基本不等式及应用-课件
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不等式基本不等式实际应用ppt
柯西不等式
通过比较序列的方差和乘积来证明 不等式。
Hale Waihona Puke 代数证明方法排序原理
利用排序原理，比较序列的大 小来证明不等式。
反证法
通过假设反面命题成立，然后 推导出矛盾，从而证明原命题
成立。
拉格朗日中值定理
利用微积分中的拉格朗日中值 定理，通过比较函数在两点的
值来证明不等式。
微积分证明方法
01
极值定理
利用微积分中的极值定理，通过比较函数在某点的导数值与该点的函
《不等式基本不等式实际应 用ppt》
xx年xx月xx日
目录
• 不等式与基本不等式介绍 • 基本不等式的证明方法 • 不等式在实际问题中的应用 • 基本不等式在数学竞赛中的应用 • 不等式与基本不等式的扩展应用
01
不等式与基本不等式介绍
不等式的定义及性质
定义
用不等号连接两个解析式，得到 的不等式是定义。如：x^2<y^2 。
详细描述
在优化问题中，需要在一个约束条件下找到一个最优解。这个约束条件通常由不等式表示。通过建立不等式并 求解，可以找到满足这个约束条件的最优解。例如，在交通运输中，可以利用不等式求解在一定时间内完成最 多运输量的最优方案。
极值问题
总结词
不等式可以用于求解函数的极值问题，通过建立不等式并求解，可以找到函数在 某一点处的极值。
经济领域
在经济领域中，基本不等式可以用于解决一些最优问题，例如，在制定经济政策时，利用 基本不等式可以得到社会福利最大化的资源分配方案。
02
基本不等式的证明方法
几何证明方法
平行线定理
利用平行线性质，通过比较两 条平行线上的线段长度来证明
不等式。
通过比较序列的方差和乘积来证明 不等式。
Hale Waihona Puke 代数证明方法排序原理
利用排序原理，比较序列的大 小来证明不等式。
反证法
通过假设反面命题成立，然后 推导出矛盾，从而证明原命题
成立。
拉格朗日中值定理
利用微积分中的拉格朗日中值 定理，通过比较函数在两点的
值来证明不等式。
微积分证明方法
01
极值定理
利用微积分中的极值定理，通过比较函数在某点的导数值与该点的函
《不等式基本不等式实际应 用ppt》
xx年xx月xx日
目录
• 不等式与基本不等式介绍 • 基本不等式的证明方法 • 不等式在实际问题中的应用 • 基本不等式在数学竞赛中的应用 • 不等式与基本不等式的扩展应用
01
不等式与基本不等式介绍
不等式的定义及性质
定义
用不等号连接两个解析式，得到 的不等式是定义。如：x^2<y^2 。
详细描述
在优化问题中，需要在一个约束条件下找到一个最优解。这个约束条件通常由不等式表示。通过建立不等式并 求解，可以找到满足这个约束条件的最优解。例如，在交通运输中，可以利用不等式求解在一定时间内完成最 多运输量的最优方案。
极值问题
总结词
不等式可以用于求解函数的极值问题，通过建立不等式并求解，可以找到函数在 某一点处的极值。
经济领域
在经济领域中，基本不等式可以用于解决一些最优问题，例如，在制定经济政策时，利用 基本不等式可以得到社会福利最大化的资源分配方案。
02
基本不等式的证明方法
几何证明方法
平行线定理
利用平行线性质，通过比较两 条平行线上的线段长度来证明
不等式。
2.2.1 基本不等式 课件(28张)
【定向训练】
已知a,b,c都是非负实数,试比较 a2＋b2＋ b2＋c2＋ c2＋a2 与 2 (a+b+c)的大小. 【解析】因为a2+b2≥2ab,
所以2(a2+b2)≥a2+b2+2ab=(a+b)2,
所以 a2＋b2(a+b2 ),
2
同理 b2＋c2(b +c2),
2
c(2c＋+aa2), 2
xyz
【证明】因为x,y,z是互不相等的正数,且x+y+z=1,
所以 1－1＝1－x＝ y＋z 2 yz ，①
x
x
x
x
1－1＝1－y＝x＋z 2 xz ，②
y
yy
y
1－1＝1－z＝x＋y 2 xy ，③
z
zz
z
又x,y,z为互不相等的正数,由①×②×③,
得 ( 1－1)( 1－1)( 1－1>) 8.
【定向训练】
已知a,b,c为正数,
求证: b＋c－a＋c＋a－b＋a＋b－c 3.
a
b
c
课堂素养达标
1.下列不等式中,正确的是
()
A.a+ 16 ≥8
B.a2+b2≥4ab
a
C. ab a＋b
2
D.
x
2＋
3 x2
2
3
【解析】选D.若a<0,则a+ 16 ≥8不成立,故A错;若a=1,b=1,a2+b2<4ab,故B错,
x
C.当x≥2时,x+ 1 的最小值为2
x
D.当0<x≤2时,x-
1
《基本不等式的应用》课件教学课件
03
基本不等式的扩展和应用
基本不等式的扩展
推广到多元形式
基本不等式可以推广到多元形式，例如对于$n$个变量，可以使用平均值不等式来获得更一般的不等式形式。
积分形式
基本不等式还可以通过积分的形式来表达，例如对于某个函数$f(x)$，其积分形式为$\int_{a}^{b}f(x)dx \geqslant \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx$。பைடு நூலகம்
基本不等式的性质
传递性
若$a \geq b$和$b \geq c$，则$a \geq c$。
对称性
对于任意实数x，y，有$(x+y)/2 \geq \sqrt{xy} \Leftrightarrow (y+x)/2 \geq \sqrt{yx}$。
基本不等式的证明方法
利用导数证明
对于任意实数x，y，当且仅当$x=y$时， 等式$(x+y)/2 = \sqrt{xy}$成立。
THANKS
谢谢您的观看
基本不等式的应用实例
投资组合优化
在金融学中，投资组合优化是一个重要的问题，基本 不等式可以应用于求解最优投资组合的权重分配。例 如，假设有$n$种风险资产和一种无风险资产，其收 益率分别为$r_1, \cdots, r_n$，则可以通过基本不等 式来求解最优投资组合的权重分配。
资源分配问题
在生产计划中，经常需要将有限的资源分配给不同的 产品或部门，以获得最大的总收益。基本不等式可以 应用于求解最优资源分配方案。例如，假设有$n$个 产品，其单位收益分别为$a_1, \cdots, a_n$，而总的 可用资源为$A$，则可以通过基本不等式来求解最优 资源分配方案。
总结词
基本不等式及应用PPT课件
5
2020年10月2日
6
2020年10月2日
7
Dห้องสมุดไป่ตู้
a2 b2
b
G
F
A
aH E
B
2020年10月2日
探究１：
1、正方形ABCD的
面积S=＿a＿2＿＿＿b2
C ２、四个直角三角形的
面积和S’ =＿2a＿b
３、S与S’有什么 样的不等关系？
S≥S’ 8
探究：
D
A
a Cb
1、如图,AB是圆的直径，C 是AB上与A、B不重合的一 点，AC=a,CB=b,过点C作垂 直于AB的弦DE，连AD,BD,
ab
B 则CD=＿＿ab,半径=＿＿＿2＿
E
半弦不大于半径
2020年10月2日
２、你能用这个图形得出
基本不等式
abab(a>0,b>0) 2
几何解释吗?
9
10月23日作业：
2020年10月2日
10
演讲完毕，谢谢观看！
Thank you for reading! In order to facilitate learning and use, the content of this document can be modified, adjusted and printed at will after downloading. Welcome to download!
2.4（1）基本不等式及其应用
要点：
1.学习两个重要(基本)不等式 2.应用这两个不等式(的有关应用) 求代数式的最值
2020年10月2日
1
两个重要不等式
2020年10月2日
2
2020年10月2日
6
2020年10月2日
7
Dห้องสมุดไป่ตู้
a2 b2
b
G
F
A
aH E
B
2020年10月2日
探究１：
1、正方形ABCD的
面积S=＿a＿2＿＿＿b2
C ２、四个直角三角形的
面积和S’ =＿2a＿b
３、S与S’有什么 样的不等关系？
S≥S’ 8
探究：
D
A
a Cb
1、如图,AB是圆的直径，C 是AB上与A、B不重合的一 点，AC=a,CB=b,过点C作垂 直于AB的弦DE，连AD,BD,
ab
B 则CD=＿＿ab,半径=＿＿＿2＿
E
半弦不大于半径
2020年10月2日
２、你能用这个图形得出
基本不等式
abab(a>0,b>0) 2
几何解释吗?
9
10月23日作业：
2020年10月2日
10
演讲完毕，谢谢观看！
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2.4（1）基本不等式及其应用
要点：
1.学习两个重要(基本)不等式 2.应用这两个不等式(的有关应用) 求代数式的最值
2020年10月2日
1
两个重要不等式
2020年10月2日
2
基本不等式课件(共43张PPT)
02
基本不等式的证明方法
综合法证明基本不等式
利用已知的基本不等式推导
01
通过已知的不等式关系，结合不等式的性质（如传递性、可加
性等），推导出目标不等式。
构造辅助函数
02
根据不等式的特点，构造一个辅助函数，通过对辅助函数的分
析来证明原不等式。
利用数学归纳法
03
对于涉及自然数n的不等式，可以考虑使用数学归纳法进行证明。
分析法证明基本不等式
寻找反例
通过寻找反例来证明某个不等式不成 立，从而推导出原不等式。
利数，可以利用中间值定理 来证明存在某个点使得函数值满足给 定的不等式。
通过分析不等式在极限情况下的性质， 来证明原不等式。
归纳法证明基本不等式
第一数学归纳法
通过对n=1和n=k+1时的情况进行归纳假设和推导，来证 明对于所有正整数n，原不等式都成立。
拓展公式及其应用
要点一
幂平均不等式
对于正实数$a, b$和实数$p, q$，且$p < q$，有 $left(frac{a^p + b^p}{2}right)^{1/p} leq left(frac{a^q + b^q}{2}right)^{1/q}$，用于比较不同幂次的平均值大小。
要点二
切比雪夫不等式
算术-几何平均不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$，有 $frac{a_1 + a_2 + ldots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2ldots a_n}$，用于求解最值问题。
柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）：对于任意实数序列${a_i}$和${b_i}$，有 $left(sum_{i=1}^{n}a_i^2right)left(sum_{i=1}^{n}b_i^2right) geq left(sum_{i=1}^{n}a_ib_iright)^2$，用于证明与内积有关的不等式问题。
不等式讲基本不等式及其应用课件pptx
柯西-施瓦茨不等式
在实数域上，柯西-施瓦茨不等式是一个基本的不等式， 它在线性代数和数学分析中都有重要的应用。
范德蒙公式
范德蒙公式是柯西不等式的推广，它在线性代数和概率论 中都有重要的应用。
排序不等式的推广
排序不等式是一种重要的组合不等式，它在线性代数、概 率论和统计学中都有广泛的应用。对排序不等式进行扩展 和推广，可以得到更为广泛和深刻的不等式。
排序不等式的证明
通过构造一个满足排序不等式的数组 ，利用数学归纳法和排序不等式的性 质得出。
排序不等式的应用
在优化、经济、计算机科学等领域有 广泛应用。
03
基本不等式的应用
最大值与最小值的求法
代数法
利用基本不等式，结合代数变形技巧，求出函数 的最值。
三角法
利用基本不等式，结合三角函数性质，求出函数 的最值。
在最大利润问题中，常常需要利用基本不等式来建立数学模型，通过优化资源配 置或制定合理价格策略来达到最大利润。例如，在投资组合理论中，利用基本不 等式可以确定最优投资组合比例，使得投资组合的期望收益最大。
资源分配问题
总结词
通过基本不等式，合理分配资源，实现整体效益最大化。
详细描述
在资源分配问题中，常常需要利用基本不等式来确定资源的 分配比例，以实现整体效益最大化。例如，在电力系统规划 中，可以利用基本不等式来确定各地区的电力分配比例，以 保证整个系统的稳定性和可靠性。
基本不等式的形式
算术平均数与几何平均数
算术平均数：一组数的和除以这组数的个数。 算术平均数不总是大于或等于几何平均数。
几何平均数：两个正数的乘积的平方根。 当且仅当两数相等时，算术平均数等于几何平均数。
柯西不等式
柯西不等式
在实数域上，柯西-施瓦茨不等式是一个基本的不等式， 它在线性代数和数学分析中都有重要的应用。
范德蒙公式
范德蒙公式是柯西不等式的推广，它在线性代数和概率论 中都有重要的应用。
排序不等式的推广
排序不等式是一种重要的组合不等式，它在线性代数、概 率论和统计学中都有广泛的应用。对排序不等式进行扩展 和推广，可以得到更为广泛和深刻的不等式。
排序不等式的证明
通过构造一个满足排序不等式的数组 ，利用数学归纳法和排序不等式的性 质得出。
排序不等式的应用
在优化、经济、计算机科学等领域有 广泛应用。
03
基本不等式的应用
最大值与最小值的求法
代数法
利用基本不等式，结合代数变形技巧，求出函数 的最值。
三角法
利用基本不等式，结合三角函数性质，求出函数 的最值。
在最大利润问题中，常常需要利用基本不等式来建立数学模型，通过优化资源配 置或制定合理价格策略来达到最大利润。例如，在投资组合理论中，利用基本不 等式可以确定最优投资组合比例，使得投资组合的期望收益最大。
资源分配问题
总结词
通过基本不等式，合理分配资源，实现整体效益最大化。
详细描述
在资源分配问题中，常常需要利用基本不等式来确定资源的 分配比例，以实现整体效益最大化。例如，在电力系统规划 中，可以利用基本不等式来确定各地区的电力分配比例，以 保证整个系统的稳定性和可靠性。
基本不等式的形式
算术平均数与几何平均数
算术平均数：一组数的和除以这组数的个数。 算术平均数不总是大于或等于几何平均数。
几何平均数：两个正数的乘积的平方根。 当且仅当两数相等时，算术平均数等于几何平均数。
柯西不等式
柯西不等式
基本不等式ppt课件
对于任意实数a和b，$(a-b)^2 \geq 0$，即 $a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$。
利用均值不等式证明
对于任意实数a和b，$a^2 + b^2 \geq 2ab$，即$(a-b)^2 \geq 0$。
利用导数证明
对于任意实数a和b，设f(x) = x^2 - 2x(a+b) + (a+b)^2，则f'(x) = 2x - 2(a+b) = 2(x-ab)，当x≥a+b时，f'(x) ≥0；当x ≤ a+b时， f'(x) ≤0。故f(x)在区间[a+b, +\infty)上单调 递增，在区间(-\infty, a+b]上单调递减。于 是有f(x) ≥ f(a+b) = a^2 - 2ab + b^2 ≥0 。
02
基本不等式的应用
几何意义
直线和圆
利用基本不等式可以判断直线和圆的 位置关系，以及求解圆中弦长等几何 问题。
面积和体积
利用基本不等式可以求解一些涉及面 积和体积的问题，例如在给定周长的 条件下，求矩形或立方体的最大面积 或体积等。
代数意义
方程
利用基本不等式可以求解一些涉及方程的问题，例如利用基本不等式求根，判 断方程解的个数等。
证明方法
利用代数公式和实数的性质进行 证明。
基本不等式的性质
非负性
对于任意实数a和b，总有$(a-b)^2 \geq 0$，即$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$。
等号成立条件
当且仅当a=b时，基本不等式取等号。
传递性
若a≥b，c≥d，则ac≥bd。
基本不等式的证明
利用均值不等式证明
对于任意实数a和b，$a^2 + b^2 \geq 2ab$，即$(a-b)^2 \geq 0$。
利用导数证明
对于任意实数a和b，设f(x) = x^2 - 2x(a+b) + (a+b)^2，则f'(x) = 2x - 2(a+b) = 2(x-ab)，当x≥a+b时，f'(x) ≥0；当x ≤ a+b时， f'(x) ≤0。故f(x)在区间[a+b, +\infty)上单调 递增，在区间(-\infty, a+b]上单调递减。于 是有f(x) ≥ f(a+b) = a^2 - 2ab + b^2 ≥0 。
02
基本不等式的应用
几何意义
直线和圆
利用基本不等式可以判断直线和圆的 位置关系，以及求解圆中弦长等几何 问题。
面积和体积
利用基本不等式可以求解一些涉及面 积和体积的问题，例如在给定周长的 条件下，求矩形或立方体的最大面积 或体积等。
代数意义
方程
利用基本不等式可以求解一些涉及方程的问题，例如利用基本不等式求根，判 断方程解的个数等。
证明方法
利用代数公式和实数的性质进行 证明。
基本不等式的性质
非负性
对于任意实数a和b，总有$(a-b)^2 \geq 0$，即$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$。
等号成立条件
当且仅当a=b时，基本不等式取等号。
传递性
若a≥b，c≥d，则ac≥bd。
基本不等式的证明
基本不等式的应用 课件
当且仅当a－1＝
4 a－1
(a>1)，即a＝3时，等号成立，此
时b＝3.所以ab的取值范围为[9，＋∞)．
[点评] 本例的求解建立在函数思想上，通过已知的 等式，将两个变元转化为一个变元．利用均值不等式，求 函数的值域，是解决这类问题常用的方法．
类型三 基本不等式的实际应用 [例 4] 桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生 产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目 准备购置一块 1 800 平方米的矩形地块，中间挖成三个矩 形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分 所示)种植桑树，池塘周围的基围宽均为 2 米，如图，设池 塘所占总面积为 S 平方米．
典例导悟
类型一 利用基本不等式求最值
[例1]
(1)若x>0，求函数y＝x＋
4 x
的最小值，并求此
时x的值；
(2)设0<x<32，求函数y＝4x(3－2x)的最大值；
(3)已知x>2，求x＋x－4 2的最小值；
[分析] 利用基本不等式时，应按照“一正，二定， 三相等”的原则挖掘条件，检查条件是否具备，再利用基 本不等式解之．
[例2] 求f(x)＝ xx2＋2＋43＋1的最小值．
[分析]
如果把f(x)＝
x2＋4 x2＋3
＋1写成
x2＋3＋1 x2＋3
＋1＝
x2＋3 ＋
1 x2＋3
＋1≥2＋1＝3，求得f(x)的最小值为3，则
所得结果是错误的，原因是忽视了等号成立的条件，事实
上方程
x2＋3 ＝
1 x2＋3
无解，所以等号不成立．正确的处
(2)由S＝1 832－(10 x800＋136x)，
得S≤1 832－2
《基本不等式的应用》课件
01
02
03
确定要最化的函数
在使用基本不等式求最值 时，需要先确定要优化的 函数，通常为f(x) = x + 4/x。
找到极值点
通过导数的方法，可以找 到函数的极值点，即x = 2 。
计算最值
在x = 2处，函数取得极小 值2√4=4，无极大值。
利用基本不等式证明不等式
确定要证明的不等式
01
在利用基本不等式证明不等式时，需要先确定要证明的不等式
在生产计划中的应用
Байду номын сангаас总结词
基本不等式可以帮助我们在生产计划中做出最优决策 ，使得生产成本最低、产量最高。
详细描述
在生产计划中，我们通常需要考虑多个因素，如原材 料成本、劳动力成本、设备成本等。利用基本不等式 ，我们可以建立数学模型，分析这些因素之间的关系 ，从而制定出最优的生产计划。例如，在安排工作时 间时，我们可以利用基本不等式来确定工作时间的最 优分配，使得总生产成本最低。此外，在考虑生产设 备的更新和维修时，我们也可以利用基本不等式来分 析设备的经济效益和维修成本之间的关系，从而做出 最优决策。
收敛，则 $\left(\sum{i=1}^{\infty} a_i bi\right)^2 \leq \left(\sum{i=1}^{\infty} ai^2\right) \left(\sum{i=1}^{\infty} b_i^2\right)$。
基本不等式的推广形式
• 排序不等式：若 $a_1 \leq a_2 \leq \ldots \leq a_n$，且 $b_1 \leq b_2 \leq \ldots \leq bn$，则有 $\sum{i=1}^{n} a_i bi \leq \sum{i=1}^{n} ai \sum{i=1}^{n} b_i$，当且仅当 $a_1=a_2=\ldots=a_n$ 或 $b_1=b_2=\ldots=b_n$ 时取 等号。
基本不等式(共43张)ppt课件
15
判别式及根的关系
根的关系
判别式：$Delta = b^2 4ac$，用于判断一元二次方
程的根的情况。
01
02
03
当 $Delta > 0$ 时，方程有 两个不相等的实根；
当 $Delta = 0$ 时，方程有 两个相等的实根（即一个重
根）；
04
2024/1/25
05
当 $Delta < 0$ 时，方程无 实根，有两个共轭复根。
基本不等式性质
传递性
若$a > b$且$b > c$，则$a > c$。
正数乘法保序性
若$a > b > 0$且$c > d > 0$ ，则$ac > bd$。
对称性
若$a = b$，则$b = a$；若 $a > b$，则$b < a$。
2024/1/25
可加性
若$a > b$且$c > d$，则$a + c > b + d$。
2024/1/25
35
思考题与练习题
思考题：如何利用均值不 等式证明其他不等式？
2024/1/25
|x - 3| < 5
练习题：解下列不等式， 并在数轴上表示解集
(x + 1)/(x - 2) > 0
36
THANKS。
2024/1/25
37
次不等式组来解决。
12
03
一元二次不等式解法
2024/1/25
13
一元二次不等式概念
一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。
标准形式
$ax^2+bx+c>0$ 或 $ax^2+bx+c<0$，其中 $a neq 0$。
判别式及根的关系
根的关系
判别式：$Delta = b^2 4ac$，用于判断一元二次方
程的根的情况。
01
02
03
当 $Delta > 0$ 时，方程有 两个不相等的实根；
当 $Delta = 0$ 时，方程有 两个相等的实根（即一个重
根）；
04
2024/1/25
05
当 $Delta < 0$ 时，方程无 实根，有两个共轭复根。
基本不等式性质
传递性
若$a > b$且$b > c$，则$a > c$。
正数乘法保序性
若$a > b > 0$且$c > d > 0$ ，则$ac > bd$。
对称性
若$a = b$，则$b = a$；若 $a > b$，则$b < a$。
2024/1/25
可加性
若$a > b$且$c > d$，则$a + c > b + d$。
2024/1/25
35
思考题与练习题
思考题：如何利用均值不 等式证明其他不等式？
2024/1/25
|x - 3| < 5
练习题：解下列不等式， 并在数轴上表示解集
(x + 1)/(x - 2) > 0
36
THANKS。
2024/1/25
37
次不等式组来解决。
12
03
一元二次不等式解法
2024/1/25
13
一元二次不等式概念
一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。
标准形式
$ax^2+bx+c>0$ 或 $ax^2+bx+c<0$，其中 $a neq 0$。
基本不等式及其应用ppt课件
【解析】 x＋x－4 1＝(x－1)＋x－4 1＋1≥ 2 x－1·x－4 1＋1＝5.(当且仅当 x＝3 时取等号)
易错点睛：(1)忽略基本不等式成立的前提条件致误． (2)忽略“定值”致误．
课堂考点突破
——精析考题 提升能力
考点一 利用基本不等式求最值
角度 1：拼凑法求最值
2
【例 1】 (1)已知 0<x<1，则 x(4－3x)取得最大值时 x 的值为_3_______．
A．5
B．6
C．7
D．8
【解析】 因为每台机器生产的产品可获得的总利润 s(单位：万元)与机器运转时间
t(单位：年，t∈N*)的关系为 s＝－t2＋23t－64，所以年平均利润 y＝st＝－t－6t4＋23＝－
t＋6t4＋23≤－2 t·6t4＋23＝7，当且仅当 t＝8 时等号成立，故要使年平均利润最大，则 每台机器运转的时间 t 为 8，故选 D.
即该厂家 2022 年的促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大，最大为 21 万元．
『变式训练』
4．某公司购买了一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润 s(单位：
万元)与机器运转时间 t(单位：年，t∈N*)的关系为 s＝－t2＋23t－64，要使年平均利润最
大，则每台机器运转的时间 t 为( D )
【解析】 (1)因为函数 f(x)＝4x3－ax2－2bx 在 x＝1 处有极值，所以 f ′(1)＝12－2a －2b＝0，即 a＋b＝6，又 a>0，b>0，则4a＋1b＝16(a＋b)·4a＋1b＝165＋ab＋4ab≥5＋6 4＝32 当且仅当ab＝4ab，即a＝2b＝4时取“＝”，故选 C.
【解析】 解法一(换元消元法)： 由已知得 x＋3y＝9－xy， 因为 x>0，y>0，所以 x＋3y≥2 3xy， 所以 3xy≤x＋23y2，当且仅当 x＝3y，即 x＝3，y＝1 时取等号，即(x＋3y)2＋12(x＋3y) －108≥0. 令 x＋3y＝t，则 t>0 且 t2＋12t－108≥0， 得 t≥6，即 x＋3y 的最小值为 6.
易错点睛：(1)忽略基本不等式成立的前提条件致误． (2)忽略“定值”致误．
课堂考点突破
——精析考题 提升能力
考点一 利用基本不等式求最值
角度 1：拼凑法求最值
2
【例 1】 (1)已知 0<x<1，则 x(4－3x)取得最大值时 x 的值为_3_______．
A．5
B．6
C．7
D．8
【解析】 因为每台机器生产的产品可获得的总利润 s(单位：万元)与机器运转时间
t(单位：年，t∈N*)的关系为 s＝－t2＋23t－64，所以年平均利润 y＝st＝－t－6t4＋23＝－
t＋6t4＋23≤－2 t·6t4＋23＝7，当且仅当 t＝8 时等号成立，故要使年平均利润最大，则 每台机器运转的时间 t 为 8，故选 D.
即该厂家 2022 年的促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大，最大为 21 万元．
『变式训练』
4．某公司购买了一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润 s(单位：
万元)与机器运转时间 t(单位：年，t∈N*)的关系为 s＝－t2＋23t－64，要使年平均利润最
大，则每台机器运转的时间 t 为( D )
【解析】 (1)因为函数 f(x)＝4x3－ax2－2bx 在 x＝1 处有极值，所以 f ′(1)＝12－2a －2b＝0，即 a＋b＝6，又 a>0，b>0，则4a＋1b＝16(a＋b)·4a＋1b＝165＋ab＋4ab≥5＋6 4＝32 当且仅当ab＝4ab，即a＝2b＝4时取“＝”，故选 C.
【解析】 解法一(换元消元法)： 由已知得 x＋3y＝9－xy， 因为 x>0，y>0，所以 x＋3y≥2 3xy， 所以 3xy≤x＋23y2，当且仅当 x＝3y，即 x＝3，y＝1 时取等号，即(x＋3y)2＋12(x＋3y) －108≥0. 令 x＋3y＝t，则 t>0 且 t2＋12t－108≥0， 得 t≥6，即 x＋3y 的最小值为 6.
基本不等式的应用课件
另解：
由题知，直线 l 的斜率一定存在。设 l 的方程为
y 2 k(x 1)(k 0) 令 x 0 ，则 y k 2
令 y 0 ，则 x 2 1 k
， 故 A( 2 1,0)B(0,k 2) k
S AOBBiblioteka 1 2(2 k
1)(k
2)
2
1 2
[(
2) k
（
k）]
2
当且仅当
k
2 k
(3) 如图，设矩形ABCD(AB>CD)的周长为 24，把它关于AC对折起来，AB折过去以后， 交DC于点P，AB=x，求⊿ADP的最大面积 及相应的x值。
x
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12-x
基本不等式的应用课件
当前您正浏览第一页，共十六页。
一、知识梳理
一.知1.重识要点的复不习等式
重要不等式 应用条件 “＝”何时取得
作用
变形
a b ab 2
a,b R
a 2 b2 2ab a, b R
ab ab
和积
ab a b 2 2
平方和 积
ab a 2 b2 2
当前您正浏览第二页，共十六页。
面积为 S x2a x,且 x 0,2a x 0.
由基本不等式, 得
x2a
x
x
2a
2
x
a.
上式当且仅当x 2a x ,即 x a时,取""号.由此
可知,当x a时, S x2a x有最大值 a2 .
答 将铁丝围成正方形时面积最大,最大面积为a2.
1.本题可转化为求二次函数 S x2a x的最大值.
答 当水池设计成底面边长为40 m的正方形时,总
高三高考数学复习课件7-4基本不等式及其应用
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数 y＝x＋1x的最小值是 2.(
)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2)函数
f(x)＝cos
x＋co4s
π
x，x∈0，
2
的最小值等于
4.(
)
(3)“x>0 且 y>0”是“yx＋yx≥2”的充要条件．(
)
(4) 不 等 式
a2 ＋ b2 ≥ 2ab
与
a＋b 2
≥
ab 有 相 同 的 成 立 条
件．( )
【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)×
1．(教材改编)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值
为( )
A．80
B．77
C．81
D．82
【解析】 ∵x>0，y>0，∴x＋2 y≥ xy， 即 xy≤x＋2 y2＝81， 当且仅当 x＝y＝9 时，(xy)max＝81. 【答案】 C
【答案】 D
4．(教材改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形 场地，则矩形场地的最大面积是________m2.
【解析】 设矩形的一边为 x m， 则另一边为21×(20－2x)＝(10－x)m， ∴y＝x(10－x)≤x＋（120－x）2＝25， 当且仅当 x＝10－x，即 x＝5 时，ymax＝25.
＝2 400－5（40－x）＋4400－0x＋40， 当且仅当 40－x＝4400－0x，即 x＝20∈(0，30]时，y 取得最大 值 2 000, 所以当 DN＝20 m 时，得到的市民健身广场面积最大， 最大面积为 2 000 m2.
【思维升华】 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值 的变量定义为函数．
基本不等式及其应用优质课件
x
5)
4
1 x
5
]
3
≤
2
3
1.
当且仅当
5
4x
5
1 4x
,即x
1
时取“=”号.
即当x=1时, 函数的最大值为1. 二不定, 要变形
例3.求函数 y x2 5 的最小值.ຫໍສະໝຸດ 依据:利用函数x2 y
4 t
1 t
(t>0)的单调性.
t∈(0,1]单调递减, t∈[1,+∞)单调递增.
解:
x2 5 x2 41
2.
“1”代 换法
当且仅当
而
y
y x
2x y
2x,
, 即y
x
1 2
2x
2
时取“=”号.
2 x y 1, y 2
2 2
当x 1 , y 2 时, 2 2 2 2
ymin 3 2
2.
基本不等式及其应用
要点梳理
忆一忆知识要点
1．基本不等式 ab≤a＋2 b (1)基本不等式成立的条件： a≥0，b≥0 .
(2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥ 2ab (a，b∈R)． (2)ba＋ab≥ 2 (a，b 同号)． (3)ab≤a＋2 b2 (a，b∈R)． (4)a2＋2 b2≥a＋2 b2 (a，b∈R)．
(4)
a
1 a
≥
2
(5) a 1 ≤ 2 a
(a 、b∈R) (a>0,b>0)
(a、b同号）
(a>0）
(a＜0）
探究：下面几道题的解答可能有错，如果错 了,那么错在哪里？
基本不等式的应用(课件)
1.本题可转化为求二次函数 S x2a x 的最大值.
2.本题还可以用二元函数 来解决，设长为 x, 宽为y, 则x y 2a, 求Ｓ＝xy的最大值
例 2 某工厂建造一个无盖的 长方体贮水池 , 其容积 为4800 m 2 , 深度为 3m .如 果 池 底 每 1m 2 的造价为150 2 元, 池壁每1 m 的造价为120 元 , 怎样设计水池能使总 造价最低? 最低总造价为多少元 ? 解 设总造价为 y元, 池底的一边长为 xm, 则另一边长
例 3 过点 1,2 的直线 l与 x的正半径、 y轴 的正半轴分别交于 A, B两点,当AOB 的面 积最小时, 求直线 l的方程.
y B
a
b
a b
(1,2)
a 2, b 4 时, 取" "号.
O 1
A x
因此, AOB的面积最小时 , 直线 l 的方程为
x y 1 , 即2 x y 4 0 . 2 4
证明：∵ x, y R
x y ①当 xy p (定值)时， p 2
x y ∴ 2 xy
∴ x y 2 p ∵上式当且仅当 x y 时取“=” ∴当 x y时有 ( x y) min 2 p
s xy ② 当x y s（定值）时， 2
∵上式当且仅当 x y 时取“=” ∴当 x y时有 ( xy ) max
y 2 k ( x 1)(k 0)
例 4 如图, 一份印刷品的排版面积 矩形为A, 它的两边都留有宽为 a 的空白, 顶部和底部都 留有宽为b 的空白.如何选择纸张的尺寸, 才能 x 使纸的用量最小 ? b
Q`
P`
解 设纸张的长和宽分别是x, y, 则
《基本不等式》PPT课件
一元一次不等式的解法
解一元一次不等式的基本步骤
01
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。
解一元一次不等式需要注意的事项
02
在解不等式的过程中，要确保每一步都是等价变换，不改变不
等式的解集。
解一元一次不等式的实例分析
03
通过具体例子展示解一元一次不等式的详细步骤和注意事项。
一元一次不等式的应用举例
课程目标与要求
知识与技能
掌握不等式的定义、性质及基本 不等式，能够运用所学知识解决
相关问题。
过程与方法
通过探究、归纳、证明等方法， 培养学生的数学思维和解决问题
的能力。
情感态度与价值观
培养学生对数学的兴趣和热爱， 认识到数学在解决实际问题中的 重要作用。同时，通过基本不等 式的学习，培养学生的严谨、细
排序不等式的概念与性质
性质 反序和不大于乱序和，乱序和不大于顺序和。
当且仅当$a_i = b_i$（$i = 1, 2, ldots, n$）时，反序和等于顺序和。
切比雪夫不等式的概念与性质
概念：对于任意两个实数序列$a_1, a_2, ldots, a_n$和$b_1, b_2, ldots, b_n$，若它们分别单调不 减和单调不增，则有$frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}a_i cdot frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}b_i leq frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}a_ib_i$。
1 2
一元一次不等式在生活中的应用 例如比较两个数的大小、判断某个数是否满足某 个条件等。
一元一次不等式在数学中的应用 例如在解方程、求函数值域等问题中，经常需要 利用一元一次不等式进行求解。
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成立.所以xy的最大值为3.
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【例1】（1）（2010·浙江改编）若正实数x,y满足
2x+y+6=xy,求xy的最小值;
（的2最）小（值2是01（0·四）川）设a＞b＞0，则a2+a 1 b
+a ( a
1
b
)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
解：(1)因为x,y为正实数，所以xy=2x+y+6≥2 x y +6， 令 x =y t，可得t2-2 t-2 6≥0，注意到t＞0，解得t≥3 ,故 2 xy的最小值为18.
3. （2010·重庆）已知t＞0,则函数y= t 2 4 t 1
的最小值为 .
t
解析：yt24 t1t41t1424 2
t
tt
当且仅当t= 1 ，即t=1时等号成立.
t
4. （2011·惠州模拟）某商场中秋前30天月饼销
售总量f(t)与时间t(0＜t≤30)的关系大致满足
f(t)=t2+10t+16，则该商场前t天平均售出（如前
解：设池塘的长为x米时占地总面积为S，可得池塘的宽
为y=
1
0
0 x
0
0米，所以S=（6+x）·（
2
0
0 x
+0 06）（x＞0），
整理得S 2 0 0 0 0 6 x 2 0 0 3 6 22 0 0 0 0 6 x 2 0 0 3 6 1 2 0 02 2 0 0 3 6
x
x
当且仅当
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答案：∵0<x<2，
∴0<3x<6,8-3x>2>0，
∴y= 3x83x≤ 3x 8 3x=
2
8 =4，
2
当∴且当仅x=当时43 3x，=y8=-3x，3x即8x3x=取 43 最时大取值等4号. ，
题型二 利用基本不等式证明不等式 【例2】(2011·泰兴模拟)已知a、b、c为不全相等的正
数，且abc=1，求证：a b c111
2
3. 利用基本不等式求最值问题 已知x>0,y>0,则 (1)如果积xy是定值p,那么当且仅当 x=时y ,x+y有 值最小 是 2.(简p 记:积定和最小) （2）如果和x+y是定值p,那么当且仅当 x=y时, xy有 值最是大 .(简记p :2和定积最大)
4
基础达标
1. （教材改编题）函数y=x2+ x4 2 (x≠0)的最小值是 . 解析：∵x2＞0,∴y=x2+ x≥4 2 2 =4 4,当且仅当
2 0 0 0=0 6x，x2=20000，即x=100
x
2（米）时取等
号，此时y=110000002 5（0 米2 ），Smin= 12+020 02036.
答：每个池塘的长为100 2 米，宽为50 2米时占地总面积最小, 最小面积为1200 +22 0036.
变式3-1
某公司一年需要一种计算机元件8000个，每天需同样多 的元件用于组装整机，该元件每年分n次进货，每次购买 元件的数量均为x，购一次货需手续费500元．已购进而 未使用的元件要付库存费，假设平均库存量为 1 x件，每 个元件的库存费为每年2元，如果不计其他费用2 ，请你帮 公司计算，每年进货几次花费最小？
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You made my day!
我们，还在路上……
（2）a2+ 1 + 1 =a2-ab+ab+ 1 + 1
a b a(a b)
ab
a(a b)
=ab+1 +a(a-b)+ 1 ≥2+2=4.
ab
a(a b)
当且仅当
a
(
a a
b
b即)1, a1,=2，b=
时2，2 等号成立.故选D.
变式1-1
已知0<x<2，求函数y= 3x83x的 最大值．
x2=x4 2 即x=± 2时取等号.
2. （教材改编题）已知x,y∈R+,且xy-(x+y)=3,则xy 的最小值为 .
解析：∵x,y∈R+,xy-(x+y)=3, ∴x+y=xy-3≥2 x y, 即xy-2 x y-3≥0, ∴( -x 3y )( +1x y)≥0,∴ -3≥0,x y ∴xy≥9.（当x=y=3时取等号）
解：设购进8000个元件的总费用为S，一年总库存费用为E，
手续费为H.
则x= 8 0 0 0 ，E=2× ×1
n
2
，8 0 0H0 =500n，
n
所 当以且仅S=当E+H1 6 ==80 nn 0，0即500 nn=450 时0(1 总n 6 费n)用4最000 少，故以每年进货4次为宜.
n
链接高考
∴ a b c111
abc
方法二：∵a、b、c为不全相等的正数，且abc=1，
∴ 111bccaabbccabacabcba
abc
2
2
2
abc2a2bcab2cabc
∴原不等式成立.
题型三 基本不等式的实际应用
【例3】如图所示，某公园要在一块绿地的中央修建两个 相同的矩形的池塘，每个面积为10 000米2，池塘前方要 留4米宽的走道，其余各方为2米宽的走道，问每个池塘的 长宽各为多少米时占地总面积最少？并求出此时的占地面 积.
第四节 基本不等式
基础梳理
1. 基本不等式 ab a b
2
(1)基本不等式成立的条件:
a>0,b. >0
(2)等号成立的条件:当且仅当 a=时b取等号.
2. 几个重要的不等式
(1)a2+b2≥ 2ab(a,b∈R).
(2)
b a
≥ab
(a,2b同号).
(3)ab≤ ( a (ab ,)b2 ∈R).
（2010·山东）已知x，y∈R+，且满足3x
y 4
，1 则xy的最大值为
.
知识准备：会用基本不等式，知道应用条件：“一正，二定，
三相等”.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解析：∵x,y∈R+，且
x 3
y， 由1 基本不等式有
4
1 x y 2 xy 3 4 12
解得xy≤3，当且仅当
x 3
y 4
，12 即x=
,y=23 时，等号
10天的平均售出为 f ( 1 0 ）) 的月饼量最少为（ ） A. 18 B. 27 C. 201 0 D. 16
解析：平均销售量 yf(t)t210t16t161018
t
t
t
，当且仅当t= 1 6 ，即t=4∈（0,30］等号成立， 即平均销售量的t最小值为18,故选A.
经典例题
题型一 利用基本不等式求最值
abc
证明：方法一：∵a、b、c为不全相等的正数，且abc=1，
∴ a b c 1∴ 1 1
bc ac ab
11 b1 c, 11 ca 1, 1a 11 b bc 2 ac 2 ab 2
∵又a、b、c不全相等，∴ 1 1 11 b1 c1 ca 1a 1b 1111
bc ac ab 2 2 2 a b c
成立.所以xy的最大值为3.
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【例1】（1）（2010·浙江改编）若正实数x,y满足
2x+y+6=xy,求xy的最小值;
（的2最）小（值2是01（0·四）川）设a＞b＞0，则a2+a 1 b
+a ( a
1
b
)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
解：(1)因为x,y为正实数，所以xy=2x+y+6≥2 x y +6， 令 x =y t，可得t2-2 t-2 6≥0，注意到t＞0，解得t≥3 ,故 2 xy的最小值为18.
3. （2010·重庆）已知t＞0,则函数y= t 2 4 t 1
的最小值为 .
t
解析：yt24 t1t41t1424 2
t
tt
当且仅当t= 1 ，即t=1时等号成立.
t
4. （2011·惠州模拟）某商场中秋前30天月饼销
售总量f(t)与时间t(0＜t≤30)的关系大致满足
f(t)=t2+10t+16，则该商场前t天平均售出（如前
解：设池塘的长为x米时占地总面积为S，可得池塘的宽
为y=
1
0
0 x
0
0米，所以S=（6+x）·（
2
0
0 x
+0 06）（x＞0），
整理得S 2 0 0 0 0 6 x 2 0 0 3 6 22 0 0 0 0 6 x 2 0 0 3 6 1 2 0 02 2 0 0 3 6
x
x
当且仅当
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答案：∵0<x<2，
∴0<3x<6,8-3x>2>0，
∴y= 3x83x≤ 3x 8 3x=
2
8 =4，
2
当∴且当仅x=当时43 3x，=y8=-3x，3x即8x3x=取 43 最时大取值等4号. ，
题型二 利用基本不等式证明不等式 【例2】(2011·泰兴模拟)已知a、b、c为不全相等的正
数，且abc=1，求证：a b c111
2
3. 利用基本不等式求最值问题 已知x>0,y>0,则 (1)如果积xy是定值p,那么当且仅当 x=时y ,x+y有 值最小 是 2.(简p 记:积定和最小) （2）如果和x+y是定值p,那么当且仅当 x=y时, xy有 值最是大 .(简记p :2和定积最大)
4
基础达标
1. （教材改编题）函数y=x2+ x4 2 (x≠0)的最小值是 . 解析：∵x2＞0,∴y=x2+ x≥4 2 2 =4 4,当且仅当
2 0 0 0=0 6x，x2=20000，即x=100
x
2（米）时取等
号，此时y=110000002 5（0 米2 ），Smin= 12+020 02036.
答：每个池塘的长为100 2 米，宽为50 2米时占地总面积最小, 最小面积为1200 +22 0036.
变式3-1
某公司一年需要一种计算机元件8000个，每天需同样多 的元件用于组装整机，该元件每年分n次进货，每次购买 元件的数量均为x，购一次货需手续费500元．已购进而 未使用的元件要付库存费，假设平均库存量为 1 x件，每 个元件的库存费为每年2元，如果不计其他费用2 ，请你帮 公司计算，每年进货几次花费最小？
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11、越是没有本领的就越加自命不凡 。2021/2/282021/2/282021/2/28Feb-2128-Feb-21
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12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人 的错儿 。2021/2/282021/2/282021/2/28Sunday, February 28, 2021
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13、知人者智，自知者明。胜人者有 力，自 胜者强 。2021/2/282021/2/282021/2/282021/2/282/28/2021
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17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。2021/2/282021/2/282021/2/282021/2/28
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
（2）a2+ 1 + 1 =a2-ab+ab+ 1 + 1
a b a(a b)
ab
a(a b)
=ab+1 +a(a-b)+ 1 ≥2+2=4.
ab
a(a b)
当且仅当
a
(
a a
b
b即)1, a1,=2，b=
时2，2 等号成立.故选D.
变式1-1
已知0<x<2，求函数y= 3x83x的 最大值．
x2=x4 2 即x=± 2时取等号.
2. （教材改编题）已知x,y∈R+,且xy-(x+y)=3,则xy 的最小值为 .
解析：∵x,y∈R+,xy-(x+y)=3, ∴x+y=xy-3≥2 x y, 即xy-2 x y-3≥0, ∴( -x 3y )( +1x y)≥0,∴ -3≥0,x y ∴xy≥9.（当x=y=3时取等号）
解：设购进8000个元件的总费用为S，一年总库存费用为E，
手续费为H.
则x= 8 0 0 0 ，E=2× ×1
n
2
，8 0 0H0 =500n，
n
所 当以且仅S=当E+H1 6 ==80 nn 0，0即500 nn=450 时0(1 总n 6 费n)用4最000 少，故以每年进货4次为宜.
n
链接高考
∴ a b c111
abc
方法二：∵a、b、c为不全相等的正数，且abc=1，
∴ 111bccaabbccabacabcba
abc
2
2
2
abc2a2bcab2cabc
∴原不等式成立.
题型三 基本不等式的实际应用
【例3】如图所示，某公园要在一块绿地的中央修建两个 相同的矩形的池塘，每个面积为10 000米2，池塘前方要 留4米宽的走道，其余各方为2米宽的走道，问每个池塘的 长宽各为多少米时占地总面积最少？并求出此时的占地面 积.
第四节 基本不等式
基础梳理
1. 基本不等式 ab a b
2
(1)基本不等式成立的条件:
a>0,b. >0
(2)等号成立的条件:当且仅当 a=时b取等号.
2. 几个重要的不等式
(1)a2+b2≥ 2ab(a,b∈R).
(2)
b a
≥ab
(a,2b同号).
(3)ab≤ ( a (ab ,)b2 ∈R).
（2010·山东）已知x，y∈R+，且满足3x
y 4
，1 则xy的最大值为
.
知识准备：会用基本不等式，知道应用条件：“一正，二定，
三相等”.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解析：∵x,y∈R+，且
x 3
y， 由1 基本不等式有
4
1 x y 2 xy 3 4 12
解得xy≤3，当且仅当
x 3
y 4
，12 即x=
,y=23 时，等号
10天的平均售出为 f ( 1 0 ）) 的月饼量最少为（ ） A. 18 B. 27 C. 201 0 D. 16
解析：平均销售量 yf(t)t210t16t161018
t
t
t
，当且仅当t= 1 6 ，即t=4∈（0,30］等号成立， 即平均销售量的t最小值为18,故选A.
经典例题
题型一 利用基本不等式求最值
abc
证明：方法一：∵a、b、c为不全相等的正数，且abc=1，
∴ a b c 1∴ 1 1
bc ac ab
11 b1 c, 11 ca 1, 1a 11 b bc 2 ac 2 ab 2
∵又a、b、c不全相等，∴ 1 1 11 b1 c1 ca 1a 1b 1111
bc ac ab 2 2 2 a b c