心理统计学第三章 集中量数

79
19
0
76
14
-1
73
10
-2
70
7
-3
67
3
-4
64
1
-5
61
1
-6
—
100
—
fX C
fd
194
12
282
15
364
16
704
24
935
22
1394 17 1501 0
1064 -14
730 -20 490 -21
201 -12
64
-5
61
-6
7984 28
解法1：
X f XC f
97 2 943 611 2 3 4 8 11 1
例题3-3 计算中数
组别 81～ 78～ 75～ 72～ 69～ 66～ 63～ 60～
f
向上累加次数
17
71
19
54
14
36
10
22
7
12
3
5
1
2
1
1
71
—
解：
1.确定中数位置N/2 。本例为71，则有35.5 。 2.在累积次数栏中找包含35.5的累积次数并确定中数
所在的组。因为本例累积次数36包含了35.5，所以中 数所在组为75-77。 3.数据时由下向上累加，确定公式中各符号的内容： Lb=74.5，Fb=22，Fmd=14，i=3
7984 79.84 100
解法2：
X AM f d i
n
79 28 3 79.84 100
二、平均数的特点
1.一组变量值的和等于变量的个数与其平均数的乘积，
即 X NX
2.一组变量值的离均差之和等于零，即
X X 0
3.在一组变量值中，每个变量值加上或减去、乘以或 除以常数C，所得的平均数等于原平均数减去或加上， 除以或乘以常数C。
n
10
10
解法2： 先设定一个估计平均数AM=27，求x=Xi—AM的值。
Xi 25 27 28 27 25 29 30 34 32 33 x -2 0 1 0 -2 2 3 7 5 6
xi 2 0 1 0 2 2 3 7 5 6 20
X AM xi 27 20 29
首先分别求每分钟的词汇量30/15=2;30/10=3; 然后带入公式
MH
1 1(1
Байду номын сангаас
1)
2.4
22 3
作业
P75两个例题 P77自学spss计算集中量数 P78 1-6 8
2.缺点：容易受极端数据影响；如果出现模糊不清的 数据，无法使用。
试计算以下两列数据的平均数： 1,1,2,1,3,1,2,1,3 1,1,2,1,3,1,2,1,3,100
请思考
1出现极端数据该怎么处理？ 修剪平均数——截尾平均数，从一组数据中去除一定
百分比（5%）的最大值和最小值，再次计算平均值 2出现模糊数据怎么处理？ 一般用中数代替，描述其集中趋势
位置的那个数，即X（N+1）/2 。 1,2,3,4,5,6,7 若数据个数（N）为偶数时，则中数为居于中间
位置两个数的平均数[XN/2+XN/2+1]/2。 1,2,3,4,5,6,7,8
练习
12, 7, 6,8, 4 2,3,5,8,7,19,15,10
注意：第一步，要排序
2、中数附近有重复数时
（二）计算公式
1、未分组数据计算平均数方法
公式一： X X i N
公式二： X AM x' N
例题3-1
现有一组实验观测数据，25，27，28，27，25，29， 30，34，32，33。计算它们的平均数。
解法1： 根据题意，已知N=10，根据公式：
X X i 25 27 ... 33 290 29
lg Mg lg X i N
三、调和平均数
调和平均数先将各个数据取倒数平均，然后再取倒 数，表示符号为M。主要用于描述速度方面的集中 趋势。
公式：
1
1
N
M H
1(1
1
...
1
)
1
1
1
N X1 X2
XN N
Xi
Xi
课本例题
有学生15分钟学习生词30个，后十分钟学会生词也 是30个。问该生每分钟平均学会多少单词？或平均学 习速度是多少？
者关系如下：Mo=3Md-2M
第三节 其他平均数
一、加权平均数
加权平均数是观测数据（Xi）与其相应权数（W）乘 积的和除以总权数（W1+W2+……+Wn）所得的商， 用符号Mw表示。
权数是指各变量在构成总体中的相对重要性，权数 的大小，由观测者依据一定的理论或实践经验而定。
MW
W1 X1 W2 X 2 Wn X n W1 W2 Wn
注意
在报告平均数的时候需要注意加单位——数字加单位。 书写时，习惯上均数保留的小数位数要比原来测量值 多一位数字。
五、计算和应用平均数的原则
1.同质性原则——同质数据：使用同一个观测手段， 采用相同的观测标准，能反映某一问题的同一方面特 质的数据
比如考试成绩平均数，或者某个团体内的工资水平 2.平均数与个体值相结合的原则 3.平均数与标准差、方差相结合的原则 数据差异大，平均数的代表性就小；反之，其代表性
某学生的心理学成绩，平时为90，期中为80分，该 学科平时、期末分数之比为3:7。试问该生的心理学 成绩是多少？
解：M=[90X3+80X7]/(3+7)=83
二、几何平均数（了解）
公式：
M g N X1 •X 2•X3 • X4...Xi...X N
使用上面公式计算几何平均数时，要开多次方，难于 进行。因此，在计算时常用对数的方法，因而，几何 平均数有时又称对数平均数。对数计算公式如下：
n
10
2.分组数据计算平均数方法
公式一：
X
f XC
f
公式二： X AM
f d i
n
例题3-2 计算下列数据的平均数
组别 96～ 93～ 90～ 87～ 84～ 81～ 78～ 75～ 72～ 69～ 66～ 63～ 60～
XC
f
d
97
2
6
94
3
5
91
4
4
88
8
3
85
11
2
82
17
1
4.把符号各值带入公式
Md
Lb
(
N 2
Fb
fMd
)
i
74.5 (35.5 22) 3 14
77.4
如果是向下累加呢？
请把课后习题第4题进行向下累加，并计算其中数。
中数的优缺点
计算简单，容易理解，概念明了 缺点：不考虑每一个数据，大小不受制于全体数据，
反应不灵活，尤其对极端值反应不敏感；计算时需要 先排序；中数与总数相乘不等于数据总和；不能进一 步代数运算。 注意：出现极端数值时，用中数较好；当次数分布的 两端数据或个别数据不清晰时，用中数；当需要快速 估计一组数据的代表值时，用中数。
Md
Lb
(
N 2
Fb )
fMd
i
Lb为中数所在组区间的精确下限
Fb为该组以下各组的累加次数
N为分组数据的样本容量
i为组距
2.用于由高分组向低分组累积次数时
Md
La
(N 2
Fa ) i
f Md
La为中数所在组区间的精确上限
Fa为该组以上各组的累加次数 N为分组数据的样本容量
i为组距
内容概要
第一节 算数平均数 第二节 中数与众数 第三节 其他集中量数
第一节 算术平均数
一、概念及计算公式（重点掌握） 1.概念 算术平均数 (mean)，是所有观测值（或变量值）的
总和除以总数所得的商。简称平均数、均数或均值。
符号：样本平均数—— X , M（Mean），
总体平均数——μ
大。
练习
P79 5-6（10分钟）
第二节 中数与众数
一、中数 中位数又称中点数，中位数，中值，简称中数，用符
号Md 或Mdn表示，是位于按一定顺序排列的一组数 中央位置的数值。 中数是一种位置量数。 能将数据分成较大的一半和较小的一半。
（一）未分组数据的中数计算
1.中数附近无重复数时 若数据个数（N）为奇数时，中数则为（N+1）/2
Mo 3Md 2X
金氏（W ·I ·King）插补法（了解即可）
MO
Lb
fa
i
fa fb
三、平均数、中数与众数三者之间的关系
1.正态分布
Md Mo X
2.偏态分布
Mo 3Md 2X
平均数小于众数，称为负偏态；平均数大于 众数，称为正偏态。
在偏态分布中，平均数永远位于尾端。 中位数 位于把分布下的面积分成两等份的点上。 报告正态分布时只需报告平均数。 报告偏态分布时应报告平均数和中数。 一般偏态情况下，Md离均数较近，离众数较远，三
例题3-4 计算加权平均数
省区代码 1 2 3 4 5 6 7 8
人数 平均分数
627
98
268
60
400
82
670
96
411
80
314
65
610
96
500
88
3800
665
解：
62798 268 60 50088
MW
3800
330496 86.97 3800
例题3-5 课堂练习
有重复数时，需考虑重复数的影响。
例：求11，11，11，11，13，13，13，17， 17的中 数。
分析：N=9，中间位置为5，第5个数为13。
但是数据中有3个13，需要重新考虑。
有3个13，意味着3个13占了一个单位。
第五位的13 ，中数计算（12.5+12.83） /2=12.665
或者12.5+1/3*1/2=12.666
解：
12.5 12.83 13.16 13.5
12
位置为5
13
位置为6
14
位置为7
如果是偶数呢？
11, 13,11, 17,11, ,1811, 13, 17 , 13 请计算以上数列的中数。
请记住，不管有没有重复数据，第一步是排序
（二）分组数据的计算
1.用于由低分组向高分组累积次数时
以1,2,3,4,5,6这组数据为例，对上述平均数 的性质进行说明。
三、平均数的意义
1.平均数是应用最普遍的一种集中量数； 2.是真值渐进、最佳的估计值； 3.当观测次数无限增加时，算术平均数趋近于真值。
四、平均数的优缺点
1.优点：反应灵敏；计算严密；计算简单；简明容易 理解；适合进一步代数运算、较少受抽样变动的影响。
练习
下列数据，采用哪种集中趋势较好 1,2,3,4,5,6,7,100 1,2,3,4,5,6,7,8 做练习p78 第3题
二、众数
1.含义： 众数（Mode）是指一群数据中出现次数最多的那个数
值，又称范数，用符号MO表示。 观察下列数据：
X 2 2 4 34 2 2 2 2 Y 5 4 4 54 5 5 4 5
2.众数的计算 （1）直接观察法 未分组数据——次数最多的数值 次数分布表——次数最多一组的组中值
例题3-3 计算众数
组别 81～ 78～ 75～ 72～ 69～ 66～ 63～ 60～
f
向上累加次数
17
71
19
54
14
36
10
22
7
12
3
5
1
2
1
1
71
—
（2）公式计算法 皮尔逊经验公式（需要记住）