快速傅里叶变换
快速傅里叶变换FFT
本章主要内容
▪ 引言 ▪ 基2FFT算法 ▪ 进一步降低运算量旳措施
4.1 引言
▪ DFT是信号分析与处理中旳一种主要变换。但直接计算DFT旳 计算量与变换区间长度N旳平方成正比，当N较大时，计算量 太大，直接用DFT算法进行谱分析和信号旳实时处理是不切 实际旳。
▪ 1965年发觉了DFT旳一种迅速算法，使DFT旳运算效率提升1－2 个数量级，为数字信号处理技术应用于多种信号旳实时处理 发明了条件，推动了数字处理技术旳发展。
r 0
x2 ( r )WN2 kr
X (k) x(n)WNkn x(n)WNkn
n
n
X(k) x(n)WNkn x(n)WNkn
n
n
X (k )
x(n)WNkn
x(n)WNkn
N / 21
N / 21
N / 21
N / 21
n
n
x(2r)WN2kr
x(2r 1)WNk(2r1) x(2r)WN2kr x(2r1)WNk(2r1)
4.2 基2FFT算法
2.旋转因子旳变化规律
N点DIT―FFT运算流图中，每个蝶形都要乘以旋转因子WpN，p 称为旋转因子旳指数。N＝8 ＝23 时各级旳旋转因子
第一级：L=1， 有1个旋转因子：WNp =WN/4J =W2LJ J=0 第二级：L=2，有2个旋转因子：WNp =WN/2J =W2LJ J=0,1 第三级：L=3，有4个旋转因子：WNp =WNJ =W2LJ J=0,1,2,3 对于N＝2M 旳一般情况，第L级共有2L-1个不同旳旋转因子：
▪ 1984年，提出了分裂基迅速算法，使运算效率进一步提升；
4.2 基2FFT算法
数字信号处理课件第4章快速傅里叶变换FF
通过FFT对雷达信号进行频谱分析，实现雷 达数据的压缩，减小存储空间和传输带宽。
谢谢聆听
05 FFT的局限性与挑战
浮点运算的开销问题
浮点运算开销
快速傅里叶变换（FFT）算法在实 现过程中需要进行大量的浮点运 算，这可能导致计算成本较高， 尤其是在处理大规模数据时。
硬件资源需求
由于FFT的浮点运算密集特性，对 计算设备的硬件资源（如CPU、 GPU等）要求较高，需要具备高 性能的计算能力。
FFT的软件实现
C/C实现
01
使用C或C等通用编程语言实现FFT算法，具有较好的通用性和
可移植性。
优化编译器
02
利用现代编译器的优化功能，如向量化、内联等，可以提高软
件实现的计算速度。
并行计算框架
03
利用OpenMP、CUDA等并行计算框架，可以实现多核或多
GPU上的并行计算。
FFT的优化方法
算法改进
FFT的历史与发展
历史
FFT的诞生可以追溯到1960年代，其发展经历了多个阶段，包括库利-图基算法、威尔金森算法、桑德斯算法等 。
发展
随着计算机技术的不断进步，FFT算法在实现方式、精度、并行化等方面不断得到优化和改进，以满足不同应用 场景的需求。
02 FFT的基本算法
递归算法
递归算法是一种基于数学归纳法的算法，通过将问题分解为更小的子问题来解决 问题。在FFT中，递归算法将一个长度为N的DFT问题分解为两个长度为N/2的 DFT问题，直到最后分解为基本的DFT问题。
特别是在信号处理领域，FFT的应用非常广泛。
FFT与Z变换的关系
定义
Z变换是离散时间信号 到复平面上的扩展，而 FFT是频域的一种快速 计算方法。
《快速傅里叶变换》课件
FFT的历史背景
01
1960年代，Cooley和Tukey提 出了基于“分治”思想的FFT 算法，为快速傅里叶变换的实 用化奠定了基础。
02
随后，出现了多种FFT算法的 变种和优化，如Radix-2、 Radix-4等。
03
随着计算机技术的发展，FFT 算法在硬件实现上也得到了广 泛应用，如FPGA、GPU等。
《快速傅里叶变换》ppt课件
contents
目录
• FFT简介 • FFT基本原理 • FFT实现 • FFT的应用 • FFT的优化与改进 • FFT的挑战与未来发展
01 FFT简介
FFT的定义
快速傅里叶变换（FFT）：一种高效计算离散傅里叶变换（DFT）及其逆变换的 算法。它将复杂度为$O(N^2)$的DFT计算降低到$O(Nlog N)$，大大提高了计 算效率。
详细描述
混合基数FFT算法结合了基数-2和基数-4算法的特点，利用两者在计算过程中的 互补性，减少了计算量，提高了计算效率。同时，该算法在处理大规模数据时 ，能够保持较高的精度。
分段FFT算法
总结词
分段FFT算法将输入数据分成若干段，对每一段进行快速傅里叶变换，以降低计算复杂度和提高计算效率。
详细描述
02 FFT基本原理
离散傅里叶变换（DFT）
定义
应用
DFT是时间域信号到频域的变换，通 过计算信号中各个频率成分的幅度和 相位，可以分析信号的频谱特性。
DFT在信号处理、图像处理、频谱分 析等领域有广泛应用。
计算量
DFT的计算量随着信号长度N的增加 而呈平方关系增长，因此对于长信号 ，计算量巨大。
快速傅里叶变换推导
快速傅里叶变换推导摘要：1.快速傅里叶变换的概念与意义2.傅里叶变换的定义与性质3.快速傅里叶变换的算法原理4.快速傅里叶变换的实际应用正文：一、快速傅里叶变换的概念与意义快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是一种高效的计算离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）及其逆变换的算法。
DFT 是一种将时间域信号转换到频率域的方法，常用于信号处理、图像处理等领域。
然而，当信号长度很长时，DFT 的计算复杂度较高，因此，为了加速计算，提出了快速傅里叶变换算法。
二、傅里叶变换的定义与性质傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的方法。
对于一个信号f(t)，其傅里叶变换结果为频谱F(ω)，可以通过以下公式计算：F(ω) = ∫[f(t) * e^(-jωt) dt]，其中积分范围为-∞到∞。
傅里叶变换具有以下性质：1.傅里叶变换是线性的，即满足线性性质的信号可以通过傅里叶变换分开。
2.傅里叶变换是可逆的，即频域信号可以通过傅里叶逆变换转换回时域信号。
3.傅里叶变换具有时域与频域之间的帕斯卡三角关系，即频谱的幅度与相位分别对应时域信号的幅度与相位。
三、快速傅里叶变换的算法原理快速傅里叶变换算法的原理是将DFT 分解成更小的子问题，并重复利用子问题的计算结果。
具体来说，如果将信号长度为N 的DFT 表示为：X_k = ∑[x_n * e^(-j2πnk/N)]，其中n 为时域索引，k 为频域索引。
那么，如果将信号长度分解为2 的幂次方形式（如N = 2^m），则可以将DFT 分解为两个较短的DFT 的加权和，即：X_k = ∑[x_n * e^(-j2πnk/N)] = ∑[x_n * e^(-j2πn(k-m)/2^m)] + e^(-j2πkm/2^m) * ∑[x_n * e^(-j2πn(k+m)/2^m)]其中，第一个和式计算偶数项的DFT，第二个和式计算奇数项的DFT。
快速傅里叶变换浅析
快速傅里叶变换浅析快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是一种用于将信号在时域和频域之间转换的高效算法。
它广泛应用于数字信号处理、图像处理、音频处理以及其他各种领域。
本文将简要介绍FFT的原理、应用及其优缺点。
一、快速傅里叶变换的原理快速傅里叶变换是傅里叶变换（Fourier Transform，FT）的一种快速算法。
FT是将一个信号分解成不同频率的正弦波组成的频谱。
而FFT则通过将信号分解成更小的子问题并利用许多对称性质来大大减少计算量。
在FFT中，信号被表示为一组复数形式的采样点。
通过对这些采样点进行分解和重组，可得到信号的频谱。
FFT算法的核心思想是将信号分解成大小相等的子问题，并通过迭代的方式快速计算出频谱。
不同大小的子问题需要使用不同的算法，其中最常用的是基2快速傅里叶变换算法（Cooley-Tukey算法）。
二、快速傅里叶变换的应用1. 信号处理领域FFT在信号处理领域得到了广泛应用，例如音频和图像处理。
在音频处理中，FFT可以将时域的音频信号转换为频域，从而实现音频的分析、滤波、压缩等操作。
在图像处理中，FFT可以将图像转换为频域表达，从而实现图像增强、滤波、纹理分析等操作。
2. 通信领域FFT在通信领域也有着重要的应用。
例如，在调制解调器中，FFT被用于将时域的信号转换为频域，以进行调制解调操作。
另外，FFT还可以用于信号的编码、解码和信道估计等方面，提高通信系统的性能。
3. 数值计算领域FFT在数值计算领域也扮演着重要的角色。
例如，在大规模线性方程组的求解中，FFT被用于加速计算过程。
FFT还可以应用于信号滤波、噪声消除、信号重建和频谱分析等方面。
三、快速傅里叶变换的优缺点1. 优点（1）高效性：相比于传统的傅里叶变换算法，FFT具有更高的计算效率，能够在较短的时间内完成复杂的频谱计算。
（2）节省空间：FFT所需的内存空间较少，可以适用于有限的计算资源。
通信中的快速傅里叶变换技术简介
通信中的快速傅里叶变换技术简介快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是一种在信号处理、图像处理、数据分析等领域广泛使用的技术。
FFT可以将时间域信号（时域信号）转换为频域信号，也可以将频域信号转换为时域信号，从而实现对信号的分析和处理。
一、傅里叶变换在介绍FFT之前，我们需要先了解傅里叶变换（Fourier Transform，FT）的概念。
傅里叶变换是一种将一个函数表示为多个正弦函数和余弦函数的和的技术，它将时域信号（时间上变化的信号）转换为频域信号（以频率为变量的信号）。
通过对信号在时域和频域的分析，可以得到信号的各种特性，例如频率、振幅、相位等。
傅里叶变换的计算可以使用积分式进行，但是这种方式的计算复杂度很高，特别是对于长度比较长的信号。
因此，为了优化计算速度，就出现了FFT技术。
二、FFT技术FFT技术是一种基于DFT（Discrete Fourier Transform，离散傅里叶变换）的计算快速算法。
DFT是傅里叶变换的离散化处理，将连续信号离散化为时域上的N个采样点，然后进行傅里叶变换。
FFT技术的优点在于其计算复杂度为O(N*logN)，比DFT的计算复杂度O(N^2)要低得多。
FFT可以分为多个子问题，每个子问题都是规模较小的DFT问题，因此可以使用递归方式解决，提高了计算效率。
对于长度为N的信号，FFT需要进行log2(N)次迭代计算，每次迭代计算的时间复杂度是O(N)，因此FFT的总复杂度为O(N*logN)。
三、应用领域FFT技术在信号处理、图像处理、数据分析等领域广泛使用。
以下是一些应用领域的例子：1.音频信号处理：FFT可以将音频信号转换为频谱信号，根据频率成分实现语音识别、噪声抑制等功能。
2.图像处理：FFT可以将图像转换为频域信号，从而实现高通滤波、低通滤波、频域特征提取等功能。
3.机器学习：FFT可以对信号进行预处理，提取有用的频域特征，用于分类和回归等机器学习任务。
快速傅里叶变换
快速傅⾥叶变换快速傅⾥叶变换快速傅⾥叶变换（FFT ）是根据计算量的最⼩化原理来设计和实施离散傅⾥叶变换(DFT)计算的⽅法。
1965年，库利（T.W.Cooley ）和图基（J.W.tukey ）发表了著名的《计算机计算傅⾥叶级数的⼀种算法》论⽂。
从此掀起了快速傅⾥叶变换计算⽅法研究的热潮。
快速傅⾥叶变换（FFT ）的出现，实现了快速、⾼效的信号分析和信号处理，为离散傅⾥叶变换(DFT)的⼴泛应⽤奠定了基础。
1.1离散傅⾥叶变换(DFT)的计算设x(n)是⼀个长度为M 的有限长序列，则定义x(n)的N 点离散傅⾥叶变换为∑-===10)()]([)(N n kn NW n x n x DFT k X 其中由于计算⼀个X(k)值需要N 次复乘法和(N-1)次复数加法，因⽽计算N 个X(k)值，共需N2次复乘法和N(N-1)次复加法。
每次复乘法包括4次实数乘法和2次实数加法，每次复加法包括2次实数加法，因此计算N 点的DFT 共需要4N2次实数乘法和(2N2+2N ·(N-1))次实数加法。
当N 很⼤时，这是⼀个⾮常⼤的计算量。
1.2减少DFT 计算量的⽅法减少DFT 的计算量的主要途径是利⽤k N W 的性质和计算表达式的组合使⽤，其本质是减少DFT 计算的点数N 以便减少DFT 的计算量。
k N W 的性质：（1）对称性： (2)周期性： (3) 可约性： (4) 特殊点：选择其中⼀个证明N N j k N j N k N j N k N e e e W 222)2(22πππ--+-+==ππj k N j e e --=2k N j e π2--=k N W -=FFT 算法是基于可以将⼀个长度为N 的序列的离散傅⾥叶变换逐次分解为较短的离散傅⾥叶变换来计算这⼀基本原理的。
这⼀原理产⽣了许多不同的算法，但它们在计算速度上均取得了⼤致相当的改善。
0,1,,1k N =-()*nk nk N N W W -=()()nk N n k n N k N N NW W W ++==nk mnk N mN W W =//nk nk m N N mW W =01N W =/21N N W =-(/2)k N k N NW W +=-在这⾥讨论两类基本的FFT 算法。
数字信号处理中的快速傅里叶变换
数字信号处理中的快速傅里叶变换快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）是数字信号处理中一种重要的算法，用于将时域信号转换为频域信号。
通过将信号分解成不同频率的正弦和余弦波，可以提取出信号的频谱信息，进而进行频域分析和滤波等操作。
本文将介绍快速傅里叶变换的原理、算法流程以及在数字信号处理中的应用。
一、快速傅里叶变换的原理快速傅里叶变换是以傅里叶变换为基础的一种高效的算法。
傅里叶变换是将一个周期函数（或有限长的信号）分解成若干个不同频率的正弦和余弦波的叠加。
这些正弦和余弦波的频率和振幅反映了原始信号的频谱特征。
传统的傅里叶变换算法复杂度较高，难以在实时信号处理中应用。
而快速傅里叶变换通过巧妙地利用信号的对称性和周期性，将传统傅里叶变换的复杂度从O(n^2)降低到O(nlogn)，大大提高了计算效率。
二、快速傅里叶变换的算法流程快速傅里叶变换算法采用分治法的思想，将信号逐步分解成更小的子问题，并通过递归地计算子问题的频域结果来获得最终的结果。
其算法流程如下：1. 输入原始信号，设信号长度为N。
2. 如果N为1，则直接返回原始信号。
3. 将原始信号分为偶数项和奇数项两部分。
4. 对偶数项序列进行快速傅里叶变换，得到频域结果D1。
5. 对奇数项序列进行快速傅里叶变换，得到频域结果D2。
6. 根据傅里叶变换的性质，将D1和D2组合成整体的频域结果，得到最终结果。
7. 返回最终结果。
三、快速傅里叶变换在数字信号处理中的应用1. 频谱分析：快速傅里叶变换可以将信号从时域转换到频域，通过分析信号的频谱特征，可以提取信号的频率成分，并得到各频率成分的振幅和相位信息。
在音频、图像处理等领域，频谱分析是常见的操作，可以实现音乐信号的频谱可视化、图像去噪和图像压缩等任务。
2. 滤波操作：快速傅里叶变换可以将信号转换到频域后进行滤波操作。
在通信系统中，为了提高信号抗干扰能力和传输效率，通常使用滤波器对信号进行处理。
《快速傅里叶变换FF》课件
contents
目录
• FFT简介 • FFT的基本原理 • FFT的应用 • FFT的实现 • FFT的性能优化 • FFT的局限性
CHAPTER 01
FFT简介
FFT的定义
快速傅里叶变换（FFT）：一种高效计算离散傅里叶变换（DFT）及其逆变换的 算法。它将复杂度为$O(N^2)$的DFT计算降低到$O(Nlog N)$，极大地提高了 计算效率。
通过选择适合特定数据集的基数，混 合基数FFT可以在不同的应用场景下 获得最佳性能。
混合基数FFT结合了基于2的幂次和基 于其他基数的算法，以获得更好的计 算效率和精度。
CHAPTER 06
FFT的局限性
浮点运算的开销
快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的算法，用于计算离散傅里叶变换（DFT）和其逆变换。然而， 由于FFT涉及到大量的复数运算，因此其计算开销相对较大，尤其是对于大规模数据。
分段FFT
分段FFT是一种将大规模FFT分 解为多个小规模FFT的方法， 可以显著提高计算速度。
通过将输入数据分成多个段， 每个段可以独立进行FFT计算 ，从而并行处理多个段。
分段FFT适用于大规模数据集 ，可以有效地利用多核处理器 和分布式计算资源，提高计算 效率。
混合基数FFT
混合基数FFT是一种将不同基数算法 结合在一起的FFT方法，可以获得更 好的性能。
快速傅里叶变换（FFT）算法
定义
快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的计算离散傅里叶变换（ DFT）和其逆变换的算法。它通过一系列数学运算将DFT的 计算量从N^2降低到了Nlog2N，大大提高了计算效率。
算法原理
FFT算法基于DFT的周期性和对称性，将一个N点的DFT分解 为多个较短序列的DFT，然后利用递归和分治的思想进行计 算，最终得到原始序列的频域表示。
快速傅里叶变换的原理及公式
快速傅里叶变换的原理及公式快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是一种快速计算离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）的算法。
DFT是将时域的离散信号转换为频域的频谱表示的技术，它在信号处理、图像处理、语音识别等领域有着广泛的应用。
FFT算法通过利用信号的特殊性质，提高了计算效率，使得在计算复杂度为O(NlogN)的时间内，完成了DFT的计算。
FFT的原理基于傅里叶级数展开的思想。
任何周期为T的信号，都可以用一组正弦信号和余弦信号的和来表示。
傅里叶级数展开公式如下所示：f(t) = A0 + Σ[Ak*cos(kω*t) + Bk*sin(kω*t)]其中，f(t)表示信号的时域表示，A0表示直流分量，Ak和Bk表示信号的谐波分量，ω=2π/T表示信号的角频率。
FFT算法的主要思想是将DFT的计算分解为多个较小规模的DFT计算。
假设原始信号的长度为N，当N为2的幂时，可以将信号分为两个长度为N/2的子序列。
通过对这两个子序列分别进行FFT计算，然后合并计算结果，就得到了原始信号的DFT。
FFT算法可以描述为分治法的一个典型应用。
通过将信号分为两个子序列，FFT的计算可以分为两个阶段：变址和蝶形算法。
变址阶段的目标是将原始信号重新排列成迭代结构的形式，这样方便后续的计算。
变址操作通过位逆序运算实现，即将信号的各个元素按照二进制位翻转顺序重新排列。
蝶形算法是FFT计算的核心部分。
蝶形算法通过将信号的DFT计算分解为一系列蝶形运算，每个蝶形运算只涉及到两个元素的计算。
一个蝶形运算可以表示为如下公式：Xk=Xk_0+W_N^k*Xk_1Xk+N/2=Xk_0-W_N^k*Xk_1其中，Xk和Xk+N/2表示将原始信号分为两部分计算得到的结果，Xk_0和Xk_1分别是这两部分的数据，W_N^k表示旋转因子，计算公式为W_N^k = exp(-2πi*k/N)。
fft 快速傅里叶变换 (fast fourier transform)
FFT 快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform) 是一种用于快速计算傅里叶变换的算法，是在傅里叶变换的基础上发展而来的。
FFT 算法被广泛应用于数字信号处理、图像处理、声音处理、卷积操作、解析几何等领域，它的高效性和实时性使得它成为了当今计算机科学领域不可或缺的一部分。
一、傅里叶变换简介傅里叶变换是将一个时域信号转换为频域信号的过程，其公式如下：$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt$其中，$f(t)$ 表示时域信号，$F(\omega)$ 表示频域信号，$\omega$ 表示角频率。
傅里叶变换可以分为连续傅里叶变换和离散傅里叶变换两种。
连续傅里叶变换仅适用于连续信号，而离散傅里叶变换适用于离散信号。
二、离散傅里叶变换离散傅里叶变换是一种将离散信号变换为频域信号的方法，其公式如下：$X_k=\sum_{n=0}^{N-1}x_n e^{-\frac{2\pi i}{N}kn},k=0,1,...,N-1$其中，$x_n(n=0,1,...,N-1)$ 表示原始离散信号，$X_k(k=0,1,...,N-1)$ 表示变换后的频域信号。
但是，使用该公式直接计算离散傅里叶变换的时间复杂度为$O(N^2)$，计算效率低下。
三、FFT 快速傅里叶变换FFT 快速傅里叶变换是一种基于DFT 离散傅里叶变换的高效算法，它的时间复杂度可以达到$O(NlogN)$，较之直接计算DFT 的时间复杂度要低得多。
FFT 算法的基本思想是将 DFT 分治成多个较小的 DFT，并利用其重复性降低运算次数。
1.蝴蝶运算蝴蝶运算是 FFT 算法的基本运算，通过它可以将 DFT 的计算复杂度降低为 $O(N)$。
蝴蝶运算的实质是将两个相邻点之间的信号进行乘法和加法运算，其公式如下：$X_k=X_{k1}+W_{N}^kX_{k2},X_{k+N/2}=X_{k1}-W_{N}^kX_{k2}$其中，$X_{k1}$ 表示 $X_k$ 中偶数项，$X_{k2}$ 表示 $X_k$ 中奇数项，$W_N$ 是DFT 的核函数。
快速傅立叶变换算法
快速傅立叶变换算法快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，简称FFT）是一种高效的计算傅立叶变换的算法。
它是一种分治算法，通过将一个复杂度为O(n^2)的问题分解为两个复杂度为O(n/2)的子问题来降低算法的时间复杂度。
FFT在信号处理、图像处理、数字滤波等领域有广泛的应用。
傅立叶变换是一种将一个函数表示为一组基函数的线性组合的方法。
对于一个连续函数f(x)，其傅立叶变换F(k)定义如下：F(k) = ∫ f(x) * e^(-2πikx) dx其中，k为频率，e为自然对数的底。
对于离散的情况，我们可以将傅立叶变换表示为以下形式：F(k) = Σ f(n) * e^(-2πikn/N)其中，f(n)为输入序列，N为序列的长度。
离散傅立叶变换的计算复杂度为O(n^2)。
FFT通过利用傅立叶变换的对称性质以及一个重要的结论，蝴蝶运算，将O(n^2)的计算复杂度降低为O(nlogn)。
蝴蝶运算是指对序列进行分组，并对每个分组进行计算的过程。
具体而言，FFT的算法流程如下：1.输入序列f(n)（长度为N）。
2.如果N=1，返回f(1)。
3.将f(n)分成两个子序列，偶数项序列和奇数项序列。
4.分别对偶数项序列和奇数项序列进行FFT计算，得到两个子序列的FFT结果。
5.根据蝴蝶运算的原理，将两个子序列的FFT结果合并为整个序列的FFT结果。
具体的蝴蝶运算过程如下：1.输入两个长度为N/2的子序列A和B。
2.计算A和B的FFT结果，得到长度为N/2的序列A'和B'。
3.根据公式：F(k) = A'(k) + e^(-2πik/N) * B'(k)F(k+N/2) = A'(k) - e^(-2πik/N) * B'(k)计算整个序列的FFT结果F(k)和F(k+N/2)。
通过不断递归地进行上述过程，最终可以得到整个序列的FFT结果。
FFT算法的关键在于蝴蝶运算的实现。
快速傅里叶变换
r 0,1,
, N 2 1
N / 2 1
r 0
x(2r )WN
2 rk
N / 2 1
r 0
x(2r 1)WN
(2 r 1) k
N / 2 1
r 0
rk k x(2r )WN W /2 N
N / 2 1
r 0
rk x(2r 1)WN /2
N 2 N N ( N 1） N 2 所以8点FFT求X (k )共需 36次复数乘法, 2 2 2 2 N N2 N ( 1) N 32次复数加法, 共计为68次。看出仅做一次 2 2 分解就可以节省约一半计算量。
(2)N/2(4点)-->N/4(2点)FFT
N/2点 DFT
X1(1)
X1(2)
X1(3) X2(0)
WN
0
X(0) X(1) X(2) X(3)
1 2
x2(r) x2(0)=x(1)
奇 数 序 列
x2(1)=x(3) x2(2)=x(5) x2(3)=x(7)
N/2点 DFT
X2(1)
X2(2)
WN
WN
X2(3)
3 WN
X(4) -1 X(5) -1 X(6) -1 X(7)
-1 X(4)~X(7)
如：X（0） X 1 (0) X 2 (0)W80 X（2） X 1 (2) X 2 (2)W82
X（ 1） X 1 (1) X 2 (1)W81
X（3） X 1 (3) X 2 (3)W83
同学们自已写
比较直接计算N=8点DFT 与分解2个4点DFT的
快速傅里叶变换 - 维基百科,自由的百科全书
对于实数输入，且输入为偶对称或奇对称的情形，可以更进一步的省下时间以及记忆体，此时 DFT可以用离散余弦转换或离散正弦转换来代替（Discrete cosine/sine transforms）。由于 DCT/DST也可以设计出FFT的算法，故在此种情形下，此方法取代了对DFT设计的FFT算法。
DFT可以应用在频谱分析以及做折积的运算，而在此处，不同应用可以用不同的算法来取代，列 表如下：
实数或对称资料专用的算法
在许多的运用当中，要进行DFT的资料是纯实数，如此一来经过DFT的结果会满足对称性： =
而有一些算法是专门为这种情形设计的（e.g. Sorensen, 1987）。另一些则是利用旧有的算法 （e.g. Cooley-Tukey），删去一些不必要的演算步骤，如此省下了记忆体的使用，也省下了时 间。另一方面，也可以把一个偶数长度且纯实数的DFT，用长度为原本一半的复数型态DFT来表示 （实数项为原本纯实数资料的偶数项，虚数项则为奇数项）。
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和
是两个分别关于串行
计算出 的前N/2个点，对于后N/2个点，注意
位根的对称性，于是有以下变换公式：
奇数号和偶数号串行N/2点变换。由此式只能
和
都是周期为N/2的函数，由单
。
这样，一个N点变换就分解成了两个N/2点变换。照这样可继续分解下去。这就是库利-图基快速 傅里叶变换算法的基本原理。根据主定理不难分析出此时算法的时间复杂度为
用来做频谱分析的情况下，DFT可用下列的算法代替：
DCT DST
https:///wiki/%E5%BF%AB%E9%80%9F%E5%82%85%E9%87%8C%E5%8F%B6%E5%8F%98%E6%8D%A2
快速傅里叶变换
前半部分
k0,1, ,N21
X ( N /2 k ) X 1 ( k ) W N k X 2 ( k )
后半部分
蝶形运算流图符号
说明：
X1(k)
X1(k)W N kX2(k)
(1) 左边两路为输入 (2) 右边两路为输出
W
k N
X2(k)
X1(k)W N kX2(k)
(3) 中间以一个小圆表示加、
X(k)X1(k)W N kX2(k)
k0, ,N/21
X(kN/2)X1(k)W N kX2(k)
得到X1(k)和X2(k)需要： 复乘：(N/2)2+ (N/2)2次 = 32次 复加：N/2(N/2-1)+N/2(N/2-1) =12+12 =24次
此外，还有4个蝶形结，每个蝶形结需要1次复乘，2次复加。 一共是：复乘4次，复加8次。
W
N N
k
W
N
n
k
W
n N
N
W
N
n
k
周 期 性 W N n k W N ( N n ) k W N n ( N k )
可 约 性 W N n k W m m N n k WNnk WNnk/m /m
j 2 m nk
e mN
j2N
e N2
e j
1
特 殊 点 ： W N 0 1 W N N / 2 1 W N ( k N / 2 ) W N k
偶序列 奇序 (l0 ..列 N 4 . 1 )此l处 0 ,1 ，
那么，X1(k)又可表示为
N /4 1
N /4 1
X 1 (k ) x 1 (2 l)W N 2 l/2 k x 1 (2 l 1 )W N (2 /l2 1 )k
快速傅立叶变换(fft)
快速傅立叶变换(fft)快速傅里叶变换(FFT)是一种广泛应用于信号处理、图像处理、音频处理、科学数据处理等领域的数学算法。
它可以将时域信号（即时序信号）转换成频域信号，便于对信号进行分析和处理，以便更好地理解和应用信号的特征。
FFT算法的提出的历史非常悠久。
早在1809年，法国数学家Poisson和Laplace就提出了一些有关傅里叶级数的理论。
1965年，J.W. Cooley和J.W. Tukey等人发布了经典的Cooley-Tukey FFT算法，从而大幅提升了FFT的效率，使其利于实际应用。
FFT的原理是将一个离散的、周期性的时域信号，通过离散傅里叶变换（DFT，或称为“离散频谱分析”）、快速卷积公式等方法，转换成一个频域的信息序列，包含了原信号在复平面上的所有幅度、相位信息。
通过FFT转换后的频域信息，可以较容易地对信号进行频谱分析、滤波、变换和还原等处理过程。
FFT算法具有众多的优势。
首先，FFT算法可以将时间复杂度从O(N*N)大幅降低为O(N log N)，大大提高了数据处理的速度。
其次，FFT算法在数字信号处理领域中拥有广泛的应用，如用于信号重构、信号滤波、降噪、音频处理等等。
此外，由于FFT所得到的频域信号表达了各个频率波形的信息，因此可以在多个领域中运用，例如图像的快速变换、高质量视频文件传输等等。
不过，FFT算法也存在不少的局限性，其中最常见的就是其对时间步骤的依赖，并且对于非周期信号的处理效果可能不够理想。
此外，FFT算法对于像素点的数量是有要求的，不能过少或过多，过少的话会导致数据量太少，过多的话会导致计算机内存爆炸，计算时间也会变得非常长。
综上所述，虽然FFT算法存在着一定的局限性，但是其作为一种广泛应用于信号处理、图像处理、音频处理、科学数据处理等领域的数学算法，其高速、准确、可靠等优点，还是使其得到了广泛的应用。
如果在使用FFT算法时能充分了解其原理和应用场景，遵循其设计规范，就可以更好地发挥出其优势，提高数据处理的效率，为人们生产生活带来更多便利。
快速傅里叶变换的原理及公式
快速傅里叶变换的原理及公式快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是一种基于分治策略的计算离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）的高效算法。
FFT算法的基本原理是利用对称性和周期性来减少计算量，将O(n^2)的复杂度降低到O(nlogn)。
傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的方法，能够将信号拆分成不同频率的正弦和余弦波的叠加。
傅里叶变换的计算公式为：X(k) = Σ(x(n) * e^(-2πikn/N))其中，X(k)表示频域上第k个频率的幅度和相位，x(n)表示时域上第n个采样点的值，N表示采样点的总数。
该公式根据欧拉公式展开，可以得到正弦和余弦函数的和的形式。
FFT算法的核心思想是将DFT的计算分解成多个较小规模的DFT计算，并通过递归进行计算。
它利用了信号的对称性和周期性，将2个互为共轭的频率分量合并成一个复数，从而减少计算量。
FFT算法的具体过程如下：1.如果采样点数N不是2的幂次，则通过添加零补足为2的幂次，得到一个新的序列x'(n)。
2.如果序列的长度为1，即N=1，则返回序列x'(n)。
3.将x'(n)分为两个长度为N/2的子序列x1(n)和x2(n)。
4.使用递归调用FFT算法计算x1(n)的DFT结果X1(k)和x2(n)的DFT结果X2(k)。
5.根据DFT的定义，计算输出DFT序列X(k)。
-对于k=0，X(0)=X1(0)+X2(0)-对于k=1至N/2-1，X(k)=X1(k)+W_N^k*X2(k)-对于k=N/2至N-1其中W_N^k = e^(-2πik/N)，是旋转因子。
6.返回DFT结果X(k)。
通过将FFT算法应用于信号处理、图像处理、语音识别等领域，可以大大加速傅里叶变换的计算过程，提高算法的效率和性能。
总结起来，快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的算法，可以将信号从时域转换到频域，通过利用信号的对称性和周期性，将DFT的计算复杂度从O(n^2)降低到了O(nlogn)。
《快速傅里叶变换》课件
应用广泛：快速傅里叶变换在信号处理、图像处理、通信等领域有着广泛的应用。
04 快速傅里叶变换的算法
快速傅里叶变换的基本步骤
输入信号：将输入信号分解为频率和相位 快速傅里叶变换：将输入信号进行快速傅里叶变换，得到频谱 频谱分析：对频谱进行分析，得到信号的频率和相位 逆傅里叶变换：将频谱进行逆傅里叶变换，得到输出信号 输出信号：输出信号与输入信号相同，但频率和相位发生了变化
信号压缩：快速傅里叶变换可以用于信号的压缩和去噪
信号识别：快速傅里叶变换可以用于信号的识别和分类，如语音识别、图 像识别等
在图像处理中的应用
图像去噪：通过快速傅里叶变换去 除图像中的噪声
图像压缩：通过快速傅里叶变换实 现图像的压缩和存储
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图像增强：通过快速傅里叶变换增 强图像的对比度和清晰度
快速傅里叶变换在机器学 习领域的应用
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分块算法：将数据分成多个 块，分别进行FFT计算，提 高计算效率
并行算法：利用多核处理器 或分布式计算，实现FFT的 并行计算，提高计算速度
05 快速傅里叶变换的应用
在信号处理中的应用
信号分析：快速傅里叶变换可以用于分析信号的频率成分和相位信息
滤波器设计：快速傅里叶变换可以用于设计各种滤波器，如低通滤波器、 高通滤波器等
傅里叶变换的定义
傅里叶变换是一种数学变换，可以 将时域信号分解为频率域信号
傅里叶变换是信号处理、图像处理 等领域的重要工具
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傅里叶变换可以将信号从时域转换 为频域，从而分析信号的频率成分
快速傅里叶变换fft mathmatica
快速傅里叶变换（FFT）是一种非常重要的数学工具，它在信号处理、图像处理、计算机视觉等领域有着广泛的应用。
快速傅里叶变换算法的发明有利于对信号频谱的快速计算，从而加快了信号处理的速度。
在本文中，我们将从多个角度来探讨快速傅里叶变换，并深入理解它的原理和应用。
1. 什么是傅里叶变换？傅里叶变换是一种数学工具，它可以将一个函数从时间或空间域转换到频率域。
通过傅里叶变换，我们可以将一个信号拆分成不同频率的成分，从而更好地理解信号的特性。
在信号处理领域，傅里叶变换被广泛应用于声音、图像等数据的分析和处理中。
2. 快速傅里叶变换的原理快速傅里叶变换是一种高效的傅里叶变换算法，它可以在对数时间内完成信号频谱的计算。
其原理是基于分治法和递归思想的，通过将信号分解成子问题，并利用对称性质和周期性质，从而快速计算出频谱信息。
快速傅里叶变换算法的发明极大地加速了信号处理的速度，使得实时处理成为可能。
3. 快速傅里叶变换的应用快速傅里叶变换在信号处理、图像处理、通信等领域有着广泛的应用。
在音频处理中，通过快速傅里叶变换，我们可以快速计算出音频信号的频谱信息，从而进行音频分析、音频合成等操作。
在图像处理中，快速傅里叶变换可以用于图像的频域滤波、图像压缩等操作。
在通信领域，快速傅里叶变换也被应用于调制解调、信道估计等方面。
4. 我对快速傅里叶变换的个人观点和理解作为一种重要的数学工具，快速傅里叶变换在现代科学技术中扮演着不可或缺的角色。
它的高效性和广泛应用性使得它成为了信号处理领域中的核心算法之一。
虽然快速傅里叶变换算法本身较为复杂，但通过对其原理和应用的深入理解，我们可以更好地利用这一工具，为实际问题提供更好的解决方案。
总结在本文中，我们对快速傅里叶变换进行了全面的探讨，从傅里叶变换的基本概念到快速傅里叶变换算法的原理和应用，希望读者能更全面、深刻和灵活地理解这一重要的数学工具。
通过对快速傅里叶变换的研究，我们可以更好地处理和分析信号数据，为实际问题的解决提供更好的方法和工具。
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第四章快速傅里叶变换有限长序列可以通过离散傅里叶变换(DFT)将其频域也离散化成有限长序列.但其计算量太大,很难实时地处理问题,因此引出了快速傅里叶变换(FFT). 1965年，Cooley和Tukey提出了计算离散傅里叶变换（DFT）的快速算法，将DFT的运算量减少了几个数量级。
从此，对快速傅里叶变换（FFT）算法的研究便不断深入，数字信号处理这门新兴学科也随FFT的出现和发展而迅速发展。
根据对序列分解与选取方法的不同而产生了FFT的多种算法，基本算法是基２DIT和基２DIF。
FFT在离散傅里叶反变换、线性卷积和线性相关等方面也有重要应用。
快速傅里叶变换（FFT）是计算离散傅里叶变换（DFT）的快速算法。
DFT的定义式为)(k X =)()(1k R W n x N N n knN∑-= 在所有复指数值kn NW 的值全部已算好的情况下，要计算一个)(k X 需要N 次复数乘法和N －1次复数加法。
算出全部N 点)(k X 共需2N 次复数乘法和)1(-N N 次复数加法。
即计算量是与2N 成正比的。
FFT 的基本思想：将大点数的DFT 分解为若干个小点数DFT 的组合，从而减少运算量。
N W 因子具有以下两个特性，可使DFT 运算量尽量分解为小点数的DFT 运算：（1） 周期性：kN n N kn N nN k N W W W )()(++== （2）对称性：k N N k NW W-=+)2/(利用这两个性质，可以使DFT 运算中有些项合并，以减少乘法次数。
例子：求当N ＝4时，X(2)的值通过合并，使乘法次数由4次减少到1次，运算量减少。
FFT 的算法形式有很多种，但基本上可以分为两大类：按时间抽取（DIT ）和按频率抽取（DIF ）。
4.1 按时间抽取（DIT ）的FTT为了将大点数的DFT 分解为小点数的DFT 运算，要求序列的长度N 为复合数，最常用的是MN 2=的情况（M 为正整数）。
该情况下的变换称为基2FFT 。
下面讨论基2情况的算法。
先将序列x(n)按奇偶项分解为两组⎩⎨⎧=+=)()12()()2(21r x r x r x r x 12,,1,0-=Nr将DFT 运算也相应分为两组==)]([)(n x DFT k X ∑-=10)(N n kn NWn x∑∑-=-==1n 010)()(N n kn NN n n kn NWn x Wn x 为奇数为偶数＋∑∑-=+-=++12/0)12(12/02)12()2(N r k r NN r rk NWr x Wr x ＝∑∑-=-=+12/02212/021)()(N r rkN k N N r rk NW r xWW r x ＝∑∑-=-=+12/02/212/02/1)()(N r rkN k NN r rkN W r xWWr x ＝（因为rk N rk N W W 2/2=） )()(21k X W k X kN +=其中)(1k X 、)(2k X 分别是)()(21n x n x 、的N/2点的DFT)(1k X 120,)2()(12/02/12/02/1-≤≤=∑∑-=-=N k Wr x Wr x N r rk N N r rk N ＝ )(2k X 120,)12()(12/02/12/02/2-≤≤+=∑∑-=-=N k W r x Wr x N r rk N N r rk N ＝ 至此，一个N 点DFT 被分解为两个N/2点的DFT 。
上面是否将全部N 点的)(k X 求解出来了？分析：)(1k X 和)(2k X 只有N/2个点（12,,1,0-=Nk ），则由)(k X )()(21k X W k X kN+=只能求出)(k X 的前N/2个点的DFT ，要求出全部N 点的)(k X ，需要找出)(1k X 、)(2k X 和)2/(N k X +的关系，其中12,,1,0-=N k 。
由式子)(k X )()(21k X W k X kN+=可得 )2/(N k X +)2/()2/(22/1N k X W N k X N k N+++=+化简得 )2/(N k X +＝)()(21k X W k X kN-=，12,,1,0-=Nk 这样N 点DFT 可全部由下式确定出来：⎪⎩⎪⎨⎧-=++=)()()2/()()()(2121k X W k X N k X k X W k X k X kN kN 12,,1,0-=N k （＊） 上式可用一个专用的碟形符号来表示，这个符号对应一次复乘和两次复加运算。
abkNW bW a kN +bW a kN --1图 蝶形运算符号通过这样的分解以后，每一个N ／2点的DFT 只需要4)2(22N N =次复数乘法，两个N/2点的DFT 需要2)2(222N N =次复乘，再加上将两个N ／2点DFT 合并成为N 点DFT 时有N ／2次与W 因子相乘，一共需要22222N N N ≈+次复乘。
可见，通过这样的分解，运算量节省了近一半。
因为MN 2=，N/2仍然是偶数，因此可以对两个N/2点的DFT 再分别作进一步的分解，将两个N/2点的DFT 分解成两个N/4点的DFT 。
例如对)(1r x ，可以在按其偶数部分及奇数部分进行分解：⎩⎨⎧=+=)()12()()2(4131l x l x l x l x 14,,1,0-=Nl则的运算可相应分为两组：)(1k X ∑∑-=+-=++14/0)12(2/114/022/1)12()2(N l k l N N l lk N Wl x Wl x ＝∑∑-=-=+14/04/42/14/04/3)()(N l lkN k N N l lkN W l xWWl x ＝)()(42/3k X W k X kN += 14,,1,0-=N k 将系数统一为以Ｎ为周期，即kN k N W W 22/=，可得⎪⎩⎪⎨⎧-=++=)()()4/()()()(42314231k X W k X N k X k X W k X k X kN kN 14,,1,0-=N k 同样，对)(2k X 也可进行类似的分解。
一直分解下去，最后是２点的DFT ，２点DFT 的运算也可用碟形符号来表示。
这样，对于一个823==N 的DFT 运算，其按时间抽取的分解过程及完整流图如下图所示。
这种方法，由于每一步分解都是按输入序列在时域上的次序是属于偶数还是奇数来抽取的，故称为“时间抽取法”。
分析上面的流图，MN 2=，一共要进行M 次分解，构成了从x(n)到X(k)的M 级运算过程。
每一级运算都是由N/2个蝶形运算构成，因此每一级运算都需要N/2次复乘和N 次复加，则按时间抽取的M 级运算后总共需要复数乘法次数：N NM N m F 2log 22=⋅=复数加法次数：N N M N a F 2log =⋅=根据上面的流图，分析ＦＦＴ算法的两个特点，它们对ＦＦＴ的软硬件构成产生很大的影响。
（１） 原位运算 也称为同址运算，当数据输入到存储器中以后，每一级运算的结果仍然存储在原来的存储器中，直到最后输出，中间无需其它的存储器。
根据运算流图分析原位运算是如何进行的。
原位运算的结构可以节省存储单元，降低设备成本。
（２） 变址分析运算流图中的输入输出序列的顺序，输出按顺序，输入是“码位倒置”的顺序。
见图。
码位倒置的变址处理在实际运算中，直接将输入数据x(n)按码位倒置的顺序排好输入很不方便，一般总是先按自然顺序输入存储单元，然后通过变址运算将自然顺序的存储换成码位倒置顺序的存储，这样就可以进行FFT 的原位运算。
变质的功能如图所示。
用软件实现是通用采用雷德（Rader ）算法，算出I 的倒序Ｊ以后立即将输入数据X(I)和X(J)对换。
尽管变址运算所占运算量的比例很小，但对某些高要求的应用（尤其在实时信号处理中），也可设法用适当的电路结构直接实现变址。
例如单片数字信号处理器TMS320C25就有专用于FFT 的二进制码变址模式。
4.２ 按频率抽取（DIF ）的FTT除时间抽取法外，另外一种普遍使用的FFT 结构是频率抽取法。
频率抽取法将输入序列不是按奇、偶分组，而是将Ｎ点DFT 写成前后两部分：==)]([)(n x DFT k X ∑-=10)(N n kn NWn x∑∑-=-==12/1)2/(0)()(N N n kn NN n kn NWn x Wn x ＋∑∑-=+-=++12/0)2/(12/0)2/()(N n k N n NN n nk NWN n x Wn x ＝nkN N n k N N W N n x W n x ∑-=++12/0)2/()]2/()([＝因为k k N N N NW W )1(,1)2/(2/-=-=，k 为偶数时1)1(=-k ，k 为奇数时1)1(-=-k ，由此可将X(k)分解为偶数组和奇数组：nkN N n kW N n x n x k X ∑-=+-+12/0)]2/()1()([)(＝nrN N n nrNN n WN n x n x W N n x n x r X 2/12/0212/0)]2/()([)]2/()([)2(∑∑-=-=++=++＝nr N nN N n nr NN n W WN n x n x W N n x n x r X 2/12/0)12(12/0)]2/()([)]2/()([)12(∑∑-=+-=+-=+-+＝令⎩⎨⎧+-=++=nN W N n x n x n x N n x n x n x )]2/()([)()2/()()(21 12/,,1,0-=N n 这两个序列都是N/2点的序列，对应的是两个N/2点的DFT 运算：nrN N n W n x r X 2/12/01)]()2(∑-=＝rn N N n W n x r X 2/12/02)()12(∑-=+＝这样，同样是将一个N 点的DFT 分解为两个N/2点的DFT 了。
频率抽选法对应的碟形运算关系图如下：abn NW ba +nNW b a )(--1对于N=8时频率抽取法的FFT 流图如下：这种分组的办法由于每次都是按输出X(k)在频域的顺序上是属于偶数还是奇数来分组的，称为频率抽取法。
与前面按时间抽取的方法相比，相同点 问题：如何利用快速算法计算IDFT ？ 分析IDFT 的公式：1,,1,0,)(1)]([)(1-===∑-=-N n Wk X Nk X IDFT n x N k nk N比较DFT 的公式：1,,1,0,)()]([)(1-===∑-=N k Wn x n x DFT k X N n nk N得知可用两种方法来实现IDFT 的快速算法：（１）只要把DFT 运算中的每一个系数nk N W 该为nk N W -，并且最后再乘以常数N1，就可以用时间抽取法或频率抽取的FFT 算法来直接计算IDFT 。