《公式法-十字相乘法》
8、公式法、十字相乘法
辅导讲义1、上节课作业完成情况：2、主要学习内容：1）：因式分解：2）：提取公因式法：知识点1：因式分解（公式法）1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。
平方差公式：22()()a b a b a b -=-+完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±知识点2：因式分解（十字相乘法）1、二次三项式多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式．在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式．十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法．2、十字相乘法的依据和具体内容利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用()()ax b cx d ＋＋竖式乘法法则．它的一般规律是：（1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a b ＋为一次项系数p ，那么它就可以运用公式 ))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++分解因式．8.求证：当n 为自然数时，()()2231331n n n n -+-++是一个完全平方数.十字相乘法把下列各式分解因式：（1）1522--x x ； （2）2265y xy x +-．把下列各式分解因式：（1）3522--x x ； （2）3832-+x x ．把下列各式分解因式： 91024+-x x ； （2）)(2)(5)(723y x y x y x +-+-+；120)8(22)8(222++++a a a a ．1.二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大，往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积累经验，才能提高速度和准确性．2.要深刻理解换元的思想，这可以帮助我们及时、准确地发现多项式中究竟把哪一个看成整体，才能构成二次三项式，以顺利地进行分解．同时要注意已分解的两个因式是否能继续分解，如能分解，要分解到不能再分解为止．我来试一试。
十字相乘法完整版
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十字相乘法完整版
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01
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02
十字相乘法的基本原理
03
十字相乘法的应用
04十字相乘法ຫໍສະໝຸດ 注意事项05十字相乘法的扩展应用
01
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02
十字相乘法的基本原理
定义与公式
定义：十字相乘法是一种解一元二次方程的方法，通过将方程的系数分解为两个因数的乘积，从而找到方程的解。
分解因式时，要注意符号的变化，特别是当多项式中含有括号时。
分解因式时，要注意符号的变化，特别是当多项式中含有分数时。
分解因式时要注意完全平方数的问题
分解因式时要注意完全平方数的问题，避免出现错误的结果。
分解因式时要注意符号问题，确保结果的正确性。
分解因式时要注意因式的分解是否彻底，避免出现不必要的错误。
应用场景：求解一元二次不等式时，当不等式的系数较大或较为复杂时，使用十字相乘法可以简化计算过程
注意事项：在使用十字相乘法时，需要确保分解后的两个一次项的乘积为正，否则会导致不等号方向错误
举例说明：通过具体的一元二次不等式实例，展示十字相乘法的应用和求解过程
求解一元二次函数极值
定义：一元二次函数极值是指函数在某点的导数为零，且该点两侧的函数值异号
代数方程：十字相乘法可用于解二次方程和一元高次方程
矩阵运算：十字相乘法在矩阵的乘法中也有应用
分式化简：十字相乘法可以用于化简分式，简化计算过程
在物理和工程领域的应用
线性代数方程组的求解
工程中的结构分析、流体动力学等领域
物理中的动力学方程求解
矩阵运算中的分块矩阵相乘
公式法3,十字相乘法
第三课时
公式法
十字相乘法
执教：桐林中学曾志谋
学习目标
1、会用十字相乘公式将多项式因式分 解
2、能灵活选择适当的方法将多项式因 式分解
学习重点
用十字相乘公式将多项式因式分解
公式拨
把 x px q 分解因式时： 1、如果常数项q是正数，那么把它分解成两 个同号因数，它们的符号与一次项系数P的 符号相同 2、如果常数项q是负数，那么把它分解成两 个异号因数，其中绝对值较大的因数与一次 项系数P的符号相同 3、对于分解的两个因数，还要看它们的和 是不是等于一次项的系数P
2
实例讲解
（1） x 2 3x 2
1 1 1 2 1×2=2 1×1=1
分解因式 （2）
x 7x 6
2
解原式=(x+2)(x+1) 1+2=3
（3） x 2 x 15
2
解原式=(x-1)(x-6)
2
（4） x 4 x 21
解原式=(x+3)(x-7)
解原式=(x-3)(x+5)
十字相乘公式：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) 口诀：首尾拆，交叉乘，凑中间。
变式练习
（1）x 4
6x 8
2
（2） x2 3xy 2 y 2
解原式=(x-y)(x-2y)
解原式=(x2)2+6x2+8 =(x2+2)(x2+4)
（3） x4 3x3 28x 2
解原式=x2(x2-3x-28) =x2(x+4)(x-7)
拓展训练
1、若把代数式 x 2 x 3 化为 (x+m)(x+k) 的形式，其中m,k为常数，求m+k的值
公式法分解因式含十字相乘法
4.3公式法要点：1、 有公因式，先提公因式。
2、 两项式且异号的情况下，找找有否平方差。
有则运用平方差公式。
3、 三项式的情况下，注意找“头尾平方，中间两倍”再运用完全平方公式。
例题：1.下列各式中能用平方差公式分解因式的是（ ）A.224x y +B.281a -+C.225m n --2D.221p p -+ 2.一个多项式分解因式的结果是)2)(2(33b b -+，那么这个多项式是（）A.46-bB.64b -C.46+bD.94b -3．下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（ ）A.412m m ++B.222y xy x -+-C.49142++-a a D.13292+-n n4.不论y x ,为任何实数，82422+--+y x y x 的值总是（ ）A ．正数 B.负数 C.非负数 D.非正数（1） y y x -2 （2）()224z y x --（1）1442-+-a a （2） 3229124y xy y x -+-总结：有公因式的情况下，先提公因式。
有负号在前的情况下，先处理负号的问题。
公式法分解因式实际上是一种式子变形的方法，灵活运用可以解决很多问题。
一、选择题3.下列各式中不能用平方差公式分解的是（ ）A.22b a +-B.22249m y x -C.22y x --D.242516n m - 6.若非零实数 b a ,满足ab b a 4422=+，则ba的值为（ ） A.－2 B.2 C.21 D.21-7.若224a x x +-是完全平方式，那么a 等于( ).A.4B.2C.±4D.±29．下列各式是完全平方式的是（ ）A. 122-+x xB.x x 392-+C.22y xy x ++D. 412+-x x 10．若a 、b 、c 是△ABC 的三边，满足0222=+-b ab a 且022=-c b ，则△ABC 的形状是（ ）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形 11．下列各式中能用完全平方公式分解因式的是（ ）A. 22a ab b ++B.294y y -C.a a 4142-+D.221q q +- 12．下列各式能用公式法进行因式分解的是( )A.42+xB.422++x xC.42y x -D.24x -- 13．已知3-=+b a ，2=ab ，则()2b a -的值是（ ）A.1B.4C.16D.9 二、填空题14.分解因式：(1)22y x +-= ；(2)2225.049y x -= ．15.若162+-mx x 是完全平方式，那么m =________. 16.已知03442=-+++b a a ，则b a += . 17.分解因式：2411x x +-= . 18.在括号内填上适当的因式：（1）()2211025=++x x ； （2）()2221=+-b b（3）()()22___4+=++x x x ； （4）()()22294=++n m19.已知31=+a a ，则221aa +的值是 20.若2222690m mn n n ++-+=，则2mn的值为三、解答题21.利用因式分解简便计算（要求写出完整计算过程）(1)22199201- （2）01.099.199.12⨯+22.把下列各式分解因式：（1）22254y x - （4）22)()(16b a b a +--（5）y x xy 33273+- (6) 2222416a x a y -(8)4481y x - (9)22)3()32(4q p q p --+23．分解因式：（3）1)(6)(92+---x y y x （4） 2363x x +-（5）322a a a -+- （6） 222224)(y x y x -+（7）42242b b a a +- （8）22236)9(x x -+（9）4322329n mn n m ++ （10）n n n ax ax ax 1218211+--+-24．已知0136422=++-+y x y x ，求x 和y 的值分别是多少？能力提升1.分解因式：13++-m m x x = .2．若n 为任意整数，22)11(n n -+的值总可以被k 整除，则k 等于（ ）A ．11B ．22C ．11或22D ．11的倍数 3．如果,2008=+b a 1=-b a ，那么=-22b a . 4.试解一元二次方程（1）0122=++x x （2）0242=+-x x初中数学十字相乘法因式分解要点：一、2()x p q x pq +++型的因式分解特点是：（1）二次项的系数是1（2）常数项是两个数之积（3）一次项系数是常数的两个因数之和。
十字相乘法 人教版八年级数学上册
解:(1) x4 - y4=(x2+y2)(x2-y2) = (x2+y2)(x+y)(x-y)
(2) (y2 + x2 )2 - 4x2y2 =(y2 + x2 +2xy) (y2 + x2 -2xy) =(x+y)2(x-y)2
(3) x4-8x2+16=(x2-4)2
=(x+2)2(x-2)2
=x2-3x+2
= x2+5x+6 = x2-x-6 = x2+x-6
= x2-5x+6
整式的乘法
两个一次二项式相乘的积
一个二次三项式
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
反过来，得
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
一个二次三项式
两个一次二项式相乘的积
因式分解
如果二次三项式x2+px+q中的常数项系数q能 分解成两个因数a、b的积，即q=ab而且一次 项系数p又恰好是a、b的和，即p=a+b，那么 x2+px+q就可以进行如上的因式分解。
对于x2+px+q
（1）当q＞0时，a、b﹍同﹍号，且a、b的符号与p的符号﹍相同﹍。 （2）当q＜0时，a、b﹍异﹍号 ，且a、﹍b﹍中﹍绝对﹍值﹍较﹍大﹍的﹍因数﹍与p的符号相同。
例２：试将 x2 6x 16 分解因式
解： x2 6x 16
x2 6x 16
x 8x 2
提示：当二次项系数为-1时 ，先提出负号再因式分解 。
我
行分解。
湘教版七下数学3.3公式法十字相乘法教学设计
湘教版七下数学3.3公式法十字相乘法教学设计一. 教材分析湘教版七下数学3.3公式法十字相乘法是本册教材中的一个重要内容，主要介绍了公式法十字相乘法的概念、方法和应用。
这部分内容是学生学习了二元一次方程组的解法之后，进一步拓展到多元一次方程组的解法，对于学生来说，是一个新的挑战。
这部分内容不仅考查了学生对于数学知识的理解和应用，也考查了学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习了二元一次方程组的解法之后，对于解方程组的方法已经有了一定的了解和掌握，但是面对多元一次方程组，学生可能会感到困惑和无从下手。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生理解多元一次方程组的概念，掌握解多元一次方程组的方法，并且能够灵活运用。
三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解多元一次方程组的概念，掌握公式法十字相乘法的解法步骤，能够运用公式法十字相乘法解多元一次方程组。
2.过程与方法：通过学生自主探究，合作交流，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，增强学生自信心，培养学生克服困难的意志。
四. 教学重难点1.重点：学生能够理解多元一次方程组的概念，掌握公式法十字相乘法的解法步骤，能够运用公式法十字相乘法解多元一次方程组。
2.难点：学生能够灵活运用公式法十字相乘法解多元一次方程组，并能够解释其背后的数学原理。
五. 教学方法1.情境教学法：通过设置情境，引导学生主动探究，发现问题，解决问题。
2.合作学习法：通过小组合作，培养学生的团队协作能力，提高学生的沟通能力。
3.引导发现法：教师引导学生发现问题，引导学生通过自己的思考得出结论。
六. 教学准备1.教师准备：教师需要熟悉教材内容，了解学生的学习情况，准备相关的教学资源和教具。
2.学生准备：学生需要预习教材内容，了解本节课的学习目标，准备相关的学习用品。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过创设情境，引导学生回顾二元一次方程组的解法，为新课的学习做好铺垫。
十字相乘法
仿照左边填写 5= × ；6= + 5= -6= -5= 4= -5= -4= 12= × + × + × + × ； ； ； ； ； ； ；7= +
在这个表格里你有什么发现?请说一说 在这个表格里你有什么发现 请说一说. 请说一说
如何把 x2－6x＋8 分解因式? ＋ 分解因式 说一说你是怎样理解下图的? 说一说你是怎样理解下图的
你能很快进行分解吗? 你能很快进行分解吗
(1) x2-6x-7 (2) x2+6x-7 (3) x2-8x+7 (4) x2+8x+7
= = = =
(x+1)(x-7) (x-1)(x+7) (x-1)(x-7) (x+1)(x+7)
连连看----找出对应的分解式 连连看----找出对应的分解式 ----
(1) x2+7x+12 (2) x2-7x+12 (பைடு நூலகம்) x2+8x+12 (4) x2-x-12 (5) x2+x-12
A. (x+2)(x+6) B. (x-3)(x+4) C. (x+3)(x+4) D. (x+3)(x-4) E. (x-3)(x-4)
高手们，有什么窍门么？救救我吧！ 高手们，有什么窍门么？救救我吧！
学过分解因式的方法有： 学过分解因式的方法有： 1、提公因式法 、 2、运用公式法： 、运用公式法： 平方差 完全平方公式
乘法运算
(x+2)(x+3)= x2+5x+6 (x-2)(x-3)= x2-5x+6 (x-1)(x+6)= x2+5x-6 (x+1)(x-6)= x2-5x-6 (x+p)(x+q)=
十字相乘法
首先，我们看看第一个数，是a2，代表是两个a相乘得到的，则推断出(a + ？）×(a -？），
然后我们再看第二项，+a 这种式子是经过合并同类项以后得到的结果，所以推断出是两项式×两项式。
再看最后一项是-42 ，-42是-6×7 或者6×-7也可以分解成 -21×2 或者21×-2。
可以看作是关于x的二次三项式．
对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字分解法，分解为
即
-22y2+35y-3=(2y+3）(-11y-1）．
再利用十字分解法对关于x的二次三项式分解
所以
原式=〔x+(2y-3）〕〔2x+(-11y+1）〕
=(x+2y-3）(2x-11y+1）．
根据因式定理，找出一元多项式f(x）的一次因式的关键是求多项式f(x）的根．对于任意多项式f(x），要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x）的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根。
怎样进行分解因式
例 7x + (-8x) =-x
解：原式=（x+7）（x-8）
=(0×a+b+1）(a+b－2）
=(b+1）(a+b－2）
提示：设x2=y，用拆项法把cx2拆成mx2与ny之和。
例：2x^4+13x^3+20x2+11x+2
=2y2+13xy+15x2+5y+11x+2
=(2y+3x+1）(y+5x+2）
十字相乘法
一、十字相乘法
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式方法叫做十字相乘法。
即对于二次三项式x²+bx+c，若存在p+q=b，pq=c ，则x²+bx+c=(x+p)(x+q)
1.在对x²+bx+c分解因式时，要先从常数项c的正、负入手，若c>0，则p、q同号，若c<0，则p、q异号，然后依据一次项系数b的正负再确定p、q的符号。
2.若x²+bx+c中的b、c为整数时，要先将c分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于b，直到凑对为止。
二、首项系数不为1的十字相乘法
在二次三项式ax²+bx+c (a≠0)中，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a₁a₂，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c₁c₂，
把a₁，a₂，c₁，c₂排列如下：
若a₁c₂+a₂c₁=b，即ax²+bx+c=(a₁x+c₁)(a₂x+c₂)。
（1）十字相乘法分解思路为“看两端，凑中间”。
（2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上。
三、分组分解法
对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分组处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解即先对题目进行分组，然后再分解因式。
十字相乘法
)x+( )
二 准备练习
（1）
( x + 2 )( x + 3) = _______; （3） ( x + 4 )( x − 2 ) = _______;
2
( x − 4 )( x + 1) = _______; （4） ( x − 5 )( x − 3 ) = _______;
三 因式分解
+ 5 x + 6 = _______; （2） x 2 − 3 x − 4 = _______; 2 2 （3） x + 2 x − 8 = _______; （4） x − 8 x + 15 = _______;
(6) x
2
− x−6
(7)
x2 − 2 x − 3
(8)
x 2 − x − 12
(9) x
2
+ 6x + 8
(10) x
2
− 7 x + 10
(11) x
2
− 6x − 7
（12） m
2
− 12m + 20;
(13)
p 2 − 5 p − 36
(14) t
2
− 2t − 8
(15) 10－3a－ a
（1） x
四 例题解析
例题 1 分解因式 （ 1） x
2
+ 11x + 24
（ 2） x
2
− 10 x + 24
（ 3） x
2
+ 5 x − 24
（ 4） x
2
− 10 x − 24
例题2 例题2、因式分解 （1） x 2 + 7 xy + 12 y 2 （2） x 2 − 8 xy + 12 y 2 （3） x 2 − 13 xy + 12 y 2
3_十字相乘法(含答案)
因式分解之“十字相乘法”【知识精读】对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式x 2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)进行因式分解。
掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。
对于二次三项ax 2+bx+c （a 、b 、c 都是整数，且a ≠0）来说，如果存在四个整数a c a c 1122，，，满足a a a c c c 1212==，，并且a c a c b 1221+=，那么二次三项式ax 2+bx+c 即()a a x a c a c x c c 122122112+++ 可以分解为()()a x c a x c 1122++。
这里要确定四个常数a c a c 1122，，，，分析和尝试都要比首项系数是1的类型复杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。
【思考】10~20以内的平方数心算办法。
下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。
【分类解析】1. 在方程、不等式中的应用例1. 已知：x 2－11x +24>0，求x 的取值范围。
分析：本题为二次不等式，可以应用因式分解化二次为一次，即可求解。
例1解： ∵x 2－11x +24>0 ∴(x －3)(x －8)>0 分解为⎩⎨⎧<-<-⎩⎨⎧>->-08030803x x x x 或 ∴ x >8 或 x <3例2. 如果x 4－x 3+mx 2－2mx －2能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求m 的值，并把这个多项式分解因式。
分析：应当把x 4分成x 2·x 2，而对于常数项－2，可能分解成(－1)×2，或者分解成(－2)×1，由此分为两种情况进行讨论。
例2解：（1）待定系数法，设原式分解为(x 2+ax －1)(x 2+bx +2)，其中a 、b 为整数，去括号，得： x 4+(a +b )x 3+x 2+(2a －b )x －2将它与原式的各项系数进行对比，得： a +b =－1, m =1, 2a －b =－2m解得：a =－1，b =0，m =1 此时，原式=(x 2+2)(x 2－x －1)（2）设原式分解为(x 2+cx －2)(x 2+dx +1)，其中c 、d 为整数，去括号，得：x 4+(c +d )x 3－x 2+(c －2d )x －2将它与原式的各项系数进行对比，得： c +d =－1, m =－1, c －2d =－2m解得：c =0, d =－1, m =－1 此时，原式=(x 2－2)(x 2－x +1)2. 在几何学中的应用例3. 已知：长方形的长、宽为x 、y ，周长为16cm ，且满足x －y －x 2+2xy －y 2+2=0，求长方形的面积。
十字相乘法
2、十字相乘法一．基础知识梳理初中我们学习了哪些因式分解的方法？试举例说明：⑴公式法：24(2)(2)x x x -=-+， 2221(1)x x x ++=+⑵提公因式法：24(4)x x x x -=-(3)2()()()x a x b x a b x ab ++=+++二．基本知识自测1．将下列多项式写成两个一次因式相乘的形式：⑴2(23)23x x +++⨯=____________________.⑵2(12)(1)(2)___________x x +--+-⨯-=.⑶2(12)(1)2x x +-++-⨯=________________.⑷2(12)1(2)x x +-+⨯-=__________________.⑴256,x x ++=________________.⑵232,x x -+=________________.⑶22,x x +- =________________.⑷22,x x --=________________.2．将下列多项式分解因式：⑴232x x ++=________________.⑵276x x -+=________________.⑶2421x x --=________________.⑷2215x x +-=________________.3．把下列各式分解因式⑴2()4()3x y x y +-++=________________.⑵2232x xy y -+=________________.三．典型例题讲解这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。
一般地，我们知道1122()()a x c a x c ++212122112a a x a c x a c x c c =+++212122112()a a x a c a c x c c =+++ 反过来，就得到212122112()a a x a c a c x c c +++1122()()a x c a x c =++二次项的系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，并且把1212,,,a a c c 排列如下：这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，如果它正好等于2ax bx c ++的二次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++，其中11,a c 位于图的上一行，22,a c 位于图的下一行。
十字相乘法ppt课件
十字相乘法：利用十字交叉来分解系数，把二次 三项式分解因式的方法叫十字相乘法。
2、思考：用十字相乘法进行因式分解的步骤？
步骤：1、竖向分解二次项和常数项； 2、交叉相乘，并把所得的积相加； 3、检验交叉相乘所得的积的和是否
等于一次项。如果等于一次项，则横向书写 因式。如果不等于，则考虑重新分解常数项 ； 或者不能用十字相乘法进行分解。
将下列各式用十字相乘法进行因式分解 (1)x2-7x+12 =(x-3)(x-4) (2)x2-4x-12=(x+2)(x-6) (3)x2+8x+12 =(x+2)(x+6) (4)x2-11x-12 =(x+1)(x-12) (5)x2+13x+12=(x+1)(x+12)(6)x2-x-12 =(x+3)(x-4)
1.适用范围：只有当q=ab，且p=a+b时 才能用十字相乘法进行分解
2。.掌握方法：拆分常数项，验证一次项。
3.关键步骤是：对常数项的处理，即把常数项分解为两个恰当的常 数之积，并使得这两个常数的和等于一次项系数。
4.符号规律：(1)当q>0时，a、b同号，且a、b的符号与p的符号相 同；(2)当q<0时，a、b异号，且绝对值较大的因数与p的符号相同.
探究二、分解因式
(1)
=(x+2)(x+3) (2)
=(x-2)(x-3)
(3)
=(x-1)(x+6) (4)
=(x+1)(x-6)
思考：寻找分解常数项所得的两个因数与一次项系 数的符号和大小之间有何关系？
(一)符号规律:(1)当常数项为正数时，把它分解为两个同 号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；
人教版八年级数学--十字相乘法
竖分首末交叉验，
横写因式不能乱。
巩固3
a2-17ab+72b2
课堂小结
十字相乘法：借助十字交叉线分解因式的方法 竖分首末交叉验， 横写因式不能乱。 因式分解 方法小结： 提公因式 公式法 十字相乘法
随堂练习 因式分解：
（1） (a+b)2 – (a+b) – 20 （2）(x2+2x)2–7(x2+2x)–8 （3） 5x5–15x3y–20xy2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
8x+15 = (x-3) (x-5)
-3
(x-3)
巩固1 因式分解：
竖分首末交叉验，
(1) y2–7y–30 (2) a2-6a+9 (3) –t2+4t–3
横写因式不能乱。
x2 + (p+q)x + pq =( x + p )( x + q ) 例2 因式分解：
(1) (
2+5 ( 2 ) y
横写因式不能乱。
（3） 2x2+13x+15
竖分首末交叉验， 横写因式不能乱。
2 y )+6
y4+5y2+6
(2) (
2- 5 ( ) a+b a+b )+6
巩固2 因式分解：
竖分首末交叉验，
(1) (a-b)2 + 2(a-b) – 15
横写因式不能乱。
(2) x4 – 20x2 + 91
(3) m2 x2 – 2mx -35
x2 + (p+q)x + pq =( x + p )( x + q )
两个未知数2次方十字相乘法公式技巧
两个未知数2次方十字相乘法公式技巧从某种意义上来说，十字相乘法也是运用公式法，它是针对二次项系数为1的二次三项式x^2+px+q进行分解的第三种基本方法.运用这种方法的思路是寻找两个数a，b，使得它们的积ab等于常数项q，和等于一次项系数p.一旦找到了这样的两个数，那么就可以把多项式x^2+px+q分解为(x+a)(x+b)。
例如，分解x^2+10x+16因式时，由于它是二次三项式，所以我们首先想到的是能否运用完全平方公式?经过验证可知这种方法是不能的，因此考虑十字相乘法，寻找两个数，使得它们的积等于16.且和等于10.要寻找这样的两个数，我们一般只需要先考虑正整数就可以。
由于乘积等于16的两个正整数只有1和16.2和8.4和4这三组，所以接下来只需要验证哪一组的和等于10即可.显然，在这三组数中，只有2+8=10.所以2和8就是我们寻找的两个数。
因此，x^2+10x+16可分解为(x+2)(x+8)。
十字相乘法
x 11x 24
2
( x 3)( x 8)
小结： 当q>0时，q分解的因数a、b( 同号 ) 且（a、b符号）与p符号相同
x 2 7 x 60 ( x 12)( x 5)
x x 72
2
( x 8)( x 9)
当q<0时， q分解的因数a、b( 异号 )
15.y2+19y+48= (y+16)(y+3)
16.y2+y-110= (y+11)(y-10) 17.y2-16y+39= (y-13)(y-3)
18.y2+18y+56= (y+14)(y+4)
x2+3x+2 = =x2+x-2 = x2-x-2 x2-3x+2 = = x2+5x+6 x2-x-6 = x2+x-6 = = x2-5x+6
整式的乘法
两个一次二项式相乘的积
2+(a+b)x+ab (x+a)(x+b)=x
一个二次三项式
反过来，得
2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) x
一个二次三项式
因式分解
两个一次二项式相乘的积
如果二次三项式x2+px+q中的常数项系数 q能分解成两个因数a、b的积，而且一 次项系数p又恰好是a+b，那么x2+px+q 就可以进行如上的因式分解。
试一试：把x2+3x+2分解因式
分析∵ (+1) ×(+2)＝＋2
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解：原式 ( x 1)(x 2)
方法②：
x x
1 2
解：原式 ( x 1)(x 2)
把x 2x 8分解因式 .
2
x 2x 8
2
方法①：二次项系数是1，常数项-8=-4×2，一次项系数-2=-4+2
解：原式 ( x 4)(x 2)
方法②：
x x
4
2
解：原式 ( x 4)(x 2)
人教版八年级上册第十五章《整式乘法与因式分解》
x 2 ( p q) x pq型式子的因式分解
实验中学教育集团
郝娟娟
探究：将下图中的1个正方形和3个长方形拼成一个大长方形， 请观察这四个图形的面积与拼成的大长方形的面积有什么关系。你 2 能据此将 x ( p q) x pq 分解因式吗？
x 2 ( p q) x pq ( x p)(x q)
x ( p q) x pq型的式子需要满足：
2
①二次项系数为1
②常数项可以写成两个整数的积
③一次项系数可以写成这两个整数的和
x 2 ( p q) x pq ( x p)(x q)
x
p
x 2 ( p q) x pq型的式子需要满足：
①二次项系数为 1 ②常数项可以写成两个整数的积 ③一次项系数可以写成这两个整数的和
x
q
px qx ( p q) x
把x 3x 2分解因式 .
2
x 3x 2
2
方法①：二次项系数是1，常数项2=1×2，一次项系数3=1+2
x x
p
x
q q
p
x
x 2 ( p q) x pq ( x p)(x q)
x 2 ( p q) x pq x 2 px qx pq ( x px) (qቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ pq)
2
x( x p ) q ( x p ) ( x p)(x q)