2021年分式方程的分类应用(详细)
《分式方程的应用》 知识清单
《分式方程的应用》知识清单一、分式方程的定义分式方程是指分母中含有未知数的方程。
例如：＼（＼frac{1}｛x} ＋ 2 ＝ 3\）就是一个简单的分式方程。
二、分式方程的解法1、去分母将分式方程两边同乘各分母的最简公分母，化为整式方程。
例如，对于方程＼（＼frac{x}｛x 1} ＝＼frac{2}｛x 1}＼），最简公分母是＼（x 1\），两边同乘＼（x 1\）得到：＼（x ＝ 2\）。
2、解整式方程按照解整式方程的方法求解。
3、验根将求得的解代入原分式方程的分母中，若分母不为零，则该解是原分式方程的解；若分母为零，则该解不是原分式方程的解，应舍去。
例如，对于上面求出的解＼（x ＝ 2\），代入＼（x 1\）中，＼（2 1 ＝ 1\neq 0\），所以＼（x ＝ 2\）是原方程的解。
三、分式方程的应用类型1、行程问题行程问题中，基本公式为：路程＝速度×时间。
例如：甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发，相向而行。
甲的速度为＼（x\）千米/小时，乙的速度为＼（y\）千米/小时，经过＼（t\）小时相遇，A、B 两地相距＼（s\）千米。
可列出方程：＼（xt ＋ yt ＝ s\）。
如果已知路程和其中一人的速度，求另一人的速度，就可能用到分式方程。
2、工程问题工程问题中，基本公式为：工作总量＝工作效率×工作时间。
例如：一项工程，甲单独完成需要＼（x\）天，乙单独完成需要＼（y\）天，两人合作需要＼（t\）天完成。
可列出方程：＼（＼frac{t}｛x} ＋＼frac{t}｛y} ＝ 1\）。
3、销售问题销售问题中，涉及到利润、成本、售价、销售量等。
例如：某商品进价为＼（a\）元，售价为＼（b\）元，销售量为＼（x\）件，利润为＼（y\）元。
根据利润＝售价进价，可列出方程：＼（y ＝（b a)x\）。
如果已知利润、进价和售价，求销售量，可能会用到分式方程。
4、浓度问题浓度问题中，基本公式为：浓度＝溶质质量÷溶液质量。
2021年九年级数学中考复习——方程专题：分式方程实际应用(二)
2021年九年级数学中考复习——方程专题：分式方程实际应用（二）1．在数学课上，老师出了这样一道题：甲、乙两地相距1200千米，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用8小时，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的3倍，求特快列车从甲地到乙地的时间．2．今年6月25日是我国的传统节日端午节，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用3000元购进A，B两种粽子1100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同．已知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍．求A，B两种粽子的单价各是多少？3．某市为治理污水，需要铺设一段全长3000米的污水输送管道，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，实际施工时每天的工作量比原计划增加25%，结果提前10天完成了任务，实际每天铺设多长管道？4．“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前了30天完成了这一任务．（1）用含x的代数式填表（结果不需要化简）工作效率（万平方米/天）工作时间（天）总任务量（万平方米）原计划x60实际60（2）求（1）的表格中的x的值．5．某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同．（1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？（2）若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，则商场最多购进乙商品多少个？（3）在（2）的条件下，如果甲、乙两种商品的售价分别是12元/个和15元/个，且将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？6．为了防控新冠病毒肺炎，某校积极进行校园环境消毒，第一次购买甲、乙两种消毒液分别用了240元和540元，每瓶乙种消毒液的价格是每瓶甲种消毒液价格的倍，购买的乙种消毒液比甲种消毒液多20瓶．（1）求甲、乙两种消毒液每瓶多少元？（2）该校准备再次购买这两种消毒液，使再次购买的乙种消毒液瓶数是甲种消毒液瓶数的一半，且再次购买的费用不多于1050元，求甲种消毒液最多能再购买多少瓶？7．甲、乙两地相距60km，A骑自行车从甲地到乙地，出发2小时40分钟后，B骑摩托车也从甲地去乙地．已知B的速度是A的速度的3倍，结果两人同时到达乙地．求A，B两人的速度．8．甲、乙两支工程队修建二级公路，已知甲队每天修路的长度是乙队的2倍，如果两队各自修建公路500m，甲队比乙队少用5天．（1）求甲，乙两支工程队每天各修路多少米？（2）我市计划修建长度为3600m的二级公路，因工程需要，须由甲、乙两支工程队来完成．若甲队每天所需费用为1.2万元，乙队每天所需费用为0.5万元，求在总费用不超过40万元的情况下，至少安排乙队施工多少天？9．大浮杨梅是我市特色水果，古称“吴越佳果”．某水果店第一次用540元购进一批大浮杨梅，由于销售状况良好，该店又用1710元购进一批大浮杨梅，所购数量是第一次购进数量的3倍，但进货价每千克多了1元．（1）第一次所购大浮杨梅的进货价是每千克多少元？（2）该店以每千克30元销售这些大浮杨梅，在销售中，第一次购进的大浮杨梅有10%的损耗，第二次购进的大浮杨梅有15%的损耗．问：该水果店售完这两批杨梅共可获利多少元？10．疫情期间，某商场购进甲，乙两种消毒液，甲种消毒液用了1000元，乙种消毒液用了1200元，已知乙种消毒液每件进价比甲种消毒液每件进价多5元，且购进的甲、乙两种消毒液件数相同．（1）求甲、乙两种消毒液每件的进价；（2）该商场将购进的甲、乙两种消毒液进行销售，甲种消毒液的销售单价为50元，乙种消毒液的销售价为60元．销售过程中发现甲种消毒液销量不好，商场决定：甲种消毒液在销售一定数量后按原销售单价的七折销售；乙种消毒液销售单价保持不变．要使两种消毒液全部售完后获利不少于1900元，问甲种消毒液按原销售单价至少销售多少件？参考答案1．解法1：解：设高铁列车从甲地到乙地的时间为yh，则特快列车从甲地到乙地的时间为（y+8）h，根据题意得，解这个方程得y＝4．经检验，y＝4是原分式方程的根，则y+8＝12．答：特快列车从甲地到乙地的时间为12h．解法2：解：设特快列车的平均速度为x km/h，则高铁列车的平均速度为3x km/h，根据题意得，解这个方程得x＝100．经检验，x＝100是原分式方程的根，则．答：特快列车从甲地到乙地的时间为12h．2．解：设B种粽子单价为x元/个，则A种粽子单价为1.2x元/个，根据题意，得：+＝1100，解得：x＝2.5，经检验，x＝2.5是原方程的解，且符合题意，∴1.2x＝3．答：A种粽子单价为3元/个，B种粽子单价为2.5元/个．3．解：设原计划每天铺设x米，依题意得：﹣＝10，解得：x＝60米，经检验x＝60是原方程式的根，实际每天铺设1.25x＝1.25×60＝75（米）．答：实际每天铺设75米长管道．4．解：（1）设原计划每天绿化x万平方米，则实际每天绿化（1+25%）x万平方米，原计划需要天完成任务，实际天完成任务．故答案为：（1+25%）x；；．（2）依题意，得：﹣＝30，解得：x＝，经检验，x＝是原方程的解，且符合题意．答：（1）的表格中的x的值为．5．解：（1）设每件乙种商品的进价为x元，则每件甲种商品的进价为（x﹣2）元，根据题意，得＝，解得：x＝10，经检验，x＝10是原方程的根，每件甲种商品的进价为：10﹣2＝8．答：每件甲种商品的进价为8元，每件乙种商品件的进价为10元．（2）设购进乙种商品y个，则购进甲种商品（3y﹣5）个．由题意得：3y﹣5+y≤95．解得y≤25．答：商场最多购进乙商品25个；（3）由（2）知，（12﹣8）（3y﹣5）+（15﹣10）y＞380，解得：y＞23．∵y为整数，y≤25，∴y＝24或25．∴共有2种方案．方案一：购进甲种商品67个，乙商品件24个；方案二：购进甲种商品70个，乙种商品25个．6．解：（1）设甲种消毒液每瓶x元，乙种消毒液每瓶x元，根据题意得，＝﹣20，解得：x＝6，经检验：x＝6是原方程的解，×6＝9，答：甲种消毒液每瓶6元，乙种消毒液每瓶9元；（2）设甲种消毒液再购买m瓶，根据题意得，6m+9×m≤1050，解答：m≤100，答：甲种消毒液最多能再购买100瓶．7．解：设A的速度为xkm/h，则B的速度为3xkm/h，依题意，得：﹣＝2，解得：x＝15，经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意，∴3x＝45．答：A的速度为15km/h，B的速度为45km/h．8．解：（1）设乙工程队每天修路x米，则甲工程队每天修路2x米，依题意，得：﹣＝5，解得：x＝50，经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，∴2x＝100．答：甲工程队每天修路100米，乙工程队每天修路50米．（2）设安排乙工程队施工m天，则安排甲工程队施工＝（36﹣0.5m）天，依题意，得：0.5m+1.2（36﹣0.5m）≤40，解得：m≥32．答：至少安排乙工程队施工32天．9．解：（1）设第一次所购大浮杨梅的进货价是每千克x元，由题意得：×3＝，解得：x＝18，经检验：x＝18是原分式方程的解，且符合题意，答：第一次所购大浮杨梅的进货价是每千克18元；（2）540÷18＝30，30×3＝90，30×（30×90%+90×85%）﹣540﹣1710＝855（元），答：该水果店售完这两批杨梅共可获利855元．10．解：（1）设甲种消毒液每件的进价为x元，则乙种消毒液每件的进价为（x+5）元，依题意，得：＝，解得：x＝25，经检验，x＝25是原方程的解，且符合题意，∴x+5＝30．答：甲种消毒液每件的进价为25元，乙种消毒液每件的进价为30元．（2）甲种消毒液购进的数量为1000÷25＝40（件），则乙种消毒液购进的数量也为40件．设甲种消毒液按原销售单价销售了m件，依题意，得：（50﹣25）m+（50×0.7﹣25）（40﹣m）+（60﹣30）×40≥1900，解得：m≥20．答：甲种消毒液按原销售单价至少销售20件．。
分式方程应用题(5篇)
分式方程应用题(5篇)分式方程应用题(5篇)分式方程应用题范文第1篇一、营销类应用性问题例1 某校办工厂将总价值为2 000元的甲种原料与总价值为4 800元的乙种原料混合后，其单价比原甲种原料每斤少3元，比原乙种原料每斤多1元，问：混合后的原料每斤是多少元？分析：市场经济中，常遇到营销类应用性问题，这类问题中与价格有关的量是单价、总价、平均价等，要了解它们各自的意义，从而建立它们之间的关系式.解：设混合后的原料单价为每斤 [x]元，则原甲种原料的单价为每斤（[x]+3）元，原乙种原料的单价为每斤（[x]-1）元，混合后的总价值为（2 000+4 800）元，混合后的重量为[2 000+4 800x]斤，甲种原料的重量为[2 000x+3]斤，乙种原料的重量为[4 800x-1]斤，依题意，得[2 000x+3]+[4 800x-1]=[4 800+2 000x]解得[x]=17经检验，[x]=17是原方程的根.所以[x]=17. 即混合后的原料每斤 17元.总结：营销类应用性问题，涉及进货价、售货价、利润率、单价、混合价、赢利、亏损等概念，要结合实际问题对它们各自表述的意义有所了解.同时，要把握好基本公式，奇妙建立关系式.这类问题与现实生活息息相关，因而成为中考常考的热点问题.【练习1】A、B两名选购员去同一家饲料公司购买同一种饲料两次，两次饲料的价格有变化.两名选购员的购货方式不同，其中选购员A每次购买1 000千克，选购员B每次用去800元而不管购买饲料多少，问：谁的购货方式合算？为什么？二、工程类应用性问题例2 某工程由甲，乙两队合做6天完成，厂家需付甲，乙两队共8 700元；乙，丙两队合做10天完成，厂家需付乙，丙两队共9 500元；甲，丙两队合做5天完成全部工程的[23]，厂家需付甲，丙两队共5 500元. （1）求：甲，乙，丙各队单独完成全部工程各需多少天？（2）若工期要求不超过15天完成全部工程，问：由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由.分析：这是一道联系实际生活的工程应用题，涉及工期和工钱两种未知量.对于工期，一般状况下把整个工作量看成1，设甲，乙，丙各队完成这项工程所需时间分别为x天，y天，z天，可列出分式方程组.解：（1）设甲队单独做需x天，乙队单独做需y天，丙队单独做需z 天，依题意，得[ 6（[1x+1y]）=110（[1y]+[1z]）=15（[1x]+[1z]）=[23] ][解得x=10y=15z=30]经检验，[x]=10，[y]=15，[z]=30是原方程组的解.（2）设甲队做一天厂家需付a元，乙队做一天厂家需付b元，丙队做一天厂家需付c元，依据题意，得[6（a+b）=8 70010（b+c）=9 5005（c+a）=5 500 ][解得a=800b=650c=300]由（1）可知完成此工程不超过既定工期只有两个队：甲队和乙队. 此工程由甲队单独完成需花费10a=8 000元；此工程由乙队单独完成需花费15b=9 750元.所以，由甲队单独完成此工程花钱最少.技巧点拨：在（1）的求解时，把[1x]，[1y]，[1z]分别看成一个整体，可把分式方程组转化为整式方程组来解.【练习2】某工程需在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成；若由乙队去做，要超过规定日期3天才能完成.现由甲、乙两队合做2天，剩下的工程由乙队独做，恰好在规定日期内完成，问：规定的日期是多少天？【练习3】今年某高校在招生录用时，为了防止数据输入出错，2 640名同学的成果数据由两位老师分别向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否全都.已知老师甲的输入速度是老师乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完.问：这两位老师每分钟各能输入多少名同学的成果？三、浓度应用性问题例3 有含盐15%的盐水40千克，要使盐水含盐20%，还需要加入多少千克盐？分析：浓度问题的基本关系是[溶质溶液=浓度].此问题中变化前后三个基本量的关系如下表：[＼&溶液＼&溶质＼&浓度＼&加盐前＼&40＼&40×15%＼&15%＼&加盐后＼&40+[x]＼&40×15%+[x]＼&20%＼&]解：设还需要加入[x]千克盐.依据浓度问题的基本关系可列方程[40×15%+x40+x=20%]解得[x]=2.5经检验，[x]=2.5是方程的解，即再加入2.5千克盐，盐水的含盐量就能达到20%.【练习4】甲容器有浓度为20%的盐水40L，乙容器有浓度为25%的盐水30L，假如往两个容器中加入了等量的水后，它们的浓度相等，那么应加入多少升水？四、货物运输应用性问题例4 一批货物预备运往某地，有甲，乙，丙三辆卡车可雇用.已知甲，乙，丙三辆车每次运货量不变，且甲，乙两车每次运货物的吨数为1∶3，若甲，丙两车合运相同次数运完这批货物时，甲车共运了120吨；若乙，丙两车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了180吨.这批货物共有多少吨？分析：货物总吨数和三种车每种车可运吨数均为未知数，但可依据所用次数得到等量关系[120甲车每次运货吨数=剩余货物吨数丙车每次运货吨数；][180乙车每次运货吨数=剩余货物吨数丙车每次运货吨数.]这两个式子可整理成仅含货物总吨数这一未知数的方程，求解即可. 解：设货物的总吨数为[x]吨，甲车每次运a吨，乙车每次运3a吨，丙车每次运b吨.依据题意可得[120a=x-120b ①1803a=x-180b ②]解得[x]=240经检验，[x]=240是方程的解，即这批货物共有240吨.分式方程应用题范文第2篇新课标高考理科综合化学试题总分100分，其中选择题42分，主观题58分。
2021年江苏各市(苏州扬州泰州盐城无锡等)中考数学真题分项汇编09 分式方程及应用含详解
1．（2021·江苏南通市）解方程2303x x-=-． 2．（2021·江苏泰州市）解方程：22x x -+1＝52x -． 3．（2021·江苏南京市）解方程2111x x x +=+-． 4．（2021·江苏宿迁市）方程22142x x x -=--的解是_____________． 5．（2021·江苏连云港市）解方程：214111x x x +-=--．二、分式方程的应用6．（2021·江苏徐州市）某网店开展促销活动，其商品一律按8折销售，促销期间用400元在该网店购得某商品的数量较打折前多出2件．问：该商品打折前每件多少元？7．（2021·江苏常州市）为落实节约用水的政策，某旅游景点进行设施改造，将手拧水龙头全部更换成感应水龙头．已知该景点在设施改造后，平均每天用水量是原来的一半，20吨水可以比原来多用5天，该景点在设施改造后平均每天用水多少吨？8．（2021·江苏扬州市）为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了20%，现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天，问原先每天生产多少万剂疫苗？9．（2021·江苏无锡市）为了提高广大职工对消防知识的学习热情，增强职工的消防意识，某单位工会决定组织消防知识竞赛活动，本次活动拟设一、二等奖若干名，并购买相应奖品．现有经费1275元用于购买奖品，且经费全部用完，已知一等奖奖品单价与二等奖奖品单价之比为4∶3．当用600元购买一等奖奖品时，共可购买一、二等奖奖品25件．（1）求一、二等奖奖品的单价；（2）若购买一等奖奖品的数量不少于4件且不超过10件，则共有哪几种购买方式？1．（2021·江苏南通市）解方程2303x x -=-． 【答案】9x =．【分析】根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验依次进行求解即可．【详解】解： 2303x x-=-， 去分母得：23(3)0x x --=，解得：9x =，经检验，9x =是原方程的解．则原方程的解为：9x =．【点睛】本题主要考查了代数式的化简求值与解分式方程，关键在于熟练的掌握解题的方法与技巧，注意分式方程要检验．2．（2021·江苏泰州市）解方程：22x x -+1＝52x -． 【答案】x =-1【分析】先将分式方程化简为整式方程，再求解检验即可．【详解】解：等式两边同时乘以（x -2）得2x +x -2=-5，移项合并同类项得3x =-3，系数化为1得x =-1检验：当x =-1时，x -20≠，∶x =-1是原分式方程的解．【点睛】本题考查了因式分解和解分式方程，解题关键是熟练掌握因式分解的方法及注意解分式方程要检验．3．（2021·江苏南京市）解方程2111x x x +=+-． 【答案】3x =先将方程两边同时乘以()()11x x +-，化为整式方程后解整式方程再检验即可．【详解】 解：2111x x x +=+-， ()()()()21111x x x x x -++-=+，22221x x x x -+-=+，3x =，检验：将3x =代入()()11x x +-中得，()()110x x +-≠，∶3x =是该分式方程的解．【点睛】本题考查了分式方程的解法，解决本题的关键是牢记解分式方程的基本步骤，即要先将分式方程化为整式方程，再利用“去括号、移项、合并同类项、系数化为1”等方式解整式方程，最后不能忘记检验等．4．（2021·江苏宿迁市）方程22142x x x -=--的解是_____________．【答案】112x -+=，212x -= 【分析】 先把两边同时乘以24x -，去分母后整理为230x x +-=，进而即可求得方程的解．【详解】 解：22142x x x -=--， 两边同时乘以24x -，得22(2)4x x x -+=-，整理得：230x x +-=解得：1x =，2x =，经检验，1x =，2x =是原方程的解，故答案为：112x -=，212x -=．本题考查了分式方程和一元二次方程的解法，熟练掌握分式方程和一元二次方程的解法是解决本题的关键． 5．（2021·江苏连云港市）解方程：214111x x x +-=--． 【答案】无解【分析】将分式去分母，然后再解方程即可．【详解】解：去分母得：22141x x整理得22x =，解得1x =，经检验，1x =是分式方程的增根，故此方程无解．【点睛】本题考查的是解分式方程，要注意验根，熟悉相关运算法则是解题的关键．二、分式方程的应用6．（2021·江苏徐州市）某网店开展促销活动，其商品一律按8折销售，促销期间用400元在该网店购得某商品的数量较打折前多出2件．问：该商品打折前每件多少元？【答案】50【分析】该商品打折卖出x 件，找到等量关系即可．【详解】解：该商品打折卖出x 件4008400102x x ⋅=+ 解得x =8经检验：8x =是原方程的解，且符合题意∶商品打折前每件400=508元 答：该商品打折前每件50元．【点睛】此题考查分式方程实际问题中的销售问题，找到等量关系是解题的关键．7．（2021·江苏常州市）为落实节约用水的政策，某旅游景点进行设施改造，将手拧水龙头全部更换成感应水龙头．已知该景点在设施改造后，平均每天用水量是原来的一半，20吨水可以比原来多用5天，该景点在设施改造后平均每天用水多少吨？【答案】该景点在设施改造后平均每天用水2吨．设该景点在设施改造后平均每天用水x 吨，则原来平均每天用水2x 吨，列出分式方程，即可求解．【详解】解：设该景点在设施改造后平均每天用水x 吨，则原来平均每天用水2x 吨， 由题意得：202052x x-=，解得：x =2， 经检验：x =2是方程的解，且符合题意，答：该景点在设施改造后平均每天用水2吨．【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用，找出等量关系，列出方程，是解题的关键．8．（2021·江苏扬州市）为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了20%，现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天，问原先每天生产多少万剂疫苗？【答案】40万【分析】设原先每天生产x 万剂疫苗，根据现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天可得方程，解之即可．【详解】解：设原先每天生产x 万剂疫苗，由题意可得：()2402200.5120%xx +=+， 解得：x =40，经检验：x =40是原方程的解，∶原先每天生产40万剂疫苗．【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性．9．（2021·江苏无锡市）为了提高广大职工对消防知识的学习热情，增强职工的消防意识，某单位工会决定组织消防知识竞赛活动，本次活动拟设一、二等奖若干名，并购买相应奖品．现有经费1275元用于购买奖品，且经费全部用完，已知一等奖奖品单价与二等奖奖品单价之比为4∶3．当用600元购买一等奖奖品时，共可购买一、二等奖奖品25件．（1）求一、二等奖奖品的单价；（2）若购买一等奖奖品的数量不少于4件且不超过10件，则共有哪几种购买方式？【答案】（1）一、二等奖奖品的单价分别是60元，45元；（2）共有3种购买方案，分别是：一等奖品数4件，二等奖品数23件；一等奖品数7件，二等奖品数19件；一等奖品数10件，二等奖品数15件．【分析】（1）设一、二等奖奖品的单价分别是4x，3x，根据等量关系，列出分式方程，即可求解；（2）设购买一等奖品的数量为m件，则购买二等奖品的数量为8543m-件，根据4≤m≤10，且8543m-为整数，m为整数，即可得到答案．【详解】解：（1）设一、二等奖奖品的单价分别是4x，3x，由题意得：60012756002543x x-+=，解得：x=15，经检验：x=15是方程的解，且符合题意，∶15×4=60（元），15×3=45（元），答：一、二等奖奖品的单价分别是60元，45元；（2）设购买一等奖品的数量为m件，则购买二等奖品的数量为127560854453m m--=件，∶4≤m≤10，且8543m-为整数，m为整数，∶m=4，7，10，答：共有3种购买方案，分别是：一等奖品数4件，二等奖品数23件；一等奖品数7件，二等奖品数19件；一等奖品数10件，二等奖品数15件．【点睛】本题主要考查分式方程和不等式组的实际应用，准确找出数量关系，列出分式方程或不等式，是解题的关键．。
专题5.31 分式方程的应用(题型分类专题)(例题讲解)八年级数学下册基础知识专项讲练(北师大版)
专题5.31分式方程的应用（题型分类专题）（例题讲解）列分式方程解应用题中考中是必考内容之一，下面结合近几年中考题型举例进行巩固：类型一、直接列分式方程求解1．（2022·辽宁丹东·统考中考真题）为推动家乡学校篮球运动的发展，某公司计划出资12000元购买一批篮球赠送给家乡的学校．实际购买时，每个篮球的价格比原价降低了20元，结果该公司出资10000元就购买了和原计划一样多的篮球，每个篮球的原价是多少元？【答案】每个篮球的原价是120元．【分析】设每个篮球的原价是x元，则每个篮球的实际价格是（x﹣20）元，根据“该公司出资10000元就购买了和原计划一样多的篮球”列出方程并解答．解：设每个篮球的原价是x元，则每个篮球的实际价格是（x﹣20）元，根据题意，得12000x＝1000020x-．解得x＝120．经检验x＝120是原方程的解．答：每个篮球的原价是120元．【点拨】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．举一反三：【变式1】（2022·贵州铜仁·统考中考真题）科学规范戴口罩是阻断新冠病毒传播的有效措施之一，某口罩生产厂家接到一公司的订单，生产一段时间后，还剩280万个口罩未生产，厂家因更换设备，生产效率比更换设备前提高了40%．结果刚好提前2天完成订单任务．求该厂家更换设备前和更换设备后每天各生产多少万个口罩？【答案】该厂家更换设备前每天生产口罩40万只，更换设备后每天生产口罩56万只．【分析】设该厂家更换设备前每天生产口罩x万只，则该厂家更换设备后每天生产口罩（1+40%）x万只，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合提前2天完成订单任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．解：设该厂家更换设备前每天生产口罩x万只，则该厂家更换设备后每天生产口罩（1+40%）x万只，依题意得：2802(140%2)80x x-=+，解得：x=40，经检验，x=40是原方程的解，且符合题意．答：该厂家更换设备前每天生产口罩40万只，更换设备后每天生产口罩56万只．【点拨】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．【变式2】（2022·贵州贵阳·统考中考真题）国发（2022）2号文发布后，贵州迎来了高质量快速发展，货运量持续增加．某物流公司有两种货车，已知每辆大货车的货运量比每辆小货车的货运量多4吨，且用大货车运送80吨货物所需车辆数与小货车运送60吨货物所需车辆数相同．每辆大、小货车货运量分别是多少吨？【答案】每辆大货车货运量是16吨，每辆小货车货运量是12吨【分析】设每辆小货车货运量x 吨，则每辆大货车货运量()4x +吨，根据题意，列出分式方程，解方程即可求解．解：设每辆小货车货运量x 吨，则每辆大货车货运量()4x +吨，根据题意，得，80604x x=+，解得12x =，经检验，12x =是原方程的解，412416x +=+=吨，答：每辆大货车货运量是16吨，每辆小货车货运量是12吨．【点拨】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．类型二、分式方程✮✮不等式（组）2．（2021·山东济南·统考中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．（1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种粽子？【答案】（1）乙种粽子的单价为4元，则甲种粽子的单价为8元；（2）最多购进87个甲种粽子【分析】（1）设乙种粽子的单价为x 元，则甲种粽子的单价为2x 元，然后根据“购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个”可列方程求解；（2）设购进m 个甲种粽子，则购进乙种粽子为（200-m ）个，然后根据（1）及题意可列不等式进行求解．解：（1）设乙种粽子的单价为x 元，则甲种粽子的单价为2x 元，由题意得：1200800502x x+=，解得：4x =，经检验4x =是原方程的解，答：乙种粽子的单价为4元，则甲种粽子的单价为8元．（2）设购进m 个甲种粽子，则购进乙种粽子为（200-m ）个，由（1）及题意得：()842001150m m +-≤，解得：87.5m ≤，∵m 为正整数，∴m 的最大值为87；答：最多购进87个甲种粽子．【点拨】本题主要考查分式及一元一次不等式的应用，熟练掌握分式方程的解法及一元一次不等式的解法是解题的关键．举一反三：【变式1】（2022·辽宁营口·一模）某单位计划选购甲，乙两种物品，已知甲物品单价比乙物品单价高20元，用240元单独购买甲物品的数量是用80元单独购买乙物品数量的2倍．(1)求甲，乙两种物品的单价分别是多少元？(2)如果该单位计划购买甲，乙两种物品共80件，且总费用不超过4060元，求最多能购买甲物品多少件？【答案】(1)甲物品的单价是60元，乙物品的单价是40元(2)43件【分析】（1）设乙物品的单价是x 元，则甲物品的单价是()20x +元，利用数量＝总价÷单价，结合用240元单独购买甲物品的数量是用80元单独购买乙物品数量的2倍，可得出关于x 的分式方程，解之经检验后，可得出乙物品的单价，再将其代入()20x +中，可求出甲物品的单价；（2）设购买m 件甲物品，则购买()80m -件乙物品，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过4060元，可得出关于m 的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．解：（1）设乙物品的单价是x 元，则甲物品的单价是()20x +元，根据题意得：24080220x x=⨯+，解得：40x =，经检验，40x =是所列方程的解，且符合题意，∴20402060x +=+=．答：甲物品的单价是60元，乙物品的单价是40元．（2）设购买m 件甲物品，则购买()80m -件乙物品，根据题意得：()6040804060m m +-≤，解得：43m ≤，又∵m 为正整数，∴m 的最大值为43．答：最多能购买甲物品43件．【点拨】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．【变式2】（2023·山东济南·一模）为有效落实双减工作，切实做到减负提质，很多学校决定在课后看护中增加乒乓球项目．体育用品商店得知后，第一次用900元购进乒乓球若干盒，第二次又用900元购进该款乒乓球，但这次每盒的进价是第一次进价的1.2倍，购进数量比第一次少了30盒．(1)求第一次每盒乒乓球的进价是多少元？(2)若要求这两次购进的乒乓球按同一价格全部销售完后获利不低于510元，则每盒乒乓球的售价至少是多少元？【答案】(1)5元(2)7元【分析】（1）设第一次每盒乒乓球的进价是x 元，则第二次每盒乒乓球的进价是1.2x 元，根据购进数量比第一次少了30盒列方程即可；（2）设每盒乒乓球的售价为y 元，根据全部销售完后获利不低于510元列出不等式即可．（1）解：设第一次每盒乒乓球的进价是x 元，则第二次每盒乒乓球的进价是1.2x 元，由题意得：900900301.2x x=+解得：x ＝5，经检验：x ＝5是原分式方程的解，，且符合题意，答：第一次每盒乒乓球的进价是5元；（2）解：设每盒乒乓球的售价为y 元，第一次每盒乒乓球的进价为5元，则第二次每盒乒乓球的进价为5 1.26⨯=（元），由题意得：()()9009005651056y y ⨯-+-≥，解得：7y ≥．答：每盒乒乓球的售价至少是7元．【点拨】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解题关键是准确理解题意，根据题目中的数量关系列出方程和不等式．类型三、分式方程✮✮一次函数增减性3．（2022·山东东营·统考中考真题）为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售.经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克.(1)求甲、乙两种水果的进价分别是多少？(2)若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？【答案】(1)甲种水果的进价是4元/千克，乙种水果的进价是5元/千克；(2)水果店购进甲种水果100千克，乙种水果50千克时获得最大利润，最大利润是350元．【分析】（1）设乙种水果的进价是x 元/千克，根据“甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克”列出分式方程，解方程检验后可得出答案；（2）设水果店购进甲种水果a 千克，获得的利润为y 元，则购进乙种水果（150－a ）千克，根据利润＝（售价－进价）×数量列出y 关于a 的一次函数解析式，求出a 的取值范围，然后利用一次函数的性质解答．（1）解：设乙种水果的进价是x 元/千克，由题意得：()1000120010120%x x=+-，解得：5x =，经检验，5x =是分式方程的解且符合题意，则()120%0.854x -=⨯=，答：甲种水果的进价是4元/千克，乙种水果的进价是5元/千克；（2）解：设水果店购进甲种水果a 千克，获得的利润为y 元，则购进乙种水果（150－a ）千克，由题意得：()()()6485150450y a a a =-+--=-+，∵－1＜0，∴y 随a 的增大而减小，∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，∴()2150a a -≥，解得：100a ≥，∴当100a =时，y 取最大值，此时100450350y =-+=，15050a -=，答：水果店购进甲种水果100千克，乙种水果50千克时获得最大利润，最大利润是350元．【点拨】本题考查了分式方程的应用，一次函数与一元一次不等式的应用，正确理解题意，找出合适的等量关系列出方程和解析式是解题的关键．举一反三：【变式1】（2020·新疆·统考中考真题）某超市销售A 、B 两款保温杯，已知B 款保温杯的销售单价比A 款保温杯多10元，用480元购买B 款保温杯的数量与用360元购买A 款保温杯的数量相同．(1)A 、B 两款保温杯的销售单价各是多少元？(2)由于需求量大，A 、B 两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且A 款保温杯的数量不少于B 款保温杯数量的两倍．若A 款保温杯的销售单价不变，B 款保温杯的销售单价降低10%，两款保温杯的进价每个均为20元，应如何进货才能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？【答案】(1)A 款保温杯的销售单价是30元，B 款保温杯的销售单价是40元(2)进货方式为购进B 款保温杯数量为40个，A 款保温杯数量为80个，最大利润是1440元【分析】（1）设A 款保温杯的销售单价是x 元，B 款保温杯的销售单价是（x +10）元，根据用480元购买B 款保温杯的数量与用360元购买A 款保温杯的数量相同列分式方程解答即可；（2）设购进B 款保温杯数量为y 个，则A 款保温杯数量为（120-y ）个，根据题意求出0<y ≤40，设总销售利润为W 元，列出一次函数，根据一次函数的性质求解即可．（1）解：设A 款保温杯的销售单价是x 元，B 款保温杯的销售单价是（x +10）元，48036010x x=+，解答x =30，经检验，x =30是原方程的解，∴x +10=40，答：A 款保温杯的销售单价是30元，B 款保温杯的销售单价是40元；（2）B 款保温杯销售单价为40×（1-10%）=36元，设购进B 款保温杯数量为y 个，则A 款保温杯数量为（120-y ）个，120-y ≥2y ，解得y ≤40，∴0<y ≤40，设总销售利润为W 元，W =（30-20）（120-y ）+（36-20）y =6y +1200，∵W 随y 的增大而增大，∴当y =40时，利润W 最大，最大为6×40+1200=1440元，进货方式为购进B 款保温杯数量为40个，A 款保温杯数量为80个，最大利润是1440元．【点拨】此题考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．【变式2】（2022·广东深圳·统考中考真题）某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型的笔记本的单价比乙种类型的要便宜1元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样．(1)求甲乙两种类型笔记本的单价．(2)该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共100件，且购买的乙的数量不超过甲的3倍，则购买的最低费用是多少【答案】(1)甲类型的笔记本电脑单价为11元，乙类型的笔记本电脑单价为12元(2)最低费用为1100元【分析】（1）设甲类型的笔记本电脑单价为x 元，则乙类型的笔记本电脑为()10x +元．列出方程即可解答；（2）设甲类型笔记本电脑购买了a 件，最低费用为w ，列出w 关于a 的函数，利用一次函数的增减性进行解答即可．解：（1）设甲类型的笔记本电脑单价为x 元，则乙类型的笔记本电脑为()10x +元．由题意得：1101201x x =+解得：11x =经检验11x =是原方程的解，且符合题意．∴乙类型的笔记本电脑单价为：11112+=（元）．答：甲类型的笔记本电脑单价为11元，乙类型的笔记本电脑单价为12元．（2）设甲类型笔记本电脑购买了a 件，最低费用为w ，则乙类型笔记本电脑购买了()100a -件．由题意得：1003a a -≤．∴25a ≥．()1112100111200121200w a a a a a =+-=+-=-+．∵100-<，∴当a 越大时w 越小．∴当100a =时，w 最小，最小值为110012001100-⨯+=（元）．答：最低费用为1100元．【点拨】此题考查了分式方程的应用，以及一次函数的应用，掌握分式方程的应用，以及一次函数的应用是解题的关键．类型四、分式方程✮✮不等式（组）✮✮一次函数增减性➽➼方案问题4．（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）某工厂准备生产A 和B 两种防疫用品，已知A 种防疫用品每箱成本比B 种防疫用品每箱成本多500元．经计算，用6000元生产A 种防疫用品的箱数与用4500元生产B 种防疫用品的箱数相等．请解答下列问题：(1)求A ，B 两种防疫用品每箱的成本；(2)该工厂计划用不超过90000元同时生产A 和B 两种防疫用品共50箱，且B 种防疫用品不超过25箱，该工厂有几种生产方案？(3)为扩大生产，厂家欲拿出与（2）中最低成本相同的费用全部用于购进甲和乙两种设备（两种都买）．若甲种设备每台2500元，乙种设备每台3500元，则有几种购买方案？最多可购买甲，乙两种设备共多少台？（请直接写出答案即可）【答案】(1)A 种防疫用品2000元/箱，B 种防疫用品1500元/箱(2)共有6种方案(3)4种，33台【分析】（1）设B 种防疫用品成本x 元/箱，A 种防疫用品成本()500x +元/箱，根据题意列出分式方程解得即可；（2）设B 种防疫用品生产m 箱，A 种防疫用品生产()50m -箱，根据题意列得不等式解得即可；（3）先根据（2）求得最低成本，设购进甲和乙两种设备分别为a ，b 台，根据题意列得方程，解得正整数解即可．(1)解：设B 种防疫用品成本x 元/箱，A 种防疫用品成本()500x +元/箱，由题意，得45006000500x x =+，解得x ＝1500，检验：当x ＝1500时，()5000x x +≠，所以x ＝1500是原分式方程的解，50015005002000x +=+=（元/箱），答：A 种防疫用品2000元/箱，B 种防疫用品1500元/箱；(2)解：设B 种防疫用品生产m 箱，A 种防疫用品生产()50m -箱，()150020005090000m m +-≤，解得20m ≥，∵B 种防疫用品不超过25箱，∴2025m ≤≤，∵m 为正整数，∴m ＝20，21，22，23，24，25，共有6种方案；(3)解：设生产A 和B 两种防疫用品费用为w ，w =1500m +2000（50-m ）=-500m +100000，∵k <0，∴w 随m 的增大而减小，∴当m =25时，w 取得最小值，此时w =87500，设购进甲和乙两种设备分别为a ，b 台，∴2500a +3500b =87500，∴17575b a -=，∵两种设备都买，∴a ，b 都为正整数，∴285a b =⎧⎨=⎩，2110a b =⎧⎨=⎩，1415a b =⎧⎨=⎩，720a b =⎧⎨=⎩，∴一共4种方案，最多可购买甲乙两种设备共28+5=33台．【点拨】本题考查了分式方程、一元一次不等式组、二元一次方程的实际应用，根据题意列出等式或不等式是解题的关键．举一反三：【变式1】（2022·贵州黔东南·统考中考真题）某快递公司为了加强疫情防控需求，提高工作效率，计划购买A 、B 两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A 型机器人比每台B 型机器人每天少搬运10吨，且A 型机器人每天搬运540吨货物与B 型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同．(1)求每台A 型机器人和每台B 型机器人每天分别搬运货物多少吨？(2)每台A 型机器人售价1.2万元，每台B 型机器人售价2万元，该公司计划采购A 、B 两种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2830吨，购买金额不超过48万元．请根据以上要求，完成如下问题：①设购买A 型机器人m 台，购买总金额为w 万元，请写出w 与m 的函数关系式；②请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元？【答案】(1)每台A 型机器人每天搬运货物90吨，每台B 型机器人每天搬运货物为100吨．(2)①0.860w m =-+；②当购买A 型机器人17台，B 型机器人13台时，购买总金额最少，最少金额为46.4万元．【分析】（1）设每台A 型机器人每天搬运货物x 吨，则每台B 型机器人每天搬运货物为（x +10）吨，然后根据题意可列分式方程进行求解；（2）①由题意可得购买B 型机器人的台数为()30m -台，然后由根据题意可列出函数关系式；②由题意易得()901003028300.86048m m m ⎧+-≥⎨-+≤⎩，然后可得1517m ≤≤，进而根据一次函数的性质可进行求解．（1）解：设每台A 型机器人每天搬运货物x 吨，则每台B 型机器人每天搬运货物为（x +10）吨，由题意得：54060010x x =+，解得：90x =；经检验：90x =是原方程的解；答：每台A 型机器人每天搬运货物90吨，每台B 型机器人每天搬运货物为100吨．（2）解：①由题意可得：购买B 型机器人的台数为()30m -台，∴()1.22300.860w m m m =+-=-+；②由题意得：()901003028300.86048m m m ⎧+-≥⎨-+≤⎩，解得：1517m ≤≤，∵-0.8＜0，∴w 随m 的增大而减小，∴当m =17时，w 有最小值，即为0.8176046.4w =-⨯+=，答：当购买A 型机器人17台，B 型机器人13台时，购买总金额最少，最少金额为46.4万元．【点拨】本题主要考查分式方程的应用、一元一次不等式组的应用及一次函数的应用，熟练掌握分式方程的应用、一元一次不等式组的应用及一次函数的应用是解题的关键．【变式2】（2022·湖南怀化·统考中考真题）去年防洪期间，某部门从超市购买了一批数量相等的雨衣（单位：件）和雨鞋（单位：双），其中购买雨衣用了400元，购买雨鞋用了350元，已知每件雨衣比每双雨鞋贵5元．(1)求每件雨衣和每双雨鞋各多少元？(2)为支持今年防洪工作，该超市今年的雨衣和雨鞋单价在去年的基础上均下降了20%，并按套（即一件雨衣和一双雨鞋为一套）优惠销售．优惠方案为：若一次购买不超过5套，则每套打九折：若一次购买超过5套，则前5套打九折，超过部分每套打八折．设今年该部门购买了a 套，购买费用为W 元，请写出W 关于a 的函数关系式．(3)在（2）的情况下，今年该部门购买费用不超过320元时最多可购买多少套？【答案】(1)每件雨衣40元，每双雨鞋35元(2)()600.954052705600.848305a a a W a a a ⨯⨯=≤<⎧=⎨+-⨯⨯=+≥⎩(3)最多可购买6套【分析】（1）根据题意，设每件雨衣()5+x 元，每双雨鞋x 元，列分式方程求解即可；（2）根据题意，按套装降价20%后得到每套60元，根据费用=单价×套数即可得出结论；（3）根据题意，结合（2）中所求，得出不等式4830320a +≤，求解后根据实际意义取值即可．（1）解：设每件雨衣()5+x 元，每双雨鞋x 元，则4003505x x=+，解得35x =，经检验，35x =是原分式方程的根，540x ∴+=，答：每件雨衣40元，每双雨鞋35元；（2）解：根据题意，一套原价为354075+=元，下降20%后的现价为()75120%60⨯-=元，则()600.954,052705600.84830,5a a a W a a a ⨯⨯=≤<⎧=⎨+-⨯⨯=+≥⎩；（3）解：320270> ，∴购买的套数在5a ≥范围内，即4830320a +≤，解得145 6.04224a ≤≈，答：在（2）的情况下，今年该部门购买费用不超过320元时最多可购买6套．【点拨】本题考查实际应用题，涉及分式方程的实际应用、一次分段函数的实际应用和不等式解实际应用题等知识，熟练掌握实际应用题的求解步骤“设、列、解、答”，根据题意得出相应关系式是解决问题的关键．。
《分式方程的应用》课件
欢迎来到本节课件，我们将一起探索分式方程的应用和解法。在实际生活中， 分式方程是一个非常重要的数学工具，具有广泛的应用。
什么是分式程
分式方程是含有未知量的有理式相等的方程。标准形式为 $ rac{a}{x} + b = rac{c}{x} + d$。
分式方程的解法
掌握分式方程的应用技巧，解决与时间、速度和距离相关的问题。
4
工程问题解法演示
了解如何运用分式方程解决实际工程问题，提高问题解决能力。
总结
通过本课件的学习，我们希望学生们能够掌握分式方程的解法和应用。分式方程是一个重要的数学工具，并在 实际生活中有广泛的应用。
• 消去分母法 • 通分法 • 变量代换法
分式方程的应用
• 比例问题 • 混合问题 • 时间、速度、距离问题 • 工程问题
实例演练
1
比例问题解法演示
通过实例演练，我们将展示如何运用分式方程解决比例问题。
2
混合问题解法演示
让我们一起解决一些涉及混合问题的分式方程，加深理解。
3
时间、速度、距离问题解法演示
2021年九年级数学中考复习——方程专题：分式方程实际应用(五)
2021年九年级数学中考复习——方程专题：分式方程实际应用（五）1．在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证，使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元．预计今年的销量是去年的3倍，年销售额为360万元．已知去年的年销售额为80万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？2．某超市购进A和B两种商品，已知每件A商品的进货价格比每件B商品的进货价格贵2元，用200元购买A商品的数量恰好与用150元购买B商品的数量相等．（1）求A商品的进货价格；（2）计划购进这两种商品共30件，且投入的成本不超过200元，那么最多购进多少件A 商品？3．甲、乙二人做某种机械零件．已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等．求乙每小时做零件的个数．4．某工厂制作甲、乙两种窗户边框，已知同样用12米材料制成甲种边框的个数比制成乙种边框的个数少1个，且制成一个甲种边框比制成一个乙种边框需要多用20%的材料．（1）求制作每个甲种边框、乙种边框各用多少米材料？（2）如果制作甲、乙两种边框的材料共640米，要求制作乙种边框的数量不少于甲种边框数量的2倍，求应最多安排多少米材料制作甲种边框？（不计材料损耗）5．某商场经销A，B两款商品，若买20件A商品和10件B商品用了360元；买30件A 商品和5件B商品用了500元．（1）求A、B两款商品的单价；（2）若对A、B两款商品按相同折扣进行销售，某顾客发现用640元购买A商品的数量比用224元购买B商品的数量少20件，求对A、B两款商品进行了几折销售？（3）若对A商品进行5折销售，B商品进行8折销售，某顾客同时购买A、B两种商品若干件，正好用完49.6元，问该顾客同时购买A、B两款商品各几件？6．某企业拟投资共购买10条N95口罩生产线和平面口罩生产线．已知购买一条平面口罩生产线需要资金为100万元，购买一条N95口罩生产线所需资金是一条平面口罩生产线所需资金的2倍；一条平面口罩生产线每小时比一条N95口罩生产线多生产4200只口罩，且一条平面口罩生产线生产36000只口罩与一条N95口罩生产线生产15000只口罩所用时间相同．（1）如果计划用于购买N95口罩生产线的资金不超过用于购买平面口罩生产线的资金，那么该企业最多可购买几条N95口罩生产线？（2）该企业按照（1）中的最大值购买N95口罩生产线，所有10条生产线全部正常投产后按照每天工作8小时计算，问该企业每天可以生产N95口罩和平面口罩的总和为多少只？7．甲乙两人加工同一种服装，乙每天比甲多加工1件，乙加工服装24件所用时间与甲加工服装20件所用时间相同．（1）求甲每天加工服装多少件？（2）甲乙两人新接了200件服装加工订单，受供货时间限制，二人都提高了工作效率，设甲提高后每天能加工m件，乙提高后每天加工的件数是甲的k倍（1.5≤k≤2），这样两人工作10天恰好能完成任务，求m的最大值．8．为做好复工复产，某工厂用A、B两种型号机器人搬运原料，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运20kg，且A型机器人搬运1200kg所用时间与B型机器人搬运1000kg 所用时间相等，求这两种机器人每小时分别搬运多少原料．9．今年疫情防控期间，某学校花2000元购买了一批消毒液以满足全体师生的需要．随着疫情的缓解以及各种抗疫物资供应更充足，消毒液每瓶下降了2元，学校又购买了一批消毒液，花1600元购买到的数量与第一次购买到的数量相等，求第一批购进的消毒液的单价．10．某公司经销甲种产品，受国际经济形势的影响，价格不断下降．预计今年的售价比去年同期每件降价1000元，如果售出相同数量的产品，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元．（1）今年这种产品每件售价多少元？（2）为了增加收入，公司决定再经销另一种类似产品乙，已知产品甲每件进价为3500元；产品乙每件进价为3000元，售价3600元，公司预计用不多于5万元且不少于4.9万元的资金购进这两种产品共15件，分别列出具体方案，并说明那种方案获利更高．参考答案1．解：设该村企去年黑木耳的年销量为x万斤，则今年黑木耳的年销量为3x万斤，依题意，得：﹣＝20，解得：x＝2，经检验，x＝2是原方程的解，且符合题意．答：该村企去年黑木耳的年销量为2万斤．2．解：（1）设A商品的进货价格为x元，则每件B商品的进货价为（x﹣2）元，根据题意可得：＝，解得：x＝8，经检验得：x＝8是原方程的根，答：A商品的进货价格为8元；（2）设购进a件A商品，则购进（30﹣a）件B商品，根据题意可得：8a+6（30﹣a）≤200，解得：a≤10，答：最多购进10件A商品．3．解：设乙每小时做x个零件，甲每小时做（x+6）个零件，根据题意得：＝，解得：x＝12，经检验，x＝12是原方程的解，且符合题意，答：乙每小时做12个零件．4．解：（1）设制作每个乙种边框用x米材料，则制作甲种边框用（1+20%）x米材料，由题意，得﹣1＝，解得：x＝2，经检验x＝2是原方程的解，∴（1+20%）x＝2.4（米），答：制作每个甲种用2.4米材料；制作每个乙种用2米材料．（2）设应安排制作甲种边框需要a米，则安排制作乙种边框需要（640﹣a）米，由题意，得≥×2．解得a≤240，答：最多安排240米材料制作甲种边框．5．解：（1）设A商品的单价为x元，B商品的单价为y元，依题意，得：，解得：．答：A商品的单价是16元，B商品的单价是4元．（2）设对A、B两款商品进行了a折销售，依题意，得：﹣＝20，解得：a＝8．答：对A、B两款商品进行了8折销售．（3）设顾客购买A商品m件，B商品n件，依题意，得：16×0.5m+4×0.8n＝49.6，∴m＝．又∵m，n都为正整数，∴，，．∴共有三种购买方案，方案1：购买A商品1件，B商品13件；方案2：购买A商品3件，B商品8件；方案3：购买A商品5件，B商品3件．6．解：（1）设该企业购买x条N95口罩生产线，则购买购买（10﹣x）条平面口罩生产线，依题意，得：2×100x≤100（10﹣x），解得：x≤．又∵x为正整数，∴x的最大值为3．答：该企业最多可购买3条N95口罩生产线．（2）设一条N95口罩生产线每小时生产m只口罩，则一条平面口罩生产线每小时生产（m+4200）只口罩，依题意，得：＝，解得：m＝3000，经检验，m＝3000是原方程的解，且符合题意，∴m+4200＝7200，∴[3000×3+7200×（10﹣3）]×8＝475200（只）．答：该企业每天可以生产N95口罩和平面口罩的总和为475200只．7．解：（1）设甲每天加工服装x件，则乙每天加工服装（x+1）件，依题意，得：＝，解得：x＝5，经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意．答：甲每天加工服装5件．（2）依题意，得：10m+10km＝200，∴m＝．∵20＞0，1+k＞0，∴m随k值的增大而减小，∴当k＝1.5时，m取得最大值，最大值＝＝8．答：m的最大值为8．8．解：设B型机器人每小时搬运xkg原料，则A型机器人每小时搬运（x+20）kg原料，依题意，得：＝，解得：x＝100，经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意，∴x+20＝120．答：A型机器人每小时搬运120kg原料，B型机器人每小时搬运100kg原料．9．解：设第一批购进的消毒液的单价为x元，则第二批购进的消毒液的单价为（x﹣2）元，依题意，得：＝，解得：x＝10，经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意．答：第一批购进的消毒液的单价为10元．10．解：（1）设今年这种产品每件售价是x元，则去年同期这种产品每件售价是（x+1000）元．依题意可得：＝，解得x＝4000，经检验x＝4000是原方程的解．答：今年这种产品每件售价是4000元．（2）设购进甲产品a件，则购进乙产品（15﹣a）件，依题意可得：，解得，8≤a≤10，∵a是整数，∴a＝8，9，10，所以共有3种进货方案：方案①：购进甲产品8件，购进乙产品7件；方案②：购进甲产品9件，购进乙产品6件；方案③：购进甲产品10件，购进乙产品5件．方案①利润：（4000﹣3500）×8+（3600﹣3000）×7＝8200（元）；方案②利润：（4000﹣3500）×9+（3600﹣3000）×6＝8100（元）；方案①利润：（4000﹣3500）×10+（3600﹣3000）×5＝8000（元）；∵8200＞8100＞8000，∴方案①的利润更高．。
分式方程及其应用课件
04
分式方程的练习题及解答
分式方程的练习题
总结词：巩固提高
练习题2：某种植物生长速度很快，已知它1天前的高 度，求现在的高度。
练习题1：小明打篮球，每场得分相同，已知他1场比 赛得分，求他打了多少场。
练习题3：已知一个矩形的面积和长，求宽。
分式方程的解答
总结词：解题技巧
解答1：通过观察， 发现分母可以约掉， 化简得分式方程即可 。
03
分式方程的注意事项
解分式方程的步骤
整理方程
将方程化为最简形式，以便后 续步骤。
确定根
通过交叉相乘等方法，确定方程 的根。
验根
通过代入法，验证方程的根是否正 确。
分式方程的局限性
适用范围有限
分式方程适用于可以化成分母 中带有未知数的形式的问题， 但有些问题可能无法使用分式
方程求解。
解法有限
分式方程的解法有限，常用的 只有几种，如部分分式、对数
超越分式方程：分母是超越式的分式方 程，如 $\frac{x}{e^x}$
分式方程的解法
约分法：将方程中的因子约掉， 化简方程
图象法：画出方程中变量的图象 ，通过交点求解方程
分式方程的求解方法包括以下几 种
换元法：引入新的变量，将方程 转化为容易求解的形式
逐步迭代法：通过逐步迭代，逼 近方程的解
02
2023
分式方程及其应用课件
目录
• 分式方程的基本概念 • 分式方程的应用 • 分式方程的注意事项 • 分式方程的练习题及解答 • 分式方程的应用实例
01
分式方程的基本概念
分式方程的定义
1
分式方程是一种描述两个变量之间关系的数学 模型
2
它的一般形式为 $f(x) = \frac{B}{A}$，其中A 和B是两个整式
分式方程的应用
分式方程可以用来解决各种实际问题，如速度、时间和距离问题、溶液混合问题 、经济问题等。通过建立数学模型，将实际问题转化为分式方程，可以方便地求 解并得到实际问题的答案。
02
分式方程在物理中的应用
速度、距离和时间的关系
总结词
分式方程在物理中的速度、距离和时间关系问题中有着广泛的应用，通过建立分式方程，可以求解出物体的运动 速度、距离和时间的关系。
市场营销策略。
05
分式方程在日常生活中的应用
交通流量问题
总结词
分式方程在交通流量问题中有着广泛的应用，可以用来 描述和分析道路、铁路、航空等交通方式的流量和运输 情况。
详细描述
在交通流量问题中，分式方程可以用来描述不同交通工 具之间的速度、时间和距离关系，以及交通流量的变化 规律。例如，在高速公路上，可以使用分式方程来描述 汽车的速度、加速度和刹车距离之间的关系，从而词
分式方程在资源分配问题中也有着重要的应用，可以 用来描述和分析如何合理地分配有限的资源。
详细描述
在资源分配问题中，分式方程可以用来描述资源的分配 比例和优先级，以及如何平衡不同利益相关方的需求和 利益。例如，在医疗资源分配中，可以使用分式方程来 描述如何根据患者的病情和医生的建议来合理地分配医 疗资源和医疗费用。
详细描述
重力加速度是物体在地球表面附近自由下落的加速度，其大小约为9.8m/s²。通过建立分式方程，我 们可以表示出物体下落过程中的加速度与时间的关系，进而求解出物体下落的高度和时间。
电学中的欧姆定律
总结词
欧姆定律是电学中的一个基本定律，通 过建立分式方程，可以求解出电路中的 电流、电压和电阻之间的关系。
VS
详细描述
欧姆定律指出，在同一电路中，电流与电 压成正比，与电阻成反比。通过建立分式 方程，我们可以表示出电路中的电流、电 压和电阻之间的关系，进而求解出电路中 的电流和电压。这对于分析电路的工作原 理和解决实际问题具有重要的意义。
分式方程的应用
方程的复杂性
挑战
分式方程可能具有复杂的表达式和多个未知 数，增加了解决的难度。
解决方案
使用符号计算软件或编程语言来求解复杂的 分式方程，或者将其化简为更简单的形式， 例如通过部分分式展开或变量替换。
数据的可靠性
挑战
分式方程中的数据可能不可靠或存在误差， 例如由于实验或测量引起的误差。
分式方程理论在其他学科中的应用 将进一步拓展，如物理学、生物学 、经济学等。
符号计算的发展
随着符号计算技术的发展，分式方 程的符号求解将更加精确和高效。
分式方程在新技术中的应用前景
01
02
03
人工智能
在人工智能领域，分式方 程将在模型训练、优化问 题、图像处理等方面发挥 重要作用。
大数据技术
在处理大量数据时，分式 方程将为数据分析提供有 效的工具，帮助挖掘数据 背后的规律和趋势。
概念
分式方程表示一个数或变量与另 一个数或变量之间的关系，其结 果是一个分数。
分式方程的解法
方法
解决分式方程的方法包括约分、通分 、交叉相乘和去分母等。
步骤
首先对分式方程进行约分或通分，然 后交叉相乘或去分母，最后将得到的 解代入原方程进行验证。
分式方程的分类
分类
分式方程可以根据其形式和特 点分为简单分式方程、可约分 式方程、不可约分式方程等。
03
分式方程在科学中的应用
物理中的力学问题
牛顿第二定律
分式方程在力学中经常用于描述物体的加速度与作用力之间的关系。例如，一个物体从静止开始下落 ，受到重力和空气阻力作用，那么物体下落的加速度与作用力之间的关系就可以用分式方程来表示。
弹性碰撞
在力学中，分式方程还可以用来描述两个物体的弹性碰撞过程。例如，两个小球发生弹性碰撞，碰撞 前后的速度和时间之间的关系就可以用分式方程来表示。
分式方程的实际应用课件2021-2022学年人教版数学八年级上册
60
90
+6
=
60
归纳新知
列分
式方
程解
决实
际问
题
能根据实际问题找出等量关系并
列出正确的分式方程
一审
二设
步骤
三列
四解
五验
六答
课后练习
3x
m
1.【2020·齐齐哈尔】若关于 x 的分式方程x－2＝2－x＋5
的解为正数，则 m 的取值范围为( D )
A．m＜－10
B．m≤－10
C．m≥－10 且 m≠－6
1
分析：甲队1个月完成总工程的 3 ，设乙队单独施工一
1
个月能完成总工程的 ，那么甲队半个月完成总工程的
x
1
1
___，乙队半个月完成总工程的____，两队半个月完成
2x
6
1 1
总工程的_____.
6 2x
1
x
解：设乙队单独施工1个月能完成总工程的 ，记总工
程量为1，
1 1 1
根据工程的实际进度，得 1 .
人教版 数学 八年级上册
第十五章
分式
第3节 分式方程
第3课时 分式方程的实际应用
复习旧知
解分式方程的一般步骤
去分母，方程两边同乘最简公分母，把
一去
分式方程转化为整式方程.
二解
三验
四写
解这个整式方程.
将整式方程的解代入最简公分母，如果
最简公分母的值不为0，则整式方程的解
是原分式方程的解；否则，这个解不是
知量、未知量；
设：设出恰当的未知数，注意单位和语言的完整性；
列：根据题中的相等关系，正确列出分式方程；
第6讲 分式方程及其应用
经检验,x=40 是分式方程的根.
∴B 采样点送检车的平均速度为 40×1.5=60(km/h),
∴B 采样点送检车的行驶时间为 45÷60=0.75(h).
∵3.2+0.75=3.95<4,∴B 采样点采集的样本不会失效.
1.(2021 恩施)分式方程
A.x=1
C.x=
+1=
-
的解是( D )
A.x=
B.x=
C.x=
D.x=
[变式 2](2021 连云港)解方程:
+
(x+1)2-4=(x+1)(x-1),
整理,得2x-2=0,解得x=1.
检验:当x=1时,(x+1)(x-1)=0,
∴原方程无解.
=1.
- -
解:方程两边同乘(x+1)(x-1),得
∴x=1是增根,应舍去.
-
8.(2021 潍坊)若 x<2,且
0
+|x-2|+x-1=0,则 x=
-
.
1 .
9.(2021 东营)某地积极响应“把绿水青山变成金山银山,用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念,开展
荒山绿化,打造美好家园,促进旅游发展.某工程队承接了 90 万平方米的荒山绿化任务,为了迎接雨
季的到来,实际工作时每天的工作效率比原计划提高了 25%,结果提前 30 天完成了任务.设原计划每
1.(2022 方城期中)给出下列方程:
-
+
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分式方程及其应用
分式方程及其应用一、分式方程的基本解法：1．分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫作分式方程．2．可化为一元一次方程的分式方程的解法：（1）解分式方程的基本思想是：把分式方程转化为整式方程．（2）解可化为一元一次方程的分式方程的一般方法和步骤：①去分母，即在方程的两边同时乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；②解这个整式方程；③验根：把整式方程的根代入最简公分母中，使最简公分母不等于零的值是原方程的根；使最简公分母等于零的值是原方程的增根．注意：（1）增根能使最简公分母等于0；（2）增根是去分母后所得整式方程的根．3．解分式方程产生增根的原因：增根的产生是在解分式方程的第一步“去分母”时造成的，根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得的方程是原方程的同解方程，如果方程的两边都乘以的数是0 ，那么所得的方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根．【例1】解下列分式方程：（1）131x x+=-（2）31244xx x-+=--（3）21122xx x=---（4）11222xx x-=---（5）212xx x+=+（6）2216124xx x--=+-【例2】（1）若关于x 的方程1233mx x=+--有增根，则m =________．（2）解关于x 的方程2224222x a a x x+-=--会产生增根，则a 的值是________．（3）若关于x 的分式方程11044a xx x---=--无解，则a 的值为________．（4）若关于x 的分式方程2111m x x+=--的解为整数，则m 的取值范围是________．（5）若关于x 的分式方程311x a x x--=-无解，则a =________．二、巧解分式方程： 【例3】（1）111141086x x x x +=+---- （2）2263503x x x x-++=-（3）()()()()()1111111220212022x x x x x x x +++=------…（4）方程222313x x x x-+=-中，如设23y x x =-，原方程可化为整式方程：________．【拓1】观察下列方程及其解的特征：①12x x+=的解为121x x ==； ②152x x +=的解为12x =，212x =；③1103x x +=的解为13x =，213x =；…… 解答下列问题： ①请猜想：方程1265x x +=的解为________； ②请猜想：关于x 的方程1x x +=________的解为1x a =，21x a=（0a ≠）； ③上题中的结论可以证明是正确的，请用该结论来解方程：315132x x x x -+=-．【拓2】24111181111x x x x +++=-+++．三、分式方程的应用：【例4】（20宝应模拟）十堰即将跨入高铁时代，钢轨铺设任务也将完成．现还有6000米的钢轨需要铺设，为确保年底通车，如果实际施工时每天比原计划多铺设20米，就能提前15天完成任务．设原计划每天铺设钢轨x 米，则根据题意所列的方程是（ ） A ．600060001520x x -=+ B ．600060001520x x -=+ C ．600060002015x x -=- D ．600060002015x x-=-【拓3】某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问原计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设原计划每天加工x 套，则根据题意可得方程为（ ） A ．()16040018120%x x +=+ B ．()16040016018120%x x -+=+ C ．1604001601820%x x -+= D ．()40040016018120%x x-+=+【例5】一辆汽车开往距离出发地180千米的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度行驶，一小时后加速为原来的1.5倍，并比原计划提前40分钟到达目的地，求前一小 时的平均速度．【拓4】有一段6000米的道路由甲乙两个工程队负责完成．已知甲工程队每天完成的工作量是乙工程队每天完成工作量的2倍，且甲工程队单独完成此项工程比乙工程队单独 完成此项工程少用10天．（1）求甲、乙两工程队每天各完成多少米？（2）如果甲工程队每天需工程费7000元，乙工程队每天需工程费5000元，若甲队 先单独工作若干天，再由甲乙两工程队合作完成剩余的任务，支付工程队总费用不超 过79000元，则两工程队最多可以合作施工多少天？四、真题演练：1．（21扬州三模）若关于x 的分式方程21mx x=-有正整数解，则整数m 的值是（ ） A ．3 B ．5 C ．3或5 D ．3或42．（19仪征期中）定义：如果一个关于x 的分式方程a b x=的解等于1a b -，我们就说这个方程叫差解方程．比如：243x =就是个差解方程．如果关于x 的分式方程2mm x =-是一个差解方程，那么m 的值是（ ） A ．2 B ．12 C ．12- D ．2-3．（20邗江月考）扬州轨道交通线网规划2020年由4条线路组成，其中1号线一期工程全长30千米，预计运行后的平均速度是原来乘公交车的1.5倍，行驶时间则缩短半小时．设原来公交车的平均速度为x 千米/时，则下列方程正确的是（ ） A ．30301.50.5x x +=B ．30301.50.5x x -= C ．30300.5 1.5x x +=D ．30300.5 1.5x x-=4．（21高邮期末）如果关于x 的不等式组521113()22m x x x -≥⎧⎪⎨-<+⎪⎩有且仅有四个整数解，且关于y的分式方程28122my y y --=--有非负数解，则符合条件的所有整数m 的和是（ ） A ．13 B ．15 C ．20 D ．225．（21仪征期末）若关于x 的分式方程312mx -=+的解为负数，则m 的取值范围为________．6．（21邗江期末）关于x 的方程1122m x x-=--有增根，则m 的值为________．7．（19宝应月考）若关于x 的分式方程21011m x x -=-+无解，则m =________．8．（18高邮期中）已知关于x 的分式方程111x k kx x +-=+-的解为负数，则k 的取值范围是________．9．（19江都期中）若关于x 的方程4122ax x x =+--无解，则a 的值是________．10．（20广陵期中）要使方程121x x a=--有正数解，则a 的取值范围是________．11．（21仪征期末）若关于x 的分式方程12221(2)(1)x x x ax x x x --+-=-+-+的解为负数，则a 的取值范围是________．12．（19邗江月考）对于非零实数a 、b ，规定21a ab b a⊗=-．若(21)1x x ⊗-=，则x 的值为________．13．（20仪征期中）对于两个不相等的实数a 、b ，我们规定{in }m h a b 、表示a 、b 中较小的数的一半，如min 2{}31h =、，那么方程22{i }m n h x x xx=-+、的解为________．14．（20仪征期中）定义运算“※”： , , aa b a ba b b a b b a⎧>⎪⎪-=⎨⎪<⎪-⎩※，若52x =※，则x 的值为________．15．（20仪征期中）若32248168224816321111111a x x x x x x x =+++++--+++++，则a 的值是________．16．（2021·扬州）为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了20%，现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天．问：原先每天生产多少万剂疫苗？17．（20邗江月考）疫情防控形势下，人们在外出时都应戴上口罩以保护自己免受新型冠状病毒感染．某药店用4000元购进若干包次性医用口罩，很快售完，该店又用7500元钱购进第二批这种口罩，所进的包数比第一批多50%，每包口罩的进价比第一批每包口罩的进价多0.5元，请解答下列问题： （1）求购进的第一批医用口罩有多少包？（2）政府采取措施，在这两批医用口罩的销售中，售价保持了一致，若售完这两批口罩的总利润不高于3500元钱，那么药店销售该口罩每包的最高售价是多少元？18．（21邗江期末）对于两个不等的非零实数a ，b ，若分式()()x a x b x--的值为0，则x a =或x b =．因为2()()()()x a x b x a b x ab abx a b x x x---++==+-+，所以关于x 的方程abx a b x+=+的两个解分别为1x a =，2x b =．利用上面建构的模型，解决下列问题： （1）若方程px q x+=的两个解分别为11x =-，24x =．则p =________，q =________；（2）已知关于x 的方程222221n n x n x +-+=+两个解分别为1x ，2x （12x x <）．求12223x x -的值．19．（21高邮期末）八年级学生去距学校12km 的珠湖小镇游玩，一部分学生骑自行车先走，其余学生20min 后乘汽车出发，结果他们同时到达、已知汽车的速度是骑车学生速度的3倍．（1）求骑车学生的速度；（2）游玩中八（4）班班主任为增强班级凝聚力决定让全班学生在户外拓展区参加一次户外拓展活动，班主任根据该项目收费标准支付了1575元，请根据该项目收费信息确定全班人数．户外拓展收费标准：人数 收费 不超过30人 人均收费50元超过30人每增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于40元20．（2020·扬州）如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染． 进货单：商品 进价（元/件）数量（件）总金额（元）甲7200 乙3200李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%． 王师傅：甲商品比乙商品的数量多40件． 请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单．。
高考数学分类研究专题分式方程的应用 试题
2021年高考数学分类研究专题分式方程的应用第1题. (2021 课改)某公司开发消费的1200件新产品需要精加工后才能投放场，现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品．公司派出相关人员分别到这两间工厂理解消费情况，获得如下信息：信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；信息二：乙工厂每天比甲工厂多加工20件．根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？答案：解：设甲工厂每天能加工x 件新产品，那么乙工厂每天能加工(20)x +件新产品．依题意得方程 120012001020x x -=+． 解得40x =或者60x =-〔不合题意舍去〕，经检验40x =是所列方程的解，2060x ∴+=．答：甲工厂每天能加工40件新产品，乙工厂每天能加工60件新产品．第2题. (2021 大纲)为了完善城交通网络，方便民出行，政府决定修建东宝山交通隧道．现要使工程提早3个月完成，需将原定工作效率进步12%，求原方案完成这项工程需用多少个月？答案：解：设原方案完成这项工程需用x 个月，依题意，得11112%3x x x-=-． 化简，得 312%3x =-，解得 28x =． 答：原方案完成这项工程需用28个月．6000元．第二个月商场搞促销活动，将商品的进价进步10%作为销售价，第二个月的销售量比第一个月增加了80件，并且商场第二个月比第一个月多获利400元．问此商品的进价是多少元？商场第二个月一共销售多少件？答案：解：设此商品进价为x 元，根据题意，得：600064008025%10%x x=-； 解之，500x =．经检验之500x =是原方程的根，6400640012810%50010%x ==⨯〔件〕． 答：此商品进价是500元，第二个月一共销售128件．第4题. 〔2021 非课改〕曙光中学方案组织学生观看爱国主义教育影片，包场费1500元；后来实验中学的200名师生也一同观看了影片，商定包场费1500元由两校按人数均摊，这样曙光中学人均比原来少支付2元钱，问曙光中学有多少人观看了影片？答案：解：设曙光中学有x 人观看了影片．根据题意，得150015002200x x =++． 解此方程，得12300500x x ==-，．经检验，12x x ，都是方程的解，但2500x =-不合题意，应舍去．所以，300x =．答：曙光中学有300人观看了影片．第5题. 〔2021 课改〕在HY 新农村建立中，某乡镇决定对一段公路进展改造．这项工程由甲工程队单独做需要40天完成；假如由乙工程队先单独做10天，那么剩下的工程还需要两队合做20天才能完成． 〔1〕求乙工程队单独完成这项工程所需的天数；〔2〕求两队合做完成这项工程所需的天数．答案：〔1〕解：设乙工程队单独完成这项工程需要x 天，根据题意得：101120140x x ⎛⎫++⨯= ⎪⎝⎭解之得：60x = 经检验：60x =是原方程的解．答：乙工程队单独完成这项工程所需的天数为60天．〔2〕解：设两队合做完成这项工程所需的天数为y 天，根据题意得：1114060y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭解之得：24y = 答：两队合做完成这项工程所需的天数为24天．第6题. (2021 非课改〕张栋同学到百货大楼买了两种型号的信封，一共30个，其中买Ａ型号的信封用了1元5角，买Ｂ型号的信封用了1元2角，Ｂ型号的信封每个比Ａ型号的信封廉价2分．两种型号信封的单价各是多少？答案：解：设Ｂ型号的信封的单价为x 分，那么Ａ型号的信封的单价为(2)x +分， 根据题意，得150120302x x+=+． 去分母，整理得2780x x --=．解这个方程，得1281x x ==-，．经检验1281x x ==-，都是原方程的根．但是负数不合题意，舍去．所以210x +=．答：Ａ型号的信封的单价为1角，B 型号的信封的单价为8分．第7题. 〔2021 非课改〕某农场开挖一条长960米的渠道，开工后每天比原方案多挖20米，结果提早4天完成任务，原方案每天挖多少米？解题方案设原方案每天挖x 米，〔I 〕用含x 的代数式表示：开工后实际每天挖 米，完成任务原方案用 天，实际用 天；〔II 〕根据题意，列出相应方程 ；〔III 〕解这个方程，得 ；〔IV 〕检验： ；〔V 〕答：原方案每天挖 米〔用数字答题〕．960960〔II 〕960960420x x -=+； 〔III 〕126080x x ==-，；〔IV 〕126080x x ==-，都是原方程的根，但负数不合题意，所以只取60x =；〔V 〕60．第8题. 〔2021 课改〕甲乙两人加工同一种玩具，甲加工90个玩具所用的时间是与乙加工120个玩具所用的时间是相等．甲乙两人每天一共加工35个玩具．求甲乙两人每天各加工多少个玩具．答案：设甲每天加工x 个玩具，那么乙每天加工()35x -个玩具，由题意得：9012035x x=-， 解得：15x =，经检验：15x =是方程的根．3520x -=．答：甲乙两人每天各加工玩具15个，20个．第9题. 〔2021 课改〕有两块面积一样的小麦试验田，分别收获小麦9000kg 和15000kg ．第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000kg ，假设设第一块试验田每公顷的产量为kg x ，根据题意，可得方程〔 〕 Ａ．9000150003000x x=+ Ｂ．9000150003000x x =- Ｃ．9000150003000x x =+ Ｄ．9000150003000x x =- 答案：Ｃ节、人员安排等因素，决定每天比原方案多栽50棵，最后提早5天完成任务，那么可以列出的分式方程是．答案：15001500550x x-=+第11题. 〔2021 非课改〕为防止城生活污水排入温泉河，需修建一条2400米长的封闭式污水处理管道．为了尽量减少施工对民生活等的影响，实际施工比原方案每天多修10米，结果提早20天完成了任务．实际每天修多少米？设实际每天修x米，那么可列方程为．答案：2400240020 10x x-=-第12题. 〔2021 课改〕某服装厂准备加工300套演出服．在加工60套后，采用了新技术，使每天的工作效率是原来的2倍，结果一共用9天完成任务．求该厂原来每天加工多少套演出服．答案：设服装厂原来每天加工x套演出服．根据题意，得603006092x x-+=．解得20x=．经检验，20x=是原方程的根．答：服装厂原来每天加工20套演出服第13题. 〔2021 非课改〕翻译一份文稿，用某种电脑软件翻译的效率相当于人工翻译的效率的75倍，电脑翻译3300个字的文稿比人工翻译少用2小时28分．求用人工翻译与电脑翻译每分钟各翻译多少个字？答案：解：设人工翻译每分钟翻译x 个字，那么电脑翻译每分钟翻译75x 个字，依题意，得330033002602875x x-=⨯+ ． 解之，得22x =．经检验，22x =是原方程的解．7575221650x ∴=⨯= ，符合题意．答：用人工翻译每分钟翻译22个字，电脑翻译每分钟翻译1 650个字．第14题. 〔2021 课改〕王教师家在商场与之间，离1千米，离商场2千米．一天王教师骑车到商场买奖品后再到，结果比平常步行直接到校迟20分．骑车速度为步行速度的倍，买奖品时间是为10分．求骑车的速度．答案：解：设步行的速度为x 千米/时，那么骑车速度为2.5x 千米/时．这天王教师骑车到校的行程为5km ，比平常步行多用时间是10分．由题意，得51012.560x x-=． 即2116x x-=． 116x ∴=． 6x ∴=．经检验6x =是原方程的根．当6x =时，2.515x =．答：骑车的速度为15千米/时．在纷繁的人群中/牵手走过岁月/就像走过夏季/拥挤的海滩在我居住的江南/已是春暖花开季节/采几片云彩/轻捧一掬清泉/飘送几片绿叶/用我的心/盛着寄给/北国的你不要想摆脱冬季/看/冰雪覆盖的世界/美好的这样完整/如我对你的祝福/完整地这样美好挡也挡不住的春意/像挡也挡不住的/想你的心情/它总在杨柳枝头/泄露我的秘密往事的怀念/爬上琴弦/化作绵绵秋雨/零零落落我诚挚的情怀/如夏日老树下的绿荫/斑斑驳驳虽只是一个小小的祝福/却化做了/夏季夜空/万点星辰中的一颗对你的思念/温暖了/我这些个漫长的/冬日从春到夏,从秋到冬......只要你的帘轻动,就是我的思念在你窗上走过.在那个无花果成熟的季节,我才真正领悟了你不能表达的缄默.我又错过了一个花期/只要你知道无花也是春天/我是你三月芳草地燕子声声里,相思又一年朋友,愿你心中,没有秋寒.一到冬天,就想起/那年我们一起去吃的糖葫芦/那味道又酸又甜/就像......爱情.谢谢你/在我孤独时刻/拜访我这冬日陋室只要有个窗子/就拥有了四季/拥有了世界愿你:俏丽如三春之桃,清素若九秋之菊没有你在身边,我的生活永远是冬天!让我们穿越秋天/一起去领略那收获的喜悦!四季寄语情感寄语在冬天里,心中要装着春天;而在春天,却不能忘记冬天的寒冷.落红不是无情物,化作春泥更护花.愿是只燕,衔着春光,翩翩向你窗.请紧紧把握现在/让我们把一种期翼/或者是一种愿望/种进大地/明春/它就会萌生绿色的叶片.此刻又是久违的秋季/又是你钟爱的季节/于是/秋风秋雨秋云秋月/都化作你的笑颜身影/在我的心底落落起起.此刻已是秋季/你可体验到/收获怀念的感觉/和秋雨一样真实动人.一条柳枝/愿是你生活的主题/常绿常新/在每一个春季雨声蝉鸣叶落风啸/又一个匆匆四季/在这冬末春初/向遥远的你/问安!又是夏季/时常有暴雨雷鸣/此刻/你可以把我当作大雨伞/直至雨过天晴/留给你一个/彩虹的夏季!。
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分式方程的分类应用（详细）欧阳光明（2021.03.07）要点感知 列分式方程解应用题的一般步骤：(1)审清题意；(2)设未知数(要有单位)；(3)根据题目中的数量关系列出式子，找出相等关系，列出方程；(4)解方程，并验根，还要看方程的解是否符合题意；(5)写出答案(要有单位)．预习练习 甲、乙两人同时从A 地出发，骑自行车到B 地，已知AB 两地的距离为30 km ，甲每小时比乙多走3 km ，并且比乙先到40分钟．设乙每小时走x km ，则可列方程为()A.30x －30x －3＝23B.30x －30x ＋3＝23C.30x ＋3－30x ＝23D.30x －3－30x ＝23 题型一：行程问题路程=速度*时间。
列分式方程解决实际问题的变形公式：速度=路程/时间，时间=路程/速度。
例2、某次列车平均提速v km/h ，用相同的时间，列车提速前行驶s km ，提速后比提速前多行驶50 km ，提速前列车的平均速度为多少？分析：这里的字母v ，s 表示已知数据，设提速前列车的平均速度为x km/h ，那么提速前列车行驶s km 所用时间为________h ，提速后列车的平均速度为________km/h ，提速后列车运行(s ＋50)km 所用时间为________h.本题是列含字母系数的分式方程，解这个方程并且检验是难点，在解题过程中注意把s，v当作已知数．等量关系：列方程：1、走完全长3000米的道路，如果速度增加25%，可提前30分到达，那么速度应达到多少？2、从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600Km的普通公路，另一条是全长480Km的告诉公路。
某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45Km，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间。
3、从甲地到乙地的路程是15千米，A骑自行车从甲地到乙地先走，40分钟后，B骑自行车从甲地出发，结果同时到达。
已知B的速度是A的速度的3倍，求两车的速度。
4、假日工人到离厂25千米的浏览区去旅游；一部分人骑自行车，出发1小时20分钟后，其余的人乘汽车出发，结果两部分人同时到达，已知汽车速度是自行车的3倍，求汽车和自行车速度5、我部队到某桥头阻击敌人，出发时敌人离桥头24千米，我部队离桥头30千米，我部队急行军速度是敌人的1.5倍，结果比敌人提前48分钟到达，求我部队的速度。
6、某中学到离学校15千米的某地旅游，先遣队和大队同时出发，行进速度是大队的1.2倍，以便提前半小时到达目的地做准备工作。
求先遣队和大队的速度各是多少？7、我军某部由驻地到距离30千米的地方去执行任务，由于情况发生了变化，急行军速度必需是原计划的1.5倍，才能按要求提前2小时到达，求急行军的速度8、八年级（1）班学生周末乘汽车到游览区游览，游览区到学校120千米，一部分学生乘慢车先行，出发1小时后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达，已知快车速度是慢车的1。
5倍，求慢车的速度9、两地相距360千米，回来时车速比去时提高了50%，因而回来比去时途中时间缩短了2小时，求去时的速度.10、甲、乙两人同时从A 、B 两地相向而行，如果都走1小时，两人之间的距离等于A 、B 两地距离的81；如果甲走32小时，乙走半小时，这样两人之间的距离等于A 、B 间全程的一半，求甲、乙两人各需多少时间走完全程？11、某人骑自行车比步行每小时多走8千米，已知他步行12千米所用时间和骑自行车走36千米所用时间相等，求这个人步行每小时走多少千米？12、某校少先队员到离市区15千米的地方去参加活动，先遣队与大队同时出发，但行进的速度是大队的2.1倍，以便提前半小时到达目的地做准备工作，求先遣队和大队的速度各是多少.13、供电局的电力维修工要到30千米远的郊区进行电力抢修.技术工人骑摩托车先走，15分钟后，抢修车装载着所需材料出发，结果他们同时到达.已知抢修车的速度是摩托车的1.5倍，求这两种车的速度.题型二：水流问题顺水速度＝船的静水速度＋水速；逆水速度＝船的静水速度－水速．1、轮船顺流航行66千米所需时间和逆流航行48千米所需时间相等，已知水流速度每小时3千米，求轮船在静水中的速度。
2、轮船顺水航行80千米所需要的时间和逆水航行60千米所用的时间相同。
已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度。
3、某人沿一条河顺流游泳l米，然后逆流游回出发点，设此人在静水中的游泳速度为xm/s,水流速度为nm/s,求他来回一趟所需的时间t。
4、小芳在一条水流速度是0.01m/s的河中游泳，她在静水中游泳的速度是0.39m/s,而出发点与河边一艘固定小艇间的距离是60m,求她从出发点到小艇来回一趟所需的时间。
5、志勇是小芳的邻居，也喜欢在该河中游泳，他记得有一次出发点与柳树间来回一趟大约用了 2.5min ，假设当时水流的速度是0.015m/s ，而志勇在静水中的游泳速度是0.585m/s ，那么出发点与柳树间的距离大约是多少？6、甲乙两地相距360千米，新修的高叔公路开通后，在甲乙两地间行驶的长途客运车平均车速提高了50%，而从甲到乙的时间缩短 了2小时，求原来的平均速度7、一船自甲地顺流航行至乙地，用5.2小时，再由乙地返航至距甲地尚差2千米处，已用了3小时，若水流速度每小时2千米，求船在静水中的速度.题型三：工程问题工作量=工作效率*工作时间。
列分式方程解决实际问题用它的变形公式：工作效率=工作量/工作时间。
特别地，有时工作总量可以看作整体“1”，这时，工作效率=1/工作时间。
例1、 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的13，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成．哪个队的施工速度快？分析：甲队1个月完成工程的13，设乙队单独施工1个月能完成总工程的1x ，那么甲队半个月完成总工程的________，乙队半个月完成总工程的________，两队半个月完成总工程的________．本题是工程问题，注意基本公式是：工作量＝工时×工效． 等量关系为：列方程：1、某项紧急工程，由于乙没有到达，只好由甲先开工，6小时后完成一半，乙到来后俩人同时进行，1小时完成了后一半，如果设乙单独x 小时可以完成后一半任务，那么x 应满足的方程是什么？2、某运输公司需要装运一批货物，由于机械设备没有到位，只好先用人工装运，6小时后完成一半，后来机械装运和人工同时进行，1小时完成了后一半，如果设单独采用机械装运X 小时可以完成后一半任务，那么应满足的方程是什么 ？3、某车间加工1200个零件，采用新工艺，工效是原来的1.5倍，这样加工同样多的零件就少用10小时，采用新工艺前后每时分别加工多少个零件？4、某人现在平均每天比原计划多加工33个零件，已知现在加工3300个零件所需的时间和原计划加工2310个零件的时间相同，问现在平均每天加工多少个零件。
5、一台甲型拖拉机4天耕完一块地的一半，加一天乙型拖拉机，两台合耕，1天耕完这块地的另一半。
乙型拖拉机单独耕这块地需要几天？6、A做90个零件所需要的时间和B做120个零件所用的时间相同，又知每小时A、B两人共做35个机器零件。
求A、B每小时各做多少个零件。
7、某市为治理污水，需要铺设一段全长3000米的污水输送管道，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30天完成了任务，实际每天铺设多长管道？8、有三堆数量相同的煤，用小卡车独运一堆的天数是大卡车独运一堆天数的一半的3倍.第三堆大小卡车同时运6天，运了这堆煤的一半，求大小卡车单独运一堆煤各要多少天？9、有一工程需在规定日期内完成，如果甲单独工作，刚好能够按期完成；如果乙单独工作，就要超过规定日期3天.现在甲、乙合作2天后，余下的工程由乙单独完成，刚好在规定日期完成，求规定日期是几天？10、某水泵厂在一定天数内生产4000台水泵，工人为支援四化建设，每天比原计划增产%25，可提前10天完成任务，问原计划日产多少台？11、现要装配30台机器，在装配好6台后，采用了新的技术，每天的工作效率提高了一倍，结果共用了3天完成任务。
求原来每天装配的机器数.12、某车间需加工1500个螺丝，改进操作方法后工作效率是原计划的212倍，所以加工完比原计划少用9小时，求原计划和改进操作方法后每小时各加工多少个螺丝？13、打字员甲的工作效率比乙高%25，甲打2000字所用时间比乙打1800字的时间少5分钟，求甲乙二人每分钟各打多少字？题型四：耕地问题1、块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦9000Kg 和15000Kg,已知第一块试验田的每公顷的产量比第二块少3000Kg,分别求这块试验田每公顷的产量。
2、某农场原有水田400公顷，旱田150公顷，为了提高单位面积产量，准备把部分旱田改为水田，改完之后，要求旱田占水田的10%，问应把多少公顷旱田改为水田。
3、某煤矿现在平均每天比原计划多采330吨，已知现在采煤33000吨煤所需的时间和原计划采23100吨煤的时间相同，问现在平均每天采煤多少吨。
4、退耕还林还草是我国西部地区实施的一项重要生态工程，某地规划退耕面积69000公顷，退耕还林与退耕还草的面积比是5：3，设退耕还林的面积是X公顷，那么应满足的分式方程是什么？题型五：盈利问题商品的进价：商店购进商品的价格；商品的标价：商店销售商品时标出的价格；商品的售价：商店售出商品时的实际价格；利润：商店在销售商品时所赚的钱；利润率：商店在销售商品时利润占商品进价的百分率；打折：商店在销售商品时的实际售价占商品标价的百分率。
其次，还要弄清它们之间的关系：商品的售价=商品的标价*商品的打折率；商品的利润=商品的售价-商品的进价；1、一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300枝以上，（不包括300枝），可以按批发价付款，购买300枝以下，（包括300枝）只能按零售价付款。
小明来该店购买铅笔，如果给八年级学生每人购买1枝，那么只能按零售价付款，需用120元，如果购买60枝，那么可以按批发价付款，同样需要120元，（1）这个八年级的学生总数在什么范围内？（2）若按批发价购买6枝与按零售价购买5枝的款相同，那么这个学校八年级学生有多少人（3）这个八年级的学生总数在什么范围内？（4）若按批发价购买6枝与按零售价购买5枝的款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？2、某工厂去年赢利25万元，按计划这笔赢利额应是去、今两年赢利总额的20%，今年的赢利额应是多少？3、某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售，为了不亏本，降价幅度不得超过d%，请用p表示d。