最新考研数学二试题及答案

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、选择题:18小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合

题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．

指定位置上. (1) 曲线221

x x y x +=-渐近线的条数 ( )

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】C

【考点】函数图形的渐近线 【难易度】★★

【详解】本题涉及到的主要知识点：

（i ）当曲线上一点M 沿曲线无限远离原点时，如果M 到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。

（ii ）渐近线分为水平渐近线（lim ()x f x b →∞

=，b 为常数）、垂直渐近线（0

lim ()x x f x →=∞）和斜

渐近线（lim[()()]0x f x ax b →∞

-+=，,a b 为常数）。

（iii ）注意：如果

（1）()

lim

x f x x

→∞不存在；

（2）()

lim x f x a x

→∞=，但lim[()]x f x ax →∞-不存在，可断定()f x 不存在斜渐近线。

在本题中，函数221

x x y x +=-的间断点只有1x =±.

由于1

lim x y →=∞，故1x =是垂直渐近线.

（而1

1(1)1

lim lim

(1)(1)2

x x x x y x x →-→-+==+-，故1x =-不是渐近线）.

又2

1

1lim lim

11

1x x x y x

→∞→∞+

==-，故1y =是水平渐近线.（无斜渐近线） 综上可知，渐近线的条数是2.故选C. (2) 设函数2()(1)(2)

()x

x

nx f x e e e n =---,其中n 为正整数,则(0)f '= ( )

(A) 1

(1)

(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n -

【答案】A

【考点】导数的概念 【难易度】★★

【详解一】本题涉及到的主要知识点：

0000

0()()()lim

lim

x x f x x f x y

f x x x

→→+-'==. 在本题中，按定义

200()(0)(1)(2)

()

(0)lim lim

0x x nx x x f x f e e e n f x x →→----'==-

1(1)(2)[(1)](1)(1)!n n n -=-⨯-⨯

⨯--=--.故选A.

【详解二】本题涉及到的主要知识点：

()[()()]()()()()f x u x v x u x v x u x v x ''''==+.

在本题中，用乘积求导公式.含因子1x

e -项在0x =为0，故只留下一项.于是

20

(0)[(2)

()]

x x nx x f e e e n ='=--1(1)(2)[(1)](1)(1)!n n n -=-⨯-⨯

⨯--=--

故选（A ）.

(3) 设0(1,2,)n a n >=，123n n S a a a a =+++

+，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的( )

（A ）充分必要条件 （B ）充分非必要条件

（C ）必要非充分条件 （D ）既非充分也非必要条件 【答案】B

【考点】数列极限 【难易度】★★★

【详解】因0(1,2,)n a n >=，所以123n n S a a a a =++++单调上升.

若数列{}n S 有界，则lim n n S →∞

存在，于是

11lim lim()lim lim 0n n n n n n n n n a S S S S --→∞

→∞

→∞

→∞

=-=-=

反之，若数列{}n a 收敛，则数列{}n S 不一定有界.例如，取1n a =(1,2,)n =，则n S n =是无

界的.

因此，数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的充分非必要条件.故选（B ）. (4)设2

0sin (1,2,3)k x K e xdx k π

==⎰I 则有 ( )

(A)123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D)213I I I << 【答案】D

【考点】定积分的基本性质 【难易度】★★★

【详解】本题涉及到的主要知识点： 设a c b <<，则()()()b

c b

a

a

c

f x dx f x dx f x dx =+⎰

⎰⎰.

在本题中，

2

10

sin x I e xdx π

=⎰，2

220

sin x I e xdx π

=⎰，2

330

sin x I e xdx π

=⎰

2

22121sin 0x I I e xdx I I π

π

-=<⇒<⎰，

2

332322sin 0x I I e xdx I I π

π

-=>⇒>⎰，

2

2

2

323312sin sin sin x x x I I e xdx e xdx e xdx π

π

π

π

π

π

-==+⎰⎰⎰

2

2

33()22sin()sin t x e

t dt e xdx π

π

ππ

π

π-=-+⎰⎰22

3()312[]sin 0x x e e xdx I I π

ππ

-=->⇒>⎰

因此213I I I <<.故选D.

（5）设函数(,)f x y 可微，且对任意的,x y 都有

(,)

0f x y x

∂>∂，

(,)0f x y y ∂<∂，则使不等式1122(,)(,)f x y f x y <成立的一个充分条件是( )

（A ）12x x >，12y y < （B ）12x x >，12y y > （C ）12x x <，12y y < （D ）12x x <，12y y > 【答案】D

【考点】多元函数的偏导数；函数单调性的判别 【难易度】★★★

【详解】本题涉及到的主要知识点：

函数单调性的判定法 设函数()y f x =在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导.