,cos 0α≠,所以tan 3sin αθ=-,记()3sin f θθ=-,213sin '()(3sin )f θθθ-=-(0,)2πθ∈; 令'()0f θ=,3sin 3θ=,存在唯一0(0,)2πθ∈使得03sin 3θ=,当0(0,)θθ∈时'()0f θ>,()f θ单调增,当0(,)2πθθ∈时'()0f θ<,()f θ单调减,所以当0θθ=时,()f θ最大,即tan OPQ ∠最大, 又OPQ ∠为锐角,从而OPQ ∠最大,此时3sin 3θ=. 答:观赏效果达到最佳时,θ的正弦值为33.19.解:(1)函数()y g x =的定义域为(0,)+∞.当0a =,2b =-,3()2f x xx c=-+,∵()()f x g x ≥恒成立,∴32ln xx c x-+≥恒成立,即3ln 2c x x x≥-+.令3()ln 2x x xxϕ=-+,则21'()32x x xϕ=-+3123x x x +-=2(1)(133)x x x x -++=,令'()0x ϕ≥,得1x ≤,∴()x ϕ在(0,1]上单调递增, 令'()0x ϕ≤,得1x ≥,∴()x ϕ在[1,)+∞上单调递减,∴当1x =时,max[()](1)1x ϕϕ==.∴1c ≥.(2)①当3b =-时,32()3f x x ax x c=+-+,2'()323f x xax =+-.由题意,2'()3230f x xax =+-≤对(1,1)x ∈-恒成立,∴'(1)3230'(1)3230f a f a =+-≤⎧⎨-=--≤⎩,∴0a =,即实数a 的值为0. ②函数()y h x =的定义域为(0,)+∞. 当0a =,3b =-,2c =时,3()32f x xx =-+.2'()33f x x =-,令2'()330f x x=-=,得1x =.x(0,1)1(1,)+∞'()f x - 0+ ()f x]极小值0Z∴当(0,1)x ∈时,()0f x >,当1x =时,()0f x =,当(1,)x ∈+∞时,()0f x >.对于()ln g x x =,当(0,1)x ∈时,()0g x <,当1x =时,()0g x =,当(1,)x ∈+∞时,()0g x >.∴当(0,1)x ∈时,()()0h x f x =>,当1x =时,()0h x =,当(1,)x ∈+∞时,()0h x >.故函数()y h x =的值域为[0,)+∞. 20.解:(1)由123nn S a +=-*()n N ∈得1223n n Sa ++=-,两式作差得1212n n n aa a +++=-,即213n n aa ++=*()n N ∈. 13a =,21239aS =+=,所以13n n aa +=*()n N ∈,0na≠,则13n na a +=*()n N ∈,所以数列{}na 是首项为3公比为3的等比数列, 所以3n na=*()n N ∈;(2)由题意26jk ia a a λϕ+=⋅,即33263jk iλμ+=⋅⋅,所以3312j ik i λμ--+=,其中1j i -≥,2k i -≥,所以333j iλλ-≥≥,399k iμμ-≥≥,123312j i k i λμ--=+≥,所以1j i -=,2k i -=,1λμ==;(3)由12132nn n a ba b a b --++113n n a b ++⋅⋅⋅+=33n --得, 11231n n n a b a b a b +-++211n n a b a b ++⋅⋅⋅++233(1)3n n +=-+-,111213(n n n a b a b a b +-++121)n n a b a b -+⋅⋅⋅++233(1)3n n +=-+-,1113(333)n n a b n +++--233(1)3n n +=-+-,所以21333(1)n n b n ++=-+133(333)n n +----,即1363n bn +=+,所以121n b n +=+*()n N ∈,又因为111133133a b +=-⋅-=,得11b =,所以21nbn =-*()n N ∈, 从而135(21)n T n =+++⋅⋅⋅+-21212n n n +-==*()n N ∈,2*()3n n n T n n N a =∈,当1n =时1113Ta=;当2n =时2249Ta=;当3n =时3313Ta=;下面证明:对任意正整数3n >都有13n nTa<,11n n n n T T a a ++-121(1)3n n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭121133n n n +⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1221((1)3)3n n n +⎛⎫+-= ⎪⎝⎭2(221)n n -++,当3n ≥时,22221(1)nn n -++=-(2)0n n +-<,即110n nn nTT aa ++-<,所以当3n ≥时,n nT a递减,所以对任意正整数3n >都有3313n nTT aa <=;综上可得,满足等式13n nTa=的正整数n 的值为1和3.2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)数学Ⅱ(附加题)参考答案21.【选做题】A. 选修4-1:几何证明选讲证明:(1)连接OD ,BD .因为AB 是圆O 的直径,所以90ADB ∠=o,2AB OB =.因为CD 是圆O 的切线,所以90CDO ∠=o,又因为DA DC =,所以A C ∠=∠, 于是ADB CDO ∆≅∆,得到AB CO =, 所以AO BC =,从而2AB BC =.(2)解:由2AB =及2AB BC =得到1CB =,3CA =.由切割线定理,2133CDCB CA =⋅=⨯=,所以3CD =B. 选修4-2:矩阵与变换解:(1)401248010505AB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦;(2)由1151BA X --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,解得51X AB ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦485280515⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,又因为a X b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,所以28a =,5b =.C. 选修4-4:坐标系与参数方程 解:在sin()33πρθ-=-0θ=,得2ρ=, 所以圆C 的圆心的极坐标为(2,0). 因为圆C 的半径PC 22(22)22222cos24π=+-⨯⨯⨯=,于是圆C 过极点,所以圆的极坐标方程为4cos ρθ=. D. 选修4-5:不等式选讲 证明:因为x ,y 都是正数, 所以223130x yxy ++≥>,223130y xyx ++≥>,22(1)(1)9x y y x xy++++≥,又因为1xy =,所以22(1)(1)9x y y x ++++≥.【必做题】22.解:(1)以D 为原点,DA ,DC ,DP 为坐标轴,建立如图所示空间直角坐标系;设AB t =,则(0,0,0)D ,(2,0,0)A t ,(2,,0)B t t ,(0,,0)C t ,(0,0,2)P t ,(,0,)Q t t ;所以(,,)CQ t t t =-u u u r,(2,,0)DB t t =u u u r,(0,0,2)DP t =u u u r,设平面PBD 的法向量1(,,)n x y z =u r ,则110DB n DP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u r u u ur u r ,即2020tx ty tz +=⎧⎨=⎩,解得200x y z +=⎧⎨=⎩,所以平面PBD 的一个法向量1(1,2,0)n =-u r,111cos ,n CQ n CQ n CQ⋅<>=u r u u u ru r u u u r u r u u u r 53t =⨯15=,则CQ 与平面PBD 所成角的正弦值为155.(2)由(1)知平面PBD 的一个法向量为1(1,2,0)n =-u r,设(01)PQPAλλ=<<,则PQ PAλ=u u u r u u u r ,DQ DP PQ =+u u u r u u u r u u u r (0,0,2)(2,0,2)t t t λ=+-(2,0,2(1))t t λλ=-,(2,,0)DB t t =u u u r ,设平面QBD 的法向量2(,,)n x y z =u u r ,则220DQ n DB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u r u u ur u u r ,即22(1)020t x t z tx ty λλ+-=⎧⎨+=⎩,解得(1)020x z x y λλ+-=⎧⎨+=⎩,所以平面QBD 的一个法向量2(1,22,)n λλλ=---u u r,由题意得21221()cos ,3n n -=<>u r u u r 1212n n n n ⋅=u r u u ru r u u r 2225(1)5(1)(22)()λλλλ-=-+-+-,所以2255(1)96105λλλ-=-+,即2(2)()03λλ--=, 因为01λ<<,所以23λ=,则23PQ PA =. 23. 解:(1)10D =,21D=,32D =, 49D =,(2)12(1)()nn n Dn D D --=-+,理由如下:对nA 的元素的一个错位排列(1a ,2a ,…,na ),若1(1)a k k =≠,分以下两类:若1ka=,这种排列是2n -个元素的错位排列,共有2n D -个;若1ka≠,这种错位排列就是将1,2,…,1k -,1k +,…,n排列到第2到第n 个位置上,1不在第k 个位置,其他元素也不在原先的位置,这种排列相当于1n -个元素的错位排列,共有1n D -个;根据k 的不同的取值,由加法原理得到12(1)()n n n D n D D --=-+;(3)根据(2)的递推关系及(1)的结论,nD 均为自然数;当3n ≥,且n 为奇数时,1n -为偶数,从而12(1)()n n n D n D D --=-+为偶数,又10D =也是偶数,故对任意正奇数n ,有nD 均为偶数.下面用数学归纳法证明2nD (其中*n N ∈)为奇数.当1n =时,21D =为奇数;假设当n k =时,结论成立,即2kD 是奇数,则当1n k =+时,2(1)212(21)()k k k Dk D D ++=++,注意到21k D +为偶数,又2kD 是奇数,所以212k kDD ++为奇数,又21k +为奇数,所以2(1)212(21)()k k k D k D D ++=++,即结论对1n k =+也成立;根据前面所述,对任意*n N ∈,都有2nD 为奇数.。