声音里的数学

声音里的数学

——傅立叶级数在声音中的应用

摘要：数学无处不在，声音自然也不例外。而数学在声音中的重要应用之一就是傅立

叶级数。那么，傅立叶级数是怎么回事呢？又该怎样计算？声音是如何与傅立叶级数联系在一起的呢？

关键字：傅立叶级数定积分的近似计算声音图像

无处不在的数学在声音中是如何应用的呢？

首先说说什么是傅立叶级数。定义在负无穷到正无穷上的周期为2l的绝对可积函数f(x),由欧拉-傅里叶公式可求出f(x)的傅里叶系数a0,a1,b1……,由这些系数作成的级数a0/2+∑[an*cos(n Pi x/l)+bn*sin(n Pi x/l)]称为f(x)的傅里叶级数。在这其中欧拉-傅里叶公式为a0=∫f(x)dx/l,an=∫f(x) cos(n Pi x/l)/l,bn=∫f(x) sin(n Pi x/l).

而声音是由音频、音色、音质组成。用数学的方式来说，声音就相当于一个函数，基音就是a0/2，而an cos(n 2Pi x/l)或者bn sin(n 2Pi x/l)就是泛音。在这里为方便计算，用2Pi代替Pi。通过MATLAB软件可以画出频谱图等，但有一个问题，我们不知道该函数的表达式，最多只能在某一范围内取有限个点，得到对应的函数值，也就是取样。取样越精细，图像也越接近函数的真实表示。那该如何计算这函数的近似值呢？

定积分的近似求值一般有三种。假设函数的值都为正。一是把函数的一小部分当做矩形来计算，假设0-T内，分成n等分，得到n+1个函数值，其定积分的值就是n个矩形的面积之和，每个矩形的宽为T/n,长取左端点对应的函数值。数学表达式是[f(0)+f(1)+…+f(n-1)]*T/n。

二是当做梯形来计算。上底为左端点对应的函数值，下底为右端点对应的函数值，高为T/n,数学表达式为[f(0)/2+f(1)+…+f(n-1)+f(n)/2]*T/n。

三是用抛物线来计算。首先要规定n需为偶数，取连续的三点为抛物线上的点，以中间那点对应的x值为原点，建立坐标系，求出表达式得{f(0)+f(n)+2[f(2)+f（4）+…+f(n-2)]+4[f(1)+f(3)+…+f(n-1)]}*T/n。

以上三种方法中精确度依次提高，抛物线方法中的数学表达式，也称为辛普生公式。

然后根据MATLAB和事先编好的程序，与处理过的声音文件，就可以算出T,并得出y与t的图像和频谱图，进而可对该图进行分析，知道最主要的频率是在哪一段。还可以找两段

声音进行比较，以下就是其对比图：

左侧两幅图是一个人的y与t的图像和频谱图，右侧是另一个人的。前两幅图的比较中，可以看出后者的发声持续较长。后两幅图中，前者的音频主要在1000多一点，后者主要分布在1200和1400间与1000左右。

当然声音与数学的关系远不止这么一点点，我相信只要认真学习，一定会学到更多有用的知识，并真正寓乐于学。