2013年中考数学复习 第三章函数及其图象 第13课 反比例函数及其图象课件

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探究提高
反比例函数表达式中只有一个待定系数，由一对已知对应值 即可确定函数解析式，而一次函数中有两个待定系数，要求出 其系数，需要已知两对对应值．
知能迁移2 已知：如图，正比例函数y＝ax的图象与反比例函 k 数y＝ 的图象交于点A(3,2). x (1)试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数 的值大于正比例函数的值？ (3)M是反比例函数图象上的一动点，其中0<m<3，过点M作直
(1)求反比例函数的解析式；
(2)如果点B为反比例函数在第一象限 图象上的点(点B与点A不重合)，且B
点的横坐标为1，在x轴上求一点P，
使PA＋PB最小.
解：(1)设A点的坐标为(a，b)，则b＝ k ，∴ab＝k. a 1 ab＝1，∴ 1 k＝1，∴k＝2. ∵ 2 2 ∴反比例函数的解析式为y＝ 2 . x 2， y＝ x 得 x＝2, ∴A为(2,1)． (2)由 1 y＝1, y＝ x， 2 ∵B点横坐标为1，∴B(1,2)． 设A点关于x轴的对称点为C，则C点的坐标为(2,－1)． 令直线BC的解析式为y＝mx＋n. m＋n＝2, m＝－3, ∵B为(1,2)，∴ ∴ 2m＋n＝－1, n＝5. ∴BC的解析式为y＝－3x＋5. 当y＝0时，x＝ 5 . ∴P点为( 5 , 0)．
[2分]
[4分]
(2)分两种情况讨论，当点B在点A右侧时，如图1，有：
解①、②组成的方程组，得
(3)OT＝ m2＋n2＝ m－n2＋2mn ＝ t2＋20000 . ∴t＝0时，OT有最小值．∴m－n＝0，m＝n. m＝100， 又mn＝10000，∴ T的坐标为(100,100)． n＝100，
题型四
反比例函数与几何图形的结合
【例4】 (2011· 广州)已知Rt△ABC的斜边AB在平面直角坐标系的x 轴上，点C(1,3)在反比例函数y＝ k 的图象上，且sin∠BAC＝ 3 . x 5 (1)求k的值和边AC的长； (2)求点B的坐标． 解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！ k 解：(1)把C(1,3)代入y＝ 得k＝3. x 设斜边AB上的高为CD，则 CD 3 sin∠BAC＝ ＝ . AC 5 ∵C(1,3)， ∴CD＝3，∴AC＝5.
探究提高 问题中两个变量不是单一的一次函数或反比例函数关系，而 是二者的复合，这类题在函数综合应用中很普遍，注意在实际 问题中提炼出函数模型，往往要加自变量的取值范围．
知能迁移3
如图，奥运圣火抵达某市奥林匹克中心广场后，沿图
中直角坐标系中的一段反比例函数图象传递．动点T(m,n)表示火
炬位置，火炬从离北京路10 m处的M点开始传递，到离北京路 1000 m的N点时传递活动结束．迎圣火临时指挥部设在坐标原点
O(北京路与奥运路的十字路口)，OATB为少先队员鲜花方阵，方
阵始终保持矩形形状且面积恒为10000 m2(路线宽度均不计)． (1)求图中反比例函数的关系式(不需写出自变量的取值范围)；
(2)当鲜花方阵的周长为500 m
时，确定此时火炬的位置(用 坐标表示)；
(3)设t＝m－n，用含t的代数式表示火炬到指挥部的距离；当火
探究提高
一次函数与比例函数的图象的性质取决于系数的值，同样由 图象的性质，反过来也可以确定系数的符号．要熟记函数的性 质并灵活应用这些性质．
知能迁移1
(2011· 聊城)如图，已知一次函数y＝kx＋b的图象交反
比例函数y＝ 4－2m (x>0)图象于点A、B，交x轴于点C. x (1)求m的取值范围； (2)若点A的坐标是(2,－4)，且 BC ＝ 1， AB 3 求m的值和一次函数的解析式．
5．(2011· 杭州)如图，函数y1＝x－1和函数y2＝ 2 的图象相交于 x 点M(2,m)，N(－1,n)，若y1>y2，则x的取值范围是( D ) A．x<－1或0<x<2 B．x<－1或x>2
C．－1<x<0或0<x<2
D．－1<x<0或x>2
解析：当x＝2或－1时，y1＝y2；当－1<x<0或x>2时，y1>y2.
第13课 反比例函数及其图象
要点梳理
y＝ k (k≠0) 1. 概念： 函数叫做反比例函数． x 2. 图象：反比例函数的图象是双曲线，是不与两坐标轴相交的两 条曲线．
3. 性质：
(1)当k>0时，其图象位于 第一、三象限 ，在每个象限内，y随x 的增大而 的增大而 减小 增大 ； ；
(2)当k<0时，其图象位于 第二、四象限 ，在每个象限内，y随x
解析：据题意，k＝1³1＝1>0，双曲线在第一、三象限，选C.
2k－1 3．(2011· 黄石)双曲线y＝ 的图象经过第二、四象限， x 则k的取值范围是( B ) A．k> 1 B. k< 1 2 2 C．k＝ 1 D．不存在 2 1 解析：当2k－1<0，即k< 时，双曲线在第二、四象限． 2
1．(2011· 枣庄)已知反比例函数y＝ 1，下列结论中不正确的 x 是( ) D A．图象经过点(－1,－1) B．图象在第一、三象限 C．当x>1时，0<y<1 D．当x<0时，y随着x的增大而增大 解析：双曲线y＝1 分布于第一、三象限．当x<0时，y随x x 的增大而减小．
2．(2011· 邵阳)已知点(1,1)在反比例函数y＝ k (k为常数，k≠0)的图 x 象上，则这个反比例函数的大致图象是( C )
解：(1)这个反比例函数图象的另一支在第三象限．
∵m－5>0，∴m>5.
(2)∵点A在直线y＝2x上， ∴设点A的坐标为(x0,2x0) (x0>0)，
则点B的坐标为(x0,0)．
∵S△OAB＝4， ∴ 1²x0²2x0＝4，x02＝4，x0＝±2(舍去负值)， 2 ∴点A的坐标为(2,4)． 又∵点A在双曲线y＝m－5上， x m－5 ∴4＝ ，m－5＝8. x ∴反比例函数的解析式为y＝ 8 . x
因为一次函数y＝kx＋b的图象过点A(2,－4)，B(8,－1)， 1 k＝ , 2k＋b＝－4, 所以 解得 2 8k＋b＝－1, b＝－5, 所以一次函数的解析式为y＝x－5.
题型二
待定系数法确定反比例函数解析式 【例2】 (2011· 济宁)如图，正比例函数y＝ 1 x的图象与反比例函数 2 y＝ k (k≠0)在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂 x 足为M，已知△OAM的面积为1.
(3)其图象是关于原点对称的中心对称图形，又是轴对称图形．
4. 应用：如图，点A和点C是反比例函数y＝ k (k≠0)的图象上任意两 x 点，画AB⊥x轴于B，CD⊥y轴于D，则有S△AOB＝S△COD＝ |k|. 2
[难点正本 疑点清源]
1.理解反比例与反比例函数的关系
判断两个变量x、y是否为反比例关系，就是要看两个变量的
3.掌握反比例函数图象的画法及特点，理解比例系数k的几何意义 画出函数图象是研究函数性质的基础．由于反比例函数图象是两 条曲线，一般每条曲线要描5个点(共10个点)，描的点越多，所画 的图象越准确．x的取值一般以0为中心(不包括0)对称地取值，用
描点法画双曲线，要结合图象的特征连线，y轴两侧的点之间不能
解：(1)因反比例函数的图象在第四象限，
所以4－2m＜0，解得m＞2. (2)∵点A(2,－4)在反比例函数图象上， ∴－4＝ 4－2m ，解得m＝6，得y＝ －8 . x x 过点A、B分别作AM⊥OC于点M，BN⊥OC于点N， 所以∠BNC＝∠AMC＝90°. 又因为∠BCN＝∠ACM，所以△BCN∽△ACM，所以 BN ＝BC . AM AC BC ＝1 ，所以 BC ＝ 1 ，即 BN＝ 1 . 因为 AC 4 AM 4 AB 3 因为AM＝4，所以BN＝1，所以点B的纵坐标为－1， 因为点B在反比例函数的图象上，所以当y＝－1时，x＝8， 所以点B的坐标为(8,－1)，
连接． 由于反比例函数的图象是双曲线，双曲线中的两个分支关于原点 对称，分别位于第一、三象限或第二、四象限，因此，对于在双曲 线一个分支上的任意一点都能找到它在另一个分支上的对称点． 由图象可得知比例系数k的几何意义：即过双曲线上任意一点作x 轴、y轴的垂线，所得的矩形面积为 k .
基础自测
4．(2011· 淮安)如图，反比例函数y＝ k 的图象经过点A(－1,－2)． x 则当x＞1时，函数值y的取值范围是( D )
A．y＞1 B．0＜y＜1
C．y＞2
D．0＜y＜2
解析：由题意，得k＝－1³(－2)＝2， 2 ∴y＝ ， x 当x＝1时，y＝2， 当x>1时，观察图象，得0<y<2.
题型分类 深度剖析
题型一 反比例函数图象的确定 【例1】 已知图中的曲线是反比例函数y＝ m－5 (m为常数)图象 x 的一支． (1)这个反比例函数图象的另一支在第几象限？常数m的取值 范围是什么？ (2)若该函数的图象与正比例函数y＝2x的图象在第一象限内的 交点为A，过A点作x轴的垂线，垂足 为B，当△OAB的面积为4时，求点A 的坐标及反比例函数的解析式．
线MB∥x轴，交y轴于点B；过点A
作直线AC∥y轴交x轴于点C，交直 线MB于点D.当四边形OADM的面
积为6时，请判断线段BM与DM的
大小关系，并说明理由．
解：(1)∵直线y＝ax过点A(3,2)，
∴2＝3a，a＝ ，y＝ x. 3 3 k 又∵双曲线y＝ 过点A(3,2)， x k ，k＝6，y＝ 6 . ∴2＝ 3 x (2)当0<x<3时，反比例函数的值大于正比例函数的值．
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题型三
实际背景下的反比例函数的图象