2019年数值分析第二学期期末考试试题与答案A

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数值分析期末考试题

数值分析期末考试题一、选择题1. 在数值分析中，用于求解线性方程组的雅可比方法属于以下哪种迭代法？A. 直接迭代法B. 间接迭代法C. 外推法D. 松弛法2. 插值法中，拉格朗日插值多项式的主要特点是？A. 适用于多项式插值B. 适用于函数值已知的情况C. 只适用于单点插值D. 适用于分段插值3. 在数值积分中，辛普森法则是一种？A. 单区间求积公式B. 双区间求积公式C. 三区间求积公式D. 多区间求积公式4. 误差分析中，截断误差通常与以下哪个概念相关？A. 舍入误差B. 舍入误差的补偿C. 条件数D. 病态条件5. 非线性方程求解中，牛顿法的收敛速度通常？A. 较慢B. 较快C. 与初始值有关D. 与方程的性质有关二、填空题1. 在求解三对角线性方程组时，托马斯算法是一种________方法。

2. 多项式插值中，牛顿插值多项式可以通过________法来构建。

3. 数值积分中，高斯求积法是一种________方法。

4. 误差传递的估计通常通过________公式来进行。

5. 非线性方程的求解中，二分法是一种________方法。

三、简答题1. 请简述数值分析中的条件数概念及其在解方程中的应用。

2. 描述线性方程组迭代法中的收敛性判断方法，并给出收敛域的计算公式。

3. 解释插值和拟合的区别，并举例说明各自的应用场景。

4. 阐述数值积分中梯形法则的原理及其误差估计方法。

5. 讨论非线性方程求解中不动点理论和收敛性的关系。

四、计算题1. 给定线性方程组如下，请使用高斯消元法求解未知数x、y、z的值： \[\begin{cases}2x + y + z = 6 \\x + 3y + 2z = 11 \\3x + y + 4z = 17\end{cases}\]2. 假设有一个函数f(x) = sin(x)，给定插值节点如下，请使用拉格朗日插值法构造一个三次插值多项式，并计算在x=π/4处的插值误差。

《数值分析》A卷期末考试试题及参考答案

一、单项选择题(每小题3分，共15分) 1、用Simpson 公式求积分1401x dx +⎰的近似值为 ( ).A.2924 B.2429C.65D. 562、已知(1)0.401f =，且用梯形公式计算积分2()f x dx ⎰的近似值10.864T =，若将区间[0,2]二等分，则用递推公式计算近似值2T 等于( ). A.0.824 B.0.401 C.0.864 D. 0.8333、设3()32=+f x x ,则差商0123[,,,]f x x x x 等于( ).A.0B.9C.3D. 64的近似值的绝对误差小于0.01%，要取多少位有效数字( ). A.3 B.4 C.5 D. 25、用二分法求方程()0=f x 在区间[1,2]上的一个实根，若要求准确到小数点后第四位，则至少二分区间多少次( ).A.12B.13C.14D. 15二、填空题(每小题4分，共40分)1、对于迭代函数2()=(3)ϕ+-x x a x ，要使迭代公式1=()ϕ+k k x x则a 的取值范围为 .2、假设按四舍五入的近似值为2.312，则该近似值的绝对误差限为 .3、迭代公式212(3)=,03++>+k k k k x x a x a x a收敛于α= (0)α>. 4、解方程4()530f x x x =+-=的牛顿迭代公式为 . 5、设()f x 在[1,1]-上具有2阶连续导数，[1,1]x ∀∈-，有1()2f x ''≤，则()f x 在[1,1]-上的线性插值函数1()L x 在点0处的误差限1(0)R ≤______.6、求解微分方程初值问题2(0)1'=-⎧⎨=⎩y xy yy ，0x 1≤≤的向前Euler 格式为 .7、设310131013A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，则A ∞= .8、用梯形公式计算积分112-⎰dx x 的近似值为 . 9、设12A 21+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦a 可作Cholesky 分解，则a 的取值范围为 . 10、设(0)1,(0.5) 1.5,(1)2,(1.5) 2.5,(2) 3.4f f f f f =====，若1=h ，则用三点公式计算(1)'≈f .三、解答题（共45分） 1、给定数据用复化Simpson 公式计算1.381.30()f x dx ⎰的近似值，并估计误差，小数点后保留3位. (8分)2、用直接三角分解法求线性代数方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡432631531321321x x x 的解. (8分) 3、求()λx ，使得迭代公式1()()λ+=+k k k k f x x x x 求方程2()31=+-f x x x 的根的相应迭代序列{}k x 具有平方收敛. (5分)4、已知数据试对数据用最小二乘法求出形如=+y x b的拟合曲线. (8分) 5、已知(2)8f -=，(0)4f =，(2)8=f ，试求二次拉格朗日插值多项式. (8分) 6、设矩阵A 如下，根据谱半径判断用Jacobi 迭代法求解方程组Ax b =的敛散性.（8分）1102111221012A ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦一、单项选择题（每小题3分，合计15分） 1、A 2、D 3、C 4、C 5、D 二、填空题（每小题3分，合计30分） 1、0<<a ； 2、31102-⨯； 3；4、4135345++-=-+k k k k k x x x x x ； 5、14； 6、1(2)+=+-n n n n n y y h x y y ； 7、5；8、34-； 9、3>a ；10、1.2；三、计算题（合计55分） 1、给定数据用复化Simpson 公式计算 1.381.30()f x dx ⎰的近似值，并估计误差，小数点后保留3位. (8分)解： 401024S [()4()()]6-=++x x f x f x f x ………… 1分 1.38 1.30(3.624 4.20 5.19)6-=+⨯+ 0.341= ………… 2分20422012234S [()4()()][()4()()]66--=+++++x x x xf x f x f x f x f x f x =0.342 ………… 6分2211[]15-≈-I S S S =-⨯40.6710 ………… 8分 2、用直接三角分解法求线性代数方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡432631531321321x x x 的解. (8分) 解：设111213212223313233u u u 123100135l 100u u 136l l 100u ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=*⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦………… 1分 111=u ，212=u ，313=u ，121=l ，131=l 122=u ，223=u ，132=l133=u ，133=l …………6分所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111011001L ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100210321U …………7分由b Ly =得Ty )1,1,2(=；由y Ux =得Tx )1,1,1(-=. ………… 8分3、求()λx ，使得迭代公式1()()λ+=+k k k k f x x x x 求方程2()31=+-f x x x 的根的相应迭代序列{}k x 具有平方收敛.(6分)解：要使迭代序列具有平方收敛，则()0ϕ'*=x ………… 2分而()()()ϕλ=+f x x x x ，即 ………… 3分 2()()()()10()λλλ''**-**+=*f x x x f x x …………4分而()0*=f x 则有()1()λ'*=-*f x x ………… 5分所以()()23λ'=-=--x f x x ………… 6分4、已知数据试对数据用最小二乘法求出形如=+ay x b的拟合曲线. (8分) 解：因为11=+b x y a a ，令0111,,,====b a a y x x a a y……2分则有法方程01461061410⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a a ……5分解出014,1==-a a ，则1,4=-=-a b ……7分所以1=4-y x……8分5、已知(2)8f -=，(0)4f =，(2)8=f ，试求二次拉格朗日插值多项式. (7分)解：01()(2)8l x x x =- …………2分 211()(4)4l x x =-- …………4分21()(2)8l x x x =+ …………6分 2012()()(2)()(0)()(2)L x l x f l x f l x f =-++24=+x …………7分6、设矩阵A 如下，根据谱半径判断用Jacobi 迭代法求解方程组Ax b =的敛散性.（8分）1102111221012A ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦解：100010001D ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，00010021002L ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，10021002000U ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦…………3分1100211()0221002J B D L U -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦…………5分 2102111()0222102J E B λλλλλλ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦…………6分()2J B ρ=…………7分所以用Jacobi 迭代法求解方程组Ax b =收敛 …………8分。

数值分析试题与答案

一. 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为。

2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为。

3.设110111011A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，233x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则1A ＝，1x = 。

4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为。

二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？2. 什么是不动点迭代法？()x ϕ满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ϕ的不动点？3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥，请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。

三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件：i x 1 2 3 i y 2 4 12 i y '3并估计误差。

（10分）四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1011I dx x=+⎰。

（10分）五．用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。

（10分）六．试用Doolittle 分解法求解方程组：12325610413191963630x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （10分）七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组123123123202324812231530x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ 的迭代格式，并判断其是否收敛？（10分）八．就初值问题0(0)y yy y λ'=⎧⎨=⎩考察欧拉显式格式的收敛性。

（10分）《数值分析》（A ）卷标准答案（2009－2010－1）一．填空题（每小题3分，共12分） 1. ()1200102()()()()x x x x l x x x x x --=--； 2.7；3. 3，8；4. 2n+1。

2019学年高二数学下学期期末考试试题理(含解析)

2019学年高二数学下学期期末考试试题理（含解析）考试时间：120分，满分150分一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在答题卡上）1．已知全集{}1,2,3,4U =，集合{}1,2A =，{}2,3B =，则()U AB ð等于（）． A ．{}1,2,3,4B ．{}3,4C ．{}3D ．{}4【答案】{}1,2,3AB =∴{}()4U A B =ð．选D ．2．命题“若一个正数，则它的平方是正数”的逆命题是（）． A ．“若一个数是正数，则它的平方不是正数” B ．“若一个数的平方是正数，则它是正数” C ．“若一个数不是正数，则它的平方不是正数” D ．“若一个数的平方不是正数，则它不是正数” 【答案】B【解析】逆命题为条件、结论互换，选B ．3．设函数21,()2,1,x x f x x x⎧+⎪=⎨>⎪⎩≤1,，则((3))f f =（）．A ．15B ．3C ．139D ．23【答案】C 【解析】2(3)3f =2413((3))1399f f f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭+．选C ．4．设0a b <<，则下列不等式中不成立的是（）． A ．11a b> B ．11a b a>-C ．a b >-D【答案】不妨令2a =-，1b =-，B ：111212=->--+不成立，选B ．5．已知函数11,1()2,1x f x xx a x ⎧->⎪⎨⎪-+⎩≤在R 上满足：对任意12x x ≠，都有12()()f x f x ≠，则实数a 的取值范围是（）． A ．(],2-∞B ．(],2-∞-C ．[)2,+∞D ．[)2,-+∞【答案】C 、【解析】按题意()f x 在R 上单调，而11x-在1x >时为减函数，∴()f x 为减函数， 1x =时，121x a x--≥+，2a -≥0+， ∴2a ≥．选C ． 6．复数2i12i+-的共轭复数是（）． A ．3i 5-B ．3i 5C ．i -D ．i【答案】C 【解析】2i (2i)(12i)i 12i (12i)(12i)==--++++， ∴共轭复数为i -．选C ．7．由直线π3x =-，π3x =，0y =与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为（）．AB ．1C ．12D【答案】A【解析】π3π3π3cos d sin π3S x x x-⎛=⋅==-= ⎝⎭-⎰ 选A ．8．函数()y f x =的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧（如图），则不等式()()f x f x x <-+的解集为（）．A ．|0x x ⎧⎪<<⎨⎪⎩或1x ⎫⎪<⎬⎪⎭≤B ．|1x x ⎧⎪-<<⎨⎪⎩1x ⎫⎪<⎬⎪⎭≤ C ．|1x x ⎧⎪-<<⎨⎪⎩0x <<⎪⎭D．|x x ⎧⎪<<⎨⎪⎩}0x ≠ 【答案】A【解析】显然()f x 为奇数， ∴可等价转换为1()2f x x <，当1x =时，1()02f x =<．当01x <<时，()f x ∴22114x x -<，1x <．当10x -<≤时，12x，∴0x <，综上：|0x x ⎧⎪<<⎨⎪⎩1x ⎫⎪<⎬⎪⎭≤．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案填在答题卡的横线上） 9．已知等差数列{}n a ，3510a a +=，2621a a =，则n a =__________．【答案】1n a n =+【解析】设1(1)n a a n d =-+， ∴1111(2)(4)10()(5)21a d a d a d a d =⎧⎨=⎩++++，解得：12a =1a =， ∴1n a n =+．10．已知二次函数2()4f x x ax =-+，若(1)f x +是偶函数，则实数a 的值为__________．【答案】2a =【解析】2(1)(1)(1)4f x x a x =-++++ 2(2)5x a x a =--++为偶函数，有22()(2)5(2)5x a x a x a x a ----=--+++，2a =．11．若“1x m <-或1x m >+”是“2230x x -->”的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为__________．【答案】【解析】（1）2230x x -->，得：3x >或1x <-，若1x m <-或1x m >+为2230x x -->的必要不充分条件．则1311m m ⎧⎨--⎩≤≥+，即20m m ⎧⎨⎩≤≥， ∴02m ≤≤．12．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x -=，且当[]1,2x ∈时，2()32f x x x =-+，则(6)f = __________；12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________．【答案】【解析】(2)()f x f x -=可知周期为2， (6)(2)0f f ==， ()f x 为奇函数， 113122224f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴答案为0，14．13．直线11x t y t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）与曲线2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）的位置关系是__________．【答案】【解析】121x tx y y t =⎧⇒-=⎨=-⎩++， 222cos 42sin x x y y αα=⎧⇒=⎨=⎩+，2x =．∴2d =．14．已知数列{}n a 中，n a =4S =__________．【答案】【解析】n a12⎡⎤=⋅⎣⎦12n =⋅12⎡=⋅⎣ 12⎡=⋅⎣，∴1234110112a a a a ⎡+=-⎣+++ 1(32=．三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分）已知数列{}n a 是等比数列，其前n 项和是n S ，1220a a +=，4218S S -=．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式．（Ⅱ）求满足116n a ≥的n 的值．【答案】【解析】（1）设11n n a a q -= 1220a a =+，2112a q a ==-， 4218S S -=，41111211112812a a ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦--= ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭，11a =， ∴112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（2）116n a ≥， 111216n -⎛⎫- ⎪⎝⎭≥．当n 为偶数不成立，当n 为奇数，141122n -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≥ ∴5n ≤．又∵*n ∈N ， ∴{}1,3,5n =．16．（本小题满分13分）已知数列32()(,)f x ax x bx a b =++∈R ，g()()()x f x f x '=+是奇函数．（Ⅰ）求()f x 的表达式．（Ⅱ）讨论()g x 的单调性，并求()g x 在区间[]1,2上的最大值与最小值．【答案】【解析】（1）2()32f x ax x b '=++32()()()(31)(2)g x f x f x ax a x b x b '==++++++．∵()()g x g x -=-，∴对x ∀有3232()(31)()(2)()(31)(2)a x a x b x b ax a x b x b ---=-++++++++++．解得：13a =-，0b =．17．（本小题满分13分）设m ∈R ，不等式2(31)2(1)0mx m x m -+++>的解集记为集合P ．（Ⅰ）若{}|12P x x =-<<，求m 的值．（Ⅱ）当0m >时，求集合P ．【答案】，【解析】（1）{}12P x x =-<<，∴1-，2为2(31)2(1)0mx m x m -=+++两根， ∴1x =-代入2(1)(31)2(1)0m m m -=++++， 12m =-．（2）[](2)(1)0x mx m -->+，两根为2，1m m+， ①12m m=+，1m =时，2x ≠． ②12m m >+，01m <<时2x <或1m x m >+． ③12m m <+，1m >时，1m x m<+或2x >．综上：01m <<时，{|2P x x =<或1}m x m>+， 1m =时，{},2P x x x =∈≠R ， 1m >时，1{|m P x x m=<+或2}m >．18．（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足32a =-，74S a =．（Ⅰ）1a =__________，d =__________，n a =__________，当n =__________时，n S 取得取小值，最小值为__________．（Ⅱ）若数列{}n a 中相异．．的三项6a ，6m a +，6n a +成等比数列，求n 的最小值．【答案】【解析】（1）1(1)n a a n d =-+， 3122a a d -==+，1711(6)772132a a d S a d a d ===++++，∴11122618030a d a d a d =-⎧⎨=⇒=⎩+++，解得2d =，16a =-， ∴6(1)228n a n n =--⋅=-+． 1(628)2n S n n =⋅--+27,*n n n =-∈N ，∴min 92112S =-=．（2）[][]22(6)842(6)8m n -=-++ 2(24)24m n =++，21(2)22n m =-+，6060m n +>⎧⎨+>⎩2m =-，2n =-， 13m -=-，n =分数， 04m =，0n =， 15m =-，n =分数， 26m --，6n =． 4 4- 4 6a 8a12a4 816综上，2m =时，n 的最小值6．19．（本小题满分13分）若实数x ，y ，m 满足x m y m -<-，则称x 比y 靠近m ．（Ⅰ）若1x +比x -靠近1-，求实数x 有取值范围．（Ⅱ）（i ）对0x >，比较ln(1)x +和x 哪一个更靠近0，并说明理由．（ii ）已知函数{}n a 的通项公式为112n n a -=+，证明：1232e n a a a a <．【答案】【解析】（1）|1(1)||(1)|x x --<---+ 22|2||1|(2)(1)x x x x <-⇔<-++， ∴12x <-．（2）①∵0x >，∴ln(1)0x >+， ∴|ln(1)0||0|ln(1)x x x x ---=-++，记()ln(1)f x x x =-+， (0)0f =． 1()1011x f x x x-'=-=<++， ∴()f x 在(0,)∞+单减．∴()2(0)0f x f =，即ln(1)x x <+， ∴ln(1)x +比x 靠近0． ②120n ->，由①得： 2323ln()ln ln ln n n a a a a a a =+++12111ln(12)ln(12)ln(12)22n n -----=+++<+++++111112(12)211212n ------=<=--，∴23e n a a a <．又∵12a =， ∴1232e n a a a a <．20．（本小题满分14分）已知函数()f x 的图象在[],a b 上连续不断，定义：{}1()min ()|f x f t a t x =≤≤[](,)x a b ∈， {}2()max ()|f x f t a t x =≤≤[](,)x a b ∈，其中，{}min ()|f x x ∈D 表示函数()f x 在D 上的最小值，{}max ()|f x x ∈D 表示函数()f x 在D 上最大值．若存在最小正整数k ，使21()()()f x f x k x a =-≤对任意的[],x a b ∈成立，则称函数()f x 为[],a b 上的“k 阶收缩函数”．（Ⅰ）若()cos f x x =，[]0,πx ∈，试写出1()f x ，2()f x 的表达式．（Ⅱ）已知函数2()f x x =，[]1,4x ∈-，试判断()f x 是否为[]1,4-上的“k 阶收缩函数”，如果是，求出对应的k ，如果不是，请说明理由．（Ⅲ）已知0b >，函数32()3f x x x =-+是[]0,b 上的2阶收缩函数，求b 的取值范围．【答案】【解析】（1）1()cos f x x =，[]0,πx ∈，2()1f x =，[]0,πx ∈．（2）21,[1,0]()0,[0,4]x x f x x ⎧∈-=⎨∈⎩，221,[1,1)(),[1,4]x f x x x ∈-⎧=⎨∈⎩，22121,[1,0)()()1,[0,1),[1,4]x x f x f x x x x ⎧-∈-⎪-=∈⎨⎪∈⎩，当[1,0)x ∈-，21(1)x k x -≤+，∴12k x -≥≥， (0,1]x ∈，1(1)k x ≤+，∴11k x ≥+， ∴1k ≥，[1,4]x ∈，2(1)x k x ≤+，21x k x ≥+ 综上，165k ≥．即存在4k =，使()f x 是[1,4]-上4阶收缩函数．（3）2()363(2)f x x x x x '=-=--+，10x =，22x =，令()0f x =，3x =或0．（ⅰ）2b ≤时，()f x 在[]0,b 单调，∴2()()3f x f x x x ==-+， 1()(0)0f x f ==，因32()3f x x x =-+是[]0,b 上2阶收缩函数．①∴21()()2(0)f x f x x --≤对[]0,x b ∈恒成立． ②[]0,x b ∈，使21()()f x f x x ->成立． ①即3232x x x -≤+对[]0,b 恒成立．解得01x ≤≤或2x ≥， ∴有01b <≤．②即[]0,x b ∃∈使2(31)0x x x -<+ ∴0x <x <，只需b ，- 11 - （ⅱ）2b >时，显然[]30,2b ∈∴()f x 在[]0,2上单调递增， 232728f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，1302f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴2133273232282f f ⎛⎫⎛⎫-=>⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时21()()2(0)f x f x x --≤不成立．综（ⅰ）1b ≤．。

武汉大学数值分析期末考试题目和答案

（2 分）
（2 分）（1 分）
注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考生须在试题图上作解答，请另附该试题图。3、请在试卷类型、考试方式后打勾注明。（第 5 页）
八．证明题（本大题共 2 小题，每小题 7 分，共 14 分） 1. 证：该问题的精确解为 y( x) y0e
六．试用 Doolittle 分解法求解方程组：
5 6 x1 1 0 2 4 1 3 1 9 x 1 9（ 10 分） 2 6 3 6 x3 3 0 20 x1 2 x2 3x3 24 七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组 x1 8 x2 x3 12 的迭代格式，并 2 x 3x 15 x 30 2 3 1
故有 B 1.25 1 ，因而雅可比迭代法不收敛。（2）对于方程组，Gauss-Seidel 迭代法迭代矩阵为
0 0.5 0.5 B 0 0.5 0.5 0 0.5 0
其特征值为 1 0, 2 3 0.5 故有 B 0.5 1 ，因而雅可比迭代法收敛。
判断其是否收敛？（10 分）
y y 八．就初值问题考察欧拉显式格式的收敛性。（10 分） y (0) y0
注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考生须在试题图上作解答，请另附该试题图。3、请在试卷类型、考试方式后打勾注明。（第 2 页）
步 6：若 k<N,置 k:=k+1, μ:=mk，转 3；否则输出计算失败信息，停止三．解：（1）利用插值法加待定系数法：设 p2 x 满足 p2 1 2, p2 2 4, p2 3 12, 则 p2 x 3x 7 x 6, （3 分）

高中高二数学第二学期期末考试卷答案解析

高中2019年高二数学第二学期期末考试卷答案解析高中2019年高二数学第二学期期末考试卷答案解析【】查字典数学网高中频道的编辑就为您准备了高中2019年高二数学第二学期期末考试卷答案解析一、选择题(本大题共有10小题，每小题5分，共50分) BABDB ACDBD二、填空题(共5小题，每小题5分，共25分)11、12、13、35 14、15、三、解答题(4ⅹ12+13+14=75，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16.解：(1)当z为实数时，则有，a=6，即a=6时，z为实数. -----6分(2)当z为纯虚数时，有，. 不存在实数a使z为纯虚数. -----12分17、解：试验次数X可取值1、2、3 -----3分P(x=1)= P(x=2)= P(x=3)= -----9分分布列为：X 1 2 3P-----10分，-----12分18.解：(1) ，，.(2)根据计算结果，可以归纳出. 5分①当时，，与已知相符，归纳出的公式成立. 6分②假设当( )时，公式成立，即，8分那么，.所以，当时公式也成立. 11分综上，对于任何都成立. 12分19.解：(1)证一：应用均值不等式，得：故当且仅当，即时上式取等号。

证二：分析法要证即证即证显然它成立，所以原不等式成立且时上式取等号-6分本文导航1、首页2、高二数学第二学期期末考试卷答案-2 (2)由(1) .当且仅当，即时上式取最小值，即-----12分20、解：(1)分别记甲、乙、丙通过审核为事件5分(2)分别记甲、乙、丙获得自主招生入选资格为事件A，B，C，则P(A)=P(B)=P(C)=0.3--7分试验次数X可取值0、1、2、3 -----8分11分的分布列是0 1 2 30.343 0.441 0.189 0.02712分0.63 13分或服从二项分布，0.6321、解：(1)因为，所以. 由，可得，.经检验时，函数在处取得极值，所以. 2分时，4分不等式对任意及恒成立，即，即对恒成立，令，，解得为所求. 7分(2)①∵在上单调递减②由①得令，得即. 14分观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。

数值分析报告期末考试复习题及其问题详解

数值分析期末考试复习题及其答案1. 已知325413.0,325413*2*1==X X 都有6位有效数字，求绝对误差限。

（4分）解：由已知可知,n=65.01021,0,6,10325413.0016*1=⨯==-=⨯=ε绝对误差限n k k X 2分 620*21021,6,0,10325413.0-⨯=-=-=⨯=ε绝对误差限n k k X 2分2. 已知⎢⎢⎢⎣⎡=001A 220- ⎥⎥⎥⎦⎤440求21,,A A A ∞ （6分）解：{},88,4,1max 1==A 1分 {},66,6,1max ==∞A 1分 ()A A A T max 2λ= 1分⎢⎢⎢⎣⎡=001A A T 420 ⎥⎥⎥⎦⎤-420⎢⎢⎢⎣⎡001 220- ⎥⎥⎥⎦⎤440=⎢⎢⎢⎣⎡001 080 ⎥⎥⎥⎦⎤3200 2分 {}3232,8,1max )(max ==A A T λ 1分 24322==A3. 设32)()(a x x f -= （6分） ① 写出f(x)=0解的Newton 迭代格式② 当a 为何值时，)(1k k x x ϕ=+ （k=0,1……）产生的序列{}k x 收敛于2解：①Newton 迭代格式为：xa x x x ax a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(22321+=+=---=-=+ϕ 3分②时迭代收敛即当222,11210)2(',665)('2<<-<-=-=a a x a x ϕϕ 3分4. 给定线性方程组Ax=b ，其中：⎢⎣⎡=13A ⎥⎦⎤22，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=13b 用迭代公式)()()()1(k k k Ax b x x -+=+α（k=0,1……）求解Ax=b ，问取什么实数α，可使迭代收敛（8分）解：所给迭代公式的迭代矩阵为⎥⎦⎤--⎢⎣⎡--=-=ααααα21231A I B 2分其特征方程为 0)21(2)31(=----=-αλαααλλB I 2分即，解得αλαλ41,121-=-= 2分要使其满足题意，须使1)(<B ρ，当且仅当5.00<<α 2分5. 设方程Ax=b ，其中⎢⎢⎢⎣⎡=211A 212 ⎥⎥⎥⎦⎤-112，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=765b 试讨论解此方程的Jacobi 迭代法的收敛性，并建立Gauss-Seidel 迭代格式（9分）解：U D L A ++=⎢⎢⎢⎣⎡--=+-=-210)(1U L D B J 202-- ⎥⎥⎥⎦⎤-012 3分0,03213=====-λλλλλJ B I 2分即10)(<=J B ρ，由此可知Jacobi 迭代收敛 1分 Gauss-Seidel 迭代格式：⎪⎩⎪⎨⎧--=--=+-=++++++)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(12276225k k k k k k k k k x x x x x x x x x （k=0,1,2,3……） 3分6. 用Doolittle 分解计算下列3个线性代数方程组：i i b Ax =（i=1,2,3）其中⎢⎢⎢⎣⎡=222A 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421，23121,,974x b x b b ==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡= （12分）解：①11b Ax =⎢⎢⎢⎣⎡222 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=9741x A=⎢⎢⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤100⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211=LU 3分由Ly=b1，即⎢⎢⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤100y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡974 得y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡234 1分由Ux1=y ，即⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211x1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡234 得x1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111 2分 ②22b Ax =⎢⎢⎢⎣⎡222 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421x2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111 由Ly=b2=x1，即⎢⎢⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤100y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111 得y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001 1分由Ux2=y ，即⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211x2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001 得x2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡005.0 2分 ③33b Ax =⎢⎢⎢⎣⎡222 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421x3=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡005.0由Ly=b3=x2，即⎢⎢⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤100y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡005.0 得y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-05.05.0 1分由Ux3=y ，即⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211x3=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-05.05.0 得x3=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-025.0375.0 2分7. 已知函数y=f(x)有关数据如下：要求一次数不超过3的H 插值多项式，使'11'33)(,)(y x H y x H i i == （6分）解：作重点的差分表，如下：3分21021101011001003))(](,,,[))(](,,[)](,[][)(x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x H --+--+-+= =-1+(x+1)-x(x+1)+2x.x(x+1)=232x x + 3分8. 有如下函数表：试计算此列表函数的差分表，并利用Newton 前插公式给出它的插值多项式（7分）解：由已知条件可作差分表，3分i ih x x i =+=0 （i=0,1,2,3）为等距插值节点，则Newton 向前插值公式为： 033210022100003!3))()((!2))((!1)()(f h x x x x x x f h x x x x f h x x f x N ∆---+∆--+∆-+==4+5x+x(x-1)=442++x x 4分9. 求f(x)=x 在[-1,1]上的二次最佳平方逼近多项式)(2x P ，并求出平方误差（8分）解：令22102)(x a x a a x P ++= 2分取m=1, n=x, k=2x ,计算得： (m,m)=dx ⎰-111=0 (m,n)=dx x ⎰-11=1 (m,k)= dx x ⎰-112=0(n,k)= dx x ⎰-113=0.5 (k,k)= dx x ⎰-114=0 (m,y)= dx x ⎰-11=1(n,y)=dx x⎰-112=0 (k,y)= dx x ⎰-113=0.5得方程组：⎪⎩⎪⎨⎧==+=5.05.005.011201a a a a 3分解之得c a a c a 2,1,210-=== （c 为任意实数，且不为零）即二次最佳平方逼近多项式222)(cx x c x P -+= 1分平方误差：32),(22222222=-=-=∑=i i i y a fp f ϕδ 2分10. 已知如下数据：用复合梯形公式，复合Simpson 公式计算⎰+=10214dx x π的近似值（保留小数点后三位）（8分）解：用复合梯形公式：)}1()]87()43()85()21()83()41()81([2)0({1618f f f f f f f f f T ++++++++==3.139 4分用复合Simpson 公式： )}1()]43()21()41([2)]87()85()83()81([4)0({2414f f f f f f f f f S ++++++++==3.142 4分11. 计算积分⎰=20sin πxdx I ，若用复合Simpson 公式要使误差不超过51021-⨯，问区间]2,0[π要分为多少等分?若改用复合梯形公式达到同样精确度，区间]2,0[π应分为多少等分? （10分）解： ①由Simpson 公式余项及x x f x x f sin )(,sin )()4(==得544)4(2041021)1()4(360)(max )4(1802)(-≤≤⨯≤=≤n x f n f R x n πππππ 2分即08.5,6654≥≥n n ，取n=6 2分即区间]2,0[π分为12等分可使误差不超过51021-⨯ 1分②对梯形公式同样1)(''max 20≤≤≤x f x π，由余项公式得51021)2(122)(-⨯≤≤n f R n ππ2分即255,2.254=≥n n 取 2分即区间]2,0[π分为510等分可使误差不超过51021-⨯ 1分12. 用改进Euler 格式求解初值问题：⎩⎨⎧==++1)1(0sin 2'y x y y y 要求取步长h 为0.1，计算y（1.1）的近似值（保留小数点后三位）[提示：sin1=0.84,sin1.1=0.89] （6分）解：改进Euler 格式为：⎪⎩⎪⎨⎧++=+=+-++-+)],(),([2),(1111n n n n n n n n n n y x f y x f hy y y x hf y y 2分于是有⎪⎩⎪⎨⎧+++-=+-=+-++-+-+)sin sin (05.0)sin (1.012112121n n n n n n n n n n n n n x y y x y y y y x y y y y （n=0,1,2……） 2分由y(1)=0y =1，计算得⎪⎩⎪⎨⎧=≈=+-=-838.0)1.1(816.0)1sin 11(1.01121y y y 2分即y(1.1)的近似值为0.83813. ][],[],,[lim ],[),,(],,[)(0'000000'x f x x f x x f x x f b a x b a C x f x x ==∈∈→证明：定义：设（4分）证明：]['],[],[],[lim ][][lim]['00000000000x f x x f x x f x x f x x x f x f x f x x x x ===--=→→故可证出 4分14. 证明：设nn RA ⨯∈，⋅为任意矩阵范数，则A A ≤)(ρ （6分）证明：设λ为A 的按模最大特征值，x 为相对应的特征向量，则有Ax=λx 1分且λρ=)(A ，若λ是实数，则x 也是实数，得Ax x =λ 1分而x x ⋅=λλ x A x ,⋅≤⋅⋅≤λ故x A Ax 2分由于A x 0x ≤≠λ得到，两边除以 1分故A A ≤)(ρ 1分当λ是复数时，一般来说x 也是复数，上述结论依旧成立。

《数值分析》2018-2019学年第二学期期末考试A卷

河海大学2018-2019学年第二学期期末考试《数值分析》试题(A)卷科目：数值分析考试时间：出题教师：集体考生姓名：专业：学号：题号一二三四总分分数一、单项选择题（每小题2分，共10分）1、n 阶方阵A 可作LU 分解的一个充分条件是A 为（）。

A.对角占优阵B.正交阵C.非奇异阵D.对称正定阵２、设n 阶方阵A 及单位阵E 满足0|3|=-A E ，则谱半径)(A ρ（）。

A.<3B.3≤C.>3D.3≥3、若迭代公式)(1k k x x ϕ=+是p 阶收敛，则=--+∞>-pkk k x x x x )(lim **1（）。

A.０B.p!C.)(*)(x p ϕ D.!/)(*)(p x p ϕ4、设)(x Ln 和)(x Nn 是相同的插值条件下关于)(x f 的拉格朗日插值和牛顿插值，则下述式子中正确的是（）。

（其中∏=-=nj jxx x w 0)()(）A.)(],...,,[)!1()(10)1(x w x x x f n f n n =++ξB.)()!1()()()()1(x w n f x Nn x f n +≠-+ξC.)(],...,,,[)()(10x w x x x x f x Ln x f n ≠-D.)(],...,,,[)()(10x w x x x x f x Ln x f n =-５、称函数)(x ε为［a,b ］上的三次样条函数，是指)(x ε满足条件（）。

A.为分段三次多项式且有二阶连续导数B.为分段三次多项式且有三阶连续导数C.为分段函数且有任意阶导数D.为分段三次埃尔米特插值多项式二、填空题（每小题4分，共20分）１、若已知x 的相对误差为%1，则)(x f ＝10x 的相对误差为。

２、设1)(3-=x x f ，则过节点－１，０，１的二次牛顿插值多项式为。

３、设有求积公式)31()31(10f A f A +-是插值型求积公式，则=0A ，=1A 。

数值分析试题及答案

数值分析试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列关于数值分析的说法，错误的是（）。

A. 数值分析是研究数值方法的科学B. 数值分析是研究数值方法的数学理论C. 数值分析是研究数值方法的误差分析D. 数值分析是研究数值方法的数学理论、误差分析及数值方法的实现答案：B2. 在数值分析中，插值法主要用于（）。

A. 求解微分方程B. 求解积分方程C. 求解线性方程组D. 通过已知数据点构造一个多项式答案：D3. 线性方程组的解法中，高斯消元法属于（）。

A. 直接方法B. 迭代方法C. 矩阵分解方法D. 特征值方法答案：A4. 牛顿法（Newton's method）是一种（）。

A. 插值方法B. 拟合方法C. 迭代方法D. 优化方法答案：C5. 在数值分析中，下列哪种方法用于求解非线性方程的根？A. 高斯消元法B. 牛顿法C. 雅可比方法D. 斯托尔-温格尔方法答案：B6. 下列关于误差的说法，正确的是（）。

A. 绝对误差总是大于相对误差B. 相对误差总是小于绝对误差C. 误差是不可避免的D. 误差总是可以消除的答案：C7. 在数值分析中，下列哪个概念与数值稳定性无关？A. 条件数B. 截断误差C. 舍入误差D. 插值多项式的阶数答案：D8. 用泰勒级数展开函数f(x)=e^x，下列哪一项是正确的？A. f(x) = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...B. f(x) = 1 - x + x^2/2! - x^3/3! + ...C. f(x) = x + x^2/2 + x^3/6 + ...D. f(x) = x - x^2/2 + x^3/6 - ...答案：A9. 插值多项式的次数最多为（）。

A. n-1B. nC. n+1D. 2n答案：B10. 下列关于数值积分的说法，错误的是（）。

A. 梯形法则是一种数值积分方法B. 辛普森法则是一种数值积分方法C. 龙格法则是数值积分方法中的一种D. 数值积分方法总是精确的答案：D二、填空题（每题3分，共15分）1. 在数值分析中，条件数是衡量问题的______。

2019学年高二数学下学期期末考试试题理(含解析)

2019学年第二学期期末考试试题（卷）高二数学（理科）一、选择题(本大题共12小题，共60分,每小题只有一个选项是正确的。

1. 设P={x|x＜4}，Q={x|x2＜4}，则（）A. P⊆QB. Q⊆PC. P∈QD. Q∈P【答案】B【解析】由得：，故，故选B.2. 如图所示，可表示函数图象的是（）A. ①B. ②③④C. ①③④D. ②【答案】C3. 已知集合A={1，3，}，B={1，m}，A∪B=A，则m=（）A. 0或B. 0或3C. 3或D. 1或3【答案】C【解析】试题分析：由A∪B＝A可得或考点：集合的子集4. 下列函数中，既是偶函数又在（-∞，0）内为增函数的是（）A. y=（）xB. y=x-2C. y=x2+1D. y=log3（-x）【答案】B.. ..........5. 若集合A={y|y=2x+2}，B={x|-x2+x+2≥0}，则（）A. A⊆BB. A∪B=RC. A∩B={2}D. A∩B=∅【答案】D【解析】由，得，，则，故选D.6. 命题“若a≥-1，则x+a≥1nx”的否定是（）A. 若a＜-1，则x+a＜1nxB. 若a≥-1，则x+a＜1nxC. 若a＜-1，则x+a≥1nxD. 若a≥-1，则x+a≤1nx【答案】B【解析】“若，则”的否定是若，则，故选B.7. 已知f（x）是定义在R上的偶函数，它在[0，+∞）上递增，那么一定有（）A. B.C. D.【答案】B【解析】∵）在上递增，，，故选B.8. 已知函数，那么的值为（）A. 27B.C. -27D.【答案】B【解析】由题可得：，故，故选B.9. 下列有关命题的说法正确的是（）A. 命题“若xy=0，则x=0”的否命题为：“若xy=0，则x≠0”B. 命题“若cos x=cosy，则x=y”的逆否命题为真命题C. 命题“∃x∈R，使得2x2-1＜0”的否定是：“∀x∈R，2x2-1＜0”D. “若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题为真命题【答案】D【解析】命题“若，则”的否命题为：“若，则”，A错误；命题“若，则”为假命题，则其逆否命题为假命题，B错误；命题“，使得”的否定是“，使得”，故C错误；若，则互为相反数的逆命题是：互为相反数，则，为真命题；故选D.10. 函数，满足f（x）＞1的x的取值范围（）A. （-1，1）B. （-1，+∞）C. {x|x＞0或x＜-2}D. {x|x＞1或x＜-1}【答案】D【解析】当时，即，，∴，当时，即，，综上满足的的取值范围或，故选D.点睛：本题考查分段函数的意义，解不等式的方法，体现了分类讨论和等价转化的数学思想，基础性较强；分和两种情况解不等式，解指数不等式时，要化为同底的指数不等式，再利用指数函数的单调性来解.11. 若对任意实数x∈R，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（）A. [2，6]B. [-6，-2]C. （2，6）D. （-6，-2）【答案】A【解析】对任意实数，不等式恒成立，则，解得，即实数的取值范围是，故选A.12. 已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x-4）=f（x），且在区间[0，2]上f（x）=x，若关于x的方程f （x）=log a|x|有六个不同的根，则a的范围为（）A. B. C. D. （2，4）【答案】A【解析】由得：，当时，函数的图象如图：，再由关于的方程有六个不同的根，则关于的方程有三个不同的根，可得，解得，故选A.点睛：本题主要考查了函数的周期性，奇偶性，函数的零点等基本性质，函数的图象特征，体现了数形结合的数学思想，属于中档题；首先求出的周期是4，画出函数的图象，将方程根的个数转化为函数图象交点的个数，得到关于的不等式，解得即可.二、填空题(本大题共4小题，共20分)13. 命题“∃x∈R，x2+ax-4a＜0”为假命题，是“-16≤a≤0”的 ______条件．【答案】充要【解析】∵命题“”为假命题，∴命题“”为真命题，则判别式，即，解得，则命题“”为假命题，是“”的充要条件，故答案为充要.14. 若-2≤x≤2，则函数的值域为 ______．【答案】【解析】设，则；∴，∴时，，时，，∴的值域为，故答案为.点睛：本题主要了考查指数式的运算，换元法求函数的值域，以及配方求二次函数值域的方法；先写出，从而可设，根据的范围即可求出的范围，进而得到二次函数，这样配方求该函数的值域即可得出的值域.15. 函数的取值范围为______ ．【答案】或【解析】易知函数为奇函数，且当时，，当时，，即函数的取值范围为或.16. 下列说法错误的是______ ．①已知命题p为“∀x∈[0，+∞），（log32）x≤1”，则非p是真命题②若p∨q为假命题，则p，q均为假命题③x＞2是x＞1充分不必要条件④“全等三角形的面积相等”的否命题是假命题．【答案】①【解析】对于①，∵，∴，成立即命题是真命题，则非是假命题，故错；对于②，若为假命题，则，均为假命题，正确；对于③，∵，反之不能，∴是充分不必要条件，正确；对于④，∵不全等三角形的面积可能相等，∴“全等三角形的面积相等”的否命题是假命题，正确；故答案为①.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17. 已知命题p：方程有两个不相等的实数根；命题q：2m+1＜4．（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）若为真命题，则应有，解得实数的取值范围；（2）若为真命题，为假命题，则，应一真一假，进而实数的取值范围.试题解析：（1）若为真命题，则应有，解得；（2）若为真命题，则有，即，因为为真命题，为假命题，则，应一真一假，①当真假时，有，得；②当假真时，有，无解，综上，的取值范围是．18. 在平面直角坐标系x O y中，圆C的参数方程为（θ为参数），直线l经过点P（1，2），倾斜角．（1）求直线l的参数方程；（2）设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．【答案】（1）（为参数）【解析】试题分析：（1）根据直线经过点，倾斜角，可得直线的参数方程．（2）把直线的方程代入，得，由此能求出的值.试题解析：（1）∵直线经过点，倾斜角，∴，（为参数）（2）∵圆C的参数方程为（为参数），∴圆的直角坐标方程为，把直线的方程代入，得，设，是方程的两个实根，则，则．19. 一台机器使用时间较长，但还可以使用．它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器运转的速度而变化，如表为抽样试验结果：（1）用相关系数r对变量y与x进行相关性检验；（2）如果y与x有线性相关关系，求线性回归方程；（3）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个，那么，机器的运转速度应控制在什么范围内？（结果保留整数）参考数据：，，．参考公式：相关系数计算公式：,回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．【答案】（1）y与x有很强的线性相关关系；（2）；（3）机器的转速应控制在15转/秒以下.【解析】试题分析：（1）根据表中数据计算与相关系数的值，判断与有很强的线性相关关系；（2）求出回归方程的系数、，写出线性回归方程；（3）利用回归方程求出的值即可.试题解析：（1）根据表中数据，计算，，，所以相关系数；因为，所以与有很强的线性相关关系；（2）回归方程中，，，∴所求线性回归方程为．（3）要使，即，解得，所以机器的转速应控制在转/秒以下．20. 已知．（1）求不等式的解集；（2）若恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）利用分类讨论思想分为，，三种情形，将问题转化为解不等式组问题，求出不等式的解集即可；（2）要使对任意实数成立，得到，解出即可. 试题解析：（1）不等式即为，等价于或或，解得或，因此，原不等式的解集为或.（2），若恒成立，则，则，解得．点睛：本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及转化与化归思想，难度一般；常见的绝对值不等式的解法，法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．21. 已知不等式x2-5ax+b＞0的解集为{x|x＞4或x＞1}（1）求实数a，b的值；（2）若0＜x＜1，，求f（x）的最小值．【答案】（1）；（2）9.【解析】试题分析：（1）根据题意，分析可得方程的两个根是1和4，由根与系数的关系分析可得，，解可得、的值；（2）由（1）知的解析式，将其表示为由基本不等式分析可得答案.试题解析：（1）根据题意，不等式的解集为或，则方程的两个根是和，则有，，即，.（2）由（1）知，因为，所以，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为9．点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．22. 在极坐标系中，已知圆C的圆心，半径．（1）求圆C的极坐标方程；（2）若点Q在圆C上运动，P在OQ的延长线上，且|OQ|：|QP|=3：2，求动点P的轨迹方程．【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）设为圆上任一点，的中点为，,所以,为所求；（2）先由求出点的坐标,再由点在圆上，所以，化简就可得到动点的轨迹方程．试题解析：（1）设为圆上任一点，的中点为，∵在圆上，∴△为等腰三角形，由垂径定理可得，为所求圆的极坐标方程．（2）设点的极坐标为，因为在的延长线上，且，所以点的坐标为，由于点在圆上，所以，故点的轨迹方程为．考点：简单曲线的极坐标方程.。

2019最新高等数学(下册)期末考试试题(含答案)ACA

2019最新高等数学（下册）期末考试试题（含答案）一、解答题1．设z = x ln ( x y )，求32z x y ∂∂∂及32z x y ∂∂∂. 解：ln()1ln(),z y x xy xy x xy∂=⋅+=+∂ 232223221,0,11,.z y z x xy x x yz x z x y xy y x y y ∂∂===∂∂∂∂∂===-∂∂∂∂2．设L 为xOy 面内直线x =a 上的一段，证明：(),d 0LP x y x =⎰其中P (x , y )在L 上连续．证：设L 是直线x =a 上由(a ,b 1)到(a ,b 2)这一段，则 L ：12x a b t b y t =⎧≤≤⎨=⎩，始点参数为t =b 1，终点参数为t =b 2故 ()()()221d ,d d 0d 0d b b L b b a P x y x P a,t t P a,t t t ⎛⎫=⋅=⋅= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰3．求面密度为0ρ的均匀半球壳x 2+y 2+z 2=a 2(z ≥0)对于z 轴的转动惯量。

解：222::.xy z D x y a ∑=+≤d d d .s x y x y ==22220022222π22000002220034222000()d d d d π()π()42π.()233xy z D a aa a I x y s a x y a r r a a r a d a r a a a r a ∑ρρρθρρπρρ=+===-⎫=-⎡==--⎢⎣⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰4．设流速(),,y x c =-A (c 为常数)，求环流量：(1)沿圆周221,0x y z +==；解：2π(2)沿圆周()2251,0x y z -+==.解：2π5．证明: 本章关于旋度的基本性质(1)~(3)（可应用算符∇解：略。

6．利用斯托克斯公式，计算下列曲线积分：(1)d d d y x z y x z Γ++⎰，其中Γ为圆周x 2+y 2+z 2 = a 2，x +y +z = 0，若从x 轴的正向看去，这圆周是取逆时针的方向；(2)()()()222222d d d x y z y z x y z x Γ++---⎰，其中Γ是用平面32x y z ++=截立方体：0≤x ≤1，0≤y ≤1，0≤z ≤1的表面所得的截痕，若从Ox 轴的正向看去，取逆时针方向；(3)23d d d y x xz y yz z Γ++⎰，其中Γ是圆周x 2+y 2 = 2z ，z =2，若从z 轴正向看去，这圆周是取逆时针方向；(4)22d 3d d +-⎰y x x y z z Γ，其中Γ是圆周x 2+y 2+z 2 = 9，z =0，若从z 轴正向看去，这圆周是取逆时针方向．解：(1)取Σ为平面x +y +z =0被Γ所围成部分的上侧，Σ的面积为πa 2（大圆面积），Σ的单位法向量为{}cos ,cos ,cosn αβγ==．由斯托克斯公式。

人教A版(2019)高二数学第二学期期末复习测试题(含答案)

人教A 版（2019）高二数学第二学期期末复习测试题（含答案）满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}{}2450,1,0,1,2A x N x x B =∈--≤=-,则A ．{}1,0,1,2 -B ．∅C ．{}0,1,2D ．{}1,2,3 2．已知复数3i1iz +=+（i 是虚数单位），则z 对应的点所在象限为 A. 第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3．已知)2,23(ππα∈，若55cos =α，则=-)4cos(πα A.10103 B. 1010C. 1010-D. 10103- 4．为庆祝中国共青团成立100周年，某校计划举行庆祝活动，共有4个节目，要求A 节目不排在第一个，则节目安排的方法数为A ．9B ．18C ．24D ．27 5．边长为1的等边三角形ABC 中，若DC AD 2= ，则=⋅BC BDA.56B.58C.78D.236. 某市为了研究该市空气中的PM 2.5浓度和2SO 浓度之间的关系，环境监测部门对该市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM 2.5浓度和2SO 浓度（单位：3g /m μ），得到如下所示的2×2列联表：其中，22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，经计算22100(64101610)7.484480207426χ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯则下列推断错误的是A.该市一天空气中PM 2.5浓度不超过375μg/m ，且2SO 浓度不超过3150μg/m 的概率估2SOPM 2.5 [0,150] (150,475][0,75] 64 16 (75,115]1010()20P k χ≥0.050 0.010 0.001 0k3.841 6.635 10.828计值是0.64B.若2×2列联表中的天数都扩大到原来的10倍，2χ的观测值不会发生变化C. 有99%的把握认为该市一天空气中PM 2.5浓度与2SO 浓度有关D. 在犯错的概率不超过1%的条件下，认为该市一天空气中PM 2.5浓度与2SO 浓度有关 7．直线t x y +=21与曲线x y =相切，且与圆)0(222>=+r r y x 相切，则=rA ．51 B ．55 C ．3 D ．33 8．已知函数()f x 为R 上的奇函数，()()1g x f x =+为偶函数，下列说法错误的是 A. ()f x 图象关于直线1-=x 对称 B. ()20230g =C. ()g x 的最小正周期为4D. 对任意R x ∈都有()()2f x f x -= 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是A. 经验回归方程ˆˆˆy bx a =+对应的经验回归直线至少经过其样本数据点中的一个点;B. 在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好;C. 经验回归方程ˆˆˆy bx a =+对应的经验回归直线恒过样本点的中心(),x y ，且在经验回归直线上的样本点越多，拟合效果越好;D. 在刻画回归模型的拟合效果时，决定系数2R 的值越大，说明拟合的效果越好． 10. 以下四个结论正确的是A. 命题：“,sin 1x R x ∀∈≤”的否定是“1sin ,00>∈∃x R x ”；B. 0=+b a 的充要条件是1-=ba； C.22,0x x x >>∀；D.一组数据的方差越大，则这组数据的波动越大．11．已知数列()n a 中，11=a ，nn n a a 21=+，*N n ∈，则下列说法正确的是A . 44=aB . ()n a 2是等比数列C . 11222--=-n n n a aD . 12122+-=+n n n a a12．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 满足DA DD DP μλ+=1，[0,1]λ∈，[0,1]u ∈，则A .当λμ=时，1BP AC ⊥B . 当12μ=时，三棱锥11C PB C -的体积为定值 C .当1λμ+=时，PC PB +的最小值为33+D . 当221λμ+=时，存在唯一的点P ，使得点P 到AB 的距离等于到1DD 的距离三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若双曲线经过点)3,1(，其渐近线方程为x y 2±=，则双曲线的方程是___________.14．已知5250125(1)(1)(1)x a a x a x a x =+++++⋅⋅⋅++，则1a =________．15．函数4431)(3+-=x x x f 在区间[]3,0上的最大值是________，最小值是________． 16．猜灯谜是中国元宵节特色活动之一．已知甲、乙、丙三名同学同时猜一个灯谜，每人猜对的概率均为13，并且每人是否猜对相互独立，在三人中至少有两人猜对的条件下，甲猜对的概率为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分10分）已知等差数列()n a 满足5321+=++n a a n n ．（1）求数列()n a 的通项公式；（2）设22)(n n n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．（本小题满分12分）已知四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点E ，224AB BC CD ===．（1）若23ADC π∠=，3AC =，求cos CAD ∠；（2）若AE CE =，22BE =，求ABC ∆的面积．19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面,23,24ABC AB AC BC ===，且D 为线段AB 的中点.（1）证明：1BC A D ⊥；（2）若1B 到直线AC 的距离为19，求平面11B AC 与平面1A CD 夹角的余弦值．20．（本小题满分12分）在某次数学考试中，考生的成绩X 服从一个正态分布，即(80,100)X N ～．（1）试求考试成绩位于区间[60,100]的概率．（2）若这次考试共有2000名学生，试估计考试成绩在[7080]，的人数．（3）若从参加考试的学生中（参与考试的人数超过2000人）随机抽取3名学生进行座谈，设选出的3人中考试成绩在80分以上的学生人数为Y ，求随机变量Y 的分布列与均值．（参考数据：若随机变量),(~2σμξN ，则 6827.0)(≈+≤<-σμξσμP ，9545.0)22(≈+≤<-σμξσμP ，9973.0)33(≈+≤<-σμξσμP ．）21．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率22e =，P 为椭圆上一动点，△12PF F 面积的最大值为2．（1）求椭圆E 的方程；（2）若C ，D 分别是椭圆E 长轴的左、右端点，动点M 满足MD CD ⊥，连结CM 交椭圆于点N ，O 为坐标原点．证明：ON OM ⋅为定值.22.（本小题满分12分）已知函数()21ln 12f x x x ax =-+()a R ∈（()f x '为()f x 的导函数）（1）讨论()f x '单调性；（2）设1x ，2x 是()f x 的两个极值点，证明：12101x x <<答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.C2.A3.C4.B5.A6. B7. B8.C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. BD 10.AD 11.ABC 12. ABD12.提示：当λμ=时，点1P DA ∈,11AC A BD ⊥可证,故1BP AC ⊥，选项A 正确; 当12μ=时，设11,D A DA E,F 分别为中点，则P EF ∈，P 到平面11C B C 距离为1，由等体积法可知三棱锥11C PB C -的体积为定值，选项B 正确;当1λμ+=时，点1P AD ∈，将等边三角形1ACD 与直角三角形1BAD 放在同一个平面上，连接BC, BC 与1AD 交点为P ，由余弦定理可求BCC 错误；; 由DA DD DP μλ+=1得22212)(μλμλ+=+=DA DD DP ，由221λμ+=得1DP =，所以点P 在以D 为圆心，半径为1的圆弧上（在侧面11DD A A 内），P 到AB 的距离等于PA 点P 到1DD 的距离等于PA ，则点P 在以A 为焦点1DD 为准线的抛物线上，抛物线与圆弧上仅有一个公共点，故D 正确。

2019年高二下数学期末考试题解析

2019年高二下数学期末考试题解析
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xxxx年高二下册数学期末考试题答案解析
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一、选择题：
题号12345678910
答案ADBcADBccD
二、填空题：。

三、解答题：
17.解：展开式共11项，中间项为第6项，
18.解：设第一次抽到次品为事件A,
第二次都抽到次品为事件B.
⑴第一次抽到次品的概率
⑵
⑶在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率为
19.解：甲恰好击中目标2次的概率为
乙至少击中目标2次的概率为
设乙恰好比甲多击中目标2次为事件A，包含以下2个互斥事件本文导航1、首页2、高二下册数学期末考试题答案-2 B1：乙恰好击中目标2次且甲恰好击中目标0次
P=
B2：乙恰好击中目标3次且甲恰好击中目标1次，
P=
则P=P+P
所以，乙恰好比甲多击中目标2次的概率为
20.解：因为从袋中任意摸出1球得到黑球的概率是，故设黑球个数为x，则
设白球的个数为y，又从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是，则
故袋中白球5个，黑球4个，红球1个。

由题设知ξ的所有取值是0，1，2，3，则随机变量ξ的分布列为
ξ0123
P
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2019最新高等数学(下册)期末考试试题(含答案)ABE

2019最新高等数学（下册）期末考试试题（含答案）一、解答题1．试讨论下列无界函数的二重积分的收敛性： (1)22221d d ()m x y x y x y +≤+⎰⎰; (2)22221(,)d d 0.(,)()p x y x y x y m M x y x xy y ϕϕ+≤<≤≤++⎰⎰ （）解：(1)2212π111212222200001d d 1d d 2d 2()22m m m m x y x y r r r r r x y m θππ---+≤⎡⎤===⎢⎥+-⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰ 111m m m π⎧<⎪=-⎨⎪∞≥⎩故当m <1时，原积分收敛，当m ≥1时，原积分发散。

（2）由于x 2+xy +y 2=22211()()022x y x y +++> (当(x ,y )≠(0,0)时) 故222222(,)()()()p p p x y m M x xy y x xy y x xy y ϕ≤≤++++++ (当(x ,y )≠(0,0)时) 再注意到广义重积分收敛必绝对收敛，即知积分22221(,)d d ()p x y x y x y x xy y ϕ+≤++⎰⎰与2222d d ()p x y x y x xy y +++⎰⎰同敛散。

由于2210()p x xy y >++(当(x ,y )≠(0,0)时)，采用极坐标即得 22212221001d d d ()11sin 22p p p x y x y dr x xy y r πθθ-+≤=++⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰ 而20d 11sin 22p πθθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰为常义积分，其值为有限数，而12101,1;2(1), 1.p p dr p r p -⎧<⎪-=⎨⎪+∞≥⎩⎰由此可知：原积分22221(,)d d ()p x y x y x y x xy y ϕ+≤++⎰⎰当p <1时收敛，当p ≥1时发散。

数值分析期末考试和答案

数值分析期末考试和答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解线性方程组？A. 插值法B. 迭代法C. 直接法D. 拟合法答案：C2. 以下哪个数值方法是用于求解非线性方程的？A. 高斯消元法B. 牛顿迭代法C. 线性插值法D. 拉格朗日插值法答案：B3. 在数值积分中，梯形法则的误差与下列哪个因素无关？A. 被积函数的二阶导数B. 积分区间的长度C. 积分区间的划分数量D. 被积函数的一阶导数答案：D4. 以下哪个数值方法是用于求解常微分方程的？A. 欧拉方法B. 牛顿迭代法C. 拉格朗日插值法D. 高斯消元法答案：A5. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解特征值问题？A. 高斯消元法B. 幂迭代法C. 牛顿迭代法D. 梯形法则答案：B6. 以下哪个数值方法是用于求解线性最小二乘问题的？A. 高斯消元法B. 梯形法则C. 正交分解法D. 牛顿迭代法答案：C7. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解非线性方程组？A. 高斯消元法B. 牛顿迭代法C. 线性插值法D. 欧拉方法答案：B8. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解偏微分方程？A. 有限差分法B. 牛顿迭代法C. 线性插值法D. 梯形法则答案：A9. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解优化问题？A. 高斯消元法B. 梯形法则C. 牛顿迭代法D. 单纯形法答案：D10. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解插值问题？A. 高斯消元法B. 梯形法则C. 牛顿迭代法D. 拉格朗日插值法答案：D二、填空题（每题2分，共20分）1. 在数值分析中，求解线性方程组的直接法包括______消元法和______消元法。

答案：高斯；LU2. 牛顿迭代法的收敛速度是______阶的。

答案：二3. 梯形法则的误差与被积函数的______阶导数有关。

答案：二4. 欧拉方法是一种求解______阶常微分方程的数值方法。

答案：一5. 幂迭代法是求解______特征值问题的数值方法。

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