线性代数考试题库及答案(三)

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线性代数试题及答案3详解

线性代数习题和答案第一部分选择题（共28分）14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有请将其代码填在题后的括号内。

A. 如存在数入和向量a 使A a =入a,则a 是A 的属于特征值入的特征向量B. 如存在数入和非零向量a,使（入E - A ） a =0，则入是A 的特征值C. A 的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D. 如入1,入2,入3是A 的3个互不相同的特征值，a 1, a 2, a 3依次是A 的属于入1,入2,入3的特征向量，贝y a 1, a 2, a 3有可能线性相关A. m+n a 11 a 12=m, a13a11a 21 a 22a23 a21 1.设行列式 =n ，C. n- m0 ' 03丿B. P 0 -(m+n) 0 2 0则行列式D. m- 2.设矩阵A = a11 a21a12 a 22 +313+a23等于（<1 0 0f冷i L 0 0310 01 [12113[ J 1I 0 2 0 B 0 2 0C 0 1 0D I 03 0 0 0 1 LI 010 0 1 10 0 1丿3丿 K2丿 1丿A. 、单项选择题（本大题共一个是符合题目要求的, 错选或未选均无分。

3.设矩阵广3 1 、三B. -1 02-1 , 4丿C.A *是A 的伴随矩阵,中位于（ 2）的元素是（ B ） A. -6 4.设A 是方阵，如有矩阵关系式 A. A = 0 B. B HC 时 A = 0D.— AB =AC ,则必有( C. A HO 时 B =C D ）D. | A I H 0 时 B =C 5.已知3X 4矩阵A 的行向量组线性无关，则秩（ A T）等于（C ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 46.设两个向量组 a 1, a 2, , a s 和 3 1, 3 , ',3S 均线性 .相关，则 (D )A.有不全为 0 的数入1, 入2, ■ …，入S 使入1 a 什入 2 a • • + 入 a S =0 和入1 3 1+ > 3 2+…s 3 S =0 B.有不全为 0 的数入1, 入2, …，入S 使入1 (a 1+3 1) +入2 (a 2+ 3 2）+…+入 S ( a S + 3 s ) =0C.有不全为 0 的数入1, 入2, …，入S 使入1 (a 1- 3 +入2 (a2- 3 2） +…+入 S ( aS - 3 s ) =0 D.有不全为 0 的数入1, 入2 , …，入S 和不全为 0的数 1 1 , 1 2,…， 1S 使入1 a 1+ 入 2 a 2+- …+ 入 s a s =0 和 1 3 1+ 2 3 2+ …+ 1 S 3 S =07. 设矩阵A 的秩为r,则A 中（C A.所有r- 1阶子式都不为0C.至少有一个r 阶子式不等于0 8. 设Ax=b 是一非齐次线性方程组， A. n 什n 2是Ax=0的一个解 B.所有D.所有 2是其任意 1 1B. 1n 1+r- r 阶子式都不为 2个解，则下列结论错误的是 1阶子式全为n 2是Ax=b 的一个解 D.2 n 1- n 2 是 Ax=b 的一个解 C. n 1-n 2是Ax=0的一个解 9. 设n 阶方阵A 不可逆，则必有（ A.秩（A ）＜n B.秩（A ）=n - 110. 设A 是一个n （＞3）阶方阵，下列陈述中正确的是（ B ）AC.A=0）D.方程组Ax=0只有零解）11. 设入0是矩阵A 的特征方程的3重根，A 的属于入0的线性无关的特征向量的个数为 k ，则必有（A ） A. k < 3 B. k<3 C. k=3 D. k>3 12. 设A 是正交矩阵，则下列结论错误的是（ A.| A|2 必为 1 B.|A 必为 1 C. A -1=A T13. 设A 是实对称矩阵，C 是实可逆矩阵， A. A 与B 相似 B. A 与B 不等价14. 下列矩阵中是正定矩阵的为（ B.|A 必为1 B ） D. A 的行（列）向量组是正交单位向量组B =C T AC .则（D ） C. A 与B 有相同的特征值 D. A 与B 合同 0 2,） 0,5非选择题（共72分）第二部分二、填空题（本大题共 10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。

线性代数习题及解答

线性代数习题一说明：本卷中，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，||α||表示向量α的长度，αT表示向量α的转置，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．设行列式111213212223313233a a a a a a a a a =2，则111213313233213122322333333a a a a a a a a a a a a ------=（） A ．-6 B ．-3 C ．3D ．62．设矩阵A ，X 为同阶方阵，且A 可逆，若A （X -E ）=E ，则矩阵X =（） A ．E +A -1B ．E -AC ．E +AD ．E -A -13．设矩阵A ，B 均为可逆方阵，则以下结论正确的是（）A ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1⎛⎫⎪⎝⎭A B B ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 不可逆 C ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1⎛⎫ ⎪⎝⎭B AD ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1⎛⎫⎪⎝⎭A B 4．设α1，α2，…，αk 是n 维列向量，则α1，α2，…，αk 线性无关的充分必要条件是（）A ．向量组α1，α2，…，αk 中任意两个向量线性无关B ．存在一组不全为0的数l 1，l 2，…，l k ，使得l 1α1+l 2α2+…+l k αk ≠0C ．向量组α1，α2，…，αk 中存在一个向量不能由其余向量线性表示D ．向量组α1，α2，…，αk 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示5．已知向量2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),T T+=---+=--αβαβ则+αβ=（） A ．（0，-2，-1，1）TB ．（-2，0，-1，1）TC ．（1，-1，-2，0）TD ．（2，-6，-5，-1）T6．实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是（） A ．1B ．2C．3 D．47．设α是非齐次线性方程组Ax=b的解，β是其导出组Ax=0的解，则以下结论正确的是（）A．α+β是Ax=0的解B．α+β是Ax=b的解C．β-α是Ax=b的解D．α-β是Ax=0的解8．设三阶方阵A的特征值分别为11,,324，则A-1的特征值为（）A．12,4,3B．111,,243C．11,,324D．2,4,39．设矩阵A=121-，则与矩阵A相似的矩阵是（）A．11123--B．01102C．211-D．121-10．以下关于正定矩阵叙述正确的是（）A．正定矩阵的乘积一定是正定矩阵B．正定矩阵的行列式一定小于零C．正定矩阵的行列式一定大于零D．正定矩阵的差一定是正定矩阵二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。

线性代数第三章习题及答案

习题 3-11．设)1,0,2(-=α，)4,2,1(-=β，求32-αβ．解：)11,4,8()8,4,2()3,0,6()4,2,1(2)1,0,2(323--=---=---=-βα 2．设)4,3,2,1(=α，)3,4,1,2(=β，且324+=αγβ，求γ．解：由324+=αγβ得αβγ232-= 所以)0,27,1,25()6,29,3,23()6,8,2,4()4,3,2,1(23)3,4,1,2(2-=-=-=γ。

3．试问下列向量β能否由其余向量线性表示，若能，写出线性表示式：（1）)1,2(-=β，)1,1(1=α，)4,2(2-=α；（2）)1,1(-=β，)1,1(1=α，)1,0(2=α，)0,1(3=α；（3）)1,1,1(=β，)1,1,0(1-=α，)2,0,1(2=α，)0,1,1(3=α；（4）)1,2,1(-=β，)2,0,1(1=α，)0,8,2(2-=α，0α（5）),,,(4321k k k k =β，)0,0,0,1(1=e ，)0,0,1,0(2=e ，)0,1,0,0(3=e ，)1,0,0,0(4=e ．解：（1）设2211ααβx x +=，即)4,2()4,2()1,1()1,2(212121x x x x x x -+=-+=-从而⎩⎨⎧-=-=+14222121x x x x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==21121x x所以β能由21,αα线性表示，表示式为2121ααβ+=。

（2）设332211αααβx x x ++=，即),()0,1()1,0()1,1()1,1(2131321x x x x x x x ++=++=-从而⎩⎨⎧-=+=+112131x x x x ，有无穷解⎪⎩⎪⎨⎧-=--==cx c x cx 11321所以β能由321,,ααα线性表示，表示式不唯一，为321)1()1(αααβc c c -+--+= （c 为任意常数）（3）设332211αααβx x x ++=即)2,,()0,1,1()2,0,1()1,1,0()1,1,1(213132321x x x x x x x x x +-++=++-=从而⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=+1211213132x x x x x x ，因为010********≠=-，所以有唯一解，解为⎪⎩⎪⎨⎧===011321x x x所以β能由321,,ααα线性表示，且表示式为3210αααβ⋅++=（4）设2211ααβx x +=，即)2,8,2()0,8,2()2,0,1()1,2,1(222121x x x x x x -+=-+=-从而⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+1228121221x x x x ，由②，③式得211-=x ，412-=x 代入①式11)41(221≠-=-⋅+-所以该方程组无解，即β不能由21,αα线性表示。

线性代数第三章补充题及其答案

补充练习三矩阵一、选择题：（1）设A 和B 均为n 阶方阵，则必有（）。

（A ）|A+B|=|A|+|B|；（B ）AB=BA （C ）|AB|=|BA| （D ）（A+B ）-1=A -1+B -1 （2）设A 和B 均为n 阶方阵，且满足AB=0，则必有（）。

（A ）A=0或B=0 （B ）A+B=0 （C ）|A|=0或|B|=0 （D ）|A|+|B|=0 （3）设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211a a a a a a a a a A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++=133312321131131211232221a a a a a a a a a a a a B ， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1000010101P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1010100012P ，则必有（）。

（A ）AP 1P 2=B ；（B ）AP 2P 1=B ；（C ）P 1P 2A=B ；（D ）P 2P 1A=B （4）设n 维行向量⎪⎭⎫⎝⎛=21,0,,0,21α，矩阵ααT E A -=，ααT E B 2+=，其中E 为n 阶单位矩阵，则AB=（）。

（A ）0；（B ）E ；（C ）-E （D ）ααTE + （5）设n 阶方阵A 非奇异（n ≥2），A *是A 的伴随矩阵，则（）。

（A ）(A *)*=|A|n-1A ；（B ）(A *)*=|A|n+1A ；（C ）(A *)*=|A|n-2A ；（D ）(A *)*=|A|n+2A（6）设n 阶方阵A 、B 、C 满足ABC=E ，其中E 是n 阶单位矩阵，则必有（）。

（A ）ACB=E ；（B ）CBA=E ；（C ）BAC=E ；（D ）BCA=E（7）设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a A ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=41424344313233342122232411121314a a a a a a a a a a a a a a a a B ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00010100001010001P ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10000010010000012P ，其中A 可逆，则B -1等于（）。

线性代数试题及答案解析

线性代数试题及答案解析一、选择题（每题4分，共40分）1. 矩阵A和矩阵B相乘，得到的结果矩阵的行列数为（）。

A. A的行数乘以B的列数B. A的行数乘以B的行数C. A的列数乘以B的列数D. A的列数乘以B的行数答案：D解析：矩阵乘法中，结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。

2. 向量α和向量β线性相关，则下列说法正确的是（）。

A. α和β可以是零向量B. α和β可以是任意向量C. α和β中至少有一个是零向量D. α和β中至少有一个是另一个的倍数答案：D解析：线性相关意味着存在不全为零的系数，使得这些系数乘以对应的向量和为零向量，因此至少有一个向量是另一个向量的倍数。

3. 对于n阶方阵A，下列说法不正确的是（）。

A. A的行列式可以是0B. A的行列式可以是负数C. A的行列式可以是正数D. A的行列式一定是正数答案：D解析：方阵的行列式可以是正数、负数或0，因此选项D不正确。

4. 矩阵A和矩阵B相等，当且仅当（）。

A. A和B的对应元素相等B. A和B的行数相等C. A和B的列数相等D. A和B的行数和列数都相等答案：A解析：两个矩阵相等，必须满足它们具有相同的行数和列数，并且对应元素相等。

5. 向量组α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是（）。

A. 由这些向量构成的矩阵的行列式不为0B. 这些向量不能构成齐次方程组的非零解C. 这些向量不能构成齐次方程组的非平凡解D. 这些向量可以构成齐次方程组的平凡解答案：C解析：向量组线性无关意味着它们不能构成齐次方程组的非平凡解，即唯一的解是零向量。

6. 矩阵A可逆的充分必要条件是（）。

A. A的行列式不为0B. A的行列式为1C. A的行列式为-1D. A的行列式为任何非零数答案：A解析：矩阵可逆当且仅当其行列式不为0。

7. 矩阵A的特征值是（）。

A. 矩阵A的行数B. 矩阵A的列数C. 矩阵A的对角线元素D. 满足|A-λI|=0的λ值答案：D解析：矩阵的特征值是满足特征方程|A-λI|=0的λ值。

线性代数试卷及答案3套

《线性代数》（A 卷共四页）一.填空或选择填空(共30分,每小题3分)1.设],,,[A 432γγγα=,],,,[B 432γγγβ=,其中432,,,,γγγβα均为四维列向量. 已知4|A |=,1|B |=,则_____|B A |=+.2.设A 为)(m n m n >⨯矩阵,S 为n 阶可逆矩阵,且r r =)A (,)SA (r 1r =,则( ). A r r m >>1B m r r >>1C m r =1D r r =13.四维列向量组 T1]4,2,1,1[-=α,T2]2,1,3,0[=α,T3]14,7,0,3[=α,T 4]0,2,1,1[-=α的秩为_______,一个极大无关组为_____________.4.齐次线性方程组0=AX 有非零解的充分必要条件是( ). A A 的列向量组线性无关 B A 的行向量组线性无关 C A 的列向量组线性相关 D A 的行向量组线性相关5.设T1]0,2,1[=α,T2]1,0,1[=α都是三阶方阵A 的属于特征值12=λ的特征向量,而T]2,2,1[--=β,则______________=βA .6.设2=λ为可逆矩阵A 的一个特征值,则12A 31-⎪⎭⎫⎝⎛有一个特征值为_____=μ.78.下列矩阵中不与对角矩阵相似的是( ).A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡600540321B ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡653542321C ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200020012D ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200010012 9.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=001010100A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=100010001B ,则A 与B ( ). A 合同但不相似 B 合同且相似 C 不合同但相似D 不合同且不相似10.设实二次型312322213212),,(x cx ax bx ax x x x f +++=,当( )时,该二次型为正定二次型.A 0,0>+>c b aB 0,0>>b aC 0|,|>>b c aD 0,||>>b c a 二.计算下列行列式(共12分,每小题6分)1.67412120603115124-----=D ；2.111122111n nn a a a a a a D ---=+(空白处元素全为0).三.计算(共20分,每小题10分) 1.设A 为可逆矩阵,且B AB A +=-1*.1) 求证B 为可逆矩阵；2) 当⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200620062A 时,求矩阵B . 2.求解如下线性方程组；若有无穷多解,请用其特解与导出组的基础解系联合表出通解.四.(18分)求一个正交替换SY X =,将如下实二次型化为标准形.32312123222132184422),,(x x x x x x x x x x x x f ++---=.五.(5分)求证秩为r 的实对称矩阵可以写成r 个秩为1的实对称矩阵之和.《线性代数》（B 卷）一.填空与选择(30分,每小题3分)1.设d a a a a a a a a a =333231232221131211,则=------333232213123222221211312121111432432432a a a a a a a a a a a a a a a ________.2.=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-10057002311003200______________________.3.设B A ,均为n 阶方阵,则有( ).A )B ()A ()B A (r r r +=+ B )B ()A ()AB (r r r =C )B ()A (B O O A r r r +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡D )B ()A (B O O A r r r =⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 4.设向量组4321,,,αααα线性无关,则14433221,,,αααααααα++++的秩为______.5.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----13222123a 与⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡λ00020002相似,则=λ______,=a ______. 6.设33⨯A 的全体特征值为3,2,1-,则( )为可逆矩阵.A A E -B E A 2+C E A 2-DE A 3-7.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100110111A 为线性变换σ在基321,,:(I)ξξξ下的矩阵,则σ在基321211,,:(II)ξξξξξξ+++下的矩阵为=B _______________.8.设T ]2,1[是实对称矩阵A 的特征向量,且0|A |<,则( )也是A 的特征向量.A R ∈k k ,]2,1[T B R ∈-k k ,]1,2[T 非零 C R ∈-+21T2T 1,,]1,2[]2,1[k k k k 不全为零D R ∈-+21T2T 1,,]1,2[]2,1[k k k k 全不为零9.实二此型32312123222132182292),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=有标准形( ).A 23222192y y y ++ B 23222192y y y -+ C 23222192y y y -- D 2221y y +10.设B A ,均为n 阶正定矩阵,则( )不一定是正定矩阵.A B A + B BA AB + C ABA D ⎥⎦⎤⎢⎣⎡B O O A 二.(28分,前3小题各6分,第4小题10分)1.计算n 阶行列式(3≥n )0221202122011110 =n D .2.设n 阶方阵A 满足O E A A A =+--43223,求证E A 2-可逆,并求1)2(--E A .3.求向量组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=6211α,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=2102α,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3013α,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=4234α的一个极大无关组,并用该极大无关组线性表示向量组中其他向量.。

线性代数试题及答案

线性代数试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列矩阵中，哪个是可逆矩阵？A. \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)B. \(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\)C. \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)D. \(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\)答案：C2. 矩阵\(A\)的行列式为0，那么\(A\)的秩是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：A3. 向量\(\vec{a} = (1, 2, 3)\)和向量\(\vec{b} = (4, 5, 6)\)的点积为：A. 14B. 32C. 8D. 22答案：A4. 矩阵\(A\)的转置矩阵记作\(A^T\)，那么\((A^T)^T\)等于：A. \(A^T\)B. \(A\)C. \(A^{-1}\)D. \(A^2\)答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 若矩阵\(A\)的行列式为-5，则\(A^{-1}\)的行列式为______。

答案：\(\frac{1}{5}\)2. 矩阵\(A\)的秩为2，那么\(A\)的零空间的维数为\(\_\_\_\_\)。

答案：\(n-2\)（其中n为\(A\)的列数）3. 向量\(\vec{a} = (1, 2)\)和向量\(\vec{b} = (3, 4)\)的叉积为______。

答案：\(-2\)4. 若\(\vec{a} = (1, 0, 0)\)，\(\vec{b} = (0, 1, 0)\)，\(\vec{c} = (0, 0, 1)\)，则\(\vec{a} \times \vec{b} =\_\_\_\_\_\)。

线性代数习题三答案

线性代数习题三答案
《线性代数习题三答案》
线性代数作为数学的一个重要分支，对于理工科的学生来说是一个非常重要的课程。

在学习线性代数的过程中，习题是一个非常重要的部分，通过做习题可以加深对知识点的理解，提高解题能力。

今天我们就来看一下线性代数习题三的答案。

1. 习题一：
已知矩阵A= [1, 2; 3, 4]，求矩阵A的转置矩阵。

答案：A的转置矩阵记为A^T，即A^T= [1, 3; 2, 4]。

2. 习题二：
已知向量a= [1, 2, 3]，b= [4, 5, 6]，求向量a和b的内积。

答案：向量a和b的内积记为a·b，即a·b= 1*4 + 2*5 + 3*6 = 32。

3. 习题三：
已知矩阵A= [1, 2; 3, 4]，求矩阵A的行列式。

答案：矩阵A的行列式记为|A|，即|A|= 1*4 - 2*3 = 4-6 = -2。

通过以上习题的答案，我们可以看到线性代数中一些基本概念的运用，比如矩阵的转置、向量的内积、矩阵的行列式等。

这些概念在实际应用中有着广泛的用途，比如在工程、物理、经济等领域都会涉及到线性代数的知识。

因此，掌握好线性代数的基础知识，对于我们未来的学习和工作都是非常有帮助的。

希望通过对习题三的答案的学习，大家能够更加深入地理解线性代数的知识，提高解题能力，为将来的学习和工作打下坚实的基础。

线性代数习题册(第三章矩阵的初等变换与线性方程组参考答案)

(B) 若 A B ，则 R( A) = R(B) ；
(C ) 若 P,Q 可逆，则 R(PAQ) = R( A) ； (D) R( A + B) ≥ R( A) + R(B) .
分析：本题是考察矩阵秩的性质。（A）、（B）、（C）都是正确的。如
R(= PAQ) R= ( AQ) R( A) ，所以（C）是正确的。（D）不正确。因为
（ X）（X）
3. 若矩阵 A 所有的 k 阶子式全为 0 ，则 R( A) < k .
（ √）
4. 初等变换不改变矩阵的秩.
（√）
5. 设矩阵 A, B 分别为线性方程组相应的系数矩阵和增广矩阵，则线性方程组 Ax = b 有唯
一解当且仅当 R( A) = R(B).
（X）
6. 若 A 是 m × n 矩阵，且 m ≠ n ，则当 R( A) = n 时，齐次线性方程组 Ax = 0 只有零解.
( x j − xi ) ≠ 0

1≤i< j≤n
1
xn

x n−1 n
故齐次线性方程组只有唯一的零解，即 a=1 a=2 = a=n 0 。
13. 设 A 为 m × n 矩阵，且 R( A=) m < n ，则（
）.
( A) 若 AB = O ，则 B = 0 ；
(B) 若 BA = O ，则 B = 0 ；

1
1 0
0
0

a11 a21
a12 a22
a13 a23

=

a21 a11
a22 a12
a23 a13

0 0 1 a31 a32 a33 a31 a32 a33

线性代数练习题及答案10套

1 0 1 14．设矩阵 A= 0 2 0 ，矩阵 B A E ，则矩阵 B 的秩 r(B)= __2__． 0 0 1 0 0 1 B A E = 0 1 0 ，r(B)=2． 0 0 0
15．向量空间 V={x=(x1,x2,0)|x1,x2 为实数}的维数为__2__． 16．设向量 (1,2,3) ， (3,2,1) ，则向量，的内积 ( , ) =__10__． 17．设 A 是 4×3 矩阵，若齐次线性方程组 Ax=0 只有零解，则矩阵 A 的秩 r(A)= __3__． 18 ．已知某个 3 元非齐次线性方程组 Ax=b 的增广矩阵 A 经初等行变换化为：
三、计算题（本大题共 6 小题，每小题 9 分，共 54 分）
Ibugua
交大打造不挂女神的领跑者
123 23 3 21．计算 3 阶行列式 249 49 9 ． 367 67 7 123 23 3 100 20 3 解： 249 49 9 200 40 9 0 ． 367 67 7 300 60 7
线代练习题及答案（一）
一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）
1．设 A 为 3 阶方阵，且 | A | 2 ，则 | 2 A 1 | （ D A．-4 B．-1 C． 1 ） D．4
| 2 A 1 | 2 3 | A | 1 8
1 4． 2
）
1 2 3 1 2 2．设矩阵 A= （1， 2）， B= C= 则下列矩阵运算中有意义的是（ B 4 5 6 ， 3 4 ，
行成比例值为零．
a1b2 a 2 b2 a 3 b2

考研数学(三)题库线性代数(第一章行列式)打印版【圣才出品】

2．设 A 为 n 阶方阵，B 是 A 经过若干次矩阵的初等变换后所得到的矩阵，则有（）。 A．|A|＝|B| B．|A|≠|B| C．若|A|＝0，则一定有|B|＝0 D．若|A|＞0，则一定有|B|＞0 【答案】C 【解析】矩阵 A 经过若干次初等变换后得到矩阵 B，则存在可逆矩阵 P，Q 使得 B＝PAQ，因此|B|＝|PAQ|＝|P|·|A|·|Q|，若|A|＝0，则必有|B|＝|P|·|A|·|Q|＝0 成立。
1
1
1 ，则|A|＝____。
0
【解析】行列式每列所含元素相同，可将其余各列均加到第一列上，提出公因子（n－
1）后，再计算。
n 1 1 1
1
2,3, ,n列加到第一列上 n 1 0 1
1
原式
n 1 1 0
1
n 1 1 1
0
11 1
1
101
1
n 1 1 1 0
1
11 1
0
11 1
1
2,3, ,n行＋1行1
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】根据题设条件可知
AB
2
2
2
22
2 2
2
1 2
1 3
2 2
2 B
1 3
A 2 B
2
2 3 2 3 2 3 3 3
3 3
二、填空题
2x 1 1
1．在函数 f x x x x 中，x2 的系数是____。
12x
【答案】－3
【解析】根据行列式的定义，能出现 x2 的只有以下两项：（－1）r（132）a11a23a32＋
0 1 0
0

线性代数试题(试题与答案)

线性代数试题(试题与答案)一、选择题（每题5分，共25分）1. 设矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix} \)，则 \( A^2 \) 的特征值是（）A. 5, 9B. 1, 16C. 5, -5D. 10, -102. 设 \( \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \) 是线性无关的向量组，则下列向量组线性无关的是（）A. \( 2\alpha_1 + \alpha_2 - \alpha_3 \)B. \( \alpha_1 + 2\alpha_2 + 3\alpha_3 \)C. \( \alpha_1 - \alpha_2 + \alpha_3 \)D. \( 3\alpha_1 - 2\alpha_2 + \alpha_3 \)3. 设 \( A \) 是一个 \( n \) 阶可逆矩阵，则 \( A^{-1} \) 的行列式等于（）A. \( \frac{1}{|A|} \)B. \( |A| \)C. \( |A^{-1}| \)D. \( -|A| \)4. 设 \( A \) 是一个 \( n \) 阶实对称矩阵，则下列结论正确的是（）A. \( A \) 的特征值都是实数B. \( A \) 的特征值都是正数C. \( A \) 的特征值都是负数D. \( A \) 的特征值既有正数也有负数5. 设 \( A \) 是一个 \( n \) 阶矩阵，且 \( A \) 的秩为\( n \)，则下列结论正确的是（）A. \( A \) 是可逆矩阵B. \( A \) 的行列式不为0C. \( A \) 的特征值不全为0D. \( A \) 的任意一行都可以作为主行二、填空题（每题5分，共25分）6. 若 \( A \) 是一个 \( n \) 阶矩阵，且 \( |A| = 0 \)，则称 \( A \) 为________矩阵。

线性代数模拟试题及答案(三套)

第一套线性代数模拟试题解答一、填空题(每小题4分，共24分)1、若12335544i j a a a a a 是五阶行列式中带正号的一项，则,12i j ==。

令1,2i j ==，(12354)(13524)134τπ+=+=，取正号。

2、若将n 阶行列式D 的每一个元素添上负号得到新行列式D ，则D =(1)n D- 。

即行列式D 的每一行都有一个(-1)的公因子，所以D =(1)n D-。

3、设1101A ⎛⎫=⎪⎝⎭, 则100A =110001⎛⎫ ⎪⎝⎭。

23111112121113,,010*********A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭可得4、设A 为5 阶方阵，5A =，则5A =15n +。

由矩阵的行列式运算法则可知：1555n n A A +==。

5、A 为n 阶方阵,TAA E =且=+<E A A 则,0 0 。

由已知条件：211,1T T TAA E AA A A A E A A =⇒====⇒=±⇒=-，而：0TTA E A AA A E A A A E A E A E +=+=+=+=-+⇒+=。

6、设三阶方阵2000023A x y ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭可逆，则,x y 应满足条件32x y ≠。

可逆，则行列式不等于零：2002(32)032023A x y x y x y ==⨯-≠⇒≠。

二、单项选择题(每小题4分，共24分) 7、设0333231232221131211≠=M a a a a a aa a a ，则行列式=---------232221333231131211222222222a a a a a a a a a A 。

A ．M 8 B ．M 2 C ．M 2- D ．M 8-由于 ()()111213111213111213331323331323321222321222321222331323322222228(1)8222a a a a a a a a a a a a a a a a a a M a a a a a a a a a ------=-=--=---8、设n 阶行列式n D ，则0n D =的必要条件是 D 。

线性代数习题三及答案

郑州航空工业管理学院2006—2007学年第一学期课程考试试卷（A ）卷一、填空题（本题总计16分，每小题2分） 1、排列的逆序数是 2、若122211211=a a a a ，则=160030322211211a a a a 3、设A 为三阶可逆阵，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-1230120011A ，则=*A 4、若A 为n m ⨯矩阵，则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是 5、已知五阶行列式1234532*********140354321=D ，则=++++4544434241A A A A A6、若n 元齐次线性方程组0Ax =的系数矩阵A 的秩为n-1 ，则其解空间的维数为7、若()Tk 11=α与()T121-=β正交，则=k8、若矩阵A 的特征值分别为1、－1、2 ，则2+-=A A E 二、选择题（本题总计20分，每小题2分）1、若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++0)1(0)1(0)1(321321321x x x x x x x x x λλλ 有非零解，则λ的范围为( )Ａ．0≠λ Ｂ．3-≠λＣ．0≠λ且3-≠λ Ｄ．0=λ且3-=λ 2、设n 阶矩阵A 和B 满足AB=0，则( )Ａ．00==B A 或Ｂ．00==B A 或Ｃ．0B A =+Ｄ．0=+B A3、设A 为三阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，且21=A ，则=--*A A 2)3(1( )Ａ．2716-Ｂ．31- Ｃ．31 Ｄ．27164、向量组r ααα,,,21 线性相关且秩为s ，则( ) Ａ．s r = Ｂ．s r ≤ Ｃ．r s ≤ Ｄ．r s <5、设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( )Ａ．)()(A R B R ≤Ｂ．)()(A R B R <Ｃ．)()(A R B R = Ｄ．)()(A R B R ≥6、若A 为三阶方阵，且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A ( )Ａ．8 Ｂ．8-Ｃ．34 Ｄ．34-7、若n 元非齐次线性方程组b Ax =的增广矩阵的秩()n R <b A,，则方程组( )Ａ．有唯一解Ｂ．有无穷多解Ｃ．无解Ｄ．无法判断解的情况 8、 n 阶方阵A 的秩n r <的充要条件为( )Ａ．A 有r 阶子式不等于零Ｂ．A 的1+r 阶子式都为零Ｃ．A 的任一个r 阶子式都不等于零Ｄ．A 的任1+r 个列向量线性相关，而有r 个列向量线性无关 9、设非齐次线性方程组b Ax =有两个不同的解为21,αα，则下列向量是方程组的解是( ) Ａ．21αα+Ｂ．21αα-Ｃ．213132αα+ Ｄ．R k k k k ∈+212211,,其中αα10、已知n 阶方阵A 、B 和C 满足ABC=E ，其中E 为n 阶单位矩阵，则=-1B ( ) Ａ．11--C A Ｂ．ACＣ．CAＤ．11--A C三、计算题（本题总计56分，5、6每小题10分，其他每小题9分）1．已知矩阵111111111⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，121111001⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭B ，求2-AB A 及T B A .2．求n 阶行列式的值a b b b ba b b b b a b b b b a D =3．求矩阵的逆⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=343122321A4．求下列非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系及此方程组的通解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=+++=-+++=++++433546622033225432154315432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x5．已知向量组()T 32011=α、()T53112=α、()T13113-=α、()T 94214=α、()T52115=α，求此向量组的一个最大无关组，并把其余向量用该最大无关组线性表示．6．求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=201034011A 的特征值和特征向量．四、证明题（本题总计8分）已知向量组（Ⅰ）321,,ααα，（Ⅱ）4321,,,αααα，（Ⅲ）5321,,,αααα，如果各向量组的秩分别为3、3、4．证明：向量组45321,,,ααααα-的秩为4．郑州航空工业管理学院2006—2007学年第二学期考试试卷答案及评分标准（B ）卷一、填空题（本题总计20分，每小题 2 分）1、()12n n -；2、0；3、11031102744002A ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭或；4、E A -；5、()R A m =；6、3m -；7、2；8、1-；9、 0； 10、1l ≠ 二、选择题（本题总计 10 分，每小题 2分） 1、D ；2、A ；3、C ；4、B ；5、C三、计算题（本题总计60分，每小题10分） 1、解：特征方程11(2)(3)24A E λλλλλ---==---从而A 的特征值为122,3λλ==………………………………………………(4分)当12λ=时，由方程(2)0A E x -=得基础解系1(1,1)T ζ=-，即对应于12λ=的全部特征向量为11k ζ1(0)k ≠；……………………………(7分)当23λ=时，由方程(3)0A E x -=得基础解系2(1,2)T ζ=-，即对应于23λ=的全部特征向量为22k ζ2(0)k ≠.……………………………(10分)2、解：011111112111111000111000nn n n n nn na a a a D c c c c a a a a a ++----- ----…（5分）()(1)212121111n n n n a a a a a a a +⎛⎫=-----⎪⎝⎭…………………（10分）3、解：由010100001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100001010B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求得1A B ==-，*010100001A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，*100001010B -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，从而1010100001A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1100001010B -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ……………………………………（5分）故11210134102X A CB ---⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪-⎝⎭…………………………………………………（10分）4、解：对增广矩阵B 施行初等行变换2141123242235(1)111111111112321133012260012260012260543315012260101151012260000000000000r r r r r r r r r r r B --++-⨯-⎛⎫⎛⎫⎪⎪-----⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎪-----⎝⎭⎝⎭---⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭即得：1345234551226x x x x x x x x =+++⎧⎨=---⎩ …………………………………………………（4分）取345(,,)T x x x 分别为(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)T T T 得基础解系为：123(1,2,1,0,0),(1,2,0,1,0),(5,6,0,0,1)T T T ζζζ=-=-=-…………………（7分）另外取3450x x x ===得方程组的一个解(1,0,0,0,0)T η= ……………………（9分）原方程组的通解为：112233123,,,x k k k k k k R ζζζη=+++∈其中.…………（10分）5、解：设矩阵()123451211211214,,,,6422463979A ααααα---⎛⎫ ⎪--⎪== ⎪--- ⎪--⎝⎭通过初等行变换，得到其行最简形矩阵为：10103011040001300000A --⎛⎫⎪--⎪⎪ ⎪⎝⎭……………………………………………………（6分）故矩阵A 的1、2、4列即124,,ααα为A 的列向量组的一个最大无关组；…（8分）且()31241,,10αααα-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，()51243,,43αααα-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭.……………………………（10分）6、解：由1**11A A A A A A--=⇒=，…………………………………………（3分）得()()*131113333183A A A A A A ---===-……………………………（6分）所以()1*111131218612A A A A A ----⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭………………………（8分）()()331166108A A-=-=-=…………………（10分）四、证明题（本题总计10 分）证：（1）因为2,,n αα线性无关，所以21,,n αα-线性无关，而11,,n αα-线性相关，故1α可由向量组231,,,n ααα-线性表示；……………………………（4分）（2）反证法：假设n α可由向量组121,,,n ααα-线性表示，由（1）知1α可由向量组231,,,n ααα-线性表示，从而n α可由向量组21,,n αα-线性表示，则2,,n αα线性相关，这与后1n -个向量2,,n αα线性无关矛盾. 故n α不能由向量组121,,,n ααα-线性表示. ………………………………………………………………………（10分）郑州航空工业管理学院2006—2007学年第一学期课程考试试卷（B ）卷一、填空题（本题总计20分，每小题2分） 9、排列的逆序数是 10、322211211=a a a a ，则=15044022122111a a a a 11、设A 为四阶矩阵，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1000230031202121A ，则=*A 12、已知n 阶方阵A 、B 和C 满足ABC ＝E ，其中E 为n 阶单位矩阵，则=-1A13、若A 为n m ⨯矩阵，则非齐次线性方程组b Ax =有无穷个解的充要条件是 14、已知四维列向量()T31521=α、()T1051102=α、()T 11143-=α，且()()()x x x +=++-321523ααα，则=x15、若n 元齐次线性方程组0Ax =的系数矩阵的秩为5-n ，则其解空间的维数为 16、已知向量()T0212-=α，则=α17、若()T 321-=α与()Tk11-=β正交，则=k18、若矩阵A 的特征值分别为1、2、3 ，则=+-E A A 722二、选择题（本题总计20分，每小题2分）11、若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x bx x x bx x x x ax 有非零解，则Ａ．1-=a Ｂ．01≠≠b a 且Ｃ．1-≠a Ｄ．01==b a 或 12、设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则=-A 5Ａ．D 5Ｂ． D 5- Ｃ．D n )5(-Ｄ．D n 1)5(--13、以下等式正确的是Ａ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a k d kc b kaＢ．d c b a k kd kc kb ka =Ｃ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++d c b a d c d b c a Ｄ．ab c ddc b a =14、设向量组B 能由向量组A 线性表示，则Ａ．)()(A R B R ≤Ｂ．)()(A R B R <Ｃ．)()(A R B R = Ｄ．)()(A R B R ≥15、矩阵A 、B 、C 满足C ＝AB ，则A ．)()(C A R R ≤Ｂ．)()(C B R R ≤Ｃ．)()(C A R R ≤且)()(C B R R ≤ Ｄ．)()(A C R R ≤且)()(B C R R ≤16、设A 为三阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，且41=A ，则=--*A A 3)4(1 Ａ．2716 Ｂ．2716- Ｃ．21 Ｄ．21-17、设非齐次线性方程组b Ax =有两个不同的解为21,αα，则下列向量是方程组的解是Ａ．21αα+Ｂ．2123αα-Ｃ．215252αα+Ｄ．R k k k k ∈+212211,,其中αα18、若n 元非齐次线性方程组b Ax =的增广矩阵的秩()n R <b A,，则方程组Ａ．有唯一解Ｂ．有无穷多解Ｃ．无解Ｄ．无法判断解的情况 19、 n 阶方阵A 的元素全为n ，则A 的秩为Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．1-n Ｄ．n 20、若A 为三阶方阵，且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=AＡ．8Ｂ．8-Ｃ．34Ｄ．34-三、计算题（本题总计50分，每小题10分）7．计算n 阶行列式nD n 222232222222221=8．求矩阵A 的逆⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=121213421A9．求非齐次线性方程组对应的齐次线性方程组的基础解系及原方程组的通解⎪⎩⎪⎨⎧=--+=--+-=++--5327583313432143214321x x x x x x x x x x x x 10．已知向量组()T40111-=α、()T65122=α、()T 02113--=α、()T147034=α、()T 103145-=α，求此向量组的一个最大无关组，并把其余向量用该最大无关组线性表示． 11．求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=124042011A 的特征值和特征向量．四、证明题（本题总计10分）已知矩阵n m ⨯A 和m n ⨯B 满足AB=E ，其中E 为m 阶单位矩阵，且n m <，证明：A 的行向量组和B 的列向量组都线性无关.郑州航空工业管理学院2006 — 2007学年第一学期考试试卷答案及评分标准（ B ）卷一、填空题（本题总计 20 分，每小题2分）1. 18；2. 12；3. 216或36；4．BC ；5．R(A)=R(A,b)<n ；6．()T4,3,2,17．5；8．3；9．5；10．420二、选择题（本题总计 20 分，每小题 2 分）1.D ；2.C ；3.D ；4.A ；5.D ；6.D ；7.B ；8.D ；9.B ；10.C 三、计算题（本题总计 50 分，每小题 10 分）1.计算n 阶行列式=n D nn 222221222223222222222221-=-=2,,3r r ni i 2000003000001002222222221--n n(2分)=-122r r 203000001002222022221------n n(6分) )2(2--=n ！ (10分)2．求A 的逆矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=121213421A 解：()E A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100121010213001421～⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----1013000131050001421 (2分)～⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----3103110005115101005251001 (6分)=-1A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----3103105115105251 (10分)3．求非齐次线性方程组对应齐次线性方程组的基础解系及非齐次方程组的通解⎪⎩⎪⎨⎧=--+=--+-=++--5327583313432143214321x x x x x x x x x x x x 解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------532117583311311～⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----421004210011311 ～⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---000004210011311～⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--0000042100137011 (2分) 取42,x x 为自由未知量得齐次线性方程组的解：4217x x x +-= 432x x =令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛42x x ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10得基础解系 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0011，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1207 (4分) 令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛42x x ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00得非齐次线性方程组的特解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=04013*η，则通解为 X=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-040131207001121k k 1k ，2k R ∈ (4分)4．A=()54321,,,,ααααα=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----1014064372501011143121～⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--00000222001101043121 (2分) ～⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-0000011100110101201 (4分) R(A)=3, 321,,ααα 就是向量组的一个极大无关组 (6分)则 32142αααα-+= (8分) 3215αααα++= (10分)5．求三阶矩阵A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-124042011的特征值和特征向量解：E A λ-＝λλλ----12404211＝)3)(2)(1(---λλλ＝0 (1分)解得 11=λ，22=λ，33=λ (4分)11=λ时，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-024032010E A ～⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000010001得基础解系 =1p ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100则1p k)0(≠k 即为对应于特征值11=λ的特征向量 (5分)22=λ时，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-1240220112E A ～⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00021102101 (6分)得基础解系 =2p⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-12121，则2p k)0(≠k 即为对应于特征值22=λ的特征向量 (7分) 33=λ时，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-2240120123E A ～⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0001000211 (8分) 得基础解系 =3p⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0121则3kp )0(≠k 即为对应于特征值33=λ的特征向量 (10分)四、证明题（本题总计 10 分）已知矩阵n m A ⨯和m n B ⨯满足E AB =，其中E 为m 阶单位阵，且n m <，证明：A 的行向量组和B 的列向量组都线性无关.证明：因为EAB=，E为m阶单位阵，则Em=，(2分)RR≤(A())ER≤=. (4分)m))((BR又mR≤((6分)AA))R≤(，m所以mR=)((8分)BA(，mR=)故A的行向量组和B的列向量组的秩与向量个数相等，所以的A行向量组和B的列向量组都线性无关. (10分。

赵树源线性代数习题三(B)题目和答案

1．如果线性方程组12323331 223(1)(3)(1)x x x x x x x λλλλλλ++=-⎧⎪-=-⎪⎨=-⎪⎪-=---⎩有惟一解，则λ=[ ]。

()A 1或2 ()B 1-或3 ()C 1或3 ()D 1-或3-【解】应选()C ，因为：线性方程组有惟一解，应有()()r A r A b n ==，由于11110212()00131(3)(1)Ab λλλλλλ-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥----⎣⎦ ()()4(1)3λ--−−−−−→1111021200132(3)(1)λλλλλ-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥---⎣⎦可见，当1λ=或3λ=时，有()()r A r A b n ==，线性方程组有惟一解。

2．如果线性方程组123232321 32 (3)(1)(2)x x x x x x x λλλλλλ+-=-⎧⎪-=-⎨⎪-=--+-⎩有无穷多解，则λ=[ ]。

()A 3 ()B 2 ()C 1 ()D 0【解】应选()A ，因为：线性方程组有无穷多解，应有()()r A r A b n =<，由于1211()031201(3)(4)(2)A b λλλλλλ--⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦()()323λ-−−−−→12113122001(3)(5)33λλλλλ⎡⎤⎢⎥--⎢⎥--⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎣⎦可见，当3λ=时，()()23r A r Ab n ==<=，线性方程组有无穷多解。

3．如果线性方程组1232332 4 22(1)(2)(3)(4)x x x x x x λλλλ+-=⎧⎪+=⎨⎪--=--⎩无解，则λ=[ ]。

()A 3或4 ()B 1或2 ()C 1或3 ()D 2或4【解】应选()B ，因为：线性方程组无解，应有()()r A r A b ≠，由于1214=01220(1)(2)(3)(4)A b λλλλ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦（）显见当1λ=或2λ=时，()2()3r A r Ab =≠=，线性方程组无解。

线性代数(含全部课后题详细答案)3第三章矩阵习题解答.docx

习题三A 组1 •填空题.(1)设口 = (1,1,1), 6 = (-1,-1,-1),则ah x= _____________ , a vh= _________ro o>1 ](3)若么=(1, 2, 3), B — 1, —, — , A — a}d ,则 A n =I 2 3丿‘1 0⑷设A= 0 2J o解0.(5)设 a = (l, 0, -if ，矩阵 A=aa l \ 斤为正整数，贝 i\kE - A n解 k 2(k-2n ).(6)设昇为斤阶矩阵，且A =2,贝ij AA T= _________ , AA ： = _______2(2)设八1-3 2),B =-3丿1 -13 1 3>则AB = (0 0丿(—3 -3丿2 13232 3 1 1)0 ,正整数 /7 > 2 ,则 A n -2A ,l ~' =2“+i2".(cos& -sin&\(7)、sin& cos& 丿cos& sin&\、一sin& cos& 丿0 0、2 0 ,则(A*y =4 5,解討丫2(10)设矩阵/二,矩阵B满足BA = B + 2E,则B二，B<-1 2(2 0(11)设/，〃均为三阶矩阵，AB = 2A + B f B= 0 4,2 0‘0 0 P解0 1 0b o oj(12)设三阶矩阵/满足|力|二*, (3A)~l-2A* =1627(13)设/为加阶方阵,B为兀阶方阵,同=Q,\B\ = b, C =°, 则\c\ =(8)设…®?工0 ,则、\Z曾丿1)a n1%■■1 1■色丿丿a lP(9)设A= 22、0 ,贝=2丿/0、0 ,矩阵〃满足关系式ABA =2BA ^E,其屮才'为力的伴随矩阵，则|B | =解*•解0.解一3・是nxp 矩阵，C 是pxm 矩阵，加、n 、p 互不相等，则下列运算没有(B) ABC ；解D.(2)设/是mxn 矩阵(m n), B 是nxm 矩阵，则下列解(一l)〃5b ・(15)设4阶矩阵/的秩为1,则其伴随矩阵/的秩为 (14)设三阶矩阵/ =R(4)解1.(17)设矩阵力'a 、b\ a }b 2■ ■a 2b 2 ■ • ■a n b2,其中匕・工0, (Z=l,2,•••,/?),则力的秩，且7?(J) = 3,则丘=0、 -2i,则将/可以表示成以下三个初等矩阵的乘积(D) AC T .的运算结果是n 阶力•阵.(A) AB ；解B.(B) A YBT；(C) B r A T ；(D) (4B)T.(16 )设？1 = •咕、・仇・ a n b n)解2.选择题.(1)设/是mxn 矩阵,(3) 设力」是斤阶方阵，AB = O,贝I 」有 ________ • (A) A = B = Ox(B) A + B = O ； (C)同=0或|同=0；(D)同 + 圖=0・解C ・(4) 设力，〃都是斤阶矩阵，则必有 _______ . (A) \A + B\ = \^ + \B\； (B) AB = BA ； (C) \AB\ = \BA\ ；(D) (/1 + B)T M /T + BT ・解C ・(5) 设/,B 是斤阶方阵，下列结论正确的是 __________ ・ (A)若均可逆，则A^B 可逆； (B)若力，〃均可逆，则力〃可逆； (C)若A + B 可逆，则A-B 可逆；(D)若A + B 可逆，则4〃均可逆.解B.(6) 设斤阶方阵A,B,C 满足关系式 ABC = E ，则必有 ___________ ・ (A) ACB = E ； (B) CBA = E ；(C) BAC = E ；(D) BCA = E .解D.(7) 设昇，B,力 + B, /T+BT 均为斤阶可逆矩阵，贝等于 ________________________ (A)(B) A + B ；(C) (D) g + 3)".解C.(8) 设£B,C 均为兀阶矩阵，若B = E + MB , C = A^CA.则B-C 为 ________________ . (A) E\ (B) —E ； (C) ； (D) —A.. 解A.(9) 设矩阵A = (a i .} 满足才其中才是/的伴随矩阵，川为昇的转置矩阵.若\ "3x3。

线性代数试题及答案3详解

线性代数习题和答案第一部分选择题(共28分)一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。

错选或未选均无分。

1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（ D ）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（ B ）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛21131D120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（ B ）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（ D ）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（ C ）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（ D ）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（ C ）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（ A ）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（ A ）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（ B ）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A 的特征方程的3重根，A 的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k ，则必有（ A ） A. k ≤3 B. k<3 C. k=3 D. k>312.设A 是正交矩阵，则下列结论错误的是（ B ）A.|A|2必为1B.|A |必为1C.A -1=A TD.A 的行（列）向量组是正交单位向量组 13.设A 是实对称矩阵，C 是实可逆矩阵，B =C T AC .则（ D ）A.A 与B 相似B. A 与B 不等价C. A 与B 有相同的特征值D. A 与B 合同 14.下列矩阵中是正定矩阵的为（ C ）A.2334⎛⎝ ⎫⎭⎪B.3426⎛⎝ ⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪ D.111120102⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。

线性代数习题三答案

第三章线性方程组一、温习巩固1. 求解齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x解：化系数矩阵为行最简式⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000001001-0215110531631121行变换A因此原方程同解于⎩⎨⎧=+-=023421x x x x 令2412,k x k x ==，可求得原方程的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1001001221k k x ，其中21,k k 为任意常数。

2. 求解非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=-+8311102322421321321x x x x x x x x解：把增广矩阵),(b A 化为阶梯形⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-6-000341110-08-3-318031110213833180311102132124),(21行变换r r b A因此3),(2)(=<=b A R A R ，所以原方程组无解。

3. 设)1,2,1,3(),1,1,2,3(--=--=βα。

求向量γ，使βγα=+32。

解：⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=31,0,35,3)2(31αβγ 4. 求向量组,)0,2,1,1(,)14,7,0,3(,)2,1,3,0(,)4,2,1,1(4321T T T T -===-=ααααT )6,5,1,2(5=α的秩和一个极大线性无关组。

解：将51,αα 作为列向量构成矩阵，做初等行变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=44000000010110213012422101103033021301601424527121103121301A 所以向量组的秩为3，421,,ααα是一个极大线性无关组。

二、练习提高 ⒈ 判断题⑴ 初等变换总是把方程组变成同解方程组，这也是消元法的理论基础。

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