双曲线及其标准方程(课件)

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x2
y2
变式.给出曲线方程

=1.
4+k 1-k
(1)若该方程表示双曲线,求实数k的取值范围;
(2)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线,求实数k的取值范围.
y2 x2
例 5.已知双曲线 C 的方程是 - =1,其上下焦点分别是 F2,
16 20
F1,点 M 在双曲线 C 上,且|MF1|=9,则|MF2|=________.
归纳总结
y
图形
y
P
P
x
O
F1
F1 O F2
方程
焦点
a,b,c之间的关系
F2
x
x2 y2
2 1(a 0, b 0)
2
a
b
y2 x2
2 1(a 0, b 0)
2
a
b
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c),F2(0,c)
c2=a2+b2
a,b大小不定
椭圆与双曲线的区别
O
焦点在对应轴上
x2 y2
2 1(a 0, b 0)
2
a
b
① 方程用“-”号连接;
y
F2
F1
y2 x2
2 1(a 0, b 0)
2
a
b
② c2=a2+b2 ;
③分母是a2, b2, 且a>0, b>0,但a, b大小不定;
④ 如果x2的系数是正的,则焦点在x轴上;
如果y2的系数是正的,则焦点在y轴上.
x
F1 O
F2

结论:已知F1,F2分别是双曲线C:

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(3)设双曲线的方程为 Ax2+By2=1,AB<0. ∵点 P,Q 在双曲线上,
∴92A956+A2+12652B5B==1,1,
解得AB==-19. 116,
∴双曲线的标准方程为y92-1x62 =1.
[规律方法] 1.求双曲线标准方程的步骤 (1)确定双曲线的类型,并设出标准方程; (2)求出 a2,b2 的值. 2.当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时,需分焦点在 x 轴上和 y 轴上两 种情况讨论,特别地,当已知双曲线经过两个点时,可设双曲线方程为 Ax2 +By2=1(AB<0)来求解.
图 2-3-1
[思路探究]
建立平面直 角坐标系

由已知条件得 到边长的关系

判断轨迹 的形状

写出轨迹方程
[解] 以 AB 边所在的直线为 x 轴,AB 的垂直平分线为 y 轴,建立平面直
角坐标系,如图所示,则 A(-2 2,0),B(2 2,0).由正弦定理,得 sin A=|B2CR|,
sin B=|A2CR|,sin C=|A2RB|(R 为△ABC 的外接圆半径).
求双曲线的标准方程
例 2、根据下列条件,求双曲线的标准方程:
(1)a=4,经过点
A1,-4
310;
(2)与双曲线1x62 -y42=1 有相同的焦点,且经过点(6,5且焦点在坐标轴上.
[思路探究] (1)结合 a 的值设出标准方程的两种形式,将点 A 的坐标代 入求解.
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 60°, 所以102=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|, 所以|PF1|·|PF2|=64, ∴S△F1PF2=12|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2 =12×64× 23=16 3.

双曲线及其标准方程 课件

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双曲线及其标准方程
新知视界
1.双曲线的定义 把平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值 等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,这两个 定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线 的焦距.
思考感悟
1.双曲线的定义中,常数为什么要小于|F1F2|? 提示:①如果定义中常数改为等于|F1F2|,此时 动点的轨迹是以 F1、F2 为端点的两条射线(包括端 点). ②如果定义中常数为 0,此时动点轨迹为线段 F1F2 的垂直平分线. ③如果定义中常数改为大于|F1F2|,此时动点轨 迹不存在.
解得ab22= =19, 6, ∴双曲线的方程为1y62 -x92=1.
(2)解法一:设双曲线方程为xa22-by22=1. 由题意易求得 c=2 5. 又双曲线过点(3 2,2),∴3a222-b42=1. 又∵a2+b2=(2 5)2,∴a2=12,b2=8. 故所求双曲线的方程为1x22 -y82=1.
2.平面内与两个定点F1、F2的距离的差等于常数 (小于
|F1F2|)的点的轨迹是不是双曲线? 提示:不是,是双曲线的某一支.
在双曲线的定义中,P为动点,F1,F2分别为双曲 线的左、右焦点,则①|PF1|-|PF2|=2a,曲线只表示 双曲线的右支.
② |PF1| - |PF2| = - 2a , 曲 线 只 表 示 双 曲 线 的 左 支.
类型三 双曲线中的焦点三角形 [例 3] 若 F1,F2 是双曲线x92-1y62 =1 的两个 焦点,P 是双曲线上的点,且|PF1|·|PF2|=32,试 求△F1PF2 的面积.
双曲线 [分析] 双曲线方程 的―定―→义 |PF1|-|PF2|=±2a ―平―方→ |PF1|2+|PF2|2的值 余―弦―定→理 ∠F1PF2=90° 面积公式 ――→ S△F1PF2

3-2-1双曲线及其标准方程 课件(共67张PPT)

3-2-1双曲线及其标准方程 课件(共67张PPT)
【解析】 距离的差要加绝对值,否则只为双曲线的一支.若 F1,F2 表示双曲线的左、右焦点,且点 P 满足|PF1|-|PF2|=2a,则点 P 在右支上;若点 P 满足|PF2|-|PF1|=2a,则点 P 在左支上.
互动 2 在双曲线的定义中,必须要求“常数小于|F1F2|”, 那么“常数等于|F1F2|”“常数大于|F1F2|”或“常数为 0”时,动 点的轨迹是什么?
【解析】 (1)若“常数等于|F1F2|”时,此时动点的轨迹是以 F1,F2 为端点的两条射线 F1A,F2B(包括端点),如图所示.
(2)若“常数大于|F1F2|”,此时动点轨迹不存在. (3)若“常数为 0”,此时动点轨迹为线段 F1F2 的垂直平分线.
互动 3 已知点 P(x,y)的坐标满足下列条件,试判断下列各 条件下点 P 的轨迹是什么图形?
2.关于双曲线应注意的几个问题 (1)双曲线的标准方程与选择的坐标系有关,当且仅当双曲线 的中心在原点,焦点在坐标轴上时,双曲线的方程才具有标准形 式.
(2)如图,设 M(x,y)为双曲线上任意一点,若 M 点在双曲线 的右支上,则|MF1|>|MF2|,|MF1|-|MF2|=2a(0<2a<|F1F2|);若 M 在双曲线的左支上,则|MF1|<|MF2|,|MF1|-|MF2|=-2a,因 此得|MF1|-|MF2|=±2a,这与椭圆不同.
(3)列式:由|MF1|-|MF2|=±2a, 可得 (x+c)2+y2- (x-c)2+y2=±2a.①
(4)化简:移项,平方后可得 (c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2). 令 c2-a2=b2,得双曲线的标准方程为xa22-yb22=1(a>0,b>0).② (5)从上述过程可以看到,双曲线上任意一点的坐标都满足方 程②;以方程②的解(x,y)为坐标的点到双曲线两个焦点(-c, 0),(c,0)的距离之差的绝对值为 2a,即以方程②的解为坐标的 点都在双曲线上.这样,就把方程②叫作双曲线的标准方程.

双曲线及其标准方程课件

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(3)当 k<0 时,方程为y42--x24k=1,表示焦点在 y 轴上的双曲线;
(4)当 0<k<1 时,方程为x42+y42=1,表示焦点在 x 轴上的椭圆; k
(5)当 k>1 时,方程为x42+y42=1,表示焦点在 y 轴上的椭圆. k
[一点通] 解决这类题的基本方法是分类讨论,在分
类讨论的过程中应做到不重不漏,选择适当的分界点.在
(3)若|F1F2|<2a,动点的轨迹不存在.
2.通过双曲线方程xa22-by22=1(焦点在 x 轴上)和ay22-xb22 =1(焦点在 y 轴上)(a>0,b>0)可以看出:如果 x2 项的系 数是正的,那么焦点在 x 轴上;如果 y2 项的系数是正的, 那么焦点在 y 轴上.对于双曲线,a 不一定大于 b,但是无 论双曲线的焦点在哪个轴上,方程中的三个量都满足 c2 =a2+b2.
[例3] 已知方程kx2+y2=4,其中k为实数,对于不同 范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型.
[思路点拨] 解答本题可依据所学的各种曲线的标准形 式的系数应满足的条件进行分类讨论.
[精解详析] (1)当 k=0 时,y=±2,表示两条与 x 轴平行 的直线;
(2)当 k=1 时,方程为 x2+y2=4,表示圆心在原点,半径 为 2 的圆;
72 b2 =1,
解得a12=19, b12=116,
即 a2=9,b2=16.
∴所求双曲线的标准方程为y92-1x62 =1.
法二:∵双曲线的焦点位置不确定,
∴设双曲线方程为 mx2+ny2=1(mn<0). ∵P1,P2 在双曲线上,所以
4m+445n=1, 196×7m+16n=1,

双曲线及其标准方程完整版课件

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2
2
则双曲线的标准方程为20 − 16 =1.
(2)设双曲线方程为 mx2-ny2=1,
1
= 25 ,
49-72 = 1,
则有
解得
1
28-9 = 1,
= ,
75
2
2
则双曲线的标准方程为25 − 75 =1.
归纳总结
求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似,可
以先根据其焦点位置设出标准方程,然后用待定系数法求出a,b
联立两方程解得 x=8(舍负),y=5 3,
所以 P(8,5 3),
kPA=tan∠PAx= 3,所以∠PAx=60°,
所以 P 点在 A 点的北偏东 30°方向.
当堂达标
1.已知两定点F1(-5,0),F2(5,0),动点P满足|PF1|-|PF2|=2a,则当a=3和5时
,P点的轨迹为(
)
A.双曲线和一条直线
情景导学
双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线,如发电厂冷却塔的外形、通过声
音时差测定定位等都要用到双曲线的性质。本节我们将类比椭圆的研究方法研究双
曲线的有关问题。
问题导学
新知探究
如图,在直线
l 上取两个定点
在平面内,取定点
F1 , F 2,以点 F1 为圆心、线段
在以 F 2 为圆心、线段
我们知道,当点
2
2
解析:∵方程1+ + -2=1,∴(m-2)(m+1)<0,
解得-1<m<2,∴m的取值范围是(-1,2).
答案:D
)
4. 一块面积为12公顷的三角形形状的农场.如图所示△PEF,已知
1
tan∠PEF=

双曲线及其标准方程课件

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由已知2sinC=sinA+2sinB,
∴sinC-sinB=12sinA, 由正弦定理, 得|AB|-|AC|=12|BC|=2. ∴由双曲线的定义知,动点A的轨迹是以B,C为焦点的 双曲线右半支(除去与x轴的交点), ∴2c=4,2a=2. ∴c=2,a=1,b2=c2-a2=3. ∴动点A的轨迹方程为x2-y32=1(x>0,y≠0).
双曲线及其标准方程
1.双曲线的定义. 平面内与两个定点 F1,F2 的距离的差的绝对值等于常数 ( 小 于 |F1F2|) 的 点 的 轨 迹 叫 做 __________ , 这 两 个 定 点 叫 做 __________,两焦点间的距离叫做__________.
2.双曲线的标准方程. 焦点在x轴上时,双曲线的标准方程为_____________. 焦点在y轴上时,双曲线的标准方程为_____________. 以上两个标准方程中a,b,c满足关系______________
题型四 焦点三角形问题
例4 设P为双曲线x2-1y22 =1上的一点,F1,F2是该双曲
线的两个焦点,若|PF1|:|PF2|=3:2,则△PF1F2的面积为
()
A.6 3
B.12
C.12 3
D.24
分析 利用双曲线的定义和三角形的有关知识求解.
解 由已知得2a=2,又由双曲线的定义得, |PF1|-|PF2|=2, 又|PF1|:|PF2|=3:2, ∴|PF1|=6,|PF2|=4. 又|F1F2|=2c=2 13.
由余弦定理得cos∠F1PF2=622+×462×-452=0. ∴三角形为直角三角形. ∴S△PF1F2=12×6×4=12.
答案 B
规律技巧 利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题.例 如,本例中的求三角形的面积时,一定要注意定义和三角形 的有关内容的结合,还可以利用余弦定理,同时要注意整体 思想的应用.

双曲线及其标准方程课件

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音乐艺术
双曲线在音乐艺术中用于 创作优美的音乐旋律和和 声,特别是在处理音高和 音程时。
交通工程
双曲线在交通工程中用于 设计道路和轨道,特别是 在处理弯道和交叉口时。
04
双曲线的图像绘制
使用数学软件绘制双曲线
使用Ge双曲 线。用户只需在软件中输入双曲线的标准方程,即可自动生 成对应的双曲线图像。
05
双曲线的性质与方程 的关联
双曲线的性质与标准方程的关系
焦点距离
双曲线的标准方程中的系数与焦 点距离有关,决定了双曲线的开
口大小和方向。
渐近线
双曲线的标准方程中的系数决定了 渐近线的斜率和截距,反映了双曲 线的形状和位置。
离心率
双曲线的标准方程中的系数与离心 率有关,离心率决定了双曲线的开 口程度和形状。
推导结果
01
双曲线的标准方程为
$frac{x^2}{a^2}
-
frac{y^2}{b^2} = 1$。
02
其中$a > 0, b > 0$,且满足 $c^2 = a^2 + b^2$。
推导结论
双曲线是一种特殊的二次曲线,其标 准方程反映了双曲线的几何特性。
双曲线的焦点到曲线上任意一点的距 离之差为常数,这个常数等于两焦点 之间的距离的一半。
绘制双曲线
在工具箱中选择“双曲线”工具,然 后在绘图区域单击并拖动鼠标,即可 绘制出双曲线。用户可以根据需要调 整双曲线的参数和位置。
使用手工绘制双曲线
准备工具
准备一张纸、一支笔和一把直尺。
绘制过程
首先在纸上确定双曲线的中心和焦点,然后使用直尺和笔绘制出双曲线的渐近线。接着,使用笔和直尺在纸上绘 制出双曲线的上半部分。最后,使用对称性画出双曲线的下半部分。这种方法虽然比较传统,但对于理解双曲线 的几何意义非常有帮助。

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C.(0,-5),(0,5)
D.(0,- 7),(0, 7)
双曲线的定义
2
1.设 F1,F2 分别是双曲线 x2-24=1 的左、右焦点,P 是双曲线上的一点,且 3|PF1|=4|PF2|, 则△PF1F2 的面积等于 ( )
A.4 2
B.8 3
C.24
D.48
2.已知动点 P(x,y)满足 ( + 2)2 + 2- ( -2)2 + 2=2,则动点 P 的轨迹是 ( )
这两个定点叫做双曲线的焦点. 两焦点的距离叫做双曲线的焦距.
y
M
F1 o F2 x
如何理解绝对值?若去掉绝对值则图像有何变化?
03 双曲线的标准方程
1. 建系:如图建立直角坐标系xOy,使x轴经 过点F1,F2,并且点O与线段F1F2中点重合.
y M
F1 O F2
x
2.设点:设M(x , y),双曲线的焦距为2c(c>0),F1(-c,0),F2(c,0) 常数=2a
利用定义求轨迹方程
P P127 习题3.2 第5题
如图,圆O的半径为定长 ,A是圆O外一定点,P是圆上任
意一点,线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q,当
O
点P在圆O上运动时,点Q的轨迹是什么?为什么?
A Q
P115 习题3.1 第6题 如图,圆O的半径为定长 ,A是圆O内一定点,P是圆上 任意一点,线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点 Q,当点P在圆O上运动时,点Q的轨迹是什么?为什么?
A.椭圆 C.双曲线的左支
B.双曲线 D.双曲线的右支
双曲线的定义
22
【变式练习】
已知
P
是双曲线

3.2.1双曲线及其标准方程课件(人教版)

3.2.1双曲线及其标准方程课件(人教版)
练习1:如果方程

+
+
= 表示双曲线,
求m的取值范围。
解:由 + + > ,得,m < -2或m > -1
所以m的取值范围为 −∞, − ∪ −, + ∞
练习巩固

练习1追问:如果方程
+
则 m 的取值范围为


+
m < -2
= 表示焦点在 y 轴的双曲线时,
故双曲线得标准方程为 2

2
3
=1
15
,
3
2),
例题解析
例4:已知A、B两地相距800m,在A地听到爆炸声比在B地晚2s,
且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程。
解:建立平面直角坐标系,使A、B两点在x轴上,
并且坐标原点与A、B的中点重合
炮弹爆炸点P的坐标为(x,y)
则, − = 340 × 2 = 680,即,2a=680,a=340

2
16
=1
例题解析
例3:求满足条件的双曲线的标准方程,
已知焦点在x轴,且过P(- 2,- 3),Q(
解:双曲线的方程为 2 + 2 = 1( < 0)
因为点A、B在椭圆上
.
2 + 3 = 1
=1
所以 ൝15
解得 ൝ = − 1
+ 2 = 1
3
9
1
3
所以双曲线的方程为 2 − 2 = 1
轨迹不存在
M
F1
F2
课堂探究
生活中案例展示:拉链
课堂探究
焦点在x、y轴上的双曲线的标准方程

双曲线及其标准方程ppt课件

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F1 O F2
3.限式 |MF1| - |MF2|=±2a
4.代换 即 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
5.化简
6
代数式化简得:
y
M (c2 a2) x2 a2 y2 a2 (c2 a2)
F1 O F2
可令:c2-a2=b2
x
代入上式得:b2x2-a2y2=a2b2
不存在
(4)已知A(-5,0),B(5,0),M点到A,B两点的距离之差 的绝对值为0,则M点的轨迹是什么?
线段AB的垂5直平分线
(三)合作探究,构建方程
双曲线标准方程推导
1.建系
以F1,F2所在的直线为x轴,线段F1F2的中 y 点为原点建立直角坐标系
M
2.设点
x
设M(x , y),则F1(-c,0),F. 2(c,0)
15
16
2
(二)注重细节,理解概念
双曲线定义:
平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对 值等于非零常数(小于︱F1F2︱)的点的轨迹
叫做双曲线.
M
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
F1 o F2
3
(二)注重细节,理解概念
思考:为什么要求 0<2a<2c? 演示
当2a=2c时,动点的轨迹是什么? 以点F1、F2为端点,方向指向F1F2外侧的两条射 线. 当2a>2c时,动点的轨迹是什么? 不存在 当2a=0时,动点的轨迹是什么? 线段F1F2的垂直平分线
x2 b2
(1 a
0, b
0)
问题:如何判断双曲线的焦点在哪个轴上呢?
(二次项系数为正,焦点在相应的轴8上)

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(2) MF1 MF2 2a 2c
(3) MF1 MF2 2a 2c
F1
M oF
2
结论:
1、当||MF1|-|MF2||= 2a<|F1F2|时,M点轨迹是双曲线
其中当|MF1|-|MF2|= 2a时,M点轨迹是双曲线 中靠近F2的一支; 当|MF2| - |MF1|= 2a时,M点 轨迹是双曲线中靠近F1的一支. 2、当 ||MF1|-|MF2||= 2a=|F1F2|时,M点轨迹是在直 线F1F2上且以F1和F2为端点向外的两条射线。
y2 a2
x2 b2
1(a0, b来自0)F (c,0), F (0,c)
焦点位 看分母大小,哪个大 看 x2 , y2 的系数正负,
置判断:就在对应的轴上
哪个为正就在哪个轴上
a,b,c 关系
c2 a2 b2
c2 a2 b2
例2已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹
爆炸声比在B地晚2s,且声速为340m/s,求炮
弹爆炸点的轨迹方程.
解: 由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地 晚2s,可知A地与爆炸点的距离比B地与爆炸点 的距离远680m.因为|AB|>680m,所以爆炸点 的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的
生活中的双曲线
可口可乐的下半部 玉枕的形状
生活中的双曲线
双曲线的标准方程
求曲线方程的步骤: 1. 建系.
以F1,F2所在的直线为x轴,线段 F1F2的中点为原点建立直角坐标系 2.设点.
设M(x , y),则F1(-c,0),F2(c,0)
3.列式 |MF1| - |MF2|=±2a
y
M
F OF
当焦点不明确在哪个轴上时,可设双曲线方程为Ax2+ By2=1(AB<0).

选择必修 第三章 3.2.1 双曲线及其标准方程 课件(共23张PPT)

选择必修 第三章   3.2.1  双曲线及其标准方程  课件(共23张PPT)
0),焦点F1,F2的坐标分别为(-c , 0) ,(c , 0).
又设||MF1|-|MF2||= 2a( a为大于0的常数, a<c).
由双曲线的定义,双曲线就是下列点的集合:
P={M|||MF1|-|MF2||=2a,0<a<|F1F2|}.
y
M
F1
O
F2 x
知新探究
y
设 M(x, y) 是双曲线上任意一点,双曲线的焦距为 2c( c >
拓展2:根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差,可以确定爆炸点在某
条曲线上,但不能确定爆炸点的准确位置. 而现实生活中为了安全,我们最关心的是
炮弹爆炸点的准确位置,怎样才能确定爆炸点的准确位置呢?
利用两个不同的观测点A, B测得同一点P发出信号的时间差, 可以确定点P所在
双曲线方程. 如果再增设一个观测点C,利用B、C(或A、C)两处测得的爆炸声的时
因为|PA|-|PB|=340×2=680>0,
所以点P的轨迹是双曲线的右支,因此x>340.
所以,炮弹爆炸点的轨迹方程为
2
115600
2

=1(x>340).
44400
P
A o
B x
知新探究
拓展1:若在A,B两地同时听到炮弹爆炸声,则炮弹爆炸点的轨迹是什么?
提示: 爆炸点的轨迹是线段AB的垂直平分线.
思考:
1.与两定点的距离的差的绝对值等于常数(当2a=|F1F2|时)的轨迹是什么?
在直线F1F2上且 以F1、F2为端点向外的两条射线.
2.与两定点的距离的差的绝对值等于常数(当2a>|F1F2| )时的轨迹是什么?
不存在
3.当||MF1|-|MF2||=2a=0时的轨迹是什么?

双曲线及其标准方程概要课件

双曲线及其标准方程概要课件
双曲线及其标准方程概 要课件
• 双曲线的定义与性质 • 双曲线的标准方程 • 双曲线的焦点与离心率 • 双曲线的渐近线与切线 • 双曲线的实际应用
01
双曲线的定义与性质
双曲线的定义
总结词
双曲线是由平面与双曲面相交形成的曲线,也可以由两定点和固定距离的点的轨 迹形成。
详细描述
双曲线是由平面与双曲面相交形成的曲线,其形状取决于平面的位置和双曲面的 形状。双曲线有两个分支,分别位于两个不同的平面上。双曲线也可以由两个定 点和固定距离的点的轨迹形成,其中固定距离称为焦距。
双曲线的焦点与离心率的关系
01
02
03
关系
推导
应用
04
双曲线的渐近线与切线
双曲线的渐近线
定义
双曲线的渐近线是与双曲线无限接近 但永不相交的直线。
几何意义
渐近线反映了双曲线的弯曲程度和方 向。
计算方法
对于标准方程$frac{x^2}{a^2} frac{y^2}{b^2} = 1$,渐近线方程为 $frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 0$。
双曲线的切线
定义
计算方法
几何意义
渐近线与切线的几何意义
相互关系 应用
05
双曲线的实际应用
双曲线在天文学中的应用
星体轨道计算
01
哈勃定律
02
宇宙膨胀理论
03
双曲线在物理学中的应用
声学波动 波动光学 量子力学
双曲线在其他领域的应用
经济预测
在经济领域,双曲线模型被用于预测经济趋势和周期性波动。
02
双曲线的标准方程
双曲线标准方程的推导
定义双曲线的焦点和准线
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那么b2=c2-a2=25-16=9
x2 y2
因此,双曲线的标准方程为
1.
16 9
变式训练
1.若|PF1|-|PF2|=8呢?
2.若||PF1|-|PF2||=10呢?
x 2 y 2 1.( x 0) 16 9
轨迹不存在
题后反思:
求标准方程要做到 先定型,后定量。
3.若||PF1|-|PF2||=12呢? 两条射线
2 m m 1
答案:m 1或m 2。
一、双曲线的定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数 (小于|F1F2|,且不等于0)的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫 做双曲线的焦距。 通常情况下,我们把|F1F2|记为2c(c>0); 常数记为2a(a>0). 问题3:定义中为什么强调距离差的绝对值为常数?
焦点在 y轴上。
四、双曲线与椭圆之间的区别与联系
椭圆
双曲线
定义 方程
|MF1|+|MF2|=2a
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
||MF1|-|MF2||=2a
x2 y2 1(a 0,b 0) a2 b2
y2 a2
x2 b2
1(a
0,b
0)
焦点
a.b.c的关 系
的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|>680m,所以爆炸点 的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上.
如图所示,建立直角坐标系xOy,使A、B两点在x轴上,并
且点O与线段AB的中点重合
设爆炸点P的坐标为(x,y),
y
P
则 PA PB 340 2 680 即 2a=680,a=340 Q AB 800
例1、已知双曲线的焦点 F1(-5,0), F2(5,0),双曲线上一点P到焦 点的距离差的绝对值等于8,求双曲线的标准方程。
解:因为双曲线的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为
x2 a2
y2 b2
1(a 0, b 0)
根据已知条件,|F1F2|=10. ||PF1|-|PF2||=8,
所以2c=10,2a=8。即a=4,c=5
问题4: 定义中为什么强调常数要小于|F1F2|且不等于0(即0<2a<2c)? 如果不对常数加以限制 ,动点的轨迹会是什么?
分3种情况来看:
①若2a=2c,则轨迹是什么? 此时轨迹为以F1或F2为端点的两条射线
F1
F2
②若2a>2c,则轨迹是什么?
此时轨迹不存在
③若2a=0,则轨迹是什么? 此时轨迹为线段F1F2的垂直平分线
点在x轴上,焦点是 F1(-c,0),F2(c,0). 其中c2=a2+b2.
类比椭圆的标准方程,请思考焦点在y轴上的
双曲线的标准方程是什么?
y
y 2 x 2 1(a 0, b 0) a2 b2
F2
O
x
F1
这个方程叫做双曲线的标准方程 ,它所表示的双曲线的焦
点在y轴上,焦点是 F1(0,-c),F2(0,c). 其中c2=a2+b2.
射线F1P,F2Q 上,此时点的轨迹为两条射线F1P,F2Q。
(1)先把非标准方程化成标准方程,再判断焦点所在的坐标轴。
(2) x2 y2 1(mn 0) 是否表示双曲线? mn
m 0
n
0
x 表示焦点在 轴上的双曲线;
m 0
n0Biblioteka 表示焦点在 y轴上的双曲线。
x2 y 2 1表示双曲线,求 m的范围。
三.双曲线两种标准方程的比较
x2 y2 1(a 0,b 0)
a2 b2y
M
F1 O F2 x
y2 x2
a2
b2
1(a 0,b 0)
y
M
F2 x
O
F1
① 方程用“-”号连接。
② 分母是 a2 , b2 , a 0, b 0 但 a, b 大小不定。 ③ c2 a2 b2 。
x ④如果 x 2的系数是正的,则焦点在 轴上;如果 y 2的系数是正的,则
Ao Bx
2c 800,c 400, b2 c2 a2 44400
Q 800 PA PB 680 0 , x 因此炮弹爆炸点的轨迹方程为
0
x2
y2
1( x 0)
115600 44400
双曲线的定义 双曲线的标准方程
应用
51页练习A组1、2; 56页习题2.3 A组1、2题。
F1
F2
二、双曲线标准方程的推导
① 建系
x 使 轴经过两焦点 F1, F2,y轴为线段 F1, F2
的垂直平分线。
F1
② 设点
y
M
O
F2 x
设 M (x, y)是双曲线上任一点,
焦距为2c(c 0) ,那么 焦点 F1(c,0), F2 (c,0)
的差的绝对值等于常数 2a 。
又设|MF1|与|MF2|
两边同时除以 a2 c2 a2 得: x2 y2 1
a2 c2 a2
由双曲线定义知:2c 2a 即: c a c2 a2 0
设 c2 a2 b2 b 0 代入上式整理得:
x 2 y 2 1(a 0, b 0) a2 b2
这个方程叫做双曲线的标准方程 ,它所表示的双曲线的焦
mn
题后反思:
1a 2, b 2, c 6 ( 6,0).( 6,0) 先把非标准方程
2a 2,b 2, c 2 (2,0).(2,0)
化成标准方程, 再判断焦点所在
3a 2, b 2, c 6
(0, 6).(0, 6) 的坐标轴。
4a m,b n, c m n ( m n,0).( m n,0)
几点说明:
通常|F1F2|记为2c;距离的差的绝对值记为2a. (1) 定义中强调在平面内,否则轨迹不是双曲线。
(2)定义中为什么 0〈2a〈|F1F2|? ①当 2a=| | MF1|-|MF2| |=0时,
轨迹是线段F1F2的垂直平分线.
F1
O
F2
②当2a=|F1F2|时
M
P
F1
F2
Q
| | MF1|-|MF2| | =|F1F2 | 时,M点一定在上图中的
3
2
a2 5
3 b2
2
1 1
3a 2 b 2

m 1 ,n 1
a2
b2

532mm
3n 2n
1 1
解得
m n
1 1
3
故所求双曲线的标准方程为 x 2 y 2 1. 3
例2已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地
晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.
解: 由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点
③ 列式 MF1 MF2 2a 即 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
④化简
x c2 y2 x c2 y2 2a
将上述方程化为: x c2 y2 x c2 y2 2a
移项两边平方后整理得:cx a2 a x c2 y2
两边再平方后整理得: c2 a 2 x2 a 2 y 2 a 2 c2 a 2
问题1:椭圆的定义是什么?
平面内与两个定点|F1F2|的距离的和等于常数(大于|F1F2| ) 的点的轨迹叫做椭圆。
问题2:椭圆的标准方程是怎样的? a b,c, 关系如何?
x2 y2 1(a b 0)或 y2 x2 1(a b 0)
a2 b2
a2 b2
a2 b2 c2
问题3:如果把椭圆定义中“距离的和”改为“距离的差” 那么动点的轨迹会发生怎样的变化?
求适合下列条件的双曲线的标准方程。
①焦点在在轴 x上, a 4, b 3;
x ②焦点在在轴 上,经过点 ( 2, 3), ( 15 , 2 ) .
3
答案: ① x 2 y 2 1
16 9

设双曲线的标准方程为 x 2 y 2 1(a 0, b 0) a2 b2
代入点 ( 2, 3), ( 15 , 2) 得
F(±c,0) F(0,±c)
a>b>0,a2=b2+c2
F(±c,0) F(0,±c)
a>0,b>0,但a不一 定大于b,c2=a2+b2
判断下列方程是否表示双曲线?若是,求出 a, b, c及焦点坐标。
1 x2 y2 1
42
2 x2 y2 1
22
3 x2 y2 1
42
答案:
4 x2 y2 1(m 0, n 0)
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