2019年数值分析第二学期期末考试试题与答案A

卷）期末考试试卷（A2007学年第二学期考试科目：数值分析分钟考试时间：120

年级专业学号姓

名

题号一2二三0四总分

分）分，共10一、判断题（每小题210001?n）（ 1. 用计算机求时，应按照从小到大的顺序相加。1000n1n?219992001?为了减少误差2. ,应将表达式进行计算。（改写为）19992001?）

（ 3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。） 4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。（系数矩阵及其演变方式有用迭代法解线性方程组时，5. 迭代能否收敛与初始向量的选择、）

（关，与常数项无关。

分）二、填空题（每空2分，共36_________.

________，相对误差限为已知数a的有效数为0.01，则它的绝对误差限为1.

0?110??????????xA?Ax,0?21,x??5A?_____.

则设______，_____，2. ????21?????1?130????53f(x)?2x?4x?5x,f[?1,1,0]?f[?3,?2,?1,1,2,3]? 3. 已知则, .

331?)?Af(0)?Af(f(x)dx?Af(?)的代数精度尽量高，应使4. 为使求积公式321331?A?A?A?，此时公式具有，，次的代数精度。312

?nA)(A的关系是 5. A阶方阵的谱半径与它的任意一种范数.

(k?1)(k)BAX??N(k?XMX?0,1,2,)产时，使迭代公式用迭代法解线性方程组6.

??)k(X .

生的向量序列收敛的充分必要条件是

AX?BAL和上三角矩7. 使用消元法解线性方程组系数矩阵时，可以分解为下三角矩阵1

4?2??BAX?.A?LUU?A，则阵若采用高斯消元法解的乘积，即，其中??21??L?U?AX?B，则，______________；若使用克劳特消元法解_______________u?lu BAX?的大小关系为_____（选填：则____；若使用平方根方法解>与，，111111<，=，不一定）。

??x?yy?8. 以步长为1的二阶泰勒级数法求解初值问题的数值解，其迭代公式为

?y(0)?1?___________________________.

三、计算题（第1～3、6小题每题8分，第4、5小题每题7分，共46分）

32?x01??3x?xf(x)?2)(1, 1.在区间为初值用牛顿迭代法求方程内的根，要求以0证明用牛顿法解此方程是收敛的；（1）,xx,计算结果（2）给出用牛顿法解此方程的迭代公式，并求出这个根（只需计算21位）。取到小数点后4

2

2.给定线性方程组

x?0.4x?0.4x?1?312?0.4x?x?0.8x?2?321?0.4x?0.8x?x?3?312（1）分别写出用Jacobi和

Gauss-Seidel迭代法求解上述方程组的迭代公式；

（2）试分析以上两种迭代方法的敛散性。

y f(x)在如下节点处的函数值3.已知函数x-1 0 1 2

y0

4

3

1

（1）建立以上数据的差分表；

P(x)y(1.1)的近似值；2（）根据后三个节点建立二阶牛顿后插公式，并计算2（3）采用事后估计法计算（2）中近似值的截断误差（结果保留四位小数）。

3

4.已知如下数据表，试用最小二乘法求它的二次最小平方逼近多项式。

x -1 0 1 2

5

2

y

1

4

???(3)x)fy?f((3)f的近似值。和在以下节点处的函数值，利用差商表求已知函数5.

4 3 x 1

8 1 y 2

写出前进欧拉公式、后退欧拉公式，并由这两个公式构造一个预估－校正公式求解下列 6. 常微分方程的数值解。22??yy??x(0?x?1,h?0.2)?0(0)?y?

5

(x,y)(i 0,1,2,,n)，请用多种方法建立这些数据点之间四、（个数据点已知8分）n+1ii的函数关系，并说明各种函数的适用条件。

6

期末考试答案及评分标准（A卷）考试科目：数值分析2007学年第二学期

10分）一、判断题：（每小题2分，共5. ××3. × 4. 2. 1.×√

36分）二、填空题：（每空2分，共2?100.5?0050.0.5或1.，

26,155,2.

20, 3.

1,0,1,3 4.

?(A)?A5.

?(M)?16.

10??4?2?????,,1,7. 1????021???2?1)yx??yy?y(x)?(1??n?0,1,2,2.5y?0.5,?y?1.5x8. 或nnnnn?1nnnn?12

5、6小题每题7分，共46分）分，第三、解答题（第1～4小题每题831?x?3xxf()?）证明：，由于1. （1f(1)??3?0,f(2)?1?0, a)

2??3?0(x?(1f)(x?3x,2)), b)

????,2)),x0?(1(f6(x)?x?(x)f(1,2)上不变号，在即c)

??2?x(2)?0,(2)ff对于初值，满足d) 0所以用牛顿迭代法求解此方程是收敛的。………………………………………4分

（2）解：牛顿迭代法的迭代公式为

7

3f(x)x?3x?1nnn?x?x?x?nn?1n2?3?)3fx(x nn分 (2)

2?x进行迭代，得取初值01.8889,?x1………………………………………1分

1.8795.x?2………………………………………1分

）Jacobi迭代公式为2. 解：（1))(k(k?1)(k?10.4x???0.4x?x321?))(kk?1)(k(x?2??0.4x0.8x?分……………………………2?231?)(k?1)(k)(k3???0.4x?x0.8x?321 Gauss-Seidel迭代公式

为)(k1)(k)(k??1?x0.4x?0.4x??321?)kk?1)((k?1)(x2?0.8x???0.4x……………………………2分

?231?1)?1)(k(k?1)(k?3?0.8x??0.4xx??312?440.0.?0.40.80?得开，为征）（2Jacobi迭代矩阵的特方程展?400..83?????00.256?0.96??0??0.4(??0.8)(0.505)?0.4?0.505)(，，即

???0.2928?0.8000,??-1.0928,1从而得（或由单调性易判断必有一个大于，321

Jacobi的特征根，）因此迭代矩阵的谱半径等于必大于1，所以迭代法发散。

2分……………………………

?0.40.4??00.80.4?迭代矩阵的特征方程为Gauss-Seidel，展开得

???0.40.82??????0.204,?0.628,??0,0?(0.128)?0.832?迭代矩阵的谱半径，解得312迭代法收敛。Gauss-Seidel小于1，所以2……………………………分1解：3. （）建立差分表8