第五章-异方差性-答案说课讲解
第五章 异方差性
Qt
ALt
K
t
eut
• U为随机误差项，它包含了资本K和劳动力L
以外的因素对产出Q的影响，比如能源、环境、
政策等。由于不同的地区这些因素不同造ui 成了 对产出的影响出现差异，使得模型中的 具有
异方差，并且这种异方差的表现是随资本和劳 动力的增加而有规律变化的。
(二）样本数据的观测误差
• 一方面，样本数据的观测误差常随着时间的 推移而逐步积累，引起随机误差项的方差增 加。另一方面，随着时间的推移，样本观测 技术会随之提高，也可能使得样本的观测误 差减少，引起随机误差项的方差减小。因此， 随着时间的推移，样本数据的观测误差会发 生变化，从而引起随机误差项的变化。
Yt 1 2 X 2i 3 X 3i ui (1)
Y 1 2 X 2 3 X 3
(2)
Yt 1' 2 X 2i ui'
(3)
Y 1' 2 X 2
(4)
由(2)、(4)得:1' 1 3 X3 (5)
由(1)、(3)、(5)得:
Var(ui )
2 i
f
(X
ji )
i 1, 2, , n
则称随机误差项存在异方差.
( 即回归模型中随机误差项的方差不是常数 )
例2：使用截面数据研究储蓄函数
假设 储蓄函数模型Y i 0 1X i ui
式中：Y i第i个家庭的储蓄额，X i第i个家庭的可支配收入，ui 代表除可支配收入以外影响储蓄额的其它因素，如利率、家庭 人口、文化背景等等。这里，同方差假设显然与事实不符。
ui' 1 3 X 3i ui 1'
5异方差性
钱还很多，这些余钱可用于购买奢侈消费品，也可用于储蓄或投资，其消费支出的方差 将会很大。显然，这里存在异方差现象。
又例如，使用截面资料建立储蓄模型（可能存在异方差）
Yi 1 2 X i ui
Yi : 第i个家庭的储蓄额; X i : 第i个家庭的可支配收入 ui : 除可支配收入之外的其它因素(如 : 利息、家庭人口、文化背景等)
销售收入 利润总额
商店名称
X
Y
回归值
残差
1、百货大楼 2、城乡贸易中心
… 19．新街口百货商场 20．星座商厦
160.0
12.8
10.2
2.634705
151.8
8.9
9.6
-0.717881
…
…
…
…
22.2
1.0
1.0
0.033928
20.7
0.5
0.9
-0.365935
资料来源：《北京统计年鉴》1997年卷 利润总额对销售收入的线性回归, Kt增大），观测误差降低， 引起ui偏离均值的程度不同，会产生异方差。
又例如，边学边改学习模型（人们在学习过程中，其行为误差随时间而减少）。
在给定的一段时间内，打字出错个数与用于打字练习的小时数的关系。随着打字练 习时间的增加，平均打错个数及打错个数的方差都有所下降。
E(2
xi u i xi2
2)2
E(
xi u i xi2
)2
xi2
u
2 i
E(
2
i j
xi x juiu j
)
E（
xi2
u
2 i
）
(xi2 ) 2
(xi2 ) 2
xi2
庞浩 计量经济学5第五章 异方差性
同方差
递增型异方差
递减型异方差
复杂型异方差
18
2.借助X-e2散点图进行判断 观察散点的纵坐标是否随解释变量Xi的变化而 变化。
~2 e2e i ei e2 ~2
X 同方差 递增异方差
X
e2
~2 e i
~2 e 2 e i
X 递减异方差 复杂型异方差
X
19
二、戈德菲尔德—夸特 （Goldfeld-Quanadt）检验
3
说明1
矩阵表示： Y X u 随机扰动项向量 其方差—协 u1 u 方差矩阵不 2 u 再是： un n1 而是：
2 2 Var Cov ( ui ) 2 nn
ei X i v i
ei
1 vi Xi
ei X i v i 1 ei vi Xi
③利用上述回归的R2、t统计量、F统计量等判断，R2 好、t统计量和F统计量显著，即可判定存在异方差。 28
说明： 1.也可以用 e i 与可能产生异方差的多个解释变 量进行回归模拟； 2.戈里瑟检验的优点在于不仅检验了异方差是否 存在，同时也给出了异方差存在时的具体表现 形式，为克服异方差提供了方便。 3.试验模型选得不好，也可能导致检验不出是否 存在异方差性。
12 2 2 Var Cov ( ui ) 2 n nn
4
说明2
随机扰动项 ui具有异方差性，可理解释为被解释变量 的条件分散程度随解释变量的变化而变化，如下图所 示：var( ui ) i2 2 f ( X i)(i 1,2,, n)
10
第二节 异方差性的后果
第5章 异方差性
估计量不具有最佳性。 但OLS估计量不具有最佳性。 估计量不具有最佳性
5.2.3对模型参数估计值显著性检验的影响 对模型参数估计值显著性检验的影响
e′e 并非随机误差项 并非随机误差项 在异方差情况下， ˆ 在异方差情况下， σ = n − k −1 方差的无偏估计量。 方差的无偏估计量。
2
ˆ 导致在此基础上估计的 s ( b j ) 也出现偏误。
e t 来近似代表随机误差项
5.3.1图示检验法 图示检验法
的估计值） （1）用X（或Y的估计值）与残差平方的散点图进 ） （ 的估计值 行初步判断
~ ei 2 ~ ei 2
X 同方差 递增异方差
X
~ ei 2
~ ei 2
X 递减异方差 复杂型异方差
X
（2）用X-Y的散点图进行判断 ） 的散点图进行判断 看是否存在明显的散点扩大 缩小 复杂型趋势 散点扩大、缩小 散点扩大 缩小或复杂型趋势 （即不在一个固定的带型域中）
. 0 . 0 . ... σ nn ...
5.1.2产生异方差的原因 产生异方差的原因
1、解释变量的遗漏。 2、来自不同抽样单元的因变量观察值的差异。 3、异常观测值的出现。 4、时间序列数据中，观测技术的改进引起的观测值的变化。
注意： （1）时间序列数据和截面数据中都有可能存在异方差，其 中截面样本中更为常见。 (2) 经济时间序列中的异方差常为递增型异方差。金融时 间序列中的异方差常表现为自回归条件异方差。
yt = b0 + b1 x1t + b2 x2t + ut
1、用普通最小二乘法估计模型，求出残差平方序 2 列：e t
2、以残差平方作为因变量，以原方程中所有解释变 解释变 解释变量的平方项和交叉积项 量以及解释变量的平方项 交叉积项 解释变量的平方项 交叉积项做辅助回归：
计量经济学课后答案第五章 异方差性汇总
第五章课后答案5.1（1）因为22()i i f X X =，所以取221iiW X =，用2i W 乘给定模型两端，得 312322221i i ii i i i Y X u X X X X βββ=+++ 上述模型的随机误差项的方差为一固定常数，即22221()()i i i iu Var Var u X X σ==（2）根据加权最小二乘法，可得修正异方差后的参数估计式为***12233ˆˆˆY X X βββ=-- ()()()()()()()***2****22232322322*2*2**2223223ˆi i i i i i i i i i i i i i i i i iW y x W x W y x W x x W x W x W x x β-=-∑∑∑∑∑∑∑()()()()()()()***2****23222222332*2*2**2223223ˆii ii i i iii i i ii i i i i iW y x W x W y x W x x Wx W x W x x β-=-∑∑∑∑∑∑∑其中22232***23222,,iii i i i iiiW XW X W Y X X Y WWW ===∑∑∑∑∑∑******222333i i i i i x X X x X X y Y Y=-=-=- 5.2（1）2222211111 ln()ln()ln(1)1 u ln()1Y X Y X Yu u X X X u ββββββββββ--==+≈=-∴=+[ln()]0()[ln()1][ln()]11E u E E u E u μ=∴=+=+=又（2）[ln()]ln ln 0 1 ()11i i iiP P i i i i P P i i E P E μμμμμμμ===⇒====∑∏∏∑∏∏不能推导出所以E 1μ（）=时，不一定有E 0μ（ln ）= (3) 对方程进行差分得：1)i i βμμ--i i-12i i-1lnY -lnY =(lnX -X )+(ln ln 则有：1)]0i i μμ--=E[(ln ln5.3（1）该模型样本回归估计式的书写形式为：Y = 11.44213599 + 0.6267829962*X (3.629253) (0.019872)t= 3.152752 31.5409720.944911R =20.943961R = S.E.=9.158900 DW=1.597946 F=994.8326（2）首先，用Goldfeld-Quandt 法进行检验。
05 异方差性学习辅导
05 异方差性学习辅导一、本章的基本内容（一）基本内容图5.1 第五章基本内容(二)本章的教学目标本章的教学目标是：深刻理解异方差性的实质、异方差出现的原因、异方差的出现对模型的不良影响(即异方差的后果)，掌握估计和检验异方差性的基本思想和修正异方差的若干方法；能够运用所学的知识处理模型中出现的异方差问题，并要求初步掌握用EViews处理异方差的基本操作方法。
二、重点与难点分析1、对异方差性的基本认识由于2()()i i i i i Var u X Var Y X σ==，这里的方差度量的是被解释变量Y 的观测值围绕其条件期望的分散程度。
因此对于同方差假定来说,指的是Y 的观测值围绕回归线的分散程度相同，而异方差性指的是被解释变量观测值的分散程度是随着解释变量的变化而变化的。
从设定误差角度看,模型中的随机扰动项主要代表两方面的影响：（1）被模型忽略的其他变量对被解释变量的影响 ；（2）测量误差的影响。
实际上随机扰动主要代表的两方面因素都有可能随纳入模型的解释变量i X 的变化而变化，导致随机扰动的方差也随i X 的变化而变化，这种情况即称为存在异方差性。
所以进一步可以把异方差性看成随机扰动项的方差是某个解释变量的函数，22()()i i i Var u f X σσ== (1,2,)i n =L 。
2.为什么存在异方差时OLS 估计仍然是无偏估计？参数OLS 估计的无偏性仅依赖于基本假定中随机误差项的零均值假定（即0)(=i u E ），以及解释变量的非随机性。
事实上在第二章和第三章关于OLS 估计式无偏性的证明中并未涉及同方差性，所以异方差的存在并不影响参数估计式的无偏性。
3. 为什么存在异方差时OLS 估计式不再具有有效性？为了便于理解出现异方差或自相关时对OLS 估计式方差的影响，以一元回归12i i i Y X u ββ=++为例来说明。
22222212222()ˆ()i iii i i iiiiiii iii i i i i x y x Y Y x Y Y x Y xx xxx x X x x u x u x ββββ-===-==++=+∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑2222222222ˆˆ()()[()][]i i i i i i x u x u Var E E E x x βββββ=-=+-=∑∑∑∑ 2222222()2[]()()2()()i ii i j ji jii i i j i j i jix u x u x u E x x E u x x E u u x ≠≠+=+=∑∑∑∑∑∑1）在异方差且自相关时，22(),()0i i i j E u E u u σ=≠，则有22222()2()ˆ()()iii j i j i j ix E ux x E u V x a u r β≠+=∑∑∑2）在异方差但无自相关时，22(),()0i i i j E u E u u σ==，则有222222222()ˆ()()()ii ii iix E u x Var x x σβ==∑∑∑∑3）在同方差且无自相关时，22(),()0i i j E u E u u σ==，则有2222222()ˆ()()ii iix E u Var x xσβ==∑∑∑4）在同方差但自相关时，22(),()0i i j E u E u u σ=≠，则有222222()ˆ()()i j i j i jiix x E u u Var xx σβ≠=+∑∑∑设存在异方差时的参数为*2β，估计式为*2ˆβ。
计量经济学第五章异方差性
计量经济学第五章异⽅差性第五章异⽅差性本章教学要求：根据类型，异⽅差性是违背古典假定情况下线性回归模型建⽴的另⼀问题。
通过本章的学习应达到，掌握异⽅差的基本概念包括经济学解释，异⽅差的出现对模型的不良影响，诊断异⽅差的⽅法和修正异⽅差的若⼲⽅法。
经过学习能够处理模型中出现的异⽅差问题。
第⼀节异⽅差性的概念⼀、⼆个例⼦例1，研究我国制造业利润函数，选取销售收⼊作为解释变量，数据为1998年的⾷品年制造业、饮料制造业等28个截⾯数据（即n=28）。
数据如下表,其中y表⽰制造业利润函数，x表⽰销售收⼊（单位为亿元）。
Y对X的散点图为从散点图可以看出，在线性的基础上，有的点分散幅度较⼩，有的点分散幅度较⼤。
因此，这种分散幅度的⼤⼩不⼀致，可以认为是由于销售收⼊的影响，使得制造业利润偏离均值的程度发⽣变化，⽽偏离均值的程度⼤⼩的不同，就是所谓的随机误差的⽅差存在变异，即异⽅差。
如果⾮线性，则属于哪类⾮线性，从图形所反映的特征看，并不明显。
下⾯给出制造业利润对销售收⼊的回归估计。
模型的书写格式为212.03350.1044(0.6165)(12.3666)0.8547,..56.9046,152.9322213.4639,146.4905Y Y X R S E F Y s =+=====通过变量的散点图、参数估计、残差图，可以看到模型中（随机误差）很有可能存在异⽅差性。
例2，改⾰开放以来，各地区的医疗机构都有了较快发展，不仅政府建⽴了⼀批医疗机构，还建⽴了不少民营医疗机构。
各地医疗机构的发展状况，除了其他因素外主要决定于对医疗服务的需求量，⽽医疗服务需求与⼈⼝数量有关。
为了给制定医疗机构的规划提供依据，分析⽐较医疗机构与⼈⼝数量的关系，建⽴卫⽣医疗机构数与⼈⼝数的回归模型。
根据四川省2000年21个地市州医疗机构数与⼈⼝数资料对模型估计的结果如下：i iX Y 3735.50548.563?+-= （291.5778） (0.644284) t =(-1.931062) (8.340265)785456.02=R 774146.02=R 56003.69=F式中Y 表⽰卫⽣医疗机构数（个），X 表⽰⼈⼝数量（万⼈）。
第五章异方差性
第五章异方差性u模型违反五项基本假定之三——误差项的同方差性假定的情形，称为异方差性。
u此时，OLS估计量失去BLUE优良性。
需要发展估计模型参数的补救方法。
u本节内容：Ø异方差的定义及其产生的背景与后果Ø异方差性的检验Ø加权最小二乘法（WLS）Ø异方差的处理同方差:x t 1234收入xx1x2x3x ty t ..............................................收入n异方差是相对于同方差而言的。
异方差在横截面数据中比时间序列数据更为常见n同方差：在经典线性回归模型的基本假定3中，随机扰动项ut 的对每一个样本点的方差是一个等于su2的常数，即：Var(ut )=su2=常数t=1,2,…,nn异方差：是指随机扰动项u t随着解释变量X t的变化而变化，即：Var(ut )= s2t= su2f(Xt)t=1,2,…,n。
但ut仍然是服从正态分布。
•异方差一般可归结为三种类型：2随X的增大而增大；（1）单调递增型：si2随X的增大而减小;（2）单调递减型：si2与X的变化呈复杂形式。
（3）复杂型：siØ2、样本数据的观测误差1、参数估计量非有效Ø普通最小二乘法参数估计量仍然具有无偏性，但不具有有效性。
Ø而且，在大样本情况下，参数估计量仍然不具有渐近有效性，这就是说参数估计量不具有一致性。
以一元线性回归模型为例进行说明：（1）仍存在无偏性：证明过程与方差无关12（2）不具备最小方差性由于åååå==-=222222222)()()()ˆ()ˆvar(i i i i i i x x E x x E E m m b b b 2222)()(åå=i i i x E x m （注：交叉项å¹))((,j j i i j i j i x x m m 的期望为零）在i m 为同方差的假定下，22)()var(sm m ==i i E ååå==2222222)()ˆvar(i i i x x x s s b (2. 4.3)在i m 存在异方差的情况下)()()var(222i i i i X f E s s m m ===假设2)(i i X X f =，并且记异方差情况下2b 的OLS 估计为2~b ，则ååååå×==2222222222)()()~var(ii i i i i i x X x x x X f x s s b (2.4.4)对大多数经济资料有：1222>ååi i i x X x ，比较(2.4.3)与(2.4.4)，)ˆvar()~var(22b b >（2.4.5）2、变量的显著性检验失去意义关于变量的显著性检验中，构造了t 统计量)ˆ(/ˆi i S t b b =在该统计量中包含有随机误差项共同的方差，并且有t 统计量服从自由度为(n-k)的t 分布。
第五章异方差性
∑
2
ˆ σ 2 = ∑ ei2 n − k 是有偏的，在此基础上的区间估 是有偏的，
计和假设检验都将不可靠。 计和假设检验都将不可靠。
第三节 异方差性的检验
一. 图形分析法
基本思想： 基本思想： 异方差性的表现是 u i 的方差随某个解释变量的变 化而变化， 的分散程度随X的变化而变化 化而变化 ， 或 Y的分散程度随 的变化而变化 。 因此可 的分散程度随 的变化而变化。 与某解释变量的散布图， 利用 u i 的代表 ei 与某解释变量的散布图，观察是否存 在异方差及其异方差的形式。 在异方差及其异方差的形式。 具体方法： 具体方法： ●假定不存在异方差，进行回归，并计算剩余平方 e 2,描绘 假定不存在异方差，进行回归， 假定不存在异方差
⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅
Yi
⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅
⋅
C个
Xi
●将前后两部分分别作回归，分别计算出各部 将前后两部分分别作回归， 分剩余 ei ， 2 ● 比较前后两个回归的剩余平方和 ∑ ei ： ei2 之比接近于 ，为同方差； 如果两个 ∑ 之比接近于1，为同方差； ei2 之比不同于 ，为异方差 如果两个 ∑ 之比不同于1， 前提条件： 前提条件： ●样本容量较大 服从正态分布， ● ui 服从正态分布，并除异方差外满足其他 基本假定
具体步骤： 具体步骤：
●排序 将观测值按解释变量 大小顺序排列 排序:将观测值按解释变量 排序 将观测值按解释变量X大小顺序排列 数据分组:去掉中间的 去掉中间的C个 ●数据分组 去掉中间的 个（约1/4）观测值，分别 ）观测值， 进行前后两部分 (n − c) 2 个观测值的回归 ●提出假设:分别进行前后两部分回归的基础上，提出 提出假设 分别进行前后两部分回归的基础上， 分别进行前后两部分回归的基础上 检验假设： 检验假设： o : ui H 即
异方差性习题与答案(精品).doc
第五章异方差性习题与答案1、产生异方差的后果是什么？2、下列哪种情况是异方差性造成的结果？(1)OLS估计量是有偏的(2)通常的t检验不再服从t分布。
(3)OLS估计量不再具有最佳线性无偏性。
3、已知模型：乙=0o+0]X”+02X2i+"i式中，乙为某公司在第i个地区的销售额；X“为该地区的总收入；X2,为该公司在该地区投入的广告费用(£=0,1,2……，50)。
(1)由于不同地区人口规模乙可能影响着该公司在该地区的销售，因此有理由怀疑随机误差项g是异方差的。
假设b,依赖于总体£•的容量，逐步描述你如何对此进行检验。
需说明：A、零假设和备择假设；B、要进行的回归；C、要计算的检验统计值及它的分布(包括自由度)；D、接受或拒绝零假设的标准。
(2)假设q =陋-逐步描述如何求得BLUE并给出理论依据。
4、下表数据给出按学位和年龄划分的经济学家的中位数工薪：表1经济学家的工资表中位数工薪(以千美元计算)年龄硕士博士25-29&08.830-349.29.635-3911.011.040-4412.812.545-4914.213.650-5414.714.355-5914.515.060—6413.515.065-6912.015.0(1)有硕士学位和有博士学位经济学家的中位数工薪的方差相等么？(2)如果相等，你会怎样检验两组平均中位数工薪相等的假设？(3)在年龄35至5岁之间的经济学家，有硕士学位的比有博士学位的赚更多的钱，那么你会怎样解释这一发现？5、为了解美国工作妇女是否受到歧视，可以用美国统计局的“当前人口调查” 中的截面数据，研究男女工资有没有差别。
这项多元回归分析研究所用到的变量有：W—雇员的工资率(美元/小时)1表示雇员为女性，0表示女性意外的雇员。
ED：受教育的年数。
AGE：年龄对124名雇员的样本进行的研究得到回归结果为：（括号内为估计的t值）W = -6.41 -2.76sex + 0.99ED + 0.12AGE R2 -0.867 E = 23.2求：（1）该模型调整后的决定系数艮2 （2）各估计值的标准差为多少？（3）检验美国工作妇女是否受到歧视，为什么？（4）按此模型预测一个30岁受教育16年的美国男性的平均每小时的工作收入为多少美元？6、下表给出了2000年中国部分省市城镇居民每个家庭平均全年可支配收入X 与消费支出Y的统计数据。
第五章 异方差性
• 异方差一般可归结为三种类型：
（1）单调递增型： i2随X的增大而增大； （2）单调递减型： i2随X的增大而减小; （3）复 杂 型： i2与X的变化呈复杂形式。
实际经济问题中的异方差性
（1）模型中缺失了某些解释变量 服装需求函数模型 服装需求量为被解释变量，收入、服装价 格和其他商品价格为解释变量，于是有： qi f ( I i , pi ) i i=1,2,…,n
二、 产生异方差性的原因
● 从模型中略去的变量随列入模型的解释变量 X i 的变化， 也呈现规律性的变化，导致 ●
ui
随 X i 而变化
模型设定不恰当产生的异方差。如果一些重要变量被忽
略，或把非线性差
测量误差可能随解释变量X的增大而增大
●截面数据中总体各单位的差异 一般说异方差性在截面数据中比在时间序列数据中更常出现 原因:同一时点不同对象的差异（如某年各省的GDP) 一般大于 同一对象不同时间的差异(同一个省不同年份的GDP） 注意：在经济结构发生较大变化时,时间序列也常存在异方差
因为方差是度量被解释变量
Y 的观测值围绕条件期望
E(Yi X 2 , X 3, X k ) 1 2 X 2i 3 X 3i ... k X ki
的分散程度，因此同方差性指的是所有观测值围绕回
归线的分散程度相同。
同方差性的图示
当只有一个解释变量时
概 率 分 布 密 度
2 i
(2.4.7)
一. 图形分析法
基本思想：
异方差性的表现是 u i 的方差随某个解释变量的变化 而变化，或Y的分散程度随X的变化而变化。因此可利用 u i的代表 e i 与某解释变量的散布图，观察是否存在异方差 及其异方差的形式。 具体方法： ●假定不存在异方差，进行回归，并计算剩余平方 与 ei2的散点图，作出近似判断。 X
计量经济学第五章异方差性参考答案讲解
计量经济学第五章异⽅差性参考答案讲解第五章异⽅差性课后题参考答案 5.1（1）因为22()i i f X X =，所以取221iiW X =，⽤2i W 乘给定模型两端，得 312322221i i ii i i i Y X u X X X X βββ=+++ 上述模型的随机误差项的⽅差为⼀固定常数，即22221()()i i i iu Var Var u X X σ==（2）根据加权最⼩⼆乘法，可得修正异⽅差后的参数估计式为***12233Y X X βββ=-- ()()()()()()()***2****22232322322*2*2**2223223?i i i i i i i i i i i i i i i i i iW y x W x W y x W x x W x W x W x x β-=-∑∑∑∑∑∑∑()()()()()()()***2****23222222332*2*2**2223223?ii ii i i iii i i ii i i i i iW y x W x W y x W x x Wx W x W x x β-=-∑∑∑∑∑∑∑其中22232***23222,,iii i i i iiiW XW X W Y X X Y WWW ===∑∑∑∑∑∑******222333i i i i i x X X x X X y Y Y=-=-=- 5.2 （1）2222211111 ln()ln()ln(1)1 u ln()1Y X Y X Yu u X X X u ββββββββββ--==+≈=-∴=+ [ln()]0 ()[ln()1][ln()]11E u E E u E u µ=∴=+=+=⼜（2）[ln()]ln ln 0 1 ()11i i iiP P i i i i P P i i E P E µµµµµµµ===?====∑∏∏∑∏∏不能推导出所以E 1µ（）=时，不⼀定有E 0µ（ln ）= (3)对⽅程进⾏差分得：1)i i βµµ--i i-12i i-1lnY -lnY =(lnX -X )+(ln ln则有：1)]0i i µµ--=E[(ln ln5.3（1）该模型样本回归估计式的书写形式为：Y = 11.44213599 + 0.6267829962*X (3.629253) (0.019872)t= 3.152752 31.5409720.944911R =20.943961R = S.E.=9.158900 DW=1.597946 F=994.8326（2）⾸先，⽤Goldfeld-Quandt 法进⾏检验。
《异方差性》课件
03
异方差性的后果
模型预测的准确性下降
异方差性会导致模型的预测值偏 离真实值，降低预测的准确性。
在异方差性存在的情况下，模型 的预测结果可能变得不可靠，因 为模型没有充分考虑到数据的不
确定性。
异方差性可能导致模型在预测新 数据时表现不佳，因为模型没有 充分学习到数据的内在结构和变
化规律。
模型推断的可靠性降低
详细描述
社会数据在不同群体之间的分布往往存在显著的差异，这种差异反映了不同群体之间的异方差性。这 种异方差性可能与社会经济地位、文化背景等多种因素有关，需要深入分析其产生的原因和影响。
社会数据的异方差性分析
总结词
异方差性对社会政策制定和实施具有重 要影响。
VS
详细描述
社会政策的制定和实施需要考虑不同群体 的差异和特点，而异方差性的存在为社会 政策的制定提供了重要的参考信息。通过 对异方差性的分析和研究，我们可以更好 地了解不同群体的需求和诉求，制定更为 公正和有效的社会政策。
总结词
金融数据的异方差性分析有助于提高投资策略的有效性。
详细描述
通过对金融数据的异方差性进行分析，投资者可以更好地 理解市场的波动规律和风险特征，从而制定更为有效的投 资策略。这种基于异方差性的投资策略能够更好地适应市 场的变化，提高投资的收益和风险控制能力。
社会数据的异方差性分析
总结词
社会数据在不同群体之间存在显著的异方差性。
平方根变换
当数据分布不均，特别是偏度较大时，平方根变换可以改善数 据的正态性。
Box-Cox变换
是一种通用的数据变换方法，通过选择一个适当的λ值，使数据 达到最佳的正态分布状态。
模型选择和调整
混合效应模型
计量经济学-5异方差
计量经济学 第三节 异方差模型的处理
思想：变异方差为同方差，或尽量减少方差变异的程度。 一、模型变换法（适用于异方差已知的情况）
如果随机项的方差 i2已知, 则：
设原模型为：Yi 0 1 X i1
p X ip ui，
2 2 f ( X i1, X i 2 ,
X ip
ui f ( X i1, X i 2 , X im ) f ( X i1, X i 2 , X im )
0 X i1 1 f ( X i1, X i 2 , X im ) f ( X i1, X i 2 , X im ) f ( X i1, X i 2 , X im )
计量经济学
四、帕克（Pack）检验(只能检验有异方差)
假定 i2与某一解释变量X k 有关 :
i2 2 X ev , 或 ln( i2 ) ln( 2 ) ln( X k ) vi
i k
由于 i2未知，以同方差假定下OLS 估计得到的ei2 代替： ln(ei2 ) ln( X k ) vi 进行回归，对 作显著性检验。
et2 0 1et2-1 2et2-2 pet2-k
ARCH是误差项二阶矩的自回归过程。恩格尔（Engle 1982） 针对ARCH过程提出LM检验法。辅助回归式定义为 LM统计量定义为： ARCH = nR2 ~ 2 (k ) 若 若
2 nR2 (k )(or p ) ，接受H0 （ut 具有同方差） 2 nR2≥ (k )(or p≤ ) ，拒绝H0 （ut 具有异方差）
ˆ Xi X等级 Y i 5.1 9 0.4994 3.4 7 1.8534 3.6 8 1.6941 3.1 6 2.0924 2.7 4 2.4110 2.8 5 2.3313 2.6 3 2.4906 2.4 2 2.6499 2.1 1 2.8889 2.1 1 2.8889
05- 异方差性.
R 2 0.89
Ama = 1661.54+ 0.135income -20.64priceama t: (14.44) (-1.18)
由于各个省市的收入差距比较大，文化娱乐支出的差距也 会比较大，因此可能存在异方差性。下面通过white检验来判 断是否存在异方差性。
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先对该模型作OLS回归，得到残差； 然后做如下辅助回归：
e 0 1 X1i 2 X 2i 3 X 4 X 5 X1i X 2i i
2 i 2 1i 2 2i
2018/12/15
这里 X1i = income, X2i = priceama 使用EViews软件，得到辅助回归的R 2 0.812 ，因此
其中：S=储蓄
Y=收入
1951—60年，
1970—79年，
ˆ 12
2
=0.01625 =0.9725
2018/12/15
ˆ3 F0 = 0.9725/0.01625=59.9
查表得: d.f.为（8，8）时，5% Fα=3.44 ∵F0＞Fα 因而拒绝H0。 结论：存在异方差性。
从检验过程可以看出， G-Q 检验适用于检验样本容量
具体的检验步骤类似于t检验和F检验，大家看书可以知道。 思考一个问题：这2种检验方法同怀特检验的关系？
（残差回归检验法）
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5.4、解决异方差问题的方法
解决异方差的基本思路就是：变异方差为同方差以满足经 典假设。通常用到的方法有：模型变换法和加权最小二乘法。
2018/12/15Leabharlann 5.4.1模型变换法
2 1 2 ， 3
e
2
2 ˆ3
第五章 异方差性
本章讨论四个问题： ●异方差的实质和产生的原因 ●异方差产生的后果 ●异方差的检测方法 ●异方差的补救
1
引子：更为接近真实的结论是什么？
根据四川省2000年21个地市州医疗机构数与人口数 资料，分析医疗机构与人口数量的关系，建立卫生 医疗机构数与人口数的回归模型。对模型估计的结 果如下：
(a )
则拒绝原假设，接受备择假设，即模型中的 随机误差存在异方差。
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（三）检验的特点
●要求大样本 ●异方差的表现既可为递增型，也可为递减型 ●检验结果与选择数据删除的个数 c 的大小有关 ●只能判断异方差是否存在，在多个解释变量的 情下，对哪一个变量引起异方差的判断存在局 限。
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引例：GoldfeldQuanadt检验
* Yi = b 1 + b 2 X 2 i + u i
X 3i
* u i （5.5） 当被略去的 X 3 i 与 X 有呈同方向或反方向变 2i 化的趋势时,随 X2i 的有规律变化会体现在（5.5） * 式的 u 中。 i
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（二）数据的测量误差
样本数据的观测误差有可能随研究范围的扩大而增加，或随 时间的推移逐步积累，也可能随着观测技术的提高而逐步 减小。
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第三节 异方差性的检验
常用检验方法:
●图示检验法 ● Goldfeld-Quanadt检验 ● White检验 ● ARCH检验
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一、图示检验法
（一）相关图形分析（X与Y的相关图）
方差描述的是随机变量取值的（与其均值的）离散 程度。因为被解释变量 Y 与随机误差项 u 有相同的 方差，所以利用分析 Y 与 X 的相关图形，可以初略 地看到 Y 的离散程度与 X 之间是否有相关关系。
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第五章-异方差性-答案第五章 异方差性一、判断题1. 在异方差的情况下，通常预测失效。
（ T ）2. 当模型存在异方差时，普通最小二乘法是有偏的。
（ F ）3. 存在异方差时，可以用广义差分法进行补救。
（F ）4. 存在异方差时，普通最小二乘法会低估参数估计量的方差。
（F ）5. 如果回归模型遗漏一个重要变量，则OLS 残差必定表现出明显的趋势。
（ T ）二、单项选择题1.Goldfeld-Quandt 方法用于检验（ A ）A.异方差性B.自相关性C.随机解释变量D.多重共线性2.在异方差性情况下，常用的估计方法是（ D ）A.一阶差分法B.广义差分法C.工具变量法D.加权最小二乘法3.White 检验方法主要用于检验（ A ）A.异方差性B.自相关性C.随机解释变量D.多重共线性4.下列哪种方法不是检验异方差的方法（ D ）A.戈德菲尔特——匡特检验B.怀特检验C.戈里瑟检验D.方差膨胀因子检验5.加权最小二乘法克服异方差的主要原理是通过赋予不同观测点以不同的权数，从而提高估计精度，即（ B ）A.重视大误差的作用，轻视小误差的作用B.重视小误差的作用，轻视大误差的作用C.重视小误差和大误差的作用D.轻视小误差和大误差的作用6.如果戈里瑟检验表明，普通最小二乘估计结果的残差与有显著的形式的相关关系（满足线性模型的全部经典假设），则用加权最小二乘法估计模型参数时，权数应为（ B ）A. B. C. D. 7.设回归模型为，其中()2i2i x u Var σ=，则b 的最有效估计量为（ D ）i e i x i i i v x e +=28715.0i v i x 21i x i x 1ix 1i i i u bx y +=A. B. C. D. ∑=i i x y n 1b ˆ 8.容易产生异方差的数据是（ C ）A. 时间序列数据B.平均数据C.横截面数据D.年度数据9.假设回归模型为i i i u X Y ++=βα,其中()2i 2i X u Var σ=，则使用加权最小二乘法估计模型时，应将模型变换为（ C ）。
A.X u X X X Y ++=βα B.Xu X X Y ++=βα C.X u X X Y ++=βα D.222X u X X X Y ++=βα 10.设回归模型为i i i u X Y +=β，其中()2i 2i X u Var σ=，则β的普通最小二乘估计量为（ A ）A.无偏但非有效B.无偏且有效C.有偏但有效D.有偏且非有效11.以21σ表示包含较小解释变量的子样本方差，22σ表示包含较大解释变量的子样本方差，则检验异方差的戈德菲尔德—匡特检验法的零假设是（ D ）A.021=σB.022=σ C.02221=≠σσ D.2221σσ=12.线性模型 i i 22i 110i u X X Y +++=βββ不满足哪一假定称为异方差现象?（ B ）A.()0u u Cov j i =,B.()2i u Var σ=C.()0u X Cov j i =,D.()0X X Cov i 2i 1=,13.在异方差的众多检验方法中，既能判断随机误差项存在异方差，又能给出异方差具体存在形式的检验方法是（ C ）A.DW 检验B.怀特检验C.戈里瑟检验D.图示检验法∑∑=2ˆx xy b 22)(ˆ∑∑∑∑∑--=x x n y x xy n b xy b =ˆ14.设回归模型为，其中，则的最有效估计量为（ C ）。
A. B.C.D. 15．对于模型，如果在异方差检验中发现，则用模型变换法估计模型参数时，原模型左右两边应乘以（ D ）。
A. B. C. D.三、多项选择题1.在异方差条件下普通最小二乘法具有如下性质（ AB ）A.线性B.无偏性C.最小方差性D.有效性2.异方差性将导致（ BCDE ）。
A.普通最小二乘法估计量有偏和非一致B.普通最小二乘法估计量非有效C.普通最小二乘法估计量的方差的估计量有偏D.建立在普通最小二乘法估计基础上的假设检验失效E.建立在普通最小二乘法估计基础上的预测区间变得不准确3.下列哪些方法可用于异方差性的检验（ CD ）。
A. DW 检验B.方差膨胀因子检验法C.戈德菲尔德—匡特检验法（样本分段比较法）D.戈里瑟检验（残差回归检验法）4.当模型存在异方差现象时，加权最小二乘估计量具备（ ABCD ）。
A.线性B.无偏性C.有效性D.一致性5.下列说法正确的有（ BE ）。
A.当异方差出现时，最小二乘估计是有偏的和不具有最小方差特性B.当异方差出现时，常用的t 和F 检验失效C.异方差情况下，通常的OLS 估计一定高估了估计量的标准差D.如果OLS 回归的残差表现出系统性，则说明数据中不存在异方差性E.如果回归模型中遗漏一个重要变量，则OLS 残差必定表现出明显的趋势6.在计量经济学中，产生异方差的原因主要有（ ABCD ）i i i u X Y +=βi i X u Var 2)(σ=β2ˆX XY ∑∑=β22)(ˆX X n Y X XY n ∑-∑∑∑-∑=βX Y =βˆX Y n ∑=1ˆβi i i X Y μββ++=102)(σμi i X Var =iX i X i X 1i X 1A.模型中遗漏了某些解释变量B.模型函数形式的设定误差C.样本数据的测量误差D.截面数据中总体各单位的差异E.非随机因素的影响四、简答题1. 什么是异方差性？试举例说明经济现象中的异方差性。
答：异方差性是指模型违反了古典假定中的同方差假定，它是计量经济分析中的一个专门问题。
在线性回归模型中，如果随机误差项的方差不是常数，即对不同的解释变量观测值彼此不同，则称随机项i u 具有异方差性，即()n 21i u Var 2i i ,,,, ==σ。
例如，利用横截面数据研究消费和收入之间的关系时，对收入较少的家庭在满足基本消费支出之后的剩余收入已经不多，用在购买生活必需品上的比例较大，消费的分散幅度不大。
收入较多的家庭有更多可自由支配的收入，使得这些家庭的消费有更大的选择范围。
由于个性、爱好、储蓄心理、消费习惯和家庭成员构成等那个的差异，使消费的分散幅度增大，或者说低收入家庭消费的分散度和高收入家庭消费得分散度相比较，可以认为牵着小于后者。
这种被解释变量的分散幅度的变化，反映到模型中，可以理解为误差项方差的变化。
2. 产生异方差性的原因及异方差性对模型的OLS 估计有何影响。
答：产生原因：（1）模型中遗漏了某些重要的解释变量；（2）模型函数形式的设定误差；（3）样本数据的测量误差的变化；（4）截面数据中总体各单位的差异。
产生的影响：如果线性回归模型的随机误差项存在异方差性，会对模型参数估计、模型检验及模型应用带来重大影响，主要有：（1）参数的OLS 估计仍然具有无偏性；（2）参数的OLS 估计式的方差不再是最小的；（3）解释变量的显著性检验失效；（4）预测精度降低,区间预测面临困难。
3. 检验异方差性的方法有哪些？答：检验方法：（1）图示检验法；（2）戈德菲尔德—匡特检验；（3）怀特检验；（4）戈里瑟检验（残差回归检验法）；（5）ARCH 检验（自回归条件异方差检验）4. 异方差性的解决方法有哪些？答：解决方法：（1）模型变换法；（2）加权最小二乘法；（3）模型的对数变换等5.什么是加权最小二乘法？它的基本思想是什么？答:加权最小二乘法的基本原理：最小二乘法的基本原理是使残差平方和∑2te 为最小，在异方差情况下，总体回归直线对于不同的t t e x ,的波动幅度相差很大。
随机误差项方差2t σ越小，样本点t y 对总体回归直线的偏离程度越低，残差t e 的可信度越高（或者说样本点的代表性越强）；而2t σ较大的样本点可能会偏离总体回归直线很远，t e 的可信度较低（或者说样本点的代表性较弱）。
因此，在考虑异方差模型的拟合总误差时，对于不同的2t e 应该区别对待。
具体做法：对较小的2t e 给于充分的重视，即给于较大的权数；对较大的2t e 给于充分的重视，即给于较小的权数。
更好的使∑2t e 反映)var(i u 对残差平方和的影响程度，从而改善参数估计的统计性质。
6. 戈德菲尔特——匡特检验（即样本分段法）检验异方差性的基本原理及其使用条件。
答：戈德菲尔特—匡特检验（即样本分段法）的基本原理：将样本分为两部分，然后分别对两个样本进行回归，并计算比较两个回归的剩余平方和是否有明显差异，如果随机误差项是同方差的，则这两个子样本的残差平方和应该大致相等；如果是异方差的，则两者差别较大，以此来判断是否存在异方差。
使用条件：（1）样本容量要尽可能大，一般而言应该在参数个数两倍以上；（2）t u 服从正态分布，且除了异方差条件外，其它假定均满足。
7.简述异方差性检验方法的共同思路。
答：由于异方差性，相对于不同的样本点，也就是相对于不同的解释变量观测值，随机误差项具有不同的方差，那么检验异方差性，也就是检验随机误差项的方差与解释变量观测值之间的相关性。
各种检验方法就是在这个思路下发展起来的。
五、计算题1.设消费函数为01i i i y b b x u =++，其中i y 为消费支出，i x 为个人可支配收入， i u 为随机误差项，并且22()0,()i i i E u Var u x σ==（其中2σ为常数）。
试回答以下问题：（1）选用适当的变换修正异方差，要求写出变换过程；（2）写出修正异方差后的参数估计量的表达式。
解：（1）原模型：01i i i y b b x u =++①等号两边同除以i x ，新模型：011i i i i iy u b b x x x =++ ②令**1,,i i i i i i i iy u y x v x x x ===则：②变为**10i i i y b b x v =++，此时22221()()()i i i i iu Var v Var x x x σσ===，新模型不存在异方差性。
（2）对**10i i i y b b x v =++进行普通最小二乘估计****0*2*2**10()()i i i i i i i i n x y x y b n x x b y b x ⎧-=⎪-⎨⎪=-⎩∑∑∑∑∑ 其中**1,i i i i i y y x x x == （进一步带入计算也可）2.检验下列模型是否存在异方差性，列出检验步骤，给出结论。
0112233t t t t t y b b x b x b x u =++++样本共40个，本题假设去掉c=12个样本，假设异方差由1i x 引起，数值小的一组残差平方和为10.46617RSS E =-，数值大的一组平方和为20.3617RSS E =-。