52平面简谐波讲解

3/8两处质元振动的速度的大小和方向。
解:(1)欲求波函数，先求O u y
y
点的振动方程，设为:
O
PБайду номын сангаасx(x)
y0 Acost
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t 0时，y0 Acos 0 v0 A sin 0 2
所以，O点的振动方程 u y
长 2.85102 m，波源振动的初相 0，求:
(1)该超声波的波函数；
(2)距波源2m处质元振动的运动方程；
(3)距波源8.00m与8.05m的两质元振动的相
位差。
解:(1)设波函数为 y 代入已知条件得:

Acos2

t


x





y

1.2
103
为 y Acos(t )，则波动方程？ y
比较Q点与P点的振动情况 差异:Q点比P点晚起振 t
x xP
O
P xP
Q
z
所以: yQ (t t ) yP (t )
u
也就是: yQ (t ) yP (t t )
则波动方程为:
y


A cos


t

x
xp u
)

Acos
t

x u




----平面简谐波的波动方程
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2、负向波的波函数
若波动向x轴负向传播，则:
y
B点比O点早起振 t x
u
所以: yB (t) yO (t t)
O x
则:
y( x、t)

Acos
t

x u

u v

y t

A
sin t

x u





质元的加速度
a

2 y t 2

A 2
cos


t

x u




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例题:某潜水艇的声纳发出的超声波为平面简谐
波，其振幅为 A 1.2103 m，频率 5.0104 Hz ，波




2
x1

x2
11 rad
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例题:一平面余弦波，波线上各质元振动的振幅
和角频率分别为A和，波沿 x 轴正向传播，波
速为u，设某一瞬时的波形如图，并取图示瞬时
为计时零点。 (1)在O点和P点各有一观察者，试
分别以两观察者所在地为坐标原点，写出该波
的波函数；(2)确定t 0时，距O点分别为/8 和
cos
2

5

104
t

2.85
x 10 2

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y 1.2103 cos(105t 220x)
(2)将 x 2m代入波函数有:
y 1.2103 cos 105t 440
(3) 2t 2x2 2t 2x1

Acos
t

x u





经过t时间波形图向 前传播了x ut ，每个
y t1 t1 t
质点的振动状态向前传播 O 了x，不是质点向前传播，
x
质点在原位置做简谐振动。
x ut
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3、质元的速度和加速度 由波函数可求得各质元的振动速度
平面简谐波设u为波速，原点O处的质点在任一
时刻t的位移为: y Acos(t ) y
比较O点与B点的振动情况 O
B
x
相同: A、T、、
x
差异:B点比O点晚起振 t x
所以: yB (t t) yO (t) u
也就是: yB (t) yO (t t)
则:
y(
x、t
简谐波----在均匀的、无吸收的介质中，波 源作简谐振动时，在介质中形成的波. 一、简谐波的波函数 1、波函数
介质中任一质元(坐标为x)相对其平衡位置 的位移(坐标为y)随时间的变化关系，即:
y y( x、t) 称为波函数。 注意上式描述纵波时，y代表形变量，而不是y轴
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以横波为例讨论在均匀介质中沿x正向传播的
则P点的振动方程 yP Acost
则以P为坐标原点，波动方程为:
yP

A
cos



t

x u



y
u
O
y P x(x)
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方法二：坐标原点由O移动到P点，则图形相当于 由坐标原点左移了一段距离，则新的波动方程为:
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t t0时，则 y仅是x的函数
y( x、t)

Acos
t0

x u





y
O
x
这时波函数表示 t t0时刻波线上各质点的 位移分布情况。
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2、行波 若x和t都变化，则波函数表示波线上各质
元在不同时刻的位移分布情况。
y(
x、t )
为:
yO

A cos t



2

O
则以O为坐标原点，波动方程为:
y

Acos
t

x u



2

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y P x(x)
方法一：设P点的振动方程为: yP Acost
t 0时，yP Acos A vP A sin 0
y( x、t)

A
cos


t

x u






Acos2

t


x






Acos2


t T

x






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3、波源不在原点处的情况
讨论在均匀介质中沿x正向传播的平面波。
设u为波速，若P点处的质点在任一时刻t的位移




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二、波函数的物理意义 1、质元的振动和波形图
x x0 时，则y仅是t 的函数
y( x、t)

Acos t

x0 u





Acos t 2
x0




方程变为振动方程，表示波线上 x x0 处 质元做简谐振动的情形。




B
x
x轴负向传播的平面简谐波的波动方程
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x轴正向传播的波动方程
y( x、t)

Acos
t

x u






Acos2

t


x







Acos2


t T

x






x轴负向传播的波动方程