高中选修第一册数学《1.2 空间向量基本定理》获奖说课课件ppt
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∴M、N、Q、R为所在边的中点， 顺次连结M、N、Q、R，所得四边形为平行四边形，
题型三：用基底表示向量
例3 如图所示，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，P是CA′的中点， M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1， 用基底{a，b，c}表示以下向量. (1)A→P； 解 连接 AC，AD′
解：设P OP，OQ为OP在i, j所确定的平面上的投影向量，则PO OQ QP 又向量QP，k共线，因此存在唯一的实数z，使得QP zk,而OP OQ zk 而在i, j所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对 (x, y)，使得OQ xi yj 从而OP OQ zk xi yj zk 因此，如果i, j, k是空间三个两两垂直的向量，那么对任意一个空间向量P, 存在 唯一的有序实数组（x, y, z），使得p xi yj zk 我们称xi, yj, zk分别为向量p在i, j, k的分向量。
C.O→M＝O→A＋O→B＋O→C
D.M→A＝2M→B－M→C
解析 对于 A，由结论O→M＝xO→A＋yO→B＋zO→C(x＋y＋z＝1)⇒M，A，B，C 四
点共面知，M→A，M→B，M→C共面；对于 B，D，易知M→A，M→B，M→C共面，故只有 C
中M→A，M→B，M→C不共面.
题型一典：例空导间航向量的共线问题
A→P＝12(A→C＋A—A→′)＝12(A→B＋A→D＋A—A→′)
(2)A→M；
解 A→M＝12(A→C＋A—D→′)＝12(a＋2b＋c) (3)A→N； 解 A→N＝12(A—C→′＋A—D→′)
＝1[(A→B＋A→D＋A—A→′)＋(A→D＋A—A→′)] 2
＝1a＋b＋c. 2
5
题型二：空间向量的共面问题 例2 如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点， 连结PA、PB、PC、PD，点E、F、G、H分别为 △PAB、△BC、△PCD、△PDA的重心， 应用向量共面定理证明：E、F、G、H四点共面．
分别延长PE、PF、PG、PH交对边于M、N、Q、R. 证明：∵ E、F、G、H分别是所在三角形的重心，
我们知道，平面内的任意一个向量P都可以用不共线的向量a,b, c 来表示（平面向量基本定理），类似地，任意一个空间向量能否 用任意三个不共面的向量a,b, c来表示呢？
如图所示，设i, j, k是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段 有公共起点O，那么对于任意一个空间向量P, 存在唯一的有序实数组（x, y, z) ,使得p xi yj zk ?给出证明。
移到同一个平面内,它们所在的直线平行、相交、异面都有可能. (2)错误.当向量a,e1,e2共面时,才有a=λe1+μe2λ,μ∈R). 3)错误.当b=0,a≠0时,不存在实数λ,使a=λb. 答案:(1)× (2Βιβλιοθήκη Baidu× (3)×
2.对于空间的任意三个向量a，b,2a－b，它们一定是
A.共面向量
B.共线向量
共线(平行)向量
共面向量
表示空间向量的有向线段所在
定 的直线 互相平行或重合 ，则 义 这些向量叫做 共线向或量
平行于 同一平面的向量叫做共面向量
平行向量
充 要
条 件
共线(平行)向量
推
方向向量
论
共面向量
如图，空间一点P位于平面MAB内的充
要条件是存在有序实数对(x，y)，
使
或对空间任意一
点O来说，有
C.不共面向量
D.既不共线也不共面的向量
解析 ∵2a－b＝2·a＋(－1)·b， ∴2a－b与a，b共面.
3.若向量M→A，M→B，M→C的起点 M 和终点 A，B，C 互不重合且无三点共线，则
能使向量M→A，M→B，M→C成为空间一组基底的关系是
A.O→M＝1O→A＋1O→B＋1O→C 333
B.M→A＝M→B＋M→C
例 1 (1)已知向量 a，b，且A→B＝a＋2b，B→C＝－5a＋6b，C→D＝7a－2b，则一
定共线的三点是
A.A，B，D
B.A，B，C
C.B，C，D
D.A，C，D
解析 因为A→D＝A→B＋B→C＋C→D＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3A→B，故A→D∥A→B，
又A→D与A→B有公共点 A，所以 A，B，D 三点共线
自主练习
判断:
(1)向量a,b,c共面,即表示这三个向量的有向线段所在的直线
共面.( )
(2)若向量e1,e2不共线,则空间任意向量a,都有a=λe1+μe2 (λ,μ∈R) . ( )
(3)若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb. ( )
【解析】(1)错误.若向量a,b,c共面,则表示这三个向量的有向线段可以平
空间向量的基本定理
1．我们把具有 大小 和 方向 的量叫做空间向量． 2．什么是零向量？什么是相反向量？什么是相等向量？ 3．空间向量加法满足 交换律 、 结合律 ． 4．你还记得平面向量的数乘运算及共线向量定理吗？ 5. 平面向量基本定理的内容是什么？在空间中有类似的 定理吗？
1．共线向量与共面向量
在空间中，如果用任意 三个不共面的向量 a,b, c代替向量 i, j, k, 你能得到类似的结论吗 ？
不共面
特别地，如果空间的一 个基底中三个基向量两 两垂直，且长度都为 1， 这个基底叫 _单_位_正_交__基_底___,常用 a, b, c 表示，把空间向量分解 为三个两两 垂直的向量，叫作把空 间向量进行 __正_交_分__解_.
跟踪训练 1 如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 在 A1D1 上，且A→1E＝2E→D1，
F 在对角线 A1C 上，且A→1F＝证23F明 →C.求设证A→B：＝Ea，，FA→ ，DB＝三b，点A→ 共A1线＝.c.
∵A→1E＝2E→D1，A→1F＝23F→C， ∴A→1E＝23A→D＝23b，A→1F＝25(A→C－A→A1)＝25(A→B＋A→D－又 E→B＝E→A1＋A→1A＋A→B＝－23b－c＋a＝a－23b－c， A→A1)＝25a＋25b－25c.A→1E＝23A→ 1D1，A→1F＝25A→1C. ∴E→F＝2E→B.∴E，F，B 三点共线.
题型三：用基底表示向量
例3 如图所示，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，P是CA′的中点， M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1， 用基底{a，b，c}表示以下向量. (1)A→P； 解 连接 AC，AD′
解：设P OP，OQ为OP在i, j所确定的平面上的投影向量，则PO OQ QP 又向量QP，k共线，因此存在唯一的实数z，使得QP zk,而OP OQ zk 而在i, j所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对 (x, y)，使得OQ xi yj 从而OP OQ zk xi yj zk 因此，如果i, j, k是空间三个两两垂直的向量，那么对任意一个空间向量P, 存在 唯一的有序实数组（x, y, z），使得p xi yj zk 我们称xi, yj, zk分别为向量p在i, j, k的分向量。
C.O→M＝O→A＋O→B＋O→C
D.M→A＝2M→B－M→C
解析 对于 A，由结论O→M＝xO→A＋yO→B＋zO→C(x＋y＋z＝1)⇒M，A，B，C 四
点共面知，M→A，M→B，M→C共面；对于 B，D，易知M→A，M→B，M→C共面，故只有 C
中M→A，M→B，M→C不共面.
题型一典：例空导间航向量的共线问题
A→P＝12(A→C＋A—A→′)＝12(A→B＋A→D＋A—A→′)
(2)A→M；
解 A→M＝12(A→C＋A—D→′)＝12(a＋2b＋c) (3)A→N； 解 A→N＝12(A—C→′＋A—D→′)
＝1[(A→B＋A→D＋A—A→′)＋(A→D＋A—A→′)] 2
＝1a＋b＋c. 2
5
题型二：空间向量的共面问题 例2 如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点， 连结PA、PB、PC、PD，点E、F、G、H分别为 △PAB、△BC、△PCD、△PDA的重心， 应用向量共面定理证明：E、F、G、H四点共面．
分别延长PE、PF、PG、PH交对边于M、N、Q、R. 证明：∵ E、F、G、H分别是所在三角形的重心，
我们知道，平面内的任意一个向量P都可以用不共线的向量a,b, c 来表示（平面向量基本定理），类似地，任意一个空间向量能否 用任意三个不共面的向量a,b, c来表示呢？
如图所示，设i, j, k是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段 有公共起点O，那么对于任意一个空间向量P, 存在唯一的有序实数组（x, y, z) ,使得p xi yj zk ?给出证明。
移到同一个平面内,它们所在的直线平行、相交、异面都有可能. (2)错误.当向量a,e1,e2共面时,才有a=λe1+μe2λ,μ∈R). 3)错误.当b=0,a≠0时,不存在实数λ,使a=λb. 答案:(1)× (2Βιβλιοθήκη Baidu× (3)×
2.对于空间的任意三个向量a，b,2a－b，它们一定是
A.共面向量
B.共线向量
共线(平行)向量
共面向量
表示空间向量的有向线段所在
定 的直线 互相平行或重合 ，则 义 这些向量叫做 共线向或量
平行于 同一平面的向量叫做共面向量
平行向量
充 要
条 件
共线(平行)向量
推
方向向量
论
共面向量
如图，空间一点P位于平面MAB内的充
要条件是存在有序实数对(x，y)，
使
或对空间任意一
点O来说，有
C.不共面向量
D.既不共线也不共面的向量
解析 ∵2a－b＝2·a＋(－1)·b， ∴2a－b与a，b共面.
3.若向量M→A，M→B，M→C的起点 M 和终点 A，B，C 互不重合且无三点共线，则
能使向量M→A，M→B，M→C成为空间一组基底的关系是
A.O→M＝1O→A＋1O→B＋1O→C 333
B.M→A＝M→B＋M→C
例 1 (1)已知向量 a，b，且A→B＝a＋2b，B→C＝－5a＋6b，C→D＝7a－2b，则一
定共线的三点是
A.A，B，D
B.A，B，C
C.B，C，D
D.A，C，D
解析 因为A→D＝A→B＋B→C＋C→D＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3A→B，故A→D∥A→B，
又A→D与A→B有公共点 A，所以 A，B，D 三点共线
自主练习
判断:
(1)向量a,b,c共面,即表示这三个向量的有向线段所在的直线
共面.( )
(2)若向量e1,e2不共线,则空间任意向量a,都有a=λe1+μe2 (λ,μ∈R) . ( )
(3)若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb. ( )
【解析】(1)错误.若向量a,b,c共面,则表示这三个向量的有向线段可以平
空间向量的基本定理
1．我们把具有 大小 和 方向 的量叫做空间向量． 2．什么是零向量？什么是相反向量？什么是相等向量？ 3．空间向量加法满足 交换律 、 结合律 ． 4．你还记得平面向量的数乘运算及共线向量定理吗？ 5. 平面向量基本定理的内容是什么？在空间中有类似的 定理吗？
1．共线向量与共面向量
在空间中，如果用任意 三个不共面的向量 a,b, c代替向量 i, j, k, 你能得到类似的结论吗 ？
不共面
特别地，如果空间的一 个基底中三个基向量两 两垂直，且长度都为 1， 这个基底叫 _单_位_正_交__基_底___,常用 a, b, c 表示，把空间向量分解 为三个两两 垂直的向量，叫作把空 间向量进行 __正_交_分__解_.
跟踪训练 1 如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 在 A1D1 上，且A→1E＝2E→D1，
F 在对角线 A1C 上，且A→1F＝证23F明 →C.求设证A→B：＝Ea，，FA→ ，DB＝三b，点A→ 共A1线＝.c.
∵A→1E＝2E→D1，A→1F＝23F→C， ∴A→1E＝23A→D＝23b，A→1F＝25(A→C－A→A1)＝25(A→B＋A→D－又 E→B＝E→A1＋A→1A＋A→B＝－23b－c＋a＝a－23b－c， A→A1)＝25a＋25b－25c.A→1E＝23A→ 1D1，A→1F＝25A→1C. ∴E→F＝2E→B.∴E，F，B 三点共线.