52平面简谐波讲解
普通物理学-力学-平面简谐波
22
例4:某平面简谐波沿X轴正向传播,t=T/4的波形如图,若振动用余弦
函数表示,写出图中各点处质元的初相值
解:沿波速方向各质元相位依次落后, 由旋转矢量图易于确定
为: φ0= , 振动表达式为 y(0, t ) A cos( t ) Y x u b y o
a b
如: O点处质元 t =0时, y0=－A, v0>0.由旋矢图得其振动初相
Y
u
P
o
X
x
y =y (x, t )
3
已知x0点处质元的谐振动表达式为 y=y(x0,t )=Acos(ωt+φ)
记 任一点 x 处质元的谐振动表达式为
此式即为平面简谐波的表达式, 即 波的运动学方程
GL.普物-力学-Ch.10-波动 2
Y
u
x
P
X
o
③推导(以实例介绍)
y( x 0， t ) A cos( t o )
①位置(或 位移) 波线上 xm 处质元在 t 时刻的位置 (或 xm处质元相对平衡
位置的位移)
y = y(x=xm , t )
例如:某正向平面简谐行波的表式为 2 x ) y( x, t ) A cos( t x ) A cos( t 0 0 u
则波线上 xm处质元 t 时刻的位置(或 相对平衡位置的位移)为
v xm ( t )
d y( x ,t ) dt
x xm
注意:质元的速度为其运动速度,勿与波速 u 混淆
③质元的加速度
波线上 xm 处质元的加速度方程为
a xm (t )
d2 y( x ,t ) dt
2
平面简谐波的波动方程.ppt
0 ]
任意一质点为坐标原点的波动方程
一平面波在介质中以速度u=20m/s沿直线传播，
已知A的振动方程为
yA 3cos(4，写t)出分别以
A、B点为坐标原点的波动方程。
8m 5m 9m
u
C BA
D
x
解：已知u=20m/s，ω=4π，
T 2 0.5s
A点
yA 3cos(4 t)
（1）O点振动方程
yO
0.1cos(200
t
3 2
以O点为原点的波动方程 y 0.1cos[200
) (
t
x) 400
3 2
]
（2）写出距原点为2m处的质点P的振动方程及以此点为
原点的波动方程；
解：(2)由波动方程可得P (x=2m )处的振动方程：
yP
0.1cos[200 (t
对同一质点，相邻两个时刻位相差为：
(t2
t1)
2
T
t
时间周期性
时间周期性
y
t T
对同一质点，相邻两个时刻位相差为：
(t2
位移差与位相差
t1)
2
T
t
Δt T 2T 3T 4T 5T … Δφ 2π 4π 6π 8π 10π …
6.2 平面简谐波的波动方程
2、波动方程物理意义_3
2、波动方程物理意义_行波
例题
x ut
由图可知：x 处 t 时刻振动状态经Δt ，传播到x+Δx 处；即 t 时刻x 处 振动状态与t +Δt 时刻x+Δx 处振动状态完全相同。
高中物理竞赛§6.2 平面简谐波的波函数课件
● (2k 1) (k ) A A1 A2 合振幅最小 减弱、相消
两波到达相遇点的路程差
(2)当波程差 r2 r1 ？ 长、消
特例 10 20时
波程差
r2 r1
k (2k 1)
2
相长 相消
看出：合振幅出现最大(相长)、最小(相消)的条件中，与时间
无关，只与空间位置有关
某些地方始终相长 某些地方始终相消
加强、相长
● (2k 1) (k ) A A1 A2 合振幅最小 减弱、相消
3.波的干涉 4.干涉时的波强 I A2 （平均能流密度）
Imax I1 I2 2 I1I2 Imin I1 I2 2 I1I2
例 (P184：例6-10题) A、B两波源，相距30m，振幅相等，振动
(t
x
)
0
由： 1
T
u
2
有：
y
A
cos
2
(ut
x)
0
y
A co s2
(t T
x)
0
§6.2 平面简谐波的波函数(一波函数 二平面简谐波的)
1.波函数的物理意义
y
A cos(t
x u
)
0
● 当x一定时：设x=x1 表示x1处质点的位移与时间的关系 即x1处质点的振动方程
● 当t一定时：设t=t1 表示t1时刻各质点的位移分布 即t1时刻的波形图（如给抖绳子照相）
●结果 总不满足 没有因干涉而静止的点
静止
例 (P184：例6-10题) A、B两波源，相距30m，振幅相等，振动
方向相同，频率皆为100Hz，相位差π，波速为400m/s。
求：A、B 连线上因干涉而静止的各点位置。
大学物理学课件-平面简谐波规律
y 波形曲线
0
t = t0
x
大学物理学
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5.2 平面简谐波规律
3、如x、t 均变化，波函数表示波形沿传播方向
的运动情况
t 时刻，x处质点的相位
(t x )
u
t 时t 刻， x 处 质Δx点的相位
dWk
1 2
A2 2
sin
2
(t
x u
)dV
2) 介质元的弹性势能：
dW p
1 2
k(dy
)2
dW p1 2来自A2 2sin2(t
x u
) dV
dWk
3) 介质元的总能量：
dW
dWk
dWp
A2 2
sin2
(t
x u
)
dV
大学物理学
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5.2 平面简谐波规律
dW
dWk
dWp
(t
1)] 8
在下列情况下试求波函数(设波速为u)：
(1) 以 A 为原点； (2) 以 B 为原点；
x1
x
BA
(3) 若u沿x 轴负向，以上两种情况又如何？
解: (1)在x轴上任取一点P ，
该点振动方程为：
yp
Acos[4π
(t
x u
1)] 8
x1
u
x
BA P
波函数为： y(x,t) Acos[4π (t x 1)] u8
y Acos[t kx ]
k 2
大学物理学
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平面简谐波概念
O
-A
x
P
x
P点比O点超前时间 反向波波函数
y
O
P
x
x
以波线上x0处点为参考点
y
则Q点处质点的振动方程为 A x0 Q
O -A
x
P
x
Q点的任一振动状态传到P点，需要时间
则波动方程：
其中：x xo u
— 表示x处质元的振动落后(或超前）xo处质元
振动的时间
(
x u
xo
)
—
表示x处质元的振动落后(或超前）于xo处质元
u
(2).y Acos[(t x ) ]
u
(3).y Acos[(t x a ) ]
u
（3）
(1)x b （2）x b （3）x a b
[例] 已知： T 4S 求：P点的振动方程
Y(cm) 0.2 •
解：yP
Aco（s t
平面简谐波
一、平面简谐波概念 所有质点作谐振且波面为平面的波 二、平面简谐波的波动方程：y=f(x,t)
描述媒质中各质点位移y随各点平衡位置x和时间t变化 的函数关系
源
以坐标原点O点为参考点
则O点处质点的振动方程为
y A
O -A
x
P
x
O点的任一振动状态传到P点，需要时间
y A
正向波波函数（波动方程）
(2)同一时刻,沿波线各质元振动状态不同,各质元相位 依次落后
*u
=
T
=
u由介质的性质决定
T T振
振 由振源决定.
得波动方程:
当x确定: y(t)——x处质元的振动方程 当t确定： y(x)——t时刻的波形
5-2 平面简谐波的波函数及能量
= (3 ×10 m) cos[4 π t + π] x −2 y = (3 ×10 m) cos[4π(t - ) + π] x 20 −2 = (3 ×10 m) cos(4 πt - π + π) 5
u
8m C
5m A
9m D
oB
x22Leabharlann 第五章 波动物理学
第五版
5-2 平面简谐波的波函数
(3) 写出传播方向上点 、D的运动方程 ) 写出传播方向上点C 的运动方程 的相位比点A 点C 的相位比点 超前 t x −2 y = (3 × 10 m ) cos 2π ( − ) 0 .5s 10 m AC −2 −1 yC = (3 × 10 m ) cos[( 4 π s )t + 2 π ]
yO = Acos(ω +ϕ) t
x P 点振动比O点超前了 ∆t = u
y
A
u
P x
x
−A
O
第五章 波动
14
物理学
第五版
5-2 平面简谐波的波函数
故P点的振动方程（波动方程）为： 点的振动方程（波动方程）
x y = y (t + ∆t ) = A ωt + +ϕ cos o u
t π t π π y 0 = Acos(2π − ) = Acos(2π − ) = A cos(100t − ) T 2 T 2 2
2
18
例2
(m)
4.0 ×10 −2
=20m/s
0.1
0.3
0.5
0.7 (m)
所以波动方程
2π x π = 4.0 ×10-2 cos[100π t + 5π x − π ] y = Acos[ ( t + ) − ] 2 T µ 2
第2节 平面简谐波
第 2 节平面简谐波一、平面简谐波的描述；二、平面简谐波函数 如果波源做简谐振动，介质中各点也将相继做同频率的简谐振动，这样形成的波叫简谐波。
如果波面为平面，则这样的波称为平面简谐波。
由于平面简谐波的波面上第一点的振动和传播规律完全一样，可以对平面简谐波用一维的方式来处理。
振动相位相差 的两点之间的距离叫波长，常用 表示。
它实际上就是相邻两振动状态相同的点之间的距离。
设一简谐波沿 x 轴方向传播，t 时刻，原点 O 处振动位移的表达式为：在同一时刻 t，到 O 距离为 x 的 P 点的振动表达式与 O 点的振动具有相同的振幅和 频率，但相位比 O 点落后，这是因为 P 点开始振动的时刻比 O 点晚，所晚的时间就是波从O 点传到 P 点所经历的时间，， 称为波的位相速度 ，也称为波速，它表示单位时间某一振动位相所传播的距离，于是 P 点的位移为：这就是简谐波的运动学方程，由于波是向左传播的，又称为右行波，令： 其中 为波长，它表示振动在一个周期中传播的距离。
于是：令：其中， 称为波数，它表示 米内所包含的波长数。
于是简谐波方程可写成：以上各式都是简谐波的方程， 们由波速相互联系，即：是和时间有关的量， 是和空间有关的量，它若 不随 的变化而变化，则称波是无色散的。
简谐波运动学方程的物理意义 ： 波的运动学方程是一个二元函数，位移 y 既是时间 t 的函数，又是位置 x 的函数。
（1）当 x 一定，y 仅为 t 的函数 。
当时，即盯住其一位置看：它表示处的质点随时间做简谐振动，是一个振动方程。
且时刻 t 和 t+T 振动状态相同，说明波动过程在时间上具有周期性，振动的周期、频率、和振幅都与波源相同，但是相位落后：（2）t 一定时，y 仅为 x 的函数，当时：其中，。
此方程表示任意一时刻各质点离开平衡位置位移分布。
可以看出波动过程在空间 上具有周期性，波长就是波动的空间周期。
（3）波表达式的宗量一定，即位相一定，，随着时间 t 的增加，x 也要相应地增加，波必须在空间传播一定的距离，将宗量对时间求微分：其中 为波的位相速度 ，简称相速。
高二物理竞赛平面简谐波的波函数课件
平面简谐波的波函数（波动方程）
平面波: 波面是平面(一维、能量不损失 理想波)
简谐波: 各点均作相同频率的简谐振动
波函数：介质中任一质点
y
（坐标为x）相对其平衡位
u
置的位移（坐标为y）随时
P
x
间的变化关系，即 y( x, t ) O x
y y(x, t)
各质点相对平 衡位置的位移
o ]
y
Acos[2π( t T
x
)
o
]
沿 x 轴正向传播的平面简谐波的波函数
例.平面简谐波沿x传播，波长为，若A处质点的
振动方程为y=Acos(t+ 0 )，则B 处质点的振动方
程为
。(坐标分别为xA,
解: B 比 A 相位落后:
2
x x
B
A
x x
B
A
u
y( x , t) Acos[ t 2 ( x x )]
B
0
B
A
讨论 1.波的表达式的物理意义
设
y
y( x, t )
A cos(ω t
kx
φo )（, k
2π
波数）
•①当坐标确定x= x0，表达式变成 y～t 关系
y( x0 , t) Acos(ωt kx0 φo ) —x0 点谐振动方程
•②当时刻 t 确定t = t0，表达式变成 y～x关系
y( x, t0 ) Acos(ωt0 kx φo ) —t0时刻的波形方程
2）以距a点5cm处的b点为坐标原点，写
出波动表达式。
u
y
Acos[
(t
x) u
o
]
b
2平面简谐波
y( x, t ) = A cos[ωt −
2πx
+ ϕ0 ]
注：若u沿x轴负向，P点的振动领先： 轴负向， 点的振动领先： 2πx y( x, t ) = A cos[ωt + + ϕ0 ] λ
x y ( x, t ) = A cos[ω (t + ) + ϕ 0 ] u x y( x, t ) = A cos[2π (νt + ) + ϕ0 ] λ 2π ′ y( x, t ) = Acos[ ( x + ut) + ϕ0 ] λ ′ y( x, t ) = A cos[k ( x + ut) + ϕ0 ] y u x x o P
.
o
r u
x0
.
a
λ
∆x
p
λ
点的相位比a落后 解2：p点的相位比 落后： 2 π ∆ x = 2 π ( x − x 0 ) ： 点的相位比 落后： a点的振动方程：ya = A cos[ωt + ϕ ′)] 点的振动方程： 点的振动方程 即得波动方程： 即得波动方程：
y p = A cos[ωt −
五、惠更斯原理
1. 波动的描述：（ ）波函数 （2）几何描述 波动的描述：（ ：（1） ） 几个概念： 几个概念：
(1) 波面：振动相位相同的 波面： 点组成的面称波面。 点组成的面称波面。波面是 平面的波称为平面波，波面 平面的波称为平面波， 是球面的波称为球面波。 是球面的波称为球面波。 (2) 波前 波阵面 ：传播过 波前(波阵面 波阵面)： 程中处在最前面的那个波面 称为波前或波阵面。 称为波前或波阵面。
平面简谐波
解 根据题意设波源的振动方程为
y
0.01cos
200
t
x 400
0
vy00
0 0
即0.021csoins00
0 0
0
2
故
y
0.01cos
200
t
x 400
2
（1）B 和A 两点之间的振动相位差为
200
t
2 400
2
200
t
1 400
2
2
（2）以B 为坐标原点时有
t x
T
(t, x) (t t, x x)
x ut
讨论：如图简谐 波以余弦函数表示，
求 O、a、b、c 各点
振动初相位.
(π ~ π )
t =0 A y
Oa
A
A
O
y o π
O
A
O
y
a
π 2
O A
u
b c
A
y
y
t=T/4
x
b 0
c
π 2
讨论
1.同一波线上两个不同点的振动相位差
x 2 x
程、2）波函数。
2 y(102 m)
22
o
2
yo
t(s)
2 102 cos(2π t )m
4
A
oA2 y
π
3
t 0,x 0 y A 2 v 0
波函数
y 2 102 cos[2π( t x ) π ]m 44 3
x 0.5m 处质点的振动方程
y 1.0cos(π t π)m
y
y/m
3
1.0
3*
2
4
5-2平面简谐波
3
2 相位落后法方法 波函数 A y u P
A
O
x y A cos ( t ) u
点O振动方程
x
x
x 0 , 0 yO A cost
x p o 2 π
点 P 比点 O 落后的相位
x x x p 2π 2π Tu u
13 ( 3 10 m) cos[( 4 π s )t π] 5 点 D 的相位落后于点 A
]
y D ( 3 10 m) cos[( 4 π s )t 2 π
2 1
2
1
AD
]
20
9 ( 3 10 m ) cos[( 4 π s )t π] 5
(4) 分别求出 BC ，CD 两点间的相位差
y A (3 10 m) cos(4 π s )t
8m
C
2
1
u 5m
9m
A D
oB
x
B A 2π
A 0
xB x A
5 2π 10
π
B π
2 y ( 3 10 ) cos[4 π t π] 振动方程 B t x 2 ) π] 波动方程 y ( 3 10 ) cos[2π( 0.5 10
25
(2) 弹性势能
dW P
x
O O
a
dx
密
杨氏 模量 胡克 定律
1 2 k dy 2 F l dy Y Y S l dx F YS k l dx
a'
y
b
疏
b'
x x
y dy
《平面简谐波》课件
01 单 击 添 加 目 录 项 标 题 02 平 面 简 谐 波 的 基 本 概 念 03 平 面 简 谐 波 的 波 动 方 程 04 平 面 简 谐 波 的 传 播 特 性 05 平 面 简 谐 波 的 应 用 06 平 面 简 谐 波 的 反 射 与 折 射
平面波是一种在空间中传播的 波，其波面是平面
折射率：折射率是描述介质对波的传播速度影响的物理量，不同介质的折 射率不同。
折射定律公式：n1sinθ1=n2sinθ2，其中n1和n2分别是两种介质的折射 率，θ1和θ2分别是入射角和折射角。
光学仪器：如显 微镜、望远镜等， 利用反射和折射 原理进行成像
通信技术：如光 纤通信，利用光 的折射和反射进 行信号传输
波的反射与折射： 波在遇到障碍物 时，会发生反射 和折射，能量也 会随之改变
声波是机械波的一种，可以在固体、液体和气体中传播 声波的传播速度与介质的性质有关，如密度、弹性模量等 声波的传播方向与振动方向相同，但在不同介质中传播速度不同 声波的传播可以通过声波传感器、声波测距仪等设备进行测量和研究
医疗技术：如超 声波成像，利用 声波的反射和折 射进行人体内部 成像
建筑设计：如反 射镜、折射镜等 ，利用光的反射 和折射原理进行 照明和装饰
反射定律：入射 角等于反射角
反射角与入射角 的关系：反射角 等于入射角
反射角与折射角 的关系：反射角 等于折射角
反射定律的应用 ：在光学、声学 、电磁学等领域 都有广泛应用
折射定律：当波从一种介质进入另一种介质时，其传播方向会发生改变， 这种现象称为折射。
折射角：折射角是指折射光线与入射光线之间的夹角。
振动方向是波的 传播方向与振动 方向之间的夹角
波的传播方向与 振动方向之间的 夹角决定了波的 传播速度
52平面简谐波讲解
A 2
cos
t
x u
信息学院 物理教研室
例题:某潜水艇的声纳发出的超声波为平面简谐
波，其振幅为 A 1.2103 m，频率 5.0104 Hz ，波
长 2.85102 m，波源振动的初相 0，求:
(1)该超声波的波函数；
t
x
3
4 u
2
Acos
t
x u
y
y
u
O
P x(x)
信息学院 物理教研室
(2):
v
y t
A
sin
t
x u
2
A sint
2
2、负向波的波函数
若波动向x轴负向传播，则:
y
B点比O点早起振 t x
u
所以: yB (t) yO (t t)
O x
则:
y( x、t)
Acos
t
x u
B
x
x轴负向传播的平面简谐波的波动方程
信息学院 物理教研室
x轴正向传播的波动方程
y( x、t)
信息学院 物理教研室
例题:一平面余弦波，波线上各质元振动的振幅
和角频率分别为A和，波沿 x 轴正向传播，波
速为u，设某一瞬时的波形如图，并取图示瞬时
为计时零点。 (1)在O点和P点各有一观察者，试
描述平面简谐波概念
描述平面简谐波概念介绍平面简谐波是一种特殊的波动现象，在许多自然和物理现象中都能观察到。
它是一种周期性的振动，沿着固定的方向传播，并且其振动方向与传播方向垂直。
平面简谐波具有一些独特的性质，深入了解这些性质能够帮助我们更好地理解波动现象的本质。
平面简谐波的定义平面简谐波是一种在时间和空间中都是周期性的波动。
它可以用数学公式来描述，通常表示为：y(x,t)=A⋅sin(kx−ωt+ϕ)在这个公式中，y是波的振幅，A是最大振幅；x是波的位置，t是时间，k是波数，表示波的空间频率；ω是角频率，表示波的时间频率；ϕ是相位，描述波动的起始位置。
平面简谐波的特点平面简谐波具有以下几个重要的特点：1. 周期性平面简谐波是周期性的，即在空间和时间上呈现出一定的重复性。
在任意时刻和位置上的波形都与之前的波形相似。
2. 定向性平面简谐波沿着固定的方向传播，其振动方向和传播方向垂直。
这意味着在波的传播过程中，波的能量在空间中沿着直线扩展。
3. 纯净性平面简谐波由一个频率确定的正弦函数组成，没有其他频率的分量。
这意味着波的频率是唯一确定的，没有任何杂散的频率成分。
4. 叠加原理平面简谐波具有良好的叠加原理。
多个平面简谐波可以在同一空间中叠加，并按照各自的振幅和相位叠加成一个新的平面简谐波。
平面简谐波的应用领域平面简谐波的概念和性质在物理学和工程领域有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 光学在光学中，平面简谐波被用来描述光的传播和干涉现象。
光是一种电磁波，可以用平面简谐波的概念来解释光的行为。
例如，光的干涉现象可以通过将多个平面简谐波叠加而成。
2. 声学在声学领域，平面简谐波被用来描述声波的传播和共鸣现象。
声波是一种机械波，可以用平面简谐波的概念来描述声波的振动和传播特性。
3. 信号处理在信号处理中，平面简谐波被广泛用来分析和合成信号。
通过将信号拆解为多个简谐波的叠加，可以更好地理解信号的频谱特性和时域特性，从而进行信号处理和调制。
平面简谐波
dx
dt k
2 / T 2 / T
p
• 波传播过程中，波的等相位面是以速率
p / T 沿波传播方向推进的。
• 对于平面简谐波，波相速等于波速。
三、平面简谐波的波动方程
以最简形式的正向波为例，波函数为：
y( x, t) Acos( t－kx) Acos[(t x )]
u
2 y x 2
y( x, t) Acos( t kx)
(2) 给定 t = t0 时
y( x, t0 ) Acos( t0－kx)
——表示 t0 时刻的波形
y
u
y1
o
x1
t0时刻的波形曲线
x
二、平面简谐波的物理意义
y( x, t) Acos( t kx)
(3) 在 x 与 t 都变化时
y(x x, t t) Acos[(t t k(x x)]
1 u2
2 y t 2
(对正、负向波均成立)
三、平面简谐波的波动方程
一般平面波均可表示为平面简谐波的线性叠加。
y C1 y1 C2 y2
2y 1 2y x2 u2 t 2
平面波方程
意
对坐标x和时间t 的关系满足平面波方程的任 何物理量，必以平面波的形式沿x轴传播，
义 且传播速度为u.
三、平面简谐波的波动方程
u P
x
随堂练习
3、简谐波沿x轴正向传播，频率为=0.5Hz， 波速为u=18ms-1, t=0.5s时刻的波形如图，求 波函数。
y 0.1
x 0.05
y(x,t) Acos(t kx 0)
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(1) 若某物理量（设为 ）在三维空间中以平面波形式
平面简谐波的波动方程三种形式
一、平面简谐波的概念平面简谐波是一种特殊的波动现象，它具有特定的波动方程和波动特性。
简谐波的振幅随时间以正弦或余弦函数变化，具有周期性和频率性，是物理学中常见的一种波动形式。
二、平面简谐波的波动方程1. 时间域的波动方程在时间域内，平面简谐波的波动方程可以表示为：\[y(x,t) = A\sin(kx - \omega t + \phi)\]其中，y表示波动的位移，A表示振幅，k表示波数，ω表示角频率，φ表示初相位。
2. 空间域的波动方程在空间域内，平面简谐波的波动方程可以表示为：\[y(x,t) = A\sin(kx - \omega t + \phi)\]其中，y表示波动的位移，A表示振幅，k表示波数，ω表示角频率，φ表示初相位。
3. 复数形式的波动方程在复数形式下，平面简谐波的波动方程可以表示为：\[y(x,t) = A\cos(kx - \omega t + \phi) = \Re(Ae^{i(kx - \omega t + \phi)})\]其中，y表示波动的位移，A表示振幅，k表示波数，ω表示角频率，φ表示初相位。
三、不同形式的波动方程之间的关系1. 时间域的波动方程和空间域的波动方程时间域的波动方程和空间域的波动方程在形式上是相似的，都可以表示为简谐波的位移随时间和空间的变化而发生正弦或余弦函数的周期性振荡。
它们之间通过变量的不同而具有不同的物理意义，但是描述的是同一种波动现象。
2. 复数形式的波动方程和实数形式的波动方程在复数形式下，简谐波的波动方程可以更加简洁地描述，通过复数的指数函数形式可以很方便地进行波动的运算和分析。
复数形式的波动方程和实数形式的波动方程是等价的，可以相互转化，但在不同的数学和物理背景下有着不同的应用优势。
四、平面简谐波的应用领域平面简谐波作为一种特殊的波动形式，广泛应用于物理学、工程学、生物学等领域。
它在声学、光学、电磁学、机械振动、信号传输等方面有着重要的应用价值，可以用来描述和分析各种复杂的波动现象。
平面简谐波波动详细介绍课件
=
−ω
x b
−
x a
=
−π
−
π
b
a
u 32
相同n,因为（x − x )〈λ
b
a
→ u = 0.84ms −1
波动方程 y(x, t) = 0.1cos(7πt − 7π x − 17 π ) (m) 23
0.84 3
练习
#1a1101001d
一沿x 轴正向传播的平面简
谐波在t=0 时刻的波形图如
图， O点的振动曲线为
本次课教学重点和要求
理解波长、周期、频率、波速等概念的含意; 掌握波长、周期、频率、波速之间的关系. 掌握由质点的谐振动方程或某时刻的简谐波波 形曲线 等已知条件建立简谐波波动方程的方法 掌握平面简谐波波动方程的物理意义
1
一 机械波的产生和传播
波动的一般概念 波动（简称波） 机械波，电磁波．．．
1 、机械波产生的条件: 波源；介质
2
2、两种基本类型： 横波和纵波
横波：质点振动方向与波的传播方向相垂直的波. （仅在固体中传播）
¾ 特征：具有交替出现的波峰和波谷.
纵波：质点振动方向与波的传播方向互相平行的波. （可在固体、液体和气体中传播）
¾ 特征：具有交替出现的密部和疏部.
3
3 波阵面和波射线
波阵面
球面波
波前 波线
波前
平面波
2
x
2
原点处：
原点振动方程：y0 (t)
=
π
A cos( 2
t
+
ϕ 0
)
Q
x
=
0;t
y
=
2时
t=2s
φ = 2kπ + 3π
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长 2.85102 m，波源振动的初相 0，求:
(1)该超声波的波函数；
(2)距波源2m处质元振动的运动方程；
(3)距波源8.00m与8.05m的两质元振动的相
位差。
解:(1)设波函数为 y 代入已知条件得:
Acos2
t
x
y
1.2
103
cos
2
5
104
t
2.85
x 10 2
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y 1.2103 cos(105t 220x)
(2)将 x 2m代入波函数有:
y 1.2103 cos 105t 440
(3) 2t 2x2 2t 2x1
3/8两处质元振动的速度的大小和方向。
解:(1)欲求波函数，先求O u y
y
点的振动方程，设为:
O
P x(x)
y0 Acost
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t 0时，y0 Acos 0 v0 A sin 0 2
所以，O点的振动方程 u y
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二、波函数的物理意义 1、质元的振动和波形图
x x0 时，则y仅是t 的函数
y( x、t)
Acos t
x0 u
Acos t 2
x0
方程变为振动方程，表示波线上 x x0 处 质元做简谐振动的情形。
则P点的振动方程 yP Acost
则以P为坐标原点，波动方程为:
yP
A
cos
t
x u
y
u
O
y P x(x)
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方法二：坐标原点由O移动到P点，则图形相当于 由坐标原点左移了一段距离，则新的波动方程为:
Acos
t
x u
经过t时间波形图向 前传播了x ut ，每个
y t1 t1 t
质点的振动状态向前传播 O 了x，不是质点向前传播，
x
质理教研室
3、质元的速度和加速度 由波函数可求得各质元的振动速度
)
Acos
t
x u
----平面简谐波的波动方程
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2、负向波的波函数
若波动向x轴负向传播，则:
y
B点比O点早起振 t x
u
所以: yB (t) yO (t t)
O x
则:
y( x、t)
Acos
t
x u
为 y Acos(t )，则波动方程？ y
比较Q点与P点的振动情况 差异:Q点比P点晚起振 t
x xP
O
P xP
Q
z
所以: yQ (t t ) yP (t )
u
也就是: yQ (t ) yP (t t )
则波动方程为:
y
A cos
t
x
xp u
平面简谐波设u为波速，原点O处的质点在任一
时刻t的位移为: y Acos(t ) y
比较O点与B点的振动情况 O
B
x
相同: A、T、、
x
差异:B点比O点晚起振 t x
所以: yB (t t) yO (t) u
也就是: yB (t) yO (t t)
则:
y(
x、t
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t t0时，则 y仅是x的函数
y( x、t)
Acos
t0
x u
y
O
x
这时波函数表示 t t0时刻波线上各质点的 位移分布情况。
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2、行波 若x和t都变化，则波函数表示波线上各质
元在不同时刻的位移分布情况。
y(
x、t )
为:
yO
A cos t
2
O
则以O为坐标原点，波动方程为:
y
Acos
t
x u
2
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y P x(x)
方法一：设P点的振动方程为: yP Acost
t 0时，yP Acos A vP A sin 0
u v
y t
A
sin t
x u
质元的加速度
a
2 y t 2
A 2
cos
t
x u
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例题:某潜水艇的声纳发出的超声波为平面简谐
波，其振幅为 A 1.2103 m，频率 5.0104 Hz ，波
简谐波----在均匀的、无吸收的介质中，波 源作简谐振动时，在介质中形成的波. 一、简谐波的波函数 1、波函数
介质中任一质元(坐标为x)相对其平衡位置 的位移(坐标为y)随时间的变化关系，即:
y y( x、t) 称为波函数。 注意上式描述纵波时，y代表形变量，而不是y轴
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以横波为例讨论在均匀介质中沿x正向传播的
B
x
x轴负向传播的平面简谐波的波动方程
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x轴正向传播的波动方程
y( x、t)
Acos
t
x u
Acos2
t
x
Acos2
t T
x
x轴负向传播的波动方程
y( x、t)
A
cos
t
x u
Acos2
t
x
Acos2
t T
x
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3、波源不在原点处的情况
讨论在均匀介质中沿x正向传播的平面波。
设u为波速，若P点处的质点在任一时刻t的位移
2
x1
x2
11 rad
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例题:一平面余弦波，波线上各质元振动的振幅
和角频率分别为A和，波沿 x 轴正向传播，波
速为u，设某一瞬时的波形如图，并取图示瞬时
为计时零点。 (1)在O点和P点各有一观察者，试
分别以两观察者所在地为坐标原点，写出该波
的波函数；(2)确定t 0时，距O点分别为/8 和