同济 版高等数学 上海应用技术大学 二 高数 工 期末复习

上海应用技术学院2017—2018学年第二学期
高等数学（工）2 A
课程代码: B122012 学分: 5.5 考试时间: 100 分钟 课程序号:
班级： 学号： 姓名:
我已阅读了有关的考试规定和纪律要求，愿意在考试中遵守《考场规则》，如有违反将愿接受相应的处理。

一．单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分），在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内．错选、多选或未选均无分． 1． 设00000
(,)(,)
lim
1x f x x y f x x y x
∆→+∆−−∆=∆，则以下三个论断
（1）
00(,)
1x y f x
∂=∂； （2）00(,)2x f x y '=； （3）00(,)1y f x y '=一定成立的个数是
()．
A ．0 个
B ．1 个
C ．2 个
D ．3 个 2．设(())u f g xyz =，其中f 、g 均可微，则u
x
∂=∂ ()．
A ．(())()f g xyz g xyz ''
B ．(())f g yz ''
C ．(())()f g xyz g xyz yz ''
D ．(())f g xyz yz ''
3．设(,)z z x y =是由方程(,,)0F x y z x y z x y z +−++−−=确定的函数且F 可微，则
z
x
∂=∂ ()．
A ．123123F F F F F F '''−+−'''++
B ．123123F F F F F F '''−+−'''−−−
C ．123123F F F F F F '''++'''−+−
D ． 123123F F F F F F '''−−−'''
−+−
4．设点00(,)x y 为(,)f x y 的驻点，其中f 连续且一阶、二阶连续可偏导，则下列结论正确的是
()．
A ．若00(,)0xx f x y ''<且00(,)0yy f x y ''>，则00(,)f x y 为极大值；
B ．若00(,)0xx f x y ''>且00(,)0yy f x y ''>，则00(,)f x y 为极小值；
C ．若00(,)0xx f x y ''>且00(,)0yy f x y ''<，则00(,)f x y 非极值；
D ．若00(,)0xx f x y ''<且00(,)0yy f x y ''<，则00(,)f x y 非极值；
5．三元函数(,,)xy z
f x y z e
=在点(1,1,1)处的梯度为
(
)．
A ．ei e j ek +−
B ．ei e j ek ++
C ．e
D
6．设D 是由半圆21x y −=与x 轴所围区域，1D 是D 在第一象限的部分，则
232
(sin sin )D
y x x y dxdy +=⎰⎰ ()．
A ．0
B ．1
2
2sin D y x dxdy ⎰⎰
C ．1
32
2
sin D x y dxdy ⎰⎰
D ．1
232
2
(sin sin )D y x x y dxdy +⎰⎰ 7．设Ω是由0x =，0y =，0z =以及231x y z ++=所围成的有界闭区域，且
(,,)f x y z 在Ω上连续，则(,,)f x y z dv Ω
=⎰⎰⎰
()．
A ．111
230
(,,)dy dx f x y z dz ⎰⎰
⎰ B ．
1
121
2300
(,,)x y
dy dx f x y z dz −−⎰⎰
⎰
C ．
1121
230
(,,)x x y
dx dy f x y z dz −−−⎰⎰
⎰
D ．1121230
(,,)x x y
dx ydy f x y z dz −−−⎰⎰
⎰
8．已知3
2
3x
x
du e y dx e y dy =+且(0,0)u e =，则(1,1)u = (
)．
A ．0
B ．e
C ．2e
D ．3e
9．设函数y
z x =，则2z
x y
∂=∂∂
()．
A ．1
(1ln )y x
y x −+ B ．1(ln )y x x y x −+ C ．(1ln )y x y x + D ．(ln )y x x y x +
10．设arctan
1y
z x
=+，则(0,1)dz = ()．
A ．dx dy +
B ．dx dy −
C ．1122dx dy −
+ D ．1122
dx dy +
11．对于函数2222
220(,)00xy
x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩
，则下列结论正确的是
(
)．
A ．在(0,0)处偏导存在 且(0,0)(0,0)0x y f f ''==
B ．在(0,0)处连续
C ．在(0,0)处可微
D ．在(0,0)处偏导连续 12．二元函数2
(,)1f x y x xy =++
()．
A ．有极大值
B ．有极小值
C ．无驻点
D ． 有驻点但无极值 13
．1
220
()dx f x y dy +=⎰
(
)．
A ．1
2
4
0()d f r rdr π
θ⎰⎰
B
．
220
0()d f r rdr π
θ⎰
C ．
1
2
20
()d f r dr πθ⎰
⎰ D ．1
220
()d f r rdr πθ⎰⎰
14．设Ω是由平面0x =，0y =，0z =以及平面1x y z ++=所围成的有界闭区域，且
(,,)f x y z 在Ω上连续，则(,,)f x y z dv Ω
=⎰⎰⎰
()．
A ．111
(,,)dx dy f x y z dz ⎰⎰⎰
B ．
1
11000
(,,)x x y
dx dy f x y z dz −−−⎰⎰
⎰
C ．
1
110
(,,)y
x y dx dy f x y z dz −−−⎰
⎰
⎰ D ．1110
(,,)z
x y
dx ydy f x y z dz −−−⎰⎰
⎰
15．()L
I x y ds =+⎰
其中L 为连接(0,0)及(1,1)二点的直线段，则I = (
)．
A ．0
B ．1
C
D
16． ),2(x
y
y x f z +=，则
=∂∂x z ()． A.),2(),2(21x y y x f x y x y y x f +'++' B ．),2(),2(221x y y x f x y x y y x f +'−+'
C ．),2(),2(2221x y y x f x y x y y x f +'−+'
D ． ),2(),2(2221x y y x f x
y x y y x f +'++'
17．对于二元函数下列结论正确的是
()．
A ．偏导存在一定连续 B. 连续一定偏导存在
C ．可微一定连续 D. 偏导存在一定可微 18. 函数y y x z 22
2
−+=的驻点为
()．
A ．(0,0)
B ．(0,1)
C ．(1,0)
D ． (1,1) 19．⎰⎰
=+x
dy y x f dx 0
221
)(
(
)．
A ．⎰⎰40
1
2
)(π
θdr r f d
B ．
⎰
⎰40
1
2)(π
θrdr r f d
C ．
⎰
⎰
40
cos 10
2
)(πθθdr r f d
D ．
⎰
⎰
40
cos 10
2)(π
θθrdr r f d
20．设Ω是由平面0x =，0y =，0z =以及平面12
=+
+z
y x 所围成的有界闭区域，且(,,)f x y z 在Ω上连续，则(,,)f x y z dv Ω
=⎰⎰⎰
()．
A ．⎰⎰⎰1
02
10
),,(dz z y x f dy dx
B ．
⎰
⎰
⎰
−−−1
)
1(20
10
),,(y x x dz z y x f dy dx C ．
⎰
⎰
⎰−−1
)
1(20
10
),,(y x dz z y x f dy dx D ． ⎰⎰
⎰
−−−10
)
1(20
10
),,(y x y
dz z y x f dy dx
21. 已知dy y ax dx y x )()2(+++为某个二元函数的全微分，则a 等于 ()．
A ．0
B ．
12
C ．1
D ．2
二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分），请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分．
1．设y x
z e =，则2z
x y
∂=
∂∂．
2．曲面2
2
2
3240x y z −++=在点(1,2,1)处的切平面方程为．
3．2x
z e y =在点(1,1)处沿(1,1)到(2,3)的方向导数为
．
4．设D 为y x =，1y =和0x =所围区域，则二重积分
2
y
D
e dxdy =⎰⎰．
5．设L 为从(0,0,0)到(3,4,5)的直线段，则
L
xydx yzdy zxdz ++=
⎰
．
6．曲面22
10x y z +−−=在点(2,1,4)处的切平面方程为
7．u xy =在点(1,2)处沿方向2(
,l =的方向导数为．
8．
221
()x y y x x y dxdy +≤+⎰⎰
=．
9．交换积分次序
1
1
(,)dy f x y dx =
⎰
．
10．设L 为从(0,0,0)到(1,1,1)的直线段，则
L
zdx xdy ydz ++=
⎰
．
11．曲面92
2
2
=++z y x 在点)2,2,1(处的切平面方程为
.
12．2
xy z =在点(1,2)处沿方向2(
,l =的方向导数为 .
13．
dxdy y x y x ⎰⎰≤++1
22)( = .
14．交换积分次序
=
⎰⎰
1
01),(x
dy y x f dx .
15．设L 为从)0,0(到)1,1(的直线段，则⎰
=
L
xds .
三．计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）．
1．设2(,)y
x z x f xy xe y =+，其中f 可微，求
z x ∂∂，z y
∂∂．
2．求二元函数2
2
(,)(2)x
f x y e x y =−的极值．
3
．计算二重积分D
，其中D 是由曲线224x y +=所围成的有界闭区域．
4．(,)z z x y =是由方程22xz
e x z xy =+所确定的隐函数，求
z x ∂∂与z
y
∂∂．
5．计算三重积分22
()x y zdv Ω
+⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面222()z x y =+及平面1z =所围成的有界闭区域．
6．计算曲线积分
(sin(3)cos )(3cos(3)2sin )22
x x
L
x y e y y dx e y x dy −++++⎰，其中L 是由点(,0)A π到点(0,0)O 的曲线段sin y x =．
7．设(,)sin z f x y xy x y =++，其中f 可微，求dz ．
8．(,)z z x y =是由方程2sin(23)23x y z x y z +−=+−所确定的隐函数，求z z
x y
∂∂+∂∂．
9．计算二重积分2
sin D
x dxdy ⎰⎰，其中D 是由直线,0y x x y ===所围成的有界闭区域．
10．计算曲线积分2(22)(5)y
y L
I xe
y dx x e x dy =+++⎰，
其中L 是由点(2,0)A 到点(0,0)O
的曲线段y =．
11．计算三重积分
Ω
，
其中Ω是由圆柱面22
1x y +=及二平面0,1z z ==所围成的有界闭区域．
12．设函数y
x xy z +=，求x z
∂∂，y
x z ∂∂∂2．
13．设(,)z z x y =是由方程02=−++xyz z y x 所确定的隐函数，求dz y
z
x z ,,∂∂∂∂．
14．计算二重积分⎰⎰D
xydxdy 的值，
其中D 是由直线1,,0===x x y y 所围成的有界闭区域．
15．计算曲线积分⎰
−++−L
x
x dy y e dx y y e )2cos ()12sin (的值，其中L 是从点(2,0)A 到
点(0,0)O 的曲线段y =
四．应用与证明题（本大题共2小题，每小题7分，共14分）． 1．求由曲面2
2
2z x y =−−与2
2
2()z x y =+所围成的立体的体积．
2．设()g x 为一元连续函数，证明： （1）
2
1
1
1
2
y x
e dx e dy −=
⎰
⎰； （2）()
2
1
1
100
1
()()()2
x dx g x g y dy g x dx =
⎰⎰⎰．
3．求由三个平面0,0,1x y x y ==+=所围的柱体被二平面0,646z x y z =++=截得的立体的体积．
4．利用极坐标下计算二重积分的方法求出22
x e
dx +∞
−
−∞
⎰
，并计算2
22
x e dx +∞
−−∞
⎰
．
5．求由两曲面z z ==和.（7分）
6.在a z y x =++条件下，求函数xyz u =的最大值，并证明 )(31
3z y x xyz ++≤
. （7分）。