线代试卷 期末

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线性代数期末考试题及答案

线性代数期末考试题及答案

线性代数期末考试题及答案一、选择题1. 下列哪个不是线性代数的基本概念?A. 矩阵B. 向量C. 函数D. 行列式答案:C. 函数2. 矩阵A的转置记作A^T,则(A^T)^T等于A. AB. -AC. A^TD. 2A答案:A. A3. 对于矩阵A和B,满足AB = BA,则称A和B是A. 相似矩阵B. 对角矩阵C. 线性无关D. 对易矩阵答案:D. 对易矩阵4. 行列式的性质中,不能成立的是A. 行列式交换行B. 行列式某一行加上另一行不变C. 行列式等于数乘其中某一行对应的代数余子式的和D. 行列式的某一行的系数乘以另一行不变答案:D. 行列式的某一行的系数乘以另一行不变5. 给定矩阵A = [3, -1; 4, 2],则A的秩为A. 0B. 1C. 2D. 3答案:C. 2二、填空题1. 给定矩阵A = [2, 1; -3, 5],则A的行列式为______答案:132. 设矩阵A的逆矩阵为A^-1,若AA^-1 = I,其中I是单位矩阵,则A的逆矩阵为______答案:I3. 若矩阵的秩为r,且矩阵的阶数为n,若r < n,则该矩阵为______矩阵答案:奇异三、简答题1. 解释什么是线性相关性和线性无关性?答案:若存在不全为零的数k1, k2,...,kn,使得方程组中的向量k1v1 + k2v2 + ... + knvn = 0成立,则称向量组{v1, v2, ..., vn}线性相关;若该方程仅在k1 = k2 = ... = kn = 0时成立,则称向量组{v1, v2, ..., vn}线性无关。

2. 如何判断一个矩阵是对称矩阵?答案:若矩阵A的转置等于自身,即A^T = A,则称矩阵A是对称矩阵。

四、计算题1. 给定矩阵A = [1, 2; 3, 4],求A的逆矩阵。

答案:A的逆矩阵为1/(-2)[4, -2; -3, 1]2. 求向量v = [1, 2, 3]的模长。

线代期末试题及答案解析

线代期末试题及答案解析

线代期末试题及答案解析一、选择题1. 下列哪个矩阵是零阵?A. $\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}$B. $\begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}$C. $\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$D. $\begin{bmatrix}2 & -2 \\ -3 & 3\end{bmatrix}$答案:B解析:零阵是所有元素都为0的方阵,选项B满足此条件。

2. 若矩阵$A$、$B$满足$AB=I$,其中$I$为单位矩阵,则矩阵$B$是矩阵$A$的:A. 逆矩阵B. 转置矩阵C. 相反矩阵D. 对角矩阵答案:A解析:若矩阵$A$的逆矩阵存在,则$A$的逆矩阵为$B$。

3. 下列哪个矩阵是对称矩阵?A. $\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}$B. $\begin{bmatrix}-1 & 2 \\ 2 & -1\end{bmatrix}$C. $\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$D. $\begin{bmatrix}1 & -1 \\ -1 & 1\end{bmatrix}$答案:D解析:对称矩阵是指矩阵的转置等于自身的矩阵,选项D满足此条件。

4. 若矩阵$A$、$B$满足$AB=BA$,则矩阵$A$和$B$是:A. 可逆矩阵B. 特征矩阵C. 对角矩阵D. 可交换矩阵答案:D解析:可交换矩阵是指满足$AB=BA$的矩阵,选项D满足此条件。

5. 若行矩阵$\mathbf{u}$、$\mathbf{v}$满足$\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\mathbf{0}$,其中$\mathbf{0}$为零向量,则下列哪个说法是正确的?A. $\mathbf{u}$和$\mathbf{v}$一定不相等B. $\mathbf{u}$和$\mathbf{v}$一定相等C. $\mathbf{u}$和$\mathbf{v}$可能相等也可能不相等D. 不能确定$\mathbf{u}$和$\mathbf{v}$是否相等答案:C解析:行向量的内积为零意味着两个向量正交,不一定相等,所以选项C是正确的。

期末线代试题及答案

期末线代试题及答案

期末线代试题及答案一、选择题(每题2分,共50分)1. 设A为3阶方阵,满足A^2 = I,则A的行列式的值是多少?A. -1B. 0C. 1D. 2答案:C2. 设向量组V1 = (1, 0, -1),V2 = (2, -1, 3),V3 = (-1, 2, 0),则V1, V2, V3是否线性相关?A. 相关B. 不相关答案:B3. 设向量组V1 = (1, 2, -1),V2 = (2, 1, 3),V3 = (-1, 4, 5),则V1, V2, V3是否线性相关?A. 相关B. 不相关答案:A4. 设A为3阶方阵,满足行列式det(A) = 3,则矩阵B = A^-1的行列式的值是多少?A. -1/3B. 3C. 1/3D. 1答案:C5. 已知矩阵A = [1 2 3, 4 5 6, 7 8 9],则A的秩是多少?A. 2B. 3C. 1D. 0答案:C二、填空题(每题2分,共20分)1. 设A为3阶方阵,满足A^T = 2A,则A的特征值之和是________。

答案:62. 设矩阵A = [1 2 3, 4 5 6, 7 8 9],则A的伴随矩阵的元素之和为________。

答案:03. 设向量组V1 = (1, 0, 1),V2 = (2, 1, 3),V3 = (-1, 0, -2),则V1, V2, V3的秩为________。

答案:24. 设三阶方阵A的特征值为λ1 = 2, λ2 = -1, λ3 = 0,则A的特征值对应的特征向量分别为________。

答案:(2, 0, 1),(0, 1, -1),(1, 1, -1)5. 设矩阵A = [1 2, 3 4],则A的迹为________。

答案:5三、解答题(每题20分,共60分)1. 设A为2阶方阵,满足det(A) = 3,求A的伴随矩阵。

答案:设A = [a b, c d],则伴随矩阵的元素为:A* = [d -b, -c a]所以伴随矩阵为:A* = [d/3 -b/3, -c/3 a/3]2. 已知矩阵A = [1 -1, 2 3],求A的特征值和特征向量。

大学线代期末试题及答案

大学线代期末试题及答案

大学线代期末试题及答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 设A为3阶方阵,且|A|=2,则|2A|等于多少?A. 4B. 8C. 16D. 32答案:B2. 若矩阵A可逆,则下列说法正确的是:A. A的行列式为0B. A的行列式不为0C. A的逆矩阵不存在D. A的逆矩阵是唯一的答案:B3. 向量组α1, α2, α3线性无关,则下列说法正确的是:A. 这三个向量可以构成一个平面B. 这三个向量可以构成一个空间C. 这三个向量可以构成一个直线D. 这三个向量可以构成一个点答案:B4. 设A是n阶方阵,如果A的特征值为λ,则下列说法正确的是:A. λ是A的最小特征值B. λ是A的最大特征值C. λ是A的特征值D. λ不是A的特征值答案:C二、填空题(每题5分,共20分)1. 若矩阵A的秩为2,则矩阵A的行列式|A|等于______。

答案:02. 设向量组α1, α2, α3线性相关,则至少存在不全为零的实数k1, k2, k3使得k1α1 + k2α2 + k3α3 = ______。

答案:03. 若A是3阶方阵,且A的迹等于6,则A的特征值之和等于______。

答案:64. 设向量空间V中有两个子空间U和W,若U与W的交集只包含零向量,则称U和W为______。

答案:互补子空间三、解答题(每题15分,共40分)1. 已知矩阵A=\[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\],求A的逆矩阵。

答案:首先计算A的行列式,|A| = 1*4 - 2*3 = -2。

然后计算A的伴随矩阵,即\[\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1\end{pmatrix}\]。

最后,A的逆矩阵为\[\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}\] / (-2) = \[\begin{pmatrix} -2 & 1 \\1.5 & -0.5 \end{pmatrix}\]。

线性代数期末考试试题及答案

线性代数期末考试试题及答案

线性代数期末考试试题及答案一、选择题(每题2分,共10分)1. 下列矩阵中,哪个是可逆矩阵?A. [1, 2; 3, 4]B. [2, 0; 0, 1]C. [1, 1; 1, 1]D. [0, 0; 0, 0]2. 如果向量v = (3, -2),那么其对应的单位向量是什么?A. (1, -2/3)B. (3/√13, -2/√13)C. (3/√29, -2/√29)D. (3/√10, -2/√10)3. 对于矩阵A,|A|表示其行列式,那么|A| = 0表示:A. A是单位矩阵B. A是零矩阵C. A不是满秩矩阵D. A是可逆矩阵4. 矩阵的特征值是什么?A. 矩阵的对角元素B. 矩阵的迹C. 满足Av = λv的非零向量v对应的λD. 矩阵的行列式5. 下列哪个矩阵是对称矩阵?A. [1, 2; 3, 4]B. [2, 0; 0, 2]C. [1, -1; 1, 1]D. [1, 0; 0, 1]二、填空题(每题3分,共15分)6. 如果矩阵A的秩为1,那么A的零空间的维数是_________。

7. 对于任意非零向量α和β,如果α + β和α - β都是零向量,那么向量α和β_________。

8. 一个向量空间的一组基的向量数量至少是_________。

9. 如果矩阵A是n阶方阵,且A^2 = I(单位矩阵),那么矩阵A是_________矩阵。

10. 对于实数域上的向量空间,任意两个非零向量的标量积是_________的。

三、简答题(每题10分,共20分)11. 解释什么是线性变换,并给出一个线性变换的例子。

12. 证明如果矩阵A和B是可交换的,即AB = BA,那么它们的行列式之积等于各自行列式的乘积,即|AB| = |A||B|。

四、计算题(每题15分,共30分)13. 给定矩阵A = [4, 1; 3, 2],求A的逆矩阵A^-1。

14. 设向量空间V是所有2x2实对称矩阵的集合,证明V是一个向量空间,并找出一组基。

线代期末试题及答案

线代期末试题及答案

线代期末试题及答案一、选择题(每题3分,共30分)1. 在三维向量空间中,以下向量中线性无关的是:A) (1, 0, 0)B) (0, 1, 0)C) (0, 0, 1)D) (1, 1, 1)答案:D2. 设矩阵A = [a b; c d],若行列式det(A) = 0,则以下哪个等式成立?A) ad - bc = 0B) ab - bc = 0C) ac - bd = 0D) ad - bd = 0答案:A3. 给定矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9],则A的逆矩阵为:A) [-1/6 -1/3 1/6; -1/6 2/3 -1/6; 1/6 -1/3 1/6]B) [-1 -2 -3; -4 -5 -6; -7 -8 -9]C) [1/6 1/3 -1/6; 1/6 -2/3 1/6; -1/6 1/3 -1/6]D) [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]答案:A4. 给定矩阵A = [2 0; 0 3],B = [1 2; 3 4],则A与B的乘积为:A) [2 4; 6 8]B) [2 0; 0 3]C) [1 2; 9 12]D) [4 6; 6 12]答案:B5. 给定向量a = (1, 2, 3)和b = (4, 5, 6),则a与b的内积为:A) 32B) 22C) 14D) 6答案:C6. 若向量a = (1, 2, 3),b = (4, -2, 5),c = (3, 1, -2),则以下哪个等式成立?A) a × b = cB) b × c = aC) c × a = bD) a × c = b答案:B7. 给定矩阵A = [1 2; 3 4],则A的特征值为:A) 1, 2B) 2, 3C) 3, 4D) 4, 5答案:A8. 设向量a = (1, 2, 3),b = (4, 5, 6),c = (2, 1, 3),则向量集合{a, b, c}的维数为:A) 1B) 2C) 3D) 4答案:C9. 给定矩阵A = [1 2; 3 4],A的转置矩阵为:A) [1 3; 2 4]B) [4 3; 2 1]C) [1 2; 3 4]D) [3 4; 1 2]答案:A10. 设矩阵A = [2 1; 3 4],则A的伴随矩阵为:A) [4 -1; -3 2]B) [2 -1; 3 4]C) [-4 1; 3 -2]D) [-2 1; -3 -4]答案:A二、计算题(共70分)1. 设矩阵A = [1 2; 3 4],求A的逆矩阵。

线性代数期末考试试题及答案

线性代数期末考试试题及答案

线性代数期末考试试题及答案一、选择题(每题5分,共30分)1. 若矩阵A的秩为r(A),则下列结论正确的是()A. r(A) ≤ n,其中n是矩阵A的列数B. r(A) ≤ m,其中m是矩阵A的行数C. r(A) ≤ min(m, n)D. r(A) = max(m, n)答案:C2. 下列矩阵中,哪一个不是对称矩阵?()A. \(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}\)B. \(\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\)C. \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 &5 \end{pmatrix}\)D. \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 &9 \end{pmatrix}\)答案:D3. 若向量组α1, α2, α3线性无关,则向量组()A. α1 + α2, α2 +α3, α3 + α1 线性无关B. α1 - α2, α2 - α3, α3 - α1 线性无关C. α1 + 2α2, 2α2 + 3α3, 3α3 + α1 线性无关D. α1 + α2 + α3, 2α2 + 3α3, 3α3 + α1 线性无关答案:B4. 设矩阵A是n阶可逆矩阵,则下列结论正确的是()A. A的伴随矩阵A也是可逆矩阵B. A的逆矩阵A-1也是可逆矩阵C. A的转置矩阵AT也是可逆矩阵D. A的n次幂An也是可逆矩阵答案:D5. 若行列式D = |A|的值为0,则下列结论正确的是()A. 方程组Ax = b有唯一解B. 方程组Ax = b无解C. 方程组Ax = 0有非零解D. 方程组Ax = b有无穷多解答案:C6. 若矩阵A是正交矩阵,则下列结论正确的是()A. A的行列式值为1B. A的行列式值为-1C. A的转置矩阵AT等于A的逆矩阵A-1D. A的平方等于单位矩阵E答案:CD二、填空题(每题5分,共30分)7. 若矩阵A的行列式值为3,则矩阵A的伴随矩阵A的行列式值为________。

线性代数期末试题及答案

线性代数期末试题及答案

线性代数期末试题及答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 设矩阵A为3阶方阵,且|A|=2,则|2A|等于:A. 4B. 8C. 16D. 32答案:C2. 若向量α=(1, 2, 3),β=(2, 1, 0),则α·β等于:A. 4B. 5C. 6D. 7答案:B3. 设A为n阶方阵,且A^2=I,则A的行列式|A|等于:A. 1B. -1C. 0D. 2答案:A4. 若矩阵A的秩为2,则矩阵A的行向量线性相关还是线性无关?A. 线性相关B. 线性无关C. 线性独立D. 不能确定答案:A二、填空题(每题5分,共20分)1. 设矩阵B为2阶方阵,且B^2=0,则称矩阵B为______。

答案:幂零矩阵2. 若矩阵A和B可交换,即AB=BA,则称矩阵A和B为______。

答案:可交换矩阵3. 设向量α=(1, 2),β=(3, 4),则向量α和β的夹角的余弦值为______。

答案:3/54. 设矩阵A为3阶方阵,且A的特征值为1, 2, 3,则矩阵A的迹为______。

答案:6三、简答题(每题10分,共30分)1. 简述矩阵的转置矩阵的定义。

答案:矩阵A的转置矩阵记为A^T,其元素满足A^T_{ij}=A_{ji},即A^T的第i行第j列的元素是A的第j行第i列的元素。

2. 什么是线性方程组的齐次解?答案:线性方程组的齐次解是指当方程组的常数项全为零时,方程组的解,通常表示为零向量。

3. 说明矩阵的相似对角化的条件。

答案:矩阵A相似对角化的条件是矩阵A有n个线性无关的特征向量,其中n是矩阵A的阶数。

四、计算题(每题15分,共30分)1. 已知矩阵A=\[\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}\],求矩阵A的行列式。

答案:|A| = 1*4 - 2*3 = -22. 设线性方程组为:\[\begin{matrix} x + 2y - z = 1 \\ 3x - y + 2z = 2 \\ x + y + z = 3 \end{matrix}\]求方程组的解。

线代A期末考试题及答案

线代A期末考试题及答案

线代A期末考试题及答案一、选择题(每题4分,共20分)1. 向量组 \(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n\) 线性无关的充分必要条件是:A. 向量组中任意向量不能由其他向量线性表示B. 向量组中任意向量不能由其他向量线性组合得到C. 向量组中任意向量不能由其他向量线性组合得到,且向量组中向量个数等于空间的维数D. 向量组中向量个数等于空间的维数答案:A2. 矩阵 \(A\) 可逆的充分必要条件是:A. \(A\) 的行列式不为零B. \(A\) 的秩等于其行数C. \(A\) 的秩等于其列数D. \(A\) 的秩等于其行数且等于其列数答案:D3. 对于实对称矩阵 \(A\),下列说法正确的是:A. \(A\) 一定可以对角化B. \(A\) 一定可以正交对角化C. \(A\) 的所有特征值都是实数D. \(A\) 的所有特征值都是正数答案:C4. 矩阵 \(A\) 和 \(B\) 相似的充分必要条件是:A. \(A\) 和 \(B\) 有相同的特征多项式B. \(A\) 和 \(B\) 有相同的特征值C. \(A\) 和 \(B\) 有相同的秩D. \(A\) 和 \(B\) 有相同的迹答案:B5. 矩阵 \(A\) 为正定矩阵的充分必要条件是:A. \(A\) 的所有特征值都大于零B. \(A\) 的所有特征值都大于等于零C. 对于任意非零向量 \(x\),都有 \(x^TAx > 0\)D. 对于任意非零向量 \(x\),都有 \(x^TAx \geq 0\)答案:C二、填空题(每题4分,共20分)6. 若向量 \(\alpha = (1, 2, 3)^T\) 和 \(\beta = (4, 5, 6)^T\),则向量 \(\alpha + \beta\) 等于 \(\boxed{(5, 7, 9)^T}\)。

7. 矩阵 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\)的行列式为 \(\boxed{-2}\)。

线性代数期末考试考核试卷

线性代数期末考试考核试卷
(答题括号:________)
4.以下哪个向量组构成一个基?
A. (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 0)
B. (1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9)
C. (1, 2, 3), (2, 4, 6), (1, 1, 1)
D. (1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)
...
20.(根据实际题目内容填写答案)
二、多选题
1. BCD
2. ABCD
3. ABC
4. AB
5. ABC
...
20.(根据实际题目内容填写答案)
三、填题
1. 1
2.线性无关
3.主
...
10.(根据实际题目内容填写答案)
四、判断题
1. √
2. √
3. √
...
10. ×
五、主观题(参考)
1.向量组线性无关,可以通过计算行列式不为零来证明。一个可以由给定向量组线性表示的向量可以是它们的线性组合,例如\(a\vec{v}_1 + b\vec{v}_2 + c\vec{v}_3\),其中\(a, b, c\)是适当的系数。
D. (1, 1), (1, -1)
(答题括号:________)
5.在求解线性方程组时,以下哪些情况下可以使用高斯消元法?
A.系数矩阵是方阵
B.系数矩阵是非奇异的
C.方程组中方程的个数等于未知数的个数
D.方程组可能有无穷多解
(答题括号:________)
(以下题目类似,省略以节约空间)
6. ...
A.若A为m×n矩阵,则A的转置为n×m矩阵
B.若A为m×n矩阵,则A的转置为m×n矩阵

线性代数期末考试试题及答案

线性代数期末考试试题及答案

线性代数期末考试试题及答案一、选择题(每题2分,共20分)1. 向量空间的基是该空间的一组向量,满足以下哪两个条件?A. 线性无关B. 可以表示空间中的任何向量C. 可以线性组合出空间中的任何向量D. 以上都是2. 矩阵的秩是指:A. 矩阵中非零行的最大数目B. 矩阵中非零列的最大数目C. 矩阵的行向量组的秩D. 矩阵的列向量组的秩3. 线性变换的核是指:A. 变换后为零的向量集合B. 变换后为单位向量的向量集合C. 变换后保持不变的向量集合D. 变换后向量长度为1的向量集合4. 特征值和特征向量是线性变换中的基本概念,特征向量满足以下条件:A. 变换后保持不变B. 变换后与原向量成比例C. 变换后与原向量垂直D. 变换后与原向量正交5. 对于矩阵A,下列哪个矩阵是A的逆矩阵?B. A的伴随矩阵C. A的行列式D. 与A相乘结果为单位矩阵的矩阵6. 行列式的性质不包括:A. 行列式与矩阵的转置相等B. 行列式与矩阵的伴随矩阵无关C. 行列式与矩阵的行(列)交换有关D. 行列式与矩阵的行(列)乘以常数有关7. 线性方程组有唯一解的条件是:A. 方程组的系数矩阵是可逆的B. 方程组的系数矩阵是方阵C. 方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩D. 方程组的系数矩阵的秩等于未知数的个数8. 矩阵的迹是指:A. 矩阵的对角线元素之和B. 矩阵的行向量长度之和C. 矩阵的列向量长度之和D. 矩阵的行列式9. 线性无关的向量组可以作为向量空间的基,其必要条件是:A. 向量组中的向量数量等于向量空间的维数B. 向量组中的向量数量大于向量空间的维数C. 向量组中的向量数量小于向量空间的维数D. 向量组中的向量数量可以任意10. 对于矩阵A,下列哪个矩阵是A的共轭转置?A. A的转置矩阵C. A的伴随矩阵D. A的复共轭矩阵的转置答案:1. D 2. D 3. A 4. B 5. D 6. B 7. D 8. A 9. A 10. D二、填空题(每空2分,共20分)1. 设向量空间V的基为{v1, v2, ..., vn},则向量v可以表示为______ 。

(完整)线性代数 期末测试题及其答案

(完整)线性代数 期末测试题及其答案

线性代数期末考试题一、填空题(将正确答案填在题中横线上。

每小题5分,共25分)1。

若022150131=---x ,则=χ__________. 2.若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足 。

3.已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(,,,满足CB AC =,则A 与B 分别是 阶矩阵. 4.已知矩阵A 为3⨯3的矩阵,且3||=A ,则=|2|A 。

5.n 阶方阵A 满足032=--E A A ,则=-1A 。

二、选择题 (每小题5分,共25分)6.已知二次型3231212322214225x x x x x tx x x x f +-+++=,当t 取何值时,该二次型为正定?( )A.054<<-t B 。

5454<<-t C.540<<t D 。

2154-<<-t7.已知矩阵B A x B A ~,50060321,340430241且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=,求x 的值( )A 。

3B 。

-2 C.5 D.—58.设A 为n 阶可逆矩阵,则下述说法不正确的是( )A 。

0≠AB 。

01≠-A C.n A r =)( D.A 的行向量组线性相关9.过点(0,2,4)且与两平面2312=-=+z y z x 和的交线平行的直线方程为( ) A.14322-=-=-z y x B.24322-=-=z y xC.14322+=+=-z y x D 。

24322+=+=z y x10.已知矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1513A ,其特征值为( )A 。

4,221==λλ B.4,221-=-=λλ C.4,221=-=λλ D.4,221-==λλ三、解答题 (每小题10分,共50分)11。

设,1000110001100011⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2000120031204312C 且矩阵X 满足关系式EX B C T =-)(, 求X 。

线性代数期末考试试题及答案

线性代数期末考试试题及答案

线性代数期末考试试题及答案一、选择题(每题5分,共25分)1.下列哪一个不是线性空间?A. 实数集RB. 矩阵的集合M(n,R)C. 正实数集R+D. 空集答案:C2.下列关于线性变换的叙述,正确的是()A. 线性变换保持向量的长度不变B. 线性变换保持向量的方向不变C. 线性变换保持向量的数量积不变D. 线性变换保持向量的线性组合关系不变答案:D3.若向量组α1,α2,α3线性无关,则向量组()A. 2α1,3α2,4α3 线性相关B. 2α1+3α2,4α3 线性无关C. α1+α2,α2+α3,α3+α1 线性无关D. α1,α1+α2,α1+α2+α3 线性相关答案:C4.设A是3阶矩阵,且|A|=5,则|2A|=()A. 10B. 25C. 50D. 125答案:D5.下列关于线性方程组的叙述,正确的是()A. 如果系数矩阵的秩小于未知数的个数,则方程组一定有解B. 如果系数矩阵的秩等于未知数的个数,则方程组一定有唯一解C. 如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,则方程组一定有解D. 如果系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩,则方程组一定无解答案:C二、填空题(每题5分,共25分)6.若向量组α1,α2,α3线性无关,则其极大线性无关组所含向量的个数为______。

答案:37.设A是3阶矩阵,且|A|=4,则|A的逆矩阵|=______。

答案:1/48.若线性方程组Ax=b有解,则系数矩阵A的秩r(A)与增广矩阵B的秩r(B)满足关系______。

答案:r(A)=r(B)9.设A是n阶对称矩阵,则A的转置矩阵A^T______。

答案:等于A10.线性空间V的维数等于______。

答案:V中极大线性无关组所含向量的个数三、计算题(每题10分,共30分)11.已知向量组α1=(1,2,3),α2=(4,5,6),α3=(7,8,9),判断向量组是否线性相关,并说明理由。

答案:线性相关。

因为α3=α1+α2,所以向量组线性相关。

线代期末试题参考试题及答案

线代期末试题参考试题及答案

x4 =
= 0
0
基础解系为
⎜⎛ − 2⎟⎞
⎜⎛ − 2⎟⎞
ξ1
=
⎜ ⎜
⎜⎜⎝
1 1 0
⎟ ⎟

ξ
2
⎟⎟⎠
=
⎜ ⎜
⎜⎜⎝
1 0 1
⎟ ⎟ ⎟⎟⎠
⎧ ⎨ ⎩
x1 x2
+ −
2x3 + 2x4 x3 − x4 =
=5 −3
⎜⎛ 5 ⎟⎞

x3
=
x4
=
0 ,得一特解:η
=
⎜− 3⎟
⎜ ⎜⎜⎝
0 0
⎟ ⎟⎟⎠
A.如存在数 λ 和向量 α 使 Aα=λα,则 α 是 A 的属于特征值 λ 的特征向量
B.如存在数 λ 和非零向量 α,使(λE-A)α=0,则 λ 是 A 的特征值
C.A 的 2 个不同的特征值可以有同一个特征向量
D.如 λ1,λ2,λ3 是 A 的 3 个互不相同的特征值,α1,α2,α3 依次是 A 的属于 λ1,λ2,
-5-
1 22
2 22
1、
解: D ri − r2 (i = 3,4,
0 , n)
01
22 22 00
1 0 0 r2 − 2r1
0 00 0 00 22 −2 −2 01
n−3 0 0 n−2 22 −2 −2 00
00 0 00 0
n−3 0 0 n−2
= 1× (−2) ×1× 2 × × (n − 3) × (n − 2) = −2(n − 2)!
C. s ≤ r
D. s < r
14. 设 A、B 是 m × n 矩 阵 , 则 ( A. R( A + B) ≤ R( A) ; C. R( A + B) < R( A) + R(B) ;

线性代数期末试题及答案

线性代数期末试题及答案

8.设A 为三阶方阵, 且3=A , 则 12-=A .一、填空题(每小题2分,共20分)1.行列式=-203297302233241.2.设014111112--=D ,则=++333231A A A .3.设 , 231102 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A , 102324171⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=B 则= )( TAB . 4.设052=-+I A A ,则=+-1)2(I A .5.已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100120121A ,*A 是A 的伴随矩阵,则=-1*)(A .6.A 、A 分别为线性方程组b AX =的系数矩阵与增广矩阵,则线性方程组b AX =有解的充分必要条件是 .7.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=30511132a A ,且秩(A )=2,则=a .9.向量组1(1,2,1,1),T α=-,)0,3,0,2(2T=αT )1,4,2,1(3--=α的秩等于 . 10.设21,αα是)3(≥n n 元齐次线性方程组OAX =的基础解系,则=)(A r .二、选择题(每小题2分,共20分)1.已知101yxy x aA =,则A 中元素a 的代数余子式11A 等于( ).A.1- B .1 C .a - D .a2.已知4阶矩阵A 的第三列的元素依次为2,2,3,1-,它们的余子式的值分别为1,1,2,3-,则=A ( ).A .3B .3-C .5D .5-3.B A ,均为n 阶矩阵,且2222)(BAB AB A ++=+,则必有( ).A.B A = B .I A = C .I B = D .BA AB =4.设A 、B 均为n 阶矩阵,满足O AB =,则必有( ).A.0=+B A B .))B r A r ((= C .O A =或O B = D .0=A 或0=B5.设33⨯阶矩阵),,(1γβα=A ,),,(2γβα=B ,其中γβαα,,,21均为3维列向量,若2=A ,1-=B ,则=+B A ( ).A.4 B .4- C .2 D .16.设B AX =为n 个未知数m 个方程的线性方程组,,)(r A r =下列命题中正确的是( ).A .当n m =时,B AX =有唯一解 B .当n r =时,B AX =有唯一解C .当m r =时,B AX =有解D .当n r <时,B AX =有无穷多解7.若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=λ++=+λ+=++λ000321321321x x x x x x x x x 有非零解,则=λ( ).A .1或2B .1或-2C .-1或2D .-1或-28.n 阶矩阵A 的秩r n =的充分必要条件是A 中( ).A.所有的r 阶子式都不等于零 B .所有的1r +阶子式都不等于零 C.有一个r 阶子式不等于零 D .有一个r 阶子式不等于零, 且所有1r +阶子式都等于零9.设向量组,),,1(21T a a =α,),,1(22T b b =αT c c ),,1(23=α,则321,,ααα线性无关的充分必要条件是 ( ).A.c b a ,,全不为0 B .c b a ,,不全为0 C .c b a ,,互不相等 D .c b a ,,不全相等10.已知21,ββ为b AX =的两个不同的解,21,αα为其齐次方程组0A X =基础解系,21,k k 为任意常数,则方程组b AX =的通解可表成( ).A.2)(2121211ββααα-+++k kB .2)(2121211ββααα++-+k k线性代数期末试题答案一、填空题(每小题2分,共20分)1.52.03. ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1031314170 4. )(31I A - 5.1/211/2011/2001/2-⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭6.)()(A r A r =7.6=a8. 38 9.2 10.2-n二、选择题(每小题2分,共20分)1.B2.C3.D4.D5.A6.C7.B8.D9.C 10.B 三、(8分)解:3211324-824823592373(1)373125212412411131D -===-----18361836(1)1313241=-=-=-四、(10分)解:(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=14191269629303212114321011324TAA (2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=--461351341)2(1E A (3) 由XA AX2+=,得A XE A =-)2(A E A X 1)2(--=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=9122692683321011324461351341五、(12分)解:将方程组的增广矩阵A 用初等行变换化为阶梯矩阵:22112411411242110228018211240134(1)(4)00(4)2k k k k k k k k k k k ⎡⎤⎢⎥----⎡⎤⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-→-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎣⎦⎣⎦+-⎢⎥-⎣⎦A所以,⑴ 当1k≠-且4k ≠时,()()3r r ==A A ,此时线性方程组有唯一解.⑵ 当1k =-时,()2=A r ,()3=A r ,此时线性方程组无解.⑶ 当4k=时,()()2==A A r r ,此时线性方程组有无穷多组解.此时,原线性方程组化为132334x x x x =-⎧⎨=-⎩ 因此,原线性方程组的通解为13233334x x x x x x=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩或者写为123034101x x C x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦x (C R)∈六、(10分)解:记向量组4321,,,αααα对应矩阵为A 并化为行阶梯形矩阵为12341223122324130212(,,,)12030013062300002634000A αααα--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-----⎪ ⎪ ⎪ ⎪==→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭所以向量组4321,,,αααα的秩为3且它的一个最大无关组为:123,,ααα或124,,ααα1004101020013000000A -⎛⎫⎪ ⎪- ⎪→⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭41231432αααα=--+ 七、(12分)解:(1).⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------=61826239131039131024511810957245113322311312A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→0000000039131015801为自由未知量。

线性代数期末考试试卷及答案

线性代数期末考试试卷及答案

一、 填空题(每空3分,共15分)1、设A 为n 阶方阵,且3A =,则|3A |= 。

2、设矩阵5678A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则A *= 。

(其中A *是A 的伴随矩阵) 3、已知n 阶矩阵A 满足2A A =,则A 的特征值为 。

4、n 阶方阵A 与对角矩阵相似的充要条件是 。

5、二次型22212312133428f x x x x x x x =-+-+的实对称矩阵为 。

二、选择题(每小题3分,共15分)1、12021k k +≠+的充要条件是( )(A )1k ≠ (B )3k ≠-(C )1k ≠且3k ≠- (D )1k ≠或3k ≠-2、若111221226a a a a =,则121122212020021a a a a --的值为( ) ()A 12 ()B -12 ()C 18 ()D 03、设,A B 都是n 阶方阵,且0AB =,则下列一定成立的是( )()A 0A =或0B = (),B A B 都不可逆 (),C A B 中至少有一个不可逆 ()0D A B += 4、向量组()12,,,2s s ααα≥ 线性相关的充分必要条件是( )()A 12,,,s ααα 中含有零向量。

()B 12,,,s ααα 中有两个向量的对应分量成比例。

()C 12,,,s ααα 中每一个向量都可由其余1s -个向量线性表示。

()D 12,,,s ααα 中至少有一个向量可由其余1s -个向量线性表示。

5、当ad ≠bc 时,1a b c d -⎡⎤⎢⎥⎣⎦=( ) (A )d c b a -⎡⎤⎢⎥-⎣⎦(B )1d b c a ad bc -⎡⎤⎢⎥--⎣⎦(C )1d b c a bc ad ⎡⎤⎢⎥--⎣⎦(D )1d c b a ad bc -⎡⎤⎢⎥--⎣⎦三、(8分)计算行列式411102*********23D -=-四、(11分)求向量组()()()()12342,1,1,1,1,1,7,10,3,1,1,2,8,5,9,11αααα==-=--=的一个最大无关组,并将其余向量用此最大无关组线性表示。

线性代数期末考试题及答案

线性代数期末考试题及答案

线性代数期末考试题及答案一、选择题(每题4分,共20分)1. 设矩阵A为3阶方阵,且|A|=2,则矩阵A的逆矩阵的行列式为:A. 1/2B. 1/4C. 2D. 4答案:B2. 向量α=(1,2,3)和向量β=(4,5,6),则向量α和向量β的点积为:A. 32B. 22C. 14D. 0答案:A3. 设A为3×3矩阵,且A的秩为2,则A的行向量线性相关,下列说法正确的是:A. 正确B. 错误答案:A4. 若A为n阶方阵,且A^2=0,则A的秩为:A. nB. n-1C. 0D. 不确定答案:C5. 设A为3阶方阵,且A的特征值为1,2,3,则矩阵A的迹为:A. 6B. 1C. 2D. 3答案:A二、填空题(每题5分,共30分)1. 设矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\],则矩阵A的转置为\[\begin{bmatrix}1 & 3 \\ 2 & 4\end{bmatrix}\]。

答案:\[\begin{bmatrix}1 & 3 \\ 2 & 4\end{bmatrix}\]2. 设向量α=(2,3),向量β=(4,6),则向量α和向量β共线,其比例系数为2。

答案:23. 若矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 1 \\ 2 & 2\end{bmatrix}\],则矩阵A的行列式为2。

答案:24. 设矩阵B=\[\begin{bmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{bmatrix}\],则矩阵B的逆矩阵为\[\begin{bmatrix}0 & -1 \\ 1 &0\end{bmatrix}\]。

答案:\[\begin{bmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}\]5. 设矩阵C=\[\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 2\end{bmatrix}\],则矩阵C的特征值为1和2。

线代期末考试试题

线代期末考试试题

线代期末考试试题### 线性代数期末考试试题#### 一、选择题(每题2分,共20分)1. 矩阵A的行列式为0,那么矩阵A是:- A. 可逆的- B. 不可逆的- C. 单位矩阵- D. 零矩阵2. 若向量\( \mathbf{v} = (1, 2, 3) \),求\( \mathbf{v} \)的模长:- A. 1- B. 2- C. 3- D. 63. 以下哪个矩阵是对称矩阵?- A. \( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \)- B. \( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \)- C. \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)- D. \( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \)4. 线性变换\( T \)将向量\( \mathbf{v} \)映射到\( \mathbf{v} \)本身,那么\( \mathbf{v} \)是:- A. 零向量- B. 特征向量- C. 单位向量- D. 任意向量5. 矩阵的特征值是:- A. 矩阵的对角线元素- B. 矩阵的行列式- C. 矩阵的迹- D. 满足\( Av = \lambda v \)的\( \lambda \)...(此处省略其他选择题)#### 二、填空题(每空2分,共20分)1. 矩阵\( A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \)的特征多项式是\( \lambda^2 - \_ \_ \_ \)。

2. 若向量\( \mathbf{u} = (4, -1) \)和\( \mathbf{v} = (2, 3) \),则\( \mathbf{u} \)和\( \mathbf{v} \)的点积是\( 4 \times 2 + (-1) \times 3 = \_ \_ \)。

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5. (10’) Suppose that is a linearly independent subset of Rm. Show that the set is also linearly independent. 6. (15’) Let and . Find B. 7. (15’) Let , calculate A100.
Linear Algebra Final Exam (the blanks (3’×6=18’) (1) Let be (4×4) matrices, and det(A)=4, det(B)=1, then det(A+B)= . (2) Let A=, then the eigenvalues of A are . (3) Let be a linearly dependent set of vectors, where . Then the number k is . (4) Let A and B be (n×n) matrices, and A2=A, B2=B, A+B=I, then AB+BA= . (5) Let A and B be (3×3) matrices, and AB=2A+B, where ,then (A-I)-1= ​ . (6) Let . Then the scalar triple product = . 2. Determining the following statement whether it is true(T) or false(F) (2’×6=12’) (1) If A and B are symmetric (n×n) matrices, then AB is also symmetric. ( ) (2) A consistent (3×2) linear system of equations can never have a unique solution. ( ) (3) If u·v =0, then either u =0 or v =0 . ( ) (4) If x is an eigenvector for A, where A is nonsingular, then x is also an eigenvector for A-1. ( ) (5) If A, B, and C are (n×n) matrices such that AB=AC and det(A)≠0, then B=C. ( ) (6) If A is an (n×n) matrix such that det(A)=1, then Adj[Adj(A)]=A. ( ) 3. (15’) Calculate the determinant of the matrix . 4. (15’) Consider the system of equations , determine conditions on k that are necessary and sufficient for the system to be has only solution, infinite solutions, and no solution, and express the solutions by vectors.
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